（基础数学专业论文）高阶微分系统边值问题正解的存在性.pdf

山东师范大学硕士学位论文 高阶微分系统边值问题正解的存在性 刘彩 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多 科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐产 生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、 变分方法等这些方法成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有 成效的理论工具 本文主要利用锥理论，不动点指数和上下解方法在b a n a c h 空间中研究非线性 微分系统边值问题正解的存在性有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在 性和唯一性在二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究( 如文【2 】，【4 】，【1 5 一【17 】) 在 此基础上，本文更进一步研究了微分方程组边值问题正解的存在性 第一章讨论了下列住阶非线性常微分方程组边值问题 l - u ( n ) ( 亡) = s ( t ， ( t ) ) ，t 【0 1 】； l - - v ( n ) ( 亡) = g ( t ，u ( 亡) ) ，t 【0 ，l 】； 。 1u 型= 0 ，劬) = 0 ； l 口【剐( 0 ) = 0 ，v ( 1 ) = 0 ，k = 0 ，1 ，2 ，n 一2 ， 多个正解的存在性，其中，g c 【o ，1 】r + ，r + 】，g ( t ，0 ) = 0 ，r + = 0 ，+ 。) 文【5 】5 和【1 1 】- f 1 4 】考虑了二阶耦合系统解的存在性，文 6 和【7 】又分别考虑了三阶和四阶 耦合系统解的存在性本章在此基础上，受文 2 】2 的启发，进行了推广，考虑了如上 扎阶非线性常微分方程组边值问题对于这个问题的研究，据我们所知至今还没有 相关文献本章利用范数形式的锥拉伸和锥压缩不动点定理，在适当的条件下，分 别得到了至少一个正解( 见定理1 2 1 和定理1 2 2 ) 和至少两个正解( 见定理1 2 3 ) 的存在性结果 第二章讨论了微分系统奇异半正三阶三点边值问题 巨蒸 ( 0 ， ( 0 ， 主建 多个正解的存在性，其中入r + = 【0 ，+ o 。) ，c 【( o ，1 ) ( 0 ，+ o o ) r + ，捌，9 山东师范大学硕士学位论文 c 【( o ，1 ) 冗+ ( 0 ，+ o 。) ，捌文【1 9 】- 【2 2 】讨论了奇异微分系统边值问题正解的存在 性，文 2 3 】讨论的是奇异半正微分系统边值问题至少一个正解的存在性在此基础 上，本章考虑了如上奇异半正微分系统边值问题利用不动点指数，得到了至少两 个正解( 见定理2 2 1 和定理2 2 2 ) 的存在性结果，并举例说明了其条件的合理性 第三章讨论了四阶奇异微分系统边值问题 ， 一 jz ：q ) = 五( ，z 1 ( t ) ，z 2 ( 亡) ，- - x ；( 亡) ，- - x ；( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ； iz i ( o ) = 兢( 1 ) = 0 ，x ：( 0 ) = x ：( 1 ) = 0 ， t = 1 ，2 ， 解的存在性，其中五( t ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ) ( i = 1 ，2 ) 可能在t = 0 ，t = 1 ，x l = 0 ，x 2 = 0 ，z 3 = 0 和x 4 = 0 处奇异目前很多学者考虑的奇异问题一般都是在t = 0 和t = 1 奇异( 如文【1 】， 3 ， 1 1 1 ， 2 0 ，【2 2 1 ) 文 4 】， 1 9 】和 2 2 】- 【2 8 】考虑的问题中，- f ( t ，z 1 ，x 2 ) 不仅在t = 0 和t = 1 奇异，而且在z 1 = 0 或z 2 = 0 奇异文【2 9 】考虑的问题 是f ( t ，z 1 ，x 2 ，z 3 ) 在t = 0 ，t = 1 ，z 1 = 0 ，z 2 = 0 和x 3 = 0 处奇异， g ( t ，x l ，z 2 ) 在 t = 0 ，t = 1 ，z l = 0 和x 2 = 0 处奇异本章在此基础上进行了推广，考虑了如上奇 异边值问题解的存在性对于此类奇异的问题，到目前为止还没有见到相关文献进 行研究本章在文 2 4 】- 【2 9 的启发下，利用上下解方法和比较结果，在适当的条件 下，得到了c 2 【o ，1 】正解( 见定理3 2 1 ) 和c 3 【o ，1 】正解( 见定理3 2 2 ) 存在性的充要 条件，并举例说明了其条件的合理性 关键词：锥；微分系统；边值问题；正解 分类号： 0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fh i g h - o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m l i uc a i i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nl a s t t h i r t yy e a r s ，m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，s y b e r n e t i c sa n ds oo n w i t hs o l v i n gt h e s ep r o b l e m s ，m a n yi m p o r t a n tm e t h o d sa n dt h e o r ys u c ha sp a r t i a lo r d e m i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d ，a n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o dh a v eb e e nd e v e l o p e d g r a d u a l l y t h e yb e c o m ev e r ye f f e c t i v et h e o r e t i c a lt o o l st os o l v em a n yn o n l i n e a rp r o b l e m s i nt h ef i e l d so ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fh i g h - o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e mb yu s i n gt h et h e o r yo fc o n e ，t h ef i x e dp o i n t i n d e xt h e o r e m sa n dt h em e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nc o n s i d e r e de x t e n s i v e l ys i n c e t w e n t yy e a r sa g o h e r ew ed i s c u s ss u c hp r o b l e m so nd i f f e r e n t i a ls y s t e m c h a p t e r1i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s r i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rh i g h o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m w h e r e ，g c 【 o ，1 】r + ，r + 】，g ( t ，0 ) = 0 ，r + = 【0 ，+ o 。) p a p e r s 【5 】a n d 【1 1 一 1 4 】 c o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rc o u p l e ds y s t e m ，p a p e r s 6 】a n d 7 】 c o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h i r d o r d e ro rf o u r t h o r d e rc o u p l e ds y s t e m o n t h eb a s eo ft h e s ep a p e r sa n dt h ep a p e r 【2 】，t h i sc h a p t e ri m p r o v e st h e i rr e s u l t s a sf a ra s w ek n o w ，t h e r ei sn op a p e rt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rc o u p l e ds y s t e m a st h i sp a p e rd o e s t h em a i nt o o lu s e dh e r ei st h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o n a n dc o m p r e s s i o n t h er e s u l tw eg e ti st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n s c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h i r d o r d e rt h r e ep o i n t 3 叫蚝 枉 坳砒地n 绯i l 一一 胞柑州州 = = 加 o 小班= j i 动 一 一0 山东师范大学硕士学位论文 