（系统理论专业论文）ts模糊时滞系统时滞相关方法研究.pdf

- - 一一 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n o l o g y , t h ep r a c t i c a li n d u s t r yp r o c e s s e sa r eb e c o m i n g m o r ea n dm o r ec o m p l e x t h e s ep r o c e s s e sh a v ec h a r a c t e r i s t i c s ，s u c ha sh i g hn o n l i n e a r i t y , t i m e - d e l a y , m a n yv a r i a b l e s a n du n c e r t a i n t y t h e s em a k ei td i f f i c u l tt oc o n t r o ls u c h s y s t e m se f f e c t i v e l yb yu s i n gt h ec l a s s i c a lt h e o r ya n dt h ee x i s t i n gc o n t r o lm e t h o d s b a s e d o na b o v eo b s e r v a t i o n ，t h i st h e s i sf o c u s e so nn o n l i n e a rs y s t e m s 诚t l lt i m e v a r y i n gd e l a y b a s e do nt - sf u z z ym o d e l ，w h i c hi se x t e n s i v e l ya p p l i e di nn o n l i n e a rs y s t e m s ，a n d l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r i e s ，t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t a b i l i z a t i o nv i as t a t e f e e d b a c ka r ea d d r e s s e df o rt h i sk i n do fs y s t e m sb yu s i n gf u z z yw e i g h t i n g - d e p e n d e n t l y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n ，l m ia p p r o a c h ，a n df r e e w e i g h t i n gm a t r i xt e c h n i q u e t h e r e s e a r c ha n dt h er e s u l t si nt h i st h e s i sa r ed e p e n d e n to nd e l a y - d e p e n d e n tm e t h o dw h i c hi s l e s sc o n s e r v a t i v et h a nd e l a y - i n d e p e n d e n to n e t h em a i nc o n t e n tc o n t a i n st w op a r t sa s f o l l o w s ： a tf i r s t ，t h es y s t e mw i t hs t a t et i m e - d e l a yi sf i r s tc o n s i d e r e d b ym e a n so fa p p r o p r i a t e f u z z yw e i g h t i n g d e p e n d e n tl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n sa n df r e e - w e i g h t i n g m a t r i x t e c h n i q u e ，t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t ya n a l y s i sh a sb e e nd i s c u s s e df o rt h i sk i n do fs y s t e m s ， f u r t h e r m o r eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no