（科学技术史专业论文）中译本《代数术》在中国的翻译与传播.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得苤鲞竖整盘鲎或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 分砂1 签名：!日期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签日期：型 展到了极致，从而导致在学术上竞趋空疏的气象。而在明代中叶，“心学”的创 始人王阳认为，知识的追求对道德的完善并不起促进作用，相反，对知识的追求 反而会使“人欲更滋 ，造成“才力愈多而天理愈蔽 的负面效果，在这样的政 治和学术氛围中，数学自然很难得到学者们的重视，但当时，数学却还是有一定 的发展。 明代初年，科举考试中兼试算学，据太祖实录记载，京师及各行省开乡 试，中试者在后十日再参加骑，射，书，算，律的考试，其中对算的要求是“通 于九法 ，但这一制度在宣德，嘉庆以后却不复存在，政府对数学学习的创导并 没有什么实际效果，在明代中晚期，官方数学教育的主要教材九章算术已经 很少流传，书数九章、测圆海镜及四元玉鉴等传统数学著作也难得 一见。中国数学传统数学最出色的数学成就，如高次方程的数值解法的增乘开方 法，设未知数解方程及多元高次方程组的天元术和四元术等己无人能懂，除了顾 应祥及唐应川少数的学者以外，很少有人从事对数学的研究。相对于这种情况， 到是明代民间的数学研究似乎更为活跃，有多部数学著作传世，现在流传的主要 有，严恭的通原算法1 卷( 1 3 7 2 ) ，夏泽明的指明算法1 卷( 1 4 3 9 ) ，吴 敬的九章算法比类大全1 0 卷( 1 5 4 0 ) ，王文素的古今算学宝鉴4 0 卷( 1 5 2 4 ) ， 徐心鲁的盘珠算法( 1 5 7 3 ) ，柯尚迁的数学通轨( 1 5 7 8 ) ，程大位的算 法统宗1 7 卷( 1 5 9 2 ) ，算法纂要4 卷( 1 5 9 8 ) ，黄龙吟算法指南2 卷( 1 6 0 4 ) 等等，其中，吴敬的九章算法比类大全和程大位的算法统宗影响比较大， 但是，宋元时期的天元术，四元术，增乘开方法等出色的数学成果却不包含于其 内，所以仅就数学研究水平来看，明代的数学可以说是处于退步的状况。当时， 欧洲数学在很多方面都较中国明代数学更为优越，因此，欧洲数学能够在中国传 播也似乎成为顺理成章的事情了，这也是伴随着第一次科学翻译的高潮，在数学 史上发生的较大转变【7 1 。 1 2 2 清代欧洲数学的传入背景与发展 1 2 2 1 清代初期欧洲数学的传入与中国数学的发展 1 6 4 4 年4 月，李白成占领北京，崇祯帝自缢于煤山后刚刚两个月的时间，清 军也进入了北京，局势一片混乱。曾经受命于前明皇帝修订历法的传教士汤若望 ( j o h a n na d 锄s h a l lv o nb e l l l 5 9 2 一1 6 6 6 ) 和其他非满洲人一样，也接收到了 搬迁于城外的命令，但由于他所在的北京的教堂中藏有大量的的文献书籍，天文 仪器等重要东西，无法及时搬走，他还是恳请清朝皇帝，希望和其他教堂所在的 传教士能够继续留下，最后如愿得到了批准。汤若望有愿望在清廷继续效力，以 实现自己的目的，在他上书表达后也得到了朝廷的认可，并在同年的1 2 月2 3 日被 任命为钦天监“掌印官，监中一切进历、占候、选择等事务，都听从他的命令 举行，次年1 月，他的身份变成了“修正历法管监正事”，实际上是钦天监的主 持人，这也是欧洲人在清廷第一次任如此高的职务，作为耶稣会士，他曾经上表 请求辞呈，但被驳回。后来又被加冕，甚至其祖上三代都得到一品封典。汤若望 与顺治帝的关系甚是亲密，在他的影响下，又有一批耶稣会士来华传教，南怀仁 就是其中之一。南怀仁的到来为中国数学的发展做出了很大的贡献，于1 6 6 0 年他 受汤若望之邀请到钦天监协助后者的工作。作为钦天监的负责人，汤若望等耶稣 会士全面垄断了宫廷内部的天文事务，这样，汤若望就可利用自己所处的地位在 钦天监官员和学生中传播天主教教义，他全权负责历法的修订，这也将自己置于 一种困境之中，因为，在教会的立场中，当时民历中进行的很多活动都属于异教 徒的迷信做法，比如祭祀等。当他的地位日益稳固之后，他也试图在容忍民俗的 前提下，继续将欧洲占星术引入传统民历，改革传统民历，但其改革与中国传统 术数之学中阴阳生克的理论基础产生矛盾，所以，最后的结果就是不能得到民间 的认同，致使杨光先抓住其口舌，导致了第二次大规模的教案杨光先历案。 他还继续声称，西法无容妄议，中国的历法源于西方，他认为掌握中国历法知识 的人根本就没有能力去质疑他介绍的欧洲历法，中国传统的治历方法根本就是错 误的，并不是计算问题，必须摒弃中国传统历法的一切内容，这相当于对徐光启 在翻译西方历书时翻译一会通一超胜的吸收西方历算知识策略的全方位否定，他 又在新法表异中列举了四十二款证明中国传统历法的疏陋，他们的所作所为 无疑引发中 x 须全部离京，第二年的8 月1 5 日，汤若望也在京逝世，杨光先历案发生后时间不 久，种种的事实表明，西方的历法要优与中国传统历法，杨光先等人提出的问题 也不能够让朝廷上下所信服，杨光先被迫辞职。