（基础数学专业论文）关于迭代系统中混沌现象的一些研究.pdf

华南师范大学博士学位论文 本文对迭代系统中混沌现象进行了研究 3 第二章研究了拓扑遍历映射指出对于由不可约方阵所决定的符 号空间有限型子转移而言或紧致交换群的仿射变换及树上连续自映 射而言，拓扑遍历与拓扑可迁这两个概念是一致的同时本文通过例子 指出，拓扑遍历是不同十拓扑可迁与拓扑混合的概念 第三章研究了符号空匈有限型子转移的混沌指出：对于由本原方 阵所决定的符号空间有限型子转移而言，存在满h a u s d o r f f 维数的有限 型混沌集同时，我们也指出：对于有正拓扑熵的符号空间有限型子转 移而言，存在正h a u s d o r f f 维数的混沌集此外，我们还讨论了符号空间 有限型子转移各类混沌之间的关联 第四章研究了区间映射混沌集的h a u s d o r f f 维数得到了，区间映 射存在正h a u s d o r f f 维数混沌集的一些充分条件特别指出，对具有正 熵的l i p s c h i t z 区间映射而言，存在正h a u s d o r f f 维数的混沌集 第五章研究了由s w e e po u t 所引起的混沌得到了混沌集为满测集 的一个充要条件此外，我们还研究了序列弱混合及其引起的混沌 关键词：拓扑遍历i 有限型子转移j 混沌ih a u s d o 彤维数i 区间映射 s w e e po u t ；序列弱混合 华南师范大学博士学位论文 c h a o so fi t e r a t i o ns y s t e m a b s t r a c t 4 t h i st h e s i sd e a l sw i t hc h a o so fi t e r a t i o ns y s t e m i nc h a p t e r2 ，w er e s e a r c ht o p o l o g i c a l l ye r g o d i cm a p s i nt e r m so fs u b s l ：i f t s ff i n i t eb p ed e t e r m h i e d ) 、a ni r r c d u c i b l em a t r i x ：a 最n pm a p sf l f c o m p a c t e dc o n n e c t e dm e t r i ca b e l i a ng r o u pa n dc o n t i n u o u sm a p so ft r e e ， t h et w oc o n c e p t so ft o p o l o g i c a l l ye r g o d i cm a pa n dt o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e m a pa r ei d e n t i c a l f u r t h e r m o r e ，e x a m p l e ss h o wt h a tt h et o p o l o g i c a l l ye r g o d i cm a p d i f f e r sf r o mt h et o p o l o g i c a l l ym i x i n gm a pa n dt h et o p o l o g i c a l l y t r a n s i t i v em a p i nc h a p t e r3 ，w es t u d yc h a o sf o rs u b s h i f t so ff i n i t et y p e w es h o wt h a t f o ra n ys u b s h i f to ff i n i t et y p ed e t e r m i n e db ya l li r r e d u c i b l ea n da p e r o d i c m a t r i x t h e r ei saf i n i t e l yc h a o t i cs e tw i t hf u uh a u s d o r f fd i m e n s i o n f u r - t h e r m o r e ，w em a k eas u r v e yo fr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ev a r i o u ss o r t so f c h a o sf o rs u b s h i f f so ff i n i t et y p e i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fc h a o t i cs e t sf o r i n t e r v a ls e l g m a p