（基础数学专业论文）椭球面与非直纹二次曲面的交线的参数化.pdf

、摘要 二次曲面作为表示形式最简单的一种曲面，在c a d c a m 以及计算机动画设计中 有非常广泛的应用。椭球面是有界的特殊的二次曲面，它的特殊性在实际应用中利用 率很高。计算两二次曲面的交线是立体造型系统计算三维物体边界表示的一个非常 重要的操作，同时还可应用在其它的几何处理算法中。 若两二次曲面至少有一个是直纹面，它们交线的训算是比较简单的。若两二次曲 面都不是直纹面时，根据两二次曲面的特征方程的根的分布情况判断交线的类型，再 根据交线的类型对两个二次曲面进行标准化，使其中一个二次曲面转化成一个直纹 面。本文给出椭球面与非直纹二次曲面交线的参数化算法和与交线类型对应的例子。 关键词：二次曲面，交线，椭球面，直纹面，特征方程，二次曲面束 第i 页 a b s t r a c t q u a d r i cs u r f a c e sa r et h es i m p l e s tc u r v e ds u r f a c e sa n da r ew i d e l yu s e di nc a d c a m o rs o l i dm o d e l i n ge l l i p s o i di st h es p e c i a la n db o u n d a r yq u a d r i cs u r f a c e ，w h o s es p e - e i m i t yi sh i g h l yu t i l i z e di nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n c o m p u t i n gq u a d r i cs u r f a c ei n t e r - s e c t i o nc u r v ei sa ni m p o r t a n to p e r a t i o ni nc o m p u t i n gt h eb o u n d a r yr e p r e s e n t a t i o no f at h r e ed i m e n s i o n a lo b j e c ti ns o l i dm o d e l i n gs y s t e m ，a n di sa p p l i e di no t h e rg e o m e t r i c p r o c e s s i n ga sw e l l i fa tl e a s to n eo ft w oq u a d r i cs u r f a c e si sr u l e ds u r f a c e ，c o m p u t i n g t h e i ri n t e r s e c t i o ni ss i m p l e r i fn o l l eo ft w oq u a d r i cs u r f a c e si sr u l e ds u r f a c e ，j u d g e t h et y p eo fi n t e r s e c t i o no nt h eb a s i so ft h er o o td i s t r i b u t i o no fc h a r a c t e r i s t i ce q u a - t i o n so ft w oq u a d r i cs u r f a c e sa n dt h e ns t a n d a r d i z et w oq u a d r i cs u r f a c e sa c c o r d i n gt o t h et y p eo ft h ei n t e r s e c t i o n ，w h i c hc o n v e r t saq u a d r i cs u r f a c ei n t or u l e ds n r f a c o t h i s p a p e rp r e s e n t sap a r a m e t e r i z e da l g o r i t h mo ft h ee