fd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yi sp r o p o s e d t h e n ，n o t i n gt h a tt h ei n p u t d e l a yf r e q u e n t l yo c c u r si np r a c t i c a ls y s t e m s t h ep r o b l e m o fs t a b i l i z a t i o no fs y s t e m sw i t hb o t hs t a t ea n di n p u tt i m e - d e l a y sa r ea d d r e s s e d 。an e w d e l a y - d e p e n d e n tc o n t r o ld e s i g nm e t h o dv i as t a t ef e e d b a c kh a sb e e np r o p o s e di nt e r m so f l m i s t h ef u z z y w e i g h t i n g - d e p e n d e n tl y a p u n o v k r a s o v s k i i f u n c t i o np r o p o s e di nt h i s t h e s i si sq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h ee x i s t i n go n e sd u et oa d d i n gm o r ef u z z yw e i g h t i n gt ot h e f u n c t i o n i na d d i t i o n ，t h ei n f o r m a t i o no fi n p u tt i m e d e l a yi sf u l l ye m p l o y e di no r d e rt o o b t a i nt h el e s sc o n s e r v a t i v er e s u l t s n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea p p r o a c h e s p r o p o s e di nt h i st h e s i s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ；t i m e d e l a y ；t - sf u z z ym o d e l ；d e l a y - d e p e n d e n t ；l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y o l m i ) 0 舢7m 3m 3 惴7ii0iy j 目录 引言l 第l 章预备知识5 1 1 线性系统的状态空间描述5 1 2 系统运动稳定性的概念9 1 3 李亚普诺夫稳定性定理1 3 1 4 模糊系统理论1 6 1 5 线性矩阵不等式( l m i ) 概述”l7 第2 章t - s 模糊时滞系统时滞相关稳定性分析 2 2 2 1 系统描述2 2 2 2 主要结果一2 3 2 3 数值例子2 7 2 4 结束语2 8 第3 章具有状态及输入时滞的t _ s 模糊系统的镇定问题探究 2 9 3 1 问题描述一2 9 3 2 主要结果3 0 3 3 数值例子3 6 3 4 本章小结3 8 第4 章总结与展望 参考文献 攻读学位期间的研究成果 致谢 4 5 4 6 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明”4 7 i - - 一 引言 引言 论文背景 众所周知，经典控制理论是解决线性定常系统控制问题较为有效的方法，现 代控制理论也已经在航空航天、军事科学、机电、通信等方面得到了成功的运用。 一个控制系统控制质量的优劣，关键在于它能否为被控对象提供精确的控制。当 研究的控制系统涉及非线性、多变量、时变性等这些因素时，系统的复杂性往往 导致受控系统性能下降，难以达到预期要求。由于被控对象和过程的非线性、时 变性、多参数间的强烈耦合、随机干扰、被控过程的机理错综复杂等，很难建立 被控对象的精确数学模型，只能测得其参数间的模糊关系的估计。因此在原有控 制理论基础上引入智能控制理论就势在必行。1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学自动 控制专家l a z a d e h 发表了创建性论文“模糊集合论 l ，文中首次提出表达事 物模糊性的重要概念：隶属函数，从而突破了1 9 世纪末勒内笛卡尔( r e n e d e s c a r t e s ) 的经典集合理论，奠定了模糊理论的基础。