不过，欧洲的传教士重新得到了 钦天监的位置后，清代的学者和士大夫们对天主教的戒心却仍未消除，这也影响 了西方数学在中国的传播，但也正是由于该次历案的发生，使得康熙帝深刻认识 到朝中大臣对天文历法的无知，成为康熙帝日后学习数学知识的直接原因”1 。 关于自然科学方面，汤若望在传播欧洲天文知识和数学知识中起到了很大的 促进作用，可他似乎并没有引入什么新的数学知识，在数学传播方面作出最大贡 献的则非在民间传教的波兰人穆尼阁莫属，此人在1 6 4 4 年被派往中国，他是汤若 望的好友，但并没有前往北京与汤若望共同工作，而是在南京、福建、广东等地 一边传教，一边讲授天文数学知识，薛凤祚( 1 5 9 9 1 6 8 0 ) 、方中通( 1 6 3 3 一1 6 9 8 ) 曾随他学习西方数学知识，在薛凤祚编辑的天学会通中的比例对数表和 比例四线新表就包含了穆尼阁引入的最重要对数方法，此外，穆尼阁也传入 了一些新的三角公式，还有对数和三角学相结合的公式，他所传入的数学知识也 被认为是清初年介绍到中国的最有价值的欧洲数学知识【9 】。 薛风祚( 1 5 9 9 1 6 8 0 ) 出生于一个有名的家族，在家中受启蒙教育，于1 6 3 3 年冬也曾随魏文魁学习传统历法，而且学到了魏文魁的开方方法，这在他天学 会通中的三角八线表中有详细的介绍，1 6 5 2 年他从穆尼阁学习到对数方法， 此后，他致力于中西会通，著成历学会通5 6 卷( 1 6 6 4 ) ，他一生勤于著述， 著作主要有车书图考、两河清汇8 卷、 天学会通、天步真原3 卷、乾象类占、比例对数表等【l o 】。 方中通( 1 6 3 3 1 6 9 8 ) 是方以智的次子，他著有数度衍凡例( 1 6 6 1 ) ， 并于1 6 8 7 年刊印f l l 】，他熟练掌握了当时传入的西方筹算、笔算、尺算还有中国 原有的珠算。与方中通同时代的数学家杜知耕，他有两部数学著作，分别是几 何约论( 1 7 0 0 年) 和数学钥( 1 6 8 1 年) ，前者为几何原本的改写本， 后者是依照九章算术的章目所编排。处在同时代的另外个数学家是李子金， 他著有隐山鄙事4 卷，还有天弧象限表1 卷，这些著作为研究三角函数的 专著。而王锡阐在三角方面也获得一些独到的成果，他在译成中文的西方数学著 作的基础上也进行过中西会通的尝试。 对清代中国数学研究影响最大的首推康熙帝，在他的倡导与组织下，一些人 从事数学研究与学习，建立了一些专门研究和学习数学的皇家机构，还编写了一 部大型的介绍数学知识的数理精蕴，与此同时，他也学习了西方的天文、数 学方法，在他的要求下，宫廷中的传教士给他系统地讲解了西方的几何学和代数 学知识，通过康熙帝，西方传教士所讲授的部分知识在中国也得以传播开来【l ”。 康熙帝对数学如此重视，在他执政期间，人们掀起了一波研究数学的高潮，清初 数学家梅文鼎( 1 6 3 3 17 2 1 ) 很受康熙帝的青睐，梅文鼎是1 7 世纪著名的中国数 学家，1 6 7 5 年开始研究欧洲算学，1 6 8 0 年他将自己的9 部数学著作汇编成大型丛 书中西算学通初编，分别有勿庵筹算七卷、勿庵笔算五卷、勿庵 度算二卷、比例数解四卷、三角法举要五卷、方程论六卷、几 何摘要三卷、勾股测量二卷、九数存古十卷以及中西算学通序例， 同年还出版了筹算一书，1 6 8 4 年，梅文鼎完成了讲述球面三角学的弧三角 举要，1 6 9 0 年著成历学疑问2 卷，1 6 9 2 年完成少广拾遗，到1 8 世纪末 的时候，他的天文、数学著作已有8 0 余种，他的主要作品被魏荔肜收录在梅勿 庵先生历算全书( 1 7 2 3 年) 和梅氏丛书辑要( 1 7 6 1 年) 中。 1 2 2 2 清代中期中国数学的发展情况 因为礼仪问题，康熙帝在1 8 世纪初开始疏远欧洲的传教士，到了2 0 年代与罗 马教廷彻底决裂，从那以后，传教士被禁止在内地传教，相继执政的雍正帝、乾 隆帝也坚决禁教，直至鸦片战争后，除少数传教士为钦天监和宫廷工作外，欧洲 人很难进入中国内陆，与此相应的是，在1 8 6 0 年以前，基本上没有什么新的欧洲 数学知识传入内地，1 8 世纪之后，考据学风盛行【1 4 1 ，清代中叶中国的数学研究 沿着两个方向发展，一是一些传统数学被重新发现，中算家们校勘古代算经和复 原传统算法方面取得了很大的成果，并在研究上有了一些新的进展；另外一个是 明术清初，从欧洲传入的数学知识得到了深入的理解和进一步的发展。其间出现 了一批在数学方面有着深入研究并有出色成果的学者和数学专家，最有名的是历 史上称为“谈天三友 的焦循、李锐、汪莱j 。 第二章华蘅芳与傅兰雅合译代数术 2 1 华蘅芳的生平简介及其主要成就 2 1 1 华蘅芳生平简介 华蘅芳( 1 8 3 3 1 9 0 2 ) ，字若汀，江苏省金匮县( 现无锡市) 人。生于官宦 家庭，父亲华翼纶为举人，任永新知县。母亲孙兰轩，弟弟华世芳曾任常卅i 龙城 书院山长和上海南洋公学总教习2 0 1 。