（基础数学专业论文）具有g2分解的纽结和3流形中的本质平环的一些性质.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 通过3 一流形中的曲面来研究3 流形的拓扑和几何性质是3 - 流形理论的重要手段本 文主要研究包含分离的本质平环的具有环面边界的3 一流形和具有( 9 ，2 ) 一分解的纽结的一 些性质 当个带有环面边界的3 - 流形沿边界上的曲面粘合时，将会产生一些新的性质特别 地，当两个带有环面边界的3 - 流形沿边界上的平环粘合时，在一定条件下，有一个新的性 质，我们将在3 1 节中给出这个性质 最后，对于具有( g ，2 ) - 分解的纽结，我们在3 2 节中给出一个在一般情况下的结论：设 kcs 3 是纽结，则g n ( k ) g n i ( k ) + l ( n 2 ) 此外，在特定的条件下，我们也给出了一 些特定的性质 关键词：本质平环；本原；h e e g a a r d 分解；扩展平环；h e e g a a r d 亏格；( 9 ，他) 一分解 张大林：具有( g ，2 ) - 分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 s o m ep r o p e r t i e so fk n o t sw i t h ( g ，2 ) 一d e c o m p o s i t i o n s a n d3 m a n i f o l d sc o n t a i n i n ge s s e n t i a la n n u l i a b s t r a c t s t u d y i n gt h et o p o l o g i c a la n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e so f3 - m a n i f o l d sb ys u r f a c e sc o n t a i n e di n 3 - m a n i f o l d si sa ni m p o r t a n tm e t h o do ft h et h e o r yo f3 - m a n i f o l d s i nt h i sp a p e r ，w es t u d y s o m ep r o p e r t i e so f3 - m a n i f o l d sw i t ht o r u sb o u n d a r yc o n t a i n i n gs e p a r a t i n ge s s e n t i a la n n u l i a n dk n o t sw i t h ( g ，2 ) 一d e c o m p o s i t i o n s w h e ng l u i n gt w og e n e r a l3 - m a n i f o l d sa l o n ga ns u r f a c ei nt h e i rb o u n d a r i e s ，s o m en e w p r o p e r t i e sw i l lb eg e n e r a t e d w h e ng l u i n gt w o3 - m a n i f o l d sw i t ht o r u sb o u n d a r i e sa l o n ga l o n g a na n n u l u si nt h e i rb o u n d a r i e s ，t h e r ei san e wp r o p e r t yu n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n ，w ew i l l g i v ei ti ns u b s e c t i o n3 1 f i n a l l y , f o rk n o t sw i t h ( g ，2 ) 一d e c o m p o s i t i o n s ，w eg i v eag e n e r a lr e s u l ti ns u b s e c t i o n3 2 ， i e ，l e tkcs 3b eak n o t ，t h e ng n ( k ) 鲰一l ( g ) + l ( n 2 ) i na d d i t i o n ，w eg i v es o m e r e s u l t su n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n k e yw o r d s ：e s s e n t i a la n n u l u s ；p r i m i t i v e ；h e s g a a r ds p i t t i n g ；s p a n n i n ga n n u l u s ；h e e g a a r d g e n u s ；( g ，n ) 一d e c o m p o s i