（通信与信息系统专业论文）矿井瞬变电磁场超前探测时域数值仿真研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 矿井瞬变电磁场超前探测的数值仿真，作为基础性的研究内容，对矿井电磁 法探测及资料解释具有极其重要的指导作用，将对促进瞬变电磁场超前探测技术 的成熟与发展起到积极作用。 在对现有的数值计算方法总结分析的基础上，确定了时域有限差分法作为仿 真研究算法。f d t d 算法特殊的y e e 网格结构，实施简便，便于处理具有复杂外 形和复杂介质目标的电磁散射、辐射等问题，在媒质的处理方面有较大的自由度。 同时，显式算法的f d t d ，能给出物理过程丰富的时域信息，为复杂的物理过程 描述出清晰的物理图像。 给出了导电媒质中准静态条件下时变电磁场m a x w e l l 方程的特殊形式，和不 同媒质分界面上边界条件的形式。深入研究了地球物理无限空间中h e l m h o l t z 定 理、辐射条件，唯一性定理，给出了详细的证明过程。在此基础上，由准静态条 件下的时域m a x w e l l 旋度方程，建立了离散后的f d t d 方程，加入了约束条件。 对f d t d 网格元胞界面电磁参数的选取，采用了特殊的处理方法。将无限空间中 的辐射条件，用吸收边界条件替代，缩减求解区域。导出了吸收边界条件中t e 波的完全匹配层吸收边界条件公式，制定出f d t d 中加入p m l 吸收边界的实施 策略，完成f d t d 仿真软件编程。 对g a u s s 脉冲激励下，距掘进面分别为1 0m 、5 0m 、1 0 0m 低阻异常体的瞬 变场响应仿真结果表明，异常体距离越远、回波到达时问越晚；发送出去的脉冲 信号，随时问向前方传播、并向四周扩散，到达侧帮后被反射。仿真结果符合电 磁波的传播、以及和物体相互作用的规律，证明所建立的f d t d 方程、编制的仿 真程序是正确的。掘进面上场分布随时间的变化、脉冲的扩散与传播、异常体的 反射、侧帮的反射，距掘进面不同距离处异常体反射的到达时间，都为今后井下 瞬变电磁场超前探测仪器方法理论研究、仪器的改进提供了依据。 关键词：矿井；瞬变电磁法；准静态；超前探测；时域有限差分法；p m l 国家自然科学基金资助项目4 0 6 7 4 0 6 0 江苏大学硕士学位论文 a bs t r a c t a st h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c hc o n t e n t ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fm i n ea d v a n c e d d e t e c t i o nt e c h n o l o g yp l a y sa ne x t r e m e l yi m p o r t a n tg u i d er o l ei nm i n ee l e c t r o m a g n e t i c d e t e c t i o na n dd a t ai n t e r p r e t a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g yw i l lr i s et h e p o s i t i v ee f f e c tt oi m p r o v e st h em i n ea d v a n c e dd e t e c t i o nt e c h n o l o g yw i t ht r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i cm e t h o d o nt h eb a s i so ft h es u m m e r ya n da n a l y s i so ft h ep r e s e n tn u m e r i c a lc o m p u t i n g m e t h o d s ，w ec h o i c et h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i n ( f d t d ) m e t h o da st h e s i m u l a t i o nm e t h o d f d t dh a st h es p e c i a ly e eg r i ds t r u c t u r e ；i tc a nb eo p e r a t e de a s i l y a n de a s yt oh a n d l et h ee l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n go rr a d i a t i o np r o b l e m sw h i c hm a y b e c o n t a i nc o m p l i c a t e ds h a p