（系统理论专业论文）模糊等价关系下的模糊粗糙群.pdf

摘要 将粗糙结构与经典代数结构，拓扑结构，序结构不断整合必将涌现出新的 富有生机的数学分支，目前粗糙结构与经典代数结构结合起来的研究已有文章 出现。k u r o k i n 研究了半群中的粗理想，首次提出了粗子半群和粗理想的概念， 证明了同余关系下，半群的粗糙集是半群，左( 右双) 理想的粗糙集足左( 右， 双) 理想，并首次提出了粗子群和j 下规 h 子群的概念，证明了在经典群中一固 定的经典的正规子群所决定的同余关系下，子群的相糙集是子群，f 规子群的 粗糙集是正规子群。粗糙结构与模糊代数结构结合起来的研究也已有文章出 现，如张京玲研究了，在一经典群中一固定的经典f 规子群所决定的同余关系 下，模糊子群的粗糙集是模糊子群，模糊f 规子群的粗糙集是模糊f 舰子群。 本文在以上的研究的基础之上，首次研究了在模糊等价关系下，粗糙集理 论与模糊代数结构的关系，得出了在一经典群中一固定的模糊f 规于群决定一 个模糊等价关系，两个模糊正规子群决定的两个模糊等价关系的合成等于这两 个模糊正规子群的积所决定的模糊等价关系，在一经典群中一固定的模糊讵规 子群所决定的模糊等价关系下，模糊子群的粗糙集是模糊子群，模糊f 规子群 的粗糙集是模糊f 规子群，和模糊粗糙集的一些有意义的结论。 在此基础之上本文又首次提出了，模糊粗子群的概念。7 1 模糊f 规子群决 定一个丁模糊等价关系，两个，模糊正规子群决定的两个r 模糊等价关系的台 成等于这两个7 1 模糊正规子群的积所决定的丁模糊等价关系，并证明了在经典 群中固定的7 1 模糊f 规子群所决定的r 模糊等价关系下，与模糊粗糙集相似 的结论。 关! 踺词模糊粗子半群，模糊半h 子群，模糊等价关系，r 模糊等价关系 a bs t r a c t c o n n e c t e dr o u g hs t r u c t u r ew i t ha l g e b r as t r u c t u r e ，t o p o l o g ys t r u c t u r ea n d o r d e rs t r u c t u r e ，m a n yn e wp r o s p e r o u sm a t h e m a t i c sb r a n c h e sw illa p p e a rc u r r e n t l y ， t h e r eh a v eb e e ns o m ea r t i c l e so nc o n n e c t i n gr o u g hs t r u c t u r ew i t ha l g e b r a s t r u c t u r er o u g hi d e a l si nas e m i g r o u p s ，r o u g hi d e a l sb e e nf i r s ti n t r o d u c e db y k u r o k in u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c er e l a t i o n ，r o u g hs e t so fa s u b s e m i g r o u pw a sp r o v e dt o b ei t s s u b s e m i g r o u p ，w h i l et h a to fal e f t ( r i g h t ， b e s i d e s ) i d e a l sw a sa l s op r o v e dt ob ei t sal e f t ( r i g h t ，b e s i d e s ) i d e a l s ，n e x t ， r o u g hs e t s i nag r o u pf i r s ti n t r o d u c e d u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c e r e l a t i o nd e t e r m i n e db yag i v e nn o r m a ls u b g r o u pi nag r o u p ，r o u g hs e t so fa s u b g r o u pw a sp r o v e dt ob e i t ss u b g r o u p ，w h i l et h a to fan o r m a lonew a sa l s o p r o v e dt ob ei t sn o r m a ls u b g r o u p c o n n e c t e dr o u g hs t r u c t u r ew i t hf u z z ya l g e b r a s t r u c t u r e ，t h e r ea l s oh a v eb e e ns o m ea r t i c l e