（控制理论与控制工程专业论文）基于直接延时反馈chen电路混沌反控制研究.pdf

摘要 论文题目：基于直接延时反馈c h e n 电路混沌反控制研究 学科专业：控制理论与控制工程 研究生：李文超 指导导师：任海鹏副教授 摘要 签名：盔缝 签名：j 三渔鸥 自l o r e n z 发现第一个混沌吸引子以来，混沌研究取得了长足的进步。它在生物工程、 力学工程、电子工程、化学工程、信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中 都存在着广泛的应用前景。有时，混沌的存在可以提高系统性能，获得非混沌系统不能获 得的性能。在这种情况下，人为地在非混沌系统中产生混沌就是混沌反控制。 本文将以c h e n 系统为例来研究基于直接延时反馈的混沌反控制。首先通过仿真分析 利用直接延时反馈控制在非混沌c h e n 系统中得到了混沌现象，混沌吸引子、时间序列、 l y a p u n o v 指数等指标说明了混沌反控制的有效性。制作了c h e n 电路和延迟电路，通过电 路实验验证了仿真分析的结果。其次，对具有延时反馈的c h e n 系统进行了h o p f 分岔分 析，得到了具有延时反馈的c h e n 系统的局部分岔特性，为混沌控制的参数选择提供了指 导。对具有延时反馈的c h e n 系统中的异宿轨道的存在性进行了分析，利用s h i l n i k o v 方 法从理论上证明了该混沌反控制方法产生了s m a l e 马蹄意义下的混沌现象。利用直接延迟 反馈进行混沌反控制，具有控制结构简单，容易实现的优点，该方法既能够实现混沌反控 制也可以实现混沌控制，给应用带来了极大的灵活性。 利用h o p f 分岔理论分析了具有时延的免疫反应模型，得到了该模型的分岔条件。 关键词： 混沌；反控制；c h e n 系统；h o p f 分岔；s h i l n i k o v 定理 a b s t r a c t t i t l e ：r e s e a r c ho fa n t l c o n t r o lo fc h a o sv i ad l r e c tt i m e d e l a yf e e d b a c k m a j o r ：c o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g n a m e ：w e n c h a ol i s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f h a i p e n gr e n a b s t r a c t s i g n a t u r e ：丝幺幺筮叁， s i g n a t u r e ： s i n c et h el o r e n zd i s c o v e rt h ef i r s tc h a o sa t t r a c t o r , c h a o st h e o r yh a sb e e no b t a i n e dh u g e ， f a r - r e a c h i n gd e v e l o p m e n ti nm a n yf i e l d s c h a o sh a sf a r r a n g i n ga p p l i e df o r e g r o u n di nm a n y f i e l d ss u c ha sb i o l o g i c a le n g i n e e r i n g ，e l e c t r o n i ce n g i n e e r i n g , c h e m i c a le n g i n e e r i n g ，i n f o r m a t i o n e n g i n e e f i n g , a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c sa n de x p e r i m e n t a lp h y s i c sa n ds oo n s o m e t i m e s ，t h e e x i s t e n c eo fc h a o sm a yi m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fs y s t e m u n d e rs u c hc o n d i t i o n ，g e n e r a t i n g c h a o so re n h a n c i n ge x i s t i n gc h a o si sr e f e r r e dt oa sa n t i c o n t r o lo fc h a o s a n t i c o n t r o lo fc h a o su s i n gi sd i r e c tt i m e - d e l a yf e e d b a c ks t u d i e di nt h i st h e s i s c h e n c i r c u i ti su s e da sap a r a d i g mf o ra n a l y s i sa n de x p e r i m e n t f i r s t l y , c h a o si sg e n e r a t e di nc