（系统分析与集成专业论文）离散系统鲁棒模型参考自适应控制.pdf

摘要 论文主要研究了离散系统鲁棒直接模型参考自适应控制方案以及利用李亚普诺夫函数 分析离散系统m r a c 的鲁棒性论文分为以下两部分： 1 离散系统的鲁棒直接模型参考自适应控制方案 考虑下列具有输入干扰的线性时不变系统o y l ( ) = g ( z ) ( 1 + p ( z ) ) 心+ d l l ( t ) + d 2 ( ) ， 这里g ( z ) 是系统的传递函数，( z ) 代表多变量不确定系统，d l 和d 2 是有界输入输出干扰 控制目标是设计输出反馈控制器u 使得闭环系统的所有信号都一致有界，并且系统的输 出可尽可能地跟踪下列参考模型的输出 跏( 。) = ( 洲( 。) 全赢m ) 其中参考模型的输x t ( t ) 是一致有界的为了实现该控制目标，第二章提出的系统假设和参 考模型假设是必要的 该部分通过利用某些离散时间的结论，比如关于输入输出c p 和c 2 6 的性质，交换引理i 和交换引理i i ，建立离散自适应律的性质，定义规范化信号并将规范化信号与闭环系统的 所有信号联系起来等这样可以如同连续时间系统的分析一样来分析离散时间m r a c 方 案的稳定性和鲁棒性 2 带有界扰动的线性离散系统模型参考自适应控制 考虑下面单输入单输出的线性离散时间系统 删= 硒b ( q - 1 ) 乱( 忌) + 州 ( 0 0 1 ) 其中让( 七) 和可( 尼) 分别为系统的输入和输出，巧是干扰，a 和b 是向后位移算子q 一1 的互质多项 式，具体形式如下 a ( q 一1 ) = 1 + a l q 一1 + + a n q 一疗 ( 0 0 2 ) b ( q 一1 ) = q - d ( b o - fb l q 一1 + + 6 。g m ) = q - d b 7 ( g 一1 )( 0 0 3 ) 其中d = 佗一m 为时滞且b o 已知 该部分是利用李亚普诺夫函数来分析线性离散系统的鲁棒性我们采用了一种新的带 死区的自适应律来进行稳定性分析通过李亚普诺夫函数的选取，系统的所有变量有界并 且跟踪误差信号渐进收敛 1 关键词离散时间系统? 模型参考自适应控制，直接，稳定性，鲁棒性，李亚 普诺夫函数，干扰有界，新的死区函数 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht w ot h e o r e t i c a lp r o b l e mo fr o b u s ta d a p t i v ec o n t r o l ：r o b u s t d i r e c tm o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ec o n t r o lf o rd i s c r e t e - t i m es y s t e m sa n dm o d e lr e f e r e n c ea d a p - r i v ec o n t r o lf o rl i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m su n d e rb o u n d e dd i s t u r b a n c e s ，w h i c hi sc o m p o s e d o ft h ef o l l o w i n gt w op a r t s 1 d i s c r e t e t i m er o b u s td i r e c tm o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ec o n t r o l l e tu sc o n s i d e rt h ed i s c r e t e - t i m el i n e a rp l a n t 陟】( t ) = g ( z ) ( 1 + p ( z ) ) 【u + d 1 ( t ) + d 2 ， w h e r ec ( z ) i st h et r a n s f e rf u n c t i o no ft h ep l a n t ， a ( z ) r e p r e s e n tm u l t i p l i c a t i v ep l a n tu n c e r - t a i n t i e s d 1a n d 如i sb o u n d e di n p u td i s t u r b a n c e s 。 