（系统分析与集成专业论文）黏弹性体方程和有阻尼波动方程的全局吸引子.pdf

摘要 无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位，全局吸引子是无穷维 动力系统的中心内容之一，黏弹性和热黏弹性体方程组与波动方程是二类很重要 的无穷维动力系统 本文首先考虑一类自治黏弹性和热黏弹性体方程组，证明了该方程组在没有 外部阻尼，仅有内部线性记忆项的情况下所确定的解半群即可产生全局吸引子 其次，考虑具有临界指数的有阻尼半线性波动方程全局吸引子的h a u s d o r f f 维数 的上界估计式，运用全局吸引子在高正则空间范数下的有界性，得到文献f 1 】中 方程在非临界指数时的全局吸引子的h a u s d o r f f 维数上界也是i 临界指数时的全局 吸引子h a u s d o r f f 维数的上界，从而改进了文献| 2 】的估计最后，考虑一类非自 治黏弹性和热黏弹性体方程组的全局周期吸引子的存在性，当热黏弹项和时间周 期外力项有关时，证明了系统有唯一的周期解且它指数吸引任何有界集 关键词：黏弹性，全局吸引子，阻尼波动方程，临界指数，h a u s d o r f f 维数 a b s t r a c t i n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sp l a ymi m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i - e n c e ，g l o b a la t t r a c t o ri sac e n t r a lp a r ti ns t u d y i n gi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s - t e r n s ，v i s c o e l a s t i ca n dt h e r m o v i s c o e l a s t i ce q u a t i o n sa n dw a v ee q u a t i o na r et w ok i n d s o fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s t h i sd i s s e r t a t i o nf i r s t l yd i s c u s s e sab n do fv i s c o e l a s t i ca n dt h e r m o v i s c o e l a s t i ca n - t o n o m o n s e q u a t i o n s ，w e p r o v e t h a t t h es e m i g r o u p o f t h ee q u a t i o n sc a n p r o d u c e a g l o b a l a t t r a c t o rw i t h o u te x t e r n a ld a m p i n g ，a n do n l yw i t hi n t e m a ld a m p i n g s e c o n d i y , w ec o n - s i d e r t h ee s t i m a t e o f t h e u p p e r b o u n d o f h a u s d o r f f d i m e n s i o n o f t h eg j o b a l a t t r a c t o r f o r ad a m p e ds e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hc r i t i c a le x p o n e n t i a l b yu s i n go ft h eb o u n d - e d n e s so fg l o b a la t t r a c t o ri nh i g hr e g u l a r i t ys p a c e ，w eo b t a i nt h ee s t i m a t eo fu p p e r b o u n do ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h eg l o b a la t t r a c t o rw