（通信与信息系统专业论文）脊波变换检测径向道去除叠前地震资料中的线性干扰.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 地震资料的去噪是地震资料处理过程一个非常重要的环节，特别是叠前地震资料 的处理，由于叠前资料是单炮记录，所受干扰十分严重，包括规则干扰和不规则干扰， 而不规则干扰处理的方法很多，也很成熟，而对于规则干扰去除，处理的难度比较大， 本文主要是针对规则干扰中的线性干扰，用脊波变换的方法检测然后在径向道域中去 除，传统的径向道域去除线性干扰由于在径向道插值中会损失部分数据，而在径向道 预测的方法中，难以精确的确定径向道的方向。所以本文以脊波变换精确检测直线的 思想，在地震资料中检测线性干扰，然后利用径向道预测技术来去之。 论文的第二章简单的介绍了脊波的发展及其理论以及脊波的研究现状。 第三章主要针对含有线性干扰的地震图像利用脊波变换的方法检测。首先提出了 用脊波变换检测普通图像中直线段遇到的问题，因为脊波在定位线段的方向和位置时 表现出较好的效果，但是对于长度很难确定，所以，本文采用了图像分块然后对每子 块做脊波变换的思想较精确的检测出线段的长度，在实际地震资料线性干扰检测中， 由于线性干扰不是传统意义上的“直线”，它是由多条斜率相近的“直线或者“曲 线 组成，分块处理的思想不仅可以确定线性干扰的长度，而且可以把检测线性干扰 的变为检测线性干扰区域，从而避免这个问题。 第四章主要介绍了径向道变换的理论算法，利用第三章得到的检测结果，将线性 干扰区域做径向道变换，由于在变换过程中的时候由于会遇到非整点采样，此时必然 用到插值技术，但是插值技术会带来地震数据丢失会导致处理效果不理想，因此本文 放弃了对地震数据直接坐径向道变换，而采用了径向道预测技术。在局部区域，沿相 干干扰方向，各道之间相干干扰的能量大致相同，由于在该方向上相干噪声和实际信 号的迭合，使得各道之间能量产生差异，而这些差异主要来自有效信号，若把该方向 上相干干扰看成随机信号，则沿该方向传播的信号均值为零，利用此点，可以求出某 方向上线性干扰的均值，再用原始记录减去之，可以得到有效信号。文中利用此方法 得到了较满意的去噪效果，并在实际的地震资料中得到了进一步的验证。 关键字：地震去噪；脊波变换；线性干扰检测；径向道变换：线性干扰去除 西南交通大学硕士研究生学位论文第1i 页 a b s t r a c t d e n o i s i n go fs d s m i cd a t a , e s p e c i a l l yp r e s t a c ks e i s m i cd a t a , i sac r i t i c a lp a r to fs e i s m i c d a t ai n t e r p o l a t i o n ，f o ri ti sas i n g l e - s h o tr e c o r dw h i c hw i l le a s i l ys u f f e rr e g u l a ra n di r r e g u l a r i n t e r f e r e n c e t h e r ea r em a n ym a t u r ew a y st od e a lw i t hi r r e g u l a ri n t e r f e r e n c e ；h o w e v e r , i ti s r e l a t i v e l yd i f f i c u l tt or e m o v er e g u l a ri n t e r f e r e n c e t h i st h e s i sd i s c u s s e st h er e m o v a lo fl i n e a r n o i s e ( r e g u l a ri n t e r f e r e n c e ) w i t hr i d g e l e ti nt h er a d i a lt r a c ed o m a i n t h et r a d i t i o n a lw a y o f r e m o v i n gl i n e a rn o i s em a yc a u s el o s so fd a t ab e c a u s eo ft h ei n t e r p o l a t i o ni nt h er a d i a lt r a c e ， b u tt h er a d i a lt r a c ep r e d i c t i o nc a nn o ta c c u r a t e l yd e t e r m i n et h ed i r e c t i o no ft h er a d i a lt r a c e t h e r e f o r e ，w i t ht h et h o u g h tt oa c c u r a t e l yd e t e c tl i n e a rn o i s ew i t hr i d g e l e t ，t h i st h e s i ss t u d i e s t h ed e t e c t i o no fl i n e a rn o i s ei ns e i s m