ea n dm u l t i m e d i ao b j e c t w i t hm o r ef r e e d o mi nr e s o l v i n g m e d i u m ，f d t di sm e t h o di se x p l i c i t ，w h i c hc a np r e s e n ta b u n d a n tt i m e d o m a i n i n f o r m a t i o no ft h ep h y s i c a lp r o c e s sa n ds h o w l e g i b l ep h y s i c a lp i c t u r eo fc o m p l i c a t e d p h y s i c a lp r o c e s s t h i sp a p e rg i v e st h es p e c i a lf o r mo fm a x w e l le q u a t i o n si nc o n d u c t i v em e d i u m u n d e rq u a s i - s t a t i cc o n d i t i o n ，a n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni nt h ei n t e r f a c eo fd i f f e r e n t m e d i a i n d e p t hs t u d yo fh e l m h o l t zt h e o r e mi nt h eg e o p h y s i c a li n f i n i t es p a c e 、t h e r a d i a t i o nc o n d i t i o n 、u n i q u e n e s st h e o r e m ，a n dg i v e sad e t a i l e dp r o o f o nt h i sb a s i s ，t h ep a p e rd i s c u s st h et i m e - d o m a i nm a x w e l lc u r le q u a t i o n s ，u n d e r q u a s i - s t a t i cc o n d i t i o n s ，e s t a b l i s ht h ed i s c r e t ef o r mf d t de q u a t i o na n d a d da c o n s t r a i n to n u s i n gt h ei n f i n i t es p a c er a d i a t i o nc o n d i t i o n s r e p l a c ea b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n st or e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lr e g i o n p a p e rd e r i v e st h ep m l a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n se q u a t i o ni nt em o d e l ，a n da c c o m p l i s h e st h ef d t d s i m u l a t i o np r o g r a m u n d e rt h ei n c e n t i v eo fg a u s sp u l s e ，t h et e ms i m u l a t i o nr e s u l t st h a t ，w h e nt h e d i s t a n c ef r o mt h el o wr e s i s t a n c ea n o m a l o u s b o d yt oh e a d i n gf a c ei slo m 、5 0 m 、10 0 m ， t h el o n g e ra st h ea n o m a l o u sb o d ys t a ya w a yt h eh e a d i n gf a c e ，t h el a t e rt h ew a v e r e f l e c t e d ；t h es e n do u tp u l s es i g n a lt r a n s m i td i r e c t l yw i t ht h et i m e ，a n ds p r e a da r o u n d ， i tw o u l db er e f l e c t e dw h e nt h es i g n a le n c o u n t e rq u a r t e r s t h es i m u l a t i o nr