（科学技术史专业论文）陈志坚的《微积阐详》.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 本文以微积阐详作为案例，分析和探讨陈志坚对微积分的理 解情况。在分析微积阐详的基础之上，将其与同类作品进行比较 分析，进而探讨晚清中算家对微积分的理解及其得与失。 论文主要分为五章。第一章简要介绍陈志坚及其有关中算方面的 成就。数学家必然受到数学传统观念的影响，陈志坚同样不例外。我 们在明了陈志坚及其中算成就之后，能够更好地理解他对微积分学习 的情况。 第二章论述微积阐详微分部分的内容。从这部分的内容来看， 晚清中算家对微分等基本概念认识比较模糊，而且没有发展。 第三章介绍了微积阐详积分部分的内容。该书的第五卷是陈 志坚微积分工作的亮点，尤其是通过积分求曲线弧长、面积、体积。 第四章将微积阐详与同类作品进行比较分析，总体上评价微 积阐详的长处与不足，进而理解中算家对微积分的学习水平。 第五章把中算、和算接受微积分的情况进行简要地比较分析。从 当时两国的社会背景、政治、政策等多个方面以及中算、和算的特点 出发分析中算最终被放弃的原因。 以微积阐详作为案例，分析中算家在维护中算传统基础前提 下对微积分所作的创新工作，并以此进一步审视中算家学习微积分失 败的原因，从中得到启示。 关键词：陈志坚，微积阐详，晚清数学史，微积分 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i s p a p e ra r g u e sw e ij i c h a nx i a n g ( d e t a i l e de x p l a n a t i o nt o c a l c u l u s ) a sac a s e w ea n a l y s et h es i t u a t i o no fc a l c u l u sa b o u tc h e n z h i j i a n i nt h eb a s i so fa n a l y s i sw ec o m p a r ew e ij ic h a nx i a n gt ot h e s i m i l a rw o r k sa n dd i s c u s st h eg a i n sa n dl o s s e sa b o u ta n c i e n tc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n ss t u d yc a l c u l u s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t o f i v ec h a p t e r s t h e i l l s t - c h a p t e rb r i e f l y d e s c r i b e sc h e nz h i j i a na n dh i sa c h i e v e m e n t si nc h i n e s et r a d i t i o n a l m a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c i a n sm u s tb es u b j e c tt ot h em a t h e m a t i c a l t r a d i t i o ns e n s e c h e nz h i j i a ni sn oe x c e p t i o n a f t e rw es t u d yt h e m , w e c a ng e tb e t t e ru n d e r s t a n d i n g o fh i ss i t u a t i o no nt h es t u d yo f c a l c u 1 u s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed i s c u s sw e ij ic h a nx i a n gsd i f f e r e n t i a l p a r t f r o mt h i sp a r tw ek n o wt h a tt h ec h i n e s em a t h e m a t i c i a n sl i v e d d u r i n gt h el a t eq i n gd y n a s t yf a i l e dt ou n d e r s t a n db a s i ct h e o r e mo n d i f f e r e n t i a lc a l c u l u sa n dh a v en op r o g r e s s t h et h i r dc h a p t e rd e s c r i b e sw e ij ic h a nx i a n gsi n t e g r a l p a r t v o l u m evo ft h eb o o ki sc h e nz h i ji a nsh i g