（机械制造及其自动化专业论文）双稳信号参数调节的恢复研究.pdf

- l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：丁复名袭 签字日期：知b年月；e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字ll 期：年月同 导师繇吟珈叼 签字1 期：锄p 年f 月3r 摘要 非线性双稳随机共振不仅可以用于检测含噪微弱信号，同时也可以用来恢复 淹没在噪声中的信号波形。然而如何调节双稳系统和恢复系统的参数是随机共振 信号处理中的一个难点。本论文将围绕双稳信号波形的恢复问题展开深入的研 究，这对促进随机共振理论的发展和完善，指导其工程应用具有重要的意义。 论文介绍的双稳信号的恢复过程是由双稳系统和恢复系统两者共同完成的。 因此首先研究双稳系统，讨论双稳系统的特性以及双稳随机共振，探讨影响双稳 系统的输出即双稳信号产生的各个因素，接着对小参数和大参数信号进行数值仿 真，并详细阐述双稳系统参数对于单阱和双阱跃迁共振的影响。 将信号处理和粒子动力学相结合，给出了恢复系统函数。通过不同幅值无噪 正弦信号的恢复过程的讨论，论文对粒子跃迁所产生的失真脉冲进行了定性和定 量的分析，研究了脉冲与恢复信号幅值的关系，并对信号恢复过程中如何避免失 真脉冲的产生给出了合理的建议。 在研究了信号的恢复过程后，论文对信号恢复过程中涉及的双稳系统和恢复 系统的参数进行了系统化的分析，重点研究了恢复系统参数对于信号恢复的影 响，并对恢复系统的参数调节给出了建议，并通过仿真验证了本文提出的参数的 调节方法。论文还针对两种不同类型的信号( 无脉冲信号和有脉冲信号) 提出了 不同的恢复方法。 在详细总结了信号的恢复以及参数调节的方法后，将本研究提出的理论及方 法应用于含脉冲切削信号的处理，并取得了良好的效果。因此，本研究方法可适 用于双稳信号的参数调节恢复。 关键词：双稳系统噪声随机共振信号恢复参数调节 - a b s t r a c t s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) n o to n l yc a nb eu s e di nd e t e c t i n gf e e b l es i g n a l s ，b u t a l s oc a nb eu s e di nr e c o v e r i n gw a v e f o r m sc o n t a m i n a t e db yn o i s e h o w e v e r ，h o wt o a d j u s ts r sp a r a m e t e r so f b i s t a b l es y s t e ma n dr e c o v e r ys y s t e mh a sa l w a y sb e e nab i g p r o b l e mi ns i g n a lp r o c e s s i n g t h e r e f o m ，t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h er e c o v e r yo ft h e b i s t a b l es y s t e mo u t p u tw a v e f o r m o no n es i d e ，t h i ss t u d yw i l lp l a ya l li m p o r t a n tr o l e i nd e v e l o p i n ga n dc o m p l e t i n gt h et h e o r yo fs rt e c h n i q u e ，o nt h eo t h e rs i d e ，t h es t u d y h a sa g r e a tm e a n i n g i nt h eg u i d i n go f e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s a st h er e c o v e r yp r o c e s si nt h i sp a p e rc o n s i s t so ft w os y s t e m s ：b i s t a b l es y s t e m a n dr e c o v e r ys y s t e m ，f i r s t l y ，t h i sp a p e rs t u d i e st h eb i s t a b l es y s t e m ，d i s c u s s e st h e c h a r a c t e ro fb i s t a b l es y s t e ma n db i s t