t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位 的学位或证书所使用过的材料 学位论文 作者签名 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保留论文 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 学位论文 作者签名 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 拓扑学是现代数学中一个重要的组成部分，它是几何学的一个分支，它主要研究的是几 何图形( 拓扑空间) 在连续变形( 拓扑映射) 下保持不变的性质，因此通常被俗称为”橡皮几 何学”拓扑学又是一个比较年轻的数学分支，它起源于1 9 世纪末2 0 世纪初在一个世纪的 发展过程中，拓扑学又发展为互相联系、各具特点的多个分支，按照研究方法可以分为点集 拓扑、代数拓扑、微分拓扑等，按照研究对象又可以分为低维拓扑、高维拓扑等 低维拓扑是拓扑学研究中一个比较活跃的领域数学界的最高荣誉菲尔兹奖( f i e l d s p n z e ) 得主中，有近三分之一的获奖者从事低维拓扑或与之相关的方向我国对低维拓扑的 研究起步较晚，从2 0 世纪8 0 年代才开始 三维流形理论的研究有着悠久的历史，最早可追溯到p o i n c a r6 时期，也就是拓扑学刚刚 诞生的时期，这主要是因为我们生活的世界是一个三维立体的世界，我们熟悉的几何对象也 往往都是三维或三维以下的三维流形理论的研究，通常是通过三维流形中的一些曲面，把复 杂的几何对象化解为若干简单对象进行研究三维流形的研究自从7 0 年代末t h u r s t o n 提 出纲领性的看法以来，成为数学中蓬勃发展的生长点之一 三维流形拓扑中的基本问题是三维流形的分类问题分类问题包括两方面：一是给出所 有的三维流形的一个完全列表，且表中不在同一位置的流形不是拓扑等价的；二是给定一个 三维流形，有办法判定它与表中的哪个流形是拓扑等价的第一方面问题的解决是第二方面 问题解决的基础目前关于三维流形的研究都是围绕着这一问题而展开的但研究的进展离 基本问题的解决还相差甚远 很自然地，要解决三维流形的拓扑分类问题，我们首先需要对三维流形的内部结构进行深 入而彻底地研究在2 0 世纪5 0 年代，美国数学家m o i s e 和b i n g 在分片线性( p i e c e w i s el i n e a r ) 范畴下证明了三维流形的一个经典结果t 每个维数不大于3 的流形上有唯一的分片线性结 构也就是说，每个三维流形都有剖分结构，特别地，对于一个闭的三维流形m ，存在一个单 纯复形k 的多面体i k l 同胚于m 本文所涉及的3 流形都是紧的、定向的、连通的、分片 线性的 在现实世界中存在各种各样复杂的3 流形，因此研究3 流形的结构是十分必要的在十 九世纪末，丹麦的数学家h e e g a a r d 就已经证明，一个可剖分的闭的三维流形均有h e e g a a r d 分解，也就是说每个连通的闭的可定向的三维流形可以分解成两个柄体的并，并且两个柄体有 张大林：具有( g ，2 ) - 分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 共同的曲面边界，称此曲面为h e e g a a r d 曲面或分解曲面换句话说用这种方式可以构造出所 有可定向的闭的三维流形进一步解释，就是把h e e g a a r d 曲面嵌入到3 一流形，沿h e e g a a r d 曲面切开3 流形后，使3 - 流形分解为简单的”块 这就是对3 流形进行h e e g a a r d 分解 的方法s c h a r l e m a n n 在 1 2 】一文中，用大量的篇幅系统地叙述了h e e g a a r d 分解的基本概 念、h e e g a a r d 分解的可约性、稳定化、唯一性、s e i f e r t 流形、正则曲面等一系列问题，使 h e e g a a r d 分解理论形成了一个完整的体系 把h e e g a a r d 分解的方法引入3 - 流形理论，为3 - 流形的研究开辟了一个新的方向在 把h e e g a a r d 分解作为研究3 - 流形理论的主要工具以后，相继又出现了许多从不同角度看待 3 - 流形分解的新的观点及相应的与h e e g a a r d 分解相关的新的概念，这些概念和观点都加深 了人们对h e e g a a r d 分解的认识 在三维流形的研究中，曲面的作用是非常独特的事实上，一个三维流形的h e e g a a r d 曲 面将流形分解为两个柄体，或者更确切地说是两个压缩体而在三维流形的研究中起重要作 用的曲面除了h e e g a a r d 曲面之外还有不可压缩曲面，正则曲面等不可压缩曲面可以看作 是从流形中的可压缩曲面通过尽可能多的”压缩而得到的，即沿着流形中的可压缩曲面的 本质圆片切割曲面而获得的一个尽可能简单的曲面不可压缩曲面有着非常良好的拓扑性 