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太原理工大学硕士研究生学位论文 基于d s p 的两轮自平衡小车的设计与研究 摘要 两轮自平衡小车是一种源于经典控制理论中倒立摆模型的新型智能机 器人，在资源勘探、军事侦察、交通运输等诸多领域中都有着广泛的应用 前景。该机器人系统具有非线性、强耦合、多变量、自然不稳定等多种特 点，是控制理论、运动学、电子学、自动化等多种学科综合运用的科技成 果，己成为各国科学家的重点研究对象。 本文首先建立了两轮自平衡小车的数学模型，在这过程中通过对一 阶倒立摆数学模型的深入研究，逐步将理论模型扩展为小车实际系统模型， 并对系统模型经行了线性化处理，能控性以及可观性分析。在已建立的模 型基础之上，小车系统控制方法的选择就成为关键。本文分别对状态反馈 极点配置法和线性二次型最优控制法进行了深入的分析，并利用m a t l a b 软 件分别对两种控制方法下的控制效果进行了对比分析，根据实际效果最终 确定采用了状态反馈极点配置法。 其次，在系统硬件方面，本文选取了t i 公司的t m s 3 2 0 v c 5 5 0 9 a 数字 信号处理器作为主控芯片，以便利用其强大的数据处理功能。传感器方面 采用了陀螺仪和加速度传感器的配置，以综合确定小车的实际运动状态。 软件方面利用了t i 公司开发的c c s 3 3 平台，实现软件编程，并重点研究 了数字滤波器的设计。 最后，对组建完成的两轮自平衡小车进行了各种实测及调试，同时利 用m a t l a b 软件进行了小车系统的模型辨识，对系统模型作出了一定程度的 太原理工大学硕士研究生学位论文 改进，并反复调试直至达到预期的控制效果。 关键字：两轮自平衡小车，极点配置，t m s 3 2 0 v c 5 5 0 9 a 数字信号处理器， 系统模型辨识，数字滤波器 i i t h e d e s i g no ft h es e l f b a l a n c i n gt w o w h e e l e dr o bo tb a s e do n d s p a bs t r a c t t h es e l f - b a l a n c i n gt w ow h e e l e dr o b o ti san e wt y p ei n t e l l i g e n c er o b o t t h a t b a s e do ni n v e r t e dp e n d u l u mm o d e li nt h ec l a s s i c a lc o n t r o lt h e o r y i th a sb r i g h t p r o s p e c ti nt h er e s o u r c ee x p l o r a t i o n ，m i l i t a r yr e c o n n a i s s a n c ea n dt r a n s p o r t a t i o n t h i sr o b o ti san o n l i n e a r , s e r i o u sc o u p l i n g ，m u l t i v a r i a b l ea n dn a t u r a lu n s t a b l e s y s t e m t h ec o n t r o lt h e o r y , k i n e m a t i c s ，e l e c t r o n i c s a n da u t o m a t at h e o r ya r e c o m b i n e di nt h es y s t e m a n dm a n ys c i e n t i s t s h a v er e s e a r c h e do nt h e s e l f - b a l a n c i n gt w ow h e e l e dr o b o t f i r s to fa l li nt h i sp a p e r , t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h es e l f - b a l a n c i n gt w o w h e e l e dr o b o ti sb u i l tb yd o i n gi n d e p t hr e s e a r c ho nt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f t h ei n v e r t e dp e n d u l u m t h e nt h el i n e a r i z a t i o no ft h em o d e li s d o n ea n dt h e c o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t yi sa l s op r o v e d a f t e rb u i l d i n gt h em a t h e m a t i c a l m o d e l ，t h ek e yi st od e t e r m i n et h