2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二(上)10月月考数学试卷.doc

2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1（3分）已知，则| 2（3分）等差数列an的前n项和为Sn，则 3（3分）已知正ABC的面积是，则 4（3分）已知，（k0），若，则正数k 5（3分）已知RtABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若A、B、C依次成等差数列，且ABC，则a：b：c 6（3分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则 7（3分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数，使得，则实数a 8（3分）已知（nN*），则 9（3分）已知等差数列an的公差不为零，且a5+ana10+a20m（m，nN*），则mn的最大值是 10（3分）设向量，满足|2，|1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 11（3分）设、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知，则关于x的方程的解x 12（3分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA4，OB3，OC2，3，则ABC面积的最大值为 二.选择题13（3分）已知1、a、x、b、9依次成等比数列，则实数x的值为（）A3B3C3或3D不确定14（3分）下列等式中不恒成立的是（）ABCD15（3分）在数列an中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（）A不是原数列的项B是原数列的第10项C是原数列的第11项D是原数列的第12项16（3分）已知数列an满足an+1pan+2（p0），a1R，则下列命题中的真命题是（）Ap2，则数列an+2一定是等比数列Bp1，a10，数列an不存在极限Cp1，数列一定是等比数列D0|p|1，则数列an的极限为三.解答题17已知向量和的夹角为60，且|3，（1）求向量在方向上的投影；（2）若，求实数k的取值范围18已知，且向量、不平行，其中k、t是正实数（1）若，且，求向量、的夹角；（2）若，试求k+2t的最小值19我们要计算由抛物线yx2，x轴以及直线x1所围成的区域的面积S，可用x轴上的分点0、1将区间0，1分成n个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线yx2上，这些矩形的高分别为0、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn，为求S，只须令分割的份数n无限增大，Sn就无限趋近于S，即（1）求数列Sn的通项公式，并求出S；（2）利用相同的思想方法，探求由函数yx2（1x2）的图象，x轴以及直线x1和x2所围成的区域的面积T20设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点都在的图象上（1）证明：当n2，nN*时，an+an12（2n1）；（2）求数列an的通项公式；（3）设Tn为数列前n项积，若不等式对一切nN*恒成立，求实数a的取值范围21定义向量（a，b）的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx，函数f（x）asinx+bcosx的“相伴向量”为（a，b）（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设g（x）3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）S；（2）已知h（x）cos（x+）+2cosx，且h（x）S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b0）为圆C：（x2）2+y21上一点，向量的“相伴函数”f（x）在xx0处取得最大值当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）已知，则|【分析】直接利用向量的坐标运算求解|AB|即可【解答】解：，则|故答案为：【点评】本题考查向量的模的求法，向量的坐标运算，是基本知识的考查2（3分）等差数列an的前n项和为Sn，则2【分析】先求出Snn（），再由“”型极限的计算公式能求出的值【解答】解：Snna1+n（），2故答案为：2【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用3（3分）已知正ABC的面积是，则8【分析】根据三角形的面积公式求出边长，结合向量数量积的公式进行求解即可【解答】解：正ABC的面积是，设边长为a，Saasin60a24，得a216，得a4，向量|cos，44cos12016（）8，故答案为：8【点评】本题主要考查向量数量积的计算，结合正三角形的面积公式求出边长是解决本题的关键4（3分）已知，（k0），若，则正数k【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值【解答】解：；k2+180；又k0；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算5（3分）已知RtABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若A、B、C依次成等差数列，且ABC，则a：b：c【分析】根据A、B、C依次成等差数列，以及三角形是直角三角形求出，A，B，C的大小，结合正弦定理进行求解即可【解答】解：A、B、C依次成等差数列，且ABC，A+C2B，即A+B+C3B，即B