so nc o n n e c t i n gr o u g hs t r u c t u r ew i t h f u z z ya l g e b r as t r u c t u r eb yz h a n gj i n g l i n u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n g r u e n c e r e l a t i o nd e t e r m i n e db yag i v e nf u z z yn o r m a lg r o u pi n ag r o u p ，r o u g hs e t so fa f u z z ys u b g r o u pw a sp r o v e dt ob ei t sf u z z ys u b g r o u p ，w h i l et h a to fa f u z z yn o r m a l g r o u pw a sa l s op r o v e dt ob ei t saf u z z yn o r m a lg r o u p - i n t h i s p a p e r ，u n d e r t h ec o n d i t i o no ft h ef u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n d e t e r m i n e db yag i y e nf u z z yn o r m a ls u b g r o u pi nag r o u p ，c o n n e c t i n gr o u g h s t r u c t u r ew i t ha l g e b r as t r u c t u r ew a sd i s c u s s e d i t i s p r o v e dt h a tu n d e rt h e c o n d i t i o no ft h ef u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o nd e t e r m i n e db yag i v e nf u z z yn o r m a l s u b g r o u pi nag r o u p ，r o u g hs e t so faf u z z ys u b g r o u pw a saf u z z ys u b g r o u p ，w h i l e t h a to faf u z z yn o r m a lg r o u pw a sa l s op r o v e dt ob ei t saf u z z yn o r m a lg r o u p ，n e x t tf u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n ，tf u z z yr o u g hs e t sp r o p e r t i e sb e e nf i r s ti n t r o d u c e d i nt h i sp a p e ra n dg e ts o m es i m i l a rr e s u l t s k e yw o r d s ：f u z z yr o u g hs u b s e m i g r o u p ；f u z z yr o u g hs u b g r o u p ；f u z z y c o n g r u e n c er e l a t i o n 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 麦个人) 送行研究工作所取得为成果。除文中已经注明引局两虎 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 ；的说明著表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：甜鬟 日 耘：叼易年彳月p 日 ， _-_- 关于论文使用授权的说明 本人完全了解凳明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导蜉签名碳术茛论文作者签名：壅茎鬓 巨巅：趔生翌日丝：_ 巨 昆明理工大学硕士论文答辩 第一章绪论 l 粗糙集理论研究概况 粗糙集作为一种处理不精确，不确定与不完全数据的数学理论，最初是由波 兰数学家z p a w l a k 1 于1 9 8 2 年提出的。近年来，由于它在机器学习和知识发现 【6 】，数据挖掘【2 1 1 ，决策支持 1 7 ，1 8 ，1 9 等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术在波兰召开。1 9 9 8 年国际信息科学杂志 ( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出了一期专辑。 