ec o n t r o ls t r a t e g y t h ep a p e rd i s c u s s e st w o s t r a t e g i e s ：p o l ep l a c e m e n ta n dl q r t h ee f f e c ta n a l y s i sh a sb e e nd o n eb yt h e m a t l a ba n dt h e ns h o wt h a tt h ep o l ep l a c e m e n ts t r a t e g yi sb e t t e r s e c o n d l y , t h ec o n t r o lc h i po fr o b o ti st m s 3 2 0 v c 5 5 0 9 a d s pw h i c hh a s t h es u p e r i o rd a t ap r o c e s s i n ga b i l i t y t h er o b o ta l s oh a st w ot y p e so f t h es e n s o r ： t h eg y r o s c o p e sa n da c c e l e r o m e t e rs ot h a tt h em o t i o ns t a t eo ft h er o b o tc a nb e i i i 塑三奎堂堡主婴窒生堂篁笙塞 c o n f i r m e d t h es o f t w a r es y s t e mi sc c s 3 3w h i c hi s c o n v e n i e n tf o rd e s i g l l i n g t h ed i g i t a lf i l t e r u l t i m a t e l y , t h ee x p e r i m e n t a lm o d e lh a sb e e nb u i l ta f t e rd e b u g g i n ga n d t e s t i n gt i m e sw i t h o u tn u m b e r i nt h em e a n t i m e ，t h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o nh a s b e e nd o n eb ) 7m a t l a bs ot h a tt h em a t h e m a t i c a lm o d e lc a nb e e ni m p r o v e da n d t h e nt h ec o n t r o lr e s u l t sw i l lb eh e 竹e r k e y w o r d ：s e l f - b a l a n c i n g t w ow h e e l e d r o b o t ，p o l ep l a c e m e n t ， t m s 32 0 v c 55 0 9 a d s p , s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ，d i g i t a lf i l t e r i v 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 课题研究的背景和意义 第一章绪论 自从第一台机器人于二十世纪六十年代初在美国问世以来，机器人技术经过多年的 发展已逐步趋向成熟，已经成为了一种综合了计算机学、现代控制理论、机构学、信息 和传感技术、人工智能、仿生学等多种学科的高新技术【l 】，广泛应用于工业生产、交通 运输、建筑、军事、现代服务等各个领域中。机器人根据其移动方式可以分为轮式，腿 式、推进式、履带式等，本论文所研究的两轮自平衡小车就属于轮式机器人的一种。两 轮白平衡小车实际上是一种两个支点的动态平衡体，通过传感器实时采集数据以确定小 车的姿态，再通过特定算法控制电机驱动力，从而保持了小车的动态平衡。可以实现直 立行走、小半径回转、缓坡爬行等各种功能，而且方便、小巧、灵活。因此，两轮自平 衡小车现已广泛应用到了侦查、勘探、交通、军事等各领域。 在控制理论中，两轮自平衡小车的控制问题一直备受广大学者及研究人员的关注。 白平衡机器人的理论模型来源于倒立摆模型，倒立摆是一种典型的快速、多变量、绝对 不稳定、非最小相位系统 2 1 。倒立摆模型可以使很多较为抽象的概念如系统能控性、系 统稳定性、系统收敛速度以及系统抗干扰能力等均直观地表现出来。因此倒立摆系统成 为了控制理论中的一个研究热点，两轮自平衡小车正是在倒立摆系统的研究过程中结合 实际应用而诞生的一种新型移动机器人。 由于两轮自平衡机器人的理论模型来源于倒立摆，因此系统本身具有非线性、强耦 合、多变量和自然不稳定等诸多特点。是由于这些特点的存在，设计开发两轮自平衡小 车的过程中会面临诸多问题的挑战： ( 1 ) 如何能准确建立两轮自平衡小车的数学模型； ( 2 ) 如何确定最好的控制算法； ( 3 ) 如何保证所采集数据的实时性、准确性； ( 4 ) 如何构建合适的硬件平台以便于设计开发。 