质，在某种程度上，它能够反映流形的一些内在的结构 利用曲面来研究三维流形是一种相当有效的方法，而通过这种方法获得的最早的结果之 一就是著名的h a k e n 引理【2 1 该引理是h e e g a a r d 分解中的主要定理之一，是1 9 6 8 年 由h a k e n 给出的该定理给出了不可压缩曲面与h e e g a a r d 曲面之间的内在的联系，实际 上是给出了不可压缩曲面与h e e g a a r d 曲面在流形中相交时其交线所具有的性质这个定理 在h e e g a a r d 分解的理论中起到了重要的作用，有着广泛的应用，通过这个定理与流形的分 解结构，我们可以得到很多流形的重要性质和结果，比如利用这个定理我们可以证明流形的 h e e g a a r d 亏格在连通和操作下是可加的同时这个定理的成功应用也激发人们去研究曲面 与曲面之间，曲面与曲线之间的相互关系，以此探索三维流形的拓扑性质 对于纽结补的h e e g a a r d 分解，k a n j im o r i m o t o 在【1 5 中给出了一给果本文将在两 个带有环面边界的3 - 流形沿边界上的环面粘合时给出了一个结果 最后，本文也给出了具有( g ，2 ) 一分解的纽结的一些性质 本文的结构如下： 第一章主要介绍了拓扑学和h e e g a a r d 分解的发展以及本文的主题； 第二章主要介绍有关3 一流形理论中的一些基本概念和定理，以便为后文做好准备； 第三章介绍本文的主要结果 2 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 低维拓扑是拓扑学研究中一个比较活跃的领域，它的研究有着悠久的历史在这个领域 发展的过程中，数学家不断地引进大量的概念和理论，低维拓扑正是在这些大量的概念和理 论的基础上发展起来的本章将要对一些相关的基本概念和定理给出简单的介绍和说明 2 1 3 一流形理论中的基本概念和定理 定义2 1 设为一个h a u s d o r f f 空间如果m 中每一点都有一个邻域同胚于形，则称m 为 一个r t 维流形m 流形j ，扎称为m 的维数，记佗= d i m m 如果m 中每一个点都有一个 邻域同胚于舻，或者同胚于殿，则称m 为一个佗维带边流形记m 的所有有邻域同胚于 殿的子集为a m ，称m 为的边界如果m 是紧致无边的流形，则称m 是一个闭流形停 阆文献1 5 j ) 定义2 2 一个纽结k 是岛球面s 3 中的一个同胚于单位圆周的子空间设n ( k ) 是k 在 s 3 中的一个管状邻域，即n ( k ) 是铲中的实心环体，记x = s 3 一( k ) ，则o x = o n ( k ) 是一个环面令h ：o x o n ( k ) 为一个同胚，则m = xu n ( k ) 是一个闭的口流形，m 相当于把n ( k ) 从中挖去，再通过h 粘补回去所得的流形这样一个操作称为扭结上的一个 d e h n 手术舅流形的一个经典定理告诉我们，每一个可定向的连通的闭舅流形均可由沿中 的有限个互不相交的纽结做d e h n 手术而得到伶阅文献膨 定义2 3 设s 是一个连通的闭曲面，是通过往s i 上的一面s 0 ) 上粘一些2 一环 柄，再将所得的流形的所有参球面分支用乒环柄填充后得到的流形，则称为一个压缩 体舛w = s 1 称为的正边界，良w = o w 一酢称为的负边界p 可以是 不连通的 如果乱w = 毋，则w 为一个柄体，如果w 垒良w i ，称是平凡的伶阅 文献1 6 | ) 定义2 4 设彬是一个连通的压缩体，d 是w 中互不相交的圆片组成的集合，满足( d ，a d ) c ( 彬o w ) ，且沿d 切开后所得的流形同胚于 r a w x l ，若0 一w 0 b 3 若0 一：口 3u 张大林：具有( g ，2 ) 一分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 ，则称d 是的一个完全圃片系统惨阅文献剐 定义2 5 设m 是一个口流形，s 是m 中的一个参球面，若s 不在m 中界定一个实心球， 则称s 是m 中的本质球面若m 中没有本质2 球面，则称m 是不可约的，否则称m 是 可约均( 参阈文献f 6 】) 由定义知是不可约的当且仅当每个2 球面界定一个实心球3 流形中的2 - 球面可以把 流形分成”简单块”这就是下面的3 - 流形的连通和分解的概念 定义2 6 设m 是一个口流形，m 中有一个2 球面s 分离m 为两个凸流形m ，2 令 m i ( 或m 2 ) 为沿1 ( 或2 ) 边界上的s 填充一个实心球所得的流形，称m 是舰和m 2 的 连通和，记作m = m i # m 2 停阅文献刚 定义2 7 如果m = m i 舞m 2 蕴含尬= s 3 或m 2 = s 3 ，则称乒流形m 是素的倍阅文献 6 p 不可约流形和素流形有如下的关系： 定理2 1 不可约乒流形是素的；反之一个闭的可定向的素乒流形或者是不可约的，或者是 同胚于铲xs 1 伶阅文献膨从 定理2 2 设m 是一个连通可定向的闭口流形则m = m 1 券社螈，其中每一个舰都 是素的仰如果舰= n 1 桦n 2 ，则1 = s 3 或n 2 = 伊j ，并且在次序重排和同胚的意义下， 这个分解是唯一的停阅文献砂 定义2 8 设x ，y 是两个紧致曲面，x 和y 的连通和是由下面的步骤构造出的紧致曲面： “) 分别从x 和y 的内部去掉一个小的开圆片， 俐把两个边界圆周粘在一起x ，y 的连通和记为x # y ，如图2 j 所示停阅文献俐 定义2 9 设m 有三元组( m ，b ，b ) ，其中b u b 为乒流形m 的边界的不交并，若存在压 缩体彬，使得m = wu fw ，酢w = a + w 7 = f ，则称( 彬w ) 是m 的h e e g a a r d 分 解，称为f 的一个h e e g a a r d 曲面，此h e e g a a r d 分解也可以表示为( m ，f ) 伶阅文献 7 - h i ) 众所周知，对任意三元组( m ，b ，b ，) ，b u b 中没有2 - 球面分支，则m 有h e e g a a r d 分 解 定义2 1 0 m 的所有h e e g a a r d 分解中具有最小亏格的h e e g a a r d 分解的亏格称为m 的h e e - g a a r d 亏格或m 的亏格，记作9 ( m ) 停阅文献口别 定理2 3 设m = m i # 桦，则g ( m ) = ：1 9 ( 舰) 伶阅文献口，j 刎 4 大连理工大学硕士学位论文 图2 1 定理2 4 设y 是一个非平凡的压缩体，且4 是y 的真嵌入的本质圃片的集合则在y 中 有一个真嵌入的本质圆片d ，使得d n a = 0 伶阅文献p 5 1 6 , 1 刎 定义2 1 1 设m 是一个3 一流形若h ：m i _ m 是一个连续映射，并且对于每个 t i ，日( z ，t ) = h t ( z ) ：m m 均是同胚，则称日为从凰到历的合痕绒称同 痕) ( i s o t o p y ) 对于m 中的曲面岛，岛，如果存在合痕日使得凰= i d m ，h 1 ( 岛) = s 1 ，则称 岛和岛是合痕的( i s o t o p i c ) 定义2 1 2 设f 是乒流形m ( j i 者嵌入在o m ) 中的一个真嵌入的曲面，如果f 满足下列 条件之一t j f = 铲且f 在m 中界定一个乒球； ( i i ) m 中存在一个圃片d ，使得dn f = o d 且o d 在f 中不界定圃片 则我们称f 在m 中是可压缩的 否则，f 在m 中是不可压缩的停阅文献例伶见文献剐 定理2 5 设q 是m = y l u s k 中一个真嵌入的不可压缩曲面怀是2 一球面，2 一圃片或 者射影平面j 如果h e e g a a r d 分解( ，k ) 是强不可约的，则我们可以合痕q ，使得q n s 在s 和q 中是本质的闭曲线伶阅文献p 6 , 1 9 ，2 刚 定义2 1 3 假设3 一流形m 中的一个不可压缩曲面s 将m 分成m o 和尬两部分i 且尬中 有一个曲面只将必分成两个压缩体a l 和b i ( = 0 ，1 ) ，丸b o = 乱a 1 从( 山，岛) ，( a l ，b 1 ) 我们得到m 的一个h e e g a a r d 分解，其过程如下：我们将3 一流形玩u 耳a l 看作是这样 得到的，将s i 的边界s o ) 粘合一些1 一柄体( 来自b o ) ，s 1 ) 粘合一些1 一 柄体( 来自a 1 ) 我们可以使sx 0 ) 和sx 1 ) 上的粘合( a t t a c h i n g ) 圆片在s 上的投 影( p r o t e c t i o n s ) 互不相交收缩s i 到s 则来自b o 的1 一柄体和i 1 = 乱b 1 相粘 合，得到一个压缩体b ，来自a l 的1 一柄体和p o = 巩a o 相粘合，得到一个压缩体a 5 张大林：具有( 9 ，2 ) - 分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 且s = 酢a = 巩b 则m = a u sb 是一个h e e g a a r d 分解我们将这一过程叫作融合 ( a m a l g a m a t i o n ) ，将( a ，b ) 叫作( a o ，b o ) ，( a i ，b 1 ) 的融合伶阅文献胆，钏 由融合的定义；我们有g ( s ) = 9 ( 岛) + 夕( p 1 ) 一夕( 君) 定义2 1 4 设y 是一个压缩体，acv 是一个平环，如果o a 有一个分支在巩y 中，另一 个分支在a y ，我们将平环称为扩展( s p a n n i n g ) 平环伶阅文献肛剐 定义2 1 5 设日lu s 如是一个h e e g a a r d 分解，如果存在一个2 球面p ，使得尸n s 是s 中的一条本质闭曲线，则我们称日1 u s 凰是可约的伶阅文献别 定义2 1 6 设日lu s 凰是一个h e e g a a r d解，如果存在本质圆片nc 凰，使得o d ano d 2 = o ，则我们称h iu s 