h e n c i r c u i tu s i n gt h ep r o p o s e dm e t h o d ，p h a s ep l o t ( c h a o t i ca t t r a c t o r ) ，l a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t ， t i m es e q u e n c ea n dp o w e rs p e c t r u mo fs t a t ev a r i a b l ea r cg i v e nt oc o n f i r mt h ec h a o si si n d e e d g e n e r a t e d c i r c u i te x p e r i m e n ti sc o n d u c t e dt oc o n f i r mt h a tt h ec h a o sc a nb eg e n e r a t e di nc h e n c i r c u i t l o c a lb i f u r c a t i o na n a l y s i sf o rt h ec o n t r o l l e ds y s t e mi sc o n d u c t e du s i n gh o p fb i f u r c a t i o n t h e o r y b i f u r c a t i o nb o u n d a r yi sd e r i v e d ，w h i c hi su s e f u lf o rp a r a m e t e r ss e l e c t i o no fc h a o s c o n t r 0 1 t h eu n d e r m i n e dc o e f f i c i e n tm e t h o di su s e dt oc a l c u l a t eh e t e r o c l i n i co r b i ti nt h e d e l a y f e e d b a c kc o n t r o l l e dc h e ns y s t e m s h i l n i k o vt h e o r e mi su s e dt op r o v eh o r s e s h o et y p e c h a o sa r ei n d e e dg e n e r a t e di nt h ec o n t r o l l e dc h e ns y s t e m t h ec h a o t i f y i n gc o n t r o lv i ad i r e c t t i m e - d e l a yf e e d b a c ki ss i m p l ei ns t r u c t u r ea n de a s yt or e a l i z e t h em e t h o dc a nr e a l i z eb o t ht h e c o n t r o la n da n t i c o n t r o lo fc h a o s ，w h i c hi sq u i t ef l e x i b l ei nu t i l i z a t i o n 。 w ea l s oa n a l y s i st h eh o p fb i f u r c a t i o no ft i m e d e l a y e di m m u n e r e s p o n s em o d e l k e yw o r d s ：c h a o s ；a n t i c o n t r o l ；c h e ns y s t e m ；h o p fb i f u r c a t i o n ；s h i l n i k o vt h e o r e m i i i 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我 个人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人韵研究成果。与我一同工作的同志对本文所研究的工 作和成果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：盘墼o 了年3 月弓1 日 学位论文使用授权声明 本人么鲤整在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩， 并已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意 授权西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定 提交印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生 上交的学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索：2 ) 为 教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、 资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：7 煮蠼 导师签名： 至望盈遵 d 解乡月弓，日 绪论 1绪论 1 1 引言 作为非线性科学中最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混沌学的创 立和发展，开创了非线性科学的新纪元，被誉为2 0 世纪物理学上继相对论和量子力学之 后的第三次革命。 