华蘅芳7 岁开始读书，酷爱数学【2 l 】，是晚 清著名的数学家【2 2 1 ，1 0 岁起就常读中国古代算经。以后又研读了秦九韶，梅文 鼎，李锐等名家的数学著作。1 4 岁已经读完程大位的算法统宗，其算盘技术 非常的熟练。华蘅芳天资颖慧，刻苦自学，无师自通，在他的记述中曾经写到“吾 于算学，生平未尝受业于人，即与能算者相友善，也未尝数术问难也”。在青年 时期，华蘅芳博览群书，这为他后来的治学打下了坚实的基础j 。 1 8 5 7 年，华蘅芳在上海墨海书馆结识了年长他2 2 岁的清末大数学家李善兰， 在李的教导之下，他自学了李善兰和伟烈亚力( w y 】j ea 1 e x a n d e r ) 共同翻泽的 代数学和代微积拾级。由于这两部数学著作对于学习者来说是比较困难 的，他初读时也是“不得其意之处”，“不知其所以云耳，但他潜心专研，后来 对代数学有了深刻的理解，乃至豁然通达，以他自己的话说“譬如傍晚之星， 初见一点，旋见数点，又见数十点，数百点，以致灿然布满天空。他是一个进 1 0 3 8 卷、比利时希里哈的防海新论1 8 卷；与美国金揩理( ctk r e y e r ) 合译 的著作有：英国白尔特的御风要术3 卷及测候丛谈4 卷【2 s 】。 华蘅芳也是一位教育家【2 9 1 ，他把科学和教育作为终身奋斗的目标，尽心竭 力，死而后已。作为数学家，他在引进西方数学，从事数学研究和致力子数学教 育等方面的贡献也是非常之大， 2 1 2 华蘅芳在数学方面的成就 华蘅芳所著的数学著作开方别术、数根术解、积较术、开方古义、 算草丛存等六种算书，前四种汇集在行素轩算稿中，于1 8 8 2 年刊行， 而他与傅兰雅合译的数学著作共7 部，分别是代数术二十五卷( 1 8 7 3 年) 、 微积溯源八卷( 1 8 7 4 年) 、三角数理十二卷( 1 8 7 7 年) 、代数难题解法 十六卷( 1 8 7 9 年) 、决疑数学十卷( 1 8 8 0 年) 、合数术十一卷( 1 8 8 7 年) 、 算式解法十四卷( 1 8 9 9 年) ，此外还有算法须知一卷、西算初阶一 卷。 代数术二十五卷，底本是英国华里司( w 。w a l l a c e ) 代数学( a l g e b r a ) ， 该书卷一至卷十六为方程论初步，卷十七至卷十九为指数函数和对数函数的展开 式，卷二十论连分数，卷二十一论不定方程，卷二十二至卷二十三论解析几何， 卷二十四至卷二十五论三角函数的展开式。 微积溯源八卷，底本是华里司的流数论( f l u x i o n s ) ，该书前四卷为微积 分学，后四卷为积分学及常微分方程初步。 三角数理十二卷，底本是海麻士( j h 舯e r s l 8 0 3 1 8 8 7 ) 平面三角和球面 三角( t r e s t i s eo np l a n ea n ds p h 甜c a l 嘶g o n o m e 仃y 1 8 6 3 ) ，前八卷为平面三角部 分，后四卷为球面三角部分。 代数难题解法十六卷，底本是伦德( t 。l u n d ) 伍德代数指南( a c o m p o n i o nt ow | o o d sa 1 9 e b r a l 8 6 3 ) 该书所解之题大部分是来自于英国算学家 伍德所著之代数学，还有部分是书院中的考试题目，前十二卷主要是初等代数的 习题解答，后四卷为试题。 决疑数学十卷，底本是棣么甘概率论及其在生命保险上的应用( a n 1 2 e s s a yo np r o b t i l i t i e s ，a n do nt h e i ra p p l i c a t i o nt ol i f ec o n t i n g e n c i e sa n d i n s u r a n c eo f f i c e l 8 3 8 ) 该书前五卷介绍古典概型，卷六至卷七论人寿和诉讼的 概率计算，卷八论大数各题解法，卷九论正态分布，卷十论最小二乘法。 合数术十一卷，英国白尔尼原著，没有刊行，有稿本传世，另外有林绍 清节本合数述二卷( 1 8 8 8 ) ，该书论合数的运算与其在近似计算上的应用。 算式解法十四卷，底本是美国好司敦( h o u s t o n ) 和开奈利( k e 彻e l l y ) 合著的简易代数( a l g e b r am a d ee a s y l 8 9 8 ) ，该书的内容比较浅显，卷一至卷十 为初等数学，卷十一至卷十三分别为微分、积分、定准数，卷十四解释数学符号， 定准数也称排列定数，即行列式。 以上各书，其底本也存在一定的争论【3 0 1 ，但不可否认，它们在中国数学史 上的地位是非常之高，符号代数学、解析几何、微积分、概率论等数学知识也伴 随着这些著作的翻译而传入了中国，这为我国数学在后来的发展起到了不可忽视 的作用，而华衡芳在这一过程上是功不可没的。 