s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tt h e r ei s ac h a o t i cs e tf o r i n t e r v a ls e l f - m a pw i t hp o s i t i v eh a n s d o r f fd i m e n s i o nw e r eo b t a i n e d f u r - t h e r m o r e ，w ep o i n to u tt h a tf o ra n yi n t e r v a ll i p s c h i t zm a p w i t hp o s i t i v e t o p o l o g i c a le n t r o p yt h e r ei sa c h a o t i cs e tw i t hp o s i t i v eh a u s d o r f fd i m e n s i o n i nc h a p t e r5 ：w es t u d yt h ec h a o sc a u s e db ys w e e p so u t an e c e s s a r y a n ds u 甩c i e n tc o n d i t i o nt h a tt h e r ei sac h a o t i cs e tw i t hf u l l m e a s u r ew a s o b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，w es t u d yw e a k - m i x i n go ns e q u e n c ea n dt h ec h a o s c a u s e db yi t k e y w o r d st o p o l o g i c a l l ye r g o d i cm a p s ；s u b s h i f t so lf i n i t et y p e ；c h a o s ； h a u s d o 面d i m e n s i o n ；i n t e r v a l8 e l l - m a p s ；s w e e po u t ；w e a k m i x i n g o ns e 。 q u e n c e 华南师范大学博士学位论文 前言 5 动力系统的历史一般追溯到1 9 世纪末创立的微分方程定性论，或 称微分方程的几何理论其精神是不通过微分方程的显式解而直接研 究解的几何和拓扑性质，2 0 世纪早期关于拓扑动力系统的公理化式的 工f 1 = 为这一学科建立了大范围的理论框架动力系统就最广泛的意义 而言是研究系统演化规律的数学学科这里，演化的直接含义是就时间 而言时间可以是连续的，如经典的微分方程定性论；可以是离散的，比 如迭代论， 动力系统大致有微分动力系统、拓扑动力系统、遍历论、复动力系 统等方向它们相互交叉、渗透动力系统与物理学、生物学、工程技 术等学科密切相关，正越来越引起人们的注意拓扑动力系统则是研究 定义在一般拓扑空间上映射迭代的动力性质，它是在纯粹的意义下研 究动力系统最基本的概念，最广泛的共性遍历论理论则是研究保测变 换迭代的动力性质，同时，遍历论又是研究拓扑动力系统最重要的工具 之一 过去，数学已广泛涉及到用经典微积分进行研究的集类和函数类， 而那些不够光滑和不够规则的集和函数都被认为是“病态”的，不值得 研究而不被理睬但是自从1 9 7 5 年，由m a n d e l b r o t 提出。分形”概念以 来，人们已注意到，对“不光滑集、不规则集”可以而且必须详细的数学 描述不规则集比经典的几何图形能更好地反映许多自然现象现在， 人们发现动力系统的复杂不变集常常是分形，比如奇异吸引子分形为 动力系统复杂研究对象提供了鲜明的几何直观，分形维数和分形测度 已成为度量复杂集“大小”的有力工具 近年来，深受人们关注的是“混沌”与“复杂性”的科学观念“混 沌”思想最早起源于p o i n c a r 6 在1 8 9 0 年讨论三体问题的双重渐近解， 他意识到不可预测的偶然性起源于初始条件的微小差别6 0 年代初在 结构稳定性研究中发现了s m a l e 马蹄，s m 出e 马蹄的重要发现，催生了 现代的“混沌”概念此外，拓扑混合、拓扑可迁、拓扑熵等也是刻划系 统复杂性的重要概念1 9 7 5 年由李天岩和y o r k e 【1 给出了。棍沌”的 数学定义李天岩和y o r k e 的工作引发了众多学者对“混沌”现象的研 华南师范大学博士学位论文 6 究d e v o a e y 引，熊金城【3 】，s c h w e i z e r 与s m i t a l 4 等从各自不同的角度给 出了不同的“混沌”定义“对混沌概念是否有统一的数学定义并不重 要已有的许多不同的数学描述恰恰表现了这一概念不寻常的魅力一 5 】 今天，“混沌4 与“复杂性”的研究已成为动力系统重要的研究课题之一 近二十年来，众多学者讨论了各种混沌之间的关联及各种混沌与 其它动力性质( 诸如正拓扑熵、拓扑混合等) 的关聪 对区间映射而言，根据文 6 、【7 的结果，我们可以得到拓扑熵与混 沌的一个关联如果区同连续映射有正拓扑熵，则它一定是l i - y o r ! m 混 沌的但对于定义在般的紧致度量空间连续映射而言，该结论是否成 立? 