e s u l t s 江苏大学硕士学位论文 c o n s i s t e n tw i t ht h ee l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r o p a g a t i o n ，a n di n t e r a c t i o nr u l e sa n dt h e l a wo fi n t e r a c t i o nb e t w e e no b j e c t s t h er e s u l tp r o v e st h a tt h ef d t de q u a t i o na n dt h e s i m u l a t i o np r o g r a mi sc o r r e c ti nt h i sp a p e r t h ed i s t r i b u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i c p a r a m e t e r sv a r yw i t ht i m ei nh e a d i n gf a c e ，t h es p r e a d i n ga n dd i s s e m i n a t i o no fp u l s e s i g n a l ，r e f l e c t i o no fa b n o r m a lb o d y ，r e f l e c t i o no fs i d el e a d i n g ，t h er e f l e c t i o nt i m et h a t d i f f e r e n td i s t a n c ef r o mt h eh e a d i n gf a c et oa b n o r m a lb o d y , a l lt h e s ep r o v i d er e f e r e n c e t o i m p r o v et h et e ma d v a n c e dd e t e c t i o nt e c h n o l o g y a n dt h e d e v e l o p m e n to f i n s t r u m e n t k e y w o r d s ：m i n e ；t e m ；q u a s i s t a t i c ；a d v a n c e dd e t e c t i o n ；f d t d ；p m l p r o j e c t4 0 6 7 4 0 6 0s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a 江苏大学学位论文版权使用授权书 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密忆f 学位论文作者签名：鞠丑圈 彻年石月尹日 指导教师签名： 门过 2 0 ，年其7b 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鞠丑固 日期：加p 年6 月甲日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪言 1 1 研究背景与意义 在矿井开采过程中，巷道掘进前方隐伏的导、含水构造极易造成矿井突水事 故的发生，对煤矿的安全生产构成了极大的威胁。因此在矿井开采过程中，查明 采掘工作面前方的富水异常区位置是煤矿安全生产中亟待解决的问题。作为电磁 场在目标识别中的应用，瞬变电磁场在超前探测中由于易于穿透矿井岩壁，方向 性强、分辨率高、对含水的低阻目标体敏感、和快速观测等特点，成为许多矿区 探水的首选方法。对瞬变超前探的研究，也成为电磁学领域和地球物理领域中的 重要研究内容。作为矿井瞬变电磁法基础理论的主要研究内容之一，矿井瞬变电 磁场超前探测的数值仿真，对于矿井电磁法勘探施工及资料解释等具有极其重要 的指导作用。通过对矿井瞬变电磁场的时域数值仿真，拓展了计算电磁学的研究 领域，为矿井瞬变电磁法资料处理和解释提供理论依据，促进瞬变电磁场超前探 测技术的成熟与发展，提高对煤矿水害预测预报的精确程度，对于实现煤矿行业 安全稳定持续发展起到积极的作用。 1 2 电磁场数值模拟的主要方法 1 2 1 矩量法 ， 矩量法是较早应用的一种数值算法，它的基本原理是1 l ：先选定基函数对未 知函数进行近似展开，代入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的意 义下方程的余量等于零，由此将连续的算子方程转换为代数方程。原则上，矩量 法可用于求解微分方程和积分方程，但用于微分方程时所得到的代数方程组往往 是病态的，所以在电磁场问题中主要求解积分方程【2 ，3 1 。矩量法要求对所求解的 不同模型都要导出不同的积分方程，对不同的频率也要重新计算，程序的通用性 较差，但计算精度较高，大多用于频率域问题。 