粗糙集是建立在分类机制基础上的，它将分类理解为在特定空间上的等价关 系，而等价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知识理解为对数据的划分， 每一划分的集合为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库，将不确定 或不精确的知识用已知的知识库中的知识来近似刻画。该理论与其它处理不精确 理论的最显著的区则是它无须提供问题所需处理的数据集合以外的任何先验信 息，所以对不确定性的描述或处理可以说是比较客观的，这个理论与概率论，模 糊数学等有很强的互补性11 1 。 2 粗糙集理论的研究。 粗糙集的概念的定义还没有完全的统一，比较经典的一种是原始的p a w l a k 意义f 的，也有上下近似构成的一对集合来命名的，还有以e 近似和下近似构成 的区间集来定义的，定义的观点不同带来的研究侧重点不同。目前对粗糙集的研 究主要集中在：粗糙集的模型推广上，问题的不确定性研究，模糊性问题的数学 理论的关系与互补，纯粹的数学理论方面的研究，粗糙集的算法研究和人工智能 方面的研究，最近还有一些与神经网络结合在股票分析中的研究。这些研究有些 是受应用推广而产生的，有的是纯理论的。 2 1 粗糙集模型的推广 p a w l a k 粗糙集的模型的推广是粗糙集研究的主流方向，目前主要有两种方 法；1 ) 构造性方法：2 ) 代数性( 公理化) 方法。构造性方法是从给定的近似空 间出发去研究粗糙集和近似算子，它是以论域上的二元关系或布尔子代数作为基 本要素，然后导出粗糙集代数系统。这种方法所研究的问题往往来源于实际，建 昆明理工大学硕土论文答辩 立的模型有很强的应用价值，其缺点是不易深刻了解近似算子的代数结构。公理 化方法也称为算子方法，这种方法不是以二元关系为基本要素，它的基本思想是 一对满足某些公理的近似算子，其中近似算子是事先给定的，这种方法的优点是 能够深刻了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不强。 2 2 不确定问题的理论研究 粗糙集理论中知识的不确定性主要有两个原因：一个原因是直接来源于论域 上的二元关系及其产生的知识模块，即近似空间本身，如果二二元关系产生的每个 等价类中只有一个元素，那么等价关系产生的划分不含有任何信息。划分越粗知 识就越粗糙，这时用信息熵来刻画它的不确定性。寻求一个合适的度量来刻画不 确定性也是一个重要的研究方向。 2 3 与其他处理不确定方法的理论研究 在粗糙集理论与其他处理不确定方法的研究主要集中在与概率统计，模糊数 学，信息论的相互渗透与补充。 在信息系统中，知识库的知识类型一般有两种：一类是所有的对象的描述是 完全已知的，另一类知识库中的对象只有部分已知的，它只能通过样本提供的信 息来刻画概念。 2 4 算法研究 粗糙集理论中有效算法是人工智能研究上的一个主要方向，粗糙集理论中有效 算法集中在导出规则的增量算法，约简的启示算法，粗糙集的并行算法，以及与 神经网络算法等。 2 5 与其他数学理论的联系 对粗糙集理论的研究的不断深入，与其他数学分支的联系也更加紧密。例如， 从算子的观点看粗糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空间，数理逻辑，摸态逻辑， 格与布尔代数，算子代数等；从构造和集合的观点来看，它与概率论，模糊数学， 证据理论，信息论等联系较为密切。粗糙集理论研究不但需要以这些理论作基础， 同时也相应地带动这些理论的发展。 至今为止，就我们所知粗糙集理论研究与应用只限于给出数据的知识的处 理，对于由文本和连续图形的处理我们尚未见到，目前，纯粹的数学理论与粗糙 昆f u f 理1 _ 人学顺l 。浩上符辩 集理沦结合起来进行研究的文章已出现。本文是这方面的研究。 3 模糊集理论研究 模糊集理论是美国计算机与控制论专家la 。z a c l e h1 i 二1 9 6 5 年提束的，目 自u ，以模糊推理为核心人工制能技术在许多方面都取得了l 归显的经济效益，模糊 集理沦的代数性质 4 ，5 已研究的较为完备，如模糊半群【7 1 ，模糊群，模糊环等。 4 本文内容简介 本文共分为五章，第一章是绪论，第二章是以后几漫- 听涉及的定义和预备 知以，所以统作为预备知识；第三二常主要研究了在半群| ；| _ 1 火于模糊h 余失系f 的模糊租子集的性质和模糊粗子半群；第四章主要研究了在群中关于模糊同余关 系下的模糊拳hf 集的性质和模糊粗子群，得出了在一经典群中一固定的模糊i f 规 子群决定一个模糊等价关系，在一经典群中两个模糊f 规子群所决定的两个模糊 等价关系的合成等于这两个模糊j f 规子群的积所决定的模糊等价关系和一些模 糊羊h 子集的性质，并进一步研究得出在模糊同余关系下模糊子群的粗糙集是模糊 子群，模糊亚舰子群的粗糙集是模糊平规子群等结沦；第 嚣主要是在第i ，四 章基础之| 二又进一步将粗代数推“到r 模糊代数e ：得出了与模糊粗糙集相似的 结沧。 