l l i p s o i da n di n t e r s e c t i o no fu n r u l e d q u a d r i c ，a n dp r o v i d e sc o r r e s p o n d i n ge x a m p l e st ot h et y p eo fi n t e r s e c t i o n k e y w o r d s ：q u a d r i cs u r f a c e ，i n t e r s e c t i o n ，e l l i p s o i d ，r u l e ds u r f a c e ，c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ，p e n c l i lo fq u a d r i cs u r f a c e 第i i 页 第一章引言 椭球面是既有界且闭的特殊的二次曲面，研究椭球面与其它二次曲面的位置关系 和求交线是在c a d 、c a m 和计算机动画设计中很重要的。二次曲面可分为直纹面与 非直纹面，所谓直纹面是可用一些直线集来表示的二次曲面。 1 1计算二次曲面的实交线的算法分类 在实空间中对计算二次曲面的实交线算法有许多方法，由于目的的不同它们采 取的技术也不同。有些方法侧重于对实交线的几何形状的计算和显示，有些则侧重于 实交线的拓扑分类。这些方法从不同的假设，求出实交线的不同层次的信息。总体上， 已有的算法可分为几何法和代数法两种。几何法主要是利用二次曲而一些特有的几 何属性来计算两二次曲面实交线【1 【2 【3 【4 5 l ，算法比较稳定，但只能对一些特殊的二 次曲面，如球、圆柱、圆锥等交线的计算，这类二次曲面被称为自然二次曲面 6 卜相 对于几何方法的局限性，代数法由于可以计算任意两二次曲面之实交线，因此得到了 更广泛的研究。以下我们介绍几种主要的代数法。 1 1 1l e v i n 方法 l e v j n 方法 7 j f 8 】 9 是最早出现的计算两个任意二次曲面交线的方法之。它基于 两个二次曲面形成的二次曲面束中必然存在一个实的直纹面，并且实交线一定落在 个简单的直纹面上。简单的直纹面包括双曲抛物面、双曲或抛物柱面、退化的二次曲 面。 为了计算两二次曲面的实交线，l e v i n 方法首先从给定的二次曲面束中找到一个 简单的直纹面，将此直纹面通过仿射变换表示为标准形式，之后此直纹面可参数化为 如下有理形式： r ( u ，u ) = b ( “) + u d ( “) ， ( 1 1 ) 其中7 、( u ，u ) ，6 ( u ) 和d ( u ) 是齐次坐标形式的矢量函数，并且6 ( “) 和d ( “) 或者都是u 的一 次函数，或者6 ( u ) 是二次的，d ( u ) 是。次的。将( 1 1 ) 代入到二次曲面束中另曲面，假 设为4x 7 a x = 0 ，可以得到如下形式的一个关于 的二次方程： 第1 页 1 训算二次| 掬而的文交线的算法分类 第一章引言 其中 c 2 ( u ) = d ( “) 7 a d ( u ) c 1 ( “) = b ( 札) r a d ( u ) ，c ；( “) = 6 ( u ) 7 a b ( u ) 方程f 1 2 1 有如下形式的解： ”= 型案掣 ( 1 。) 其中 s ( “) = c i ( “) c 0 ( u ) c 。( “) ( 1 4 ) 是方程( 1 2 ) 的判别式。将式( 13 ) 代入到( 1 i w , 实交线的参数化表示： p 沁) = c 2 ( ) 6 ( 札) + 一c l ( u ) 土v 丽l d ( u ) 一o ( u ) 士、；丽d ( “)( 1 5 ) 其中 n ( u ) = c 2 ( u ) b ( u ) 一c l ( u ) d ( ”) 由上可看出，s ( u ) = c ( u ) 一c o ( “) c ，( “) 是一个关于u 的四次多项式，只有当s ( u ) o 时 两二次曲面才有实交线，因此5 ( u ) 称为两二次曲面的实交线的四次判别式。 l e v i a 方法是一种计算和显示两二次曲面实交线的非常有效的方法，它可对任意 两二次曲面计算它们的交线且给出交线的参数化形式。