i t hn o n c r i t i c a le x p o n e n t i a l i np a p e r 【1 】，w h i c hi sa l s ot h a to fp a p e r 【2 】i nc r i t i c a lc a s e t h a ti st os a y ，w eo p t i m i z e t h ec o n c l u s i o ni np a p e r 【2 】f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fa g l o b a lp e r i o d i ca t - t r a c t o rf o rt h ev i s c o e l a s t i ca n dt h e r m o v i s c o e l a s t i cn o n - a u t o n o m o u se q u a t i o n s w h e n t h et h e r m o v i s c o e l a s t i c i t yi sa s s o c i a t e dw i t ht i m e - p e r i o d i cd r i v i n gf o r c e ，w ep r o v et h a t t h es y s t e mh a sau n i q u ep e r i o d i cs o l u t i o na t t r a c t i n ga n yb o u n d e ds e te x p o n e n t i a l l y k e y w o r d s ：v i s c o e l a s t i c i t y , g l o b a la t t r a c t o r ，d a m p e dw a v ee q u a t i o n ，c r i t i c a l e x p o n e n t i a l ，h a u s d o r f fd i m e n s i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研 究工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其 他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名。产参日期。叼。疗如 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅 和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 了枷繇舭咻r 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 第一章引言 1 1 动力系统 文兰在 3 1 中概括了动力系统的含义t 动力系统就最广泛的意义来说是研究 系统演化规律的数学学科这里，演化的直接含义是就时间而言因此动力系统 又被简单地称为时问的科学时间可以是连续的，如经典的微分方程定性理论； 也可以是离散的，如迭代论演化的进一步含义是就系统的空间而言，比如向量 场的扰动与映射的扰动动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体 的流动动力系统常可以看成是微分方程的化身，其精神是不通过微分方程的显 示解而直接研究解的几何和拓扑性质 动力系统的发展历史可以追溯到几百年前，1 6 世纪末，奥地利格拉茨大学讲 师开普勒根据天文学家第谷准确的观测数据发现了行星的运动三定律，这与当时 的正统派思潮相悖，半个多世纪以后，牛顿于1 6 8 7 年在其名著自然哲学的数学 原理中，提出了万有引力定理，而后用数学的形式一常微分方程推出了开普勒 定律，完成了e l 心地动的力学解释，同时也开始了以常微分方程为对象的动力系 统的研究【4 】随着对大多数常微分方程不能用已知函数的积分来表示其通解，这 样就必须有新的理论出现1 9 世纪末昂利庞加莱创立的微分方程定性论，或称 微分方程的几何理论，其核心内容是不通过微分方程的显示解而直接研究解的几 何和拓扑性质从2 0 世纪6 0 年代以来，随着计算数学和计算机技术的发展，采 用数值模拟的计算可视化方法，发现了如分歧，混沌，孤立子和分形等，极大地 推动了对动力系统及其在非线性科学研究中应用的研究今天的动力系统大致有 