，三角形是RtABC，C，A，则a：b：csinA：sinB：sinCsin：sin：sin：11：2，故答案为：1：2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，解等差数列以及条件求出A，B，C的大小是解决本题的关键6（3分）设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则【分析】根据等比数列的通项公式与前n项和的公式表示出S4与a4，进行比值计算再结合q的数值即可得到答案【解答】解：因为数列an是等比数列，所以由等比数列的前n项和公式与通项公式可得，a4a1q3，所以又因为q2，所以故答案为【点评】解决此类问题的关键的是数列掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式，并且进行正确的运算7（3分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4），若存在实数，使得，则实数a4【分析】求出的坐标，列方程组求出a的值【解答】解：（a2，2），（a，4），解得a4故答案为：4【点评】本体考查了平面向量的坐标运算，属于基础题8（3分）已知（nN*），则19【分析】根据an的解析式可知，数列an的前8项是首项为，公差为的等差数列，后n8项是首项为，公比为的等比数列，从而根据等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出：19【解答】解：18+119故答案为：19【点评】考查等差数列和等比数列的前n项和公式，数列极限的计算9（3分）已知等差数列an的公差不为零，且a5+ana10+a20m（m，nN*），则mn的最大值是156【分析】等差数列an的公差d0，由a5+ana10+a20m（m，nN*），利用通项公式可得：m+n25再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：等差数列an的公差d0，a5+ana10+a20m（m，nN*），2a1+（n+3）d2a1+（28m）d，化为：m+n25则mnn（25n）+，当n12或13时，mn取得最大值1213156故答案为：156【点评】本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（3分）设向量，满足|2，|1且，的夹角为，若向量2t+7与+t的夹角为钝角，则实数t的取值范围是（7，）（，）【分析】由题意可得 1，（2t+7）（+t）0，且向量2t+7与+t不共线由（2t+7）（+t）0 求得t的范围；由，解得t的范围，再把这2个t的范围取交集，即得所求【解答】解：由题意可得 21cos1，由于向量2t+7与+t的夹角为钝角，可得（2t+7）（+t）0，且向量2t+7与+t不共线由（2t+7）（+t）0 可得 2t2+15t+70，解得7t再由向量2t+7与+t不共线，可得，解得 t综上可得，实数t的取值范围是 （7，）（，），故答案为：（7，）（，）【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，体现了等价转化的数学思想，属于中档题11（3分）设、都是非零向量，其中任意两个都不平行，已知，则关于x的方程的解x1【分析】根据，即可得出，存在实数s，t，使得，即可得出，从而可求出st1，这样即可得出，即可得出，带入即可得出，从而求出x1【解答】解：，且、都是非零向量，其中任意两个都不平行；根据共线向量基本定理得，存在实数s，t，使：；得：；根据平面向量基本定理得，t1，s1；，；+得：；由得：；x1；x1故答案为：1【点评】考查共线向量和平面向量基本定理12（3分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA4，OB3，OC2，3，则ABC面积的最大值为【分析】先利用向量的数量积公式，求出BOC60，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出ABC面积的最大值【解答】解：OB3，OC2，3，BOC60，BC，设O到BC的距离为h，则由等面积可得，h，ABC面积的最大值为（+4）故答案为：【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键二.选择题13（3分）已知1、a、x、b、9依次成等比数列，则实数x的值为（）A3B3C3或3D不确定【分析】由1、a、x、b、9依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出【解答】解：1、a、x、b、9依次成等比数列，奇数项的符合相同，则x3故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（3分）下列等式中不恒成立的是（）ABCD【分析】利用平面向量数量积的运算律进行判断【解答】解：根据数量积的满足的交换律，可知A项恒成立；由数量积与实数运算的结合律可知B项恒成立；对于C项，只有时，C项才能成立，即C项不恒成立；对于D项，由平方差公式可知，D项恒成立；故选：C【点评】本题考查了平面向量数量积的运算律，属于基础题目15（3分）在数列an中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项（）A不是原数列的项B是原数列的第10项C是原数列的第11项D是原数列的第12项【分析】根据题意，把新数列，每隔4个作为一组，据此分析可得新数列的第41项为第11组的第一个数，即a11，即可得答案【解答】解：根据题意，在数列an中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，设新数列为bn，则有b1a1，b5a2，将数列bn从b1开始的连续4项作为1组，则an为第n组的第一个数，又由41410+1，则新数列的第41项为第11组的第一个数，即a11，新数列