微积分B上期中试卷答案.pdf

浙江财经学院课程期中考试试卷 第 1 页 共 4 页 专业、班级_ 学号_姓名_ 密 封 线 浙江财经学院浙江财经学院 2012 2013 学年第一学期学年第一学期 微积分微积分 B 上课程期中考试卷上课程期中考试卷 年级、专业：年级、专业： 考试日期：考试日期：2012 年年 11 月月 16 日日 （共 五 大 题） 一、求极限（每题一、求极限（每题 8 分，共分，共 40 分）分） 1 1 2 1 1 lim 2 1 x xx . 2 x xx x sin1sin1 lim 0 + . 1 1 lim 1 21 lim 2 1 2 1 = + = x x x x xx )sin1sin1( sin2 lim 0 xxx x x + = 2 1 1 1 lim 1 = + = xx 0 sin2 lim 1sin1sin x x x xx = + xx x x xx sin1sin1 2 lim sin lim 00 + = 111= 3 x x x cot 0 )31(lim+ . 4 )2sin1(ln 1 lim 3 0 x e x x+ x x x x x tan 3 3 1 0 )31(lim += 2 3 2 3 lim 2sin 3 lim 00 = x x x x xx . x x x x x x tan 3 lim 3 1 0 0 )31(lim += 3 e=. 5) tan 1 sin 1 ( 1 lim 0 xxxx . 2 1 2 1 lim sin cos1 lim tansin )cos1(tan lim tansin sintan lim 2 2 0000 = = = = x x xx x xxx xx xxx xx xxxx . 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 总总 分分 得得 分分 P D F c r e a t e d w i t h p d f F a c t o r y t r i a l v e r s i o n 浙江财经学院课程期中考试试卷 第 2 页 共 4 页 二、二、讨论函数 + = = 0, )21(ln 0,2 0, 11 )( x x x x x x x xf 的连续性. (8 分) 解：解：),(+= f D 当)0,(x和), 0(+时，)(xf是初等函数，且有定义，)(xf在)0,(和), 0(+内连续， 又2)0(=f x xx x x f xxx )11 lim 11 lim)0(lim 000 +( = = 2)11lim 0 =+(= x x 2 2 lim )21(ln lim)0(lim 000 = + = + x x x x f xxx 2)0()0(lim 0 = ff x ， 从而)(xf在点0=x处连续， 故)(xf在其定义域),(+内连续. 三、三、设 x时， xx eexf 22 21)(= = ； 当0x时， xx x x x x x x x xxf 1 cos 1 sin2) 1 ( 1 cos 1 sin2 1 sin)( 2 22 =+= = ； 2 2 lim 1 lim 0 )0()( lim)0( 0 2 00 = = = + + x x x e x fxf f x x xx 0 1 sinlim 1 sin lim 0 )0()( lim)0( 0 2 00 = = x x x x x x fxf f xxx ， )0( f 不存在， 从而 = 0, 1 cos 1 sin2 0,2 )( 2 x xx x xe xf x P D F c r e a t e d w i t h p d f F a c t o r y t r i a l v e r s i o n 浙江财经学院课程期中考试试卷 第 3 页 共 4 页 四、求导数或微分（每题四、求导数或微分（每题 8 分，共分，共 40 分）分） 1设 2 4 2 arcsinx x xy+=,求y. 解：解： 2 242 2 ) 2 (1 2 1 2 arcsin x x x x x y + += 22 44 1 2 arcsin x x x x x += 2 arcsin x = 2设 x xy 2sin2) 1( += ，求y. 解：解： )1ln(2sinln 2 xxy+= 2 2 1 2 2sin)1ln(2cos2 1 x x xxxy y + += x x x xx xxy 2sin2 2 2 )1( 1 2sin2 )1ln(2cos2+ + += 3设)21(ln 2 xy= ，求 y . 解：解： 2 21 4 x x y =， 22 2 22 2 )21( 21 4 )21( )4(21 4 x x x xxx y + = = 4设 22 0 xy exxy+=，求yd. 解：解：022)( 2 = + +yyxyxeyxy xy xyxy yeyxyxeyx= + 2 2)2( xy xy xexy yeyx y + + = 2 2 2 ， dx xexy yeyx dxyyd xy xy + + = = 2 2 2 P D F c r e a t e d w i t h p d f F a c t o r y t r i a l v e r s i o n 浙江财经学院课程期中考试试卷 第 4 页 共 4 页 5设)(xf是可导函数，)(tan)(tanxfxfy=， 求 y . 解：解：)()(sec)(tan)(tansec)(tan 22 xfxfxfxfxxfy+= 五、证明题（五、证明题（4 分）分） 设)(xf在,ba上连续，bdca， 证明：至少存在一点,dc，使 2 )()( )( dfcf f + =. 证明：证明：)(xfQ在,ba上连续，)(xf在,dc上连续， 从而)(xf在,dc上必有最大值Mxf=)( 1 和最小值mxf=)( 2 ，其中, 21 dcxx， 故有 MC dfcf m Mdfm Mcfm = + 2 )()( )( )( ， 若MC =，则取 2 x=,dc；若mC =，则取 1 x=,dc， 若MCm，则由介值定理知至少存在一点