微分动力系统、h a m i l t o n 系统、拓扑动力系统，复动力系统、遍历论、随机动力 系统等若干方向，其界限并不严格，相互交叉很多，动力系统理论成果能广泛运 用到经济数学、气象预报、数值计算，统计力学等领域里 1 2 有限维动力系统和无穷维动力系统 粗略地说，常微分方程可以看成是有限维连续动力系统，偏微分方程可以看 成是无穷维连续动力系统，而拓扑和几何中微分流形上的方程可以看成是微分流 形上的动力系统，实际上是不通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑 性质 有限维动力系统的经典背景是古老而又著名的天体运动特别是太阳系中的 天体运动多年来一直吸引着科学家们的兴趣，有限维动力系统已经有两三百年 的发展历史，并取得许多重要成果，其理论体系已经比较成熟，这包括稳定性理 论、正规型理论、不变流型理论，分支理论、遍历理论等，见文献f 5 - j 7 】 偏微分方程中的动力系统一般称为无穷维动力系统一个著名的经典问题一 流体力学中的湍流问题就属于无穷维动力系统的范畴，最近物理上已经发现一大 批具有孤立子的非线性演化方程，例如，k d v 方程，非线性薛定谔方程等等，在 一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌现象这些都说明对无穷维动力系统的研 究势在必行，同时也是对有限维动力系统研究的进一步深入和发展由于无穷维 动力系统广泛的运用到如流体力学、大气科学、生命科学等领域，使得它成为目 前个十分活跃的研究课题 从数学的角度来看，b m a n d e l b r o t ( 曼德尔勃罗特) 在继承与发展s s m a l e ( 斯梅 尔) ，a m o s e r ( 莫泽) 、m e l n i k o v ( 梅尔尼科夫) 等已有的有限维动力系统工作的基础 上，在1 9 7 7 年提出了分形集的概念，o a l a d y z h e n s k o y a ( 莱迪察斯科娅) ，m 工v i s i k ( 维斯克) ，c f o i a s ( 富瓦斯) ，b n i c o l a c n k o ( 尼科拉延棚、r t e m a n ( 特马姆) 、j k h a l e ( 赫尔) 、g r s e n ( 赛尔) 等人已经对某些具有耗散效应的无穷维动力系统的全局吸 引子、惯性流形的存在性，以及它们的h a u s d o r f f 维数、f r a c t a l 维数的上下界估 计，吸引子的动态结构，近似惯性流形等问题进行了多方面的研究，得到了一系 列重要的结果f 8 - 1 1 数学上，现已建立了无穷维动力系统的重要数学理论，提供 了理论研究和数值计算方法 从偏微分方程定性研究角度来看，最关键是要建立对定解f 司题的饵关于时间 t 大范围的一致先验估计，无穷维动力系统关注的是偏微分方程所描述的系统的 解的存在性、正则性、稳定性、全局吸引子的存在性及其几何拓扑结构 从动力系统角度来看，目前动力系统的基本理论已经建立，但是还不是很完 善，不太成熟。我们对它的理解还很肤浅，倍受关注的全局吸引子的存在性及其 几何拓扑结构，由于空间维数的无限性以及紧性难以保证，目前对吸引子的维数 等一些复杂问题还是难以描述清楚的 1 3 吸引子全局吸引子及其维数 法国数学家昂利庞加莱在当时首先提出了相空间概念所谓相空间就是用 状态变量支撑起来的抽象空间这样一来，在系统的状态和相空间的点之间就建 立起对应关系相空间的一个点表示系统在某一个时刻的一个状态，相空间里状 态变化的相点的连线，就构成了点在相空间的轨道，即相轨道相轨道表示了系 统状态随时间的变化相空间可以是有限维的，也可以是无穷维的 对动力学系统而言，人们最关心的往往是其状态的最终归宿不消耗能量的 保守哈密顿系统遵从刘维定理，它的运动总是周期或准周期的耗散系统则不然， 它在演化过程中其相体积不断收缩，即相空间中的任何相轨道最终将被吸引到一 个维数比原始空间低的极限集合：吸引子，吸引子表征了动力系统当t o o 时的 渐近行为由于动力系统总是对应着一个物理问题，因此我们可以建立相空间， 把个物理问题转化为一个几何问题来处理庞加莱的一大创新结果就是使动力 学可借助被称为吸引子( a t t r a c t o r ) 的几何形状来加以点观化系统长期的动力学 特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的动力学特征例如，趋 向于定态的系统，它具有的吸引子是个点趋向于周期性地重复同样行为的系 统，它具有的吸引子是个闭环对于保守的哈密顿系统，由于没有能量耗散。