c o n t r o lo b j e c t i v ei st od e s i g na no u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l 乱s u c ht h a ta l lt h es i g n a l si n t h ec l o s e d l o o ps y s t e ma r ea l lu n i f o r m l yb o u n d e da n dt h eo u t p u tyc a nt r a c kt h ef o l l o w i n g r e f e r e n c em o d e lo u t p u ty ma 8c l o s ea sp o s s i b l e = ( 州全南m ) f o ra n yr e f e r e n c es i g n a lr ( ) ，w h e r er ( t ) a r eu n i f o r m l yb o u n d e d t om e e tt h ec o n t r o lo b j e c t i v e ， t h ea s s u m p t i o n so ft h es y s t e ma n dt h er e f e r e n c em o d e la x en e e d e di nt h es e c o n dc h a p t e r i nt h i sp a r t ，b yu s i n gt h ed i s c r e t e - t i m ec o n c l u s i o n so nt h e 岛a n d 2 6r e l a t i o n s h i pp r o p - e r t i e sb e t w e e nt h ei n p u ta n dt h eo u t p u t ，a n dt h es w a p p i n gl e m m a sia n di i ，e s t a b l i s h i n g t h ep r o p e r t i e so fd i s c r e t e - t i m ea d a p t i v el a w ，d e f i n i n gt h en o r m a l i z i n gs i g n a l ，a n dr e l a t i n gt h e s i g n a lw i t ha l lt h es i g n a l si nt h ec l o s e d - l o o ps y s t e m ，t h es t a b i l i t ya n dr o b u s t n e s sp r o p e r t i e s o ft h ed i s c r e t e - t i m em r a cs c h e m ea r ea n a l y z e dr i g o r o u s l yi ns y s t e m a t i cf a s h i o na si nt h e c o n t i n u o u s t i m ec a s e 2 m o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ec o n t r o lf o rl i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m su n d e rb o u n d e d d i s t u r b a n c e s c o n s i d e ras i s ol i n e a rd i s c r e t e t i m es y s t e md e s c r i b e db yt h ef o l l o w i n gm o d e l 绗) = 端m 川 w h e r e 仳a n dya r et h ei n p u ta n dt h eo u t p u to ft h es y s t e mr e s p e c t i v e l y , ji st h ed i s t u r b a n c e aa n dba r ec o p r i m ep o l y n o m i a l si nb a c k w a r ds h i f to p e r a t o rq 一1g i v e nb e l o w a ( q 一1 1 = 1 + a l q 一1 + + a n q n i l l b ( q 一1 ) = qd ( 6 0 十b l q 一1 + + 6 m g 一) = q - d b7 ( 口一1 ) w i t hd = 几一mb e i n gt i m ed e l a ya n db ok n o w n t h i sp a p e rc o n s i d e r sr o b u s t n