（基础数学专业论文）高维正定核本征值的估计.pdf

摘要 摘要 本文研究了高维对称正定核本征值的收敛速率问题。假设z ，y e 旷( m 1 是整 数) ，g = 【0 ，1 1 ”，连续积分核k ( z 。y ) 是1 一周期的，在区域g g 上对称正定，并 且对于重指标。卢，1a i ，i 卢1 r ( r 1 是整数) ，对称偏导数d = 或k ( 。，y ) 存 f 0 u r i e r 级数为工具，定义了两个辅助算子j r 和k ，研究了它们 用关系k = j ，k ，j ，得到由积分核 ( z y ) 生成的积分算子k 的 翠n “a 。( k ) ” ( n + 。) 关键词：高维正定周期核；积分算子；迹类算子；本征值 中国分类号：0 1 7 7 7 工 用利 利且 文 弋晟绕性满连些值 且 一 征在的本 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r 。t h ec o n v e r g i n gs p e e do fe i g e n v a l u eo fh i g h e rd i m e n t i o n a ls y m m e t r i c p o s i t i v ed e f i n i t ek e m di sd i s c u s s e d w ed e n o t eb yz ，t h ep o i n t si nr ，a n db yg t h ec l o s e du n i tc u b e 【0 ，1 】”s u p p o s et h a tt h ek e r n e l 矗( 工，y ) i sa c o n t i n u o u sa n d 1 一p e r i o d i cf u n c t i o n i ne v e r yv a r i a b l e sa n ds u p l x ) s et h a t ( z ，y ) i ss y m m e t r i ca n d p o s i t i v e d i f i n i t eo ng xg l e t r lh eag i v e ni n t e g e r ，t h es y m m e t r i cd e r i v a t e s d 二讲k ( z ，y ) 。i 口i r ，i 卢i a r ea l s oa s s u m e dt oe x i s ta n dt ob ec o n t i n u o u s b y u s i n gt h em e t h o d so ff o u r i e rs e r i e s t h ea u x i l i a r yo p e r a t o r so fj ，和i f a r ed e f i n i t e d a n dt h ep r o p e r t i e s o f j ，a n dk ，a r ea l s od i s c u s s e d w eo b t a i nt h a tt h ee i g e n v a l u e so f i n t e g r a lo p e r a t o rkw h i c hi sg e n e r a t e db yk ( 。，) s a t i s f y ： 平n “ ( k ) o 。 ( n o 。) k e yw o r d s ：h i g h e rd i m e n s i o n a lp o s i t i v ed e f i n i t ek e r n e l ；i n t e g r a lo p e r a t o r ；t r a c e c l a s so p e r a t o r ；e i g e n v a l u e c l cn u m b e r ：0 1 7 7 7 河北大学硕士学位论文 1 引言与记号 我们称积分核k ( z ，y ) l 2 ( 【0 ，1 】x 【0 ，1 】) 是对称的，指 k ( 弘z ) = ( z y ) 对于几乎所有的o z ，y 1 成立。 算子k 被定义为 f t k ，( z ) = j ( z ，y ) f ( y ) d y ( 1 1 ) 众所周知，积分算子k 是l 2 【0 ，1 上的紧对称算予，因此，存在一个实的本妊值序列 l ，( ” ( n = 1 ，2 ，) ，若按其模非增的次序排列如下： i ( k ) 1 i ：( k ) i i ( k ) i 则当n o 。时，i ( k ) i o 。 在积分算子理论和应用中，人们感兴趣的一个问题是：在积分核k ( z ，y ) 的各种光滑 性条件下，研究其生成的积分算子k 的本征儆。( k ) 趋于0 的速率。