以上问题的存在使两轮自平衡小车的研发成为了集静力学、动力学、运动学、控制 理论、数据融合理论等于一体的非常具有挑战性的综合性课题，而其广阔的应用前景更 使其成为了众多生产厂家的宠儿。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 国内外研究现状 1 2 1 国外研究现状 在国外，从上世纪八十年代初就开始出现关于两轮自平衡小车的研究。1 9 8 6 年，日 本电子信息通讯大学( u n i v e r s i t yo fe l e c t r o c o m m u n i c a t i o n s ) 教授山藤一雄( k a z u o y a m a f u j i ) 由倒立摆模型制作了一台他称之为平衡自行车的两轮自平衡机器人，如图1 1 所示，但该机器人的控制方法尚不成熟，而且只能在特定的轨道上行驶，无法实现回转、 爬坡等复杂动作，但正是该机器人开创了两轮自平衡小车的先河。 图1 - 1 平衡自行车图1 - 2 赛格威 f i g 1 - 1b a l a n c i n gb i c y c l ef i g 1 - 2s e g w a y 2 0 0 1 年1 2 月3 日，美国科学家迪恩卡门与雅克罗公司联合发布了一款名为s e g w a y 的自主平衡运输工具【3 1 ，如图1 2 所示，第一次实现了两轮自平衡小车的量产。首款 s e g w a y 型号为s e g w a yh t ，从外形来看主要由两个充气轮胎、一个长度可调的竖杆手 把和一个脚踏平台构成【4 l ，最高速度可达2 0 k m h ，重量为3 0 k g 左右，转向半径为0 ， 满载时可爬2 0 。斜坡，电池采用了5 6 v 镍氢电池或镍镉电池，充电时间为4 - 一6 小时， 一次充电可行驶1 6 2 4 k m 。传感器方面，采用了5 个惯性比率传感器( 陀螺仪) ，2 个倾角传感器以及光学脚垫传感器和电机编码器，可以将车身倾角及其变化率、车轮转 速等数据实时传递到控制系统。s e g w a yh t 的出现填补了自平衡机器人在量产方面的空 白，将两轮自平衡小车推向了市场，使得两轮自平衡机器人技术日趋成熟。 此后，雅克罗公司又相继于2 0 0 4 年和2 0 0 7 年推出了两款新型两轮自平衡小车： s e g w a yi 2 ( 如图1 3 ) 和s e g w a yx 2 ( 如图1 4 ) ，后续产品在硬件及控制系统方面改变 甚小，只是操作模式由以前的把手旋钮转向变为直接摆动操作台上的t 字形操纵杆，并 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 推出了巡逻款、通勤款、物流款及高尔夫款等适用于某些特殊场合的版本，可以说s e g w a y 系列产品经过多年的发展在技术上已经非常成熟。但在推广上，s e g w a y 却面临着许多 困难，最主要的就是价格方面，新款的s e g w a yx 2 型官方售价达到了7 5 0 0 0 - - 1 0 0 0 0 0 人 民币，对于普通消费者来说也只能望而却步。 图1 3 赛格威i 2 f i g 1 - 3s e g w a yi 2 图1 4 赛格威) 【2 f i g 1 4s e g w a yx 2 s e g w a y 的面市可以说将两轮自平衡机器人的研究推向了一个高潮，此后各国科学 家及学者纷纷效仿，研制了多种两轮自平衡小车，在控制方法、硬件、数据处理等技术 上也逐渐多元化。 2 0 0 2 年，瑞士联邦工业大学工业电子实验室的菲利克斯格拉瑟( f e l i xg r a s s e r ) 等人研制出一款可以进行远距离遥控操作的双轮移动自平衡机器人j o e ，如图1 5 所示。 j o e 机器人在硬件方面首次采用了d s p ( 数字信号处理器) 处理器，对实时数据的处理 显得更为精确。另外，在传感器方面采用了陀螺仪和电机编码器以采集车体的倾角等实 时数据，通过线性状态空间设计控制器，实现了小车的动态平衡。j o e 机器人采用钢材 料加工而成，高6 4 6 m m ，重11 5 k g ，最大运动速度可以达到1 4 m s ，可以实现零半径回 转及u 型回转，在较为恶劣的环境下也可平稳运行【5 j 。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 图1 - 5j o e 移动机器人图1 - 6e y e b o t f i g 1 - 5t h em o v i n gr o b o tj o ef i g 1 6e y e b o t 2 0 0 3 年，西澳大利亚大学机械工程学院( t h eu n i v e r s i t yo fw e s t e r na u s t r a l i as c h o o l o fm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ) 的r i c hc h io o i 研制了一款名叫e y e b o t 的小型两轮自平衡小 车【6 】，如图1 6 所示。该小车在控制方法上采用了线性二次型最优控制，并对传感器数据 融合技术作了详细介绍，此外在数据处理方面采用了卡尔曼滤波器，使得实时数据较为 准确。