e s sa n a l y s i so fl i n e a rd i s c r e t e t i m ea d a p t i v ec o n t r o lu s i n g al y a p u n o vf u n c t i o n f o ran e wa d a p t i v el a ww i t had e a dz o n e ，w ed e v e l o pam e t h o df o r s t a b i l i t ya n a l y s i sb a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n s w i t ht h ec h o s e nl y p u n o vf u n c t i o n ，t h e b o u n d e d n e s so fa l lt h ev a r i a b l e si nt h es y s t e mi se s t a b l i s h e da n df u r t h e r m o r e ，t h et r a c k i n g e r r o ri ss h o w nt oa s y m p t o t i c a l l yc o n v e r g et ot h es i z eo fd e a dz o n e k e y w o r d s ：d i s c r e t e - t i m es y s t e m s ，m o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ec o n t r o l ，d i - r e c t ，s t a b i l i t y ，r o b u s t n e s s ，l y a p u n o vf u n c t i o n ，b o u n d e dd i s t u r b a n c e ，an e w d e a dz o n ef u n c t i o n i v 酞 r ” r ”n z + i a t 木 a o ( 0 ) a ( ) b r + e 话 a t a 1 ab a2j e i 0 岛 d i a g ( a l ，k ) 九 盯：k _ s 符号说明 实数集 n 维实向量空间 实mx 咒矩阵集合 正整数集 单位矩阵 矩阵a 的转置 由矩阵的对称性得到的矩阵块 a 是正定( 半正定) 矩阵 a b 是正定( 半正定) 矩阵 正实数空间 第i 行第歹列元素为l ，其余元素为0 的矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的二范数 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a b 为正定矩阵 矩阵a 日为非负定矩阵 零向量或线性空间的零元素 第i 个分量为l ，其余分量为0 或1 的向量 以入1 ，k 为对角元素的对角矩阵 矩阵a 的第i 个特征值 盯是集合k n 集合s 的映射 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士日论文离散系统鲁棒模型 参考自适应控制，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士 留学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含 他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名： 训天寺也 1 日期：卅、孑 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“”) 离散系统鲁棒模型参考自适应控制系本人在曲阜师范大学攻读博士口硕 士d 学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士困学位论文本论文的研究 成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存，使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲 阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全 部或部分内容 作者签名： 导师签名： 引又靶 扣弘 日期：渺9 多加 ， 日期：叫弓矽 第一章绪论弟一早三百 下匕 1 1 鲁棒自适应控制 自适应控制是现代控制中最具活力的分支之一经过近半个世纪的发展，它已经形成了 较为明晰的理论体系和相对成熟的设计方法，并且随着计算机技术的发展，它在实践中被 越来越广泛地使用它的内容和性能已被某些新的技术( 如人工神经网络，模糊逻辑) 充实和 提高，它的工作机制己被其他一些控制策略( 如预测控制，鲁棒控制) 借鉴和发展，它在高等 级控制中具有一定的典型性和先进性 在反馈控制和最优控制中，都假定被控对象或过程的数学模型是已知的，并且具有线性 定常的特性实际上在许多工程中，被控对象或过程的数学模型事先是难以确定的，即使在 某一条件下被确定了的数学模型，在工况和条件改变了以后，其动态参数乃至于模型的结 构仍然经常发生变化在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控制品质。