所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动 力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界诸如物理、化学、生物学、地质 学以及技术科学、社会科学等各种科学领域。一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难 以预测，隐含于复杂系统但又不可分解。 混沌学研究的一个重大突破，发生在以保守系统为研究对象的天体力学领域，k a m n 川定理被公认为是创建混沌学理论的历史性标记。1 9 5 4 年，a n k 0 1 m o g o r o v 在阿姆 斯特丹国际数学大会上宣读的论文在具有小改变量的h a m i l t o n 函数中条件周期运动的 保持性，被公认为是具有划时代意义的科学文献。他研究了解析h a m i l t o n 系统的椭圆周 期轨道的分类，发现了一个充分接近可积h a m i l t o n 系统的不可积系统。若把此不可积系 统当作可积h a m i l t o n 函数的扰动来处理，则在小扰动条件下，系统运动图像与可积系统 基本一致；而当扰动足够大时，系统图像在本质上发生了改变。1 9 6 3 年，k o l m o g o r o v 的 学生vi a r n o l d 对此给出了严格的数学证明。差不多同一时间，瑞士数学家j m o s e r 对此 给出了改进表述，并给出了数学证明。k a m 定理就是以他们三人名字的首位字母命名的。 这是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得的最成功的结果，具有极为重 要的理论价值。 1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现，当选取一定参数的时候，一个由 确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型变得不可预测。在研究的过程中，l o r e n z 观察到了这个确定性系统的规则行为，同时也发现了同一系统出现的非周期无规则行为。 这一论点打破了l a p l a c e 决定论的经典理论，这种新现象也是当时的科学家所无法解释的。 随后l o r e n z 又首先提出了“蝴蝶效应”，他形象地说：“巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀， 可能会引起德克萨斯州的一场龙卷风”，即一种对初始条件的极其敏感依赖性。后来人们 认识到，当时l o r e n z 提出的确定性非周期流现象其实就是一种混沌现象。l o r e n z 本人也 因之被称为“混沌之父”。1 9 6 3 年l o r e n z 发表了著名的论文确定性非周期流 4 1 以后 又陆续发表了三篇论文。这组论文是混沌研究的重大突破，成了后来研究耗散系统混沌现 象的重要文献。l o r e n z 还在研究中发现了第一个奇怪吸引子- - l o r e n z 吸引子。他为混沌 研究提供了一个重要模型，并最先在计算机上采用数值计算的方法进行具体研究，为以后 的混沌研究开辟了道路。 西安理工大学硕士学位论文 2 0 世纪7 0 年代，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。1 9 7 1 年，法国数学物理学家 d r u c l l c 和荷兰数学家et a k c n s 为耗散系统引入了“奇怪吸引子这一概念“1 。 1 9 7 5 年，李天岩和j a y o r k c 在他们著名的论文周期三意味着混沌“1 中首次深刻 揭示了从有序到无序的演变过程，为以后的一系列研究开辟了方向。他们第一次给出了一 个混沌意义，并得到了一个混沌判定定理。此后，“混沌”( c h a o s ) 作为一个新的科学名 词正式出现在科学文献中。 1 9 7 6 年美国数学生态学家m a yr 在美国自然杂志上发表的题为具有极复杂的 动力学的简单数学模型文章中指出 ，在生态学中一些简单的确定性的数学模型却能产 生看似随机行为，以单峰映射为对象，重点讨论了著名的l o g i s t i c 方程： + 。= 瞩( 1 一吒) 称之为虫口模型。他系统地分析了该方程的动力学特征，考察了混沌区的精细结构，绘制 了分岔轮廓图，汇集了周期窗口、叉型分岔、切分岔、基本动力学单元、不动点谐波等混 沌学词汇，促进了不同领域中的混沌研究联成一体。 1 9 7 6 年，法国天文学家m h d n o n 从研究球状星团以及l o r e n z 吸引子中得到启发， 给出了下面的h d n o n 映射1 ： i “2 爿一占) ，。一) 唁 t y 柑= 吒 当彳；5 ，b = 0 3 或彳一1 4 ，曰= 一0 3 时，系统存在一种简单的奇怪吸引子。h d n o n 用它 建立了“热引力崩坍”理论，并解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。 