但它不能提供任何有关实交 线的拓扑信息，由此出现计算的稳定性、可靠性和精确性等方面问题。 1 1 2l e v i n 改进方法 针对l e v i n 方法的缺点，后人给出了许多基于l e v i n 方法的改进方法。s a r r a g a 在g m s o l i d 系统中利用l e v i n 方法计算两自然二次曲面的交线f 1 0 1 ，并利用l e v i n 方法 中四次判别式给出了一些关于实交线的几何解释，但方法中未能给出关于实交线的奇 异性、分支个数等拓扑信息。 王文平在文1 1 中利用l e v i n 方法计算两二次曲面的交线，并给出了两二次曲面的 特征方程的根的分布分类其交线的形状，甚至对奇异交线给出了有理参数化。 1 1 3相关工作 王文平在文【1 2 利用两个椭球面的特征方程的根的分布判断两个椭球面是否分 离的方法。王文平文 1 3 】中分析平面三次曲线计算两二次曲面交线的方法。申立勇在 文【1 4 】中利用两个特征方程，提出判断两个二次曲线位置关系的代数条件，又给出了 二次柱面与二次曲面，椭球面与其它二次曲面的位置关系的判断方法。 第2 页 第二章预备知识 2 1 二次曲面 二次曲面【l5 是三维实数空间中一个满足如下二次方程的点集 a o x 2 + a l y 2 + n 2 2 2 十2 a 3 x y + 2 a 4 y z + 2 a 5 z x + 2 a 6 z + 2 a 7 y + 2 a s z + a 9 = 0 其中a 。，i = 0 ，9 为实数，( ，y ，z ) 表示三维实数空间中一点。另一方面一个二次曲 面又可以用一个4 4 的实对称矩阵表示： q2 它在三维仿射空间的表示形式为： q ( x ，y ，z ) = p t q p = 0 其中p = ( z ，y ，2 ，1 ) 7 。而在三维射影空间，其表示形式为 q ( x ，z ，w ) = p 7 q p = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 23 ) 其中p = ( x ，y ) z ，w ) 7 。 行列式= d e t ( q ) 被称为二次曲面q 的判别式，它的符号是射影不变量。因为用 射影变换m 对齐次坐标p 做变换p = m f ，二次曲面q 被变换为： q7 = ( m - f ) t q ( m p ) ：- f i t m r q m p = 7 驴 其中虿= m 7 c 2 m ，显然，d e t ( q ) = d e t ( m ) 2 d e t ( q ) 。 s e m p l e 和k n e e b o n e f l 6 的定义，如果a = d e t ( q ) 0 ，二次曲面被称为非退化的， 否则被称为退化的；如果一个二次曲丽是非退化的或者是一个射影锥而，则它是不可 简化的，否则是可简化的。 如果存在一非奇异t z 阶方阵埘，使得n 阶方阵虿= m 7 q m ，则( 7 和虿是合同的。方 阵m 被称作合同变换矩阵。 第3 页 、， 邮 胛 水 脚 肼 似 础 懈 棚 舭 吖 粥 ，ji-_l、 ! ：! 三堕堕叠塑坌耋 第二章预备知识 由矩阵理论可知，矩阵q 的惯量为一个有序三元组( 矿，6 一，6 0 ) ，其中6 + ，d ，矿分 别是矩阵0 的正、负和零特征值个数。由于两对称矩阵q 和一q 表示同一二次曲 面，因此我们定义二次曲面q p t q p = o 的惯量为( m a x ( 矿，6 一) ，r a i n ( 5 1 ，6 ) ，6 0 ) 。 由s y l v e s t e r l s 惯量定律可知，矩阵的惯量是合同变换下是不变量。 2 2 二次曲面的分类 2 2 1不变量法 在空问直角坐标系下对二次曲面进行坐标变换后，变换之前和之后的二次曲面中 不变的量称为二次曲面的不变量。二次曲面有四个不变量： 五= o o + a l + a 2 ， 毛：i 。