随后，在1 9 7 3 年，l a z a d e h 又引入语言变量的概念并提出了“i f t h e n ”规则，从此模糊数学逐渐发展、应 用起来。1 9 7 4 年，英国学者e h m a m d a n i 首次用模糊逻辑和模糊推理实现了世界 上第一个实验性的蒸汽机控制，并取得了比传统的直接数字控制算法更好的效 果，从而宣告模糊控制的诞生【2 1 。1 9 8 0 年丹麦的l p h o l m b l a d 和o s t e r g a r d 在水泥 窑炉中采用模糊控制并取得了成功，这是第一个商业化的有实际意义的模糊控制 器。 模糊控制是用模糊数学的知识模仿人脑的思维方式，对模糊现象进行识别和 判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。模糊控制理论的提出是控制思 想的一次深刻的变革，它标志着人工智能发展到了一个新的阶段。将模糊集合理 论运用于自动控制而形成的模糊控制理论，在近年来得到了迅速的发展，其原因 在于对那些时变的非线性复杂系统，当无法获得精确的数学模型时，利用具有智 能的模糊控制方法，能有效地利用专家所提供的模糊信息知识和量化的实践经 验。随着计算机及其相关技术的发展，模糊控制也由最初的经典模糊控制发展到 自适应模糊控制，专家模糊控制和基于神经网络的自学习模糊控制。近几十年来， 模糊控制作为智能领域中最具有实际意义的一种控制方法，已经在诸多领域和行 业中解决了传统控制手段无法或者是难以解决的问题，取得了令人瞩目的成效， 比如工业控制过程中的发酵过程、化学反应釜、煤炭生产、金属冶炼的模糊控制； 环保行业中空气污染检验、空气品质监控等的模糊控制；家用电器设备中的模 糊洗衣机、空调、微波炉等；还有多功能交通控制系统、视频交通流量检测系统 青岛人学硕十学位论文 以及机器人的模糊控制等；甚至涉及教育、社会及人文科学方面的教学成果 评量、心理测验、心理分析以及风险分析等。国内外许多文献收录和记载了 模糊控制的应用及研究1 3 。3 1 。 模糊控制的理论和应用虽然已经取得了很大的进展，但就目前的状况来看， 由于模糊控制的发展历史还不长，理论上的系统性和完善性，技术上的成熟性和 规范性都还是不够的，有待人们的进一步研究和探讨。 t - s 模糊时滞系统的研究 利用r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式( l m i ) ，可以对线性系统进行有效的分析 和控制设计，并且取得了大量有价值的研究成果f 9 _ 1 3 1 。但是，实际系统往往是含 有时滞以及不确定性的非线性系统，对于这些定义不完善或者难以精确建模的复 杂过程，基于线性系统的结果难以适用。1 9 8 5 年，日本学者t t a k a g i s g m s u g e n o 提出了t - s 模糊模型l m l 。该模型是一种非线性模型，易于表示复杂系统的动态特 征。对于非线性系统不同区域的动态，可以利用t - s 模糊模型在局部状态空间上 逼近线性模型，然后用模糊隶属函数把各个局部线性系统连接起来，得到整体的 模糊非线性模型。这种方法的优点在于，可以应用较为成熟和完备的线性系统理 论和方法，实现对复杂系统的分析以及控制设计。t s 模糊模型提出以来，基于 t s 模型方法研究非线性系统的稳定性分析与综合引起了极大关注，并提出了许 多基于t - s 模型的非线性系统的分析与设计方法 1 5 - 2 4 j 。 在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输、极 缓慢的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。此外，许多大时间常数的系 统，也常用小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归纳为时滞系统。时滞的 存在使得系统的分析和综合变得更加困难和复杂，而且时滞也往往是使系统失稳 或性能变差的重要因素，多年来研究人员对时滞系统的研究持续不断 2 5 - 3 0 。六 十年代开始，时滞系统的研究主要以线性系统为研究对象。h e w e r 3 1 1 ，k w o n 3 2 1 用l y a p u n o v 函数方法研究线性定常系统的状态反馈控制器设计问题；i k e d a t 3 3 l 利 用r i c c a t i 微分方程研究了具有时变时滞的线性系统，给出了系统镇定的条件。随 之，时滞系统的研究扩展到具有不确定性的线性系统。t h o w s e n f 3 4 1 ，h a s a n u l t l 3 5 1 ； c h e r e s t 3 卅等人针对不确定性满足匹配条件的不确定线性时滞系统，研究了系统的 镇定问题。