运 动状态在演化过程中可以随时间改变，但其在相空间中的体积始终不变因此， 在足够长的时间以后，系统有可能回到离初始状态任意近的地方，这就是所谓的 。庞加莱循环”对于耗散系统，由于能量的耗散，在演化过程中相体积将不断收 缩，耗散系统的运动最终将趋向维数比原来相空间维数低或体积小的极限集合， 而不会再回到原来状态当演化时间t o o 时，系统所达到的极限集合成为。吸 引子。例如单摆运动，如果没有摩擦或其他消耗( 保守系统) ，单摆将周而复始 地无限期地摆下去，运动永不停止如果有摩擦( 耗散系统) ，振幅将逐渐减小， 最终将停止在中间位置，这个状态( 不动点) 就是一个吸引子耗散运动最终要 收缩到相空间的有限区域即吸引子上 用动力学揭示系统长期发展的动力学性质和基本动力学特征无疑是非常重 要的，从数学上来说就是要了解系统解的全局渐进特征，需要用微分方程全局定 性理论来研究全局分析是研究系统所有可能的初值在任意长时间的整体特征 和全局行为，特别是时间无穷时的终态情况非线性动力系统的状态的长时间行 为一般是很复杂的，仅靠简单计算或纯粹直观是难以弄清楚的个从特殊状态 出发的动力系统，当时间充分大后，它是趋于静止或某个简单平衡状态，还是经 历一系列的分支过程而达到周期状态或拟周期状态或完全混沌状态，这是不易 预料的为此，人们引入了全局( 整体、最大) 吸引子( 9 1 0 b a i u n i v e r s a l 、m a x i m a l a t t r a c t o r ) 的概念动力系统的全局吸引子是状态空间中吸引所有轨道的最大有 界不变集它包含所有平衡点及平衡点的不稳定流形，它还包含所有周期轨，同、 异宿轨以及更为复杂的分形或仿分形的不变集由此可见，系统状态的长时间行 为完全可以由全局吸引子来描述全局吸引子研究系统的整体特征和全局行为， 它不仅可以指出系统中各种物理量之间最本质的联系，而且能够简明清晰的阐明 外源强迫对运动的基本影响，从而揭示出系统中最基本的运动规律在系统有， 无阻尼的情况下，有关吸引子的存在性，很多相关的文献【1 2 - 1 9 ，进一步地，也 有全局周期吸引子的研究成果【2 0 】 维数是描述物体复杂程度以及所占空间规模的重要指标，所以关于全局吸 引子维数估计的研究是一项极为重要的课题这里的维数包括h a u s d o r f f 维数和 f r a c t a l 维数等，本文着重讨论的是h a u s d o r f f 维数的上界估计式，全局吸引子是 无穷维动力系统的一种吸引子，吸引子表征了动力系统当时问趋于无穷时的渐进 行为，是描述耗散波动方程的渐进行为的一个有效的工具对于上面提到的吸引 子，零维的吸引子是一个不动点，一维吸引子是一个极限环，二维吸引子是一个 环面，等等对于自治和非自治方程( 方程组) 的h a u s d o r f f 维数上界估计也有一 些文献结果【2 1 2 4 】 从数学上来讲，动力系统是对所有的时间t r 和空间茹x 定义函数 s ( x ，t ) 的，它描述了点o x 是如何随着时间运动的在x 上的动力系统【2 5 】是 指映射 s ：x r _ x 其中x 是j p 中的一个开子集，或者更一般地，x 是个完备度量空间此映射 s 满足下列公理； ( i ) 恒等公理s 0 ( 。) = s ( z ，0 ) = z ，v z 置 ( i i ) 群公理s ( s p ，t ) ，s ) = s ( z ，t 十s ) ，v z x ，v t ，8 r 在x 空间上给定了一个动力系统，则点。叫做状态，它所在的空间x 叫做系统 的状态空间或者相空间当x 的维数d i m x o 是一个算子半群 b a n a c h 空间中的算子半群可以构成一个抽象的无穷维动力系统，算子半群 是一个重要的工具和方法s o - s e 定义1 4 2 全局吸引子设e 为完备度量空问， s ( t ) ) t 2 0 是e 上的连续算子半 群，如果集合且c e 满足 例紧性，4 是紧的t 若t t l a ，则存在的一个子列。和口使得 t ，l 斗钉 似j 不变性，即在半群 s ( t ) ) 2 0 作用下为不变集；s ( t ) a = 4 ，、，t 0 ( i i i ) 吸引性，4 吸引e 中一切有界集，即对任何有界集b e 有 d i s 。( s ( t ) b ，4 ) 2 冀u p b v i e n 。