2 2 傅兰雅的生平简介及其主要活动 傅兰雅( j o h nf r y e r ) ，于1 8 3 9 年8 月在英国肯特郡海德城的一个牧师家庭 出生，家境贫穷，受父亲的影响傅兰雅从少年时代就对中国产生了浓厚的兴趣， 他阅读过大量的有关中国的书籍，对当时的中国无比的向往，甚至被同学们称呼 为“傅亲中”( c h i n c h o n gf u u n g ) ，他青年时期曾经在酒厂当学徒，后来得到政 府助学金就读于伦敦海布里师范学院( h i g h b e r yt r a i n i n gc o l l e g ei n l o n d o n ) ，1 8 6 1 年3 月毕业后，傅兰雅受英国圣公会派遣，远渡重洋到香港任圣 保罗书院( s tp a u lc o l l e g e ) 校长( 1 8 6 卜1 8 6 3 ) ，开始了他在中国长达3 4 年的 生活。为了提高自己的中文水平，他还曾经学习过普通话。1 8 6 5 年，他去了上 海，担任由寓沪外侨和中国绅士富商创办的英华学塾( t h ea n 9 1 0 c h i n e s e s c h o o l ，s h a n g h a i ) 的校长( 1 8 6 5 1 8 6 8 ) ( 两个书院都隶属于英国公圣会的教会 学校) ，但身负圣公会厚望的傅兰雅非但没有按照教会对他的指示致力于教化中 国，反而采取了与教会方法相悖的传教方式，最后遭到了教会的反对与排斥，因 而他也就失去了教会对他的信任，进而被教会声明与他无任何关系【3 。 1 8 6 8 年5 月，傅兰雅转至江南制造总局翻译馆任翻译，并主持馆务。在江南 制造局期间，他一直是主要的口译者，他口译的科技著作数量与同时代人相比是 最多的，所译的内容也很丰富，很重要，也大致代表了当时绝大多数中国人所能 了解的西方科学技术知识的最高水平。据王扬宗介绍，傅兰雅口译的译著达到 1 1 3 种，其中9 5 种已经出刊，在己刊的9 5 种译着中数学有9 种，物理4 种，化 学与化工1 2 种【3 2 】 1 8 7 4 年，他参与了上海格致书院的创办。1 8 7 5 年，他又主编了第一份科学 期刊格致汇编。1 8 7 9 年，他被推举为益智书会总编辑，其间，他声明不编宗 教书，在他的主持下，该会编译了5 0 余种科学教科书和数十种教学挂图。其中 他编译了格物图说1 0 种他自编的 2 7 种科学入门书，也被该会推 荐给教会学校使用格致须知和格物图说和江南制造局译书，组成了由浅 入深的科学译著系列，为当时中国人了解和学习科学知识提供了便利，此外，他还 推动该会在统一科学术语的译名等方面做了大量的工作【3 3 1 1 8 9 6 年，在江南制造 局译书2 8 年的他远赴美国任加利福尼亚首任东方语文教授。 傅兰雅离开中国，他仍在继续为中国的发展与进步做了自己的贡献，晚年在 中国捐资兴办了许多慈善事业。在他去美国之后的每年间都返回上海译书，他还 捐资在上海开办了上海盲童学堂【3 4 】 2 3 代数术的翻译与出版 2 3 1 代数术翻译出版之前有关代数学方面的研究情况 “代数”作为数学学科的译名出现是在1 8 5 3 年，之后李善兰和伟烈亚力合译 的十三卷本代数学第一次系统将西方符号代数输入中国，填补了符号代数学 在中国的空白，导引了1 9 世纪后期西方代数学在中国的传播，代数学在刊行 后的十几年符号代数在中国传播并不是十分的顺利，在此期间，甚至没有出现过 什么以“代数 为名的著作【3 5 】。 中国古代数学成就最丰富的领域就属于现代代数学意义上的代数学，其成果 主要包括解线性联立方程组的方程术，求一般数字方程数值解的增乘开方法，解 1 4 一次同余式的孙子定理和大衍术，高阶等差级数求和的垛积术及天元术与四元术 等，所以，有关代数学方面的研究情况实际上就是指对以上成果的研究，也有不 少专门的著作对它们进行过系统详尽的论述，在此不作详细介绍。 1 7 世纪末期，欧洲代数算法进入我国，有传教士给康熙帝教授的借根方算 法解方程，还有二次、三次方程的数值解法等，这些在当时的中国得到了广泛的 流传和普遍的重视，也正是基于对借根方的研究，传统的天元术研究也成为了当 时一个重要课题，这就促使了天元术在1 8 世纪中国的复兴，研究者是乾嘉学派 的焦循和李锐。到1 9 世纪下半叶，代数学翻译完成，西方符号代数开始系统 的被介绍到中国，新的代数学除传统的开方法外包括天元，四元的数学内容，所 以很快得到了中算家的认可。而在1 7 世纪从欧洲传入的数学知识中，最受中算 家重视还要数三角学，自1 7 世纪3 0 年代至1 9 世纪末，中国共出版了1 0 2 部三 角学著作，其中关于平面三角学的有3 9 部，球面三角学3 7 部，三角函数2 6 部， 此外还有多部与三角函数计算相关的幂级数展开式的著作，而三角学在中国的传 ，播过程便成为中国数学西化历程研究不可回避的问题【3 6 1 。 