飓是弱可约的否则，日lu s 玩是强不可约的倍阅文献俐 定义2 1 7 设研u s 飓是3 - 流形m 的一个h e e g a a r d 分解，如果m 存在一个0 一约化 圃片d 使得o n s 是一条闭曲线，则我们称h x u s 也是a 一可约的惨阅文献刎 定y 2 1 8 设日1u s 凰是一个h e e g a a r d 分解，如果存在本质圃片d ic 凰，使得o d an o d 2 是一个点，则我们称h xu s 也是稳定化的伶阅文献廖，2 剐 定理2 6 假设m 是一个可约的3 - 流形，h iu s 日2 是一个h e e g a a r d 分解则m 存在一 个约化2 一球面p 使得pns 是一条闭曲线伶阅文献俐 定理2 7 a 一可约的乒流形的任何一个h e e g a a r d 分解都是a 一可约的伶阅文献删 定理2 8 假设m 是一个不可约的，流形，日1u s 凰是m 的一个可约的h e e g a a r d 分解 则玩u s 吼是稳定化的伶阅文献别 定理2 9 假设日1u s 凰是，一流形m 的一个强不可约的h e e g a a r d 分解，fcm 是一个圆 片，且f 与s 横截相交，o fcs 则o f 在某一个凰中界定一个圆片停阅文献胆，2 9 ) 定义2 1 9 设f 是舅流形m 中的曲面，如果f 满足下列条件之一? 以归是一个圃片且f 平行于o m 中的一个圆片； ( i i ) f 不是一个圆片且在m 中存在一个圆片d ，使得dnf = q 是o d 中的一条 弧，dno m = p 是o d 中的一条弧，且qn 卢= o d 且qnp = a q = a 卢，并且或者o z 分 离f 所得的两个分支均不是圆片，或者n 不分离f 则我们称f 是a 一可压缩的他界可压缩的j 定理2 1 0 设w 是一个压缩体scw 是一个真嵌入的、不可压缩的且边界不可压缩的曲 面，且o s d ，则s 或者是一个本质圆片，或者是一个扩展平环伶阅文献口纫 6 大连理工大学硕士学位论文 定理2 1 1 设s 是压缩体中的一个不可压缩曲面，且a sca + 彬，则s 将彬切成一些 医缩体( 参阅文献1 1 9 | ) 定义2 2 0 设q 是柄体日上的一条闭曲线，如果日中存在一个本质圆片d ，使得o ln d 是一个点，则我们称o l 是本原( p r i m i t i v e ) 的倍阅文献口剐 定义2 2 1 设a 是柄体日上的一个平环，如果a 的中心曲线是本原的。则我们称a 是本 原( p r i m i t i v e ) 的伶阅文献p s ，2 剐 定义2 2 2 设f 是紧致舅流形m 中的一个真嵌入的曲面，如果f 是不可压缩的并且不是 a 一平行的，则我们称f 是本质的伶阅文献口刚 定理2 1 2 如果m = h 1u s l - 1 2 是一个弱可约的h e e g a a r d 分解，则或者研u s 玩是可约 的，或者m 包含一个不可压缩曲面倍阅文献2 # 定理2 1 3 设( i = 1 ，2 ) 都是压缩体，v = v 1 u a v 2 ，其中a 是一个平环则y 是一个压 缩体当且仅当a 在( i = l j f i 2 ) 中是本原的停阅文献肛剐 定义2 2 3 设日lu s 也是m 的一个h e e g a a r d 分解，我们将h e e g a a r d 分解日1u s 凰的 距离定义为：d ( 研，t t 2 ) = d c ( s ) ( o d l ，o d 2 ) d ich i ，其中鼠是压缩体( i = 1 ，2 ) 】- 有了上面的定义，我们立即得到以下定理： 定理2 1 4 设风u s 吼是3 - 流形m 的一个h e e g a a r d 分解则 俐日lu s 吼是可约的当且仅当d ( 1 t l ，1 t 2 ) = o ； 一砂凰u s 凰是不可约的当且仅当d ( 研，1 t 2 ) 1 ； ( i i i ) h lu s t l 2 是弱可约的当且仅当d ( 1 - 1 1 ，t 1 2 ) 1 ； o 口) g l u s t t 2 是强不可约的当且仅当d ( 1 t l ，1 - 1 2 ) 2 惨阅文献粤剐 定义2 2 4 设kcs 3 是纽结，t 1 ，t 。是e ( k ) 中一些真嵌入的弧，如果c l ( e ( k ) 一 ( u ：1 岛) ) 是一个柄体，则我们称t 1 ，t 。是k 的一个非纽( u n k n o u i n a ) 的t u n n e l 系统 记t ( g ) = m m n l h ，如是硒一个非纽的t u n n e l 系y e ，我们称例为耳的t u n n e l 数 ( 参阆文献1 2 3 j ) 。 定理2 1 5 设kc 铲是纽结，则t ( g ) g l ( k ) t ( g ) 4 - 1 仔阅文献口剐 定义2 2 5 设kc 铲是纽结，qce ( k ) 是一条简单闭曲线，如果q 界定k 的一个子午 ( m e r i d i o n a l ) 圆片，则我们说。