1 2 2 有限元法 有限元的基本原理是【2 1 ：先通过各种适当的形式将解剖域划分成有限个单 元，再在每个单元中构造分域基函数，利用里兹( r i t z ) 法或加辽金法( g a l e r k i n ) 构造代数形式的有限元方程。有限元法可以灵活的剖分离散单元，较为精确的模 江苏人学硕士学位论文 拟各种复杂的几何结构。有限元方程组的系数矩阵是稀疏、对称的，便于代数方 程组的求解【4 1 。有限元大多用于静电场、恒定电流场和频率域电磁场问题。 1 2 3 时域有限差分法 时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，t e m ) 直接从m a x w e l l 出 发，将依赖于时间变量的m a x w e l l 旋度方程转化为差分格式，可以在时问域直接 求解电磁场问题，无须经过频率域的转换，实际上，f d t d 算法就是在解决时域 电磁场问题时提出来的1 5 1 。该方法直接将m a x w e l l 旋度方程转换为差分方程组， 对电场和磁场的各分量在空问和时间上采取交替抽样的离散方式，即每一个电 ( 或磁) 场分量周围有四个磁( 或电) 场分量环绕( 这种抽样方式后来被称为 y e e 元胞) ，应用这种离散方式将时域m a x w e l l 旋度方程转化为一组差分方程， 在时问轴上逐步推进地求解空间电磁场f 6 j 。f d t d 方法在计算中将介质参数已赋 值给空问每一个元胞，便于处理具有复杂外形和复杂介质目标的电磁散射、辐射 等问题，在介质的处理方面有较大的自由度。 f d t d 方法由m a x w e l l 方程直接出发，不需要任何导出公式，避免使用更多 的数学工具，直观简单，易于掌握。f d t d 的网格特性使得算法更适于处理更为 复杂的媒质，同时使得电磁场的理论与计算从处理稳念问题发展到瞬态问题1 ， 这是电磁学上一个极有意义的重大发展。在f d t d 发展的早期，由于f d t d 的 网格技术对模型的适应性较差、处理开区域时要设置截断边界以及数值色散等问 题，限制了自身的发展。到8 0 年代术，随着亚网格技术、对色散问题研究的进 展、吸收边界条件以至完全匹配层吸收边界条件的运用，f d t d 进入了一个新的 发展阶段。成为计算电磁学领域的研究热点之一，应用范围迅速扩大。到现在为 止，对f d t d 的研究方兴未艾，还在继续深入。 由于f d t d 算法可以随着时间步的推进，直接模拟电磁波的传播及其与物体 的相互作用过程，使电磁波的时域特性被直接反映出来，直接给出丰富的电磁场 问题的时域信息，为复杂的物理过程描述出清晰的物理图像。在矿井瞬变电磁场 超前探测中，需要了解观测时间与超前探测距离之间的关系、需要对不同时间观 测的数据进行解读，需要了解激励源发出的脉冲信号与掘进面前方异常体相互作 用的全过程，为此，本文选择f d t d 算法作为矿井瞬变电磁场超前探测数值仿真 的手段，研究地球物理问题中f d t d 算法中的特殊问题，用f d t d 实现矿井瞬 2 江苏大学硕士学位论文 变超前探测的数值仿真。 1 3 时域有限差分f d t d 算法的研究现状 1 3 1 计算电磁学领域中f d t d 研究现状 和其他数值计算由材料、理学等领域发展起来，然后在电磁学领域中得到推 广应用不同，f d t d 算法由电磁学领域起源，随着电磁学、通信、电磁场与微波 技术中需要解决的问题，发展了近远场外推算法l 蜘，亚网格技术、可以跨越媒质 边界的亚网格技术1 9 、共形网格技术1 0 , 1 1 】、细导线算法i ，周期结构的f d t d i 协15 1 ， 色散媒质f d t d 算法【引、各向异性媒质的f d t d 算法1 1 9 五伽，光子晶体和等离 子体中f d t d 计算【2 1 - 2 2 1 ，交替方向隐式( a l t e r n a t i v ed i r e c t i o ni m p l i c i t ) a d i f d t d 算法1 2 3 - 2 4 1 等，还有为了解决巨大运算量的并行算法【2 5 。2 6 1 等。f d t d 的应用从电磁 散射问题，发展到电磁兼容问题、天线辐射问题、微波电路和光路中时域分析， 以至于生物医学中的应用。对于电磁学中币在发展中的新分支瞬变电磁场的 研究f d t d 方法的地位也变得日益重要。 1 3 2 地球物理f d t d 仿真中的特殊问题 电磁场在应用于地下目标识别时，由于大地的导电作用，为了获得较大的探 测深度、或者是作用距离，观测时间范围内的场已处于似稳状态。场的波动性让 位于扩散性，应该考虑导电媒质中m a x w e l l 方程和边界条件的形式。准静态条件 下的m a x w e l l 方程需要增加约束条件才能保证晚时段解的准确程度。在 o r i s t a g l i 0 1 2 7 1 和w a n g 2 s 1 等人做出了开拓性的工作以后，鉴于煤矿安全生产的严峻 形势，中国科学院地质与地球物理研究所、地质和煤炭部门所属院校，陆续开展 了井下瞬变场的f d t d 模拟研究，取得了不同程度的进展【2 9 , 3 0 。