1 9 7 7 年夏，物理学家j f o r d 和qc a s a t i 在意大利组织了关于混沌研究的第一次国际 性科学会议，标志着混沌研究在国际科学界的正式起步。 从7 0 年代未到8 0 年代初，混沌研究在湍流研究、生物种群学、分形几何学、实验物 理学等领域取得了一系列丰硕成果，已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课题、独 特的概念体系和方法论框架的新学科。从8 0 年代以来，混沌研究在工程、数学、物理、 化学、生物、医学、经济以至社会科学等众多领域蓬勃开展，已提出了多种控制混沌的方 法，诸如参数扰动方法、纳入轨道和强迫迁徙方法、工程反馈控制方法以及混沌同调等等。 在理论上，非线性动力学关于分叉、混沌、稳定流形等也有较深入的研究。 9 0 年代是混沌与其他科学相互渗透、相互发展的年代，关于混沌的研究几乎跨越了 自然科学和社会科学的所有领域，也出现了突破性的进展，由此激发起来的理论与实验应 用研究使得混沌理论在多个领域得到应用。混沌同步、超混沌、混沌保密通讯、混沌神经 网络、混沌经济学等方向都已有成果。 近来，混沌系统的控制问题引起了国际上的控制和工程学家们的足够重视。一方面是， 对某些实际系统出现分叉和混沌往往是不希望的，甚至是有害的。人们希望找到一些方法 来控制系统中的分岔和混沌行为；另一方面，混沌在某些环境下是十分有用的。因此，如 2 绪论 何发掘混沌系统特有的功能而造福人类，是一个极其重大而深远的课题。 1 2 混沌基本理论 1 2 1 混沌的定义 目前，科学界对混沌的定义还没有统一，现主要以下三种混沌定义：l i y o r k e 意义下 的混沌，d e v a n e y 意义下的混沌，及s m a l e 马蹄意义下的混沌意义下的混沌。 l i y o r k e 定义1 ：设连续自映射，：i 呻，cr ，是尺中一个子区间。如果存在不可 数集合sc ，满足： ( 1 ) s 不包含周期点； ( 2 ) 任给墨，x 2e s ( x , 再x 2 ) ，有 h m s u v l f ( 五) 一f 暖：) i o 1 1 巴i n f i ，( x 。) 一厂( x ：) l = 0 这里厂( ) = ，( 厂( 厂( ) ) ) 表示f 重函数关系； ( 3 ) 任给x ，s 及厂的任意周期点p e i 有 ；i m s u p l f ( 墨) 一，( p ) l o 。 则称厂在s 上是混沌的。 这个定义是针对一个集合提出来的，但它却表明了混沌的几个重要的特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个不稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个不稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一条稠密的非周期轨道。 l i y o r k e 定义还表明在区间映射中，对于集合s 中的任意两个初始值经过多次迭代， 两个序列之间的距离上限可以为大于o 的正数，下限为0 ，这就是说当迭代次数趋于无穷 时，序列简单距离可以在每个正数和o 之间游荡，即系统的长期行为是不可预测的。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的又一定义阳1 ： 设x 是一个度量空间。一个连续映射，：x 呻x 称为x 上的混沌，如果： ( 1 ) f 是拓扑传递的，对x 上的任意对开集y ，z ，存在k 0 ，厂七u z g ( 如 一映射具有稠密轨道，则它是拓扑传递的) ； ( 2 ) 厂的周期点在x 中稠密； ( 3 ) ，具有对初始条件的敏感依赖性，存在6 0 ，对任意的 0 和任意的x x ， 在x 的，邻域内存在y 和自然数珂，使得d ( 厂“( 石) ，“( ) ，) ) 6 。 3 西安理工大学硕士学位论文 s m a l e 马蹄意义下的混沌t 1 0 l ：在二维系统中，最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。 马蹄映射f 定义于平面区域d 上，( d ) c d ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半 圆构成。映射规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于1 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ， 再弯曲成马蹄形后放回s 中。马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交，映射在这个不变 集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌。 1 2 2 混沌的特点 混沌具有如下特征： ( 1 )内随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态既可能出现，也可能不出现， 该系统就被认为具有随机性。如果在原来完全确定的系统内部产生了随机 性，我们称它为内随机性。混沌现象所产生的根源在系统的内部，而不在外 部的影响，也就是说混沌具有内随机性。 ( 2 ) 分维性质：混沌态具有分维性质，但其非整数维不是用来描述系统的几何外 形，而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。 ( 3 ) 普适性：混沌是一种无周期性的“高级”有序运动。如果数值的或实验的分 辨率够高，可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动。在研究混沌的转变中， 出现某种标度不变性，代替通常的空间或时间周期性：所谓普适性，是指在 趋向混沌时所变现出来的共同特征，它不依具体的系数以及系统的运动方程 而变。 1 2 3 描述混沌特征量 直观地描述混沌，一般采用时域中的波形图和相空间中的相图。但要进一步的进行描 述，就要给出混沌的一些特征，然后用这些特征量细化其特性。目前，描述混沌现象时， 常采用的特征量有：l y a p u n o v 指数、测度熵、分维数、功率谱指数等n 。 ( - 1 ) l y a p u n o v 指数：它是描述动力学系统状态演变的一个量化指标，它能够度量 系统相空间中邻近轨道的发散速率，或者说它可以刻画状态空间的解对于初 值的敏感程度，是混沌解性态的一个定量标志。系统中只要有一个l y a p u n o v 指数大于o ，这条相空间轨道就可能是混沌的。 ( 2 ) 测度熵：测度熵又称k s 熵，是系统信息损失的平均值。对于规则运动，系 统的测度熵为零。混沌系统的测度熵是一个有限正常数。利用测度熵可以区 分混沌运动与随机运动，因为随机运动的测度熵为无穷大。和测度熵相联系 的一个几何概念是拓扑熵，拓扑熵给出了轨道数目随轨道长度以指数规律增 加的度量。正的拓扑熵意味着系统运动中有不规则成分，并不表明这种不规 4 绪论 则成分可以观测，即表现出混沌运动。 ( 3 ) 分维数：如果说混沌是在时间尺度反映了世界的复杂性态，那么与它密切相 关的分形则在空间尺度上反映了世界的复杂性态。混沌态的分数维是混沌态 几何构造复杂程度的定量标志。基于相空间重构技术的关联维数是常用的混 沌特征量。 ( 4 ) 功率谱指数：纯随机运动包含一切可能的频率成分，而一切非随机运动都有 一定的特征时间尺度或频率结构。功率谱分析恰好可以反映这种时间信号的 频率结构，功率谱中的带宽，被作为判别是否存在混沌的一个简单指示。 1 2 4 通向混沌的道路 人们不仅可以根据混沌系统的定性和定量特性来考察系统是否具有混沌行为，而且也 可以从实验和理论两个方面来研究非线性系统中控制参数改变时发生混沌的途径。1 9 8 1 年，e c k m a n n 归纳了三种通向混沌的主要途径 1 2 1 ： ( 1 ) 倍周期分岔通向混沌( f e i g e n b a u m 途径) 一种规则的运动状态( 如某种定态解或者周期解) 可以通过周期不断加倍的 倍周期分岔方式逐步过渡到混沌运动状态。 ( 2 )阵发性通向混沌( p o m e a u m a n n e v i l l e 途径) 一种规则的运动状态通过有时规则、有时混乱的间歇( 阵发) 状态转变为混 沌运动状态。 ( 3 ) h o p f 分岔通向混沌( r u e l l e t a k e n s n e w h o u s e 途径) 一种规则的运动状态最多经过3 次h o p f 分岔就能够转变为混沌运动状态。 1 。3 课题意义及主要内容 自混沌理论在2 0 世纪6 0 年代出现以来，混沌控制与反控制一直是其研究的中心课题， 目前对于混沌控制与反控制的研究已经取得了许多成果，也成为富有挑战性的研究课题之 一。本课题主要研究一种新的混沌反控制方法一直接延时反馈混沌反控制。本文共分五章， 主要研究成果反映在第三、四、五章，论文内容安排如下： 第一章为绪论，主要介绍了本文选题的背景和研究的意义。 第二章介绍了混沌控制与反控制的主要概念和方法。 第三章介绍了使用电路实现直接延时反馈c h e n 系统混沌反控制，实验和仿真结论相 一致，证明了该方法的有效性。 第四章进行了直接延时反馈c h e n 系统反控制的h o p f 分岔研究，分析的结论与实验、 仿真结论相一致，证明了理论分析的正确性。 5 西安理工大学硕士学位论文 第五章使用待定系数法，证明了上述系统具有s h i l n i k o v 轨道，并获得了该轨道的方 程参数，从而证明了该系统应是马蹄意义下的混沌。 第六章对一种具有延时的免疫反应模型进行了h o p f 分岔分析 6 混沌的控制与反控制 2 混沌的控制与反控制 2 1 引言 混沌控制是目前非线性科学中一个十分活跃的研究领域。在许多实际系统中，混沌现 象作为一种不期望的现象，可能导致振荡或无规则运行，进而使系统崩溃，因此人们希望 找到一些方法来控制系统中的混沌行为。另一方面，混沌吸引子即不重合又不交叠的扭曲 模式又可用来实现复杂的智能行为。 由于混沌现象内在的复杂性，使得人们曾经一度认为混沌现象是不可预测和不可控制 的。然而，近年来的研究表明，混沌是可以预测和控制的，而且在实际中也是很有用的。 因此混沌控制和反控制的研究已成为工程、物理、数学和生物医药等学科的研究热点。 本章首先给出混沌控制和反混沌控制的基本概念和特点，然后介绍一些现有的混沌反 控制方法。 2 2 混沌控制及其特点 混沌控制是指通过适当的方法减弱或消除系统中的混沌现象。在有些场合，混沌是一 种不期望的现象，它可能导致振荡或无规则运行，使系统彻底崩溃。