a b l es t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，a n da n a l y z e st h e d i f f e r e n tf a c t o r sw h i c ha r er e l a t e dt os r t h e ni tg i v e ss o m ei n f o r m a t i o no ft h es ro f t h es m a l l p a r a m e t e ra n dl a r g e - p a r a m e t e rs i g n a l ，a n dd o e ss o m er e s e a r c hi na d j u s t i n g p a r a m e t e r so fs i n g l ep o t e n t i a la sw e l la sb i s t a b l et r a n s i t i o nr e s o n a n c e t h ef u n c t i o no ft h er e c o v e r ys y s t e mw a sm a d eb o t hf r o mt h ep a r t i c l e sd y n a m i c s a n dt h es i g n a lp r o c e s s i n g b yt h ed i s c u s s i o no nt h es i g n a lr e c o v e r yc o u r s e so ft h e s i g n a l sw i t hd i f f e r e n ta m p l i t u d e ，t h i sp a p e rs t u d i e st h ep u l s ed i s t o r t i o na p p e a r i n gt h e r e c o v e r yw a v e f o r mc a u s e db yt h ep a r t i c l e st r a n s i t i o n sa tt h eb i s t a b l ep o t e n f i a l ，t h e n g i v e ss o m ea d v i c ei nh o wt oa v o i dw a v e f o r md i s t o r t i o n s i n c et h er e c o v e r yp r o c e s sh a sa l r e a d yb e e ns t u d i e d , n e x tt h i sp a p e ra n a l y z e st h e s y s t e mp a r a m e t e r si nb o t hb i s t a b l es y s t e ma n dr e c o v e r ys y s t e m ，e s p e c i a l l yt h e r e c o v e r ys y s t e m sp a r a m e t e r s ，t h e ng i v e s s o m e s u g g e s t i o ni na d j u s t i n gt h e s e p a r a m e t e r sa n dp r o v e st h i sm e t h o dw i t hs i m u l a t i o n a tl a s t , t h ep a p e rg i v e sd i f f e r e n t r e c o v e r ym e t h o d st o w a r d st w od i f f e r e n ts i g n a l s a f t e rac o m p r e h e n s i v es u m m a r yo ft h em e t h o do fs i g n a lr e c o v e r ya n dp a r a m e t e r a d j u s t m e n t ，w h e np e o p l ep u ti ti n t op r a c t i c ei nt h ef i e l do fe n g i n e e r i n gc u t t i n gs i g n a l ， i th a sb e e np r o v e dt h a tt h i sm e t h o dc a nb eu s e di nt h es rs i g n a lr e c o v e r yb yb o 也 t h e o r e t i cn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n