fi l s ( t ) z 一训f e 。o ，t 。o o z b v t 特别地，当t 0 0 时，从任意点撕e 出发的轨线s ( t ) t 1 0 收敛于，即有 a i s t ( s ( t ) , , o ，4 ) _ 0 ，t _ o o 那么，集合一4 称为半群 s ( t ) t o 的全局吸引子 非线性演化方程的全局吸引子的结构是很复杂的，除了包括确定的系统的简单平 衡点“。，f ( “。) = 0 ( 可能是多重解) 外，还包括时间周期的轨道，拟周期的轨道， 以及分形吸引子，奇异吸引子等它可能不是光滑流形，且具有非整数维数 定义1 4 3 平衡点如果点z e 对任何t r 都满足 s ( t ) z = z ， 则称z 为映射s ( t ) 的平衡点r 不动点j 对于s ( t ) 的向量场，( z ) ，显然有，( 功= 0 ， 因此，z 也称为该向量场的零点倚点， 定义1 4 4 有界集称非空子集mce 为有界集，如果它的直径 6 ( m ) = s u pd ( z ，y ) 是有限的，其中d ( ，) 为e 的度量 为了给出全局吸引子的存在性定理，我们需要引进吸收集的定义 定义1 4 5 吸收集假设e 是一个完备度量空间， s ( t ) ) t o 是作用在e 上的一 个半群一个子集dce 称为对于半群 s ( t ) t o 来说的一个正向不变集，若对 于所有的t 0 ，s ( t ) dcd d 称为半群 s ( t ) t 2 0 的一个吸收集，若对任意有界 集bce ，存在t = t ( b ) 0 使得当t 芝t ( b ) 0 时有s ( t ) bcd 定理1 1 吸引子的存在性定理i 设e 为完备度量空间， s ( t ) ，t o 是e 上连续 的算子半群设算子半群 s ( t ) ) t o 满足以下条件t 倒算子s ( t ) 对充分大的t 是一致紧的即：对任意的有界集b ，存在t o = t o ( b ) 。 使得u t 如s ( t ) b 在占中是相对紧的 砂存在e 中有界的吸收集岛 则半群 s ( t ) ，t o 存在全局吸引子一4c 刀 注1 4 1 可以证明上述的全局吸引子一4 为吸收集玩的u 一极限集。即 4 = u ( 岛) = nu s ( o b o ， 2 0 t 一s 其中闭包取于e 中 定理1 2 吸引子的存在性定理i i 设e 为b a n a e h 空间，算子半群 s ( t ) ) t o 是 连续的设存在一个开集qce 和n 中的一个有界集反使得口在n 中是吸收 的又设满足下面的条件， s ( t ) = 毋( t ) + 岛( t ) ，其中算子岛( ) 对充分大的t 是一致紧的，算子岛( t ) 为连续 映射，岛( t ) ：1 7 , 一e ，且对每个有界集b c 刀， 佃( ) = s u pi l ( t ) 圳e 一0 ， b 则p 的，极限集4 = u ( b ) 是紧的吸引子，它吸引n 中的有界集它是在n 中 的最大的有界吸引子，且当n 既凸又连通时，一4 是连通的 定义1 4 6h a u s d o r f f 维数令e 是一个距离空间且yce 是e 的子集，给定 d 矿和5 0 。设 p i r ( k d ，e ) = i n f r i d ， i e i 其中，上式右边是对y 在e 中的所有半径小于或等于旬即r d e 的球( s d , j 覆盖求下确界显然，p 日( y d ，e ) 是一个关于的非增函数且 p j j r ( kd ) 5 嬲p 日( k 正5 ) = s 。u ，p 。p 日( k d ，6 ) 【o ，+ 删 称妇( y ) = d o = i n f d l m ( y , d ) = o ) 为e 的子空间绒子集合的h a u s d o r f f 维 数，例如令e = r ，y = ；，p ) ，则d h ( y ) = 0 定义1 4 7 利普希茨条件如果存在常数k 0 使得对所有的( t ，z 1 ) 和( t ，z 2 ) ， 满足 i ，( t ，z 1 ) 一f ( t ，z 2 ) i k x l z 2 l ， 我们就称函数，( z ，t ) 关于z 是利普希茨仁d p s c h i t z ) 的 定义1 4 8 压缩映射设( x ，西是一个距离空间，对于映射u ：x x ，如果存 在一个常数s ，0 8 1 使得对一切$ ，f x 有? d ( u ( 功，u ( 暑，) ) s d ( x ，口) ， 则称u 为压缩映射 定理1 3b a n a c h 不动点定理 如果度量空间x 对自身的映射u 是压缩映射，则存在着x 的一个唯一的不动点 x 0e x 使得 w ( x o ) = 知 下面主要介绍下文经常用到的函数空间的一些基本结果 定义1 4 9 连续的实函数空间c ( n ) c ( q ) 表示在有界闭区域q 上的连续的实函数空间，c ( n ) 上的范数定义为 纠i “i l c c 锄2 裟j “p ) i 空间c ( n ) ，k n 是由n 上的七次连续可微函数的全体组成，其上的范敷定义 如下s l i 牡l l c t = l l t 正l l c t ( n ) = m a x l l 严t i i c ( n ) ln z 芊，i a i 南 ， 其中，多重指标口= ( n l ，a 2 ，) ，( o z + ) ， l 口i = a 1 + + ，a a = 沪1 0 a 2 a “ 定义1 4 1 0 可积函数空间扩( n ) ( 1s p o o ) 口( n ) ( 1 p o o ) 表示使如下的范数是有限的n 上的可测函数的全体， 洲“i i p = ( 上i ，哟聊 工户( q ) 表示q 上的本性有界函数的全体，其范数为 | | 缸j | o 。= = “i | l = ；e s s s u p i t ( 茹) | fz n 定义1 4 1 1s o b o l e v 空i 司w k , p ( n ) ，k z + ，1s p s o b o l e v 空间w k , 9 ( q ) ，z + ，1 p o o 的范数定义如下t 忆= ( 到州腥，) m a 却 l o i s 七 如果p = 2 ，则这个$ o b o l e v 空间就是h i l b e r t 空间h ( n ) ，即就是h k ( n ) = w k , 2 ( n ) 。 且嚣( 0 ) 的内积定义为 ) _ l 墓上讹p ) 执扛 空间w k ，( n ) 就是伊( n ) 按范数( 1 4 3 ) 的完备化璐( n ) ，瞄( q ) 分别表示 c 矿( q ) 在小( n ) ，w k , 9 ( q ) 中的完备化 h 一( q ) 表示空间日杏( q ) 的对偶，范数定义为 护唧 槲璐c n 加。) 。 则 定理1 4s o b o l e v 嵌人定理让1 0 ， l 巩+ 7 v 毗一a o = 0 ， $ n ，t 0 ， 证明了该方程组所确定的解半群的全局吸引子的存在性，这表明上面黏弹性和热 黏弹性体自治方程组在没有外部阻尼时，仅有内部线性记忆项的情况下所确定的 解半群即可产生全局吸引子 第三章，考虑有阻尼半线性波动方程( 关于该方程的参数和假设条件及相关 的研究背景见第三章第一小节) ： t “+ 口t 缸一a u + l ( u ) = g ( z ) ，( 茁，t ) nx 矿 在非线性项，( u ) 具有i i 占界指数时全局吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界估计式运 用全局吸引子在高正则空问范数下的有界性，得到文献【1 】中方程在非临界指数 时的全局吸引子的h a u s d o r f f 维数上界也是临界指数时的全局吸引子h a u s d o r f f 维 数的上界，从而改进了文献f 2 】的估计 第四章，考虑具有外加阻尼的非自治黏弹性和热黏弹性体方程组( 关于该方 程组的参数，假设条件以及相关的研究背景见第四章第一小节) ： ， j “+ 九( 啦) 一( o ) t 一j ( 8 ) z x u ( t 一8 ) d s + 7 c v 0 + ，( “) = g ( z ，t ) ，z o ，t r ， i 巩+ 7 v 撕一a o + e ( p ) = 0 ，z n ，t 一 的全局周期吸引子的存在性，当外力项是时间周期时，我们证明了系统有唯一的 周期解且它指数吸引任何有界集 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 第二章黏弹性和热黏弹性体方程组的全局吸引子 2 1 准备工作 设n 为印中的个有界开子集，且有充分光滑的边界a n ，考虑下面黏弹 性和热黏弹性体方程组的初边值问题； t 一( o ) u j 铲k ( 8 ) a u ( t s ) d o + 7 c v 0 + ，) = 9 0 ) ， z q ，t 0 ， 巩+ 1 v 饥一口= 0 ，z n ，t 0 ， u ( z ，0 1 。