（基础数学专业论文）半环上的半线性空间及模糊关系方程的求解.pdf

半环上的半线性空间及模糊关系方程的求解 基础数学专业 研究生赵姗 指导教师王学乎( 博士教授) 论文摘要o 本文在半环上建立了半线性空间，定义了向量、线性无关及基等概 念，讨论了礼维向量半线性空间中的矩阵和基，并运用于一类模糊关系方程的求 解首先研究了矩阵可逆的充要条件，证明了矩阵可逆当且仅当其列向量构成 交换半环上挖维向量半线性空间中的一组基，并讨论了矩阵的因式秩然后研究 了半环上饥维向量半线性空间中基的基数，证明了每组基的基数大于或等于死， 并给出了基的基数都为n 的一个充分条件特别地深入讨论了m v - 代数上n 维 向量半线性空间中基的基数介绍了半环上不可约有限分解的概念由此给出 了m v 代数上住维向量半线性空间中基的基数的精确范围最后，用类似于线性 空间中解线性方程组的方法，描述了b r o u w e r 格上一类模糊关系方程的解集 关键词：半环；交换半环；半线性空间；线性无关；基；可逆矩阵；m v 代数； f u z z y 关系方程，o 解集 第i 页洪3 4 页 s e m i l i n e a rs p a c e so v e rs e m i r i n g sa n dt h es o l u t i o no f f u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n s f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：z h a os h a ns u p e r v i s o r ：w a n gx u e p i n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri n t r o d u c e sas e m i l i n e a rs p a c eo v e rs e m i r i n g s d e f i n e s t h en o t i o n so fv e c t o r ，l i n e a ri n d e p e n d e n c ea n db a s i s ，d i s c u s s e sm a t r i c e sa n d b a s e si ns e m i h n e a rs p a c e so fn d i m e n s i o n a lv e c t o r so v e rs e m i r i n g s a n dd e 。 s c r i b e st h es o l u t i o ns e t so fas p e c i a lc a s eo fas y s t e mo ff u z z yr e l a t i o n a le q u a - t i o n s f i r s t s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ram a t r i xt ob ei n v e r t i b l ea r eo b t a i n e d i ti ss h o w nt h a tam a t r i xi si n v e r t i b l ei fa n do n l yi ft h e s y s t e mo fi t sc o l u m nv e c t o r si sab a s i si ns e m i l i n e a rs p a c e so f 佗d i m e n s i o n a l v e c t o r so v e rc o m m u t a t i v es e m i r i n g s a n dt h ef a c t o rr a n ko fm a t r i xi sa l s o i n v e s t i g a t e d t h e nt h er a n g eo ft h ec a r d i n a l i t yo fab a s i si ns e m i l i n e a rs p a c e s o f 佗一d i m e n s i o n a lv e c t o r so v e rs e m i r i n g si sd i s c u s s e d i ti si d e n t i f i e dt h a tt h e c a r d i n a l i t yo fe a c hb a s i si sn ol e s st h a n 礼a n dt h ec a r d i n a l i t yo fe a c hb a - s i si snu n d e rs o m ec o n d i t i o n s i np a r t i c u l a r t h er a n g eo ft h ec a r d i n a l i t y o fab a s i si ns e m i l i n e a rs p a c e so fn d i m e n s i o n