传感器方面安装了h i t e cg y 1 3 0 数字陀螺仪以及s e i k a n 3 倾角计；控制器采 用了m a r k4 e y e b o t3 2 位控制器，主频为3 3 m h z 。该小车最大的亮点在于引入了数据融 合技术，但控制效果并未达到最佳，无法实现快速移动及转弯等复杂动作。 马来西亚理工大学( u n i v e r s i t it e k n o l o g im a l a y s i a ) 的o n gy i nc h e e 于2 0 0 6 年研制 了一款两轮自平衡机器人( t w o w h e e l e db a l a n c i n gr o b o t ) ，如图1 7 所示。该机器人 采用了两个测距传感器来测量机器人实时位置及倾斜角度，并采用了三个p i d 控制系统 来实现其平衡，其中一个用于控制机器人的倾斜角度，另外两个则用于确定电机的转速 及转向。但该机器人的设计主要是为了检验比例积分微分控制器( p i d ) 在平衡控制系 统的效果，因此功能较单一，只能在较为平坦的地势保持平衡，无法实现平稳运动。为 了改进这些缺点，该校另一位学生_ i ，i 1 1 9d i a nm i a o 设计了一款名叫k i n s e i 。b o t 的动 态自平衡机器人【7 】，如图1 8 所示。该机器人采用了一个惯性测量装置( i m u ) 来获得 小车的倾斜角度，惯性装置包括一个测量加速度的加速度计以及测量角加速度的陀螺 仪。但该机器人无法长时间保持动态平衡，只能维持1 0 秒左右。 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 图1 - 7 两轮自平衡机器人图1 - 8k i n s e i - b o t f i g 1 - 7t w o - w h e e l e db a l a n c i n gr o b o tf i g 1 - 8k i n s e i - b o t 丹麦著名玩具开发商乐高( l e g o ) 公司的史蒂芬海森普拉格( s t e v eh a s s e n p l u g ) 研制如图1 9 所示的名叫l e g w a y 的两轮自平衡机器人【8 j ，该机器人最大的技术革新是采 用了两个红外光电测距仪( e l e c t r o o p t i c a lp r o x i m i t yd e t e c t o r ) 来测量机身与地面的距离， 当机身与地面的距离减小时l e g w a y 就向前移动，反之则向后移动，并且每间隔5 0 m s 会自动根据所测的与地面的距离和电机的转速来重新计算机器人的平衡点。 图1 - 9 l e g w a y f i g 1 - 9l e g w a y 5 图1 1 0 n b o t f i g 1 1 0n b o t 太原理工大学硕士研究生学位论文 美国南卫理公会大学教授大卫安德森( d a v i dp a n d e r s o n ) 研制的两轮自平衡机 器人n b o t 如图1 1 0 所示，该机器人被美国国家航空和宇宙航行局于2 0 0 3 年5 月列为了 “c o o lr o b o t ”【9 】。硬件方面采用了h c l lr o b o tc o n t r o l l e r 的控制器，传感器采用了加速 度计a d x l 2 0 2 和陀螺。当机器人处于非加速状态时，加速度计会提供准确的静态倾斜 角度，陀螺所采集数据经过积分则可以提供准确的动态倾斜角度，这两种传感器就会组 合成为一个惯性测量单元( i n e r t i a lm e a s u r e m e n tu n i t ) ，融合两种传感器数据的则是卡尔 曼滤波器。 此后美国马萨诸塞大学的帕特里克迪甘( p a t r i c kd e e g a n ) 和罗伯特格鲁朋( r o b e r t g r u p e n ) 也研制了一款称为u b o t 4 的两轮自平衡机器人【l0 1 ，如图1 1 1 所示，该机器人 最大的亮点在二f 保持平衡的同时安装了两只四自由度机械手，在运动过程中能利用机械 手进行多种操作，最高速度可达4 k m h ，重量为1 1 5 k g 。u b o t - 4 首次采用了现场可编程 门阵列( f i e l dp r o g r a m m a b l eg a t a a r r a y ) ，即f p g a ，精度更高，速度也更快，也为实时 采集机械手受：匀情况提供了很大的便利。 图1 1 1u b o t 一4图1 一1 2 d i y 蚕格威 f i g 1 1 1u b o t 一4f i g 1 1 2d i ys e g w a y 麻省理工学院( m i t ) 艾格顿中心( t h e e d g e r t o nc e n t e r ) 的几位同学利用暑假时间研 制的d i ys e g w a y ( 女i 1 1 2 所示) 也获得了较好的控制效果【1 1 】。速度可以达到5 m s ，控 制芯片采用的是p i c l 6 f 8 7 7 单片机，利用p w m ( p u l s ew i d t hm o d u l a t i o n ) 信号控制电 机。