对于 ( z y ) 是一维 积分核情况，已有许多人进行了讨论，并取得了许多结果。见文【1 - - 4 1 及【6 - - 8 等。 1 9 1 2 年，h w e y l 在文【1 】中已经证明若核k ( 3 5 。y ) c 1 ，则 。 l ( k ) i = 。( 岛1( 。一m ) ( 1 2 ) 、n 1 9 8 3 年，j b r e a d e t z l 在h w e y l 的基础上，进一步假设，若积分核 ( z ，) 还是正定 的，即 川：毗川几) 而捌，。 ( 1 3 ) 对于所有的f ( x ) l 2 1 0 ，1 l 成立，则 。( k ) = 。f 与1 ( 。一o 。) ( 1 4 ) 在该文最后作者猜测，若积分核 ( z ，y ) p ( p 1 是整数) ，并且是正定的，应该有 如下结论： l 高维正定核本征值的估计 ( k ) = 。( 知) ( n 一一)( 1 5 ) 、n 7 1 9 8 6 年，台湾清华大学c h u n g w e i h a 在文【3 1 中对( 1 5 ) 式给出了严格的证明，他借 f t 助辅助算子j ：j ，( z ) = j ，( f ) d ，先求出算子“j ”的奇异数，然后确定算子k 和j ，j 算子的关系，巧妙地证明了r e a d e 的猜想。 1 9 8 6 年，韩彦彬在文【6 】中，研究了s o b o l e v 空间中h 1 类核 ( z ，y ) 的一些性质，进 而使用连续正定核近似的方法，得到其本征值 ( k ) 满足： a 。( k ) = 。( 知) ( n 一。) ( 1 6 ) 并在文末举例说明了这个结果是最优的。 1 9 9 0 年，韩彦彬“在文【6 】的基础上，进一步假定核 ( z y ) ( p l 是整数) ，首 先讨论了硝类核的一些性质，然后采用和文 3 1 类似的方法，i i n t a 。( k ) = 。( 七再) ( n o 。) 。并在文末和文【3 h 的结果进行了比较。指出从微分方程边值问题导出的积分方 程的积分核往往是f 类的。 1 9 9 1 年，韩彦彬在文【8 中，进一步讨论了类核的奇异数和本征值。证明了盯类核 ( 3 ；- ，y ) 的奇异效晶( k ) 满足不等式： ：妻，n 虮s ：( k ) 0 ，及一个常数c o ，当n n 。时，有 a ：( ) 0 ，当n n 。时。不 等号右边非负，故当n n 。时，对( 2 8 ) 式不等号两边平方得 圹l ( “七r ( 等+ 1 ) j 一石- n 。札n 一 ( “一b ( 考+ 1 ) ；一厢n 一) 2 n a ：c ，) = ( 户) 一7 ( * 。( 鼍+ 1 ) = 一厢一一扣。2 “ iio 高维正定按本征值的估计 所以只须取c = ( “+ o r ( 譬+ 1 ) = 一石i n ：) 一即得 ：c ，) c n “ 本引理证明参照了文i5 】中对于单位圆内整格点的估计的方法。证毕 由于l d 2 ”一a ( p ，口z _ ) 是l 2 ( g g ) 中的一组规格正交基。我们把 ( z y ) 展成 f o u r i e r 级数形式： 忌( z ，y ) = 点押酽。妒一 ( 2 9 ) 求和号表示对所有声，q 矿求和，后面同此意义。 其中k 为 ( z ，y ) 的f o u r i e r 系数 k ：。 ( 。m 咖训d 。d y ( 2 1 0 ) 现在我们在l 2 ( g ) 中定义算子k r 如下，v f ( x ) l 2 ( g ) ： 墨，( z ) 2 委( 】+ p 2 ( 1 + 口驴2 酽。 ( 2 - 1 1 ) 引理2 3 假设连续积分棱k ( x ，y ) 是l 一周期的，对于重指标a ，b ，ia l r l 卢1 r ， 对称倡导数d = d ； ( z y ) 存在且连续，则算子墨是l ：( g ) 上的紧算子。 证明只须证明算子k r 是h i l b e r t s e h m i d t 算子。 我们先求出d 二成 ( z ，y ) ( ia i r ，j 卢i r ) 关于l a ( g g ) 中规格正交基 te “。p 口t ( “q f ) 的f o u r i e r 系数： ( d = 磋k ( x ，) ) 。 ：j 。j 。聪。：t ( 。e - m 护啪。d ， = ( 2 一“”i # 1o ，q p 其中k 为t ( x ，) 的f o u r i e r 系数，以上推导利用了 ( z ，) 的周期性及分部积分法。 根据p a r s e v a l 等式 l ( 2 “) l + 川p z 一口t f 南，1 2 _ 1 1 d ：点( z ，y ) i i ：( 。，。) o 。 