是k 的一条子午闭曲线侉阔文献肛劝 定义2 2 6 设kc 伊是纽结，f 是e ( g ) 中的一个真嵌入的曲面，如果o f d 并且o f 的每一个分支都是k 的一条子午闭曲线，则我们说f 是子午的傍阅文献肛刚 7 张大林：具有( 9 ，2 ) - 分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 定义2 2 7 设kcs 3 是纽结，如果e ( k ) 不包含予午的本质曲面，则我们称纽结k 是子 午小讷( 参阆文献1 1 5 j ) 定理2 1 6 设甄，c 伊是子午小纽结，且t ( k i # k 2 ) = t ( k 1 ) + t ( k 2 ) 则g l ( k 1 ) = t ( k 1 ) 一= j 或剀 证明t 由推论3 1 和定理2 1 6 即得 定义2 2 8 设rcv 是压缩体y 不相交的真嵌入的弧，卯c 乱y 如果r 能保持端点不动 合痕到v 的边界上，则我们称r 是平凡的伶阅文献膨圳 定义2 2 9 设kcs 3 是纽结，( ，k ) 是伊的h e e g a a r d 分解，若knk 是中佗条真 嵌入的平凡弧，且夕( ) = g 则我们称( k ，) 是纽结k 的一个( 9 ，n ) - 分解伶阅文献 1 2 5 2 6 j ) 。 定义2 3 0 我们称k 的所有( g ，n ) - 分解中亏格最小的那一个分解的亏格为k 的( 夕，n ) - 亏格，记作t 鲰( k ) 陪阅文献口剐 定义2 3 1 设( ，k ) 是e ( k ) 的一个h e e g a a r d 分解，且o e ( k ) c ，如果有一个扩展 ( s p a n n i n g ) 平环ac ，使得o a = 7uq ，其中，yca e ( k ) ，且n 是h e e g a a r d 曲面 a k 上的一条本原的闭曲线，则我们称( m ，) 是 y - p r i m i t i v e 如果7 是k 的一条子午 ( m e r i d i o n a l 闭曲线，则( u ，) 是p 一本原的停阅文献廖剐 定义2 3 2 设kcs 3 是纽结，如果e ( k ) 有一个带有一条本原的子午闭曲线的最小亏格的 h e e g a a r d 分解，则我们称纽结k 是p 一本原的伶阅文献2 剐 定理2 1 7 设k 1 ，鲍c 铲是两个子午小纽结，则e ( k 1 移k 2 ) 有一个最小亏格的h e e g a a r d 分解( ，k ) 和一个分解平环a ，使得a n 是两个生成平环，a n 是一个本质平环停 阆文献f 1 5 | ) 2 2 本章小结 本章总结了3 一流形理论中的一些基本概念和定理，并且为后文作了准备 8 大连理工大学硕士学位论文 3 主要定理及其证明 上一章我们介绍了一些预备知识，在本章我们将对主要的定理给出证明 3 1 3 - 流形中的本质平环 定义3 1 设m 是一个3 一流形，记d ( m ) = m i n d ( s ) i s 定义m 的一个最小亏格的h e e g a a r d 曲面 我们称d ( m ) 为m 的距离 设m 是具有环面边界的3 一流形，y 是一个实心环体，oco m 是一条本质闭曲线，卢c o v 是一条本质闭曲线，且在y 中界定一个本质圆片，则存在同胚。h ：o m _ a v0 1 一p 记砑= m u v ，m 一是一个闭的3 一流形对于有环面边界的3 一流形，我们有如下定理： 定理3 1 设m 1 ，尥是两个带有环面边界的3 一流形，坛0 = 1 ，2 ) 不可约，坛( t = 1 ，2 ) 不同 胚于实心环体且不合d ( ( 透镜空问) 一( 实心环体) ) 因子aca 坛 = 1 ，2 ) 是不可压缩的平 环坛没有欧拉示性数小于d ( m i ) 一2 的真嵌入的子本质曲面m = 尬u 拈a ，： 。 则m 有一个最小亏格的h e e g a a r d 分解( ，) 并且m 有一个真嵌入的子午本质平环a ， 使得a n k 由两个扩展平环组成，a n 是一个本质的平环 证明：取m 的一个最小亏格的h e e g a a r d 分解( i s , w ) 下面分两种情况证明。 ( i ) ( vw ) 是强不可约的由定理2 5 ，我们可设a ns 在a 和s 中都是本质的闭曲 线，其中s = 4 v = 4 w 则我们记anv = a ；ua ；ua 1u u 厶和a nw = b lu u 鼠+ 1 ，其中心 = 1 ，2 ) 是y 中的生成平环，a j = 1 ，n ) 是y 中的一个本 质平环，触fc4 v 且b d = 1 ，n + 1 ) 是中的一个本质平环 如果佗= 0 ，结论显然成立因此，我们设n 1 由定理3 1 ，在y 中有一个本质 圆片d ，使得d ln ( 五- nv ) = o 尽可能多地取这样两两不平行的本质圆片，且设d = d d i = 1 ，七】是这样本质圆片的最大集，即，这些圆片是相互不相交的且d n a = d 且任意其它的一个圆片d 7 ，若d 7n ( anv ) = 0 且d 7n 刃= o ，则存在d d ，使得d 和d 是平行的从y 中去掉( 