2016年秋期末复习重点题型(一元二次方程和二次函数).doc

2016年秋期末复习重点九年级上一、一元二次方程1、一元二次方程的解法（1）配方法：适用范围是二次项系数为1，一次项系数为偶数（要注意的是一元二次方程的配方法与二次函数的配方法是不一样的，解一元二次方程时，可以利用等式的性质“两边同时除以一个不为0的数”将二次项的系数化为“1”；而二次函数是一个代数式，在配方时，二次项系数是作为公因式保留在外面！）还要注意的是：有时为了增加试题的陷阱，有意识的将一个方程整得像一个完全平方式。示例：解方程（一般作为第19题）若将方程 。（一般作为填空题第13或者14题）一元二次方程的解是 。（2）公式法：注意公式是（3）因式分解法（多尝试一下）注意：此类方程不能漏根：（一般作为第19题）2、根的判别式的应用：注意条件合理使用“”或“”3、根与系数的关系要牢记：（主要出现在选择或填空题）4、应用题本期最重要的题型是“利润”与“涨价”（降价）相联系，与二次函数相综合（1）示例：某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天售出100千克。后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（注意：看清问题是要求“什么价”）是“降价”（涨价）还是“定价”，还是“售价”（2）其次是几何面积有关的问题：示例：（2016，梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 （3）再次是变化率问题：示例：（2016，遂宁）红旗连锁超市花2000元购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是 。?（4）最麻烦的是：关于“”中的计算示例：重庆巴蜀中学后勤部门每年都要更新一定数量的书桌和椅子.已知2013年采购的书桌价格为120元/张，椅子价格为40元/张，总支出费用34000元；2014年采购的书桌价格上涨为130元/张，椅子价格保持不变，且采购的书桌和椅子的数量与2013年分别相同，总支出费用比2012年多2000元.（1）求2013年采购的书桌和椅子分别是多少张？（2）与2013年相比，2014年书桌的价格上涨了（其中），椅子的价格上涨了，但采购的书桌的数量减少了，椅子的数量减少了50张，且2015年学校桌子和椅子的总支出费用为34720元，求的值.二、二次函数1、二次函数的配方这是解决绝大多数二次函数题的基础注意：二次项的系数不能丢哈！2、二次函数的图象充分体现了“数形结合”（1）注意三个系数与图象的关系（2）基本方法很重要示例1：（2014，南宁）如图，已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 。（这种题一般出现在填空题第16题）示例2：二次函数的图象如图所示，下列结论中：b0，c0，2a-3b=0， 4bc”或“”3、根与系数的关系要牢记：（主要出现在选择或填空题）4、应用题本期最重要的题型是“利润”与“涨价”（降价）相联系，与二次函数相综合示例：某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天售出100千克。后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（1）解：设每千克核桃应降价x元根据题意，得（60x40）（100+20）=2240化简，得x210x+24=0解得x1=4，x2=6答：每千克核桃应降价4元或6元（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元此时，售价为：606=54（元），答：该店应按原售价的九折出售（注意：看清问题是要求“什么价”）是“降价”（涨价）还是“定价”，还是“售价”（2）其次是几何面积有关的问题：示例：（2016，梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形设矩形的一边长为xcm，则可列方程为 （20x）x=64 （3）再次是变化率问题：示例：（2016，遂宁）红旗连锁超市花2000元购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是 10% 。解：设每次降价的百分率是x,.解得.（4）最麻烦的是：关于“”中的计算示例：重庆巴蜀中学后勤部门每年都要更新一定数量的书桌和椅子.已知2013年采购的书桌价格为120元/张，椅子价格为40元/张，总支出费用34000元；2014年采购的书桌价格上涨为130元/张，椅子价格保持不变，且采购的书桌和椅子的数量与2013年分别相同，总支出费用比2012年多2000元.（1）求2013年采购的书桌和椅子分别是多少张？（2）与2013年相比，2014年书桌的价格上涨了（其中），椅子的价格上涨了，但采购的书桌的数量减少了，椅子的数量减少了50张，且2015年学校桌子和椅子的总支出费用为34720元，求的值（1）设2013年采购的书桌为张，椅子为张.解得（2）解得（不合题意，舍去）二、二次函数1、二次函数的配方这是解决绝大多数二次函数题的基础注意：二次项的系数不能丢哈！2、二次函数的图象充分体现了“数形结合”（1）注意三个系数与图象的关系（2）基本方法很重要示例1：（2014，南宁）如图，已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 。（这种题一般出现在填空题第16题）示例2：二次函数的图象如图所示，下列结论中：b0，c0，其中正确的结论有： （填序号）。（这种题一般出现在选择题12或者填空题18；注意结论的证明）解：a0，正确；抛物线与y轴的交点在负半轴，c0，正确；a0，c0，由图可知，正确；， ，正确。示例3：小明从二次函数的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：abc0，2a-3b=0， 4bc0，对称轴在y轴右侧，b0；抛物线与y轴的交点在负半轴，c0；正确；由，错误；由两个交点，得出，正确；由图象知当x=1时，y0, ，即，正确。