该机器人首次运用了短距离无线通信技术( 即z i g b e e 技术) 来实现同单片机的双向 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 通信。传感器方面采用了两个加速度计和一个陀螺仪，其中加速度计一个用于保持平衡， 另一个用于转向，陀螺仪则用于测量角速率。从实际效果来看d i ys e g w a y 在静止和直 行时平衡效果良好，但在实现转向、爬坡等复杂动作时则略显迟缓，控制效果并未达到 最佳，有待进一步的改进。 国外市场另一个将两轮自平衡小车实现量产化的就是日本丰田公司( t o y o t a ) 于 2 0 0 9 年推出的w i n g l e t l l 2 , 丰田公司共推出t - - 种型号的w i n g l e t - l 型、m 型以及s 型 ( 如图1 1 3 所示) 。与雅克罗公司的s e g w a y 相比，w i n g l e t 在造型上显得更加小巧、 便捷，最快速度可达6 k m h ，1 小时即可完成充电，m 型及s 型更是只需腿部力量就可 以控制平衡，重量也只有1 0 k g 左右。w i n g l e t 通过内部平衡感应器来测量人体的倾斜角 度从而实现前进、后退、零半径回转等复杂动作，同时还配备了障碍物感应器，可以感 知前后方的障碍物。此外，更加吸引人们眼球的是w i n g l e t 的售价只有1 9 0 0 0 元人民币， 相比s e g w a y 有了较大的突破，w i n g l e t 己于2 0 1 0 年实现了量产，并在日本名古屋国际 机场投入使用，市场反应良好。 1 2 2 国内研究现状 图1 - 1 3w i n g l e t f i g 1 1 3w i n g l e t 国内最初开始研究两轮自平衡机器人的是中国科技大学机械工程学院及自动化学 院的多名教授、博士及硕士研究生，该课题组于2 0 0 3 年推出了所研发的两轮自平衡小 7 ；涵一 猷 太原理工大学硕士研究生学位论文 车，名叫f r e em o v e r ，如图1 1 4 所示。该车整车质量约为3 0 公斤，时速可达1 0 k m h ， 连续行驶里程约为3 0 k m 。控制芯片采用的是数字信号处理器( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ) ， 关键设备是车体倾斜角度传感器以及车速度传感器，在状态方程中应用了动力学以及倒 立摆模型的基本控制原理，在行进、减速、刹车以及回转等各种不同状态下，整车能够 始终保持平衡稳定的状态【1 3 】。控制学方面，课题组对模糊控制、自适应p i d 控制以及状 态反馈控制作了分析和讨论，也使得该车在控制方面取得了良好的效果。 台湾逢甲大学于2 0 0 5 年研制一款电动两轮自平衡车( e l e c t r i ct w o w h e e l e db a l a n c i n g c a r ) 如图1 1 5 所示，该小车在传感器方面只采用了一个型号为a d x l 3 3 2 的加速度计【l4 1 ， 因此在控制效果上并未取得很好的效果，只能对静止或不剧烈运动时的倾斜角度作出测 量，控制芯片：疗面采用的是8 0 5 1 单片机，可以说该车是一款精简的两轮自平衡小车， 可用于控制理论的研究。 图1 - 1 4f r e em o v e r图1 - 1 5 两轮电动平衡车 f i g 1 - 14f r e em o v e rf i g 1 - 15 e l e c t r i ct w o w h e e l e db a l a n c i n gc a r 同在2 0 0 5 年，哈尔滨工程大学尹亮推出了自己设计的一款名叫s w a y 的双轮直立自 平衡机器人，如图1 1 6 所示。该机器人采用了两片c 8 0 5 1 f 0 0 5 单片机作为控制芯片， 传感器方面通过两轴加速度传感器a d x l 2 0 2 和反射式红外线距离传感器来实现车体倾 斜角度的测量。计算机同机器人之间的通信运用了讯通公司生产的p t r 2 0 0 0 超小型超 低功耗高速无线收发数传m o d e n ，人机交互界面采用2 4 0 1 2 8 的图形液晶点阵，该机 器人最大的特色在于引入了方向摇杆及按键来对机器人进行方向操控，大大减小了操作 上的难度。 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 在国内，唯一实现量产的两轮自平衡小车是由清华大学宋宇宁与日江电器合作所生 产的c h e g w a y ，如图1 1 7 所示。该车于2 0 1 0 年5 月1 2 日正式推出，并面向市场公开发 售，而最吸引人眼球的就是其不到2 0 0 0 元的价格，与雅克罗公司的s e g w a y 相比可以说 彻底将两轮自平衡小车推向了大众化。该车在控制芯片上采用的是a d i 的b f 5 3 3 处理 器，并在内部安装了多颗a d i 的m e m s 传感器来实现对车体速度及倾斜角度的测量， 而且该车可以对人体体重进行测量，对于不同体重的骑乘者实现自适应控制【”】。该车在 实际使用中获得了广泛的好评，具有广阔的市场前景。 