近些年来，时滞系统的研究又推广到模糊控制领域和非线性系统中， 2 引言 取得到了丰硕的研究成果【3 7 弗1 ，特别是t s 模糊模型逐渐成为非线性时滞系统分 析与综合极为有效的方法。2 0 0 0 年，c a oa n df r a n k 最先在文献1 4 4 - 4 5 1 中利用t s 模糊模型来研究非线性时滞系统的稳定性分析和镇定问题，并且提出了基于l m i 的时滞无关稳定性条件。之后，基于t s 模糊模型方法研究非线性时滞系统的分 析与综合问题取得了大量成果。韩国学者k r l e e1 4 6 1 研究了t s 模糊时滞系统鲁 棒镇定问题；日本学者j y o n c y a m a t 4 7 i 研究 h o o 控制问题；s x u 等1 4 3 - 4 9 i 研究了 t s 模糊系统的控制综合问题，给出了输出反馈控制器设计方法和h o o 滤波设计 方案；x f j i a n g 等i s 0 1 研究了基于观测器的镇定问题；b c h e n 等1 5 1 - 5 2 1 研究了可靠 控制和保成本控制。上面涉及到的研究成果都是基于时滞无关条件下的。我们知 道，在研究时滞系统的分析与控制时，主要有两种方法，一种是时滞独立方法 s 3 - s q ，这种方法不考虑时滞的大小，稳定性条件与时滞大小无关，忽略了时滞 对系统的影响。另一种方法称为时滞相关方法，稳定性条件给出一个时滞的上界， 并确保对于所有小于该上界的时滞，系统是稳定的 5 5 - s 9 1 ，这种方法考虑了时滞 因素对系统的影响。所以通常认为，当时滞很小时，时滞相关的结果较时滞无关 结果而言具有更小的保守性。 近年来，基于时滞相关方法来研究t s 模糊时滞系统得到了极大的推广。2 0 0 4 年，x p g u a n 等 6 0 1 研究了保成本控制问题，并且首次给出了时滞相关稳定性条 件；c l i n 等 6 h 考虑输入存在时滞时的情况，研究了时滞相关控制问题；s s h u t 6 1 l 研究了具有多时滞的鲁棒h o o 控制问题【6 2 】；b c h e n 等 6 3 1 研究不确定时滞系统， 给出时滞相关稳定性准则；x l i u 等1 6 4 1 研究了时滞t s 模糊大系统，并给出时滞 相关稳定性条件；c l c h e n 等1 6 5 1 研究了离散时滞t - s 模糊系统并给出时滞相关的 镇定条件；e g t i a n 和c p e n g 等【6 6 1 采用自由权矩阵技术1 6 7 1 针对变时滞的情况给 出了新的时滞相关稳定性准则和控制器设计方法。以上这些结果虽然是时滞相关 意义下的，但是这些研究成果均是基于二次l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数而得到的， 这使得时滞相关的结果具有一定的保守性。 另外，在现代工业系统中，传感器、控制器通常通过一个网络连接起来【6 8 l 。 控制器的信号通过网络传输，由此而导致的控制输入时滞现象是不可避免的。 3 青岛人学硕十学位论文 z h a n g 在义献 6 9 1 中提出了在时变延迟未知的情况下，t - s 模糊系统的指数稳定性 条件；“等人1 7 0 1 在时滞导数的上界小于1 的假定下，研究了具有时变延迟的t - s 模糊系统的时滞相关稳定性问题；最近，文献】基于李雅普诺夫函数方法，研究 了t s 模糊时滞系统的保成本控制问题；t i a n 和p e n g l 7 2 1 研究了状态时滞为区间时 滞类型的t - s 模糊系统的鲁棒控制问题，提出了新的时滞相关稳定性和镇定条件， 可以用来处理带有时变延迟和非光滑延迟的系统。 然而，上面涉及到的结果( 无论是由时滞无关方法还是由时滞相关方法得到 的) 都只考虑到状态时滞的情况，控制器设计中如果不考虑存在的输入延迟很可 能会引起相应闭环系统性能恶化甚至不稳定。因此，研究具有输入延迟系统的镇 定性问题是非常有意义的。至今，关于具有状态时滞和输入时滞系统的控制问题 引起了很大的关注，其研究结果也主要集中在线性系统上。但是对于同时具有状 态时滞和输入时滞的t s 模糊系统而言，这方面的研究成果极为少见。 本课题研究内容 本课题以具有时变时滞的t - s 模糊系统为研究对象，研究此类非线性系统的 稳定性分析和控制综合问题。主要理论依据是l y a p u n o v 稳定性理论，采用模糊权 依赖型l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数和自由权矩阵技术，利用目前广为流行的l m i 技 术，将有关问题转化为l m i 约束的问题求解。研究了t s 模糊时滞系统稳定性分 析问题，给出了此类模糊系统在时变时滞情况下稳定的充分条件；针对同时具有 状态及输入时滞的时变时滞模糊系统，给出其镇定的充分条件和状态反馈控制器 的设计方法。 在引言中，首先介绍了本课题的背景，而后重点回顾了t s 模糊时滞系统的 研究进展及现状，最后，指出本课题的研究内容以及论文的章节安排。 