a lv e c t o r so v e rm v a l g e b r a si s d e e p l yi n v e s t i g a t e d t h en o t i o no fa ni r r e d u n d a n tf i n i t ed e c o m p o s i t i o no fa n e l e m e n ti nas e m i r i n gi si n t r o d u c e d t h e nt h ep r e c i s er a n g eo ft h ec a r d i n a l i t y o fab a s i si ns e m i l i n e a rs p a c e so fn d i m e n s i o n a lv e c t o r so v e rm v a l g e b r a si s o b t a i n e d i nt h ee n d ，t h es o l u t i o ns e to fas p e c i a lc a s eo fas y s t e mo ff u z z y r e l a t i o n a le q u a t i o n si nb r o u w e r i a nl a t t i c e si sf o r m u l a t e di nas i m i l a rw a ya s t h a to fl i n e a rs p a c e s k e yw o r d s ：s e m i r i n g ；c o m m u t a t i v es e m i r i n g ；s e m i l i n e a rs p a c e ；l i n e a ri n d e p e n d e n t ；b a s i s ；i n v e r t i b l em a t r i x ：m v a l g e b r a ；f u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o n ； s o l u t i o ns e t 部分符号说明 c = ( l ，+ ，0 ，1 ) a = ( a ，+ a ，0 a ) 彤= ( l ，o ，o ，0 ，1 ) l = ( l ，a ，v ) 坛 u ( l ) v j ( f ，则存在矩 阵b 1 m n t ( l ) 和b 2 舰s ( l ) 使得b = b 1 8 2 即有a = b 1 8 2 c = b 1 ( b 2 c ) ， 贝j j f ( a ) 2 ，矛盾类似地n - n - i a t n j f ( a ) ，( c ) 口 引理1 3 2 ，( 厶) = 钆 (alla l m ) ( b l l b l n 、l ：4 第1 0 页共3 4 页 第章c 一半线性空间的可逆矩阵 设a 1 ，a m 为a 的列向量j 即是说每个单位向量e t ，i 丝= 塑，都能被a l ，a m 线 性表出但 ( a 1 ，a m ，e 1 ，e n 一竹 ) b n b l n b m l 6 m n 0 0 0 0 = 厶 由定理1 2 2 知， a l ，a m ，e l ，e n - m ) 是中的一组基，与定义1 1 6 矛盾口 定理1 3 1 设a 为m n ( l ) q ，的可逆阵，i f j f ( a ) = n 证明设a m n ( l ) 为可逆阵，存在矩阵d m n ( l ) 使得a d = 厶由引 理1 3 1 和引理1 3 2 ，我们有，( a ) ，( 厶) = 礼所以，) = 住口 注意，定理1 3 1 的逆命题一般不成立例如： 例1 3 1 设协= ( v 3 ( l ) ，+ ，0 3 x 1 ) 为例1 1 2 中的3 维向量半线性空间，其中l 为 非负整数集，z + 耖= g c d a ，6 】_ ，z y = 1 c m 【口，6 ) ，vx ，y l ，且 b = 则由文献 3 2 】中的引理3 1 l 知f ( b ) = 3 ，但矩阵b 的列向量不能构成v 3 * 的一组基， 因为协中的单位向量不能被b 的列向量线性表出由定理1 2 1 知，b 不可逆 设a m n x m ( 三) 定义a 的s 阶子矩阵为a i l ，砧l 歹1 ，九】，其 q a a 的( p ，q ) 处元与口t ，歹。相等，p s ，g 量， i l ，t 。】n ， j l 九) m ，且 当p q o f f ，i p i 口，j p j q 引理1 3 3 【3 2 】设a m ( ) ，且，( a ) = k ，则不等式f ( a i i ，i 。i j 1 ，副) ，( a ) 成立 第1 1 页。共3 4 页 、lliil， 0 5 0 0 0 2 3 o 0 ，一 第一章c 半线性空间的可逆矩阵 定理1 3 2 设a m n m ( l ) ，若矩阵a 的某个列 或行】向量能被其它列 或行】向 量线性表出，则删除此列 或行】向量所得的a 的子矩阵其因式秩仍为厂( a ) 证明设a 1 ，a m 为矩阵a 的列向量若存在一个向量啦能被表示成 a = a l a l + + 凡一l a 一1 + 九+ 1 巩+ l + + a m a m ， 其中入l ，a t l ，a t + l ，a m l 为系数，贝0 a = ( a ，a 2 ，砒一，赳+ 。