图l - 1 6s w a y f i g 1 1 6s w a y 1 3 国内外文献分析 图1 1 7c h e g w a y f i g 1 1 7c h e g w a y 通过以上对国内外研究现状的分析可以得知，要研制一款运行稳定的两轮自平衡小 车主要需要解决以下几个关键性问题： 1 3 1 控制方法的选择 控制方法直接决定了控制的精确程度，从上面的分析我们可以看出两轮自平衡小车 的控制方法有多种，如模糊控制( 雅克罗公司的s e g w a y ，美国南卫理公会大学的n b o t ) , 极点配置( 瑞士联邦工业大学j o e ) ，自适应控制( 中国科技大学的f r e em o v e r ) 等，上 述课题组在控制方法的选择上均做了很多工作，有的课题组还专门建立了模型来研究控 制方法( 如马来西亚理工大学的t w o w h e e l e db a l a n c i n gr o b o t ) ，可见选择一种可行、 准确的控制方法是研制两轮自平衡小车的关键。 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 3 2 控制芯片的选择 控制芯片是实现控制方法的硬件基础，决定了数据运算的精度和速度，上述关于两 轮自平衡小车的研究中控制芯片主要集中在单片机( 如麻省理工学院的d i ys e g w a y ) ， d s p ( 如瑞士联邦工业大学的j o e ) 和f p g a ( 如美国马萨诸塞大学的u b o t - 4 ) 。采用单 片机作为主控制芯片主要工作是实现控制算法并对采集数据进行a d 和d a 转换从而 实现对电机转速和转向的控制；采用d s p 则可以利用其在数字信号处理方面的优势对 实时采集数据进行更细致的处理，控制效果也更好；采用f p g a 则更注重于对两轮白平 衡小车在功能上的扩展。 1 3 3 传感器的选择 传感器决j 毫了所采集数据是否能准确反映车体实时的运动状况，是对控制算法的数 据支持，多选择加速度计( 如雅克罗公司的s e g w a y ) ，陀螺仪( 如瑞士联邦工业大学的 j o e ) ，红外光电测距仪( 如丹麦乐高公司的l e g w a y ) 以及反射式红外线距离传感器( 如 哈尔滨工程大学的s w a y ) 。其中加速度计用于采集车体的倾斜角度，陀螺仪用于测量角 速率，红外光电测距仪和反射式红外线距离传感器则用于采集车体距离地面的高度以及 与前方障碍物：艺间的距离等，均起到了采集车体实时运动状态数据的作用。 1 4 本论文的主要研究内容 本论文第一章对课题的研究意义进行了详细的阐述，对国内外两轮自平衡小车的研 究现状进行了详尽的介绍，并对研究的主要内容做了介绍；第二章通过对倒立摆模型的 研究进而建立了两轮自平衡小车的数学模型，并对能控性及可观性做出了判断；第三章 通过对不同控制方法所产生的控制效果进行对比研究，从而确定小车的控制方法；第四 章对两轮自平衡小车的控制芯片、传感器、电机及软件编程环境等软硬件系统做了详 细的介绍；第五章对小车的系统模型利用m a t l a b 软件进行了辨识，对系统模型做出了 一定程度的改进；第六章介绍了数字滤波器的详细设计过程及方法。 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 引言 第二章两轮自平衡小车数学模型的建立 两轮自平衡小车最初的原理模型来自于倒立摆，倒立摆是机器人技术、经典控制理 论、计算机控制、自动化等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个 绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对 其进行研究【1 6 】。一个典型的非线性系统，实际中可以通过合理的线性化得到系统的近似 模型，建模过程中涉及的机械传动间隙，各种阻力等都会给系统带来很多的不确定因素。 两轮自平衡小车实际上是直线一阶倒立摆模型在三维空间的扩展，我们首先通过建 立直线一阶倒立摆的数学模型，再结合两轮自平衡小车本身在轮子转动、车体回转、车 身平衡时所具有的特点来实现综合建模1 7 】。 2 2 直线一阶倒立摆数学模型的建立 为了建立直线一阶倒立摆系统的数学模型，先作出如下的基本假设： ( 1 ) 倒立摆车体与摆杆均为匀质刚体； ( 2 ) 忽略摆与车体，车体与外界的摩擦，计忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的 摩擦力等。 所建立的数学模型如图2 1 所示： 图2 1 倒立摆模型 f i g 2 1i n v e r t e dp e n d u l u mm o d e l 1 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 其中：m - 匀质细杆的质量； m 小车的质量； 2 l 一匀质细杆的长度； 0 - 匀质细杆与竖直方向的夹角； f _ 一水平方向外力。 图2 2 是小车与摆杆的受力分析图： h p i l l f l x - - 图2 - 2 小军与摆杆的受力分析图 f i g 2 - 2c a ra n dp e n d u l u mb a rs t r e s sa n a l y s i s 其中：h _ 摆杆与小车作用力的水平分力； v 一一摆杆与小车作用力的垂直分力； 矿一重力加速度。 