第一章给出本文研究工作用到的一些基本概念和基本引理，包括线性系统 的状态空间描述、系统运动的稳定性、l y a p u n o v 稳定性定理、模糊系统理论、线 性矩阵不等式概念及常用技术。 一 第二章基于t - s 模糊模型方法，研究具有时变时滞的t s 模糊系统的时滞相 关稳定性问题，利用模糊相关权l y a p u n o v k r a s o v s k i i i 垂i 数方法，通过求解线性矩 阵不等式得到此类系统稳定的充分条件。 第三章基于t s 模糊模型方法，针对同时具有状态和输入时滞的t - s 模糊系 统，探讨其综合控制问题，给出了系统镇定的充分条件以及状态反馈控制器的设 计方法。 第四章总结本文工作并展望今后的研究方向与内容。 4 第一章预备知识 第一章预备知识 本章将对论文研究中用到的数学知识以及控制理论中的一些基本概念作简 单回顾，给出后续章节中将要用到的部分定义及引理。 1 1 节介绍系统数学描述的两种基本类型和用动态方程来描述系统状态 空间，给出了状态反馈控制综合问题的提法，简单介绍了相应的概念。 1 2 节介绍论文对系统分析过程中涉及到的稳定性的相关概念，包括外部 稳定、l y a p u n o v 意义下的稳定、全局渐近稳定等。 1 3 节着重介绍l y a p u n o v 稳定性理论中几个重要的稳定性判据。由于 l y a p u n o v 稳定性理论是本论文研究t - s 模糊时滞系统稳定性问题的理论基础，因 此理解和掌握这些基本概念及定理将会极大帮助论文的开展和研究。 1 4 节介绍课题研究中常涉及到的模糊数学的相关知识和模糊t - s 模型的 概念，对本文研究的t s 模糊系统做简单介绍。 1 5 节简单介绍本论文中用到的工具一一线性矩阵不等式( l i n e a r m a t r i xi n e q u a lit i e s ，常缩写为l m i ) ，包括线性矩阵不等式的基本概念、三种标 准的l m i 问题和相应的求解器，以及控制理论中常见的l m i 问题和l m i 用于控制问 题的常用技术等内容。 1 1 线性系统的状态空间描述 系统数学描述的两种基本类型1 7 3 j 控 图1 - 1 典型控制系统方块图 典型控制系统( 如图1 1 所示) ，由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。 被控过程( 图1 2 ) 具有若干输入端和输出端。系统的数学描述就是反映系统变 量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本方 法：一种是输入、输出描述( 外部描述) ，它将系统看成为“黑箱，只是反映输 5 青岛人学硕十学位论文 入与输出间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量，如经典控制理论中 的传递函数；另一种是状态空间描述( 内部描述) ，它是基于系统内部结构的一 甜l “2 ： u p x i ，x 2 ，x n 图1 _ 2 被控过程 y l y 2 ： y g 种数学模型，一般由两个方程组成。一个反映系统内部变量x 和输入变量z ，问的 关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向 量y 与内部变量x 及输入变量1 , 1 间的关系，具有代数方程的形式。外部描述仪描 述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的 两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是对系统的一种不完 全的描述。内部描述则是对系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的所有动 力学特征。仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。 状态、状态变量和状态向量【7 3 j动力学系统的状态，是指能够完全描述动力学 系统时域行为的一个最小变量组。这里完全描述是指，如果给定了f = “时刻这 组变量的值和t “时外加输入函数，那么系统在f t 。的任何时刻的行为就完全 确定了。最小变量组中的每个变量称为状态变量，而以这组状态变量组成的向量 称为状态向量。状态实际上是状态向量的简称。 设x 。( f ) ，x ：( f ) ，x 。( f ) 是系统的 一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，记为 x ( ，) = 【x l ( f ) x 2 ( f ) x n ( r ) 】7 。 状态空间m 1 由状态变量x l ( f ) ，x 2 ( ，) ，x 。