矽) ，如果d ( v 一) ) 中有3 一球分支，去掉之，记 = d ( v 一( ( d ) u ( 3 一球) ) ) 则由口的最大性，a 一a 的每一个分支在中不可压 缩 9 张大林：具有( 夕，2 ) 一分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 假设a 一a 有一个分支f 在m 中是可压缩的则，由于f 在k 中不可压缩，我们 可以假设f 在c l ( m 一) 中是可压缩的则，由 1 ，引理1 1 】，f 在w 中有一个压缩圆片 d ，因为( ( ( d u ( 乱v ) 0 ( 3 一球) ) ，w ) 是c l ( m y o ) 的一个h e e g a a r d 分解则d 是 w 中的一个本质圆片且d n 口= 0 这说明( k ) 是弱可约的h e e g a a r d 分解，矛盾故 a 一a 的每一个分支在m 中是不可压缩的 设f 是a 一a 的任意一个分支，不妨设fc 矗若f 是边界平行的，则f 是一个平 环否则，f 是尬中的子午本质曲面由假设知，x ( f ) d ( m 1 ) 一2 一2 ，其中x ( x ) 是 x 的欧拉示性数( 以下同) 如果x ( f ) = - 2 ，则d ( m 1 ) = 0 ，由定义3 1 ，尬有一个最小亏 格的h e e g a a r d 分解( ，) ，使得d ( s ) = 0 ( 岛= 舛= 珥) ，( ，) 是可约的，由定 理2 8 ，( k ，) 是稳定化的，这与( ，) 是尬的最小亏格的h e e g a a r d 分解相矛盾又因 为acm 是分离的，故i o f l 是偶数，其中i x i 是x 的分支数( 以下同) ，进而x ( f ) 是偶数， 故有x ( f ) 0 ，又因为x ( f ) 0 ，所以x ( f ) = 0 故f 是一个平环因此，a 一a 的每一 个分支都是平环，且a k 的每一个分支都是平环，故我们可设v o = ( o m i ) u ( 实心环体) ， 且( a n y ) 一( a ：u 钙) 的每一个分支在边界平行的 设o m i 中包含( any ) 一( 冉u 钙) 的一个分支a ，且我们假设a 在o m i 中 是最内的则在御彳i 中有一个平环c ，使得a c 的一个分支是a 的一条中心闭曲线c ， 另一个分支在o m 中且c na = c na t = c ，如图3 1 所示因为c 是a 的一条中心闭 曲线，所以c 也是a 的一条中心闭曲线记a c = a 1ua 2 ，其中a ( i = 1 ，2 ) 是平环 取a = a i u a i ( i = 1 ，2 ) 由于a 是本质的，a 1 ，a 2 至少有一个是本质的，不放设为a 1 ，令 a = a 1 重复这过程，我们可以设an ( o m i ) = a ；u 钙 设y 是的一个实心环体分支则y 中必包含a ny 的一个分支a ，a 绕的 经线( 1 0 n g i t u d e ) p 周( p 1 ) 若p 1 ，则，由于a n 的每一个分支都在y 中是边界平 行的平环，我们可以找到一个实心环体v 肼cv ，使得a nv = a n o v = a o a l 的每 一个分支都是a 的一条绕y 卅的经线p 周的中心曲线不妨设v 胛c 尬这说明尬有一 个c f ( ( 透镜空间) 一( 实心环体) ) 因子，矛盾因此，y 中的a n y 的每一个分支都绕y 的 经线一周 回忆anv = a ：ua ；ua iu ua 和anw = b iu u 鼠+ 1 设似；no b l = a + ，o b lno a l = a 则由于( o m i ) na = 郐u 生且因为y 是由o m ，一些实心环 体和一些3 一球连结一些1 一柄体而得到，我们可以找到一条简单闭曲线o lca + v ，使得 q na + 是一个点，o lna = o 这说明aua + 不分离s ，b 1 不分离 设n ( b 1 ) 是j e i l 在中的正则邻域记v 7 = vun ( b 1 ) ，w = d ( w 一( b 1 ) ) ，由于 b 1 是连结蛳和a 1 的平环且a 1 绕中包含a l 的实心环体分支的经线一周，y 7 是一个 压缩体，且g ( v 7 ) = 9 ( y ) ，如图3 2 所示，其中g ( x ) 是x 的亏格( 以下同) ；又由于b 1 是 1 0 大连理工大学硬士学位论文 a 图3 1 图3 2 l l 铃黔 张大林：具有( 9 ，2 ) - 分解的纽结和3 一流形中的本质平环的一些性质 不可压缩的，w 7 是一个柄体故( y ，w ) 是m 的不同于( y 7 ，w 7 ) 的最小亏格的h e e g a a r d 分解因为禽u b l u a l 是中的一个平环，所以我们有i a n v 7 i i a n y i 如果( y 7 ，w 7 ) 是弱可约的，则我们将在( i i ) 中讨论如果( y 7 ，彬7 ) 是强不可约的，则 我们可以继续减小i any 仉最后我们得到m 的一个最小亏个的h e e