i cd a t aa n dt h er e m o v a lo fi tw i t hr a d i a lt r a c ep r e d i c t i o n t e c h n o l o g y t h es e c o n dc h a p t e ro ft h i st h e s i sg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ed e v e l o p m e n ta n d t h e o r yo fr i d g e l e ta n d t h ec u r r e n tr e s e a r c hs t a t u so fr i d g e l e t a i m i n ga tt h ed e t e c t i o no fs e i s m i ci m a g ew h i c hc o n t a i n sl i n e a rn o i s ew i t hr i d g e l e t , c h a p t e rt h r e ei n t r o d u c e st h ep r o b l e m se n c o u n t e r e di nt h ed e t e c t i n gp r o c e s so fo r d i n a r yl i n e a r a n dl i n es e g m e n tw i t l lr i d g e l e t t h er i d g e l e tc a l lo n l yd e t e r m i n et h ed i r e c t i o na n dp o s i t i o no f t h el i n es e g m e n t , w h i l ei ti sh a r dt oa s c e r t a i nt h el e n g t ho fi t ；t h e r e f o r e ，w i t ht h em e t h o do f i m a g eb l o c ka n dt h e nr i d g e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，t h i st h e s i sa c c u r a t e l yd e t e c t st h el e n g t ho fl i n e s e g m e n t t h e “l i n e a r n o i s ei nt h ep r a c t i c a ld e t e c t i o no fl i n e a ri n t e r f e r e n c eo fs e i s m i cd a t a d o e sn o tm e a n s t r a i g h tl i n e i nt h et r a d i t i o ns e n s e i ti sc o m p o s e db ys e v e r a l s t r a i g h tl i n e s o ft h es i m i l a rr a t eo fs l o p e t h et h o u g h to fi m a g eb l o c kc a l ln o to n l yd e t e r m i n et h el e n g t ho f t h el i n e a ri n t e r f e r e n c e ，b u ta l s oc a nt u r nt h et h o u g h to fp r o c e s s i n gl i n e a ri n t e r f e r e n c ei n t o p r o c e s s i n gt h el i n e a ri n t e r f e r e n c ed o m a i n b a s e do nt h er e s u l t so b t a i n e di nc h a p t e rt h r e e ， c h a p t e rf o u rm a k e sar a d i a lt r a c et r a n s f o r m a t i o na n dp r e d i c t i o nt or e m o v et h el i n e a rn o i s ei n t h i sf i e l d c h a p t e rf o u rm a i n l yi n t r o d u c e st h et h e o r e t i c a la l g o r i t h ma n dt h ep r e s e n td e v e l o p i n g d i r e c t i o no fr a d i a lt r a c et r a n s f o r m a t i o n b a s e do nt h er e s u l t sg a i n e di nc h a p t e rt h r e e ， i n t e r p o l a t i o nt e c h n i q u e sw i l lb ea d