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs i n g u l a rs e m i p o s i t o n ed i f f e r e n t i a ls y s t e m fz ”( ) = a ，( t ，z ( t ) ，秒( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ； j 7 ”( t ) = a g ( t ，z ( 亡) ，夕( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ； lz ( o ) = z ( 叩) = z ”( 1 ) = o ； l ( o ) = 可7 ( 叩) = 秒”( 1 ) = 0 ，7 7 ( 砉，1 ) ， w h e r ea r + = 【0 ，+ o 。) ，c ( o ，1 ) x ( 0 ，+ 。) xr + ，捌，g c ( o ，1 ) xr + ( 0 ，+ o 。) ，捌【19 】- 2 2 】c o n s i d e r e dp o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r d i f f e r e n t i a ls y s t e m ， 2 3 c o n s i d e r e dp o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rs e m i p o s i t o n eb o u n d a r y v a l u ep r o b ! e m s u s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e x ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n s f i n a l l y , a ne x a m p l ei sw o r k e do u tt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o n s c h a p t e r3i n v e s t i g a t e sp o s i t i v es o l u t i o n sf o rf o r t h o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fd i f f e r e n t i a ls y s t e m j 4 ( t ) = ( t ，。1 ( 亡) ，z 2 ( 亡) ，一z ：( 亡) ，一z ：( 亡) ) ，t ( o ，1 ) ； 【z t ( o ) = z i ( 1 ) = 0 ，z ? ( o ) = x i ( 1 ) = 0 ， i = 1 ，2 ， w h e r e 五( 亡，z 1 ，x 2 ，黝，x 4 ) 0 = 1 ，2 ) m a yb e s i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ，z 1 = 0 ，x 2 = 0 ，z 3 = 0 ，a n dx 4 = 0 a sw ek n o w ，s i n g u l a rb o u n d g tv a l u ep r o b l e m sw e r ec o n s i d e r e dm a n y y e a r sa g o ，s u c ha s 1 】，【3 】- 【4 】， 1 9 】- 【2 0 】a n d 【2 2 - 【2 8 】t h en o n l i n e a rt e r mi nt h e s ep a p e r s m a yb es i n g u l a ra tt = 0a n dt = 1 i n 【2 0 ，f ( t ，x l ，x 2 ，x 3 ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ，x l = 0 ，x 2 = 0a n dz 3 = 0 ，g ( t ，x l ，x 2 ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1 ，x l = 0 a n dx 2 = 0 o nt h eb a s i so ft h ep a p e r s 【2 4 】- 2 9 】，w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v e s o l u t i o n s ，b yu s i n gt h em e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa n dt h ec o m p a r i s o nr e s u l t a tl a s t ，a ne x a m p l ei sw o r k e do u tt os h o wt h ec o n d i t i o n sa r es u i t a b l e k e yw o