g a a r d 分解( u ) ， 使得a n 是两个扩展平环( i ) 证毕 ( i i ) ( kw ) 是弱可约的有弱可约的定义，我们可以找到y 的本质圆片d 和的本 质圆片d 7 ，使得o dno d 7 = 0 取这样本质圆片的最大集d ycv 和d wcw ，使 得0 7 ) vn 肋w = 0 从y 中去掉n ( ：d v ) 和w 中去掉n ( d w ) 如果a ( v n ( d v ) ) 和 a ( w 一( d w ) ) 中有3 一球分支，去掉之记v 1 = a ( v 一( n ( t ) v ) u ( 3 一球) ) ) ，w 2 = a ( w 一 ( n ( d w ) u ( 3 - 球) ) ) ，w 1 = n ( o v l ) un ( d w ) u ( 3 - 球) ，v 2 = n ( o w 2 ) un ( o v ) u ( 3 - 球) 则，w ( t = 1 ，2 ) 都是压缩体且( ，) g = 1 ，2 ) 都是h e e g a a r d 分解则乱w 1 = o _ v 2 ， 由【1 ，定理3 1 】和d v 及d w 的最大性，乱w 1 = 乱y 2 在m 中是不可压缩的则( v ) 是这两个h e e g a a r d 分解( y 1 ，w 1 ) 和( y 2 ，2 ) 的融合( a m a l g a m a t i o n ) 如果( y 1 ，1 ) 和( y 2 ，w 2 ) 中有一个是弱可约的，则继续这一过程。然后，我们得到如 下的一个h e e g a a r d 分解序列； m = ( v 1 u s ，w 1 ) u f l u 一。( y m u ”) ( ，) 的每一个分支都是强不可约的h e e g a a r d 分解。 ( ，) 中仅有一个分支不是积( p r o d u c t ) 分支 只= 0 一w n 0 一v 件1 是m 中的不可压缩曲面 只的每一个分支都有正的亏格 a m = 乱v 1 ( 参阅文献【2 ，3 ) 设( y 1 ，w 1 ) 中包含o m 的分支是( y 2 ，哪) 是一个积分支则从( y 1 ，w 1 ) 中去掉 wu 附并将wuw j 与o _ v 2 相应分支相粘合在考查( y 2 ，2 ) 中包含o m 的分支， 如果它是一个积分支，则去掉之并将该分支与a y 3 的相应分支相粘合重复这一过程直到 ( y ，w ) ( i = 1 ，2 ) 中包含o m 的分支不是积分支时为止，我们可以将上面的条”o m = o _ v 1 改成： a m 在o _ v 的某一分支中，且( ，w ) 中包含o m 的分支不是一个积分支 现在考查an 只则，因为a 和只在m 中是不可压缩的和m 是不可约的，我们可以 设an 只的每一个分支在a 和只在m 中都是本质的闭曲线假设p 是a n 只的任意一 个分支，则p 是某一个坛中真嵌入的不可压缩曲面按照( i ) 中的方法知，p 是一个平环 因此a 只和u 銮1 尻中的环面分支相交 设丁是u 旨1 只的一个环面分支，且an t = d 则由于a 在m 中是分离的，故i ant i 是偶数，进一步设l ant i 是最小的记t a = r 1u u 吼如果所有的忍( i = 1 ，k ) 1 2 大连理工大学硕士学位论文 都在m 1 或m s 中是边界平行的，则k = 2 且t 在m 中是边界平行的则r 将m 分成 t i 和另一个同胚于m 的3 一流形则，由于( y 1 ，彬1 ) ，( y m ，彬m ) 中包含o m 的分 支不是积分支，t i 中一定包含一些( kw ) 中的1 一环柄( h a n d l e s ) 和2 一环柄这说明 m 有一个比( v ) 的亏格小的h e e g a a r d 分解，矛盾因此，冗1 ，吼中必有一个忍是 本质的记a r = a 1ua 2l ja a ，a r = c o a 2 取a = a 1u 忍l j a 3 ，合痕a ，得到真嵌 入的本质平环布，使得i a nu 括e r 。- - 1 1 只l l anu 沓1 只i 重复这一过程，我们得到真嵌入 的本质平环劢，使得劢n ( u 圣i 1 只) = d 设d ( m 一( 劢) ) = 赋u 砬 我们称m 中的环面丁为平行( s w a l l o wf o l l o w ) 环面，如果m 中存在一个真嵌入的本 质平环a ，c l ( m 一( a ) ) = mu 膨( 其中n ( a ) cm 是a 的i f n 邻域) ，使得z 在叫或 m ；中是边界平行的 假设( 肌，) 是( y ，4 ) 中包含4 胛的分支，乱mc0 一啊由于( w 1 ，) 是强 不可约的h e e g a a r d 分解，我们可设a 刖n m = a ；u 生u a l u u a n 和a 删n 1 = j e 7 1 u u 玩+ 1 将( i ) 中的讨论应用到( m ，) 设哪是从m 中去掉与a ，n m 不相交的本质 圆片的正则邻域，并且如果必要，再去掉一些3 一球而得到的3 一流形则我们有胛= (