从而 暑户2 9 2 4 1t p t l 2 ( j a l r ，i p l ，)( 2 1 2 ) 显然，th q ( z ) i 。( z ) = 酽。”，q 矿 是l 2 ( g ) 中二组规格正交基，于是 一r f【titlillillleliiiielilri#ieitfiteilelelillltiftiiiiiliill；。l。f，。，i。；。elli“r卜f，i，j 河北大学硬士学论文 k rh - c x ) 。莩( 1 + p 2 k ( 1 + q 口) 2e i 2 ” 根据p a m e v a l 等式 手i l e “t ( z ) i i 2 = 善善( 1 + p 曲i 。i 2 ( 1 + q 0 fp = 暑最，高 声： j k j2 f jl最，鼎严 ( 】十m ) 7 ( 1 + m ) 7 。l 。诧，l 最，著声2 。口却i w i 2 o o 以上利用了( 2 1 2 ) 式及二项式定理 孤音萨，最，面掣而。一( - + 神 证毕 引理2 4 假设连续积分核 ( z ，) 满足引理2 3 的条件，并且在区域g g 上是对称 正定的，则k r 是r ( g ) 上的对称正定的紧算子。 证明由于 ( 。，y ) 是对称的，所以 ( z ，y ) 的f o u r i e r 系数 rr k = oj c ( z ，y ) e - 1 2 z ( p z - ) d x d y = j 。j 。五( ，z ) 。一n t c ”一 u 工d y = 矗 于是，对任何，( z ) ，g ( x ) e l 2 ( g ) ， ( 群f ，g ) = 。善( m 力j k ( 1 矿。一z 雨如 二= 2 丢( 1 + p 。加2 k q p ( i + q 。口) 2 毋五 一9 一 上d h - e ) z ( g ，k 一昂 = 2 2 驴 驴 旱 q + + i l ( ( 伽 伽 2 二2 砧 钟 声 声 + i 1 ( ( = = 高维正定核本征值的估计 = ( k rg ，f ) = ( ， 尼g ) 所以，k r 是对称算子。 对任何f ( x ) l 2 ( g ) ，我们把它展开成f o u r i e r 级数： ，( z ) 2 莩印- 设f r o ( z ) 2 i 最，d 2 。”，则显然当卜 一时，( ”( z ) 平均收敛于，( 。) 。 于是，利用 ( x y ) 的正定性得 ( k ，f ”，) = j 。l 最。( 1 妒曲k ( 1 + q 曲j 譬一而d z = i 最，( 1 + p p ) 7 k ( 1 + 口q ) 1 j 。，( z ) e - 1 2 。p z d x l 口i l 2 i 最，( 1 + g 曲2 k ，f ( 1 + p 2 iq t = ( k 7 ”，尹) o 其中，于“( z ) 2l 最。( 1 + 声。加i e 一。 根据内积的连续性，令卜o 。，得 ( k r ，) o 所以。k ，是正定算子。证毕 众所周知，h i l b e r t 空间h 中的紧对称算子k 叫作迹类算子，指它的本征值序列 ( k ) 满足： i 。( k ) l 一 ( 2 1 3 ) 迹类算子的迹范数定义为： | 1k 忆= la 。( k ) l( 2 1 4 ) h i l b e r t 空间h 中的正定算子k 的迹定义为： t r ( k ) = ( k e , 。e m )( 2 1 5 ) 一1 0 峨 高维正定核本征值的估计 t r ( k “口) = ( 2 ) 2 。p p 2 4 = k “忆 = j 。d = d ；k ( x ，x ) d x o o 于是。在l 2 ( g ) 中取组基j h p = e 1 。一2 ( p e z ) ，则 t r ( k ) 2 葶( m ， ) 2 莩( 1 + p 曲2 ( 1 + p 曲2 2 手( 1 + p 声) 。 = 手最，面掣丽( 矿) 2 k 2 等最，面赫。b ( 1 + m ) 一l 最，手p 2 。 o o 以上推导利用了二项式定理，即 讯希，最，而钏+ p 卜c t 圳7 所以k r 算子是迹娄箕子证毕 一1 2 一 河北大学硕士学位论文 3 主要结果及证明 我们知道，如果h h 1 是h i l b e r t 空间，算子丁：h h - 是紧算子，t gt 的伴随算 子，则t t 是h 上的对称正定算子。 我们称如( 丁) = 口而，为t 算子的奇异数。 显然若1 、是对称正定的，则s i ( t ) = 。( t ) 。 引理3 1 i t 0 1 若算子s 、丁是h i l b e r t 空间h h 1 上的紧算子，则 s 。+ 。( s t ) s ；( t ) s j ( s ) ( 3 1 ) 其中i ，j 取正整数。 