设小车的瞬时位移为x ，摆杆重心坐标为( x l ，y 1 ) ，则： m x l = ：x ，c + 。l s s 9 i n9 根据牛顿运动定律，摆杆重心的水平运动方程为： 所嘉( 川! ；i n 啦日 摆杆重心的垂直运动方程为： 聊鲁日k y 一孵 小车的水平运动方程为： m 万d 2 x = f h 摆杆绕其重心的转动运动方程为： j 百：v l s i n 0 一h 1 c o s o x _ 1 _ ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 。4 ) ( 2 5 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 式2 5 中j 为摆杆围绕其重心的转动惯量。 在摆动角0 较小的情况下：s i n o 9 ，c o s 0 1 。 孽 i ( m + m ) j f + m l o = fi l ( j + m 1 2 ) 百+ 聊反= m g wj f百=丽m(m+m)gla一丽mlm)j m m l f i ( m + 肌) ，+ 砌，2( m + + z l ijf=一丽m)2，91+2坳，。0+丽j+m12m)j m m lf j【( m + 聊) ，+ 坳，z( m + + z j 其中：，：土聊，： 1 ， 此外： 阳：百 l 戈= 戈i 、 综合式2 8 与式2 9 可以得到系统状态方程： x = a x + b f 其中：力= e o ，痧，曼，戈 ， x = e o ，百，x ，戈 r a = u100 1 1 1 丝! 型：00 0 ( m + m ) j + m m l o0 0l 一 竺：型： =oo 0 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 b = ： 系统输出方程为： y = c x + d f 其中： k 嘲 。= 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 综上所述司得直线一阶倒立摆状态空间表达式： 忙。出+ 肝l ( 2 2 0 ) iy = c x + d fi 对式2 8 进行拉普拉斯变换，可得直线一阶倒立摆的传递函数为： ) 2 豁1 2 面丽而可- m l 焉两丽 2 1 ) 郎) 2 篙j = 面丽而j + 丽m 1 2 鬲虿 c 2 2 2 ) 其中g i ( s ) 是摆杆角度与小车所受外力之间的传递函数，g 2 ( s ) 是小车位移与小车所 受外力之间的传递函数。 2 3 两轮自平衡小车数学模型的建立 两轮白平衡小车数学模型的建立类似于倒立摆模型的建立，将车轮和摆分成两部分 进行分析，最终综合两部分得出的各个方程，建立两轮自平衡小车的非线性方程，最后 经过线性化处理从而求得两轮自平衡小车的状态空间方程。 1 4 击。茄 ：? 一 o oj x 0 五 o 0 9 n 卜p i i i i c x 一一 太原理工大学硕士研究生学位论文 二_ 二 参数说明： 钆：车轮转角，逆时针为正； q ：左车轮与车体之间水平方向的作用力； 日，。：左车轮与地面之间的作用力； ：右车轮与车体之间水平方向的作用力； h ，：右车轮与地面之间的作用力； 置：左车轮与车体之间垂直方向的作用力； 忍：右车轮车体之间垂直方向的作用力； c 1 ：右车轮的转矩； c ：左车轮的转矩； x ：车轮的水平位移； 圣：车轮水平方向的速度； 戈：车轮水平方向的加速度； 虬：车轮的质量； r ：车轮半径； p 。：车体摆角； m p ：车体重量； 2 l ：车体高度； l ：车轮的转动惯量； 厶：车体的转动惯量。 2 3 1 系统动力学方程 分别对左右两轮进行受力分析，受力图如图2 3 所示： 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 图2 - 3 车轮受力分奄斤图 f i g 2 3w h e e ls t r e s sa n a l y s i s ( 1 ) 对左轮进行分析： 水平方向的合力：c = m a ( 2 2 3 ) 求得： m w 戈= h i l q ( 2 2 4 ) 其中q 。是左轮与地面之间的摩擦力，日为车体对车轮在水平方向上的作用了，两 者之和即为车轮在水平方向上的合力。 绕车轮轴心的转动力矩：e - o = a ( 2 2 5 ) 求得： l 瓦= c l q 。r ( 2 2 6 ) 其中：c l 为车轮的转动力矩，h i 。r 为地面对车体摩擦力绕车轴对车轮产生的转动 力矩。 利用式2 2 4 与式2 2 6 ，消去其中的。项，求得： 坂碧= 鲁一去色一q ( 2 2 7 ) ( 2 ) 对右轮进行分析： 水平方向的合力：e = m a ( 2 2 8 ) 求得： 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 m 。戈2 日，2 一月2 ( 2 2 9 ) 其中也：是右轮与地面之间的摩擦力，马为车体对车轮在水平方向上的作用力， 两者之和即为车轮在水平方向上的合力。 绕车轮轴心的转动力矩：m o = i a ( 2 3 0 ) 求得： l 或= c 2 一母：r ( 2 3 1 ) 其中：c 2 为车轮的转动力矩，日，：r 为地面对车体摩擦力绕车轴对车轮产生的转动 力矩。 