为此， 需要设计一种特殊的控制系统，它能够自动地补偿在模型阶次，参数和输入信号方面非预 知的变化，这就是自适应控制而自适应控制器的特点就是它能修正自己的特性以响应过 程和扰动的动力学特性变化自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这 里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的，其中包含 一些未知因素和随机因素自适应控制和系统辨识是分不开的 近年来，鲁棒自适应控制的研究取得了较大的进展 2 0 1 2 1 】通过引入符号跟随系统和符 合参考模型使误差模型的传递函数严格正实化，从而有效地解决了因部分建模所引起的摄 动问题【2 2 】和【2 3 】通过引入死区来保证整个系统的信号为界，但需要有关外部扰动的先验 信息2 4 通过引入附加项到常规的自适应律中，提出了一种称为d r 修正法的鲁棒自适应律， 这种方法不需要任何附加信息而能保证信号有界，但其附加项却使跟踪误差产生一较大的 偏移 自适应控制理论为实际应用提供了可靠的保证，在生物，石油化工，冶金，电子产品，信 号处理，图象识别，语言系统和若干尖端技术领域都有成功的应用，并且它也对其它学科的 发展产生了越来越大的影响 1 2 模型参考自适应控制 所谓模型参考自适应控制：就是在系统中设置一个动态品质优良的参考模型，在系统运 行过程中，要求被控制对象的动态特性与参考模型的动态特性一致，例如要求状态一致或 输出致模型参考自适应控制是一个有力而成熟的自适应设计方案，它有着严密而系统 化的理论基础，引人注目的应用前景和简洁方便的设计程序因为系统参数未知，那么就需 要自适应律在线校正，由此模型参考自适应控制分为直接型与间接型两种类型前者控制 器参数直接由自适应律在线校正；后者自适应律仅对系统内部参数在线更新，然后通过解 某一个代数方程，由系统参数的在线估计计算出控制器的参数估计另外，无论是直接型还 是间接型，根据是否拥有规范化自适应律，又分为具有规范化自适应律的与非规范化自适 应律的模型参考自适应控制前者允许自适应律与控制器的设计可以分别进行，设计灵活， 可选取大量不同的自适应律，比如基于梯度算法，最d - - 乘算法或李亚普诺夫函数的不同 自适应律，但其稳定性分析较复杂；后者仅通过李亚普诺夫函数的方法来校正参数，控制器 与自适应律的设计比较复杂，而该方案的稳定性分析较简单 关于模型参考的第一篇论文【2 5 研究了基于李亚普诺夫方法的设计方案最杰出的工作 是文献2 6 1 把增广误差引入到模型参考自适应控制，从而得到了一大批关于全局稳定的自适 应算法的结果，比如文献【2 7 】【3 3 研究系统不断地扩展，由最初的s i s o 系统到m i m o 系 统，把前者的许多结论都平行的推广到后者，参见文献【3 4 - 【4 0 等另一方面，对于连续系统 的模型参考自适应控制的许多结果也平行推广到离散时间系统上去，参见文献【3 6 】- 3 8 】等， 但这些结果或者对系统增加更多的假设条件，或者分析过程中引入滤波变换及过多的中间 变量，而对于连续系统，像文献 3 9 1 把系统化方法推广到离散时间系统的结果还未出现连 续与离散时变系统的模型参考自适应控制的研究也一直是一个活跃的课题，许多建立起来 的时变自适应控制方案，可以保证闭环系统稳定与跟踪误差在均方意义下有界，但参数的 变化一般都限制在一个较小的区间 1 3鲁棒模型参考自适应控制 前述的自适应控制系统一般都是针对被控对象结构已知而参数未知的情况下进行设计 的实际上被控对象的结构往往不能完全确定，例如对象特性中常附有未设计及难以设计 的寄生高频特性，并且输入和输出信号的测量常会被噪声所污染当利用理想模型设计的 控制器应用到实际系统中时，就不能达到期望的性能指标，有时甚至会发生不稳定的现象 因此，从实用的观点看，七十年代蓬勃发展的自适应控制理论在八十年代初期颇受争议 2 不稳定现象的出现激发人们去研究不稳定的机理并寻找克服这种不稳定的方法八十 年代中期，人们对原来的自适应系统提出了各种各样的修正，并重新进行了设计，形成了一 