de n g i n e e r i n gd a t aa n a l y s i s k e yw o r d s ：b i s t a b l es y s t e m , n o i s e ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，s i g n a lr e c o v e r y , p a r a m e t e r a d j u s t m e n t 目录 第一章绪论1 1 1 课题研究的背景1 1 1 1 随机共振的研究和发展2 1 1 2 信号恢复的研究现状3 1 2 本文研究内容和章节安排4 第二章双稳系统与随机共振的基本理论5 2 1 噪声与朗之万方程5 2 1 1 噪声5 2 1 2 双稳系统的朗之万方程7 2 2 双稳系统与噪声9 2 3 粒子在双稳势阱中的概率跃迁和频率特性1 2 2 4 随机共振现象以及与之相关的理论1 4 2 4 1 随机共振理论1 4 2 4 2 随机共振的仿真1 7 2 4 3 随机共振输出波形中的两个现象的解释1 8 2 5 本章小结2 1 第三章随机共振的影响因素分析2 2 3 1 驱动信号幅值对于随机共振的影响2 2 3 2 噪声对于随机共振的影响2 6 3 3 信号频率对于随机共振的影响2 8 3 3 1 小参数随机共振2 8 3 3 2 大参数随机共振及方法2 9 3 4 双稳系统参数对于随机共振的影响分析3 2 3 5 级联随机共振3 4 3 5 1 级联随机共振原理3 4 3 5 2 级联随机共振的降噪3 5 3 6 随机共振各影响因素的分析3 6 3 7 小结3 7 第四章双稳信号的恢复和脉冲失真分析3 8 4 1 双稳信号及恢复系统3 8 4 1 1 双稳信号幅值的分析3 8 4 1 2 双稳信号的时域波形恢复的动力学分析3 8 i 4 2 不同信号的恢复过程4 0 4 2 1 信号幅值对于信号恢复的影响4 0 4 2 2 无噪信号的恢复过程4 2 4 2 3 有噪信号的恢复过程4 6 4 3 失真脉冲的定性和定量分析4 8 4 4 小结4 9 第五章恢复系统的参数调节过程及应用5 l 5 1 信号恢复过程中的参数调节5 l 5 1 1 双稳系统的参数调节5 1 5 1 2 恢复系统的参数调节5 2 5 2 大参数信号的恢复方法5 3 5 3 两种不同原始信号的恢复方法5 3 5 3 1 无脉冲原始信号的恢复5 4 5 3 2 有脉冲原始信号的恢复5 4 5 3 3 信号恢复方法总结5 4 5 4 工程应用5 5 5 5 本章小结5 7 第六章全文总结与展望5 8 参考文献6 0 发表论文和科研情况说明6 3 致 谢“ 第一章绪论 1 1 课题研究的背景 第一章绪论弟一早瑁记 机械设备的微弱故障特征信号检测是保证设备正常运行的关键技术，对于及 时的发现并检测故障，避免重大事故的发生有着至关重要的意义。但是，由于大 部分设备的工作环境非常恶劣，噪声强度大，导致用传感器采集的信号的信噪比 较低，而且信号的实时性不能得到保证，这给信号的检测带来了一定的困难。对 于强噪声背景下微弱特征信号的快速检测技术一直是学术界和工业界研究的热 点和难点。 近年来，随着科学技术的进步，在信号处理技术中通过运用飞速发展的电子 技术，计算机技术以及信息论和物理方法，通过研究被测信号和噪声的统计特征， 并结合使用近代的信号处理手段，如小波、相关法、e m d 、神经网络等来对信 号进行分析、处理，进而识别故障以及机器运行过程中的状态。然而这些信号处 理方法都是将注意力集中在如何抑制噪声，进而增强信号的信噪比。在进行弱信 号的检测时，普通的降噪方法在抑制噪声的同时，如果被测的微弱信号与噪声的 频率近似，那么有用信号或多或少的会受到抑制或者损失。另一方面，从系统的 角度来说，现在大多数的信号处理方法都是在线性系统下进行的，当增加噪声， 尽管采取了降噪方法，输出的信噪比还是会不断降低。因此，如果信号频率和噪 声频率接近，或者信号在强噪声背景下，就很难用普通的信号处理方法对被测信 号进行有效的提取分析。 长期以来，人们都认为“噪声”是讨厌的东西，它破坏了系统的有序行为， 降低了系统的性能，是微弱信号检测的最大障碍。但是近年来随着非线性动力学 和统计物理理论突飞猛进，人们研究发现在某些非线性系统中，噪声的增加不仅 不会使输出信号更加恶化，而且使得输出局部信噪比得到大幅度增加，加强了有 用特征信号的显现，这一现象被称为随机共振。 1 9 8 1 年，b e n z i 等0 - 2 首次提出随机共振的概念来解释古气象冰川演化问题。 他们发现在过去的7 0 万年中，地球的冰川期和暖气候期大致以1 0 万年为周期交 替出现。通过研究这一时期的地球气候，他们发现地球绕太阳转动偏一t h , 率的变化 周期大约为1 0 万年，这种现象表明太阳对地球施加了周期信号。