这是一个长时间未解决的问题最近，f b l a n c h a r d 【8 j 等解决了这 一问题指出：对于定义在紧致度量空间上的连续映射而言，正拓扑熵 蕴涵l i y o r k e 混沌然而，该结论的逆命题却不一定成立1 9 8 6 年，熊 金城 9 t ，s m 盘a l 【1 0 】分别构造了具有零拓扑熵而又是l i - y o r k e 混沌的连 续映射周作领讨论了符号空间有限型子转移拓扑熵与混沌的关 联指出：对于符号空间有限型子转移而言，拓扑熵大于零等价于l i - y o r k e 混沌1 9 8 8 年熊金城在文 1 2 中指出：对于区间连续映射，而 言，有正拓扑熵当且仅当存在着一个闭的不变子集d 及正整数n ，使 得( 1 ) f 掣l d 是拓扑混合的：( 2 ) f 2 “l d 的周期点集在d 中稠密：( 3 ) 2 “i d 周期点集的周期之集是无限的1 9 9 3 年李世海 1 3 l 又指出：对于区闻连 续映射，而言，有正拓扑熵当且仅当存在个闭的不变子集d ，使得 ，】d 是d e v a n e y 混沌的1 9 9 4 年s c h w e i z e r 与s m l t a l 4 引进了分布混沌 的概念指出：对区间连续映射而言，正拓扑熵等价于分布混沌，但对于 定义在一般的紧致度量空间连续映射而言，廖公夫、范钦杰【1 q 指出该 结论不一定成立 s i l v e r 蚴 1 5 】v e u e k o o p 埔】分别在线段上讨论了拓扑可迁与d e v o a e y 混沌的关联，指出：对区间连续映射而畜，拓扑可迁等价d e v a n e y 混沌 据文 17 】知，拓扑可迁的区间连续映射有正拓扑熵又据文 7 的结果 知，正拓扑熵蕴涵马蹄因而对区间连续映射而言，d e v a n e y 混沌蕴涵 l i y o r k e 混沌但对于定义在一般的紧致度量空间连续映射而言，该结 论是否成立? 这也是一个长时间未解决的问题最近黄文、叶向东【1 8 】 解决了这一问题，指出：对于定义在般紧致度量空间上连续映射而言， d e v a n e y 混沌蕴涵l i y o r k e 混沌熊金城【5 6 1 3 】对拓扑混合映射引起的 混沌现象进行了深入地研究1 9 9 2 年，熊金城于文f 3 给出了相对于序 华南师范大学博士学位论文7 列而言的一类混沌定义有些文s k i t , 之为熊意义的混沌，在本文中我们 暂且简称为混沌熊金城在文 3 】中指出：对于定义在紧致度量空间上 的连续映射，而言，是拓扑混合的当且仅当对于任意递增的正整数序 列 m t ，存在相对于( m 疗而言c 一稠密的混沌集；，是拓扑弱混合的当 且仅当存在一个相对于某一序列而言c 稠密的混沌集 最近，a k i n 坞l ，f b , l a n c h a r d 2 0 1 ，黄文与叶向东 2 1 , 2 2 , 2 3 】等对可迁属 性的分类进行了研究a k i n 1 9 i 引进了拓扑遍历的概念杨润生【2 4 1 2 5 】 对拓扑遍历映射进行了研究，指出：对于定义在紧致度量空间上的连续 映射，而吾，f 是行扑遢坊当且仅当对于任意上密度为l 递增的正 整数序列 他) ，存在相对于 r o d 而言c 一稠密的混沌集 “混沌集的尺度有多大”是个值得关注的问题1 9 8 3 年s m t t a l 2 6 j 指出：对于 0 ，1 区间上帐篷映射a ( 。) = l 一2 1 = - 1 2 l 而言，存在l e b e s g u e 外测度为1 的l i y o r k e 混沌集：任一l e b e s g u e 可测的l i y o r k e 混沌集， 其l e b e s g u e 测度为零s m i t a l 2 7 】又指出：存在一个有正l e b e s g u e 测度 的l i y o r k e 混沌集1 9 9 4 年廖公夫【2 8 】指出：对于保测变换而言，任意 b o r e l 混沌集的测度为零1 9 9 7 年麦结华1 2 9 t 指出，存在以整个空间为 l i y o r k e 混沌集的连续映射1 9 9 6 年熊金城、陈二才删研究了强混合 变换所引起的混沌，指出：对于一类满足某些通有条件的强混合变换而 言，对任意递增的正整数序列 m i ) 都存在相对于 挑) 而言满测度的有 限型混沌集，使得文2 6 1 的主要结果仅是该结论的一个特例2 0 0 0 年陈 二才川研究了弱混合变换所引起的混沌，指出：对于满足某些通有条 件的弱混合的变换而言，对任意上密度为正的递增的正整数序列 m t ) ， 都存在相对于f m i 而言满测度的有限型混沌集 1 9 9 5 年熊金城1 3 2 研究了符号空间转移自映射混沌集的“大小。