本论文就是在以 往工作基础上【3 1 1 的进一步深化。 1 4 本文研究的主要内容和结构 第一章：对课题的研究背景和意义作了阐述，分析了现有的各种电磁场数值 模拟技术的特点、适用问题。确定矿井瞬变电磁场超前探测时域数值仿真的算法 f d t d 作为研究对象，和地球物理f d t d 中的特殊问题。 第二章：给出导电媒质中准静态条件下时变电磁场m a x w e l l 方程的特殊形 江苏大学硕十学能论文 式，给出导电媒质中不同媒质分界面上边界条件的形式。阐述时变电磁场中基本 边界条件的相关理论。深入分析了地球物理无限空间中h e l m h o l t z 定理、和辐射 条件，给出了详细的证明过程。对求解时变电磁场时所遵循的唯一性定理给出了 详细的证明。 第三章：在第二章的理论基础上，由准静态条件下的时域m a x w e l l 旋度方程， 建立了离散后的f d t d 方程，加入了约束条件。对f d t d 网格元胞界面电磁参 数的选取，采用了特殊的处理方法。将无限空间中的辐射条件( 尽管在导电媒质 中比自由空间中容易实现) ，用吸收边界条件替代，缩减求解区域。给出了f d t d 中加入p m l 吸收边界的实施策略，完成了f d t d 仿真软件编程。 第四章：模拟了井下掘进面上一点注入g a u s s 脉冲后，掘进面上的瞬变响应： 包括脉冲的扩散与传播、异常体的反射、侧帮的反射等。距掘进面不同距离处异 常体反射的到达时问、作为观测面的掘进面上瞬变场分稚随时问的变化，都可作 为今后井下瞬变电磁场超前探测的研究依据。 第五章：总结与展望。对论文的研究内容、取得的进展进行了总结。指出不 足之处和后续工作需要解决的问题。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章导电媒质中准静态条件下的时变电磁场 2 1m a x w e l l 方程 m a x w e l l 方程是电磁理沦的核心，一切宏观的电磁现象均毫无例外的遵循这 组方程。m a x w e l l 方程的微分形式如下【3 2 l v 州，) = _ 掣 ( 2 1 ) v 厅( ，) ：j ，( ，f ) + ，( ，f ) + 8 d = ( r 一, t ) ( 2 2 ) 优 v d ( r ，) = p ( r ，) ( 2 3 ) v b ( r ，t ) = 0 ( 2 4 ) 式中e 是电场强度，单位v m ；h 为磁场强度，单位a m ；d 为电通量密度 ( 电位移矢量) ，单位c m 2 ；b 为磁通量密度( 磁感应强度) ，单位w b m 2 ；j r 及 j | 分别是源电流密度和传导电流密度，单位a m 2 ；p 是电荷密度，单位c m 3 ；， 为源点到场点的矢径；f 为时间。本论文中的各场量，按惯例在时间域中表示为 小写粗斜体e 、b 、d 、h 、j ，在频率域中表示为大写粗斜体e 、曰、d 、h 、 ，以示区别。 式( 2 1 ) 称为f a r a d a y 电磁感应定律，表明变化的磁场可以产生电场，变化 的电场是磁场的旋度源；式( 2 2 ) 称为全电流a m p e r e 环路定律，表明传导电流 和位移电流是磁场的旋度源，可以产生磁场；式( 2 3 ) 称为电场g a u s s 定律， 它表示电荷是电场的散度源，电荷产生电场；式( 2 4 ) 称为磁场g a u s s 定律， 也称为磁通连续性原理，表示磁力线是无头无尾的，磁场是无散场。 除了上面的几个方程之外，还有一个基本方程称为连续性方程，微分形式为 玑，一詈 q 5 ) o l 式( 2 5 ) 也称为电荷守恒定律。各向同性线性媒质中的本构关系为 d ( r ，) = e ( r ) e ( r ，) ，b ( r ，) = ( ，) 后( ，) ，j ( r ，) = g ( r ) e ( r ，) ( 2 6 ) 其中是媒质的介电常数，单位f m ；是磁导系数，单位h m ；仃是电导率， 单位s m ；对于均匀媒质，它们是常量；对于非均匀媒质它们随空间位置而变化。 江苏人学硕十学位论文 m a x w e l l 方程、连续性方程、和物质结构方程一起构成了一组完整的电磁学方程。 m a x w e l l 方程纣l 概括了宏观电磁现象的基本规律，因此各种电磁现象都可用 特定条件下的m a x w e l l 方程来描述。对于均匀媒质，当如式( 2 6 ) 那样d 和e ， j 和e 之间保持线性关系时，不难证明f 4 0 l ：在非零导电率的区域，不存在持久的 自由电荷分布。在整个导体内的各点，初始电荷风分布随时间呈指数衰减，且 衰减的情况与外场无关。若初始电荷密度为零，则以后所有时刻电荷密度都保持 为零。即 一堡， p = p o e s ( 2 7 ) 在任意点上电荷密度减小到初始值的1 p 所用的时间为 f ：三( 2 8 ) 称为弛豫时间。除导电性最差的导体外，f 都是极小的。例如海水的弛豫时问约 为2 x lo 郴s ，即使是导电性较差的蒸馏水r 也不大于1 0 。