引理3 2 若连续积分核 ( z ，) 是1 一周期的，对于重指标a ，卢，ia i r ，i 卢i r ， ( ，1 是整数) ，对称偏导数噬d ； ( z y ) 存在且连续，且在区域g g 上对称正定，则由 k ( 。，) 生成的积分算子k 满足 k = 工k ( 3 2 ) 证明根据定义，只须证明v f ( x ) l 2 ( g ) k ，( z ) = j ，k 山f ( x ) 因j r ，= ( 1 + p 加1 0 工一p 5 ， 易知 ，的f o u r i e r 系数( j r ，) p 为： 一三 ( 1 + p 2 五 所以k r ( j ，) = ( 1 + 户曲2 k ( 1 + q q ) 2 ( ，) 。酽。 ，f = e ( a + 声曲2 k 工乎。p 3 ，q 由上式易知，k r ( j ，) 的f o u r i e r 系数( k r ( j r ，) ) ，为 r ( 1 + p 加2 k 工 f 所以j ，( k r ) 一1 3 一 。l ；，t，l 2 手( 1 + p 。户) 2 ( 争( 1 + 户曲2 k - ) d 2 m ， 。 2 暑。e i 2 ” 而 k f ( x ) f 2 j g ( z ，y ) f ( y ) d y = j 。暑k 9 2 山j 吲，( y ) d y = 署k d 狮= 。j ，( y ) e 曲 2 暑k d 2 ”2 所以 k f = j , k , j , f 证卓 根据引理2 3 ，引理2 4 知五算子为正定的紧算子，记五的正平方根算子为一 由引理3 2 知： k = l k , l = 何 j r ) j )( 3 3 ) 根据引理2 1 知，j ，是紧算子，所以k 屯也是紧的，又根据引理2 2 容易得到： ：一( l ) c ( n 1 ) 一，m( 3 4 ) 现在我们有了足够的准备来证明本文的主要结果。 定理若连续积分核k ( z ，j ，) 是1 一周期的，且在区域gx g 上对称正定，对于重指标 a 、f i , ，l 。l r 、1 刚r ，对称偏导数聪蟛 ( z ，) 存在且连续。则由核 ( 。，) 生成的 积分算子k 的本征值满足： 罩n2 “ ( k ) o 。 证明由( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 、( 3 4 ) 式知： 2 ：, - t ( k ) = 。( j ，k ，j ，) = ( 气一( 一 ) ) 2 ( s 。( k ) ) ： ( 5 ( j ，) s ，( k ) ) 2 = a ：一。( ) 。( k r ) 一1 4 - 一 c ( n 1 ) 。“一( k ，) 因为 。( 耳) 是一个非增序列，且k ，算子是迹类算子，所以有 军n 2 “a 。( k ) = 事n 一胚) + ；。( 知- 1 ) “- 1 ( k ) + 。霉。( 纠一飞( k ) 1 。o “- i 、 “ 葶n 2 “r ( k ) 十2 荤( 知) 2 ，一 。一( k ) 辛n 2 h ( k ) + 2 。荤：2 2 “。t n 。( 。一1 ) 一z n 。( 墨) 2 事n 2 “a ，( k ) + c 2 ”2 “萎4 - ，( i 旨) 2 “ 。( k ) 1 lt 一， 4 亨n 肛h 1 2 t “，舡- 1 ( k ) 。- 证毕 推论在定理脚f 取设下，k 的本征值 。( k ) 满足： ( k ) = o h _ 1 叫2 州) ( 矗一) 证明由于暑42 “ ( k ) * ，所以 ( n 十1 ) 2 “ 。+ ( k ) + ( n + 2 ) 2 “ + ：( k ) + + ( 2 n ) 2 。( k ) 0( n + 。) 由于 。( k ) l 是一个非增序列，所以 ( n + 1 ) 2 “ 。+ ，( k ) + ( n + 2 ) 2 “ + ：( k ) + + ( 2 n ) 2 n - ( k ) h ( h 十1 ) 1 “ 。( k ) 2 “ 。( 耳) 哪 n 一。) 、 r 。( k ) = o 如+ 2 “) 同理 。- o ( n 一“) 所以有 a ( k ) = o ( 一。1 2 “) 证毕 一1 5 一 一一扎# 一。 ；lffffl；l；卜f；l譬譬“fee。e1。f。一 i ， ，i-誓 ；，；， 高维正定核本征值的估计 参考文献 【1 】h w e y l d a sa s y m p t o t i s c h ev e r t e i l u t x g s g e s e t zd e re i g e n w e r t e l i n e a r e rp a r t i e | l e r d i f f e r e n t i a l g l e i c h u n