r d s ：c o n e ；d i f f e r e n t i a ls y s t e m ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v e s o l u t i o n c l a s s i f i c a t i o n ：0 17 5 8 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 妄，1 霁：| l j 导师签字： 功临7 - 耽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留和使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授 权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名： 蠢陶 导师签字： 签字日期：2 0 0 9 年钼2 日 签字日期：耋j 融 山东师范大学硕士学位论文 第一章一类乱阶非线性常微分方程组边值问题正解的存在性 1 1引言及预备知识 隧爨 【0 【0 = 0 ( 1 1 1 ) 2 卜，铭一2 ， 其中，g c l i o ，1 】r + ，r + 】，g ( t ，0 ) = 0 ，r + = 【0 ，+ o 。) 近年来，单个方程边值问题的研究，结果比较丰富对二一四阶非线性常微分 方程组边值问题也有很多研究，如文【5 】一 7 】，【1 1 一【1 4 】在文【5 】中，l h u 和l w a n g 考虑了二阶耦合微分系统边值问题 l 一乱”= ，( t ，钐) ； j _ 锄= g ( t ，u ) ； ia u ( o ) 一3 u ，( 0 ) = 0 ， r u ( 1 ) + 5 u ”) = o ； ia v ( o ) 一触，( 0 ) = 0 ，7 口( 1 ) + 6 v ，( 1 ) = 0 ， 得到了多个正解的存在性结果在文 6 】中，胡玲和王良龙考虑了几类三阶常微分 方程组 l - 让= m ，口) ， i - u ”= g ( t ，u ) 在六种类型边值条件下正解的存在性本章在此基础上，又受文【2 】的启发，进行 了推广，考虑了边值问题( 1 1 1 ) 为了后面的应用，列出下列引理： 弓l 理1 1 1 【2 】设g ( t ，8 ) 为方程 掣哟 ) = 0 ， t 【o 1 】 的 l 钆( 七) ( o ) = 0 ，札( 1 ) = 0 ，k = 0 ，1 ，2 ，佗一2 g r e e n 函数，则有 ( i ) 对k ( t ，s ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，有a ( t ，s ) o ； ( i i ) 对v t 【0 ，1 】，有g ( t ，s ) g p ( s ) ，s ) ； ( i i i ) 对v t 【互1 ，虿3 】，有g ( 舢) 击g ( 盯( s ) ，s ) ； 5 山东师范大学硕士学位论文 其中盯( s ) 【0 ，1 】满足 g ( 口( s ) ，s ) = s u pc ( t ，s ) ，s 【0 ，1 】 t e o ，1 】 显然( 仳，u ) c n 【o ，1 】xc n f o ，1 】为( 1 1 1 ) 的解等价于( u ， ) c o ，1 】xc o ，1 】为 下列非线性积分方程组的解 协怒竺茄 抛， u ( 右) = c ( t ，s ) ，( s ，g ( s ，r ) 夕( 7 - ，u ( t ) ) d r ) d s 令e = c o ，1 】，对v 乱e ，令i iu1 1 2t m 【o ，1 a x 】l 乱( 右) i ，则( e ，i i i i ) 为实b 口佗。c 九空 p = 乱e ：u ( 右) o , v t e 【0 ，1 】；蚓m 矧i n u ( 亡) 南i iu i i b = u p ：i i i i r ) ，a 耳= u p ：i i 牡i i = r ) a u ( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，g ( s ，7 - ) 9 ( 7 - ，u ( r ) ) d r ) d s ( 1 1 3 ) j 0j 0 i i a 训i g ( 盯( s ) ，s ) y ( s ，g ( s ，7 - ) 夕( 7 一，u ( t ) ) d t ) d s ，0，o 同时由引理1 1 1 有 蛳r a i n 詈】a u ( t ) - 吣r a i n “g ( 抽) m ，j o g ( ) 夕( r ，让( 7 - ) ) 打) 如 而1 f 0 1g ( 仃( s ) ，s ) 帅，1g ( s ，丁) 妣u ( r ) ) 打) d s 6 山东师范大学硕士学位论文 引理1 1 3 1 3 0 设( e ，i i 1 1 ) 为b a n a c h 空间，p 为e 中锥，设q 1 ，q 2 为e 中 开集，且0 q l ，面cq 2 若a ：pn ( 砸q 1 ) 一p 为全连续算子，且满足 ( i ) l i a u l i i i = 1 1 ，u 尸na 1 2 