h l i g h t sa b o u tt h ew o r ko f i n d i v i d u a lc a l c u l u s ，e s p e c i a l l yh es o l v e dt h el e n g t h ，a r e aa n dv o l u m eo f g r a f i kif u n k s i o n i tb ym a k i n gu s eo fi n t e g r a l c h a p t e ri v , w ec o m p a r eo fw e ij ic h a nx i a n ga n dt h es i m i l a rw o r k s 内蒙古师范大学硕士学位论文 a n de v a l u a t eo fw e ij ic h a nx i a n g ss t r e n g t h sa n dw e a k n e s s e si nt h e m a s s i tc a nh e l pu st ob e t t e ru n d e r s t a n dt h el e v e lo fc a l c u l u sw h a t c h i n e s em a t h e m a t i c i a n s c h a p t e rvc o m p a r e sc h i n e s ea n dj a p a n e s et r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c s t oa c c e p tt h es i t u a t i o nc a l c u l u sb r i e f l y f r o mt h es o c i a l b a c k g r o u n d ， p o l i t i c a l ，p o l i c ya n do t h e ra r e a sa sw e l la st h em a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r i s t i c o fc h i n aa n dj a p a n ，w ed i s c u s sw h yc h i n e s et r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c s w a sg i v e nu p t h i sp a p e ra r g u e s w e ij ic h a n _ x i a n ga sac a s e w ea n a l y z et h a t a n c i e n tc h i n e s em a t h e m a t i c i a n sm a i n t a i n e dt h eb a s eo fa n c i e n tc h i n e s e m a t h e m a t i c sa n dd i dt h ei n n o v a t i v ew o r ka b o u tc a l c u l u s t h i sp a p e r a n a l y z e sa n c i e n tc h i n e s em a t h e m a t i c i a n sf a i lt os t u d yc a l c u l u sa n dp u t s s o m el i g h to nt h i sq u e s t i o n k e y w o r d s ：c h e nz h i j i a n ，w e ij ic h a nx i a n g ，h i s t o r yo f m a t h e m a t i c si n l a t eq i n g ，c a l c u l u s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和+ 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 关于论文使用授权的说明 年月 日 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 ， 鲐韶嘉撇名：特荡啊 。 e l 期：年月 日 引言 引言 1 历史背景 1 9 世纪到2 0 世纪初，中国面临从未有过的困境：国内资源基数的增长无法 跟上人口激增的速度，由此产生了众多问题如：汉族移民、农民起义等；国外西 方列强为扩大贸易，寻求更多的资本积累，动用武力敲开国门，强迫清朝廷签署 了一系列不平等条约。反清势力动摇了其统治基础，西方列强的侵略加剧了国内 矛盾。任何即将被淘汰的事物都不会自愿退出历史舞台，清政府亦是如此。为了 维持统治地位，清政府采取了若干措施来挽救败局如：提拔汉族官员、开展“洋 务运动”。以农业为基础的生产方式已无法适应当时社会的发展，清朝的生产力 已经达到极限，在这种情况下，向西方学习成为有效的解决方法。清政府不可能 学习西方的政治制度、思想文化，因为这些都是触及到统治者最根本的利益。