种新的研究领域一鲁棒自适应控制在存在某种未建模动态和输入输出干扰的情况下，这种 鲁棒自适应控制器仍能保证信号的有界性这方面的工作可参考文献 3 9 】 1 4 本文解决的主要问题 本文主要研究了离散系统模型参考自适应控制方案众所周知，传统的模型参考自适应 控制技术已经非常成熟，并有了完整的设计方案和分析步骤本文就是在已有结果的基础 上，分别研究了离散系统鲁棒直接模型参考自适应控制方案以及利用李亚普诺夫函数分析 离散系统m r a c 的鲁棒性，分下面两部分进行阐述， 1 ) 针对一类带有加性不确定项，输入干扰和输出干扰的离散系统进行了带有规范自 适应律的鲁棒直接模型参考自适应控制的分析和设计 经典的离散时间模型参考自适应控制都是基于g o o d w i n 的关键技术引理来分析，最近， t a og a n g 平行于连续时间的交换引理，建立了离散时间显式交换引理f 5 】，正如连续时间那 样，建立了一种系统化的分析证明方法但是，该方案用离散时间显示交换引理去分析的稳 定性较复杂本部分结合最近建立的隐式交换引n 1 a ，针对一类带有加性未建模动态项， 输入干扰和输出干扰的离散系统，建立起完全等同于连续系统的相关结果，分析证明更加 简洁，从而在连续与离散时间的鲁棒模型参考自适应控制两种方案建立了统一化理论结果 而且，现实中由于建模误差产生的未建模动态和由于系统外在环境的不确定性产生的干扰 都是不可避免的 2 1 利用李亚普诺夫函数来分析线性离散系统的鲁棒性 在离散时间系统自适应控制中，为减小参数漂移( p a r a m e t e rd r i f t ) ，所有未知参数的估 计算法都是规范化的，无论基于关键技术引理还是用本文第二章提供设计与分析方法，都 不能保证误差系统的李亚普诺夫稳定。主要障碍在于：( 1 ) 李亚普诺夫的差分不再是参数误 差或参数误差的增量的线性函数；( 2 ) 二次李亚普诺夫函数的差分是估计误差的二次函数， 来自于估计算法的负定项不能辖制来自与动态系统不定项，因为不定项是未规范化的而负 定项是规范化的事实上，障碍( 2 ) 在分析中是致命的缺陷，为此，本部分引入对数李亚普诺 夫函数，使得该李亚普诺夫函数的差分中不定项是规范化的，并且设计了一种新的带死区 的自适应律，来进行稳定性分析通过李亚普诺夫函数的选取，系统的所有变量有界并且跟 踪误差信号渐进收敛，可以使跟踪误差任意小，这是传统方案和第二章的方案都不能做到 的 3 第二章离散系统直接模型参考自适应 控制的鲁棒性分析 2 1引舌 在过去的二十年中，对于线性连续系统，因必然等价原理自适应设计简单以及为了保持 对系统建模误差的鲁棒性，使得带有规范性自适应律的必然等价控制器在自适应控制中占 有重要的地位( 见 1 】，f 2 ，f 3 】， 4 】， 5 】和其引用的参考文献) 这些控制器和自适应律都是独立设 计的，即先根据控制目标在假定参数已知时设计出控制器的结构，再根据必然等价原理给 出用于执行真实控制器，然后根据规范化误差系统设计出规范化自适应律，推出在线参数 估计来代替控制律中未知参数，从而完成整个设计过程其中规范化的自适应律选取有很 大的灵活性，有多种选择，既可以是梯度算法，也可以是最小二乘算法这类自适应控制器的 一个重要特征是规范化误差的利用，可以允许自适应律和控制律设计的完全分离，通过利 用c 2 6 范数，连续情形的交换引理和b e l l m a n - g r o n w a l l 弓i 理，来详细且系统地来分析自适应 控制方案的稳定性和跟踪误差的收敛性 根据我们的了解，最早将类似理论应用于离散系统的是【6 1 ，将连续时间系统的内模控制 方案推广到离散时间系统的自适应内模控制方案，并利用纯最小二乘算法的参数收敛性质 建立了理想情况下的稳定性而 7 】中，s i l v a 和d a t t a 进一步考虑有模型误差出现的自适应内 模控$ o ( i m c ) 最近， 1 2 j 如连续时间情况一样，系统地研究了带有规范化自适应律的离散鲁 棒直接模型参考自适应控制【1 3 进一步系统分析了带有自适应律离散间接型模型参考自适 应控制 2 2 问题的提出 考虑下面线性离散时不变系统： 囟j ( t ) = g ( z ) ( 1 + p ( z ) ) m + d 1 ( t ) + d 2 ，( 2 2 1 ) 其中y ，u r 分别是系统的输出和输入信号，其中 g = 锗， 碌( z ) = z n + a n - l z ”一1 + + a l z + a o ， 4 乙z ) = z + b m - 1 z m 一1 + + b l z + b o ， 其中，a i 和6 ，是未知常参数，( z ) 代表多变量彳i 确定系统，d l 和如是有界输入输出干扰，即 存在常数d 0 1 和d 0 2 使得 i d l i d 0 1 ，i d 2 | d 