1 ；i i a u l l i i = 1 1 ，u pna q 2 ； 或( i i ) f i a u l l i i = 1 1 ，乱pna q l ；i i a u lj i i = 1 1 ，u pn0 2 2 ； 则a 在尸n ( 蕊q 1 ) 上至少有一个不动点 引理1 1 4 n 设，i i 1 1 ) 为b a n a c h 空间，p 为e 中锥，设q 1 ，q 2 和q 3 为 e 中的开集，且0 q 1 ，面cq 2 ，面cq 3 若a ：pn ( 两q 1 ) 一p 为全连续算 子，且满足 i i a u l l i i = 1 1 ，v u p n a q l ； i i a u l l 1 1 = 1 1 ，a u u ，v u pna q 2 ； i i a u l l i i = 1 1 ，v u pna q 3 ， 则a 在尸n ( 面q 1 ) 上至少有两个不动点u 1 和u 2 ，且u l pn ( n 2 r h ) ，让2 p n ( q 3 q 2 ) 1 2 正解的存在性 为方便起见，令 - b = ( fg ( 口( s ) ，s ) 如) 一，d ：矿一1 ( ：g ( 盯( s ) ，s ) d s ) ， ，o ，专 严恕s u p 川掣， 肛l i ms up-100teou - - - * 0 t 6 o 捌掣， t ，1 】 乱 ，l 】 t 正 厶= 撬。畿掣，s o = l i m 。赫掣， 且由f 0 。，f o ，l o ，f o 可类似定义g ，g o ，g o o ，g o 下面给出假设： ( a 1 ) 0 ，o 。 b ，0 g o o b ( a 2 ) c s o 0 0 ，4 - - 1 c 9 0 。 ( a 3 ) 0 ，o b ，0 g o b ( a 4 ) 2 2 n - 1 ( ：4g ( 去，s ) d s ) 一1 。k o o ，c 0 ，使得 ，( s ，g ( 盯( 丁) ，7 - ) 9 ( 7 - ，m ) d r ) 0 ，0 m b ，0 0 ，使得对v ( t ，u ) 0 ，1 】【0 ，纠，有 f ( t ，u ) k ，g ( t ，u ) k 故对v ( t ，钍) f 0 ，1 】冗+ ，有 f ( t ，u ) m u + k ，g ( t ，心) 眦+ k 令 r = k ( b + m ) ( 召2 一m 佗) 一1 + 1 ，1 2 1 = 钆e ：i l 训f r - 当i t pno f t l 时，有 ，上，上 i l a u 0 = i l g ( t ，s ) f ( s ，g ( s ，丁) 夕( 丁，让( r ) ) 打) 酬 ，3 qj 0 j io ，s ) ( m z lg ( s ，丁) 咖，u ( 州打+ 砌s i l ，上，工 g(矿(s)，s)dsg(盯(丁)，7)(竹u(7)+七)dr00 + r ) j j b 一1 ( 凳+ m b 一1 ( 凳+ 死| t 正f 1 ) ) | f 锃f f 即当乱pna q l 时，有 0 a u 0 | ( 1 2 i ) 由( a 2 ) 知，存在充分小的r ( o 铲一1 g 使得对v ( t ，心) 【0 ，i 】x 【0 ，r 】，有 f ( t ，缸) 口t ，g ( t ，u ) p u 由g ( t ，0 ) = 0 和g 的连续性可知，存在r 7 ( 0 ，) ，使得对v ( t ，让) o ，1 】 0 ，r 】， 有 g ( t ，乱) r b 由此当u a b 时，有 8 0 1g ( s ，丁) 9 ( 丁，乱( 丁) ) d - r 0 0 1g ( s ，丁) r b - 1 打r 7 r 山东师范大学硕士学位论文 再令q 2 = 乱e ：j 0 ，0 m 1 b ，o n 1 ac 1 0 ，c 2 0 ， 使得对v ( t ，u ) 【0 ，1 】r + ，有 f ( t ，乱) q 1 u c 1 ，g ( t ，让) 尻仳一c 2 a 乱( 三) = z 1g ( 三，s ) ，( s ，z 1g ( s ，r ) 9 ( r ，u ( 丁) ) 打) d s z 1g ( 扣bf 0 1c ( s ，咖( 丁，u ( r ) ) 打咱】d s z 1g ( _ i s l ) q tf 0 1c ( ) 胁嘶) 一c 2 d t d s 咱f og ( 去，州s z 1g ( 矿1 ) 仅- f 0 1o ( s ，丁) 厦乱( r ) d r d s c 4 狲，伽扣序s 一时脚s 一 觚石2g ( 扣出去石2 g 丁加4 i 而1 u 1 1 - c 4 ， 其中 铭= q z 1g ( 三，s ) 口，f 0 1o ( s ，丁) d t d s + qz 1g ( 互1 ，s ) 幽 ( c 2 a l b 一1 + c ) j 厂0 1g ( 丢，s ) d s = c 3 一1 + c 1 ) g ( 去，s ) d s = c 3 故 例扣咝4 n - 1z 署g ( 如妙训一q 咝4 n - 1 2g ( 扣s 一| i _ c 3 2 1 1 u 1 i c 3 取r l m a x c 3 ，三) ，令q 4 = 乱ee ：1 1 让1 1 r 1 故对vu p no g t 4 ，有 i i a u l l i m i ( 1 2 4 ) 则由引理1 1 2 ，引理1 1 3 和( 1 2 3 ) 及( 1 2 4 ) 式可知，a 在pr l ( 面q 3 ) 内至 少有一个不动点证毕 定理1 2 3 若条件f a ，1 f a 。