2 ，3 2 翻译代数术的背景及其目的 在1 9 世纪中叶之时，中国的社会局势发生了翻天覆地的变化，1 8 5 0 年洪秀 全在广西金田发起起义，1 8 5 3 年太平军攻陷并定都南京，此后的三年，太平军 势如破竹，锐不可挡，清军在江南、江北则节节败退，毫无一点战斗力，曾国藩 应旨帮办的湘军在保护地方的同时也同益壮大，与后起李鸿章的淮军一起成为清 代末年的主力军，在与太平天国军队作战的过程中，他们充分认识到西方武器的 威力，并开始谋求建立自己的军工企业，曾国藩聘请了徐寿、华衡芳等试造轮船， 还派遣容闳赶赴美国去买用于制造武器的机器，此时，第二次鸦片战争爆发，1 8 6 0 年英法联军攻占北京，咸丰帝逃往热河，恭亲王奕诉受命与英法联军和谈，1 8 6 2 年，咸丰帝在热河避暑山庄病逝，年少的同治帝即位，慈安、慈禧两太后垂帘听 政，奕 斤任摄政王，奕诉当时无力独揽朝政，但他在处理国家事务方面拥有特权， 可以自上推行其购买西方武器、军械以及学习兵器制造的策略，当太平天国的势 力被控制住以后，朝廷开始着手开创军工企业，1 8 6 5 年，曾国藩会同李鸿章在 上海创办江南制造总局，朝廷上下都倡导学习西方的先进科学技术以图求自强御 南制造局刊本六册；同治十二( 1 8 7 3 ) 年刻本五册；同治十三年江南制造局刊本 六册；光绪二十二年上海书局石印本四册；光绪二十二年积山书局石印小本六册； 光绪年暑东善成堂坊刻本：以及代数术二十二卷，光绪二十一年( 1 8 9 5 ) 上 海葛易堂石印本四册；民国石印本四册；清末乌程徐氏刻本；笔者对部分版本的 代数术作了对比，它们在内容方面是一致的，只是有的版本是根据实际需求 进行过删减后卷数不同，而从这些版本的前后关系以及其内容上也可以看出，代 数术在民间的流传与影响是非常广泛的 刘彝程( 约1 8 4 0 1 9 0 0 后) ，字省庵，江苏兴化人，小时候跟随父亲刘熙载 学习数学，2 4 岁时赴广东任所，途经长沙时曾拜访丁取忠，后来开始读董祜诚、 项名达、徐有壬、戴煦等人的数学著作，后来返回上海，曾一度时间从事校算工 作，主要校算华蘅芳与傅兰雅合译的微积溯源八卷，代数术二十五卷， 三角数理十二卷，同治十二年( 1 8 7 3 年) 主讲上海广方言馆的数学课程， 光绪元年( 1 8 7 5 年) 兼任求志书院算学斋，光绪二十四( 1 8 9 8 年) 因年事已高 辞去求志书院讲席，二十五年( 1 8 9 9 年) ，完成了简易庵算稿四卷，该书中 涉及的数学内容广泛，有西方数学中的代数学部分，几何学部分，还有中国传统 数学中的勾股术，垛积术等，而勾股术和垛积术包含了刘彝程的独创p ”。 关于赵宏的生平简历笔者还没有详细的了解，在此暂不说明。 1 7 第三章代数术的内容结构介绍与分析 3 1代数术的内容介绍与分析 笔者只对清朝同治十二年( 1 8 7 3 ) 年刻本的代数术进行分析。 序 代数术的开头部分是“序”。在序中华衡芳简要介绍了代数术一书 的卷数、译者，翻译的过程及其现实意义。 “代数术二十五卷，余与西士傅兰雅所译也。“故傅君口述之，余 笔记之。一日数千言，不厌其艰苦，凡两月而脱稿，缮写付梓经年告成。 “代数之术，其已知未知之数，皆代之以字，而乘除加减各有记号以为区别，可 如题曲折以相赴，迨夫层累已明，阶级已见，乃以所代之数入之，而所求之数出 焉，故可省算学之工，而心亦较逸，以其可不藉思索而得也。虽然代数之术，诚 简矣，诚便矣，试问工此术者，遂能不病其繁乎? 则又不能也。夫人之用心日进 而不已，苟不至昏吒迷乱，必不肯中辍，故始则因繁而求简，及其既简也，必更 进焉，而复遇其繁。虽迭代数十次，其能免哉? 由是知代数之意，乃为数学中钩 深索隐之用，非为浅近之算法而设也。若米盐零杂之事，而概欲以代数施之，未 有不为市侩所笑者也。至于代数天元之异同优劣，读此书者自能知之， 。 卷首论代数之各种记号 本卷共有九款，其中的第一款中有“今西国所常用者每以二十六个字母 代各种几何，因题中之几何有已知之数，亦有未知之数，其代之例恒以起首之字 母代已知之数，以最后之字母代未知之数，今译之中国，则以甲乙丙丁等元代已 知数，以天地人等元代未知数”。 这相当于最基本的代数概念，它体现了整本代数术是以符号代数为基本 思想的，而后的几款中介绍了加号、加法、减号、减法、乘法、除法及其符号表 示，单项式和多项式的定义及其表示，还有同类项，比如： 上甲乙与t 五甲乙为同类之式 上甲乙与上甲乙乙为不同类之式 以现代数学来表示，相当于a b 与一5 a b 为同类项，而a b 与a b2 不是同类项。 在第九款中“代数中尚有别种记号于以下各卷中临用之处再解之，兹不具论， 唯学者欲读以下各卷之书必于平常算理( 如加、减、乘、除等类之法) 本已明白 者方可通，因代数乃算学之更深者，不必再包学算之理在其中也。 则是对该书 基本概念介绍的进一步说明。 卷一论代数起首之法 “代数起首之法与数学起首之法同，即加、减、乘、除四法也，有此四法， 则一切之代数式皆可由此产生焉 本卷是关于代数式加、减、乘、除的运算及其法则，并进一步举例加以说明， 而且在第十四款中还介绍了把分式化成“约得之式”的两种方法，其中之一 为“可以照算学之理命其不尽之式为分子，而以原法为分母，作约得式之末项 ， 上：1 + 石+ 上 也即是： 1 一x x 2 + l x 卷中的知识有很多不是经过详细的推理而来的，不过，这些知识的介绍无疑 是对后面各卷代数学知识的铺垫。 