a o = o ( x ，0 1 。舳= 0 ，t r ， ( 2 1 1 ) u ( $ ，t ) = t 0 ( z ，t ) ，$ n ，t s0 ， o ( x ，t ) = 0 0 ( z ，t ) ， 霉n ，t 0 ， 其中7 0 ，c 0 ，( 0 ) ，k ( o o ) 0 v8 f 矿，0 ) 0 t = t ( z ，t ) ，口= 0 ( z ，t ) 是 n 【0 ，) 上的两个实值函数，u 0 8 ) = “( $ ，t - s ) ，( t ) 俨( r 固，夕( z ) 丑3 ( n ) 在h e l m h o l t z 自由能关于过去温度差忽略的情况下，方程组( 2 1 1 ) 是b o l t z - m 啪型黏弹性杆的扭转运动模型，其中“( 耳t ) ，0 ( x ，f ) 分别表示在位移为z ，时间 为t 处对平衡位置的角位移和温度差，y 0 ，c 0 是热效力的耦合系数k ( 0 ) 0 是瞬间弹性模量，k ( o o ) 0 是平衡弹性模量 取叩( z ，t ，8 ) = u ( x ，t ) 一( z ，t s ) ，p ( s ) = 一( s ) ，k ( o o ) = 1 ， ( z ，t ) = t “( z ，t ) ， 则方程组( 2 1 1 ) 可化为 u t = 可 仇= t + j 矿_ l 上( 8 ) 町( 8 ) d s 一，y c v 口一，( t ) + 夕( 茹) ，( z i 2 、 巩= - t v v 十p ， 吼2 t ，一仉， 初边值条件为， t ( z ，t ) l $ e s i - 2 = p ( z ，t ) l $ a n = 0 ，t20 ， 7 ( z ，t ，s ) l 。a n = 0 ，8 舻，t 0 ， o ( x ，t ，0 ) = 0 ，z e n ，t 20 ， t ( z ，0 ) = t 1 0 ( $ ) = t l o ( z ，0 ) ，z q ，( 2 1 3 ) 口( $ ，0 ) = t j 0 ( z ) = 岳t o ( $ ，t ) i t = 0 ， z o ， 口( z ，o ) = o o ( z ) ：= 日o p ，o ) ，z n ， ，7 ( z ，0 ，s ) = 伽( z ，8 ) = 如( z ，0 ) 一伽( z ，一。) ，仕，8 ) n 矿 弘以刁+ ( z ) ， 一) 觚砂t 0 ， ( 2 1 4 ) iz ( 0 ) = = ( “o c z ) ，w oc z ) ，( z ) ，o o ( z ，8 ) ) r ，( z ，8 ) o 矿， 。 lcz，=t+j；三；孑一7cv8， c 。- s ， f 0 ( z ) ：l 一，( “) + 9 ) l o 、0 文献f s z 讨论在，y 0 ，( “) ，g ( 霉) 均为0 时的线性系统，证明了此时由( 2 1 4 ) 确定的解半群 s ( t ) ) t o 指数稳定文献【叫证明了在7 = 0 ，且有外力项a u t 时 2 鲤z 生土瀣太堂亟堂僮迨塞! 鱼 方程组( 2 1 1 ) 的全局吸引子的存在性本文证明了在7 0 ，( h ) ，g ( $ ) 均不为0 时，系统( 2 i 4 ) 确定的解半群的全局吸引子的存在性，这表明系统( 2 1 4 ) 由积 分项所蕴涵的耗散性在没有外部阻尼的情况下可产生全局吸引子 2 2吸收集的存在性 由文献( 3 3 】知( 2 1 5 ) 式中的线性算子二：局一日可生成岛。半群，t 0 ， 且e n 指数衰减，即存在常数口，u 0 ，使得v t 0 ，i ij e 血川s 口e 刊，其中 表示算子范数 由于i ，( u ) 一f ( o ) 1 2 = ( ，代1 ) ) 2 i i 2 ，其中矗介于0 和t 之间，因为“日a ( q ) c l 2 ( f 1 ) ，即如2 d x 存在，亦即如( ，( f 1 ) ) 2 i i 2 d x 存在，从而，n f ( u ) 一，( o ) 1 2 如存 在，由假设( 凰) 中的f ( o ) = 0 ，知f ( u ) l 2 ( n ) ，再结合夕( z ) 月3 ( n ) ，所以 ( - f ( u ) + 9 ( z ) ) 工2 ( q ) ，即n ( z ) ：历一髓 对于五= ( 啦，q ，哦，喁) t e 1 ，i = 1 ，2 ， i n ( z o n ( z 2 ) i 