虮啦i + l n o a 3 n l0 , 4a 2 1 0 , 50 2 磊= ao3(25 o 3 a ta , 4 a 5n 4a 2 血6a 70 , 8 0 0a 3 a 30 1 a 5 n 4 n 6a 7 a 5 6 0 , 4 0 7 0 2a 8 0 80 9 日p 1 ，五，z 3 ，五的值在平移变换下始终不变的。根据五，五，五，工4 的符号可对二次曲面 做如下分类： 当毛0 时，二次曲面统称为有心二次曲面a 1 、五o 且五 o 时，二次曲面为单叶双曲面。如 兰+而y2123 一笔4 = ， 2 z 2 、五0 且厶 o 时，二次曲面为椭球面或双叶双曲面( 椭球面和双叶双曲面 进一步由n ；，2 0 ，1 ，2 ，9 的符号可确定) 。如 椭球面篆+ 手y 2 + 善2 ， 第4 页 2 2 二次f l 而的分类 第二章预备知识 双叶双曲面 2 一y 2 一z 2 = 1 3 、磊0 且五= o 刊，二次曲面为二次锥面或一个点。如 二次锥面 薯+ 季y 2 一驴z 2 = 。 一个点 z 2 + 3 y 2 + 4 2 2 0 当乃= o 时，二次曲面统称为无心二次曲面。 l 、毛一o h - z 4 0 时，二次曲面为双曲抛物面。如 z 2 y 2 。2 虿一面 3 、五= o 目_ 1 4 = 0 ，但2 - 2 o 时，二次曲面为椭圆柱面或双曲柱面或两相交平 面。 椭圆柱面菩+ 琴y 2 ：1 椭圆柱面去+ 雨= 双曲柱面 菩一萎= - z 2 + y 2 一z 2 + 2 x y = 0 两相交平面 4 、五= 0 且五= 0 ，互一0 时，二次曲面为抛物柱而或一对平行平面或一对重 合平面。如 抛物柱面 y 2 = 4 x 一对平行平面z 2 4 2 = 0 一对重合平面z 2 = 0 2 2 2二次曲面与无穷远平面的交线法 仿射变换是使无穷远平面保持不动的射影变换，将二次曲面与无穷远平面的相关 位置作为特征可以对二次曲面分类。考虑二次曲面与无穷远平面的交线1 1 0 。： 1 、若r o 。为非退化的虚二次曲线，则二次曲面称为椭球面。 2 、若f o 。为非退化的实二次曲线，则二次曲而称为双曲而。 3 、若r o 。为退化的- 次曲线，则二次曲面称为抛物面。 在仿射空间下对_ 次曲面可以有更详细的分类。即通常的十七种二次曲 面【1 7 】【1 8 】。 第5 页 23 二次曲而束 第二章预需知以 2 3二次曲面束 假设4 ：x 7 a x = o ； d b ：x 7 b x = 0 是两个不同的二次曲面，那么二次曲面集 x ? f a 4 一b ) x = 0 a r( 2 4 ) 被称为a 和日形成的二次曲面束。特别，当a = o 时，x 7 ( a a b ) x = 0 表示二次曲 面嚣，当a = 时，x 7 ( a a s ) x = o 表示二次曲面4 。显然，二次曲面a 和目的交线 和它们形成的二次曲面束中任意对不同的二次曲面的交线是相同的。因此a 和日的 交线被称为它们形成的二次曲面束的基线。 给定两个不同的二次曲面a ：x 7 a 工= 0 和占：x 7 口x = o ；f a 另外两个不同的二 次曲面爿：x t a x = 0 和召7 ：x t b x = 0 。如果矩阵a 7 $ d b 7 分别是矩阵a 和b 由同样 的合同变换得到的，那么我们说二次曲面和8 7 是二次曲面4 和8 在踟p 中射影等价。 由于两二次曲而交线的拓扑性质在实射影变换下是不变量，因此两二次曲面交线和它 的任意一对射影等价曲面的交线有完全相同的拓扑结构。 两二次曲面交线即它们形成的二次曲面柬的基线，允许我们计算两二次曲面交线 时可用二次曲面束中比它们更为简单的成员来替代它们：由二次曲面交线的射影等价 性质，进行求两二次曲面交线时对其实行同样的射影变换，得到它们的尽可能简单的 射影等价的两个二次曲面，在简单形式下计算交线。 2 4实对称矩阵同时标准化理论 定义2 1 如果矩阵a ；f d b 是两个n 阶实对称矩阵且肖是非奇异的，那么4 和b 被称为t l 阶 非奇异实对称矩阵对。 肚r - 。： 第6 页 24 实对称矩阵同时标准化理论第二章预备知识 肚r 。