如在许多复杂工业过 程中，其动态性能经常显示出一些不可预测的扰动，以前认为这些扰动是由随机噪声引起 的，通常使用统计的方法将其滤掉，但随着混沌理论的提出和研究的深入，人们意识到这 是一种只能控制而不能忽略的现象。因而有必要研究如何控制混沌。 研究各种有效的混沌控制方法，对各种不利的混沌现象进行控制，是一个新的概念和 尝试，有着广泛的应用前景。加利福尼亚州立大学伯可利分校从事了多年大脑神经科学研 究的f r e e m a n 教授指出，“大脑中被控制的混沌现象其实不仅仅是大脑复杂性的一种副产 品”，控制混沌现象的这种能力“可能是大脑区别与任何一种人工智能机器的主要特征 1 3 1 。在混沌保密通信中，把复杂的混沌信号混合在有用信号之中发射出去，对这种信号 的破译是十分困难的，在接收端利用混沌同步技术可以解调出有用信息。在医学上人们已 经开始了控制心脏节律的研究，目的是使心脏的混沌运动转变为规则的周期脉动，甚至研 究控制人类大脑活动的行为。此外，控制混沌的技术还被应用到神经网络，激光，化学反 应过程，流体力学，非线性机械系统和非线性电路等领域。 混沌控制的一些方法： ( 1 ) o g y 方法【，l 钉：o g y 的控制方法是o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 在1 9 9 0 年提出的 一种参数微调方法，它是一种比较有效地控制混沌运动的方法，它建立在混 沌吸引子中镶嵌有无数个不稳定周期轨道的理论基础上，利用混沌运动对很 7 西安理工大学硕士学位论文 小的参数扰动敏感和混沌运动的遍历性，给混沌运动系统一个较小的参数扰 动控制量，把系统运动状态控制到某一周期轨道( 不动点) 。 ( 2 ) 反馈控制方法：反馈控制包括线性反馈和非线性反馈。这两种方法虽然不尽 相同，但它们的本质都是利用系统的状态变量作为用于控制的反馈信号。该 方法无需等到系统靠近不动点，可以在任意时刻施加控制，只是控制必须是 建立在系统模型己知的情况下。 ( 3 )自适应控制方法：随着混沌控制的广泛应用，自适应原理也不仅被应用于连 续系统，而且被应用于离散映像。自适应控制虽然需要知道系统的动力学模 型，但并不需要知道系统参数的具体值。 2 3 混沌反控制及其特点 近来的研究表明，在有些情况下混沌是有用的。人们利用混沌的兴趣正不断增加。其 最大的动因是混沌系统能够展示其所有的动力学特征，一个受控的混沌系统能够给设计者 提供多种特性、极大的灵活性和机会。传统的工程设计方法通常以失去了灵活性为代价力 图完全消除混沌现象。但这常常被证明是没有必要的。 混沌的潜在应用包括诸如电力系统崩溃保护、高能流体混合、复杂系统优化、大脑神 经网络分析、图像数据加密、保密通信、高速检索、决策论的非线性预测、非线性系统辨 识、故障诊断、计算机图形处理、电路设计、通信和信息处理、生物医学工程和在消费电 子产品中的应用，例如噪声消减等。因此，在过去2 0 年中，混沌在工程系统中逐渐由被 认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以研究。混沌反 控制是随着混沌控制研究的不断深入而逐步提出来的。 混沌反控制的概念主要是指通过外部输入或内部参数调整等方法使原来非混沌的系 统变成混沌，或者使原来混沌系统的混沌变得更强烈( 如有更大的l y a p u n o v 指数) ，即有 目的地产生或强化混沌现象。对一个给定的动力系统，不管它是线性的还是非线性的，连 续的还是离散的，时变的还是非时变的，稳定的还是不稳定的，我们的目标是要设计一个 简单可操作的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器来使受控的系统产生( 或加强己有 的) 混沌行为。 纵观混沌发展的历史，起初人们认为混沌是不可控的，1 9 9 0 年o g y 方法的提出才彻 底改变了这种观点。近十多年来，混沌控制与同步得到了蓬勃发展。2 0 世纪9 0 年代中期， 人们发现混沌有时不但是有用的，而且需要得到强化。这导致了近年来混沌反控制研究的 迅速崛起。混沌反控制在理论上非常有吸引力，而且在技术上非常有挑战性，因为它涉及 非常复杂的混沌现象以及各种相关的高维非自治系统的控制和稳定性。无论如何，人们已 经尝试通过各种途径来实现这个目标，其中包括计算机仿真和发展完全而严格的数学理论 来实现它。在这些探讨中，关于离散系统的混沌反控制的研究工作己经取得了巨大的成功， 8 混沌的控制与反控制 即对于任意给定的一个有限维离散系统，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、 非混沌的甚至稳定的，我们总可以设计一个简单的非线性状态反馈控制器，来使受控的系 统产生混沌现象，而且所产生的混沌是严格数学意义下的混沌。对于连续系统，则情况变 得非常复杂，但人们也进行了大量的尝试，并且也取得了一定的进展。 2 4 混沌反控制的方法 1 9 9 8 年，c h e n 等提出针对离散系统进行混沌反控制的反馈控制方法，使离散混沌系 统产生了l i y o r k e 意义下的混沌现象1 1 5 | 。1 9 9 9 年，w a n g 等给出了该方法的理论证明n 。 2 0 0 0 年，w a n g 和c h e n 等提出具有小幅值正弦函数形式的延迟反馈控制一间接延迟反馈控 制，并将其应用于线性最小相位系统、c h u a 电路、l o r e n z 系统和感应电机中，使它们产生 了混沌现象 1 7 - 2 0 1 。