学 习西方的科学技术，以实现“自强”成为解决困境唯一可行的途径。 虽然清政府面临的问题很多，但结束中国封建社会的力量中国资本主义 并不强大，在短时间内无法推翻清政府的封建统治。清政府获得宝贵时间来改变 现状，挽救败局。在与西方的交流尤其是在与其的战争中，中国人逐渐认识到中 西方实力的差距，科学技术成为衡量这种差距的主要表现。魏源的“师夷之技以 制夷”思想由此产生，但由于传统方面势力的阻挠并没有在全国范围展开“师夷”。 究其原因很重要的一点就是这些有志之士并没有拥有相当的实力来影响到统治 者的决策，这种局面直到太平军的出现而改变。 人口激增、资源不足和各级官员的腐败使老百姓的生活陷入水深火热之中， 其中生活在社会最底层的农民最为严重。以农民为主力的起义在全国各地揭竿而 起。太平军、自莲教极大地打击了清政府，尤其是前者。太平军的崛起形成了与 清政府、西方列强在中国三足鼎立的局面。西方列强由于无意于中国领土，只寻 求资本最大化，它发现清政府更有利于保护其在华利益，便于清政府结成了同盟， 在各方面给予帮助，两者的结盟使天平倾斜，太平军昙花一现。太平军虽然失败 了，但给清政府很大的触动，主要由八旗子弟组成的入关清军的作战能力不堪一 击，处处受挫于太平军，由曾国藩、李鸿章等汉族官员组织的军队成为战争的主 力。这些汉族官员掌握了军队，在朝廷中拥有了相当的发言权。 曾国藩等人虽然掌握军队，但并没有造反的意图，而且他们不像那些朝中的 顽固派思想过于保守。在与太平军、西方列强打交道的过程中，他们认识到了西 方列强枪炮的强大，而枪炮是基于先进的科学技术。实践让他们认识到只有学习 内蒙古师范大学硕士学位论文 西方的科学技术才能改变现状，他们便成为“洋务运动”的倡导者和支持者。“洋 务运动 是在不触及清政府根本利益的前提下，学习西方科学技术，因此得到了 统治者的支持。虽然其中由于顽固派的阻挠，但总算在全国开展起来并取得了一 定成果。 “洋务运动”首先从制造枪炮和船只入手，建立诸如江南制造局、福州船政 局等，随后扩展到其他领域。“江南制造局和福州船政局是旨在探查西方力量奥 秘的一个更大规划的组成部分：从一开始，李鸿章和左宗棠就打算在建立兵工厂、 造船厂的同时开办培训学校。”1 “曾国蕃等人觉得洋人制器出于算学，因为 制器有赖于格致，当时许多洋人也都认为数学与科学相似，可用于收益最大化。” 2 以京师同文馆为代表的学馆相继成立，这些学馆在讲授中算的同时也传授西方 数学，其中就包括微积分。 西方数学第二次传入中国是受“洋务运动 的影响，中国人认为西方发达的 科学技术是建立在其数学基础之土，学习西方数学是有必要的。解析几何、代数、 微积分等西方数学陆续被中算家学习，其中微积分的学习最未艰难。李善兰( 1 8 11 一1 8 8 2 ) 和英国人伟烈亚力( a w y l i e ，1 8 1 5 1 8 7 7 ) 合译的代微积拾级( 1 8 5 9 ) 是第一本介绍微积分知识的中文译本。徐有壬( 1 8 0 0 - - 1 8 6 0 ) 评价该书：“是法壬 叔外鲜能晓，书中文义语气，多仍西人旧，奥涩不可读，惟图式皆可据。3 华 蘅芳( 1 8 3 3 1 9 0 2 ) 和傅兰雅( j o h nf r y e r ，1 8 3 9 - - 1 9 2 8 ) 的微积溯源( 1 8 7 4 ) 依然令当时学者如“堕五里雾中，懵懵焉而无所得。 4 在两书著成之后介绍微积 分知识的中算著作陆续出现，如冯桂芬( 1 8 0 9 1 8 7 4 ) 、陈踢( 1 8 0 6 - - 1 8 6 3 ) 合著的 西算新法直解( 1 8 7 6 ) ，林传甲( 1 8 7 7 - - 1 9 2 2 ) 撰的微积集证( 1 9 0 0 ) ，陈志 坚( 1 8 4 4 ? ) 编写的微积阐详( 1 9 0 6 ) 等，其中“微积阐详是国人自己编 写的第一本微积分教科书。 5 当时“查微积之术，海内所传习者，只代微积拾级、微积溯源两书， 精深奥衍，于教科书未能合宜。日本亦有微积教科简本，间有译出者，亦嫌简略 不适于用。”6 陈志坚为解决上述问题，编写微积阐详力求达到“精密显豁” 1 美 费正清剑桥中国晚清史：上卷 m 北京：中国社会科学出版社，1 9 7 8 ：5 6 5 2 特古斯晚清数学的发展 j 哈尔滨工业大学学报：社会科学版，2 0 0 9 ，l l ( 1 ) ：2 3 冯桂芬西算新法直解：序 m 上海：冯氏校邻庐刊本，1 8 7 6 ( 光绪二年) 4 张燧谨微积阐详：序 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 6 ( 光绪三十二年) 5 侯刚陈志坚数学成就研究 d 天津师范大学硕士毕业论文1 9 9 8 ：1 6 陈志坚微积阐详：江苏学院唐咨学部文 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 6 ( 光绪三十二年) 2 引言 7 。“西方数学的第二次传入改变了中算知识的结构，却未改变知识价值的结构。” 8 陈志坚编写微积阐详有偏向中算的价值取向，这种偏向与数学本身无关， 如本文所述：宁愿放弃先进的西方符号系统而选择中算符号系统；侧重点放在微 积分的计算功能上，练习题多，而对微积分理论没有给予相应的重视。 