l a = ( ：? ) a , b cr , e = ( ：；) m = a ：) a , b er , 定理2 1 【1 9 两二次曲面4 ：x t a x = o 和日：x 7 b x = o 相交于非奇异交线，( a ) 是 它们的特征多项式且，7 ( a ) 是，( a ) 的关于a 的一阶导数，两二次曲面不相交的充要条件 是：，( a ) 有四个不同的实根且矩阵x 肖一b ，i = 1 ，2 ，3 以及矩阵 中至少有一个定矩阵， 其中，i l ，2 ，3 为方程，( a ) = o 的三个不同的实根。 定理2 2 1 9 1 给定两个不同的二次曲面4 ：x 7 a x = o 和1 3 ：x 7 b x = 0 ，其特征多方 程为，( a ) = o a f l f ”( a ) 为，) 的二阶导数，如果，( a ) = 0 有一个二重实根知和两个不同 的简单实根a 。和九，那么在p 职3 空间中a 和目的交线是一个带结点的空间四次曲线，并 且 ( 1 ) 如果，”( h ) 0 ，那么交线是一个有又点的空问四次曲线，且只含一个有界i 司 环 第7 页 25 结式及其应用 2 5 结式及其应用 第二章预缶知识 定义2 3 【1 9 2 0 】 2 1 】环月中元素。称为零因子，是指存在o b r t 使得曲= 0 。 环r 为整区，如果r 中没有非零的零因子。 令r 是含有单位元的交换环。设，( ) ，9 ( x ) r x 】， f ( x 1 = a o x “+ a l x “一1 + + a n ，a o 0 夕扛) = b o x m + b a x m 一1 + + 6 。， b o 0 ， m 十礼1 则，和9 相对z 的s y l v e s t e r 矩阵定义为 s y l ( f ，g ，z ) a o a la o a 2o , 1 0 na n _ 1 o n o o b 1b o ： b l o o 6 m 一1 0 16 m b m1 6 0 b l a n b m 、- 、，_ 、4 j m y 0n y u 其中空的部分分量全是零。门姐9 相对z 的结式，用r e s ( f ，9 ，z ) 表示，是s y l v e s t e r 阵的行 列式，即 r e s ( f ，g ，z ) = d e t ( s y l ( f ，g ，x ) ) 一个多项式称为整多项式，如果它的所有系数都是整数。 关于结式，我们有 命题2 3 设r 是含有单位元的交换环， ，( z ) n b 矿“ i = 0 是r m 中两个多项式，而2 - a o 0 ，b o 0 ，则 ( 1 ) r e s ( f ，g ，z ) r ，而且是n o ，。h 一，。b o ，b l ，b m 的整系数多项式。 ( 2 ) 存在多项式j 4 ( z ) ，_ 口( 。) r ，使得 a ( x ) f + b 扛) 9 = r e s ( ，：g ，z ) 第8 页 矿0 。l 26s t u r m 序列及其麻用 第二章预备知识 础 d e g a d e g g = m d e g b d e g f = t t 。 ( 3 ) 如果r 是整区和m 1 ，n l ，别r e s ( f g ，z ) = o 当且仅当存在非零多项 式a ( 。) ，b ( x ) r h ，使得 a ( x ) f + 口( 。) g = 0 ： 其中d e g a m ，d e g b n 。 推论2 4 设r 是含有单位元的唯一因子分解整区，多项式，( z ) ，g ( x ) r h ，d e g f l ，d e g g 1 ，则r e s ( ，g ，。) = 0 当且仅当，( z ) 和9 ( z ) 有非常数的公因子。 从而可必判断在实数域腿上一元多项式，( z ) 是否包含重零点。假设，7 扛) 是，扛) 关 于z 的一阶导数，q 涮r e s ( f ，f 7 ，z ) = o ，由推论24 ，f ( x ) ；f t l f 7 ( z ) 有非常数的公因子， 不妨设为z o ，则存在g 扛) r x 】，使得 f ( x ) = ( z n ) g ( z ) 对两边求导，得 ，7 ( z ) = ( 。一) 9 7 ( g ) + 9 ( z ) 因为z o 是，( z ) 的因子，所以z n 是g ( z ) 的因子。从而扛一) 2 是，扛) 的因子。即z n 是，( z ) 的重零点。 