2 0 0 1 年，t a n g y f l l c h e n 等人又提出采用绝对值反馈产生混沌，并将这种 机制应用于线性系统、d u f f e r i n g 振子和无刷直流电动机让卜2 3 1 。最近几年，人们又提出基于 反馈线性化的混沌反控制方法1 2 4 1 采用分段线性控制函数的混沌反控制方法 2 s - z 0 1 。这些 混沌反控制方法为混沌的工程应用进行了有益探索。 基于直接延迟反馈嘲1 进行混沌反控制是一种新的、有效的混沌反控制方法，这种方 法与p y r a g a s 提出的用于混沌控制的延迟反馈方法啪1 具有相同的控制器结构。 该方法不同于前面提到的间接延迟反馈控制，首先，从控制形式上来说，直接延迟反 馈控制方法不需经过正弦函数变换，实现方法更为简单；其次，具有正弦形式的延迟反馈 控制，对非线性系统进行控制时，必须进行反馈线性化，要找到适合的输出函数使系统能 够满足反馈线性化条件，这样就使计算过程和实际的控制函数形式更为复杂。 9 西安理工大学硕士学位论文 3 基于直接延时反馈的c h e n 系统混沌反控制 3 。1 引言 首先，考虑一个非线性系统： 圣。厂 ) + “ 其中x e r 一为系统状态，u 为控制控制量， ) 为x 的非线性函数。当u = 0 时，该 系统处于非混沌状态。 选择控制量为h k ( 工( f ) 一戈( f f ) ) ，其中k 为nx n 。即可以实现系统的混沌反控制。 本文将以直接延时反馈反控制c h e n 系统为例来进行研究。本章将介绍该系统的数学 模型和电路实现。 3 。2 数学模型 c h e n 于1 9 9 9 年在混沌系统的反控制( 或称为混沌化) 的研究中发现了一个新的系统， 随后，该系统被其他研究者称为c h e n 系统。这个新的系统可以描述为呦1 ： 戈( f ) - a ( y ( o x ( f ) ) 夕( f ) - - ( c 一口) 工( t ) 一x ( f ) z ( f ) + 哕( f ) ( 3 1 ) 2 ( f ) - - x ( t ) y ( , ) - b z ( , ) 当参数为a ：3 5 ，b ；3 n c ；1 8 5 时，系统为非混沌状态，在这组参数下系统的平衡 点为m 3 ： 0 = ( 0 , 0 ，0 ) d + 一( 石，垢，2 ) d + 一( 一垢，一垢，2 ) 在初始条件( o 1 ，0 1 ，0 1 ) 时，仿真结果如图3 1 。 对处于非混沌区的c h e n 系统引入直接延时项“= k ( x ( f ) 一x ( t f ) ) ，可以使系统出现 极限环和混沌现象。方便起见，将延时项加在c h e n 系统的第三项，数学模型如下： 戈( r ) = n ( y ( f ) 一x ( t ) ) 夕( f ) = ( c 一口) x ( f ) 一x ( f ) z ( f ) + 掣( f ) ( 3 2 ) 2 ( f ) = x ( f ) y ( f ) 一6 z ( f ) + k ( z ( f ) 一z ( f f ) ) 其中，k 为反馈增益，f 为延时时间。 1 0 基于直接延时反馈的c h e n 系统混沌反控制 ，一 图3 1 参数为a 一3 5 ，b - 3 和c 。1 8 5 时c h e n 系统的相图 f i g 3 1t h ep l a n ep h a s ed i a g r a mo fc h e n ss y s t e m w h e np a r a m e t e r sa r ea 一3 5 ，bs 3a n dc - 1 8 5 选择控制参数k 一1 6 ，百一2 2 s ，仿真结果如图3 2 。 图3 - 2k 一1 6 ，r 一2 2 s 时，系统( 3 2 ) 的相图 f i g 3 - 2t h ep h a s ep l a n ed i a g r a ms y s t e m ( 3 2 ) w h e np a r a m e t e r sa r ek g i l l1 6a n df 一2 2 s 选择k = 2 8 5 ，z 一0 3 s ，仿真如图3 3 。这些混沌吸引子初步表明系统处于混沌状态。 下面将通过实验验证系统的混沌反控制。 图3 - 3k = 2 8 5 ，r o 3 s 时，系统( 3 2 ) 的相图 f i g 3 3t h ep h a s ep l a n ed i a g r a ms y s t e m ( 3 2 ) w h e np a r a m e t e r sa r ek 一2 8 5a n df o 3 s 1 l o 叠 协 ， o 2 o 薯5 一 一 _ 一了 y 西安理工大学硕士学位论文 1 2 3 3 电路模型 用电路实现直接延时反馈反控制c h e n 系统将分为两部分： ( 1 ) c h e n 系统部分的电路设计，采用线性电阻、线性电容、运算放大器( l f 3 4 7 ) 、 模拟乘法器( a d 6 3 3 ) 来设计实现c h e n 电路。