1 和f a ；1 满足刚沩信问颢f 】1 1 、至右两个不 1 0 山东师范大学硕士学位论文 同的正解( 地，v i ) c n 【f o ，1 】，r + 】xc n 【o ，1 】，r + 】( z = 1 ，2 ) 证明令q 5 = 扣e ：l 必) ，由( a 5 ) 可知，对v 铭p n0 q 5 ，t 【0 ，1 】，有 ，1，1 a u ( t ) g ( t ，s ) y ( s ，g ( s ，7 ) 夕( 7 ，m ) d t ) d s j 0j 0 ，1 1，1 g ( t ，s ) y ( s ，g ( 伊( 丁) ，r ) 夕( r ，m ) d t ) d s j 0j 0 ，1 ，1 g ( 矿( s ) ，s ) y ( s ，g ( 盯( 7 ) ，7 - ) 9 ( 丁，m ) d r ) d s ， j 0 j 0 b 一1 m b ：m 故当铭pn 勰5 时，有 。 i a u l i l l u l l 。 ( 1 2 5 ) 由( a 2 ) ，( a 4 ) 可知，对充分小的r ( o 7 m ) ，使得 ( 1 2 2 ) 和( 1 2 4 ) 都成立 因此由引理1 1 2 ，引理1 1 4 ，( 1 2 2 ) ，( 1 2 4 ) 及( 1 2 5 ) 知，a 在pn ( 面两) 和 p f 3 ( q 5 q 2 ) 内分别有一个不动点证毕 1 3 应用 例1 3 1 取，( 亡，t ，) = 口主1 ，g ( t ，“) = 让互1 易知满足1 ) ，( a 2 ) 故由定理1 2 1 知，( 1 1 1 ) 至少有一个正解 例1 3 2 取，( 亡，秒) = 2 ，g ( t ，u ) = 乱2 易知满足( a 3 ) ，( a ) 故由定理1 2 2 知， ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 山东师范大学硕士学位论文 第二章微分系统奇异半正三阶三点边值问题正解的存在性 2 1 引言及预备知识 蒸鬃 ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ( 2 1 1 ) 其中入r + = 【0 ，+ 。) ，c ( o ，1 ) ( 0 ，+ o 。) r + ，r 】，g c ( o ，1 ) r + ( o ，+ 。) ，嗣 近年来，微分方程奇异边值问题的研究很多，并取得了丰富的成果，在数学和 物理学上的应用也日益广泛( 如文【1 5 - 【2 2 】) 而关于奇异半正微分方程边值问题正 解存在性的研究相对较少( 如文f 4 】，【2 3 - 【2 4 】) 在文【2 3 】中，x ux i a n 考虑了奇异半 正微分系统边值问题 iz ”( t ) + m ( t ，z ( t ) ，矽( t ) ) 1 10 ，0 t 1 ； ly ”( t ) - i - a 9 ( 亡，z ( t ) ，秒( 亡) ) = 0 ，0 t 1 ； lz ( o ) = 0 = z ( 1 ) 一a l x ( m ) ，0 优 1 ； ly ( o ) 1 10 = 暑，( 1 ) 一7 q 2 ( 7 7 2 ) ，0 0 ，则 i ( a ，pnq ，p ) = 0 引理2 1 2 n 若 c 【( o ，+ o 。) ，r + 】，则存在一个不减函数h c r + ，r + 】，使得 当z 0 时，有九( z ) 0 ，且秒( z ) 危( z ) c r + ，r + 】( 即l i m 。御( z ) 九( z ) 存在) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 2 2 正解的存在性 ( h 1 ) 存在尬，尬 0 ，使得对v ( t ，z ，妙) ( 0 ，1 ) ( o ，+ c o ) xr + ，有 0 且以+ ，( ，z ，y ) s 口1 ) b 1 0 ) c 1 ) ； 对v ( t ，z ，y ) ( 0 ，1 ) x 兄+ x ( 0 ，+ 。) ，有 0 + 9 ，z ，y ) 0 2 ( 亡) 6 2 ( z ) c 2 ( 秒) ， 其中 口l ，a 2 c 【( o ，1 ) ，( o ，+ ) 】，c l ，b 2 c 【r + ，r + 】，b l ，c 2 c ( o ，+ o 。) ，r + 】， j ( o r l8 a l ( s ) d s + z 1 口，( s p s 0 ，使得 l 矗丛型a 关于t 【q l ，风】，z 之。一致成立； v + o o y l h u 掣：+ 。关于t 口1 ，臃】，o 一致成立 z - - + o oz ( 风) 存在 q 2 ，忍】c ( 0 ，1 ) ，当t 陋2 ，仍】时，有 。j 。i m 。+ l ( t ，z ，秒) = + o 。，掣l 。i m u + g ( t , x , 矽) = + 。 2 川吣印为爿：。