o p t e db e c a u s en o n i n t e g e rs a m p l i n gw i l lb ee n c o u n t e r e d d u r i n gt h er a d i a lt r a c et r a n s f o r m a t i o np r o c e s s h o w e v o w i n gt ot h el o s so fs e i s m i cd a t a r e s u l t e df r o mi n t e r p o l a t i o nt e c h n i q u e s ，w h i c hw i l ll e a dt ot h eu n s a t i s f a c t o r yt r e a t m e n te f f e c t ， t h i st h e s i se m p l o y sr a d i a lt r a c ep r e d i c t i o ni n s t e a do fr a d i a lt r a c et r a n s f o r m a t i o n w i t h i nt h e l o c a ld o m a i n ，a n da l o n gt h ed i r e c t i o no fc o h e r e n ti n t e r f e r e n c e ，t h ee n e r g yo fc o h e r e n t i n t e r f e r e n c eb e t w e e nt r a c e si sn e a r l yt h es a m e a n dd i f f e r e n c e sc a u s e db ys i g n a l sw i l l e m e r g ed u et ot h es u p e r i m p o s i t i o no ft h ec o h e r e n tn o i s ea n dt h ef a c t u a ls i g n a l si nt h e d i r e c t i o no fc o h e r e n ti n t e r f e r e n c e i ft h ec o h e r e n ti n t e r f e r e n c ei nm i sd i l e c t i o ni sd e e m c da s r a n d o ms i g n a l s ，t h e e q u a l i z i n gv a l u eo ft h es i g n a l st r a n s m i t t e dw i l lb ez e r o t h u st h e e q u a l i z i n gv a l u eo f 也el i n e a ri n t e r f e r e n c ei nac e r t a i nd i r e c t i o nc a nb ew o r k e do u t a n dt l l e n t h ee f f e c t i v es i g n a l sm a yb ec a l c u l a t e db ys u b t r a c t i n gt h e e q u a l i z i n gm e a l lf r o mt h ep r i m a r y r e c o r d t h i st h e s i sg e t sas a t i s f a c t o r yd e n o i s i n ge f f e c t i v et h r o u g ht h i sm e t h o da n dw i l lb e f u r t h e rp r o v e di np r a c t i c a ls e i s m i cd a t a k e y w o r d s ：d e n o i s i n g o fs e i s m i c d a t a ；r i d g e l e tt r a n s f o r m a t i o n ；d e t e c t i n go fl i n e a r n o i s e ；r a d i a lt r a c et a n s f o r m ；r e m o v a lo fl i n e a ri n t e r f e r e c e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 m - 曼曼曼曼曼皇曼曼! 量鼍曼置曼曼曼曼鲁量量詈量詈詈曼詈詈暑曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼曼曼量詈量詈曼量鼍皇曼量量量皇曼皇曼詈皇曼鼍寡 1 1 本文的研究目的和意义 第1 章绪论 地震资料去噪问题一直是非常重要且很复杂的问题，前人在这方面的研究做了大 量的研究工作，也取得了很多好的成果，特别是在叠后去噪方面，叠后去噪指将之前 地震资料处理中通常把原始记录进行多次叠加后形成的叠后资料进行处理，这样可以 压制多次波等干扰以提高信噪比。但是叠加后，会损失道集等一些有用信息【l 】。 