但是，这一周 期信号本身很小，根本不足以使地球气候产生从冰川期到暖气候期的大幅度变 化。因此只有将这一信号与地球本身的非线性条件，以及地球在这一时期所受到 第一章绪论 的内外部随机力作用结合起来，通过研究它们之间的协同作用，才能够解释上述 气候。也即在地球本身的非线性条件、外部随机力、气候交换的周期信号三者达 到某种协同关系时，才能产生气候的大幅度变化。 1 9 8 3 年f a u v e 等人【3 】在s c h m i t t 触发器的实验中首次观测到了随机共振现 象。这个实验发现增加输入噪声不仅不降低系统的反应速度反而迅速增加了输出 的信噪比。在1 9 8 8 年，m cn a n a r a 等人降5 】在环形激光器中再次观测到了随机共 振现象。将一个环形的具有双向发射的激光器作为一个双稳态器件，然后做了随 机共振实验。其方法是用声光调制，用声频去调制激光的发射方向，与此同时 加入噪声，噪声的强度从零逐渐增加，测量某一个方向上的激光强度。在输出的 功率谱中，测量了谱峰的幅值和调制频率的背景噪声，并计算出输出信噪比，得 出输出信噪比会随着噪声的增加出现峰值，之后随着噪声的增加，信噪比也会降 低。这个理论比较全面的解释了随机共振的概念。此后，随机共振及其研究引起 了理论和实验研究人员广泛的兴趣和重视，掀起了研究的热潮，随机共振理论、 模拟及其应用成为近2 0 年来非线性科学研究的热点之一。 随机共振理论认为，在某些非线性动力学系统中，当输入信号保持不变，而 输入噪声强度变化时，输出的信噪比会出现峰值。也就是说噪声本身也是一种信 号和能量，它不仅能削弱淹没有用信号，还可以利用与非线性系统增强来原本微 弱的信号和信息，提高系统检测微弱信号的能力。 1 1 1 随机共振的研究和发展 经过近些年的发展，随机共振的实验及测量方法的研究为其理论的发展奠定 了广泛而坚实的基础。随机共振已经涉及到了诸如生物医药、化学、信号通讯、 光学、机械等工程领域。相对于传统的绝热近似理论、线性响应理、驻留时间理 论等传统随机共振理论，近些年又发展了诸如非周期随机共振【】、参数调节随 机共振【8 。13 】等等。 最初的随机共振研究只是专注于调节噪声的大小，后来研究发现通过调节非 线性系统的结构参数也能够产生随机共振现象。1 9 9 3 年，a n i s h c h e n k o c 8 】发现改 变参数也可以使系统达到随机共振。1 9 9 6 年b u l s a r a 和g a m m a i t o n i 9 】也强调了调 节参数产生随机共振的思想以及在信号处理中的重要性。浙江大学的徐博侯教授 u o 】提出参数调节随机共振理论，并引入系统响应速度概念，重新解释了随机共振 现象产生的机理，认为添加噪声产生随机共振与调节参数实现随机共振本质上是 相同的 1 m 3 】。天津大学的冷永刚【1 7 】以双稳系统为对象，探讨影响和产生双稳随机 共振的参数选择特性，并认为通过适当的参数选择可以使系统达到最佳的随机共 振状态，并提出了自适应快速随机共振算法策略【l6 】，开发了自适应扫频随机共振 第一章绪论 系统f l 刀。 已有的绝热近似和线性响应理论仅适用于很小的信号幅度和频率【1 8 1 9 】，也就 是小参数信号【2 0 1 。对于大参数信号的随机共振，文献叫提出了一种将高频信号 转换为低频小信号的方法。而文献【2 0 2 2 之3 1 提出了变尺度随机共振，通过积分尺度 变换，将大参数信号通过变尺度参数压缩到适合经典随机共振的小参数范围内， 并在实际应用中取得了很好的效果 2 4 - 2 8 1 。文献 2 9 - 3 0 1 在随机共振以及变尺度随机共 振的基础上研究了级联随机共振及其降噪和非线性滤波特性。 双稳随机共振不仅可以处理一维信号，还可以处理二维信号，也就是图像， 可以将之用于降噪或者图形处理，并取得了良好的效果【3 1 3 2 1 。 最近，在美国普林斯顿大学的研究学者利用随机共振方法形成图像，可以显 示出隐藏物体的图像，这项技术可用于指导飞行员雾中飞行以及在医学中判断人 体病变方面有重要的意义。 总之，对于随机共振这一类非线性系统在信息处理以及信号检测方面的广泛 研究和应用，可以相信，随机共振系统可作为信息获取和处理，特别是微弱信号 检测方面的强有力工具。 1 1 2 信号恢复的研究现状 对于微弱信号的处理，通过一些信号处理方法，比如小波、e m d 、神经网 络等，来增强信号的信噪比( s t q r ) ，最后大部分通过利用f f t 变换将时域信号转 换到频域，从而显示原始信号中包含的各种频率成分。 但是f f t 只是适用于周期信号，而非周期信号在频域中不能被识别，其次 通过f f t 虽然能识别信号的频率、幅值，但是其丢掉了信号的时域特性，即不 能从时域观察信号的时间历程。如果想观察测试的机器在何时发生故障，那么频 域就不再适用，此时就必须从时域分析信号。 