，墨笔i 掏g r e e n c ( t ，s ) = 0 s r ，0 t s ； 0 s r ，0 ss 孟； r s 1 ，0 t s ； + 啦，7 s l ，0 sst 1 3 产 产 拈 1 2 1 2 一 一 2 ， 一 2 纽。尹啦，矿 山东师范大学硕士学位论文 且满足如f 性庾： c 1 ，j c s ，：= 置躏g c 亡，s ，= i i s l 三三二茎i ( 2 jg ( t ，s ) g ( 功j ( “其中口( 句= 2 碱啦- t 2 , 三茎：茎：且g ( d 是【0 1 】上一个 非负凹函数 ，】， ( 3 ) 妒( 亡) ：2 上a ( t ，s ) d s2 鲁t 3 3 t 2 + ( 6 叩一3 叩2 ) 司，且l l , p l l 。t m e o a x , z 妒( t ) = 去( 3 叼2 2 r 3 ) ( 4 ) 对vt 。，1 】，有妒( t ) sk g ( t ) ，其中k = m a x 1 ，玩) ，玩= 1 6 r 面- - 再3 7 7 1 2 - - 厂2 令e = c o ，1 】c o ，1 】，对v ( z ，y ) e ，i i ( x ，耖) i l = m a x l l x l l ，l i 耖l i ) ，其中i l z i | = t m 【o 1 a x 】i x ( 亡) i ，i t y l l2 蚝m l o ，l a x j l y ( t ) l ，易证陋，1 1 ( ，) 1 1 ) 为b 。佗口c 危空间 为克服奇异性带来的困难，考虑如下近似问题： ，矽x，。(亡t，)：=入a鲰a。(t，,zx。(tt，)一-枞cx(t，)+荔1-，,秒y。(tt，)二乏暑：妻；：三三暑j；。221， 。 lz ( o ) = z ( 叩) = z “( 1 ) = o ； 1 1 秒( o ) = 秒( 们= ”( 1 ) = o ， 叩( 吉，1 ) ， 其中佗为正整数，机( 亡) = 入m 妒( 亡) ，矾( 亡) = a 尬妒( t ) ， 厶( t ，t 正+ 熹，瓦+ 元1 ) = ， ，o ) + 元1 ，+元1f(t m a x um a x 面, 0) + 舰， 厶( t ，t 正+ 寺，瓦+ 元) = ， ，o ) + 元， + 元) + 舰， 鲰 ，让+ 元1 ，面+ 寺) 2 夕 ，m a x u ，o ) + 元1 ，m a x 面，o ) + 去) + 尬 1 1 1 p = ( z ，y ) e ：x ( t ) q ( t ) l l x l l ，秒( t ) q ( t ) l l y l l ，vt 【0 ，1 】) ， b = ( z ，y ) p ：i i ( x ，可) l | 0 ，由( h 2 ) 知，存在爿 0 ，使得 s ( t ，正，可) l y ，vt 【q 1 ，风】，z 0 ，y r ，； 夕( ，可) 三凹，vt 岛】，z r ，o 取 夏m a x 2 r ( t 耘】g ( 孟) ) ，2 k 尬，2 k j ) ， 则对v 入【0 ，1 】，n n ，t 陋1 ，历】，( z ，y ) p ，当恻l 夏时，有 z ( 舌) 一以( t ) + 寺z ) 一枞( 亡) z ( t ) 一久尬妒( 舌) 茁( t ) 一饥泸( t ) 。( t ) 一m 1 9 q ( t ) ( 1 一学川毛1 邢) 去g ( t ) 爿 同理当i l y l l 夏时，有 删一矾( t ) + 元1 则一瓦( t ) 删一入尥州 u ( t ) 一妒( 亡) u ( t ) 一m 2 k q ( t ) ( 1 二警m 舵别1 去g ( 亡) 硝 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 敢叉寸va 【0 ，1 】，佗n ，( z ，y ) p 1 1 秒l i r 日寸，有 i i a n ( x ，秒) i l a l ( z ，矽) ( 7 7 ) ，i 上11 =g()【，(smaxx(0 s ) 一纵( s ) ，o ，+ 去，3 ，( s ) 一孤( s ) + 去) + 尬】d s j h ，p 111 厶，g ( 露，s ) ，( s ，m a x z ( s ) 一以( s ) ，o ) + 去，( s ) 一孤( s ) + 去) 如 - ，口1 。 一 l g ( ? 7 ，s ) ( s ) 一九( s ) + n 1 ) d s j q l 一一 妻厂仇g ( o , s ) g ( s ) 蛐j f 即 监掣一l厂凤g(o,s)g(s)ds1ly l i 。2 q ， 用r 广一 则由l 的任意性可知，( 2 2 2 ) 式成立 对v 入 0 ，1 】，礼n ，( z ，y ) p i | z 0 页时，有 i i a 魏( z ，y ) l i a k ( z ，可) ( 叩) = z 1 g ( 露，s ) b ( s ，。( s ) 一枞( s ) + 元1 ，m a x y ( s ) 一孤( s ) ，。卜卜元1 ) + m 2 d s e 1g ( ) 如，m ) 一以( s ) + 元1 , m a x y ( s ) 一瓦( s ) ，。) + 去) d s 兰e 1 ( s