当今，石油和煤矿的勘探技术在不断的发展，在这些技术中，地震勘探是常采用 的一种方法( 图1 1 ，图1 2 是我国大西北的一些地表特征) ，由于地质条件越来越复 杂，对于地震资料的研究也越来越深入，对干扰非常严重的低信噪比地震资料，在处 理叠后资料过程中产生了各种误差，所以，越来越多的专家和学者认为工作重心应该 转为叠前处理。叠前去噪是直接在原始的地震记录上进行处理，与叠后去噪想比叠前 去噪不但能改善后期的速度分析和偏移成像效果，还能提高一些参数( 如静校正量速 度) 的分析精度。但是，由于叠前资料为单炮记录，所受干扰非常严重，包括规则干 扰和不规则干扰，使有效信号的同相轴几乎无法识别，对于这些叠前资料，首要任务 就是去掉这些干扰。而大多数不规则干扰处理的方法很多，也比较成熟，而对于规则 干扰去除，处理的难度比较大，而目前的处理方法大多数是以经验为主，此类干扰对 地震记录的信噪比影响很大，若不能很好的压制，会破坏有效波的连续性，严重影响 地震剖面的质量和地震资料的解释。 1 2 常见的干扰的分类及特性 通常我们将地震资料中的干扰分为两类，一是规则干扰，规则干扰也称为相干干 扰，它们在时间和空间上的分布具有一定规律，它们具有一定的频率和视速度。主要 包括面波，线性干扰等，二是不规则干扰也即机噪声【2 】，下面介绍一下几种规则干扰的 特点： 面波干扰：它是地震资料中最常见的一种噪声，具有如下特点：视速度低，频 率低，且速度会随着频率的变化而变化，面波能量很强，沿垂直的方向衰减快，沿水 平方向衰减缓慢，持续的时间长，在地震记录中呈扫帚状分布。 线性干扰：线性干扰主要包括多次折射干扰和声波干扰等，它主要有速度稳定， 能量很强，持续时间长等特点，它的频率和反射波频率相近，通常是成组的，以平行 初至波或与初至波有夹角的形态出现。 单频干扰：当地震测线在高压电线下经过的时候，检波器受5 0 h z 高压的静电 感应所产生的干扰，分布范围一般在高压线的附近，它的能量与输电线的粗细，输电 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 电压的大小，检波器电缆的漏电情况，输电线和检波器电缆的距离等因素有关。 本文主要是对地震勘探叠前资料中的强线性干扰进行研究。 朦 图1 1 西北沙漠地区 1 3 国内外研究现状分析 图1 2 山地地区 地震勘探资料处理发展过程是从模拟化到数字化的的过程，它主要分为三个阶段： 第一阶段( 上世纪2 0 年代至上世纪5 0 年代) ：光电记录，资料人工处理【3 ；第二阶段 ( 上世纪5 0 年代至上世纪6 0 年代) ：模拟磁带记录，模拟电子计算机处理：第三阶段 ( 上世纪6 0 年代至今) ：数字磁带记录，数字电子计算机处理。目前，地震勘探技术 发展仍以数字化为主要标志迅猛发展【4 j 。 二十世纪五十年代，由n r i c k e r 第一次提出地震子波的概念 5 1 ，他通过对地震记录 形成物理机制的研究，提出了地震子波对地震资料分辨率的控制作用，由此奠定了反 滤波技术的基础，这是地震勘探资料处理最早的数字理论 六十年代中期，随着野外地震资料的采集与处理，数字滤波【6 7 i 、反滤波【8 等技术 得到了发展。原始地震资料经过滤波处理后信噪比和分别率都得到了很大的改善。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 从六十年代末到七十年代，由于石油和煤矿的勘探技术得到了高速发展，人们对 地震资料的分辨率和信噪比及保真度的要求越来越高。这段时期内，地震资料处理中 的信息提取技术，如自动提取层速度、叠加速度和均方根速度等得到了迅猛的发展。 此外，各种滤波技术和快速算法也在地震资料处理得到了应用，如加速频率域滤波、 时间域递归滤波的快速傅里叶变换等。反滤波技术也受到了相当大的重视，最小熵反 滤波和同态反滤波等方法也是在这个阶段出现的。f 9 】在叠加技术方面，七十年代初期发 展起来的波动方程【9 1 0 】偏移取代了六十年代盛行的扫描偏移叠加和叠加偏移方法。此理 论提出对引入地震资料处理有着深远的影响，为了研究弹性波的传播规律以及它形成 的物理机制，必须要建立波动方程【9 , 1 1 】。 岩性的地震勘探技术在七十年代得到了高速发展，这对人们在寻找非构造型矿藏 方面提供了重要的技术支持。 八十年代，波动方程和垂直地震剖面的处理技术 1 2 在此领域中得到了更为广泛的 应用，它不仅仅应用于偏移成像，也应用于求取地震波的传播速度。此外，针对三维 地震勘探的数字处理技术也得到了进一步的发展。 现如今，地震勘探发展的按特征主要分为三大技术分别为：储层的预测技术、三 维勘探技术、三高( 高分辨率，高保真性和高信噪比) 处理技术。其中，后两项技术 被视为地震勘探的两大支柱技术，而第一项技术则被视为远景技术【4 1 。 径向道变换( i 玎t ，r a d i a lt r a c et a n s f o r m ) 技术于19 7 5 年由c l a a e r b o u t 首先提出 【l3 1 ，随后o t t o l i n i 等人将其应用在偏移成像中【1 4 】，自1 9 9 9 年h e n l e y 成功的将径向道变 换运用于相干噪声消除以来，此项技术得到了广泛深入的发展。