本文为了内容的完整性，和证明的方便特别加注了沦域为有限的经贝集， 其实本文的绝大部分结论在沦域盖为无限集是嗣样可以实现的。 昆明理j 。大学硕士论文答辩 第二章预备知识 定义21o 设r 是半群x 上的一个模糊关系，如果r 满足下列条件 1 ) r ( x ，x ) = 1 2 ) r ( x ，j ，) = r ( y ，) 3 ) r ( x ，y ) r ( x ，二) r ( z ，y ) ，( v x ，y ，：x ) 则称r 是工上的模糊等价关系，嫁称为x 的模糊等价类，当( x r ) ( y r ) = ( x y r ) ， 则称r 是x 上的模糊同余关系，x r 称为彳的模糊同余类，其隶属度为 ( 棚) ( y ) = r ( x ，y ) 5 ，7 】 注本文所讨论的集合x 均为经典的有限集。 定义2 2 设z 为一个半群，4 ，a 2 f ( ) ，定义积爿。a ：f ( x ) 其隶属度为 ( 4 1 a 2 x ) = ，爿l ( ) 4 2 ( x 2 ) ，( v x x ) l ： 定义2 3 吲设爿，爿：分跗为群x 。，x ：的模糊子集，定义直积a 。a ：，其隶属 度为 ( 爿。爿：) ( x ，j ，) = a l ( 工) a 2 ( y ) ，( j ，y ) 置五) 定义2 4 1设为一个群，v a f ( x ) ，v x ，y x 1 ) a ( x y ) a ( x ) a ( y ) 2 ) 。4 ( 1 ) a ( x ) 3 ) 爿托、= 1 4 ) a ( x y ) = 4 ( w ) 如果a 满足n 则称a 为集合x 卜的模糊子半群；如果a 满足1 ) ，2 ) ， 3 ) 则称，4 为集合z 上的模糊子群；如果a 满足i ) ，2 ) ，3 ) ，4 ) 则称彳 昆明理工大学硕士论文答辩 为集合x 上的模糊正规子群。 定义2 5 m 设( ，尺) 是一个模糊近似空间，r 为集合上的模糊等价关系 v a f ( x ) ，定义宠一叫) ，r 一( 彳) 为模糊集，其隶属度为 融一( 彳) ) ( z ) = ；善r ( 工，”) 爿( “) ( r ( 爿) ) ( “= 。k 。轨陋，“) n 旯爿( ”) v 工彳 定义2 6 7 1 记，= o ，1 】，二元函数t ：，斗，若满足下列条件 1 ) 两极律：t ( a ，1 ) = n ，a ， 2 ) 交换律：t ( u ，b ) = t ( b ，口) ，口，b ， 3 ) 结合律：，仃0 ，6 x c ) = ，0 ，t ( b ，c ) ) ，口，b ，c ， 4 ) 单调律：口c ，b d j t ( a ，b ) s ? ( c ，d ) ，a ，b ，c ，d 鼬l 称r 为j 上的三角模。 定义2 7 t 7 1 设r 是上的下半连续三角模，在，= f o ，1 】上如下定义剩余蕴涵 o ( a ，卢) = 芒鞘7 1 ( 口，c ) 蔓卢 v a ，芦i 定义2 8 t 1 1 设r 是，上的下半连续三角模，半群x 上的二元模糊关系r 若 满足 1 ) 尺( t 砧= l 2 ) 联z ，y ) = r ( y ，工) 3 ) r ( x ，_ y ) 2 ，( 尉工，= ) ，r ( z ，y ) ) 工，y ，z x 。 则称r 是x 上的丁模糊相似关系，x r 称为x 的r 模糊相似类，当 ( 碉( j ，四) = ( 叫尺) ，则称只是j 上的丁模糊同余关系，蝴t 称为z 的丁模糊同余类， 其隶属度为( j r ) ( y ) = r ( x ，y ) 定义2 9 设7 是，= 0 ，i 】上的三角模，z 为一个半群，a 。，a ：f ( ) 定义积 a , a ：f ( x ) ，其隶属度为 昆驯删t 人学倾士论文掩辩 ( 爿。a ) ( x ) = k t ( a 1 ( x i ) ，a 2 ( x ：) l ( v z 彳) 定义21 0 川设7 1 为，上的三角模，a ，a ：分别为群x ，工j 的模糊子集定义直积 a ，a ，其隶属度为 ( 爿l a ：) ( x ，y ) = r ( a ，( z ) ，a ：( y ) l ( x ，y ) x ，x ：) 定义2 1 1 设x 为一个群，爿为集合x 上的任模糊子集，v x ，y 1 ) a ( x y ) 丁( 彳( x ) ，彳( y ) ) 2 ) a ( x “) 2 爿( x ) 3 ) 一( p 、= 1 4 ) a ( x y l = a ( y x l 如粜a 满足1 ) 则称a 为集合上的丁模糊子半群；如果a 满足1 ) ，2 ) ，3 ) 则称a 为集合爿上的r 模糊子群；如果、4 满足1 ) ，2 ) ，3 ) ，4 ) 则称a 为集合 卜的t 模糊f 规子群。 