的第41项是原数列的第11项；故选：C【点评】本题考查数列的表示方法，注意将新数列分组，分析原数列与新数列的关系16（3分）已知数列an满足an+1pan+2（p0），a1R，则下列命题中的真命题是（）Ap2，则数列an+2一定是等比数列Bp1，a10，数列an不存在极限Cp1，数列一定是等比数列D0|p|1，则数列an的极限为【分析】利用数列的关系式的变换和极限的应用分别对每一个选项进行分析，进一步求出结果【解答】解：对于选项A：当p2时，则数列an+2一定是等比数列故：选项A错误对于选项：B当q1或q1时，数列an不存在极限故选项B错误当对于选项C：由已知数列an满足an+1pan+2（p0），可得，即（常数），所以p1，数列一定是等比数列，对于选项：D，当0|p|1，则数列an的极限为，故选项D错误故选：C【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的极限，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于综合题三.解答题17已知向量和的夹角为60，且|3，（1）求向量在方向上的投影；（2）若，求实数k的取值范围【分析】（1）根据向量投影的定义进行求解即可（2）练习向量模长公式与向量数量积的关系，利用平方法进行求解即可【解答】解：（1）向量在方向上的投影为|cos42（2）若，则平方得k22k+213，即9k22k34+1613，即9k212k+30，即3k24k+10，得或k1【点评】本题主要考查向量投影以及向量模长公式的应用，结合向量数量积的应用是解决本题的关键18已知，且向量、不平行，其中k、t是正实数（1）若，且，求向量、的夹角；（2）若，试求k+2t的最小值【分析】（1）根据向量数量积以及向量模长与数量积的关系进行求解即可（2）根据向量关系，建立系数之间的关系，利用基本不等式的性质进行求解【解答】解：（1），且，（+），则|（+）|2，即2+2+24，即2+4+14，则，即cos，0，arccos（）；（2）若，设x，即，消去x得，k，t都是正实数，则k1+，且t3，2t6，则k+2t1+2t+2（t3）+77+27+27+815，当且仅当2（t3），即t5时，取等号，即k+2t的最小值是15【点评】本题主要考查向量数量积的应用，结合向量数量积与模长关系，以及基本不等式的应用进行转化是解决本题的关键考查学生的运算能力19我们要计算由抛物线yx2，x轴以及直线x1所围成的区域的面积S，可用x轴上的分点0、1将区间0，1分成n个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线yx2上，这些矩形的高分别为0、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn，为求S，只须令分割的份数n无限增大，Sn就无限趋近于S，即（1）求数列Sn的通项公式，并求出S；（2）利用相同的思想方法，探求由函数yx2（1x2）的图象，x轴以及直线x1和x2所围成的区域的面积T【分析】本题第（1）题要在理解题意的基础上列出Sn的表达式然后进行计算，这里要用到公式12+22+32+n2n（n+1）（2n+1）/6，计算出Sn之后就很容易得到S；第（2）题先根据题干中分割区间0，1一样的分割法去分割区间1，2，得到各个矩形的底边长和高，列出Tn的表达式，这里也要用到公式12+22+32+n2n（n+1）（2n+1）/6，计算出Tn之后就很容易得到T【解答】解：（1）由题意，可知：（2）仿照题干中思想，可用x轴上的分点1、1+、1+、1+、2将区间1，2分成n个小区间，在每个小区间上做一个小矩形，使矩形的左端点在抛物线yx2（1x2）上矩形的底边长都是这些矩形的高分别为1，可设所有这些矩形面积的总和为Tn则Tn（2n1）2【点评】本题第（1）题主要考查理解对区间进行分割求和求极限法去求曲边矩形的面积；第（2）题是模仿题干的分割法自己去分割求和求极限求出曲边矩形的面积；本题属中档题20设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点都在的图象上（1）证明：当n2，nN*时，an+an12（2n1）；（2）求数列an的通项公式；（3）设Tn为数列前n项积，若不等式对一切nN*恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）利用数列的通项公式和求和公式的关系可以证明；（2）利用等差数列的通项公式可得结果；（3）化简不等式得（1）对一切nN*都成立设g（n），则只需|g（n）|max，判断g（n）的单调性，即可得到最大值，再解不等式，即可得到a的范围【解答】解：（1）证明：对一切nN*，点都在的图象上n+，化为：Snn2+an当n2，nN*时，Sn（n1）2+an1相减可得：an2n1+anan1an+an12（2n1）（2）由（1）可得an+1+an4n+2，an+2+an+14n+6，相减可得an+2an4，又a12，a24，则an奇数项与偶数项分别成等差数列，当n取奇数时，an2n，当n取偶数时，an2n，故an2n；（3）因为，故，所以，又f（a）a+a（1）对一切nN*都成立设g（n），则只需|g（n）|max，由于1，所以g（n+1）g（n），故g（n）是单调减函数，于是令，即，解得a【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，同时考查不等式恒成立问题，注意运用数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21定义向量（a，b）的“相伴函数”为f（x）asinx+bcosx，函数f（x）asinx+bcosx的“相伴向量”为（a，b）（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设g（x）3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）S