卷二论代数诸分之法 本卷第十五款到十九款介绍了分数的写法，常分数( 真分数) 、混分数( 假 分数) 、带分数( 带分数) 、对代之分数( 倒数) 的概念以及公约数，第二十款是 最大公约数的求法过程，该款详细地阐述了求最大公约数的方法，一，求单项式 的最大公约数“先将两式中之诸项均以一个元为主，依指数之大小，挨次列之， 视两式中有各项之公共之元数，则提出另寄之( 此即单项之公约数也) ，若每式 中自有各项公共之元数，则去之”：二，求多项式的最大公约数，此法即现在的 辗转相除法。这是以下各款中所提到诸如约分、通分、分数( 式) 的乘法以及除 法的基础，第二十一款还给予其证明。 卷三论代数之诸乘方 甲 本卷中的第三十款初步介绍了分数的负指数的意义，如一= 甲 甲二甲三 一= 甲= 甲_ ；接着是多项式的乘方，诸如( 甲+ 天) 卯，( 巳+ 午+ 未) 二等，需要 1 9 说明的是，此处的指数仅是正整数：第三十五款重点是对“根号式 、“根指数”、 “求根的介绍，如“二甲”为“甲之平方根”，“二”简为“”，还涉 及到分数开方根的知识；第三十六至三十八款分别是求平“平方根 、“立方根 、 “卯方式等的求法，不过都属于“适能开尽之式( 第三十九款) 。 卷四论无理之根式 在前几卷中所提到的根指数均为整数，由于“根指数为整数、正数者，亦可 谓之有理之式 ，所以，该卷把指数推广到分数，而“凡式之指数为分数者谓之 无理式。 三一 本卷的第四十一款是化一有理式为无理式，以“甲二刀为例，甲二= 甲六= 习甲六 第四十二款是把两个不同根号的无理式如何化为同根号的无理式，第四十三是化 无理根式为最简之式，然后是无理根式的加、减、乘、除法，在第四十八款中特 别指出“凡二项无理根式立方以上之根无解法 。 第五卷论代数之比例( 比例之法) 本卷首先介绍了代数比例的分类即算术比例与几何比例，算术比例之数解释 为：四个数，如果第一个数与第二个数之差等于第三个数与第四个数之差，那么 这四个数为算术比例之数，比如，2 ，5 ，9 ，1 2 即为算术比例之数；几何之数则 解释为：四个数，如果第二个数与第一个数的比等于第四个数与第三个数的比， 那么这四个数为几何比例之数，比如，1 2 ，4 ，1 5 ，3 即为几何比例之数，而在 本卷中还说明，利用算术比例与几何比例之数的定义，己知四个数中的个数后求 另外一个数。卷木是有关三率比例( 比例中项) 和四率比例的问题，这些知识的 介绍都以介绍方程知识为目的的。 第六卷论变清独元( 一元一次方程) 该卷的第一款即全书的第五十七款是方程式的概念，随后是方程根、方程 “元”以及一次式的定义，其中定义一次式为“方程式中其未知之元无指数者”； 第六十二款是解方程的基本原理，在本款中分“三例 予以介绍，第二例是“凡 两边相等之式同以某数乘之或同以某数约之，则两边所代之数必仍相等”，需要 指出的是该例没有提到分母为零时的情形，由于分母不为零这种情况在很多处需 要考虑的时候没有提到，所以，这也是本卷乃至本书的一个问题所在；第六十三、 六十四两款是解方程的基本步骤，有移项之法( 移项) ，有移乘后除法( 化未知 数系数为一) ；最后几款是解方程的方法，有去分母法、去根号法、两边开方法， 而这些方法的使用也各自有其适用范围。 第七卷论变清多元一次方程式( 多元一次式的解法) 本卷主要介绍多元一次方程组的解法，以“消去他元法为主要方法。在第 七十一款中论述了消元法的三种情形，并各自举例予以说明，其中第七十三款给 出了形如 萎二三篙例子；第七十六款是含有三个未知数的一次方程组，而在 本卷的最后两款中则是讨论方程组的解、未知数的个数、方程组中方程的个数之 间的关系，还特别说明该卷所讨论的范围是方程组中方程次数不超过一次的，并 给出例子说明。 第八卷论一次式各题之解法( 关于一次式方程的题目) 本卷重点介绍的是把应用问题转化为列方程和解方程，即“将题中之各义变 成方程式”以及部分题目的解法。第八十一款中讨论了所列方程( 组) 解的个数 问题，一，“所用方程式须各自为主，不可由他式递禅而生 ，即当几个方程式通 过系数的相约最后不可以是同一个方程式，如果出现这种情况，则方程式的解有 无数多个；二，“所用之各方程式中亦不可有彼此互相反背之理 ，即当所列的方 程式不可以前后有矛盾，否则将无解。在第八十二款中讨论了不定方程解的问题， 作者指出：“如所得之方程式多余未知之各数者，则大约为无解法之题”。第八十 四款将是1 6 道一次方程式的应用题目，而且都是可以解决的，主要是通过所列 举的题目以验证以上几款中所讨论的有关事宜。 第九卷论二次之正杂各方式解法 正杂各方式即正方式与杂方式，二次正方式是通过化简之后方程式中只含有 二次项和常数项的一元二次方程式，其形为：天二= 六四，甲天二上乙= 丙；( 用 现代代数形式表示即x2 = 6 4 ，a x2 + b = c ) ，二次杂方式是通过化简之后既有二次项、 一次项、还有常数项的一元二次方程式，其形为：天二上二天= 二八( 用现代代 数形式表示即x2 + 2 x = 2 8 ) 第八十六款和八十七款是关于二次正方式的求解，实 质上也就是求某数平方根的问题，与此同时，作者还特别说明负数没有平方根， 原因是“无一个实在之数自乘而能为负数 ，这与2 3 卷中关于虚根的判别都是属 2 l 于虚数一类的概念，第八十八款对化简后的二次杂方式进行了归类，其形式有如 下三种：天二上已天= 午；天二t 已天= 午；天二t 已天书；还提到用配方法解 二次杂方式。 