定义2 1 2 ”设( x ，月) 是一个模糊近似空间，尺为_ ：元7 1 模糊桐似关系， v a f ( ) ，定义r ( 爿) ，尺( 爿) 为模糊集，其隶属度为 ( r - ( 4 ) ) x ) = 。2 1 ( r ( 训) ，4 ( “) ) 陬e 爿) ( 尺( 一) ) ( x ) = 。k 、臼( r ( x 、w ) ，彳( “) ) 昆| _ j j 地1 人学硕i 。论( 替蚺 第三章模糊粗子半群 设爿是一个半群，r 为集合x 上的模糊同余关系，v a f ( 爿) 利用定义25 的曲个近似曰于得剑r 一( 4 ) r ( a ) 曲个模糊集，分* u 祢r 。( 1 ) ，r ( a ) 为糗捌集a 在模糊同余关系r 下的上下模糊粗子集，以下研究半群中的模糊牌l 孑集的性质。 引理3 1 发a ，b ，c f - 【0 , 1 】，有以下式子成立 ( 厂。茹川诅p n a 6 c ) = 。茹朋恤p ，、五6 n 蚓v 州。缸i d a 蔓c ) ( 厂2 1 。e v i ) , l ，缸l 口，、2 州v 叫l 弘k ，、五c ( ，7 ) 当6 c 。茹川协p ，、丑日 。茹，| 1 p l c n 五a ) 定理3 1 设r ，r 1 r ：是集合x 上的一个模糊同余关系，v a ，b f ( ) 则有 1 ) r 一( 4 ) a r 一( 爿) 2 ) r ( a u 日) = r 一( a ) u r 一( b ) 3 ) r 一( a n b ) = r 一( a ) n r 一( b ) 4 ) a b jr 一( 爿) r ( b ) 5 ) a b jr 一( a ) r 一( b ) 6 ) r ( a n 曰) r 一( 爿) n r ( b ) 7 ) r ( a u 口1 r ( 爿) u r ( b ) 昆叫理工大学硕士论文答辩 8 ) r 】蔓r 2 r ，一【4 ) 兰r 2 一( 爿) 9 ) 羁， 2 r 。一( a ) r 2 一( 爿) 1 ) ( n 一( 爿) ) 【工) = ( 。釜川诅【( x 尺) 似) n 旯4 ( “) 习，v xe x = a f z ) = ( x r ) ( x ) a 彳0 ) y 匕e ( ( 工只) ( y ) 4 ( y ) ) = 仅一( 彳) ) 【x ) 2 ) 【r ( 爿ub ) x z 、j - 。v v ( ( x r x y ) ( au b x y ) ) = 品( ( ，固n ( 4 ( y ) v 矗( 力) ) = 墨( ( ( 艘) ( y ) ，、战功v ( ( 艘) ) ，、琰y ) ) ) 2 善“州) ( y ) 爿( y ) ) v 吕“搬) ( _ y ) nb ( y ) ) = 陋一( 爿) ( z ) ) vc 尺一( b ) ( x ) ) = c r 一( a ) u r 一( b ) ) 工) 3 ) ( 足( 爿n 日) x z ) = 。会。茹缸i ( 工r ) ( ) a b ( a c 、b x ”) 峙_ x = 。会埘v 叫缸 ( 棚) ( ”) n 五蔓一( z ，) 砌) 2 会v - l | b z l ( x r ) ( 甜) 丑船) n 。缸| ( 埘) ( ) 兄砌) 牡( ，1 ) = ( 。v 川缸1 ( 搬x “) n 旯蔓4 ( “) ) ) a 。埘v 叫臼i ( 碉( “) 五兰b ( “) ) ) = 陋一( 彳) ) ( x ) a 识( m x x ) 2 【r ( 爿) n r 一( b ) x r ) 4 ) 忸一( 爿) x x ) = 。a 。盏，弘l ( r ) ( “) n 茎爿( ”) l v x e 爿，4 b 茎盒蚓v 。】0 f ( 艘) ( “) n 五墨b 圳 ( 厂6 ) = ( 足( b ) ) ( x ) 5 ) ( r - ( 爿) ) z ) _ 。v ，( ( z 尺) ( y ) n 4 ( ) ，) ) ，搬，8 ) 玉兰( 嘏) ( y ) “烈力 曲 钺 v 1 丑 肖 战功 一 咧以 如p “p v 即v 印 j j 昆明理工人学硕士论_ = 答解 忸一( b ) ) x ) 6 ) ( 爿n b 肌) _ ，善( ( 艘) ( y ) 川y ) 占( y ) ) ，v x e x = 善( ( 艘) ( y ) 爿( y ) b ( y ) ) ( j r ) o = v ( ( ( 工r j ( y j 爿( j ，j ) ( 戗，j ( 喇j ( j ，j v t 兰“x r ) ( y ) 4 ( y ) ) 盖( b ( _ v 1 1 ( x r ) ( y j ) ：伍一( a ) n r 一( 8 ) ) ( z ) 7 ) ( r ( 一u b ) ) 【x ) = ：盆。茹，u 钮i ( x r ) ( ”) n 五s 4 【们v b ( ) v z x 2 ，。金，k v 。剐( 艘) ( “) 4 ( “) ) v 。v ，鼽| ( 艘) ( “) aa b q ) j ) 2 ( 。会。茹川札k x r ) ( “) a 兰4 ) j ) v ( 念。