， 指出：对于符号空间转移自映射而言，存在一个h a u s d o r f f 维数处处为l 的混沌集；任一1 一维h a u s d o r i f 测度可测的l i y o r k e 混沌集，其1 一维 h a u s d o r f f 测度为零：任一混沌集的1 一维h a u s d o r f f 溅度为零1 9 9 8 年贾 保国和耿祥义 3 3 】研究了符号空间有限型子转移混沌集的尺度问题，指 出：对于由本原方阵a 所决定的符号空间有限型子转移( e a ，o r a ) 而言， 存在一个l i y o r k e 混沌集列 d 。，使得d i m h d 。_ d i m h z a ( n 一。) ， 其中d i m h 表示h a u s d o r ! f 维数随后，宋万干 3 4 j 又指出：对于每行每 列恰有k 个l 的本原方阵所决定的符号空间有限型子转移( e a ，o - a ) 而 华南师范大学博士学位论文8 言，存在满h a u s d o r f f 维数的有限型混沌集 此外陈晓龙 3 5 】指出：对于区间上有正拓扑熵的l i p s c h i t z 映射而 言，其周期点闭包的h a u s d o r f f 维数大于零 本文内容按排如下： 在第一章，我们介绍了有关预备知识在第1 1 节我们介绍了相关 的拓扑动力系统知识，如拓扑可迁、拓扑遍历、拓扑熵等在第1 2 节， 我们介缨了符号空间有限型子转移的育关知识丧第! 3 节我们介绍 了相关的混沌定义在第1 4 节我们介绍了分形几何的有关知识，如 h a u s d o r f f 维效与h a u s d o r f f 测度等 、 在第二章，我们研究了拓扑遍历映射指出对于由不可约方阵所决 定的符号空间有限型子转移而言，或紧致交换群的仿射变换及树上连 续自映射而言，拓扑遍历与拓扑可迁这两个概念是一致的同时本文通 过例子指出拓扑遍历是不同于拓扑可迁与拓扑混合的概念 在第三章，我们研究了符号空间有限型子转移的混沌用h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度度量了符号空间有限型子转移混沌集的大小，指 出：对于由本原方阵所决定的符号空间有限垂【子转移而言，存在满h a u s d o r f f 维数的有限型混沌集同时，我们也指出：对于有正拓扑熵的符号 空间有限型子转移而言，存在正h a u s d o r f f 维数的混沌集此外，我们还 讨论了符号空间有限型子转移各类混沌之间的关联指出：有限型子转 移有正拓扑熵；有限垄子转移是分布混沌的；有限型子转移存在一个闭 的不变子系统是d e v a n e y 混沌的：有限型子转移是混沌的；有限型子转 移是有限鍪l 混沌的，这些叙述都是等价的 在第四章，我们研究了区间映射混沌集的h a u s d o r f f 维数，得到了区 间映射存在正h a u s d o r f f 维致混沌集的一些充分条件特别指出：对具 有正熵的l i p s c h i t z 区间映射而言，存在正h a u s d o r f f 维数的混沌集 在第五章，我们研究了由s w e e po u t 所引起盼混沌，得到了混沌集 为满测集的一个充要条件，指出：对于一类满足某些通有条件的保测变 换，而言，是关于所有s 的子序列s w e e po u t 的当且仅当对任意s 的 子序列j 都存在一个相对序列j 而言的满测度的有限型混沌集此飧 我们还研究了序列弱混合及其引起的混沌指出：序列弱混合的变换是 弱混合的：对于满足某些通有条件的保测变换，而亩若，关干序列j 弱混合的，则对每一个相对于t ，的上密度为正的子序列，cd ，都存在 华南师范大学博士学位论文9 一个相对序列j 而言的满测度的有限型混沌集这些有关结论，说明 了有限型混沌反映了测度系统的某种复杂性 华南师范大学博士学位论文1 0 第1 章预备知识 1 1 拓扑动力系统 设( x ，d ) 是个紧致的度量空间，：x x 是一个连续映射则 称( x ，) 是个紧致系统 设x 是一令拓扑空间，。x 一- y 是一个连续映射如果对x 中 任意两个非空开集e y ，都有 u 。p 世坚婴坐兰掣迎! ! ：! 二! ! ! o r + 。 o 则称，是拓扑遍历的【，其中4 为集合的基数 如果对x 中任意两个非空开集以v ，都存在正整数n 使 ，“( 矿) n v o 则称，是拓扑可迁的 如果对x 中任意两个非空开集矾矿，都存在正整数使 广( u ) f 1 v 饥v n n 则称，是拓扑混合的 如果，是拓扑可迁的，则称，是拓扑弱混合的 如果对任意z x ，都有面：i 瓦了= x ，则称，是极小的，其中 o r b ( x ，) = ，( z ) n o ) 设x 是个紧致度量空间，：x x 为连续映射”( 茁，) 表示以 z 为心，为半径的开球 ( 1 ) 称z 为，的回归点，如果任意 0 ，存在n 0 使得尸( ) ”) ，的全体回归点集记为r ( ，) ( 2 ) 称。