6 s ( 在最好的绝缘体如熔 融石英中，r 可大于1 0 6 s ) 。因此对于一般的导电媒质，m a x w e l l 方程有如下的形 式 v x e ( ，) ：一8 b _ ( r , 一t ) ( 2 9 ) d f v ( ，f ) ：，( ，) + ，( ，) + 8 d ( = r 一, t ) ( 2 1 0 ) d v - d ( r ，) = 0 ( 2 1 1 ) v 6 ( ，f ) = 0 ( 2 1 2 ) 即电位移矢量的散度为零。 由电荷守恒定律可知，导体内部电荷的衰减必伴随着导体表面电荷的出现， 面电荷开始出现的瞬问是内部电荷开始衰减的时刻。当电磁波在导电媒质中传播 时，位移电流与传导电流同时存在。对于时间域电磁勘探中常常使用的阶跃脉冲 “( f ) = 0 , t o ) ( 2 钟) a , r - - i ，一，i 。那么当y 寸，r - - o o 时，式( 2 3 4 ) 和( 2 3 6 ) 中的面积分文 为零。所以当场所在的空间为无限空间时，矿( ，) 和彳( r ) 计算公式应改写为 吣，2 石1 瞬斧 3 8 ) ”) 。石1 肼 ( 2 3 9 ) 即此时矢量场由其散度源和旋度源唯一地确定。 2 5 辐射条件 前面公式( 2 3 7 ) 所表示的也就是辐射条件，辐射条件也称无穷远条件，实 际上它足一个无穷远的边界条件。当场源分布在有限区域时，为了求解无穷远处 的电磁场，总可以将场源视为一个点源【3 7 1 。为了得到问题的唯一解，在外边界也 必须确定这样一个条件。此时无限远处的场应满足的辐射条件称为s o m m e r f e l d 1 2 江苏大学硕士学位论文 辐射条件1 3 8 i ：即场的任一横向分量缈满足1 3 6 l r l i - - m + o 。月( 皇d r 竺+ 珐缈) = o ( 2 4 0 ) 、， 式中：r 足从源点到场点的距离；k 是媒质的传播常数。s o m m e r f e l d 辐射条件的 物理意义是远离场源的场有一向外延迟的桐位f 3 6 1 ，且其幅度下降至少比r 一1 要快。 标量辐射条件可由非齐次h e l m h o l t z 方程运用标量g r e e n 定理导出【3 叫0 1 。 由于时域电磁波可以展丌为一系列正弦波之和，为方便起见，本节的辐射条 件是在频率域中讨论的( 时域场和频域场之间的变换见附录a 1 ) 。 2 5 1 标量辐射条件 有非齐次h e l m h o l t z 方程 v 2 妒( ，) + k 2 妒( ，) = 一f ( r ) ( 2 4 1 ) 式中k 2 = 缈2 肛，国为圆频率，f ( r ) 代表包含电流与电荷的产生场的源函数。又 知g r e e n 函数满足的方程为 v 2g ( r ，) + k 2g ( r ，7 ) = 一8 ( r 一，)( 2 4 2 ) 利用第二标量g r e e n 定理式： 工( 孵邶2 甲) d 矿= ( 甲塑a n 一筹) d s ( 2 4 3 ) 设，为场点坐标、，7 为源点坐标，并令甲= c p ( r ) 、= g ( r ，) ，可得 肛) v 2 州m ，嗍， dy = 出，) 掣嘶，) 等卜 ( 2 4 4 ) 将式( 2 4 1 ) 两端乘以g ( r ，7 ) ，式( 2 4 2 ) 两端乘以缈( ，) ，所得结果带入式( 2 4 4 ) 肼咖一，晰脚，缈= 小，掣嘶，掣 s 旺4 5 ， 考虑到【_ 烈，) 6 ( r - r ) 】d 矿= 一妒( ，) ，上式又可变为： = 胍阮旷小，掣吼n 等 d s 眩4 6 ， 1 3 江苏人学硕士学位论文 将，与i t 对调，由于g r e e n 函数的对称性，即g ( r ，) = g ( ，：，) 【证明见附录a 2 】， 便有 舯肌一晰伸y 一小一掣晚n 等p 4 7 ， 显然，上式中第一项代表源的作用；第二项代表边界的影响。这再次表明，有源 区中的场是由源和边界条件共同决定的。如果体积v 为无源区，则八，) = 0 ，又 已知在均匀无界空间中的g r e e n 函数为 g ( ，) 2 蒜 2 舶) 则上式简化为： 州2 一击唾h v k t e - i k r ，一t e - 7 k r 即，卜4 9 ， 在均匀无界空间中，假定场源分布在有限区域内，如图2 4 所示，作一闭合面s 包围整个场源，并作一无限大的球面墨。 图2 4 辐射条件【3 9 i 显然，对于位于s 与岛之间任意场点的波函数烈，) ，可用公式( 2 4 9 ) 来计算。 时) _ - 石1 p r ，) v t ( t e - 浩n ) 一下e - k rv 钗，) 卜s 一石1 p ，) v ( 百e i r ) 一t e - a , rv 加) 卜s 由式( 2 5 0 ) 可以看出，式中面上s 的面积分代表离开场源的外向波对场点波函 数的贡献，无限大球面墨上的面积分代表由无穷远处向内的内向波对场点波函 数的贡献。由于假定整个场源分布在均匀无界空问的有限区域内，从物理概念判 1 4 江苏人学硕士学位论文 断，显然不应当存在来自无穷远处的内向波，只可能存在来自场源的外向波，即 辐射场。