0 2 z 用来代表z 变换或者前向位移算子，定义为z h ( t ) = z ( t + 1 ) ，即z _ 1 是延迟算子，z - 1 m ( ) = x ( t 1 1 参考模型选为 ( 。) = ( z ) m ) 全赢m ) ( 2 2 2 ) 其中r 是一致有界的参考输入 模型参考自适应控制的目标是寻找系统的输出反馈控制信号u ( ) ，使得闭环系统的所有 信号有界并且使系统的输出尽可能的跟踪( t ) 为了更好地分析和设计系统( 2 2 1 ) 的模型参考自适应方案，需要做如下的假设： 系统假设： 1 ) ：1 磊( z ) 是稳定的( 即磊( z ) 的所有零点在复平面单位圆内) ，并且对于6 ( 0 ，1 】在i z i 6 中是解析的 ( a 2 ) ：扎，m 和相对阶= 佗一仇1 是已知的 ( a 3 ) ：的符号已知并且存在己知常数础 o 使得l 如l 0 ，1 a ( z ) 在l z i 怕中解析 在( z ) = 0 ，d 1 = d 2 = 0 的情况下，要使y = y m 成立，可建立匹配条件 噬= 笛1 ， 伊；t q ( z ) + ( p ；丁q ( z ) + 呓a ( z ) ) 乙( 2 ) = a ( z ) ( 局( z ) 一噬p m ( z ) 乙( z ) ) ， 在a ( z ) = 0 ，d 1 = d 2 = o 的情况下，y = 很容易达到目+ 的存在性可以由 5 】来保证 由( 2 2 1 ) 和( 2 3 3 ) 可得 ( a p ：丁口) ( z ) 可= ( 镌r q + 铭a ) 乙+ a p ：p m z 翻妙 = ( a 一护：t q ) 如乙u + ( a 一目：丁q ) ( 肛乙钆 + k p z p ( 1 + # a ) d l + d 2 1 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 用稳定滤波器l a ( z ) 对( 2 3 4 ) 式两边进行作用，并变换各项的位置，整理可以得到护+ 的参数 化模型， e 7 o 击 ( 让坩t 卅吼 ( 1 - 8 钆 7 7 1 = # a u + ( 1 + # a ) d l + d 2 ， 其中e 全秒一y m ，由( 2 3 5 ) 可以选择必然等价的自适应控制器为 乱： ，t 0 2 6 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 其中口= 汐 ，鳄，o s ，目a 】丁是护4 的估计因为锈是常数，( 2 3 5 ) 式可以进一步改写为 如= ( z ) 吻，= p ，u 多，y ，k 1 ( z ) 可】t 三= 护r 九， ， 名一三一一百t 如一7 7 ，：= 一= = ：一 c t + l ，= 琶( c o s i g n ( 1 三一鳄。十1 ，l 鳄( 。三：2 c 0 其中r o 是一个增益矩阵，盯 0 ，p o 是9 + 估计的初始值，c o = 1 霹 0 ，碟是由假设( a 3 ) 定 则鲁棒自适应律( 2 。3 。9 ) 保证，对于所有t o ，1 ，) ， ( i ) 口( ) 和( ) m ( t ) 有界； ( i i ) ( 舌) m ( ) 和护( t + 1 ) 一o ( t ) d ( 籍) ； ( i i i ) i 吼( ) i c o 其中d ) 全 z ( ) l 对u ：z + hr + ，存在有限常数c o ，c 1 o 使得对于任意o 和1 ， 有搿，( ) z ( ) c 0 醚u ( ) + c l ，z ：z + h 舻) 证明：见第5 节 7 2 4 主要结果 在给出主要结论之前我们需要。些预备知识 定义2 1 ：对于任意信号z ：z + hr “以及任意0 6 1 ，t 0 ，离散时间信号z ( t ) 的2 6 范数定义为 虻( 壹矿卿) 训v 2 ， i = 0 其中6 与假设a 1 中所提到的6 一致 范数阶) 怯是数列z ( z ) 在0 i 的指数加权的c 2 范数定义当6 = l 幂i l t 0 那么存在常数p + 0 ，使得对于任意p 0 ，p 4 ) ( i ) 闭环系统所有信号一直有界 ( 钇) 跟踪信号 其中 e = y y m s ( a ；+ p ( ( o ；+ o ：矿) 乙+ ；) + 镌) 。= l ia i i 。6 ，2 = l i z w m ( z ) ( z ) 1 2 6 证明：证明分为四步 第一步：利用务t “，来表示闭环系统的输入输出信号 由( 2 2 2 ) ，( 2 3 5 ) f f 6 ( 2 3 6 ) 得， 秒= y m + e = ( r + 击伊u ) + 嘞， 珊= 警毗砌， ( 2 4 2 ) 再由( 2 2 1 ) ，( 2 3 1 ) ，w m ( z ) = 1 p m ( z ) 和假设a 1 ，a 2 以及尬可以得到闭环系统的输入为： 乱= g 一1 ( z ) w i n ( z ) ( r + 言；每丁u ) + 刀。