，a m ) 10 0 入10 0 01 0 入20 0 00 1 九一10 0 00 0a i + li 0 00 0a m0 1 由引理1 3 1 知，f ( a ) f ( a 1 ，n 1 1 ，i 一1 ，i + 1 ，m 】) 再由引理1 3 3 可得 f ( a ) = ( a 1 ，n i l ，i 一1 ，i + 1 ，m 】) 类似地可证明行向量的情况综上所述，结论得证口 定理1 3 3 设a m n m ( 工) ，f ( a ) = m i n n ，m ) 若礼仇 或佗m 】，则a 的 列 行 向量线性无关 证明设礼m ，贝i j f ( a ) = m 若a 的列向量线性相关，则存在a 的某个 列向量能被a 的其它列向量线性表出由定理1 3 2 的证明知，a 能被表示成一 个n ( m 一1 ) 阶矩阵和一个( m 一1 ) x m 阶矩阵的乘积由引理1 3 1 知f ( a ) m 一1 ， 矛盾即a 的列向量线性无关同理可证若7 t m ，则a 的行向量线性无关口 推论1 3 1 设a ( 三) ，且，( a ) = 几，则矩阵a 的列向量和行向量都线性无 注意，推论1 3 1 的逆命题不一定成立 第1 2 页共3 4 页 第一章c 半线性空间的可逆矩阵 c 憾) 则c 的列向量和行向量都线性无关，但，c = 2 因为存在矩阵n = ( 季茎) m 3 2 ( l ) 和c 2 = ( 言三兰) a 如3 c l ，使得c = c ，岛 注意，这节中除了引理1 3 2 和定理1 3 1 ，在其它结论中并没用到半环的交换性 第1 3 页，共3 4 页 第二章钆维向量半线性空间中的基 我们知道许多线性空间中的结论在半线性空间中并不成立，如在半线性空间 中，线性无关部分向量组不一定能扩展为一组基( 【1 2 】中的定理4 ) 在佗维向量线性 空间中，所有基的基数都为扎，与此相对应，我们期望在半线性空间中也有类似的结 论这个问题在m a x p l u s 代数中已给出了一个肯定回答【7 】2 0 0 7 年，d in o l a 等在文 献f 1 2 1 的注3 中提出开问题：当m v - 代数的支撑集是非线性序时，礼维向量半线性空 间中的每组基是否都含有相同的向量个数在这章中，我们将深入讨论在m v 代数 上几维向量半线性空间中基的基数范围从而回答这个开问题 2 1 半环上n 维向量半线性空间中的基 本节证明了交换半环上扎维向量半线性空间中基的基数大于或等于佗，并给出了 基的基数都为于几的一个充分条件下面除了特别注明，我们仍将在交换半环上 的几维向量半线性空间中讨论向量和矩阵 引理2 1 1 设a l ，a m ( l ) 若中每个单位向量都能被向量a l ， a m 线性表出，贝u a l ，a m ) 包含了的一个生成集，并且m 佗 厶=ca-，am，入amll。入amlnn) 第1 4 页，共3 4 页 第二章礼维向量半线性空间中的基 因此有， 厶= ( a l ，锄n ，e 1 ，e n m ) 入1 1 入1 n 入m l 入m n 0 0 0 0 则五= ( a 1 ，a m ，e 1 ，一m ) 是右可逆的，由引理1 i 3 知五可逆的由定 理1 2 1 知 a l ，a m ，8 1 ，e n - m ) 为中的一组基但每个e i ，i n - r n ，都 能被a 1 ，a m 线性表出，与定义1 1 6 矛盾口 定理2 1 1 中每组基的基数大于或等于n 证明因为k 中每组基都是一个生成集，由引理2 1 】即可得证口 注意中存在基数大于他的基例如： 例2 1 1 设协= ( v 3 ( l ) ，+ ，0 3 x 1 ) 为例1 3 1 中的3 维向量半线性空间，且 a = 则矩阵a 的列向量构成屹中的一组基 下面，我们将考虑在什么条件下h 中基的基数都为n 若7 = a + 磕含r = n 或r = b ，va ，b l ，则称r 为半环c 中的可加既约元 若x t y = 0 ，vx ，y v n ( l ) ，则向量x ，y 称为正交 引理2 1 2 设c 为交换的零和自由半环， a 1 ，鼽) 为线性无关集合，u ( l ) = 1 ) ，且l 为可加既约元若 a 1 ，) 不是h 的基，则它不能扩展成中的一组基 证明若存在向量b 1 ，b m ，m 1 ，与向量a 1 ，a n 构成中的一组基，则 每个单位向量能被a l ，a n ，b 1 ，b m 线性表出又因为a l ，a n ，b l ，b m 第1 5 页共3 4 页 、 0 0 1 0 1 o 5 0 0 3 o 0 ，-。一 第二章n 维向量半线性空间中的基 是线性无关的，则至少存在一个单位向l e j v n ( l ) ，j n ，不在集 合 a 1 ，a n ，b l ，b m ) 中，但能被表示成 ca，a竹，b，bm，=。a。lnl-。annnl。b。