第十卷论各次式之总理( 对各次的方程式进行论述) 该卷没有接着上卷去讨论三次式的解法，而是先对所有的方程式进行了一般 的论述，总结出了高次方程式可以看作是由数个一次以及二次的方程式相乘而来 的实质，在下一卷开始对三次及其三次以上的方程式展开讨论。先是举了一例来 说明： x 4 + a x3 + b x2 + c x + d = o 因为“无论何次之式，若以甲代其根，而变之必能以( 天t 甲) 度之”，所 以，这个方程式虽然从形式上看比较复杂，其实际，它可以分解成几个比较简单 的一次或者二次之式，然后再去解决。照此之说，“无论若干次之式俱可以同例 推之 同时，在九十九款中还介绍了方程根的个数与最大方指数是相等的。 第一百款讨论了方程式的各项系数与根的关系，当把方程式看作是由( 天t 甲) ，( 天t 乙) ，( 天t 丙) 等等相乘之积时，道理也即明了，此款给出了判定定 理，总共有三例 一例无论何次之式，其第二项之倍数若反其号，必等于各根之和数。 二例无论何次之式，其第三项之倍数必等于各根两两互乘之和积。 三例无论何次之式，其第四项之倍数反其号必等于各三根连乘之和积，四 项以下照次类推，而其末项必等于各根反号连乘之积。 第一百零二款就方程式的形式与根的正负号之间的关系进行了讨论。该款认 为，无论多少次的方程式，如果其根都为正数，那么它都是由相应个一次式的乘 积而得的，而且为( 天下甲) ( 天t 乙) ( 天t 丙) 的形式，而其根都为负数 时，那么它也是由相应个一次式的乘积而得的，但形式为( 天上甲) ( 天上乙) ( 天上丙) 。这样，再根据第一百款的理论，以三次式为例，即有： 天三t 巳天二上午天t 未= 0 x3 一a x2 + b x c = 0 把此式化成( 天t 甲) ( 天t 乙) ( 天t 丙) = 0 先化成( x x 1 ) ( x x2 ) ( x x3 ) = o 巳= 甲l 乙上丙： 午= 甲乙上甲丙上乙丙 未= 甲乙丙 a 2 x l + x2 + x3 b 2 x l x2 + x l x3 + x2x 3 c 2 x l x2x3 第一百零三款将根扩展为实数而不仅仅是正数或者负数，并且讨论其根的正 负个数，以每项系数变号次数确定正根的个数，则负根的个数也随之确定，这种 判别方法相当于用笛卡儿符号法判别根的正根个数。 第一百零四款说明各项的倍数是由方程式的根所决定的，如果方程式的根为 实数，那么其各项的系数也为实数，而如果各项的系数为实数时，那么其根有成 为虚数的可能，这也是以上各卷所讨论的方程式根与系数关系的衍生，在第一百 零五款则进一步讨论了方程式根的情况，总共有三例，一，凡各次式虚根的个数 为偶数；二，凡奇次之式其各根中至少必有一个根为实数；三，凡偶次之式，如 果有一个根为实数，那么一定还有奇数个实数根，即其有偶数个实数根 在以下的各款中所介绍的主要是“化二项为零”，第一百零九款则迸一步总 结了化第二项为零的方法，在此不做详细介绍。而第一百一十二款是介绍解方程 的另外一种解法，即把首项的系数化为1 ，并给出了公法，这样，各种方程式就 有了一个普遍适用的解法。 第十一卷论三次之正杂各方式之解法( 三次方程式的解法) 第一百一十三款是关于三次正方式( 完全立方式) 的解法，随后是三次杂方 式的解法。第一百一十四款中所举的例子与上卷中所介绍的完全一致；第一百一 十五款是对上款中所求剩余两解进行求解，所用之法为“卡但之法”，紧接下一 款以解“天三上三天二上九天t 一三= = 0 ”来说明此法；第一百一十七到卷木是 讨论在解决上述方程时所遇见的根的存在性以及其方程是否可解的问题，其中还 提到：“凡遇三次之式，如其各根俱为实数者，名之日不能化之式” 第十二卷论四次式之解法( 四次方程式的解法) 本卷首款是关于四次j 下方式的解法，其后的四次式难度依次增加，有只缺三 次项的，还有每一项都存在的四次杂方式，第一百二十四款介绍了用“尤拉所设 之法”解答四次杂方式，它的实质仍然是先“化二项为零”，从一百二十六款以 后是讨论四次式方程有关根的形式与个数问题，其中谈到了虚根的情形，第一百 二十九款对方程的解法作了总结， “以上各卷论，三次四次之诸式求根之各法大抵已明，五次及五次以上 之式无人能思得一通法，若平心而论，则前所言解三次之法亦不能为公用之 法凡三次四次以及多次之式，即使能有通法其法必甚繁重，不能便于常用， 反不及以下所论之法，虽枝枝节节，而为之然，恒可用也。 第十三卷论等职各次式之解法( 可以化为简单次数式的四次以上的高次方程的 解法) 本卷开始先说明等职各次之式为“若其各项中未知数之倍数，距首末两项相 等之项中数皆相等者，此种方程式有两种，其一为未知数的最高次数为偶数， 其二为未知数的最高次数为奇数。第一百三十一款为第一种类型的方程式，其变 换过程介绍如下： 代数术中的表示现在的表示 四上巳天三上午天二上巳天上一= o ， x4 + a x3 + b x2 + a x + 1 = o 以天二约之，则得： 用x2 约之，可以得： 天二上茎上巳( 天上丕) 上午：o 。 