竞赛练习题打印(极限).pdf

- 1 - 极限练习极限练习 极限的概念重点是理解数列极限的N定义和函数极限的 及 X 定义 极限的性质重点是:有界性,保号性及有理运算性质 极限的存在准则重点是:单调有界准则和夹逼准则 极限的计算方法主要有：定义、四则运算、单调有界准则、夹逼准则、无穷小量 及其阶的比较（包含等价无穷小、泰勒展开） 、重要极限、定积分的定义、罗必 塔法则、导数的定义等 一、 1.（柯西命题）证明若,limaan n 则a n aaa n n 21 lim （1）求 nn n n n 21 1 lim （2） 设,limAan n ,limBbn n 证明：AB n bababa nnn n 1121 lim 二、 1.计算) )()( (lim 21 1 432 1 321 1 nnn n 2.设,21 21 xx且),(21 12 nxxx nnn 求 n n x lim 3.设 , sinxx xf 1 111 求 xf x 1 lim 4. 设),(,32123 2 11 naaa nn 求 .lim 121 2 n n n n aaa a 注：注： nn xfx 1 型数列极限的计算方法型数列极限的计算方法 i. 当数列采用递推公式 nn xfx 1 定义，其中函数 xf在区间 I 上单调，同时 数列的每一项都在区间 I 中，则 （1） xf在区间 I 上单调增加时， n x为单调数列； （2） xf在区间 I 上单调减少时， n x的两个子列 12 k x和 k x2分别为单 调数列，且具有相反的单调性。 ii. 当数列采用递推公式 nn xfx 1 定义，且 afa 。当 axrafxfax nnn 1 时（r1） ，有.limaxn n - 2 - 三、 1.设 xf是区间, 0上单调减少且非负的连续函数， ),()(21 1 1 ndxxfkfa n k n n 证明数列 n a的极限存在。 2.设,10 3 1 3 1 naxxaxa nn 证明： n x收敛，且.limaxn n 3.设,21 222 0 2 11 n xc x c xc n n 讨论 n x的收敛性，若收敛求其极限。 4. 设,2161 11 nxxx nn 证明 n x收敛，并求其极限。 5. 设,21011 11 nxxx nn 证明 n x收敛，并求其极限。 四、 1. 设,2164 11 nxxx nn 证明 n x收敛，并求其极限。 2. 设,21 1 11 1 1 11 n x x xx n n n 证明 n x收敛，并求其极限。 3. 设,2133333 221 nxxxx nn 证明 n x收敛，并求其 极限。 4. 设,21077777 210 nxxxx nn 证明 n x收敛，并求 其极限。 5. 求.limn n n n 2 12 4 3 2 1 6.求.sinlimdt tx x x 0 7. 设 ,cos dttxS x 0 求 . lim x xS x 五、 1. 求 . sin sinsin lim x xx x 3 0 2. 设 32 11xAxCxBxex)(，求CBA, 3. 求 1 4 1 2 n n n n arctanlim 4. 求 . )tan(sin)tan(sin sinsin lim xx exxe xx x 2 2 2 0 2 - 3 - 5.若,lim023 2 baxxx x 求ba,的值。 6.设,lim01 33 baxx x 求ba,的值。 7设, tan limb x xx e ea x x x 3 2 1 0 1 求ba,的值。 8. 求 . ln lim x xe xxxxx x x 11 2323 9. 求 . sin lim x xx xx x 2 11 0 211 10. 已知,limlim x xx