1 9 世纪的日本遇到与中国类似的困境，但其通过“明治维新”建立了资产 阶级政权并用几十年的时间改变了被动挨打的局面。资产阶级政权的建立有利于 微积分在日本的传播和发展。和算家的思想得以“解放”，微积分在日本传播和 发展的思想桎梏被清除。日本有向强国学习的文化传统且和算经过关孝和等和算 家的努力发生了有利于接受微积分的变化。“缺少经验证据的推理何以会有符合 现象的结论，中算家感到困惑不解，和算家对此却有较好的心理准备。因此和算 西化比较顺利，中算西化虽然受到来自西方的影响，但来自东邻的间接影响似乎 更大一些。”9 本文以微积阐详为案例来研究晚清时期中国对西方传入微积分的学习情 况。“一种外国宗教要在任何社会中取得进展，它必须适应该社会成员的需要。 它怎样适应( 如果它要适应的话) 和对谁适应，这是一些异常困难的难题，对它 们的解答要看下列因素如何而定：新宗教的教义和习俗相对来说是否格格不入； 它出现时的历史环境如何；宣传它的方式如何：是否出现了堪与匹敌的其他新宗 教；以及社会上被疏远的分子占多大的优势( 新的宗教为这些人提供了摆脱痛苦 的道路或使之起来造反的精神一心里上的力量) 。训。西方传教士在中国传教所遇 到的问题，给理解微积分在中国的传播提供了一个角度：中算传统的束缚成为中 算家学习西方数学最大的障碍。 2 研究基础 前辈数学史家在研究晚清中算家学习微积分方面做了大量工作，这为本文奠 定了基础。李善兰、华蘅芳、夏鸾翔等晚清中算家的生平、主要成就等内容，李 俨、钱宝琼都有涉及。中国数学史大系第八卷则简要地论述了晚清中算家对 微积分的学习情况。郭世荣老师的清末数学家的微积分水平对晚清中算家微 积分水平给出了一个总体的评价。特古斯老师的清代级数论纲领分析、晚清 数学的发展等著作从中算自身以及社会角度分析了中算家学习微积分失败，中 7 陈志坚微积阐详：学部批文 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 6 ( 光绪三十二年) 8 特古斯。晚清数学的发展 j 哈尔滨工业大学学报：社会科学版，2 0 0 9 ，l l ( 1 ) ：6 9 特古斯中算家的弧背术 j 内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2 0 0 9 ，3 8 ( 5 ) ：5 3 6 1 0 美 费正清剑桥中国晚清史：上卷 m 北京：中国社会科学出版社，1 9 7 8 ：6 0 2 3 内蒙吉师范大学硕士学位论文 算被抛弃，中国数学最终西化的原因。冯立异老师研究了代微积拾级的版本 问题，所著的 在日本的流传和影响研究了代微积拾级对 日本的影响。宋华、白欣的夏鸾翔的微积分水平评析探讨了夏鸾翔对微积分 的理解情况。汪晓勤的关于 的一个注记则指出代微积拾级 中曲线凹凸性概念和拐点判定方法的缺陷及其原因。近年来出现了一批专门研究 晚清微积分著作的硕士论文，如张千书的 初探、严春雨的 的翻译出版及对晚清数学的影响等，这些论文对晚清微积分著作进 行了研究。有关晚清微积分方面的著作很多，这里就不做赘述。 侯刚的陈志坚数学成就研究硕士论文，主要分析了陈志坚整数勾股形、 不定方程和连分数三个方面的成就，对微积阐详进行了简单的内容说明。其 他涉及到微积阐详的研究成果也不少，但都没有做深入的分析，仅把该书和 同时期微积分著作进行简单比较。本文在对微积阐详进行内容分析的基础之 上；探讨晚清中算家对微积分的学习情况。 3 选题意义和论文框架 对晚清中算家学习微积分的研究，是晚清数学史研究的重点之一。虽然中算 史上也出现了属于微分、积分的优秀成果，但是与微积分相比难免有些相形见绌。 中算具有经验性和技术性的特点与中国传统文化思想有关，在这些思想的指导下 产生了优秀的成果，但是形式化和逻辑化一直没有得到很好的发展。事物都有两 面性，中算家在中算的道路上取得辉煌，最终也因被中算传统束缚而阻碍了中算 的发展，在晚清这种阻碍表现得尤为突出。 本文以微积阐详作为案例，分析陈志坚对微积分的学习情况，并将微 积阐详与同类作品进行比较分析，在此基础之上，认为该书具有“中体西用” 的特点。通过对比日本同时代情况，简要分析中算学习微积分失败，中算最终被 抛弃的原因。 在第一章中，简述陈志坚生平及其主要数学成就。由于所处时代背景以及受 到中算的熏陶，他有深厚的中算根基。这对于我们理解微积阐详具有“中体 西用 的特点有很好的帮助作用。 第二章和第三章专门对微积阐详进行内容分析。编成于1 9 0 6 年的微 积阐详与同时期微积分作品相比有哪些异同，微积阐详的水平到底有多高? 只有仔细分析之后才能得出结论。微积阐详共分微分( 前三卷) 、积分( 后两 卷) 两部分。陈志坚在代微积拾级的基础上作了一定的删减，如删减了微积 4 弓l言 分理论方面的知识，没有涉及代微积拾级第十六卷的内容，微积阐详第 五卷丰富了代微积拾级相应部分( 第十八卷) 的内容等。 第四章将微积阐详与同类作品进行比较，这些作品各不相同如在符号系 统、微积分理论、设题方面等。通过比较分析，我们可以对晚清中算家学习微积 多种分的水平有更好的认识。