茹圳讧k z r ) 恤) ，、a s b 。) q = 江( 爿) u 兄( 功h ) 砷( r 。一( a ) ) c x ) = 、吕q r l x y ) i x a ( y ) ，v x x 、匕( j 喝x 力“爿( ，) = 忸：一( 4 ) i x ) 9 ) 帆一( 爿) ) ( x ) = 会埘v 川瓿i ( 硪) ( “) n 五爿( 甜) ，帆 盒。洳缸i 碣x ”) 五爿( “) = k 一( ) ) ( 砷 定理3 2 设r 是半群爿卜的一个模糊同余关系、a ，b f ( x ) ，则 r ( 一j 代( ) r ( 月在j 证明恤( 4 ) 尼( b ) ) 【x ) = ；，忸一( 爿) ) 【_ ) ，、协一( b ) ) 【工：) ( v x ex ) = 。史善( x ， ) q ) 4 ( “) j 乜( z ：r ) ( v ) b ( v ) j j =vy ( ，( ( ( 尺) ( 甜) a o ) ) a ( ( ：尺) ( v ) 占( v ) ) ) r ，圳e tv 、 = 。泛。“工t 尺) ( “) nm ) ( r z 脚7 ) n 疗( ”) ) = 。z 。( ( ( x r x “) n ( z ! j r ) ( v ) ) n ( 爿( “) ，、曰( v ) ) ) 昆明理工大学硕士论文答辩 。v 。z 。( 一z ，。瓤j ，r ) ( ”) ( 工：r ) ( v ) ) 一如v 。似( “) ，、曰( v ) ) ) =v v ( ( ( _ 工：r ) ( z ) ) “b ) ( m ，) ) ) 州i n l v 、 = v ，“( x r ) ( u v ) ) n ( ( 爿b ) ( “v ) ) ) “e f l1 。e t = ，蚤，i ( x 尺) q ) “( 爿b ) ( ) l ( 1 9 y = t ) = k ( a b ) x x ) 定理3 3 设r 是半群x 二的一个模糊同余关系，a 是半群x 的任一模糊子 半群，则r 一( 爿) 是x 上的模糊子半群。 证明 恹( 爿) x x s ) = 盒( 州v 。】缸( 母假) ( “) a 爿( “) ( v x ，y 爿) = ，盒( 赢龇斌) ( 础) ) ( 村) 人旯舢) ) = 会林甚( 搁( m 默蝴) n 五纠“) = 。盆，会。( 。e v 。】缸 ( 艘) ( _ ) ，、( ，瑚) o z ) z 爿 ) 砂( 厂4 ) = 。会，。会，( 。罩。剐( 积) ( 功n ( 加) ( 工：) a2 - - a ( 叩：) ) ) ：盒，会。( ，茹。】缸( 非) ( 。1 ) n ( 她) ( 屯) a 彳( x 。) ，、4 ( x ：) ) 一( 厂6 ) ：a a l e v ，轨1 ( j 求) ( x t ) ( j r ) 【z ：) as 且( 工1 ) ； 、1 ( 】) = 1 + 、1 ， “、。1 ”“【 v 川缸i ( 硎砌 ( 删砌a a _ a ( 瑚 j j af 。手。，协l ( 丸) ( x i ) a 蔓4 ( x 1 ) 、1( 厂，)o 一 ，f l 7 ， ”“中v 。，缸1 ( 螂列 五以：) ) j = ( 氛会k ，讧愀a z _ a ) 习) ，、( 念。4 拈悯) a 2 - - a ) ( 盒已茹，缸i ( 蜘肛) a 2 _ a ( 砌 ) n ( ，全已茹，弘l ( 妒：) a e _ a ( 】 ) ( r ( 爿) x x ) a ( r ( 爿) ) ( y ) 昆明理工大学硕十论文答辩 定义3 , 1 r 是半群z 上的模糊同余关系，爿f ( x ) ，则定义模糊集其隶 属度为 ( 非) = 甚a ( j ) ，( a r ) 定理3 , 4 设r 是半群上的一个模糊同余关系。a 是z 的任一模糊子半群 贝u ，尺一影 是号丢上的模糊子半群。 证明由于彳是半群的模糊子半群，故r 1 是上的模糊予半群所以有 姒a ) r r ( a r b r ) = 蹦似b r ) = 。“足( 4 ) 肺：) v 珉腓 班函：。敞( 爿) ，、僻( 爿) h ) ) 5 。v ：。v ：。r 一( a ) ) ( ) ( r 一( 4 ) ) ( x ：) ) = ( ，羔。r _ ) ( t ) ) ( 。芒。足_ x 屯) )。l ，羔。r ) ( t j ( 。芒。足_ x 屯) = 疋( 删) ，、r ( 昆明理工大学硕士论文答辩 第四章模糊粗子群 4 1 模糊粗子集的性质 设a 是群x 上的一个模糊正规子群，a 决定x 的一个模糊划分，定义4 决 定的二元模糊关系记为r 。，其隶属度为r 4 ( y ) = ( 叫) ( y ) = a ( x 1 。y ) ，( v x ，y x ) 定理4 1 1 设a 为群并卜的一个模糊正规子群，由a 决定的二元模糊关系 r 。是模糊等价关系。 