利用式2 2 9 与式2 3 1 ，消去其中的日，：项，求得： 虬量= 百c 2 一等眈一h 2 ( 2 3 2 ) 将式2 2 7 与式2 3 2 合并，可以求得： 2 帆戈= 华2 ( 1 wo 。媚+ 皿) ( 2 3 3 ) 此外，有：民= 素 ( 2 3 4 ) 将式2 3 4 带入式2 3 3 中求得： 2 ( 坂+ 知= 华一( - 1 + 皿) ( 2 3 5 ) 对车体进行受力分析，如图2 4 所示： 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 x - - - i f 弓 ： 图2 - 4 车体受力分析图 f i g 2 - 4c a rs t r e s sa n a l y s i s 由牛顿第二二定律： e = 蜂砟 ( 2 3 6 ) 设x 为车体水平方向上的位移，则车体质心相对于车轮在水平方向上的位移为 l s i n 0 。, ，因此车体质心相对于地面的位移为： = x + l s i n o p ( 2 3 7 ) 对式2 3 7 两边求二阶导数，求得： = 戈一i s i n o p o p 2 + l c o s o p 巳 ( 2 3 8 ) 车体在水平方向上的合力： 蜂毫= ( q + 4 ) 一蜂，屯2s m 巳一坞，吒c o s 巳 ( 2 3 9 ) 式2 3 9 中，q + 皿为车轮对车体在水平方向上的作用力，坞晚2s i n 巳是车体摆 动时的向心加速在x 方向上的分力，m p l o ；c o s o p 则是车体摆动时的角加速度所产生的 垂直于车体的：力在x 方向上的分力，由于小车运动时车体的角加速度应该是反向的，因 此该项为负；等式的左边则是车体的质量与车体质心加速度的乘积。 将式2 3 8 带入式2 3 9 中，可得： 1 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 鸠 一| s i l l 巳允2 + l c o s o , , 铊) = u h l + h 0 一m3 右：s i n o p m ，爸p c o s o p 展开可得： m ? 孓一m s i n o , , 6 ；+ m 乒c o s e p - a p = 。+ h 一m 扣：s i n o p m 勇p c o s o p 将等式两边进行合并可得： m p 2 + 2 m j c o s e p e p = h k + h 2 沿垂直于车体方向的合力为： 岛= m p j c o s o p = m p g s i n o p 一( 只+ 最) s i i l 巳+ ( 耳+ 乞) c o s e , , 一 名，巳 化简后得： m p ( 2 - l s i n o p 屯2 + c o s o p o p ) - m p g s i no p + m j o p = ( 日l + h 2 ) c o s 0 p + ( 暑+ p 2 ) s i n o p ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 其中，g s i n 巳为重力在垂直车体方向上的分力，( 皇+ p 2 ) s i n o p 和( q + h 2 ) c o s 0 , ， 分别为车轮对车体的作用力在垂直车架方向上的分力，呜z 吒为车体水平方向上的合力 在垂直于车体方向上的分力。 车体的和外力矩为： 眠= 吒= ( 置+ p 2 ) l s i n o p 一( q + - 2 ) 1 c o s o , , ( 2 4 5 ) 其中( 暑+ p ：) l s i n o p 与( 且+ 坞) l c o s 0 , , 分别为车轮对车体作用力所产生的力矩。 将式2 3 5 与式2 4 2 相加可得： ( 略+ 2 坂+ 等) j = 旦# 一2 坞s 巳包 ( 2 4 6 ) 将式2 4 4 两边同乘以，并与式2 4 5 相加，可得： m 黟+ up j r m c o s 0p + m ，均p = m 夕s i n o p ：+ mp g l s i n o p 乜4 7 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ 一_ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - _ _ - - _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ _ - 一 综合式2 4 6 与式2 4 7 可得系统的非线性方程为： i + 2 坂+ 等) 戈= 气导一2 心s 铭啦 m 砖+ ( ip + m 1 2c o s o p + md 1 2 岫p = m v l 2s i n o p 吃2 + m r g l s i n o p 从式2 4 8 可以求得： 舅：一坐挲型笙型丝望l 一 尺【( 心+ 2 坂+ 爷) ( + 蜂，2c o s 巳+ 心，2 ) + 蛑刀 j ! 丝! ! ! ! 生丝! ：! 垫生：当丝垒! 垫生! ( 蛑+ 2 坂+ 等) ( + m v l 2c o s o p + 心2 ) +