为，的几乎周期点，如果任意s 0 ，存在正整数趣使得 对任意 0 ，i ( z ) ，件1 ( z ) ，+ 肌。中至少有一个属于 ( 。，s ) ，的 全体几乎周期点集记为a ( ，) ( 3 ) 设o x ，如果存在递增的正整数序列f 使 m ，“( 茁) = y 华南师范大学博士学位论文 1 1 则称g 为。的u 极限点并称。的全体u 极限点的集合为。的。极限 集，记为u ( z ，) ( 4 ) 称。为，的拟弱几乎周期点【4 5 】，如果对任意s 0 ，存在正整 数札和递增正整数列 啦 ，使得 4 “ l ，( 。) v ( x ，e ) n ( o ，1 ，唧札一1 ) n j ，巧 0 ，的全体拟弱几乎周期点集记为q w ( f ) 注显然有：_ ( ，) cq w ( f ) c 斤( ，) 假设f ：x x 是一个定义在拓扑空间x 上的连续映射，f 是 x 的一个非空子集如果f ( f ) cf ，则称f 是，的一个不变子集若 f ( f ) = f ，则称f 是，的一个强不变子集， 1 9 5 8 年k o l m o g o r o v 3 9j 引入了测度熵的概念，熵是重要的同构不变 量，它反映了系统的混乱程度随后a d l e r 4 0 等于1 9 6 5 年在拓扑动力系 统中引入了拓扑熵的概念b o w e n 给出了分离集和生成集的概念，利用 它们给出了拓扑熵的等价定义 设x 是一个紧致空间，：x x 是一个连续映射设n ，卢是x 的一个开覆盖 令 ( 。) = m i n l 7 ：1 是。子的覆盖 其中4 表示集合的基数 令dv 卢= a n b ：a 。，骞p ) ，f - 1 ( a ) = ，一1 ( a ) ：a a ) 令e n t ( f ) = s u p 。l i m 。一。i 1l o g n ( v ：= 0 1 f “( q ) ) ，其中0 ：取遍x 的所 有开覆盖我们称e n t ( ，) 为，拓扑熵 有关拓扑动力系统的具体相关知识可参见文f 4 1 ，5 3 ，5 4 1 2 符号空间有限型子转移 设n 2 ，令e = ( 0 ，1 ，v 一1 ) ，赋予离散拓扑对每一个i 1 令e i ：e 令e = 最蜀，则。是一个紧致的可度量化的拓扑空间 t = 1 华南师范大学博士学位论文1 2 称之为由个元生成的单边符号空间上的转移自映射a 为 f f ( x l x 2 ) = ( x 2 x 3 ) v z = z l z 2 e n 在e ：v 上定义一个与其拓扑相容的度量d 如下：v = x l x 2 ，y = y l y 2 - e n ， d 印，y ) = 0 ，z = ；d 扛，y ) = ( 寺) 2 ，k = r n i n i l x i 玑) 一1 设a = z 1 x 2 z n ，e ( 1 i n ) ，称a 为长度为n 的符号段 又设b = 矾驰。是另一符号段，如果存在t 0 使们= o 州，j = 1 ，2 ，m ，则称b 在a 中出现，记为b _ 0 ，使o 0 则称 a = ( a i d ) 是不可约的，其中n 掣为a “的第( t ，j ) 个元 若存在正整数n 0 ，对任一对1 墨i ，j n ，使得8 0 ，则称 a = ( 。q ) 是本原的，其中n 删为a n 的第( t ，j ) 个元 设a 是一个不可约的矩阵，a 是最大的正特征值对应a 存在全正 的行特征向量u = ( u 1 ，u 2 ，u ) 及列特征向量v = ( l ，v 2 ，v n ) r ， 使u y = 1 令肌= 啦仉0 = 1 ，2 ，) ，则p = ( p l ，p 2 ，”) 是一个概 率向量令p i j = “f q 蚍( t ，j = l ，2 ，) ，则p = ( ) 是一个不可约 的随机矩阵，上( p ，p ) 乘积测度在 上限制称为p a r r y 测度1 4 “ 1 3 混沌 1 9 7 5 年李天岩和y o r k e 1 j 给出了“混沌”的数学定义以下的 华南师范大学博士学位论文1 3 l i y o r k e 混沌定义是经过后人修订的 定义1 3 1 【1 l 设( x ，d ) 是一个紧致的度量空间，：x x 是一个 连续映射ccx 是x 的一个非空子集如果v 。，y c z y ，都有 “。m 。s 。