lnl-协bm帆nli 0 = a 1 a l i + + 入n i + 久几+ 1 b l i + + a 札+ m i ， v i 照，i j 又因为l 是可加既约元，存在某个s 丝或s 7 盟，有入。a s j = l 或沁，b s , j = 1 不妨设入。a s j = 1 日a u ( l ) = ( 1 ) 可得，入。= a s j = 1 进一 步，由零和自由半环的定义，有k a s i = 0 ，即a 。a s t = 1 a s = a s i = 0 因此， 注意引理2 1 2 是文献 1 2 】中定理4 的一个推广 】，矛盾类似地可证明 定理2 1 2 设为交换的零和自由半环，u ( l ) = 1 ) ，且l 为可加既约元，则中 每组基的基数都为几 证明设a 1 ，a n ，a n + l ，a m 构成k 中的一组基，其中m n ，则a 1 ， a n 是线性无关的但由引理2 1 2 知，a l ，a n 不能扩展成k 中的一组基，矛盾 即k 中每组基的基数都不超过礼再由定理2 1 1 知，结论成立口 注2 1 1 满足定理2 1 2 条件的半环不一定是线性序的例如，图1 所示的半环， 虽满足定理2 1 2 中的条件，但不是线性序的 第1 6 页共3 4 页 山 口 b m b b 钆 一 ：、 h b 龇 跏 一 唧 b 一 疋 施 呵 是 = 即 吣j了贝 = k i = l m r 1 ，则l 有一个 含t 一1 个元素的不可约有限分解 证明设1 = b 1vb 2v vb t ，t n ，是1 的一个可约有限分解令c = b lvb 2 ， 则1 = cvb 3v vb t ，且此分解是不可约的。口 注2 2 1 若1 有含t 个元素0 0 不0 - 7 约有限分解，t 1 ，则嘣中存在一组基数 为n t 一1 的基事实上，令b lvb 2v vb t 为1 的一个不可约有限分解，t n ，t 1 ， 第2 0 页，共3 4 页 第二章礼维向量半线性空间中的基 c = b 1vb 2 ，且 c = ( c ，0 ，0 ) 丁 b 3 = ( b 3 ，0 ，0 ) r ， b t - ( b t ，0 ，0 ) t ， b t + 1 = ( 0 ，b l ，0 ) 丁， b 2 t 一( 0 ，b t ，0 ) t ， b m 1 ) t + i = ( 0 ，0 ，6 1 ) r ， ：。 b n t = ( o ，0 ，玩) t 类似于引理2 2 2 的证明，可证得 c ，b 3 ，b 佗t ) 为唆中的一组基，其基数为n t 一1 令f = m a x t ：b lvb 2v vb t 为1 的不可约有限分解) 则我们有： 定理2 2 1 若 是有限的，则蟛中基的基数范围为礼到赢 证明 设存在一组基 b 1 ，b 2 ，b n 弭1 】，其中b = ( 幻1 ，幻几) t 歹皿， 则w v 中的每个向量都能被b 1 ，b 2 ，b n 弭l 线性表出特别地，每个单位向量e i = ( e i l ，e 协) r ，i n ，也能被其线性表出如下： e i = a l b l + a 2 b 2 + + 入n 弭l b n 弭1 ， 其中入1 ，入2 ，入m 1 l 为系数则有 e l i = 1 = v ( o 幻t ) ， j e n t ，- p 1 e i h = 0 = v ( x j o b j h ) ，vh 丝，h i j 6 n ，t + l 又由 的定义，我们可以从( o 幻t ，j 皿) 中选出阶元素，设为。o 。t ，七云 使得 1 = v ( 。ob - ) 第2 1 页，共3 4 页 第二章佗维向量半线性空间中的基 又因为 0 v ( 。o 。 ) v ( ob j i ) = o ，vh n ，h i 七至j ! 垂旦 则有 0 = v ( ho ) ，vh 盟，h i 凫三 因此，e f 能被b 1 ，b 2 ，b n n l 中的阶向量线性表出由i 的任意性可得，每个e 都 能被b 1 ，b n 砰l 中的n 阶向量线性表出因为由引理1 2 1 知每个向量都能被单 位向量组线性表出，则每个向量都能被则b 1 ，b n t + 1 中的矗阶向量线性表出，所 以b 1 ，b n 弭l 中的某个向量能被其它向量线性表出即b 】，k 弭1 是线性相关 的，矛盾因此，蟛中基的基数不超过n 再由定理2 1 1 、引理2 2 3 和注2 2 1 可知， 结论成立口 注2 2 2 一般来说，若 是无限的，则满足定理2 2 1 条件的皑中基的基数不 必为有限的例如，在例2 2 1 中的交换半环( lv ，o ，0 ，1 ) ，对任意的m 1 ，则皑的基的基数不 一定相同，且存在一组基数为扎的基 注意，对于d in o l a 等在文献 1 2 】的注3 中提出的开问题：当m v 代数上的支持 集己不是线性序时，n 维向量半线性空间的基是否都含有相同的向量个数因为1 总 有不可约有限分解1 = 1 ，因此定理2 2 1 回答了这个开问题 第2 2 页，共3 4 页 第三章一类模糊关系方程的求解问题 在本章中，我们试图用类似于线性空间中解线性方程组的方法，来描述在有 界b r o