证明垤，z 1 ) g ( x ，z ) = ( 工4 ) ( 工) = a ( x 一j ) = 爿( e ) = 1 2 ) r ( j ，y ) = ( j 卅) ( y ) = a ( x y ) = a ( y 一1 x ) = ( ) ( ) = r ( y ，) 3 ) r , 4 ( x ，y ) = ( x a ) y = a ( x y ) = a ( x 嚣y ) a ( x ：) a a ( z y ) = r ( x ，二) r ( z ，y ) ，( v z x ) 所以r a 是一个模糊等价关系。易证心也是一个模糊同余关系，以下利用定义2 , 5 的两个近似算子来讨论群中的上下模糊粗子集的性质。 定理4 1 2 在模糊近似空间( 爿，r ) 中，若二元模糊等价关系r 变为经典等价 关系时，则有v a f ( x 1 1 ) ( 越( 彳) x r ) = ，、扣) be k k 2 ) ( r - ( 爿) ) 【x ) = v 1 4 ( “) i “l k 证明1 ) ( r - 4 ) ( j ) = 。会v o l l 缸陋( 虬j ) 五s 爿( ) ) ( v a ，f x l ，v z _ ) = ，会。慕。以h 。( “) n 爿( “) 3 龠州v 叫缸阻彳( z 砖 o 、4 ( 甜) “5 h i n f 0 ( ”) 卜b 】j e 邑州蛙l 兀手州士佗又替料 2 ) e 一( “) _ j ( x ) = v ，r ( u ，j ) 爿( “j 。，美( ( “) 4 ( “) ) _ 。甚】( 1n 彳( ”) ) = s u p 0 ( ”) k e i x 。 故本文讨论足 6 的推广。 定理4 1 3 设a 为群z 的一个模糊正规子群，b ，c f ( x ) ， i ! j j 1 ) 尺。( j i ! = ) 冀 ( c ) r a 一( b c ) 2 ) 足j ( b ) 尺二( c ) = 尺二( 占c ) 证明1 ) 协z 有 ( 心一( b ) 吃一( c ) k ) = 。v r 。一r ( x y 一1 ) ) ( 民c ( y ) ) ) = ，吕( ( 会。；川缸k ( “，砂 五s b ( “) ) n 心( c ) ( y ) 善( ( 盒，e v 川缸k ( 虬拶。1 ) ，、五联“) 习n c ( y ) 2 茹“会。茹川翱月( 叫1 材。) a 耳) ) n c o ) ) 似：哕_ 1 ) = 善( ( 会尚龇a 2 _ b ( 哕- 1 ) ) c ( 力) = 善 ( 念施趴a a _ b ( 拶。1 ) 9 ( 尚 2 1 1 a 2 - - c ( y ) 踟 2 善会( ( 旒龇a 2 _ b ( w 1 9 n ( 尚m 旯矧y ) ) ) 甚，盆( ( 尚趴 丑洲哕1 9 ( 尚批一) 五 ( y ) 瞻( ，) = 置。a ( 。e v ，。p i 爿( 工v 1 ) z 联v 4 ) a c ( y ) 玎 ( ) 念( 蒜、伴( 矿1 ) 肛，吕( 踟，j 1 ) ) 牡 ( 门) = ，会祧v 。，驯爿( 矿1 ) n 五s ( 职) ( v ) 2 ) 巧( b j 蟛( ( ：) = 巧( b c ) 因为何( 曰) ( x ) 2 * ( 也( 丘y ) ，、b ( y ) j = 善0 ( 叫一1 ) ，、口( y ) ) = 0 口_ ) ( x ) 1 4 昆明理工大学硕士论文答辩 故 r 二( 曰) j r j ( ( 1 ) = ( 4 b ) ( 爿c ) = a ( b c ) = 巧( b c ) 设4 ，一：为群_ 上的两个模糊正规予群，则爿。n 爿：也为上的模糊正规了群，则 定理4 1 4 设4 ，a ：为群z 上的两个模糊正规子群，c 一1 ( _ ) ，则 1 ) r l ，“i ( ( 1 ) 2r 一( ( 、) n r 一( c ) 2 ) r i ；( ( ) r ：，( ( 1 ) n r j ：( c ) 盒，。茹】 缸f 心，。 ( 五y ) ，、a _ c ( y ) l v x e = ，台。茹1 】缸l ( 爿，n 爿：) ( 驯。) a 2 c ( y ) = 会。茹，缸阻叫。) 4 z ( x y 。) n c ( y ) 会k 。，m ( 杪1 ) ，、五”( y ) ) ，、蕊m ( 拶1 n c ( y ) 牡u 3 ) = ( 盒。；。鼽f a 。( 砂。1 ) ，、五c ( y ) ) ) ，、( ，台；茹川缸i 鸣( 叫。) 旯s ( ：( y ) ) = 仰铲( c ) _ ) ( x ) n 扭t 一( c ) _ ) z ) = 沁，一( c ) n 凡，一( ( ? ) ) l ) 2 ) k 鸭( c ) ) ( x ) = 善( ( a ，r 、4 ：) ( 盯1 ) “心) l 胁x ) = ，品“( 订) n 爿：( x i g - 1 ) c ( ”) ) ：y 融。( x g - 1 ) ，、( ? ( “) ) ，、0 ：x g - 1 ) n c ( “) ) ，吕，- 。