u p 8 ( ，”( z ) ，”( ) ) o ，1 骠磐4 ( ，”( 。) ，”( g ) ) = o 则称c 是，的一个l i y o r k e 混沌集如果存在，的一个不可数的i 如吡e 混沌桑，则称，是l z 一- g b r k e 混沌的 1 9 9 4 年，b s c h w e i e e r 与j s m l t a l 【4 l 在研究区间映射有正熵的等价 条件时引入了分布混沌的概念随后，文【5 1 将分布混沌的概念序列 化，引入了序列分布混沌的概念 定义1 3 2 1 5 1 】设( x ，d ) 是一个紧致度量空间，：x x 是一个连 续映射又设 7 2 j 是递增的正整数序列，设gcx 是x 的一个非空 镍2 s 囊，使y e c 酬, x # y ：, 椭l i m 骧f 趣型掣堕坐塑k 0 ( 1 ) 存在e ，使b 口( s ) = 皇丝型翌焉二竺l 二竺= ( 2 ) 对任意t 0 ，使( t ) ：l i ms u p 圣羔苎生堕丛荽尘塑! 业：1 则称c 是按序列 n ， 分布的混沌集如果存在不可数的按序列 n ， 分布的混沌子集，则称，是按序列 q ) 分布混沌的如果c 是按 自然数列分布的混沌集，则称c 为分布混沌集m 如果，是按自然数 列分布混沌的，则称，为分布混沌的 注：( 1 ) 若c 是，的按某子序列分布的混沌集，则c 是，的l i - y o r k e 的混沌集 ( 2 ) 若，是l i - y o r k e 的则，不一定是分布混沌的 熊金城【5 6 3 】对拓扑混合映射引起的混沌现象进行了深入地研究 1 9 9 2 年，熊金城于文【3 】给出了如下混沌的定义 定义1 3 3 【3 】设x 是一个拓扑空间，：x + x 是一个连续映射 f m ) 是一个递增的正整数序列，c 是x 的非空子集如果对于c 的任 意子集( 有限子集) 占和任一映射f ：b + x 都存在递增的正整数 序列 吼 c n 。) 使得 魄，“( z ) 。f ( 。) 忱8 华南师范大学博士学位论文1 4 则称c 是相对于序列 m 而言的( 有限型) 混沌集 若存在一个，的不可数的相对于 吼 而言的( 有限型) 混沌集， 则称，是相对于序列 m ) 而言( 有限型) 混沌的 如果c 是，的相对于自然数列而言的( 有限型) 混沌集，则称e 为，的( 有限型) 混沌桌如果存在一个，的不可数的相对于自然数 列而言的( 有限型) 混沌集，则称，是( 有限型) 混沌的 注：( 1 ) 若e 是，的相对于序列 啦) 而言的有限型混沌集，则g 是 ，的按 m 某子序列分布的混沌集【5 2 1 ( 2 ) 若c 是，的相对于序列h 而言的混沌集，则c 是，的相对 于序列慨) 而言的有限型混沌集 ( 3 ) 若c 是，的相对于某序列而言的有限型混沌集，则c 是，的 l i - y o r k e 混沌集 1 9 8 6 年，d e v a n e y 用传统的拓扑动力系统术语描述了如下混沌的定 义 定义1 3 4 n 4 受x 是一个拓扑空间，：x + x 是一个连续映射 若，满足： f 1 ) ，是拓扑可迁的 ( 2 1 2 周期点集是稠密的 ( 3 ) ( x ，) 敏感的依赖于初始条件( 即存在一个 0 使得对任 意x 以及对茁的任一邻城u ，存在y u 和一个正整数n 使得 d ( i ”( z ) ，p ( ) ) e ) ，则称，是d e v a n e y 混沌的 注：( 1 ) 若条件( 1 ) 和( 2 ) 成立，则条件( 3 ) 成立 1 5 , 5 0 1 ( 2 ) 如果( x ，) 是d e v a n e y 混沌的，则( x ，) 是l i - y o r k e 混沌的 ( 见 1 s d 1 4t t a u s d o r f f 维数与h a t m d o r f f 测度 设( x ，d ) 为完备度量空间若u 为x 的非空子集，定义u 的直径 华南师范大学博士学位论文 1 5 为 1 u | = s u p d ( x ，y ) ：x ，yec ， 设ecx ，q 是e 的一个可数覆盖，6 0 若对任意u n ，有 0 0 定义 度 u , s f p ) = j 虻 j r i hn = f ，i ) 为e 的可数 一覆盖 a ? 一 显然皤( e ) 随着6 的减小而增大，且当6 i0 时，它趋予一极限 令h 3 ( e ) = h m n o 蟛( e ) 则称俨陋) 为e 的s 一维h a u s d o r f f 测 因此e 的h a u s d o r f f 维数d i m t t ( e ) 定义为 d i m h ( e ) = i n f s ：h 5 ( e ) = 0 ) = s u p 8 ：h 8 ( e ) = 。) 从而 口s ( e ) ： o 。