( f ) 所张成的，z 维正交空间称为状态空 间。考虑到状态向量的每个分量只能取实数值，因此状态空间是建立在实数域上 的向量空间，其维数为n ，记为r ”。状态空间中的每一点都代表了状态变量唯一 的、特定的一组值，而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹， 称为状态轨线。 动力学系统的状态空间描述1 7 3 l描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶 向量微分方程或差分方程称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所 6 第一章预备知识 引起的状态变化，一般情况下，状态方程既是非线性的，又是时变的，它可以表 示为 戈( ，) = 厂k ( f ) ，甜( ，) ，t 】 1 一( 1 ) 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称 为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为 y ( f ) = g b ( f ) ，甜( ，) ，f 】 卜( 2 ) 输出方程表征了系统状态和输入的变化所引起的系统输出变化。 一个动力学系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成，称为状态空间 表达式，其一般形式为 黧嚣麓嬲 h 3 ， ly ( ，) = g b ( f ) ，z ，( f ) ，f 】 线性系统的状态空间表达式1 7 3 1如果所描述的被控过程是线性的，那么在状态 方程和输出方程中，向量函数厂及g 与x 及甜都具有线性的关系。这时，线性系 统的状态方程和输出方程可表示为如下的一般形式： j 戈( ，) = 彳( f ) x ( f ) + b ( ) 甜( 7 ) 1 一( 4 ) 【y ( f ) = c ( ，) f ( ，) + d ( f 扣( f ) 设状态x 、输入u 、输出y 的维数分别为n , p , q ，称n x l q 矩阵a ( t ) 为系统矩 阵或状态矩阵，称n x p 矩阵b ( t ) 为控制矩阵或输入矩阵，称q x n 矩阵c ( t ) 为输 出矩阵或观测矩阵，称q x p 矩阵d ( t ) 为前馈矩阵或输入输出矩阵。 系统按其状态空间描述的分类1 7 3 1 系统的状态空间描述完整的表征了其动力学特性。各类系统在结构和特性上 的差别，将表现在他们状态空间描述上的不同。系统按其状态空间描述的分类可 分为：线性系统和非线性系统；时变系统( 非定常系统) 和时不变系统( 定常系 统) ；连续系统和离散系统；确定性系统和随机系统。 线性系统和非线性系统选定一组状态变量，其状态空间描述为 碧= 厂( x ，“，7 7 1 一( 5 ) l y = g ( x ，u ，f ) 其中，x ：- k 。，x ：，吒r 为系统状态 7 青岛人学硕+ 学位论文 z ，= u l , u 2 , - , d p r 为外部控制输入 y = d j ! , y ：，儿t 为系统输出 厂cx，z，r，=二：三二：，gcx，材，=三：三二： 当且仪当至少有一个z 或者g ，是关于x 和”的非线性函数时，称相应的系统 为非线性系统；若所有的石以及g ，都是x 和z ，的线性函数，则称相应的系统为线 j 戈= 彳( 7 ) x + b ( 7 ) z ，1 一( 6 ) 拈a x + b u ，1 一( 7 )气， j 文= 厂( x ，z ，) 1 一( 8 ) 8 第一章预备知识 x ( 七+ 1 ) = g ( k ) x ( 七) + 日( 州七)1 一( 9 ) iy ( 七) = c ( 七) x ( 七) 4 - d ( j | ) ( 七) 其中，g ( 七) 、h ( 七) 、c ( 七) 和d ( k ) 是随k 变化的时变矩阵，离散时刻k = 0 ，1 ，2 ， ，为某个正整数。 相对于定常系统，离散系统的状态空间描述为： j x ( 七+ 1 ) = 礅( 七) + 协( 七)l 一( 1 0 ) 【y ( 后) = c x ( k ) + d u ( k ) 。 确定系统和随机系统系统的特性和参数以及各个输入变量( 包括控制和扰动) 按照确定的规律变化，此类系统称为确定系统。确定系统的状态和输出变量都是 时间f 的确定函数，通过分析可以确定这些变量在任一时刻的值。 系统的特性和参数不是按照确定的规律变化，或者各个输入变量( 包括控制 和扰动) 不能按照确定的规律变化，或者两者都存在，此类系统就是随机系统。 随机系统无法确定其状态和输出变量的时间过程，只能得到其统计的规律性。 