文认为微积阐详比代微积拾级增加了求曲 线长、面和体积方面的方法，但不利于微积分在中国的传播。 第五章从外史、内史两个方面简述日本学习西方数学的情形，并与中国进行 比较。数学的发展受到文化、政治等诸多因素的影响在中日两国之间表现得尤为 突出。该方面的比较有助于我们更好地理解中算家学习微积分失败的原因。 通过内容分析和比较，本文得出微积阐详是有“中体西用 的特点，在 思想上属于中算的范畴。微积阐详符合时代的需求，中算家将微积分作为一 种工具使用，学习的方向无益于微积分在中国的长期发展。 第章陈意埋及其主要中算成就 1 9 世纪到2 0 世纪初，中国内忧外患，有志之士为挽救中国而奋斗，对微积 分的学习也是融在其中。陈志坚受过中国正统文化的教育，倾向子中国传统文化。 “西学中源”和“中体西用 思想对陈志坚影响很深，尤其是后者。在其编写的 微积阐详就体现了“中体西用”的思想。 第一节陈志坚简介 陈志坚( 1 8 4 4 ? ) ，字思九1 2 ，号紫简1 3 ，江苏省新阳县人1 4 ，陈志坚光绪 五年己卯科( 1 8 7 9 ) 中举人1 2 1 3 ，之后“惟其时方角逐名场，奔驰南北。”1 4 之 后十一年屡次科举不中，“自庚寅公车报罢，遂绝意进取”1 4 。陈志坚在此之后 专心研究数学，“乃得粹中法执天元，西法之根借根代数。博览而深探之，渐渐 得窥崖略 1 4 。他在“绝意进取 之前，学习过中算，但并不精通。“坚自读史 记历书、汉书历律志等篇，往往不得其解，则不禁掩卷叹日：士人固不 可不习算哉! 1 4 。陈志坚虽知中算的重要，“士人”不可不习，但由于早年奔波 于科举，无法专心研究数学。仕途无路之后，从庚寅( 1 8 9 0 ) 到丙午( 1 9 0 6 ) 十 六年里，陈志坚研究中算和传入的西方数学。在编写微积阐详时，已经“学 1 1 李俨三十年来中算史料的发现见：中算史论丛( 第二集) m 北京：中国科学院出 版。1 9 5 4 ：4 6 挖于定修金咏榴等纂( 民国) 青浦县续志：卷十二 m 苏州刻本，1 9 3 4 ( 民国二十三年) n 金吴澜、丁廷鸾修，汪坤、朱成熙纂( 光绪) 篦新两县续修舍态：卷十八嗽 敦善堂刻本， 1 8 8 0 ( 光绪六年) h 陈志坚求一得斋算学自序 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 4 ( 光绪三十年) 气 内蒙古师范大学硕士学位论文 问渊博，于经史性理外，兼精天算之学。” 光绪二十三年( 1 8 9 6 ) 到宣统三年( 1 9 1 1 ) 陈志坚在江苏青浦县任“教喻” 1 6 ，官至“内阁中书衔加三级1 7 。他在江苏青浦县期间不仅秉铎青溪衙斋 1 8 ， 而且在南菁高等学堂和松融斋精舍饽讲授数学。陈志坚晚年参与编纂岜新两县 续补合志。2 0 陈志坚的去世年份不详。 陈志坚著有微积阐详五卷( 二册) ，求一得斋算学七种十一卷( - - 册) ， 包括李氏勾股术补一卷，连分数开方一卷，演无定式三卷，三角新 理三卷，整勾股释术一卷，粟布术广一卷，杂题类存一卷。 第二节陈志坚的主要中算成就 1 整数勾股形 陈志坚求一得斋算学第九卷整勾股释术短序： “整数勾股肇端于勾三股四弦五，虽累而上，万亿京垓不可究极。而要惟勾 方股方并与弦方为立法之宗，由斯而变化之，错综之，且旁推而交通之，则无量 数之整勾股可求。且凡同弦或同勾或同股，或同任和与任较，或同积同弦和，其 整勾股无不可求，且无不可立式以求。”2 1 在一般的整数勾股形构造中，陈志坚提出五术：2 2 记大数= m ，小数= n ，勾= a ，股= b ，弦= c ( b a ) ， 则a = m 2 一n 2 ，t i = 2 m n ，c = m 2 + n 2 。 有公共量的整数勾股形的构造，当有一个公共量的构造法：记大数= 1 7 1 小数 霜勾= a i 股= b i 弦= c ( b a ) i = l ，2 a l = 【( 聊+ 玎) 2 + ，z 2 】( 肌2 一以2 ) ， 6 l = 【( 朋+ 刀) 2 + 聊2 ( 2 m n ) a 2 = ( ，z 2 + 2 m n ) ( m 2 + 以2 ) ，2 j 2 = ( 2 m 2 + 2 m n ) ( m 2 + 力2 ) c = ( 聊+ 咒) 2 + 肌2 】( 肌2 + 以2 ) 有两个公共量的构造法： 1 5 陈志坚微积阐详：张燧谨序 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 6 ( 光绪三十二年) 1 6 连德英等修，李传元等纂( 民国) 崽新两县续补合志：卷九 m 民国十二年刻本，1 9 2 3 1 7 陈志坚微积阐详：张燧谨序 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 6 ( 光绪三十二年) 埔陈志坚求一得斋算学自序 m 松江稽江墨斋刊本，1 9 0 4 ( 光绪三十年) 坞于定修金咏榴等纂( 民国) 青浦县续志o 卷十二 m 苏州刻本，1 9 3 4 ( 民国二十三年) 2 0 连德英等修，李传元等纂( 民国) 崽新两县续补合志编纂姓名 m 民国十二年刻本，1 9 2 3 2 1 李俨三十年来中算史料的发现见：中算史论丛( 第二集) m 北京：中国科学院出 版，1 9 5 4 ：4 6 盟五术在本质上是形同的 6 第章陈志坚及其主要中算成就 ( 同勾股和、同弦和较) 记大数铷小数：i l 勾= a i 股= b i 弦式i ( b a ) i = l ，2 a l = 2 m n n 2 ，翻= 2 m 2 2 m n ，c l = 2 m 2 + n 2 2 m n 。 