色= 0f ( u 1 ) 一，( t 2 ) 0 2 = f n i ( u ，) 一，( t 2 ) 1 2 出 = 上i ，( 洌2 h 地i 2 如， n 3 l ib 1 一眈f 1 2 0 3 l 历一历i 勃，( 2 2 6 ) 其中在t l 和“2 之间，从而n ( z ) ：毋一目关于z 是全局l i p s c h i t z 的连续函 数 由文献【3 1 】第6 章中关于发展方程解的存在唯一性理论得 引理2 2 1 假设( h 0 一( i 3 ) 成立，vz o e l ，初值问题偿j 4 ，存在唯一解z ( ) = z ( ，z o ) e ( 【o ，+ o o ) ；e 1 ) ，使得z ( o ，z o ) = 历，且z ( t ) 满足积分方程 z ( o ：e n z o + ，e 工( t - r ) ( z ( r ) ) d r ( 2 2 7 ) j o z ( t ) 称为r 2 1 4 ，的一个m i l d 解 v t o ，引入映射s ( t ) ：g o = ( t l o ，v o ，伽) t z ( t ，7 , o ) = ( t ) ，口( t ) ，口( t ) ，7 ( t ) ) r ， 其中z ( t ，疡) 是( 2 1 4 ) 的一个m i l d 解，则 s ( t ) ) t o 定义了易上的一个连续半 群 令8 l = 0g1 i i ，由n ( z ) = ( 0 ，一，( t ) + 9 ( z ) ，0 ，o ) r ，结合( 日3 ) 我们有 i 偿( t ) ) i 致= i i f ( u ) + g8 2 2 ( i f ，( “) 0 2 + 0g 仰 z ( 上j ，( u ) 1 2 如+ 砉怕晴) sz ( 上碚如+ 詈) = 2 ( o 毫l a l + 譬) ，( 2 2 8 ) 由( 2 2 8 ) 知存在常数碹= 2 ( 0 2j q l4 - 磬) 0 ，使得i n ( z ( t ) ) i e , s 口2 ，其中 i q l = 如出， 1 为一在丑3 ( n ) 中的第个特征根 所以对g o e 1 ，由( 2 2 7 ) 有 s ( t ) z o i 历：i z ( t ) l 历 sl e z t z o 岛+ i t e l ( t r ) ( s ( r ) z o ) d r l 历 霄e - “l z o l 肪+ 眈f t ( t r d r e 一“i z o l 历+ 号警( 1 一e 一“) s 口i z 0 i e 。+ ! 笺垒，v t 0 ( 2 2 9 ) 于是可以选一个半径为r = 2 警的球b o ，球玩吸收毋中的任何有界集 b ，即日。为半群 s ( t ) t o 的吸收集，在有限时间t ( b ) 后，有s ( t ) bcb o 2 3 全局吸引子的存在性 设z ( t ) = s ( t ) z o 为( 2 1 4 ) 的解，取 玩( t ) = 既( t ) z o 一 = e l t z o = ( l ，观，既，钆) r ，vt 0 ，( 2 3 1 0 ) z n ( t ) = s ( t ) z 0 =t e l ( t - r ) n ( s ( r ) z o ) d r = ( u n ，t j ，o n ，铆) r ，v t 0 ，( 2 3 1 1 ) 初值z l ( o ) = z o ，z n ( o ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，) r ，则 s ( t ) = 既( t ) + s n ( t ) 引理2 3 1 若( 研) ( 玩) 成立，对t 0 有 i z l ( t ) i 局= ( 0t 也( t ) 孵+ 0u l , t ( t ) 0 2 + c0 日工( t ) 0 2 十q l ( t ) l 瞌) sl z o l e l 留e 一“， ( 2 3 1 2 ) 其中r l l ( x ，t ，8 ) = u l ( x ，t ) 一u l ( x ，t 一5 ) 证明：由( 2 3 1 0 ) 可知对t 0 有 i z l ( t ) i e ，= i ( u l ( t ) ，t l ，t ( t ) ，o l ( t ) ，氍( ) ) t l 历 = 【e l t 历l 既 si z o l e l 四e 一矾， 证毕 引理2 s 2 若( h 1 ) ( h 3 ) 成立，对g o