， 吼= g 1 z ) t y - - 1 7 1 = 盟铲毗砌 并可以得到g 一1 ( z ) 稳定且正则由假设尬，& 显然可以得到严格正则 1 0 ( 2 4 3 ) 因此将引 理2 3 应用于( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) 并带入( 2 4 1 ) 可以得到 ( 叼o ) 卜l 怯 a ( z ) 一p i 丁乜( z ) a ( z ) c # a 。m s ( t ) + c d o ， ( 机i i 。a i i 訾 ( p i i a i i o 。6 | l u t 一1 1 1 2 6 + 1 1 1 + p l l 。6 d o l + d 0 2 ) 0 0 0 冬c t t a ：m f ( t ) + c d o ， ( 砒i i 。a 盟铲 c # a ：m f ( t ) + c d o ， ( p l l w m x l l 。6 l i 饥一l i l 2 6 + c d o o 。o y t - 1 | l 玉c + c l l ( o t u ) t 一0 玉+ 矿；m ( ) + c 瑶， u t - 1i i 刍c + c l l ( t j 丁u ) t 1i 鹰6 + c 肛2 ；m ；( ) + c 瑶， m ；( ) c + c l l ( 舀丁u ) t 一，| l 玉+ c 弘2 ；m ；( ) + c 瑶 其中c o 是有限常数，d o = m a x d o l ，d 0 2 ，a 。= l i a i i 。6 ，1 = l i w m a l l 。5 第二步：利用离散时间交换引理和引理2 6 来界定i | 矿i i 的上界 定义 u 。= p f ，u 手，可】t ，= 9 ：丁，丁，鳄】t ， 显然 由( 2 3 5 ) 和( 2 4 2 ) 得 因此 即 如= 孵，露，p s j t ，鼠= 8 0 一铭， 7 2 伊u ： 俨u = 露岫+ 盈r 陈1 ( z ) 可一( 1 噬) 俨u 一( 1 e ：, ) r o 醪龇+ 瓯陈1 y 一( 鼠噬) 百丁u 一( 以噬) 珈 = 伊坼一( 以噬) 百丁u 一( 以噬) 7 7 0 俨= 老舀t - + 毒哟， 1 1 ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 凶 + 射卜 肛 其中u 。定义于( 2 3 7 ) 下面利用纬= ( z ) 和引理2 4 可以得 w ，m ( z ) 百7 1 】( 一1 ) = 舀丁( 一1 ) w m ( z ) b 】( 一1 ) + 职( z ) ( 眠( z ) z 瞄 ) ( z 一1 ) 咖( 一1 ) = o t ( t 一1 ) 如( z 一1 ) + 眠( z ) ( 吼( z ) z 蟛】) ( z 一1 ) 嘲( t 1 ) ( 2 4 6 ) 其中职( z ) ，肌( z ) 严格正则并与( z ) 有相同的极点由己j i n 2 5 ，选择o o 满足1 0 0 l 、6 2 ， 可以得出 莎丁】( 一1 ) = r ( z ，知) 眵t 】( 一2 ) + f ( z ，0 0 ) 眵t 坼】( t 一1 ) ( 2 4 7 ) 并且其中 i i f lz ，a o ) l l 。5 0 2 0 ，l i f ( z ，a o ) w 磊1 ( z ) l l 。6 c n ；4 ， 其中c 是独立于a o 的常数， t ( z ，a o ) = o 子( z + a o ) 矿，r ( z ，a o ) = ( 1 一f ( z ，a o ) ) z ， 矿由假设a 2 来定义将( 2 3 8 ) 式，( 2 4 5 ) 式和( 2 4 6 ) 式代入( 2 4 7 ) 式可以得 【舀t 呻 ( 一1 ) r ( z ，o o ) 矽t 】( 一2 ) + f ( z ，q o ) 陈1 ( z ) i 伊 + 职( z ) ( 眠( z ) z p 吾】) ( z 一1 ) 【司 i ( t 一1 ) n ( z ，咖) 老痧t u ( 一2 ) + f 1 ( z ，。) 塞叩0 ( 一2 ) + f ( 础。) 陈1 ( z ) 一m 2 一叩+ 毗( z ) ( ( z ) z 蟛】) ( z 一1 ) 训( t 1 ) ( 2 4 8 ) 再利用引理2 3 ，引理2 7 以及( 2 4 4 ) 删- - 个式子和( 2 4 7 ) 式下面则可以推出 | i ( 莎丁“，p ) 。一，i i z 6 1 ；f i 2 i ( z ，。) 