口2 - - - m 2 一玎2 ，6 2 - - 2 m n ，c 2 = 7 1 1 2 + 以2 。 c + a = 2 m 2 ，( 6 + 口) 一c = 2 m n 一2 n 2 。 同勾弦较、同弦和和等其他四种情况同上。 2 不定方程的研究 陈志坚将一次不定方程与求一术明确地结合在一起，并给出了解决这类问题 的一般方法： 如将 n = 3 x + 2 n = 5 y 4 - 3 n = 7 z4 - 2 化为 n = 1 1 w + 7 n = 1 3 v + 9 v = 1 1 5 5 n + 9 8 w = 1 3 6 5 n 4 - l1 6 z = 2 1 4 5 n + 1 8 3 的形式，其中 少= 3 0 0 3 n 4 - 2 5 6 x = 5 0 0 5 n 4 - 4 2 7 将3 x + 2 = 5 y + 3 ，化为石= j ，+ 寺( 2 y + 1 ) 。令整数y = 备+ i 1o 1 ) i 再令g = 2 r + l ， 则y = 3 r + l ，x - - - - 5 r + 2 ，即利用m = + ( 删+ c ) 进行有限步可达到最终的结 果。 对于百鸡问题，陈志坚借助 。m = + a ( b n + 0 r1 iy = 1 一4 将35 x + 3 y + 言z = 1 0 0 化为ty = 4 + 7 s 的最终结果。 【x + y + z = 1 0 0l z = 8 4 3 s ( s 是由x 、y 和z 共同确定的整数，此题s = l ，2 ) 3 连分数开方 连分数属于西方数学，自李善兰和华蘅芳分别在代数学和代数术对 其介绍之后，引起了中算家的兴趣。陈志坚在连分数开方中阐述了对不尽平 方根的连分数和不尽平方根的逐次渐近连分数的认识与理解。“连分数开方，其 式厥有数端：有二数循环之连分数，有同母之连分数，有同母正号之连分数，有 同母负号之连分数，有异母负号之连分数。”陈氏将这类连分数分为循环连分数 和同母连分数，表示如下： 循环连分数：工= ：兰 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 同母连分数：石：丝譬 似+ a + b 陈志坚采用“更互变之”即逐次将分子有理化，把结果逐次代入的方法将诸 如6 的无理数用四种不同的连分数进行展开。陈志坚比较了四种不同的方法， 分析了各自特点及其互相之间的联系。实质上陈志坚给出的四种连分数都可归为 循环连分数，只是根据逼近无理数的方式不同。陈志坚利用连分数去表达无理数， 这对于传播西方数学知识是有帮助的，有益于中算家更深的理解无理数。 总的来说，陈志坚在“绝意进取”之后专心研究数学，并取得了一定的成果， 说他“学问渊博，于经史性理外，兼精天算之学 并不为过。晚清西方数学第二 次传入中国，陈志坚积极学习西方数学知识是很可贵的。在他学习的西方数学知 识中包括连分数和微积分。他对微积分的学习情况是本文的重点。 第二章微积阐详微分部分 第一节序言和凡例 微积阐详在正文之前有“江苏学院唐咨学部文”与学部的批文，之后是 三篇序言，依次为张燧谨和薛光镝和陈志坚所作。序言之后的“凡例”是陈志坚 摘自代微积拾级。2 3 1 序言 江苏学院唐咨学部文： “查微积之术，海内所传习者，只代微积拾级、微积溯源两书精深奥 衍，于教科未能合宜。日本亦有微积教科简本，间有译出者，亦嫌简略不适于用。 兹有青浦县教谕陈志坚夙精数学于微积，苦志钻研，著有最新详阐微积教科 书一种，呈阅本部阅。查得是书于微积确有心得，实能阐述拾级、溯源两 书。沿波讨源、条分缕晰。五卷精密显豁，以之备高等学堂课本，似尚属繁简得 宜，特行咨送。 简要介绍了当时用于高等学堂微积分教科书的情况，举荐微积阐详作为 高等学堂微积分教科书。 学部给予的批文如下： “学部兹奉批回，该学于微积苦志钻研，实能阐述拾级、溯源二书。 五卷精密显豁，以之备高等学堂课本，甚属繁简得宜，业已咨送。” 2 3 ”凡例”属于第一卷，为了方便将该部分放在第一节中。 8 第二章微积阐详微分部分 “学部鉴定如属可用，再由学部颁发学堂可也等情下学。奉此卑职拟将此书 即寄申市行销。 微积阐详是对代微积拾级和微积溯源两书的阐述，在当时适合 高等学堂微积分教科书，并得到了学部的同意。 在张燧谨的序言中，他说陈志坚“学问渊博，于经、史、性、理外，兼精天 算之学 ，认为“代微积拾级、微积溯源二书，未尝不分列各款举示一偶， 然读者如堕五里雾中，懵懵焉而无所得。及读先生之书明白易晓能使人一目了然。 有忘其术之精深者，无他绘图精而演草详也。 张燧谨充分肯定了陈志坚的工作， “兹得是书以为教授，庶几学者易于会通，进而益上。先生之有功于后学，岂浅 鲜哉时? ” 薛光镝在所著序言中提到“科学之类，百而什九基本乎象数。