虽然有很多分析方法最终在时域分析，但是大部分都是从降噪的角度出发， 将原始信号通过某种方法降噪处理，再恢复到时域，然而这样的信号要求噪声含 量比频域分析的噪声含量低。平时分析的大部分工程信号的信噪比非常低。双稳 系统推导出的信号恢复方程给此类信号的恢复提供了一个工具。 文献 3 3 3 4 1 通过对双稳系统进行分析，从粒子动力学的角度出发，由朗之万 方程推导出了信号的恢复方程，也称为反演方程，将双稳信号通过恢复系统，系 统输出即为恢复的时域信号。文献 3 5 】更进一步完善了上述信号恢复理论。从还 原粒子运动轨迹的角度，对波形恢复和失真作了新的解释，并引入了双稳系统对 双稳信号中的残余噪声进行二次调节，同时采用参数调节的恢复系统对波形进行 恢复，这个方法可以从时域恢复特征信号。文献 3 6 】对于恢复过程中产生的脉冲 - f ， 第一章绪论 失真的后处理进行了研究，并取得了很好的效果。因此，随着研究的深入，由双 稳系统和恢复系统组成的信号恢复方法将会为信号检测提供一种新的方法。 1 2 本文研究内容和章节安排 本文主要研究如何利用双稳系统和恢复系统对双稳信号进行恢复。各章的结 构安排如下： 1 针对于微弱信号检测，引出了随机共振这种非线性的微弱信号检测方法，并 介绍了随机共振以及时域信号恢复的发展现状。 2 通过双稳系统引入了随机共振的基本概念，并简单介绍了经典和非经典的随 机共振理论以及绝热近似随机共振理论。通过理论分析和模拟仿真研究了周 期信号的随机共振。 3 通过理论和数值仿真研究了噪声，信号频率以及双稳系统各个系统参数对于 随机共振的影响，对于信号频率对于随机共振的影响，详细阐述了变尺度随 机共振并进行实验仿真，探讨了级联随机共振及其性质。 4 对于双稳系统的输出双稳信号的后处理，研究了利用双稳系统推导出的恢复 系统，来对信号进行恢复，根据驱动信号的幅值分别讨论了信号不同的恢复 方程，对输出过程中可能出现的脉冲失真进行分析，讨论了失真脉冲的大小 及其与恢复信号幅值的关系。 5 介绍了信号恢复过程中的参数调节原则，主要介绍了恢复系统参数调节选用 的原则。对两种不同信号的恢复过程进行了讨论。对于这两种信号，提出了 不同的恢复方法，并将此方法应用予切削数据加速度信号的处理。最后，从 本文的总体上分析，总结了利用双稳系统和恢复系统恢复信号的具体方法， 为以后的研究提供了参考。 4 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 人们在研究随机共振现象时，常常把非线性双稳系统作为基础和工具。因为 非线性双稳系统具有独特的结构特点，为随机共振现象的产生提供了必要的通道 机制。但是平常所说的随机共振，还包含噪声和驱动信号。噪声也为随机共振产 生的三个基本条件之一。当驱动信号和噪声共同作用于双稳系统时，一个合适的 噪声能使双稳系统达到随机共振。 本章主要讨论双稳系统以及随机共振的基本理论。首先从宏观角度分析了噪 声的本质，接着研究了双稳系统的内在机制，并从系统的本身特性研究噪声对于 双稳系统的影响。而朗之万方程是双稳系统最典型、最简洁的描述方程，本文主 要通过朗之万方程来研究噪声对于双稳系统的影响以及随机共振。最后，通过实 验仿真验证了随机共振，并对随机共振的几个主要特点进行了描述，并进行了理 论上的分析。 2 1 噪声与朗之万方程 2 1 1 噪声 噪声通常反映了微观粒子运动对于宏观变量的影响，表现为微观运动对于宏 观演化过程杂乱无章的作用。噪声的运动变化是一种快速的、随机的、不可预测 的过程。而且单个微观粒子的运动服从经典动力学方程。然而，在很多情况下， 对于宏观力学系统，求解单个粒子的运动是不现实的。因为为了描述一个粒子的 状态，需要确定单个粒子在空间的三个坐标及在三个方向的速度。如果一个系统 有n 个粒子，描述这个系统的力学参量就有6 n 个，于是其哈密顿量为 h = h ( q l ，q 2 ，q u ；p i ，p 2 n ) ( 2 一1 ) 上述口和p 分别代表广义坐标和动量，其正则方程为 吼：- o ha ：一_ o h ( 2 - 2 )g f2 -只2 一_ o p i o q , 其中i = l ，2 ，n 。当n 非常大时，考虑l m o l 气体，其有6 0 2 x 1 0 2 3 个粒 子，要想对之求解非常困难。因此对于宏观力学系统( n 1 ) ，预言正则方程 所决定的轨道的长时间行为将会是十分困难，很多情况下，系统的运动已经是混 沌的。一方面对于这么多的粒子，在t = - 0 时候n 个分子中每个所处的位置和速度， 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 但是这是不可能的。而且即使知道这些初始条件，依照现在的计算条件也不可能 严格解出庞大的联立方程；另一方面，如果某一天解决了初始条件、解出了联立 方程( 当然这是不可能的) ，由于所得到的粒子的运动轨道对外界的微扰极为敏 感，很容易受到外界的影响。