因此，上的面积分必须等于零，即 小一v e - ：k r ，一百e - i k rv 坝一卜 眩5 ) 当s ，为无限大球面时，s 上的外法向单位矢量h 与r 方向相反， v ，( r ) = 一v f ( r ) = 一o f ( r ) o r r ，v 厂( 尺) h = o f ( r ) o r ，于是式( 2 5 1 ) 中被秘函数的第一项为 妒轰c 譬h 七缈竿一妒置 此外，& 上的面积元可写成嬲= r 2 d q ，式中d q 为立体角元，于是，式( 2 5 1 ) 可改写为 电寸。r ( 嚣m 妒) e - t k rd q + 电y r e - ，k r m - o ( 2 5 2 ) 为了导出辐射条件，还需对波函数的性质作一个预先的规定，就是当 r o 。时，缈尺为有限值，即当r 专时，缈芘1 r 。对波函数的性质作了这种 限制之后，当r o o 时，式( 2 5 2 ) 中的第二项等于零。即如果妒满足条件 r l 觋r ( 嚣舷加o ( 2 5 3 ) - a r 励式( 2 5 2 ) 中的第一项积分也等于零，因而可保证式( 2 5 2 ) 成立。式( 2 5 3 ) 即为s o m m e r f e l d 辐射条件。 2 5 2 矢量辐射条件 矢量辐射条件可由非齐次矢量波动方程运用矢量g r e e n 定理导出【3 9 ，4 。所考 虑问题如图2 5 所示，其中体积v 由两个闭合面s 、是包围，v 内为各向同性的 均匀媒质。已知v 内场源l 厂、p 的分布及s 、是表面上的场值e 、h ，而是面 外和s ，面内的场源是未知的。v 内电磁场满足附录a 1 式( a 一2 5 ) 、( a 一2 6 ) 所 示的矢量波动方程 v x v xe k 2 e = 一i 6 0 l u j( 2 5 4 ) v v 日一七2 日：v j ( 2 5 5 ) 江苏大学硕士学位论文 图2 5 闭合空间p 叫 设矢量函数p 和q 在v 内存在不低于二阶的连续导数，并在s 、马上有一 阶连续导数，则有如下的矢量格林定理： 工( p v v q q v v p ) d v = ( s i + s z ( q v p p v q ) h d s ( 2 5 6 ) 上式中，h 为s ，s z 面的外法线单位矢量。令 p = e ( ，) q = c o ( ，7 ) 口 则g o ( ，7 满足方程 ( v v + k 2 ) g o ( ，) 盯 = 一万( 卜， 式中 g o ( ，户确 ( 2 - 5 7 ) i k l r 卅 p a 为任意常矢量。将p = e ( ，) ，q = a o ( ，代入到矢量g r e e n 定理( 2 5 6 ) 中， 可得 工 e ( ，) v v g o ( r , r ) 口卜g o ( r , r - ) 口v v e ( ，) ) d 矿 ( 2 5 8 ) = 文+ 是 g o ( ，枷v e ( ，) 一( ，) v 【g 0 ( ，枷”h d s 考虑到 v v a = v v a v v v ( g 矗) = g v a + 口v g = a - v g 式( 2 5 8 ) 中的 1 6 江苏大学硕十学位论文 v v 【g o ( ，) 口】= v v 【g 0 ( ，) 4 卜v 2 【g o ( ，枷】 ( 2 5 9 ) = v a v g o ( ，) 】+ 七2 g j ( ，) 口+ 8 ( r 一，) 口 将式( 2 5 4 ) 与式( 2 5 9 ) 代入式( 2 5 8 ) 得 l ( ，) v 【口v g o ( r , r ) 】+ 万( ，一，e ( ，) + 础o u g 。( ，3 j ( ，) d y ( 2 6 0 ) = 文+ 是 g o ( ，) 口v 量( ，) 一e ( ，) v 【g 。( ，) 口1 ) h d s 根据矢量微分恒等式v ( 缈，) = 妒f + f v 矽，当缈= 口v g o ( ，) ，f = e ( ，) 时 e ( r ) v a v g o ( ，) 】 = v 【口v 6 0 ( ，r g l e ( r ) ) - 【口v o o ( ，r g l v e ( ，) 应用g a u s s 定理l 。v f d v = df h d s ，和式( 2 3 ) 及( 2 6 ) d = 占p 得： j s ：f口e(墨r)+sv：【a疗veg(，o(r,r9，d，v，)ds一盯p(r)v)ivgo( g o ( ，3 d y c 2 6 ) = 口文蝎防e ( ， ，) 搬一盯l ，y 根据6 ( ，一，) 函数的性质，有 a - e ( ，) 万( ，一， ) d y = 口。