3 d i m h ( e ) 设( x d ) 为度量空间，v 为( x ，d ) 的一个外测度如果对x 的任意 子集e f ，有p ( e u f ) = ( e ) + v ( f ) ，其中集合e ，f 满足d ( e ，f ) = i n f d ( x y ) ：z e ，y f 0 ，则称为x 上的一个度量外测度 日5 为( x d ) 上的度量外测度，每一个b o r e l 集都是日s 一可测的 h a u s d o r f f 测度有如下陛质： ( 1 ) 对任意ecx ，存在一个g 6 集g 使得g3e 且h s ( e ) = h 5 ( g ) ： ( 2 ) 如果e c x 是一个日3 一可测集且( e ) 有限，则存在一个乃 集，使得f c e 且日3 陋) = 驴f f ) 有关h a u s d o r f f 维数与h a u s d o r f f 测度的其它相关知识可参见文 f 4 2 4 3 】 华南师范大学博士学位论文 第2 章拓扑遍历映射的一些性质 1 6 拓扑混合、拓扑可迁等是拓扑动力系统传统关注的对象文1 9 1 引 进了拓扑遍历的概念，文【2 4 ，2 5 】对拓扑遍历映射作了一些探讨我们迄 今仅仅知道：拓扑混合映射是拓扑遍历的：拓扑遍历映射是拓扑可迁的 弄清拓扑遍历与拓扑混合、拓扑可迁之间的蕴涵关系当属必要本文指 出：对干由不可约方阵所决定的符号空间有限型子转移紧致交换群的 仿射变换及树上连续自映射而言，拓扑遍历与拓扑可迁这两个概念是 一致的( 参见本文定理2 1 1 ，定理2 2 1 及定理2 4 4 ) 同时本文又指出： 存在拓扑遍历非拓扑混合的映射( 参见本文推论2 1 1 ) ，存在拓扑可迁 非拓扑遍历的映射( 参见本文2 3 节) 因此，拓扑遍历是介于拓扑可迁 与拓扑混合之间的新的描述动力系统复杂性的概念限制在u 一极限 集上的子系统是动力系统中重要的子系统之一逆极限空间诱导映射 的拓扑动力性质与各个坐标映射的拓扑动力性质有着密切联系本章 还讨论了映射限制在u 一极限集上的拓扑遍历性，逆极限空间诱导映射 的拓扑遍历性与各个坐标映射拓扑遍历性之间的联系 2 1 符号空间有限型子转移的拓扑遍历性 符号空间子转移是研究映射迭代动力系统的重要工具之一对符 号空间子转移本身的动力性质进行研究当属必要本节文讨论了符号 空间有限型子转移的拓扑遍历性 设a 是一个不可约的矩阵， 是最大的正特征值对应a 存在全正 的行特征向量u = ( 1 ，“2 ，u n ) 及列特征向量v = ( 钆v 2 ，v n ) t ， 使u y = 1 令p t = u i v 。0 = 1 ，2 ，) 则p = 1 ，p 2 ，p ) 是一个概 率向量令p i ，= a i j v j a v i ( t ，j = l ，2 ，i v ) ，则p = ( p i ，) 是一个不可约 的随机矩阵，上( p ，p ) 乘积测度在 上限制称为p a r r y 测度 引理2 1 1 设1 曼i ，j n ，n 为正整数，则 a 孑= j ( 1 1 i 2 。+ 1 l i l i 2 z n + l 是长度为n + 1 的，l 中可允许序列且n = i i n + l = j ) 华南师范大学博士学位论文1 7 见【1 1 】中p i l 3 页命题2 引理2 1 2 设a = ( a i j ) 是一个n 阶的不可约0 ，l 方阵，则存在 o 0 对任一对1 i ，j n ，都有 。l t ms u p 蜓坐蔓：三! ! q 掣! 二! ：坐 。 。l 一 o k 一。 尤 证明对每一对1s ，jsn ，令n ( i ，j ) = m 讥协雠y o ) 令m = m a z n ( i ，j ) 1 1si ，j 曼) ，取o 五矗葛 任意取一对1st ，jsn ，由a 不可约，因而存在n 0 ，使。 0 据引理2 1 1 ，这时存在长度为n + 1 的可允许序列 t 2 t 。j 由于a 的 每行都至少有一个元素为l ，故存在1 2 兰n ，使a j l = 1 又由a 不可 约知存在m = n 亿j ) o ，使n 护 o 因而存在长度为m + 1 的可允 许序列 1 2 f 。j 于是i i 2 t 1 2 f 。j 是长度为n + m + 2 的可允许 序列据引理2 1 1 ，有n 等+ m + ” 0 进一步地，对任意t 0 ， i i 2 t 。j i f 2 f 。j l z 2 k j 、_ _ _ _ _ _ - - - _ _ - 、，- - _ - _ - - _ _ _ _ 一 价2 f 2 f m j 为长度为n + 1 + t ( m + 1 ) 的可允许序列 据引理2 1 1 ，有n 孑+ 。”+ 1 0 因而 ；罂p 型坠裂筹筹半业熹 a “：嚣p 。i _ f i i i j = _ 巧_ = f t 一再雨“ 故引理2 1 2 成立 定理2 1 1 设a = ( o 玎) 是一个每行每列至少有一个元素为1 的 ( 2 ) 阶0 ：1 方阵，o a ：e a 一a 是由矩阵a 所决定的由n 个元生 成的符号空间有限型子转移，则下面各条等价? ( 1 ) 存在d 0 ，使得对e a 中任意两个非空开集以v ，都有 1 i m s u p堕竺笪三坐) q 兰圭! ! q ! 生量二：! ! 二! ! ! 