2 6 s t u r m 序列及其应用 多项式计算是科学计算的重要组成部分。多项删j s t u r m 定理f 2 2 卜对一般的多项 式，判定所有实根所在的区间并不困难，利用s t u r i n 定理可以确定任意区间内的实根 个数，所蚍能够利用s t u r m 定理确定多项式实根的个数以及所在的区问，在此基础上 可以进一步设计一个算法，并把多项式的所有实根所在的区间划分为若干个小区间， 使得每个区间内恰有一个实根。所有这些工作都可以交由计算机以高效率的方式完 成。本文中计算s t u r m 序列利用超强数学工具m a p l e 中的s t u r m s e q 命令。现在我们先给 出变号函数的定义： 2 6 1变号函数 定义2 4 【2 3 】a o ，a h 一，a m 为全不等于零的实数列，称 a k a k + 1 0 为序列的个变号，而序列的变号总数，称为序列f o o ，a l ，a m ) 的变号数，并记以 v a o ，a l ，n 。 第9 页 26s t u r m 序列及其廊用 侈4 如v 一2 ，一1 ，1 ，- 3 ，一2 ，一1 ，5 ) = 3 。 第二章预备知以 定义2 5 2 3 】函数列，0 ( z ) ，f l ( x ) ，m ( 。) 均为不恒等于零的解析函数，若z = 是某 个 ( z ) ，的零点，称嚣= 为序列 如( z ) ，f l ( x ) ， ，m ( z ) ) 的零点。在序列中的非零点， 称v ( ) = y 如( 。) ， ) ，工。( z ) ) 为函数列的变号函数。 2 6 2s t u r m 定理 定义2 6 若，0 扛) 在【口，6 】上可微，称函数列，0 ，f l ，- 一，厶为【n ，b 上s t u r m n n ，如果满 足 ( 1 ) 如( z ) 在a ，6 】上至多有单根， ( 2 ) 若。( a ，6 ) 时，有 ( o ) = 0 ( k 0 ) 则 一1 ( o ) + l ( 乜) 0 ( 0 ，0 ( 一。) 0 ( + 。) 0 f 】( 一0 ( 3 ) 0 ，2 ( 一。) 0 第1 3 页 ( + ) 0 ，3 ( 一o 。) 0 ， ( 一。) 0 。 32 算法实例 第三章算法与实例 由s t u r m 定理，特征方程，( a ) = 0 有四个不同的实根。 5 、解方程，7 ( a ) 一o 得三个不同的实根： a 1 = 一0 4 5 4 6 2 2 1 6 6 3 ，a 2 = o 4 2 3 5 8 5 6 6 1 4 6 ，a 3 = 一3 9 4 7 1 9 1 1 7 2 经验证矩阵九a b ，i 一1 ，2 ，3 都不是定矩阵，因此两曲面交线为包含两个有界环的非 奇异空间四次曲线。 j i = ( 一2 1 1 4 7 8 2 。3 。4 3 3 。3 5 5 。 。6 5 3 9 8 2 8 2 。) 一f ，1 b = l1 。j 咖i 卜，= ( ；) 一00 6 5 0 4 5 8 5 u 2 + 05 2 3 6 9 1 9 u + 0 4 8 2 0 2 4 3 3 、- 0 2 7 8 4 5 1 4 、 悱l7 7 4 2 7 1 8 6 8 u 2 。+ 0 0 6 3 8 8 0 2 3 u + + 0 4 5 0 1 0 6 0 0l 土俪旧- 0 0 6 0 4 8 1 9 0 1 0 5 0 0 0 0 0 9 u03 8 4 6 0 8 0 0 u05 5 5 5 5 8 8 6 1 8 7 5 3 1 8 2 1 i 、7 1 2 一十 l 、l o 1 一o5 6 4 2 9 6 4 8 u 2 一o3 0 8 8 8 6 0 9 u o2 6 9 8 9 5 7 3 0 9 9 7 8 7 4 3 5 6 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 第1 4 页 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 2 算法丈例 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第三章算法与实例 