任何一个微小的外部环境变化很有可能会根本改变 轨道的运动形式，而且对于外界的何种影响并不能够主观控制。事实上，我们所 关心的只是众多分子的集体行为表现出来的宏观性质，比如许多粒子在一起的质 量、体积、温压强等等，而对于单个粒子的运动状况并不关心。这就要求根据问 题的性质和所感兴趣的物理内容，将微观层次的描述转化为其它可以进行数学处 理的问题来处理。 而实际问题中我们所感兴趣或者能够测量的宏观物理量，都是对各种可能的 微观粒子轨道的统计平均结果，这是可以测量的，比如一个铁块，其由许多原子 组成，如果测量单个原子质量，几乎是不可能的，但是要测量一千克原子质量却 是轻而易举。换句话说，当用经典力学处理具有大量粒子或者无穷多自由度的多 体系统时，要引入概率统计的概念，得出统计性的规律。对大量粒子进行统计处 理时，采用等效的刘维方程及相应的系综分布函数更加方便。 掣：爹( 塑望一望挈) ( 2 3 a ) a 鲁、a q i 却la p la q 1 、 p ( q 一，；) ：掣 ( 2 - 3 b ) 坦 上式m 表示具有完全相同哈密顿量的系统数目，这m 个完全相同系统的集合叫 做“系综”。d ( q ，p ) 为系综在( g ，p ) 处r 空间的一个代表点的密度。假设实际 问题所涉及的宏观物理量z 可以用下式表示 薯= it ( g ，p ) p ( q ，p ) d q d p ，i = 1 , 2 ，刀；刀n( 2 - 4 ) 又假设这些宏观量遵循下面封闭的宏观演化方程 毫= z ( 功， i = 1 ，2 ，胛； ( 2 - 5 ) 适当选择宏观变量五和宏观变量数，l ，可以把引起宏观变量演化的原因分成 两部分：一部分为持续对宏观变量的动力学过程起作用的因素，由方程( 2 5 ) 表示， 另一部分为除( 2 3 a ) 和( 2 5 ) 导出的其他部分。后一部分的性质非常复杂，它通常 反映了微观粒子运动对宏观变量的影响，这些影响往往是各自独立，互不关联的， 而且这些影响由于其变化的时间尺度与宏观运动相比更小的多，可以看成快速、 随机、而且是不可预言的，因此形象的把这类影响叫做“随机力”或者称为“噪 声”、“涨落力”。于是在宏观方程( 2 5 ) 的基础上，通过引入噪声随机力万( f ) 来 观察微观运动对宏观变量的影响。 毫= 彬( i ，f ( r ) ) ，i = 1 ，2 ，刀；( 2 - 6 ) 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 此方程就是物理学对介于微观和宏观之间的复杂系统的一种描述。如果把正则方 程( 2 2 ) 或者刘维方程( 2 3 a ) 所描述系统的层次称为“微观层次”，同时把方程( 2 5 ) 描述的称为“宏观层次”，也称为热力学方程，用宏观方程来研究宏观变量演化 的方法，也叫做宏观描述。那么方程( 2 6 ) 就称为“随机层次”。随机层次与微 观层次比较，其数学处理简单的多，与宏观方程一样，只考虑n 个宏观变量 , n ，然而它与宏观层次比较，其包含了比确定性宏观方程更多的信息，并通 过随机力考虑了微观作用。要想求解这个微观作用也是不可能的，但是对这个微 观的随机层次做出粗略分析是可能的。首先，这一作用与宏观变量相比是很小的； 其次，既然它反映了微观世界的运动对宏观变量的影响，其变化的尺度与宏观运 动相比要小的多，从而这一影响可以看成是快速变化、随机、不可预言的。 上述讨论中，噪声可以认为是内部动力学的结果，被称为“内噪声”。对于 宏观系统( n 1 ) ，内噪声是可以认为非常小的。但是噪声还可以来自外部， 即外部世界对系统所施加的噪声，这部分噪声称之为“外噪声”，最明显的外部 噪声即平时听到的噪音，与人体本身无关。外噪声的引入与系统的本身尺寸无关， 因此其可大可小。 双稳系统中的内噪声，通常认为其与随机变量x 无关，这样的噪声称之为加 性噪声。系统的内噪声通常是加性的。当噪声的强度d 随x 变化时，该噪声又称 之为乘性噪声。外噪声表现为乘性噪声。 2 1 2 双稳系统的朗之万方程 在表现物理学对宏观系统的三种层次的描述的关系和说明随机层次( 噪声) 的优越性方面，布朗粒子的运动是一个最好的例子。朗之万方程的建立，是在研 究布朗粒子m 在液体中运动的规律上。将质量为m 的布朗粒子浸入某种液体之 中，在忽略中立和其他外场的情况下，考虑粒子的运动。如果布朗粒子和整个液 体的所有分子看作是一个系统，考虑他们之间的互相碰撞，可以建立这一系统的 正则方程或刘维方程这就是微观层次描述。考虑多个液体分子，要求解这一巨大 的方程组，是不可能的。 当考虑布朗粒子本身时，可用将液体分子对布朗粒子的作用力分为两类。一 类是宏观效应。设粒子的运动轨迹为x ，当粒子以速度文在液体中运动时，液体 分子的碰撞，会产生阻碍布朗粒子运动的粘滞力，这个粘滞力用斯托克斯定理【3 7 】 的匆表示。