它主要由以下的几个 发展方向【l5 1 ，选取最佳的径向道原点，使之更适用于地震资料中相干噪声的拟合； 过去采用x 插值技术，由于此技术可能会带来较大的插值误差，b r o w n 在分析了此 方法的缺点后，提出了v 插值技术【l6 1 。这样使径向道变换过程中相干噪声的拟合为更 准确且在去噪过程中对有小波的影响达到最小：如何较好的将相干噪声消除技术和 径向道变换技术相结合；避开径向道变换的插值技术，采用局部的径向道预测技术 来消除相干噪声【l5 1 。 1 4 本文的主要工作和结构安排 本文主要将脊波检测直线的思想用在了地震资料中线性干扰的检测，从而确定地 震资料中线性干扰所在的区域，然后对此区域做径向道变换，即由原来的x t 域变换 到r - t 域，根据地震波视速度与波长的特征，应用带通滤波器去除线性干扰，但是在 径向道的变换过程中，由于会遇到非整点取值【l 刀，这时必然要用到插值技术，无论采 取哪种插值方法，都会对地震资料有一定的损失，所以文中采取径向道的预测技术来 去除线性干扰【l5 1 。具体的研究工作和主要的创新之处在于： 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 ( 1 ) 将脊波变换技术用于对地震资料图像中线性干扰的检测，并且取得了较好的 效果。 ( 2 ) 将脊波变换对线性干扰区域的精确检测和径向道预测技术去除线性相干噪声 结合起来，对线性干扰的去除取得了一定的效果。 本文的内容安排如下： 第二章：脊波变换的介绍，以及其和小波，r a d o n 变换的关系，介绍了有限脊波 变换等相关理论。 第三章：通过分析实际地震资料中的特点，利用分块处理的思想用脊波变换检 测实际地震资料中的线性干扰，并取得了较好的效果。 第四章：主要介绍基于脊波变换在径向道域去除线性干扰的两种方法，第一种方 法是先用脊波检测出线性干扰区域，再将此区域做径向道变换，在径向道域中用低通 滤波器只保留线性干扰，在用原始记录减去之，最终实现线性干扰的压制，在分析了 此方法的优缺点以后，又介绍了第二种方法：脊波径向道扫描消除线性干扰，还是先 用脊波检测出径向道区域，然后在此区域求线性干扰整点的样点均值e ，预测出线性 干扰的均值，最后用原始记录减去之。由于此种方法不需要插值计算，较第一种方法 有较大优势，并取得了较满意的效果。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 2 1 引言 第2 章脊波变换的基本理论 傅里叶变换在信号处理领域得到了前所未有的发展，从本质上来说，傅里叶变换 就是一个棱镜，它能够把信号分解为众多的频率成分，并且能够重构原来的信号，而 这种变换的逆变换是“无损能量”。它的基本思想是将信号分解成一系列不同的连续正 弦波得叠加，或者说是将信号的时间域转换到频率域。但是经典的傅里叶变换丢掉了 时间信息，无法根据傅里叶变换的结果判断一个特定的信号时在什么时间发生的。换 句话说，它仅仅是一种纯频率域的分析方法，虽然它在频域的定位分辨率最高的，但 是在时间域确无分辨能力。在非平稳的数字信号处理领域，窗口的可变性，平移行及 正交性是变换工具的几个基本要求，而傅里叶变换不能满足以上要求，于是提出了加 窗傅里叶变换，但是对于窗口的可变性还是无能为力，于是，1 9 8 4 年由法国物理学家 m a b o r 提出了小波变换的概念，并构造除了具有一定衰减性的平滑小波；此后，多分 辨分析概念的引入及快速算法的提出，自此，小波理论体系就不断的发展并完善起来。 其不仅以惊人的速度完成了理论的构建，并迅速的发展成为数学，天文，信号处理， 材料，工程学等许多学科的重要分析工具之一；小波相比傅里叶变换，它具有时频二 维分辨特点，且具有时频和频域“变焦距 的特性，因此对信号的精确分析十分有利。 小波变换以其特殊的表现方式被用于m p e g - 4 和j e p g 2 0 0 0 等国际标准中。 在小波分析发展的过程中，由a l e r tc o h e n ，i n 鲥dd a u b e e h i e s ，s t e p h a n cm a l l a t ， d a v i dd o n o h o ，m a r t i nv e t t e r l i 等对如何更加“稀疏”的表示高维函数做出了不懈的努 力，他们提出了多尺度几何分析( m g a ：m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 。许多专家学者 们认为，一种“最优”的图像表示方法应该有如下的几个特征【1 8 1 9 】： 1 ) 方向性：其“基”应该具有多“方向性； 2 ) 局域性：在空间域和频率域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的； 3 ) 多分辨特征：对图像的分辨率能够从粗到细的进行连续逼近，即“带通”性。 当小波在表示具有点奇异性的目标函数的时是最优的基，但在处理二维图像信号 时候，虽然由一维小波张成高维小波基在逼近的性能上要优于三角基，但是二维小波 仍是一维小波的基，当用它对二维图像做处理时，仍是用“点为单位来“描述”图 像特征的，所以小波难以反映高维信号的特征【2 0 2 1 】。小波主要用于表示具有各向同性 奇异性对象，但是对于数字图像中的边界及线状特征的各项异性奇异性时，小波并不 能很好的表示，总而言之，小波变换是一种非自适应的信号处理分析法。