xz + 三+ a ( x + ! ) + b ：o x x 再令x + ! ：y 则有： 又令其：天上丕：人，则得： xz + 2 + 占：y z x 矣二上二上茎：人二 而x 2 + 当= y 2 2 ，则原式可变为： 而天二上至：人二t | 二：o ，如此则原式为：人二 y2 + a y + b 一2 = 0 上巳人上午t 二= 0 又因x + ! ：y 所以有： 义因天上丕：人，所以天二t 人天上一：o 由此x2 一y x + b x2 + a x + l = 0 。 由此则将原方程式转化为求解二元二 而天叫上巳天三上午天二：上u 天上一= o 之根可用 次方程组的问题了 下法求之 第一百三十三款也是指数为偶数的方程式的解法，其指数最高为6 ，此方程 2 4 此只作简略提示。 第十六卷论求略近之根数( 求略近之根) 本卷首先介绍了判断近似解的两个方法，其一为如果把几个整数或者分数代 入所求方程式中，所得的结果符号相反，那么原方程式的解必然有一个根介于这 两个数之间；其二为如果有一数为任何次式最大负号的倍数，而且从第二项起， 每间隔一项正负号改变一次，而设另外一个数为改号之后所有的最大负号的倍 数，那么原方程式的正根必然在零与改号前的负号最大倍数与一的和之间，而负 根在零与改号后负号最大倍数与一和的相反数之间。随后各款则是这两种方法的 应用，在第一百五十六款中谈到，以上所用的方法为“迭代法刀，并说明这种方 法为奈端所设，其后又有拉果阑等更灵便的方法解决此类方程式，而且用了拉果 阑方法进行了重新的审断，具体的过程笔者不一一详细介绍，需要指出的是，此 款中对解决这种方程式的历史给予了总结，这也是整本代数术的一个显明特 点，即里边涉及了好多数学史的知识。 第十七卷论无穷之级数( 幂级数展开式) 本卷介绍了三类无穷级数所对应的展开式的三种方法，笔者在此仅以第一法 为例给出介绍，第一法，“若有一实分数之式则可以平常之代数除法化之为级数 代数术中的表示 现在的表示 一式有鬻欲化之为无穷嬲愀约之 把旦化为无穷级数 口一z 用a x 去除以a + x ，结果便得到 田丢、田丢f 丢上甲- 甲一甲2 n xx 2x 3x 4 甲t 天甲天 一 天上美二美三。美四 口一j + 了+ 口+ 7 以一口。 里云丞三 上天二 玉二工兰 一大一 上三 天2 上甲 甲二 茎2 2 6 分别为“简利息法”和“繁利息法 ，前一种是按照利息与本金的比例进行计算， 而后一种则是“将其所得之利添入本金之内进行计算，第一百八十款给出了计 算利息的四个参数，即本金、利钱、时间、本利总数，并指出这四个参数恒以“巳 、 “未”、“酉 、“甲”来代替；此后各款给出了每种利息的计算方法，以及相应的 应用题目，其中的一款是“分年收利法 ，这属于“繁利息 法的一种，而“繁 利息法的计算需要通过对数的运算来求得，最后一款中谈到了“保险之事 ， 但由于“算理极深，在本书中并未过于详细的讨论。 第二十卷论连分数( 连分数) 本卷主要是利用分数与连分数之间的相互转化关系求解一些常用问题。所依 据的是“凡数之可以平常之分数明之者，亦能以连分数明之。第一百八十八款 中就是关于常分数与连分数的互化，第一百九十款谈到了“循环连分数”，而第 一百九十一款则是将无理数化为连分数。 第二十一卷论未定之相等式( 不定方程式的解法) 在本卷的首款中给出了不定方程式的概念为“凡所设之题界限若不完全，则 所得之若干方程必少于若干未知之数，而其题能有多数可解之，所以此种之式名 日未定之式 ，并举例给以简单说明，如“已知两数之和为十，欲求其两数若干”； 第一百九十三款指出不定方程的命名是以其方数为依据的，而且“凡无定之一次 式恒能变其形如甲天上乙地= = 丙”，此后各款基本是关于不定方程方面的题目， 这些题目大致在现今的数论课程中都能够出现，其中第二百款中的某一题目为： “天一上地一= 甲一 ( ) ( 2 + y2 = a2 ) 。 第二十二卷论用代数以解几何之题( 解析几何部分) 本卷以平面几何与解析几何的数学内容为主。卷中第一款论述了用代数方法 解几何题目的方便之处，并给出了。四则”，“四则”分别指出了解决各类几何图 形题目时所选择的最优代数方法：而在随后的第二百零二款举例说明了“四则 ， 有很多的题目，其中，第五题为： “设有三角形，已知其底边，又知其项角及夹顶角两边之和，求其两边” 该题目所利用的方法是余弦定理：a2 + b2 2 a b c o s c = c 。 第七题为：“设有三角形，其三边俱为已知之数，欲求其面积一 此题就是数学中的秦九韶一海伦公式 第二百零三款是对上款的说明，该款指出，“无论何种几何之题，皆可变为 方程式所以任何种几何之题皆可以代数解之，还总结出用代数方法解几何 题所能得到的三种方程式不外是： 天( 天上甲) = 乙丙；天( 天t 甲) = 乙丙；天( 甲t 天) = 乙丙 最后说明“凡解几何之题而得三次四次之方程式者可用任两个圆锥之剖面曲 线明之，故可见，凡必用两个圆锥之剖面以解其题者，则知此种之题，若以代数 之法解之，必得三次或四次之方程式 。这是反映了解析几何中曲线和平面对应 原理。 第二十三卷论方