( z 甜一1 ) c ( 甜) ) 。乜：( x “4 ) c ( “) ) = 忸j ( c ) ) ( x ) ，、( 尺互( c ) i x ) ：( 心( ( ) n 月j ，( c a x ) 定理4 1 5 设爿。，a ：为群x 上的两个模糊正规子群，c 为的模糊子群则 尺二。( ( ? ) r 互( ( 1 ) = r j ( c ) 证明尺j ( ( ) ，? 互( c ) = ( 爿。f ) ( 爿2 ( ) = ( 彳，一2 ) ( c ) = 尺互4 ：( ( ? ) 定理4 1 6 设爿。，a ：为群盖上的两个模糊正规子群，c ，d f ( ) 则 1 ) r b 一( c d ) r a 一( c ) r a ：一( d ) 2 ) 吒。- ：( ( 1 d ) = 甄c x r k d 昆明埠工大学碗士论文答辩 证明 弘= ( x i ，2 ) x 有 1 ) 识 卜( ( _ 上) ) l 。) = 。金。( ，e v 。，臼陋 。：f y ，z ) n 旯( ( 1 d x 门趵 = 。仝、( ，搿，缸i ( 4 ，爿：x 习。) ，、丑( c d x y ) = 。仑、( 吲v 。，i 乩( x l y l - i ) a a 2 ( 训：- 1 ) ，、五熨( 巾a d ( y ：) ) f ( ，e v 。，0 l 爿( 一+ h 。，、a ：( 屯y ：- 1 ) a 2 _ c ( - v ，) 9 v “j 、l ，、( 。e v 囊i 爿。( x ，y 。- i ) ，、爿：( x z y 21 ) ，、a 蔓。( 耽) 9 j 。金、f ( ，。v 。，0 l 爿t r l y t - 1 ) a 2 _ c ( y 。) ) n ( ；叫v 、，驻 a 2 ( x 2 y 2 - 1 ) 见d ( r v ：) 9 = 会( 赫乩( x l y l - 1 ) a2 - - c ( 巾】jn 。会( 赫比( x 2 y 2 - 1 洲】) = ( 尺小( ( 1 ) x x 。) a ( 1 7 妒( d ) ) ( x ：) = ( 尺即( ( j r 廿( d ) ) ( i ，z ：) ：仅。( ( ) r 一( d a x ) ，、 2 ) i 。r ：( f d ) j ：) = ( 爿- a z ) ( f d ) ( j ) = 。x 凡4 t 爿。) ( 秒。) n ( c d x y ) ) = 、。羔。4 ( 儿一1 ) 4 ( 恐儿一1 ) 、( c ( 一) d c v 。) ) ) = 。b t ( x l ，t 。) ，、c ( y ) n 省：( w 2 - i ) a d ( y ：) ) = 一v 。始( 训一) 八c ( y ，) ) 0 ：( z ：) n d ( y ：) = 善0 。( 训，一1 ) c ( y 。) ) 薯c 4 ：( w 21 ) n d ( y ：) ) = 识j ( ( ：) ) x ，) ，、( 尺五( c ) ) 【z ：) = j ( ( ? ) 颤( c ) ) ( x t ，x 2 ) ：( r i ( ( 、) r ：，( c ) ) ( x ) ( 厂】) ( f 7 ) 定理4 1 7 设爿为一个群，a 。，a ：是 ，l 的两个模糊正规子群，a 1 ，a ：决定 的二元模糊关系分别为r ”r ，则r 。r 。r 成立。其中“。”为二元模 糊关系的合成运算且以 。凡b _ ) 口，6 ) = 。( 尺 ，c ) 、r 【6 ，c ) ) 证明忸p 尺；、kj ，) = ，吕忸。( 圳) a r 。：( y ，“) ) 昆明理工大学硕七论文答辩 = 。吕乜。( x u - i ) n a 。y u1 ) l ( “= y v 一1 ) =va l ( x v y 。) aa 2 ( y w 。) =va i ( y v _ 1 一) a 2 ( v ) =va f ( _ 1 y v 一) 4 ( v ) = ( a 1 4 如。y ) = 1 7 h ( x ，y ) 推论4 1 i 设a i , a ：是群x 上的两个模糊正规子群，c 为x 上的模糊予群， 则有 q 。) ( ( ) = 妞j ( c ) 酝互( c ) ) 证明由定理415 和4 17 易得。 4 2 模糊粗子群、 定义4 2 1 设a 为集合x 上的模糊正规子群，c 为模糊( 正规) 子群，当r j ( c ) 为模糊( 正规) 子群，则称c 为上粗模糊( 正规) 子群；当r 。( c ) 为模糊( 正 规) 于群，则称c 为下粗模糊( 正规) 子群。 定理4 2 1 设a 为群工上的模糊正规子群，b 为模糊子群且a b ，则矗为 f 粗模糊了群，即心一( 回为模糊子群。 证明( r a 一( b ) x x y ) = 。a 。目0 r v ，】缸陋 ，x y ) 兄占 j 觇，j ， = 。盆。釜j 】讧1 心( 虬移，) ，、 一b ( x y u q z - i