除此之外，布朗粒子还要受到分子杂乱无章的碰撞，这些碰撞以极 快速度改变布朗粒子的大小和方向，当布朗粒子质量很大时，在宏观时间里观察 布朗粒子运动，可用发现这些碰撞是相互抵消的，可以近似略去。 于是，布朗粒子的宏观方程为： 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 聊舅= 一a x 。 ( 2 - 7 ) 上述方程是宏观描述的物理基础，对应于前面的宏观方程( 2 5 ) 。从中可以看出宏 观描述的物理基础。 除了宏观的粘滞力作用外，当布朗粒子质量很大但是还不是极大时，布朗粒 子还受到许多分子杂乱无章的碰撞，液体分子对布朗粒子的杂乱的作用可以在显 微镜下观察到。由于不同时刻液体分子在与布朗粒子碰撞时传递给布朗粒子的动 量大小不一样，使得布朗粒子剧烈的向各个方向做无规则运动，布朗粒子越小， 这一运动幅度越大。为了分析布朗粒子在这种无规则运动产生的后果，必须考虑 液体分子对布朗粒子的碰撞。那么布朗粒子运动的宏观方程为： 聊觉= 一a i + f ( t )( 2 - 8 ) 一f ( t ) 为除阻尼力外液体分子对布朗粒子碰撞的全部作用力。它可以视为一种随机 力，并根据不同的物理系统赋予它一些合理的统计性质。在这个基础上，布朗粒 子的运动方程被看作一个随机过程，尽管这一随机过程虽然不能预言布朗粒子的 运动轨道，但却可以确切预言粒子轨道的统计行为。 将方程( 2 8 ) 两边同时除以m ，同时暂时考虑一维问题，可以得到： 戈+ 厩= ”o )( 2 - 9 ) 其中r = 口m 和胛o ) = f ( t ) m 分别为单位质量的阻尼系数和分子碰撞的噪 声。刀( ，) 称之为朗之万力。式子( 2 9 ) 称之为朗之万方程( l e ) 。现在要继续，就 要给朗之万力赋予一定的统计特性。将e ( 玎( f ) ) = 0 ，e ( n ( t ) n ( t ) ) = 2 d a ( t t ) 赋 予噪声的性质。 方程( 2 9 ) 是线性朗之万方程，而随机共振是在非线性双稳系统下进行研究 的。因此，将朗之万方程推广到外场进行讨论。如果将所研究的布朗粒子放到外 场中，设平均单位质量的布朗粒子在外场中受到的外力为厂( x ) ，那么朗之万方 程变为下式： y c + r 受= 厂( x ) + 力( f )( 2 1 0 ) 在过阻尼的情况下，惯性项被忽略，适当选择r = l ，则( 2 1 0 ) 变为 戈= 厂( x ) + 行 )( 2 - 11 ) 如果厂( 功是x 的非线性函数，则方程( 2 1 1 ) 是非线性朗之万方程。可以看出， 噪声和非线性系统通过非线性朗之万随机方程紧密的联系在一起。 为了深入了解非线性朗之万方程，下面来讨论噪声刀( f ) ，在前面讨论时认为 其是一种分子涨落力，因此可以认为其均值为： e ( 以( f ) ) = 0( 2 1 2 ) 又因为宏观时间t t o 远大于微观分子对布朗粒子的碰撞时间，所以不同 时刻聆( f ) 可近似认为相互独立，刀( f ) 的相关矩可合理的解释为 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 e n ( t ) n ( t 7 ) 】2 d 6 ( t - t ) ( 2 13 ) 其中d 为噪声强度。将刀( ，) 的关联函数进行傅里叶展开 s ( o d = ie - s a , r 2 d 6 ( r ) d r = 2 d( 2 1 4 ) 可知功率谱为白谱，与频率缈无关。用式子( 2 7 ) ，( 2 - 8 ) 描述的噪声称之为为 白噪声。如均值为0 ，方差为1 ，称之为高斯白噪声，这个在以后的分析中会经 常用到。也即刀( f ) 的概率分布满足正态分布，则玎( f ) 为白噪声。而在实际生活中 遇到的噪声总有一定的相关时间，称这类噪声为色噪声。 2 2 双稳系统与噪声 前面分析了朗之万方程，知道朗之万方程的线性与否与外场力( 功有关。 在研究随机共振时，通常是放在非线性双稳系统中进行的。通常描述的非线性双 稳系统是在一个势函数u ( x ) 下进行的。势函数u ( x ) 的方程如下： u ) 一圭饿2 1 4 bx4(2-15) 其图形如下： f ? 。：=：=：!：垒爹 1 一 x o x ( i ) 图2 - 1 势函数u ( x ) 从势函数图像中可以发现，其有一个极高点，称之为砀，左边最低点称之 为左阱底，右边最低点称之为右阱底，两点分别为x l 和x 。最低点和极高点的 垂直高度为a u ，称之为势函数的势垒。 