未象数是研究 据从事科学者，盲之徒也。象数至微积登峰亦。自奈端发明与前西国，科学程度 随之日高，民日进幸福，于无量也。夫岂偶然哉2 中土闻道较迟，所资以研究者， 又皆因人之蕾译，其不足与欧米竞争宜亦。， 薛光镝对微积阐详评价甚高：“著凡五卷，门分类别，阐发靡遗诚哉其 详也，而理想深入夫详者，利于浦博，精者利于悠久，则先生此书岂徒应用 于一时教育之云? 脱令世界，遁新前者，巳非猫将视为标准必也。”薛氏对微 积阐详的评价过高，当时中算家学习的微积分仅相当于牛顿时期的水平。这说 明中算家对国外数学的发展知之甚少，但在一定程度上反映出微积阐详在当 时国内的水准还是很高的。 陈志坚自序： “人之心思，愈用而愈灵；理之精微，亦愈研而愈出。西法之代数与中法之 天元殊途同归于数理，亦云精亦，而西士之精益求精者。康熙间，英之奈端、德 之来本之相继增微分、积分之术，遂于深算学界中别辟一程，谓非名理日出不穷 之证乎? 自成同间代微积拾级、微积溯源二书先后译行，其术乃传中土。 顾溯源理窟深奥，读者猝难领会；拾级则浅深有序，门径易窥，惟是列 款虽详，诠题务简，尚非暗示授课之书。方今朝廷锐意兴学，广辟校舍，微分、 积分编为程课，其不可无完备教科书必也。坚于斯术究心有年奇，窥压略为不揣。 冒昧取二书中，尤系要理者得如干款，厘为五卷名微积阐详。题之缺者，补 之：式之简者，详之，务使教者便于指授，学者易于会心而后已。尤措意者于第 五卷，将圆锥诸曲线及摆线之线、之面、之曲面、之体分为四大款。每款析五六 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 支，每支设数题并。一一绘图列草，以著其立术所由。遂使多种面体为二书所未 具者，今皆可循法以得其积，岂非快事? 惟是演式既繁，布算匪易。两易寒暑而 后成书。疏舛之虞知所不免，惟海内同志正是幸时。 陈氏提出人之心思在于用，理之精微在于研，这是一种认真做学问的态度， 尤为可贵。他指出了代微积拾级和微积溯源两书不适合做教科书的缺点， 编写微积阐详，并在代微积拾级基础之上做了相应的补充。陈氏认为“西 法代数”与“天元术 殊途同归，但他没有认识到中算和西方数学的区别，当然 这是因为历史的局限性。 2 凡例 在“凡例 之前，陈志坚重申了编写微积阐详的意图： “微积为算学中最深之事，固已然瘸谓其立术。虽深要不外理与法与数三者。 理即法而具；法因数而存。则欲究其法，宜先演数。李海宁译，拾级一书，由 代而微而积，等级并然，且每类设题时时举数，以证之。其诱进学者，深心如揭 矣。兹本其意详加阐述。俾读此者，即数知法，因法悟理是亦。沿波讨源之机矣， 作微积阐详。” 在“凡例”中提到，“微分之数有二，日常数，日变数。变数以天、地、人 等字代之；常数以甲、乙、子、丑等字代之。 自朱世杰创立“四元术 之后， 中算使用汉字代表变量与常量，而西方数学用x 、y 、z 等字母表示，中算符号系 统在形式上更加繁琐，增加了理解的难度。西方数学第二次传入中国之后，中算 家认识到了西方符号系统的优越并逐步采用了西方符号系统，但并未放弃中算符 号系统，出现了两种符号并存的局面。哪种符号系统都能表示数学关系，但对于 数学的启发力两者却大不相同。民族自尊心和传统的束缚可能是中算家不愿放弃 中算符号系统的原因，其结果必然是阻碍了中国数学走向现代化。 中算并未产生函数的概念，在西方数学传入之后，中算家认为函数即为“凡 此变数中函彼变数，则此为彼之函数。 多变量函数即为“函数中有两函数，则 天地外作括弧，记函字于左。”“凡例”还介绍了对“阳函数”和“阴函数”即显 函数与隐函数，“增函数”和“减函数等基本概念。 对“限”的认识：“一凡变数有限，其数为变数所甚近，而永不能达到，或 必不能过，故谓之限。如圆内过变形，虽其边析之又析至甚微，而终不能与圆合 一，则圆积为多边形之限。又如平圆内正余二弦，此增则彼损，此损则彼增。要 不能过半径，半径为正弦之限，亦为余弦之限。”由此可以看出中算家对极限的 l o 第二章微积阐详微分部分 认识还是比较模糊的。 对微分、积分的认识：“有任何变数之任何函数，而求其变数与函数变比例 之限，则日：微分。有任何函数与函数变比例之限，而求其函数之原式，则日： 积分。”微分与积分之间的关系是：“积分为微分之还原。其法只要在于识别微分 所由生之函数。 第二节卷一 卷一( 微分一) 共有十八款，除第一节的“凡例 外，其他内容如下所示： d ( x 2 ) = 2 x d x ( 3 ) 2 4d ( x 3 ) = 3 x 2 d x( 4 ) d ( x “) = n x 纠d x ( 2 ) d ( c f ( x ) ) = c f ( x )( 2 ) d ( c ) = 0 ( 2 ) d ( 厂( x ) + g ( x ) ) = d ( 厂( x ) ) + d ( g ( x ) ) ( 2 ) d ( 厂( x ) g ( x ) ) = d ( 厂( 石) ) g ( x ) + 厂( 工) d ( g ( 工) ) ( 2 ) d ( 厂( x ) g ( x ) “( x ) ) = d ( 厂( x ) ) g ( x ) ( x ) + + ( 工) g ( 工) d ( “( z ) ) 。 ( 2 ) d ( 丛堕) ：垡笪蚴：星盟肇2 ：丝娅 ( 2 ) 、g ( x ) 7 【g ( 工) 】2 d ( x 4 1 = , x r l d xn q ( 3 ) d 石专；( 2 ) “多项式之若干乘方求微分法。置多项式之乘方，将其指数减一，即以原指 数为系数，又以多项式之微分乘之。( 2 ) “凡变数若干，乘方函数之微分中包变数之少一乘方，故可以其微分系数为 次函数，更求微分而得二次微系数。二次以下层叠求之为叠微分。” ( 2 ) 麦克劳林公式 ( 3 ) 泰勒展开式( 3 ) 偏微分、全微分( 3 ) 求函数的极大、极小值 ( 3 ) 求函数的极值应用题 ( 1 8 ) 给出的每一公式都有证明，过程虽不严谨，但是结果却是正确的。 如第一款“平方边比例与面比例，若一与倍边比例。即d ( x 2 ) = 2 x d x 。 “试以天为平方边，则天二为平方面。 “以辛加边得天+ 辛，其面为( 天+ 辛) 二，详为得天二+ 二天辛+ 辛二。其边 所长为辛，其面所长为二天辛+ 辛二。设辛为边边比例，则二天辛+ 辛二为面变 之比例。而得( 二天辛+ 辛二) ：一= 面比率：边比率， 2 4 每一条公式即为一款，后面括号内数字表示该款的设题数量。 l l 内蒙古师范大学硕士学位论文 即二天+ 辛l = 一= 面比率：边比率。 “平方面变比例，必以渐而大，故其所长数二天+ 辛必大于天为边时，面变比例 之长数辛愈小，则二天+ 辛愈近于天为边时长数。” 以现代数学符号表示如下：设y = x 2 ，若x 变为x + a x ，则 y = ( 工+ a x ) 2 一工2 = 2 x a x + ( a x ) 2 ，坐= 2 x + a x 。 7 a x 。 当缸专0 时，中算家如何确定竺= 2 x 的成立? “如边为l o ，面为1 0 0 ，边 a x 长至1 0 1 ，面为1 0 2 0 1 ，则二长数比若1 与2 0 1 ，边为1 0 0 0 1 ，面为1 0 0 0 2 0 0 0 1 ， 则二边长数比若l 与2 0 0 0 1 可见边之长数愈小愈近于一与倍边之比。故极其变 比例之限，若辛等于0 ，则其比例即为l 与2 天。故边变比例与面变比例之比若 1 与倍边之比。”从以上可知，中算家对用有限的方法归纳出无限的问题不感到 怀疑。 “此举平方，立方以见例零。按本款及下款以变数之长数屡变。观其变比例 渐近之限，则知长数为零方至根。拾级以变比例之限言，故辛方以下可为零； 溯源就用其法，故云取其初有辛之项，二者自并行不悖。溯源第九十六、 七等款，论第一类甚小之数，第二类甚小之数其长数既为第一类甚小之数，则长 数乘得之数，即为第二类甚小之数，其数已小至无可比。故第二类小数以下可弃 之不用，甚说甚明。 在说明无限问题时，中算家“观其变比例渐近之限，则知长数为零方至根。” ， 即当x 一0 时，半趋于“渐近之限”。陈志坚以代微积拾级为例“拾级 a x 以变比例之限言，故辛方以下可为零”即辛的三次方及其之上方均可省去，不 予考虑。对于总算，这种省略很正常，只需精确到某种程度既可。数学的发展需 要独立于科学。中算一直没有将实际问题转化为数学问题，由此无法独立于科学。 而独立于科学的西方数学在第二次传入中国后，中算家只吸收了西方数学知识， 没有深入分析中、西方数学之间的差异。微积分传入中国，中算家对有关微积分 的基础问题如无穷小、微分的理解还是比较模糊的。中算家从“边之长数变小， 则面愈近于边为天时之面”到“若辛等于零，则其比例即为一与二天。”觉得并 不困难。数学的发展往往不在于问题的提出，而在于问题的提出以及由此所引起 的启发力。虽然严格的微积分并不涉及无穷小，但是无穷小的研究给予微积分发 明的灵感。中算家感兴趣的是对函数求微分的过程、麦克劳林公式、泰勒公式等 微分知识，因为这部分的内容对于之后的积分计算很有帮助。 卷一共有五十九道“设题”，其中“今有圆”、“今有圆锥体 等借助几何图 形的有二十五例。当_ 变数 的乘方高于二次时，在现实中很难找到与其相对应 的几何图形，陈志坚才以数学公式的形式给出。在卷一中有四十二道“设题”是 设计具体数值的计算，这一点体现出了中算重计算的特点。微积分是“算学最深 ， 1 2 第二章微积阐详微分部分 作为一本高等学堂的教科书，陈志坚要做到“繁简得宜 ，删除令人困惑的知识。 几何图形能够起到形象化的功效，而重计算则有助于学生对微积分使用的熟练程 度。 第一款和第二款为第三款的特例，第三款c l ( x ”) = n x ”1 a x ( n 为正整数) ，当 n = 2 ，3 时，即为第一、二款。第十一款为第十款的特例，第十款 1 d ( x ”) = n x ”1 d x ( n 为有理数) ，当以= 妻时即为第十一款。从各款安排顺序来看，陈 z 志坚大体是遵从了从简到繁，从易到难。这样的安排有助于学习者对微积分的理 解。 第十七款和第十八款为“论函数有极大极小之数”和“求函数极大极小捷法”。 这两款都是有关函数极值问题。第十七款有“同数表及饥界线图 如下所示 ( 设题l ：y = x 3 1 8 x 2 + 9 6 x 一2 5 ) 天戌极值 一 3 1 3 3 4 1 4 0极大 51 3 5 61 2 4