1 1 。a i i 三i l 。i l ( ：妄舀丁u ) 。一。f l 。 + | l 肌酬罐忆1 1o 一4 啪) “也 + i i f ( z ，。) 陈1 ( 名) ( 仇2 ) 1 1 2 a + l l w 。( z ) l l 。6 l l ( ( 慨( z ) z 蟛】) ( z 一1 ) 嘞怯 + l | ( z ) 怯 。i i ( 赛俨u ) 。一。i i z a + ( 。+ c a 矿0 ) ( p 。仇，+ 砜) + c o ；( i l ( m 2 ) 。一- 0 2 6 + i l ( ( 慨( z ) z 【谚】) ( z 一1 ) 翻) i | 。6 ) ( 2 4 9 ) 1 2 其中c 是不依赖于n o 的常数利用p 圪( z ) 的定义和引理2 6 ( i i ) h - i 得 ( z ) z p 孑】( 一1 ) m ，( t 1 ) 。， 斟此 i | ( ( ( z ) z p l ) ( z 1 ) 【翻) 卜。f f c l l ( ( ( z 一1 ) 甸) m ，) t t | f 因为引理2 1 d p 0 4 ，百。并由引理2 6 n - - l 得 胍塞礼k ，i i - c 1 1 ( o t 毗_ l i l o 使得对于任意肛( 0 ，成) ，r n y ( t ) c 。选择p + = m i n 瞄，店】， 则结论( i ) 成立 第四步o 建立跟踪误差e 的有界性 由( 2 3 5 ) 式和( 2 4 2 ) 式，利用引理2 3 可以得 以圳l l 訾心肛i i z 珧5 + c d 0 ) c t t a 2 m f ( t ) + c d o( 2 4 1 4 ) 由引理7 ，亘s ( 肛2 j ) 司以推出 l l 执一- j j 5 ( p 2 ；) 因为m ，c 。，由( 2 4 2 ) 式，( 2 4 1 1 ) 式和( 2 4 1 4 ) 式可以得 l e ( t ) 1 2 c l l z w m ( z ) l l = 6 1 1 ( o t u ) 。一l i l 2 + 2 l o y ( t ) 1 2 c a 0 2 m ( t ) + c 0 3 矿| | 参l l 玉+ ( c n ；+ c n 护) ( p 毛m ；+ c 瑶) + 掣；m ( 亡) + c c a ；+ 肛( ( o ；+ 0 3 矿) 乙+ ；) + 露 + ：矿i i 引1 2 c a ；+ p ( ( o ；+ o 护+ ) 蛩+ ；) + d ； + c ( 2 4 1 5 ) 证毕 2 5引理证明 n i n 2 1 l n i 础i l g ：根据【1 0 中引理2 1 的结论可以得出 2 伊丁( + 1 ) r 一1 ( - 4 - 1 ) + a t ( + 1 ) r 一1 ( + 1 ) 0 ，( 2 5 1 ) 1 4 其中伊( t + 1 ) = 驴( t + 1 ) 锣+ 根据( 2 3 8 ) 可得 e = ( 一跏- t ) e 一学+ 丽t 2 ( 2 5 2 ) 再由( 。+ 6 ) 2 2 a 2 + 2 b 2 和i 熹i 1 ，可以得到 ( 如e 一盯9 ) 丁r ( 咖e 一仃p ) 2 a m 馘( r ) l 象e mj 2 + 2 a m 赦( r ) 盯2 俐2 2 a m 猷( f ) ( e 仇) 2 + 2 a 一( r ) 盯2 l 咿1 2 ( 2 5 3 ) 远弹止疋幽数 y ( 百( ) ) = 痧t ( t ) r 1 舀( ) ， 利用( 2 5 1 ) 式，( 2 5 3 ) 式和萨百下 e 1 2 一_ 1 0 - r 1 2 ，那么y ( 每( t ) ) 沿着( 2 3 9 ) 式的增量满足 y ( 痧( + 1 ) ) 一y ( 痧( ) ) = 伊f ( + 1 ) r 一1 护( + 1 ) 十2 0 v t ( t + 1 ) r 一1 + 1 ) + t ( + 1 ) r 一1 ( t + 1 ) 一百丁( t ) r 一1 痧( ) 一( 1 - 2 a m 。x ( 咿m 2 ( 卅鞣 一2 盯( 百t ( t ) 舀( ) 一入一( r ) 口lp 1 2 ) 一( 1 - 2 x m a x ( 咿m 2 ( 卅端 砌 ( 去 羽咖1 2 一譬 ( 2 雅) 下面的证明类似于 2 】中定理8 5 9 提出的连续时间情况，这样引理很容易证明 引理2 6 的证明：( i ) 因为“，- ( z ) = 基骞m ( 味忱( ) = 爰筹m ( 札双0 4 万z ) 的相对阶大于等 l i ( u 1 ) 卜 i l ( u z ) t 一 因为7 - c 。，很容易可以得到 n - 2 怯 i = o 几一2 怯 i - - - - 0 t , i l c 。 f