凸 ( 2 10 - 4 是拓扑遍历的 华南师范大学博士学位论文 1 8 ( 3 ) 口1 是拓扑可迁的i ( 4 ) o - a ：( 4 ，b ( ) ，m ) 一( e a ，b ( e a ) ，m ) 是遍历的，其中b ( e a ) 是 的所有b o r e l 子集组成的口一代数，m 是p o n w 测度i ( 5 ) a 是不可约的j ( 6 ) 存在o t 0 ，使得对任一对1 i ，j n ，有 。l l m 。p 些型三! ! q 里：二生! 丛 。s u p ；：一户“ k 一 疗 其中。搿为a ”的第( i ，j ) 个元 证明由于d a 是拓扑可迁当且仅当a 是不可约的据引理2 1 2 ，显 然( 1 ) 辛( 2 ) 号( 3 ) 辛( 5 ) 兮( 6 ) 成立 下证( 6 ) 辛( 1 ) 设u = i p a ，v = b 2 j q a 是a 中任意两个非空的相对柱 形由( 6 ) 知对i ，j ，有 h 。型型三业掣二生坐 。 k o 。 尤 不妨设存在一个n 0 ，使n 影 0 据引理2 1 1 ，存在一个长度为n + 1 的可允许序列i f l 2 1 3 l , j 因 而 阿2 毛f 2 f 。力2 j q ac 【i i 2 i p 】且= u 畦。一1 ( 如1 2 z 。j j 2 j 口 a ) = 口j 2 一j q a = v 口才”1 ( 矿) n v v o 由于p 是一个固定常数，故 1 i 。p 丛世型幽旦掣掣业二旦卫二坐 。 因而 l i m 。p 出! 喧塑0 1 圭掣业：! ! ：剑 。 k 一。 疗 ( 4 ) 曹( 5 ) 由卜1 】中定理1 1 9 知，( 7 a 是对p m - r y 测度m 而言是遍历 的当且仅当随机矩阵p 是不可约盼而a 是不可约的当且仅当随机矩 华南师范大学博士学位论文 阵p 是不可约的 1 9 推论2 1 1 存在拓扑遍历非拓扑混合的有限型子转移映射 证明据定理2 1 1 知：口a 是拓扑遍历的当且仅当a 是不可约的又 因一 是拓扑混合的当且仅当a 是本原的，且存在不可约的但非本原的 矩阵，故存在拓扑遍历非拓扑混合的有限型子转移映射( 7 a 定理2 ! 2 。! r ：是捶扑造砑的当旦仅当f l 是拓扑弱混合的 证明符号空间有限型子转移o a 是拓扑弱混合的当且仅当o a 是 拓扑混合的，一a 是拓扑混合的当且仅当a a xo - a 是拓扑混合的若a 4 是拓扑弱混合的，则a | 4 a a 是拓扑遍历的反之，若o a a 一是拓扑遍 历的，则a a a a 是拓扑可迁的，即o a 是拓扑弱混合的 2 2 紧致交换群的仿射变换的拓扑遍历性 引理2 2 1 设x 是紧致的度量空间，：x x 为连续映射若， 是拓扑可迁的且存在，不变的b o r e l 概率测度，其支撑为x ，则，是 拓扑遍历的 定理2 2 1 设g 是一个紧致的，连通的度量的交换群，t ：g g 是一个仿射变换又设b 为g 的所有b o r e l 子集组成的0 - - 代数m 是t i a a r 测度则下面各条等价? ( 1 ) t ：( g b ，m ) 一( g ，b ，m ) 是遍历的i ( 2 ) 2t 是拓扑遍历的i f 3 ) 3t 是拓扑可迁的 证明( 1 ) 辛( 2 ) 由于m 为i - t a a r 测度，故每一个非空开集都有正m 测度( 即m 支撵为g ) 由 4 1 】中定理5 1 6 知，t 是拓扑可迁的又由引 理2 2 1 知，r 是拓扑遍历的 ( 2 ) 号( 3 ) 是显然的 ( 3 ) 号( 1 ) 由【4 l 】定理1 1 1 知成立 引理2 2 2 设x 是紧致的度量空间，：x x 为连续映射若 华南师范大学博圭学位论文2 0 ，是拓扑可迁的且，的拟弱几乎周期点集是稠密的则，是拓扑遍历 的 证明设u v 为x 中任意两个非空开集由于，是拓扑可迁的，于 是存在n 0 使厂“( 矿) n u 0 由于，的拟弱几乎周期点集是稠密的， 于是存在，的拟弱几乎周期点。厂“( v ) n u ，即有z u ，“( z ) v 由于，”连续存在z 的开邻域wcu ，使，“( w ) cv 由于z 是，的 拟弱几乎周期点，故存在札 0 及递增的正整数序列 n ，) ，使得： 因而 4 i l l ( 。) w ) n o 1 ，码肛一1 n j ，v j 0 # 0 i ，件“( u ) n v o ) n o ，1 ，2 ，- 一n ，札+ n 一1 ) 】- n j ， 。o 故 u i i is u n 幽幽业铅等等型坐出瓦1 n j 1 f 一。 v + n j v o 由于n 为常数，故 l i m s u pl ! ! ! l ：f 坚2 口! 兰! 1 0 塑! ! ! ：! ! 二! ! ! o 门 定理2 2 2 设x 是一个紧致度量空间，：x x 是一个连续映 射又设u ( 。，) 为点z x 的u 一极限集，f l 。n 为映射，在u ( 。，) 上的限制若z x 为，的拟弱几乎周期点，则，j 。h 。1 为拓扑遍历的 证明由于z 是，的拟弱几乎周期点，故。是，的回归点，因而 ，i 。k 。1 是拓扑可