考虑到a d 6 3 3 的输出倍数为 1 1 0 ，因此，我们将原系统改为： 戈( f ) 一口( y ( f ) 一x ( r ) ) 夕( f ) = ( c 一口) x ( f ) 一1 帆( f ) z ( f ) + 哕( f ) 三( f ) - l o x ( t ) y ( t ) - b z ( t ) * k ( z ( t ) - z ( t - r ) ) 电路设计如下： 图3 - 4 直接延时反馈反控制c h e n 系统的电路图 f i g 3 4t h ec i r c u i to f d k c c tt i m ed e l a yf e e d b a c kc o n t r o l l e dc h e n ss y s t e m 因此根据电路理论及各元件的特性，可得电路方程： 基于直接延时反馈的c h e n 系统混沌反控制 戈；型拿鱼2 ；x + 土) ， 啦c l ( 呸+ r ) r b q 。 夕一r r - ( 墨田+ r z ) j 云i ：= i 三i 主差；害莲；乏芋一j i 惫澎 汪黜( 糍矧气r 1 9 叫 z篁一_-一lz一一zv l 躺g ( 如+ 如) i 墨。( 墨，+ 足。)足。j + _ l f 一型唑址型 如gl 足，民( 如+ 如) 其中为z ( f f ) 的缩写。 对比c h e n 系统的数学模型，可知： 垒! 粤鱼! ：；墨l ；口 r 咫c 1 【恐+ 玛) r 忍q 乃+ 笼刁 ”菇zi r 墨( r 。+ r ：) 夏j i i i i 乏弓言羞三丽2 ( c 一口) 墨。置- ( r 。+ r ：) 页j j 瓦瓦i j 际r i 6 & i i 瓦瓦j j 西可。c 鱼! 鱼 。1 r 。r ，r ，c ： 鱼亟垦! ! 生；】 如如g ( b 。+ r 。) 墨。 恐。( r ，+ r ，)置。( r 。+ 墨，) r ：。r ：，c 3 ( + r 。) 置。( r ，+ r 。) = b r 9 r 2 3 r 6r 9 尺2 4 r 6 ( 尺2 1 + j 匕) 矿 尺2 ，尺2 0 c 3r 。r ，j b 尺2 0 c 3r 。j k ( 足：+ 匕) ( 2 ) 模拟信号延时部分的设计。如何获得精确的、长时间的延时信号是该系统电 路设计的一个难点，我们将采用以a d 7 5 6 9 为核心，配合s d r a m 和c d 4 0 4 0 来设计电路。a d 7 5 6 9 是一种具有a d 、d a 功能的转换芯片a d 7 5 6 9 ，该 芯片不但速度高，而且还具有完善的接口功能，是信号处理较为理想的器件。 电路图设计如下： 1 3 西安理工大学硕士学位论文 图3 - 5 模拟信号延时电路 f i g 3 - 5a n a l o gd e l a yc i r c u i t 3 4 仿真与电路实验结果的对照 果。 1 4 本节将介绍使用电路来实现直接延时反馈反控制c h e n 系统的仿真结果及电路实验结 选择电路参数如下： 墨畋咄以战名觇。哦。咄。地，如，= 1 0 k 恐，畋：如，= r 2 4 = ，畋。畋，如。= 1 0 k 咫= 2 8 6 m f 2 ，r = 1 6 5 0 0 f f 2r 玛= 1 8 5 0 0 f 2 ，r o = 3 0 0 0 q ，r 。= 6 0 0 0 0 f 2 ，r 2 = 1 0 0 0 f 2 ， r 5 = 3 3 3 0 m e 2 ，蜀8 = 1 7 6 5 q ，如= 1 0 m f f 2 ，r 5 = 1 0 0 0 f 2 ， c 1 = 巴= c 3 = 1 0 0 0 0 p f ，尺2 6 决定k 值。 ( 1 ) k ；1 6 ，z ；2 2 s ，忍。= 1 6 0 f f 2 ，图3 - 6 和图3 7 分别给出了在该组参数下仿 真和实验结果的对照图。 ( 2 )k ：1 5 2 ，z ：o 6 5 5 3 6 s ，足。= 1 5 2 e 2 时，图3 8 和图3 - 9 分别给出了仿真和 实验结果的对照图。 ( 3 )k ：2 8 5 ，百；o 3 s ，r ，。；2 8 5 f 2 时，图3 1 0 和图3 。1 1 分别给出了仿真和实 验结果的对照图。 ( 4 )时间序列和功率谱对照，混沌信号具有很宽的功率谱密度，宽功率谱密度是 混沌现象的一个表征参数之一，为了研究信号的功率谱，在情况( 2 ) 的系统参 数下，分别给出了仿真和实验得到的时间序列和功率谱图，如图3 1 2 所示。 基于直接延时反馈的c h e n 系统混沌反控制 采用相空间重构方法计算在该情况下的最大l y a p u n o v 指数为0 9 2 7 ，可见系 统确实处于混沌状态。 n n 图3 - 6k - 1 6 ，f 一2 2 s 时系统( 3 2 ) 的仿真结果 f i g 3 6t h es i m u l a t i o nr e s u l t so fs y s t e m ( 3 2 ) w h e n p a r a m e t e r sa r ek 一1 6a n df 2 2 s x y 相 x z 相 y z 相 图3 7k 一1 6 ，r 。2 2 s 时系统( 3 2 ) 的实验结果 f i g 3 7t h ee x p e r i m e n tr e s u l t so fs y s t e m ( 3 2 ) w h e n p a r a m e t e r sa r e k 一1 6a n df = 2 2 s 1 5 西安理工大学硕士学位论文 1 6 1 , 4 n 图3 - 8k 一1 5 2 ，f 。0 6 5 5 3 6 s 时系统( 3 2 ) 的仿真结果 f i g 。3 - 8t h es i m u l a t i o nr e s u l t so fs y s t e m ( 3 2 ) w