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 l 、计算a 和8 的特征多项式，得： ，( a ) = 一1 2 0 a 4 + 1 9 44 3 8 9 2 + 1 6 a 一1 ， 2 、特征多项式，( ) 关于a 的一阶导数多项式为： ，( a ) = 一4 8 0 a 3 + 5 8 2 a 2 1 7 8 a + 1 6 ， 3 、计算，( a ) 和，7 ( a ) 关于a 的结式，得： r e s ( ，( a ) ，7 ( a ) ) = 一01 7 2 8 1 0 7 0 从而，特征方程无重根，所求的交线为非奇异的。 4 、计算特征多项式的s t u r m 序列函数，得： ，0 ( a ) = 一a 4 + 1 6 1 6 6 6 6 6 6 7 a 3 0 7 4 1 6 6 6 6 6 6 7 4 2 + o 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a 一0 0 0 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 f d 4 ) = 一a 3 + 1 2 1 2 5 0 0 0 0 0 4 2 r _ 0 3 7 0 8 3 3 3 3 3 2 4 + 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 ， y 2 ( 4 1 = 一a 2 + 0 4 1 8 3 7 7 7 4 8 8 4 一o 0 4 3 1 0 4 7 0 3 6 5 ， ，3 似) = 一a + 0 1 9 8 7 1 1 0 1 9 1 ， 丘( a ) = - 1 。 计算s t u r m 序列函数在+ o 。和o 。上符号： 如( + o 。) 0 ( + o 。) 0 如( + o 。) 0f 3 ( + o 。) 0 ，4 ( + 。) 0 ， f 0 ( 一c o ) 0 如( 一o 。) 0 厂4 ( 一。) 。 l0o0 0100 o0 l0 000 1 1 、计算a 和廖的特征多项式，得 60o0 0600 001l 00l 一3 f ( a 1 一一1 4 4 a 4 + 1 9 2 a 3 8 8 a 2 + 1 6 a 一1 2 、特征多项式，( a ) 关于a 的一阶导数多项式为： ，( a ) = 二= 一5 7 6 a 3 十5 7 6 a 2 1 7 6 a + 1 6 ， 3 、计算f ( a ) 年d f7 ( a ) 关于a 的结式，得： r e s ( f ( a ) ，( a ) ) = 0 箱1 6 页 3 ，2 算法实例 端三章 弹法与实例 从而，特征方程有重根，所求的交线为奇异的。 4 、诗箕特征多项式，( 的s t u r m 序删菡数，容易验证特征方程，( a ) 一o 有2 个二 童实根，因此所求的交线是由一个孤点和个有界环组成。 5 、计算交线得到带平方根的参数化形式： p ( 锃) = 孤点( o ，0 ，1 ，1 ) 倒5 ：f 椭球磷与犟时澉瘟面交线由孤点维成n 觅附图5 ) 二次曲面一4 和嚣的矩阵表示分别为： a = 10 00 o6 00 o0 30 00 0 1 b = 1o 01 00 20 0 2 00 40 03 1 、计算a 和嚣的特征多项式，得： ，( 妁= 一4 + 1 3 帮手5 妒一 5 7 爻+ 1 8 ， 2 、特征多项式，( ) 暮于a 的一阶导数多项式为： ，( a ) = 1 6 a 3 + 3 9 a 2 + 1 1 2 ) t + 5 7 ， 3 、计算，( 秘，7 ( 关于a 的终式，得： r e s ( ，( a ) ，九 ) ) = ：0 双纛，黪袋方程鸯耋裰，爨袁熬交线为驽雾爨。 ， 4 、计算特，谯多项式，( ) 的s t u r m 序列函数，容易验证特征方程，( a ) = 0 有3 个寰 攫，即一个二重实浆和热个不同的麓单实投。因此所隶的交线是个孤点。 5 、用a + 口代替b ，得 2 00 2 、 b = a 十b = l 0 。70 ，。