多方向性的 不足是其不能“最优”表示具有线或者面奇异函数的重要原因 2 2 2 3 】。 为了解决小波分析在处理高维奇异性所遇到的问题，e j c a n d e s 提出了“脊波”的 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 里理论和概念。 1 9 9 8 年美国s t a n f o r d 大学的e j c a n d e s s 在它的博士论文中首先提出了脊波变换基 本的理论框架2 4 2 5 】。该理论将二维图像中的“线奇异 用r a d o n 变换的方法转化为“点 奇异”然后再利用小波进行“点奇异”处理，由于小波再处理点奇异时表现出极好的 效果，所以此步骤能够获得对含“直线奇异”的二维或者高维函数最优的非线性逼近 阶。自从脊波变换被提出以来，就吸引了许多专家和学者对其的关注和研究，并将其 应用扩展到很多领域，d o n o h o 于同年提出了一种正交脊波变换的构造方法，该变换同 样采用脊波变换中将“线奇异”转化为“点奇异处理的思想，并且形成了一组e ( r 2 ) 上的标准正交基【z 6 l 。由于脊波也有其局限性，它在检测具有线性奇异性的图像边缘可 以取得较好的效果，然而对于含有二次可微的具有曲线奇异的多变量函数，它的逼近 性能只与小波变换相当。1 9 9 9 年，e m m a n u e ljc a n d e s 又提出了均由脊波理论变换发展 而来的单尺度脊波变换和c u r v e l e t 变换 2 7 , 2 8 】，它们分别采用函数局部化和频带剖分的 方法，将脊波理论推向了一个更高的阶段，这两种变换都能“近似最优 的表示直线 和曲线奇异。在我国，许多学者也深入到脊波的研究领域，2 0 0 3 年，侯彪，刘芳等给 出了脊波变换的数字实现方法，并实现的脊波对图像中线性特征的检钡 j 2 9 3 0 】；2 0 0 5 年， 谭山等人又提出了脊波框架的理论。它和正交脊波的不同之处在于，构造脊波框架的 条件更加宽松，无需受小波基周期性质的束缚，几乎所有小波基都可以构造此框架， 而且把正交脊波纳入脊波框架使其具有了更好更广的外延性；在许多实际的工程应用 中，由于冗余性的存在，脊波框架往往比正交基具有更好的性能，这也是脊波框架的 优势之一【3 。 本章主要介绍c a n d e s 的脊波。它运用现代调和分析的概念和方法，使用在群展开 理论和小波分析中发展的技术，用于处理神经网络的构造问题；它用一系列的脊函数 叠加并以稳定固定的方式来表示非常广泛的函数类 3 2 , 3 3 ；这些脊函数叠加起来的函数 类利用各种特殊高维空间的不均匀性模拟现实信号；它也具有基于离散变换的“近似 正交”的脊波函数框架；而且我们可以使用脊波字典中的有限个元素的叠加来逼近相 应的脊波函数空间中的函数f ( x ) ，这种逼近和傅里叶变换、小波变换以及神经网络相 比能够获得更好的定量的逼近速率。脊波综合了多门学科知识，例如神经网络、调和 分析以及计算机图形学、数字信号处理等，同时解决了这些学科在多变量函数逼近问 题中所无法避免的难题。 2 2 连续脊波变换 在处理零维以及具有点奇异性的信号时，小波变换表现出极好的效果，而在处理 分段的光滑的二维信号或者具有一维线性奇异性的信号时，它的效果却不尽人意了。 因而，为了解决由此遇到的难题，c a n d e s 在其博士论文中提出了脊波变换基本的理论 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 框架，d o n o h o 构造了正交脊波以及相应的脊波变换。脊波理论是一种非自适应性的函 数的表示方法，对处理含丰富线性特征的奇异性变量函数时能达到“最优”的逼近阶。 以下是对脊波的定义： 当杪在r 上满足以下条件【3 4 1 ： = ，挚和 ( 2 - ) 则称y 为容许神经激活函数( d ：空间的维数) ，其中屯是小波母函数，称缈产生的函 = 1 1 y n 数( x ) 为脊波，其中( x ) = 口2 少( = _ 竺) ，d 是维数，参数刁= ( a , u ，b ) 属于神经元 的参数空间。重写其极坐标形式： y ：一i y x c o s 0 + x 2 s i n o - b ( 2 - 2 a 2 2 ) 虬 口= y i ) 上式子为该小波母函数在尺2 x jc o s 0 + x 2s i n 乡一6 上生成的鼬d g e l e t 函数，式中的a 、 b 、p 分别为m d g e l c t 的尺度，位置和方向参数。在式子中而c o s o + x 2s i n 0 = f ，其中t 为 常数，如图2 1 所示，脊的横截面为小波，脊波由此得来。 二维可积函数f ( x ) 在r 2 上的连续脊波变换定义如下： c r r ，( a ，b ，p ) 2j 胄：g a b e ( x ) f ( x ) d x ( 2 3 ) 二维可分离小波变换定义为： c 吁( 口l ，a 2 ，6 l ，6 2 ) 2j 月：岛也( 工) 厂( x ) 出 ( 2 4 ) 其中岛如 ) = 虬岛( 五) 如( 石2 ) 为张量形式的二维小波基， 岛( f ) ：口v 1 ( 攀) ( 2 5 ) 为一维小波函数。 从连续小波变换和连续脊波变换中对比可以看出，两者都是对图像稀疏分解展开 的一种变换方法。