3、二次函数的综合运用示例1：二次函数图象中的线段、周长的极值（2016，宁波）如图，已知抛物线y=x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+mx+3得：0=32+3m+3，解得：m=2，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为：（1，4）（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，点C（0，3），点B（3，0），解得：，直线BC的解析式为：y=x+3，当x=1时，y=1+3=2，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）（2016，益阳）如图，顶点为的抛物线经过坐标原点O，与轴交于点B（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点，求证：OCDOAB；（3）在轴上找一点，使得PCD的周长最小，求出P点的坐标解：（1）抛物线顶点为， 设抛物线对应的二次函数的表达式为， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得 抛物线对应的二次函数的表达式为：（2）将 代入中，得B点坐标为：， 设直线OA对应的一次函数的表达式为， 将代入表达式中，得， 直线OA对应的一次函数的表达式为BDAO，设直线BD对应的一次函数的表达式为，将B代入中，得 ，直线BD对应的一次函数的表达式为由得交点D的坐标为，将代入中，得C点的坐标为，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, 在OAB与OCD中， OABOCD （3）点关于轴的对称点的坐标为，则与轴的交点即为点，它使得PCD的周长最小过点D作DQ，垂足为Q，则PODQ,即， 点的坐标为 也可先求D点坐标（，3），再求D的解析式，再求点P(，0)示例2：二次函数图象中的面积（1）如图，已知A（0，2），B（2，0），C（1，0），抛物线L：经过A、B两点，且点A是抛物线的顶点，直线AC与抛物线的另一个交点是D。求抛物线L的解析式和直线AC的解析式；E是抛物线L上的一点，当EAD的面积等于OBD的面积的一半时，求点E的坐标 解：（1）直线AC的解析式为；抛物线为；E点坐标为或或或。(2)(2016，河南)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像相交于O,A两点，点A（3,3），点M为抛物线的顶点。求二次函数的表达式；长度为的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P，Q作x轴的垂线交抛物线于点P1,Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值。直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOF=SAOM？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。1）把点A（3，3）代入中，得：3=9+3b，解得：b=2，二次函数的表达式为（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PEQQ1于点E，如图1所示PEQQ1，QQ1x轴，PEx轴，直线OA的解析式为y=kx，QPE=45，PE=PQ=2设点P（m，m）（0m1），则Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），PP1=，QQ1=，=（PP1+QQ1）PE=，当m=时，取最大值，最大值为（3）存在如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OFSAOF=SAOM，MFOA，EG=GF，AG=GM，M（1，1），A（3，3），点G（2，1），直线AM解析式为y=2x3，线段AM的中垂线EF的解析式为，由，解得，点E坐标为（，）还有一种示例3：二次函数图象与三角形、四边形相关的问题（2016，河池）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D请直接写出点A，C，D的坐标；如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）当中y=0时，有，解得：=3，=1，A在B的左侧，A（3，0），B（1，0）当中x=0时，则y=3，C（0，3）=，顶点D（1，4）（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，直线AC的解析式为y=x+3假设存在，设点F（m，m+3），AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：当PAF=90时，P（m，m3），点P在抛物线上，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，5）；当AFP=90时，P（2m+3，0）点P在抛物线上，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点P的坐标为（1，0）；当APF=90时，P（m，0），点P在抛物线上，解得：m5=3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）综上可知：满足条件的点P的坐标为（2，5）或（1，0）（2016，昆明）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 示例四：二次函数的实际应用（2016，黄冈）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为且其日销售量y(kg)与时