0 l 一2o02 容易验证b 表示的二次曲面是一个孤点( 1 ，0 ：0 ，1 ) 组成的。所以所求的交线为一个孤 点。 第1 7 页 一舻 。厨毛。 士 第四章总结 本文利用两个二次曲面形成的二次曲面束中必有一个直纹面的结论和两个二次 曲面的特征方程的根的分布与两二次曲面实交线的形状的关系，给出了椭球面与一般 非直纹二次曲面的实交线的计算方法。 在计算椭球面与非直纹二次曲面的实交线的算法中必须求出它们的特征方程、特 征方程与其导数方程关于未知数的结式、特征方程的s t u r m 序列、特征方程的一阶导 数方程的根等计算，这些计算作者通过超强数学工具m a p l e l 00 软件环境下计算得到 的2 4 1 。附图的绘制是先对二次曲面进行参数化后在v c 6 0 环境下利用o p e n g l 技术完 成的f 2 5 1 f 2 6 f 2 7 1 2 8 1 d 这样我们可以通过这种方法计算一椭球面与非直纹二次曲面的 实交线。在此方法的基础上开发一种软件，使软件能完成求两二次曲面的实交线的功 能。两非直纹二次曲面的交线的快速计算和参数化是需要继续研究的课题。 第1 8 页 致谢 本学位论文是在导师朴勇杰老师和吉林大学伍铁如老师的共同指导下完成的。 在攻读硕士学位的三年时间里，朴勇杰老师在学习上给予了帮助，生活上热情帮 助。朴勇杰老师给我提供到吉林大学深造的机会。也感谢吉林大学伍铁如老师，无论 是从选题到成文，从文章的构造到语言的组织，伍老师给予了最无私的帮助。伍老师 在学术上孜孜进取的精神，一直激励着我努力进步。伍老师不仅教会了很多c a g d 方 面的知识，而且教会了我许多人生道理。 感谢延边大学领导及同事对我的学习和生活给予了大力的支持和热情的帮助 同时也向所有关心、帮助过我的同学们和朋友们致以深深的谢意。 最后，还要感谢我的父母和我的爱人，感谢他们对我求学的全力支持。 第1 9 页 参考文献 f i rn g o l d m a na n djr m i l l e r ，c o m b i n i n ga l g e b r a i cr i g o rw i t hg e o m e t r i cr 伊 b u s t n e s sf o rd e t e c t i o na n dc a l e u l a t i o no fc o n i cs e c t i o n si nt h ei n t e r s e c t i o no ft w o n a t u r a lq u a d r i es u r f a c e s ，a c ms y m p o s i u mo i ls o l i dm o d e l i n gf o u n d a t i o n sa n d c a d c a ma p p l i c a t i o n s ，j u n e ( 1 9 9 1 ) ，2 2 1 2 3 1 f 2 1j r m i l l e ra n dr n g o l d m a n ，u s i n gt a n g e n tb a l l st of i n dp l a n es e c t i o n so fn a t u r a l q u a ，d r i e s ，i e e ec ga ，v 0 1 1 2 ，i i o 2 ，0 9 9 2 ) ，6 8 8 2 ( 3 】p i e g l ，g e o m e t r i cm e t h o do fi n t e r s e c t i n gn a t u r a lq u a d r i e sr e p r e s e n t e di nt r i m m e d s m f a e ef o r m ，c o m p u t e r - a i d e dd e s i g n ，v 0 1 2 1 ，n o ，4 ，( 1 9 8 9 ) 2 0 1 2 1 2 4 1c k s h e n ea n djk j o h n s t o n e ，o nt h el o w e rd e g r e ei n t e r s e c t i o n so ft w on a