和连续小波变换不同的是，连续脊波变换的脊波基函数是由尺度、 方向及位置三个参数确定，它所具有的几何特性和图像中的线性奇异性有更多的局部 相似度。因此，脊波基更利于表示图像中的线性特征，具有更好的能量集中特性。 05 0 一 05 ，l 2 5 0 图2 1 脊波函数的剖面图 2 3 脊波和小波及其r a d o n 变换的关系 设函数f ( x ) 的r a d o n 变换如下嘲： 月r ( 汐，) = ，厂( 工) 万( 五c o s 0 + 恐s i n 0 一f ) 出 ( 2 6 ) r 2 二维能量有限函数厂( 石) 沿极径f ，极角0 的r a d o n 变换是以r ( 臼，f ) 为函数沿r 5 ( x ，c o s o + x , s i n 0 一f ) 的积分。当改变积分直线参数( 臼，f ) ，便得到厂( x ) 的r a d o n 变换 的系数。 为了研究脊波变换与r a d o n 变换的关系，i e i ( t ) = 尺( 良t ) e o 。( f ) ，沿着极径方向对 ，( f ) 积分： ji ( t ) d t2j 尺( 臼，f ) 虬，6 ( t ) d t = 厂( x ) 万( 五c 。s 秒+ 叠s i n 0 一f ) 妣匆( 堂) = r ，r 葺c o s 秒哪砌彩沙c 学瑚卜 仫7 ， 二 l “ ：fi ( 咖；f 竺堂羔型k r 2 a = 凹乃( 口，b ，0 ) 由上述推导可以看出，脊波变换精确地是一维小波变换在函数的r a d o n 变的切片 上的应用。由于r a d o n 变换本身是沿平面l 的积分。在这里，设： 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 厶“j ) = 工r 4 ：”宰工= f r ue r di “i 1 ) ( 2 - 8 ) 当d = 2 时，u = c o s 0 + s i n 0 ，厶w ) - - l , 钆1 ( 如图2 - 1 ) 。对于线性特征的奇异性，r a d o n 变换在某一个方向u 时一定会和这种线性特征的奇异性重合，对沿方向u 上的直线积分 后，直线型的奇异性将变为点的奇异性( 即任给一个方向“，一维参数t 具有的奇异性) ， 高维超平面的奇异性也将转变为点状奇异性) 。即：在一定的方向u 上，足厂( f ) 具有点 的奇异性( 也称为点状的奇异性) ，而一维小波虬。( 于) 在处理点的奇异性时表现出极好 的效果。等价的说，利用这个步骤，脊波在处理高维直线奇异性的时候表现出了较好 的效果【3 5 】。 弋 、 | t 潦二 图2 - 2r a d o n 切片 图2 3 ，表示了二维傅里叶变换，r a d o n 变换以及r i d g e l c t 变换的关系。在图中， 可以看出，要实现脊波变换，首先要实现r a d o n 变换r ( o ，f ) ，然后对切片r ( o ，t ) 做一 维小波变换。在式2 7 中，可以采取沿t 的一维傅里叶变换，则结果是二维的傅里叶变 换。令广表示函数广的二维傅里叶变换，则： ， f - ( 2 c o s o ，2 s i n 0 ) = i 翩r ( 9 ，t ) e 1 耵d t ( 2 9 ) 这就是著名的投影切片定理，它说明了r a d o n 变换可以通过限定在经过原点的射 线上的二维傅里叶变换进行一维傅里叶反变换得到。这表明了数字图像的近似r a d o n 变换可以由离散的快速傅里叶变换实现。 对一幅数字图像f ( i ，) ，0 f ，j n 一1 来说，脊波变换包括以下几个步骤： ( 1 ) 2 一df f t ( 快速傅里叶变换) ，计算f ( i ，j ) 的二维快速傅里叶变换，得到矩阵 厂( 毛，哎) ，一靠2 k l ，心甩2 1 ； ( 2 ) 直角坐标和极坐标的转换。利用插值计算，将在直角坐标系中得到的二维 f o u r i e r 变换的采样值厂替换为极坐标系中的采样值； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 ( 3 ) 1 一di f f t ，对每一个方向p 角，沿直线计算一维f o u r i e r 反变换，于是得到了 数字图像的近似的r a d o n 变换矩阵； 图2 3 三种变换的关系 ( 4 ) 在r a d o n 域中，对r a d o n 变换矩阵的每一列进行一维的小波变换。 在上面的几个步骤中，最关键的是第二步，即直角坐标到极坐标的转换。在f o u r i e r 变换域中做插值计算时需要十分的精确，因为对图像在f o u r i e r 变换域中相位是摆动的， 而它的相位包含了图像中的关键信息，为了实现r a d o n 变换的精确重构，人们提出了 各式各样的方法，大体上可分为三类，分别为：在f o u r i e r 域利用投影切片定理的方法， 多尺度方法和代数方法 3 6 , 3 7 】。 2 4 有限脊波变换 离散脊波变换是通过先对函数做离散r a d o n 变换，再对r a d o n 系数矩阵的每一列 做一维离散小波变换得到的。然而在做离散r a d o n 变换时会遇到很复杂的问题，目前 众多的r a d o n 离散化算法中，都不可避免产生大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余， 但在做对应的反变换又比较困难。