e ( ，) ( 2 6 2 ) 根据矢量微分恒等式v 【g 0 ( ，枷】- g o ( ，r t ) v x a 一口v g 0 ( ，) = v g 0 ( ，r ) x a 和矢量恒等式爿( b x c ) - c ( a x b ) = b ( c 4 ) ，及时谐场m a x w e l l 方程( a 一1 ) 和 e ( r ) x v x g ( ，) 口】) h = 而 e ( r ) x 【v g o ( ，) 口】) = 【v 6 o ( ，t ) 盯】 h x e ( ，) 】 ( 2 6 3 ) = a 【五e ( ，) 】v 6 o ( ，- ) ) g o ( r ，f ) 口v e ( ，) 】应= 【_ f 掣g o ( r , r 口日( r ) 】南( 2 6 4 ) = 一f 掣g 0 ( ，弘 h x ( ，) 】 将式( 2 6 1 ) ( 2 6 4 ) 代入式( 2 6 0 ) ，得 口e ( ，= - a - 【i 国g 。( ，3 j ( ，) 一l v g ( ， ) 】d y + 口啦+ 墨 i r o p g ( ，) 疗h ( ，) 一防e ( 厂) 】v g ( r ，) ( 2 6 5 ) 一【而e ( r ) v g o ( ，) ) d s 1 7 江苏大学硕士学位论文 消去上式两端的任意常矢量a ，并将式中变量，与，交换，根据g r e e n 函数性质 g 。( ，) = g 。( ，) 【证明见附录a 2 】，有 肌卜i i 吣( w ) 一竽矿，) p + 嗔+ 置 卸g o ( 6 ，7 谚h ( ，7 ) 一【另置( ，) 】v g o ( 6 ，7 ) ( 2 6 6 ) - 【而e ( r7 ) 】v7 g o ( r , r ) ) 曲 用类似的方法或对偶件原理【3 6 l ，由磁场满足的方稗( 2 5 5 ) 可求得 日( ，) = 工，( ，) v7 g o ( r , r ) d v 一嗔。峨 泐g o ( r , ，) 【五e ( ，) 】( 2 6 7 ) + 【五h ( ，) 】v g o ( r , r7 ) + p h ( r ) 】v a o ( r , r ) 嘏 以上两式( 2 6 6 ) 和( 2 6 7 ) 中，体积分项代表y 内的源在观察点产生的场；面 积分项则代表矿外的源在y 内观察点产生的场。 考虑一种特殊情况，即均匀无界空间巾所有场源都位于有限区域内，并且都 已明确给定，考虑该场源所产生的场。此时体积矿只由s ，面所包围( 图2 5 ) ， 因此式( 2 6 6 ) 与( 2 6 7 ) 中的面积分项只是对s ，作积分。式( 2 6 6 ) 中面积分 项可写成 & 2 嗄 嘶( ，谚h ( ，) 一【再e ( i t ) 】x v c o ( ，八 ( 2 6 8 ) _ 【五e ( r7 ) 】v7 g o ( r , r7 ) 嘏7 为方便起见，设s ，而为无限大的球面。此时，电磁场的源完全集中在面s 和 面s 所包围的体积圪内。和标量辐射条件导出过程中的( 2 5 1 ) 式相同，由于 假设整个场源分布在均匀无界空间的有限区域内，从物理概念判断，显然不应存 在来自无穷远处的内向波，只可能存在来自场源的外向波，即辐射场。因此，& 上的面积分必须等于零【4 7 1 ，即，。：0 。在该无限大球面上，五= 晨，一晨为矢量 r = ，一，的单位矢量( 如图2 4 所示) ，五为s ，面的外法线单位矢量。由此可得： v p 杀l 蒜p 去( 腩+ 去) 警晨 泣6 9 ， 将式( 2 6 9 ) 带入式( 2 6 8 ) 得 1 8 江苏人学硕士学位论文 = 去嚏恽敲肛i 啕；散融。+ i 啕箐坼呻 = 氛阡x 吲2 斗书心 ( 2 7 。， = 氛卜l 肌时q 弗 当足j 时，由于球面面积与足2 成正比，因此，在下列条件下，可使该面积分乞 为零： l i mre = 有限值( 2 7 1 ) r 墓要月 克日+ ( 丢) 2e = 。 c 2 7 2 ， 式( 2 7 1 ) 要求，在离开场源很远的地方，场量的幅值随距离的变化至少按1 r 减小。用同样的方法从式( 2 6 7 ) 可以得到 l i m r 日= 有限值 ( 2 7 3 ) 舰悯2r x e - h - o 7 4 ) 利用无源区间的m a x w e l l 方程( a 2 1 ) v x h = i c o s e 和( a 2 0 ) v x e = 一f 傩h ， 可将式( 2 。7 2 ) 和( 2 7 4 ) 统一表示为【4 1 1 溉r h 磁倒= 。 旺7 5 ， 上面运用的辐射条件，前提是空间是无损耗的，若空间是有损耗的，则无限远处 的场的任一横向分量矽满足f 3 6 1 驴l 醅、。= 0 ( 2 7 6 ) 2 6 时变电磁场的唯一性定理 h e l m h o l t z 定理表明，任一区域中的矢量场，由其散度、旋度及边界上场量 的法向或切向分量唯一地确定，该定理适用于任何静态矢量场。对于随着时间和 空间变化的时变电磁场，唯一性定理指出f 3 2 j ：在闭合面s 包围的区域v 中，当 f = 0 时刻的电场强度e 及磁场强度h 的初始值给定时。在0 z t 时间内，只要 1 9 江苏大学硕士学位论文 区域矿边界s 上的电场强度e 的切向分量q ，或磁场强度h 的切向分量忽给定后， 那么在0 t t 内的