对势函数u ( x ) 求导得： - - u ( 力= a x - b x 3( 2 1 6 ) 上式中的一u ) 即为单位质量粒子在双稳势函数v 0 ) 中受到的外势场力， 也就是非线性朗之万方程中的厂( x ) ： 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 厂( x ) = - - 7 ( x ) = a x - b x 3( 2 1 7 ) 代入( 2 1 4 ) ，得： 圣= 八功+ 刀( ，) = 甜一缸3 + 刀( f )( 2 - 1 8 ) 这就是双稳系统的朗之万方程。可以这样理解，在势场u ( x ) 中，一个布朗粒子 在势函数轨道中运动，轨道即为图2 1 中的实线。粒子轨迹为x ，当粒子运动时， 其受到的势场对其作用力为f ( x ) = a x b x 3 ，如果再加上外部的随机力船( f ) 的作 用，那么就形成t ( 2 1 8 ) 的无外场力非线性双稳朗之万方程。 如果令噪声刀( ，) = 0 ，即不考虑噪声作用，可得： i = ( 功= a x - b x 3( 2 1 9 ) 令厂( 力= 0 ，得三个解： ：c 0 2 0 ，娩= 口6 ，x r = 口b ( 2 - 2 0 ) 图2 1 中的势垒高度为u = a 2 4 b 。粒子在势场u ( 曲中可以只在左右单个势阱 中运动，也可以在两个势阱中来回运动。 在噪声作用下，双稳系统的两个势阱不再相互独立，初始在某一势阱内的系 统，会在不同的时间以不同的概率进入另一势阱，而且绝大部分概率将局限于以 x 为有限的区域内。双稳系统从准稳态发展到最终定态的过程就是两个势阱内进 行概率交换，使居于平衡过渡到整体平衡的过程。 下面来讨论解的稳定性。在本文中，只讨论参数a ，不讨论系统参数b ，即 令b 三1 。此时三个解就变为x o = 0 ，x l = 一口，x r = 石。可以根据口分为以下几 种情况来进行讨论： 1 ) 当口 0 ，解而= - 口，x r = 如实数，所以双稳系统中的非线性项解 一缸3 会使系统稳定在耗散结构分支解x ，= 一口，x r = 口上，这一点同样可 以用线性稳定性分析方法来对这一定态解的稳定性进行分析。在= 石附近， 将非线性方程( 2 1 9 ) 线性化为下式 戈= f ( x d x = 2 a x ，( 2 - 2 3 ) 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 其解为 x = x r e 删。( 2 2 4 ) 显然，当t - - o o 时，x 专x r 。对于x ，= 一口可以得到同样的结果。因此，当a 0 时，系统稳定在耗散结构3 8 1 的分支解吒= 一：和= 石。即两个稳态解。 图2 - 2 是非线性双稳系统确定性方程的分叉图，其稳定性可用一个粒子在不 同形式势阱中的运动情况来表示，因为只有a 0 才能构成双稳系统，本文仅讨 论图2 3 的情况。 b 图2 2 方程2 1 9 的分叉图 o ( a ) 恐2 磁2 石( b ) 一 图2 3 单稳势阱( a ) 和双稳势阱( b ) 示意图 对于图2 3 表示的非线性双稳系统，如果给定合适的初值x o 0 或 气x u ，) 。 c 2 2 6 ， 由这一概率分布函数可以得到从x l 和x 。势阱出发的克莱默斯( k x a m e r s ) 逃 逸速率足和r 【3 】： 卜去瓜而唧掣2 去一m 亿2 7 ， 卜去厕e 冲掣= 去。 一 对于双稳系统，当布朗粒子在噪声驱动下从一个势阱向另一个势阱跃迁时， 其每次所用时间在各次统计试验中是不同的。换言之，粒子每次的逃逸速率或频 率各不相同。如果定义布朗粒子从一个势阱进入到另一个势阱然后又跃迁回来为 一个循环周期，那么可以得到布朗粒子来回跃迁的平均逃逸速率或平均跃迁频率 为【2 4 】： 厶= 寺r = 毒足= i 瓮e 。4 6 d 。 ( 2 2 8 ) 平均跃迁频率厶反映了单位时间内，布朗粒子在噪声驱动下发生跃迁的快 慢。厶值大，即平均跃迁频率高，则表示布朗粒子在单位时间内来回跃迁的次 数多，逃逸速率快，一次来回跃迁的平均时间就短。因此，双稳系统对噪声的响 应特性可以在频域中进行理解。由式( 2 2 8 ) 可以看出，平均跃迁频率厶具有指数 分布形式。对双稳系统u ( x ) ，其系统参数口和b 可视为常量，厶将取决于噪声 强度d ，图2 - 4 给出了允随d 的变化规律。 从上图可以看出，平均跃迁频率允有一个极限值： 厶呲2 炔厶2 夏庶。( 2 - 2 9 ) 当然d 不可能取很大的值，因为式( 2 2 8 ) 是在弱噪声d 1 下得到的。但对 于实际问题，噪声大小可以不受限制，我们更感兴趣的是d 的变化会给工程信号 第二章双稳系统与随机共振的基本理论 处理带来什么样的结果，它能否被有效利用。由式( 2 2 9 ) 可定性推断，无论噪声 能量大小，双稳系统响应频带特性主要集中在低频段厂 一，这说明频谱能量 均匀分布的白噪声疗( f ) ，经过非线性双稳系统作用后，谱结构发生变化，大部分 能量集中于低频区域，频谱不再是均匀分布。从图中可以看出，继续增大噪