在之中，有限维r a d o n 变换f r a t ( f i n i t er a d o n t r a n s f o r m ) 是其中比较成熟的离散算法之一，有限r a d o n 变换是有限大小的二维离散 图像实现r a d o n 变换的离散化方法。有限脊波【3 8 3 9 变换是m n d o 和m v c 肚甜i 在连续 脊波变换的基础上，针对素数大小的离散图像提出的。它是在有限r a d o n 变换域上再 做一维小波变换得到的。 2 4 1 有限r a d o n 变换 定义集合z v = o ，1 ，p - 1 ) ，式中要求p 为素数，z 。是通过模生成的一个有限 区域，定义离散图像在有限区域z ：上的有限r a d o n 变换f r a t ( f i n i t er a d o n t r a n s f o r m ) ： f r a t i k ， - 邝，) ( 2 - 1 0 ) 、，p ( f ，) e 厶j 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 其中，厶、，代表有限区域z ，2 上所组成的以k 为斜率，以l 为截距的直线( 当k = p 时， 代表斜率无限大或者垂直的直线) 上点的集合。也可以这样定义： 厶j2 ( f ，) ：j = 触+ z ( m 。d p ) , iez p ) ，0 七 p ( 2 1 1 ) l p j = ( ，j ) ：歹z p ) 注意由于直线运算中的模运算，这些直线将表现出“环绕”效应。上式定义了在 有限区域z ：上p ( p + 1 ) 个方向上的直线，其中每个方向上都包含了p 个点，对于任意 的p + i 的方向中，存在p 条相互平行的直线，他们完全覆盖了整个区域z ：。 按照连续的情形类推，有限反射投影算子( f b p ) 定义为对经过给定的所有直线的 r a d o n 系数求和，即： 哪( f ，_ ，) = f r a t ：( k ，三) ( f ，) 彳2 ( 2 1 2 ) vpf t 1 ) e p , j 其中只。，记录了所有经过点( f ，) z ，2 的直线斜率和截距( f ，) z p 2 ，利用式( 2 1 1 ) 可表示为： a ，= ( 后，州= 一a ( m o d p ) ，k z p ) u ( p ，f ) ) ( 2 - 1 3 ) 将( 2 1 0 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，得到： f b p f ( i ，) = i 1 f ( i ，- ，) ，i 蠢l e f jl i ji e “j 2 六毛八力+ p f ( i , 力 q 1 4 = f ( i ，j ) 所以( 2 1 2 ) 式所定义的有限反射投影算子实际上是计算图像有限反r a d o n 变换。 这样可以得到一个有效的准确重构算法。 对素数大小的离散的图像进行有限r a d o n 变换，在每个方向七将产生一个f r a t 序列，对应的输出矩阵是 丹m 0 【七，z 】，( 豇，z ) p ，) 的一列。因此有限r a d o n 变换的结果 是产生一个p 宰( p + 1 ) 的r a d o n 的系数矩阵。它的列表示有p + 1 个斜率方向，行表示每 个方向上有尸个系数。 为了获得更好的能量集中性，由式( 2 9 ) 和式( 2 1 1 ) 所定义的有限r a d o n 变换 和反变换f b p 中要求变换的图像均值为零，对于均值不为零的图像可以在变换前减去 均值，保证变换前的图像均值为零，反变换后再加上图像均值即可恢复原图像。 对r a d o n 系数矩阵的每列进行一维离散小波变换，得到有限脊波系数矩阵 f r i t t 尼，珏( 后，) 鼻，) ，这个过程称为有限脊波变换。考虑到f r a t 系数的周期特性， 所以在做小波变换的过程中也要选择周期性的小波。有限脊波变换的过程如图2 4 所 示。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 f r a t 域 f r i t 域 黜 钐瑟 图像m 蜘 2 4 2 正交脊波变换 图2 - 4 有限脊波变换示意图 在f r a t 变换过程中会产生一定的冗余，而这些冗余可以通过一维小波来去除， 由此便可得到正交有限脊波变换。当小波变换使用了正交树结构滤波器时，所有的小 波基函数具有零均值，由此可以得到正交f r i t 变换。m i r d an d o 等已经证明只要满足 以下条件的基函数 砭：，z 。) j | = o ，1 ，p ，就可以定义正交有限脊波变换m 4 1 】如下： 剧0 ( 七，) = ( f r a t i k ，】，w ；引 ) ( 2 1 5 ) f r i t 可以在f r a t 列向量以( 0 ) ，气( 1 ) r k ( p 一1 ) ) 上用一维小波变换得到，在这，七是 不变的。事实上，不同的变换法如d w t , d c t , d f t 都可以处理f r a t 的列向量，变换 方法的选择直接影响图像的去噪和压缩效果。m i r t