1 2 系统运动稳定性的概念 首先，一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统，也就是说 当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏，但在外界干扰去掉以后，它仍有能力自 动地恢复到平衡状态下继续工作。系统的这种性能，叫做稳定性。一般有两种方 式定义系统的稳定性，通过输入输出关系来表征的外部稳定性，以及通过零输 入下状态运动的响应来表征的内部稳定性。通常我们所说的稳定性是系统的内部 稳定性。 外部稳定性f 7 3 1考虑个线性系统，对应于一个满足条件 愀f ) 忙k l ，v t f o 卜( 1 1 ) 的有界输入甜( f ) ，所产生的输出y ( f ) 也是有界的，也就是满足 ；jl l y ( t ) 1 - k 2 ，v t 卜( 1 2 ) 则称此系统是外部稳定的，也称有界输入一有界输出稳定。在讨论外部稳定时， 必须假设系统的初始条件为零，只有在这种假设下，系统的输入输出描述才是 唯一和有意义的。 内部稳定性【7 3 l对于线性定常系统 9 青岛人学硕十学位论文 戈= 彳x + b 甜，x ( 0 ) = x 。 1 一( 1 3 ) y = c x + d u 如果外输a u ( t ) 兰0 ，初始状态为任意，且由x 。引起的零输入响应矽( f ；0 ，x 。，o ) 满 足关系式l i m 妒( t ；o ，x 。，o ) = 0 则称系统是内部稳定的，或者是渐近稳定的。一般而 言，内部稳定是指系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义下的稳定。 对于线性定常系统，如果该系统是内部稳定的，则其必是外部稳定的；如果 该系统是外部稳定的，则不能保证其比试内部稳定的；只有当该线性定常系统是 能控且能观时，内部稳定和外部稳定才是等价的。 受扰运动、平衡状态【7 3 1一个实际的系统，当没有输入或者输入为零时，我们 称之为称为自治系统。自治系统通常是非线性并且是时变的，可以用下述显含时 间t 的非线性状态方程描述： 戈= f ( x ，) ，x ( t o ) = x o ，f ，o 卜( 1 4 ) 其中：x 为1 1 维状态变量，厂( ，) 为刀维向量函数。进而，如果系统为定常的，则 厂( ，) 中将不显含，；如果系统为线性，则厂( - ，) 为x 的线性向量函数，或按习惯表 示为 膏= f 毫7 x 27 屯7 】7 = 4 ( o x ，x ( t o ) = ，气 1 一( 1 5 ) 在研究运动稳定性问题时，常限于研究没有外输入作用时的系统，即我们上 面讨论的自治系统。 假设状态方程满足解的存在唯性条件，可将其初始状态x 。所引起的运动 表示为： x o ) = 矽( f ；，t o ) ，b 1 - ( 1 6 ) 初始状态x 。以r 。为初始时刻，是导致运动的原因，并且有= 矽( “；x o ，f 。) 。由于 这一运动是初始状态的扰动引起的，称为受扰运动。实质上，他等同于系统状态 的零输入响应。 对于所有f t 。，满足 圣。= 厂( 邑，0 = 0 卜( 1 7 ) 的状态x 。称为系统的一个平衡状态( 又称为平衡点) 。平衡状态的各分量不再随 1 0 第一章预备知识 时间变化，若已知状态方程，令文= 0 所求得的解x ，便是平衡状态。 对于线性定常系统j = a x ，其平衡状态满足a x ，= 0 ，如果a 非奇异，系统 只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统， f ( x 。，) = 0 的解可能有多个，由系统状态方程决定。如果系统的平衡状态在状态 空间中呈现为彼此分离的孤立点，则称其为孤立平衡状态。对于孤立平衡状态， 总是可以通过移动坐标系而将其转化为空间的原点。稳定性问题的实质就是考 察系统由初始状态引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态。 李亚普诺夫意义下的稳定【7 3 1表x 。为自治系统的一个孤立平衡状态，如果对任 意小的实数f 0 ，都对应的存在一个实数8 ( e ，。) 0 ，以满足不等式 恢一t 1 1 - 0 ，使得由满足不等式 i i x 。- - x ，i i 时，有 i i 厂( x ) 0 - - - - o o ，则原点是全局渐近稳定的。 上面给出的判别定理都只提供了充分条件，如果多次试取李亚普诺夫函数都 得不到确定的答案时，所考察的系统可能是不稳定的。下面的结论，给出了判别 不稳定的充分条件。 引理1 7 ( 不稳定的判别定理) 1 7 3 1对于定常系统卜( 2 7 ) 或者时变系统卜( 3 0 ) ， 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数v ( x l 或v ( x ，f ) ，其中v ( o ) = 0 和 y ( o ，f ) = 0 ，和和围绕原点的一个吸引区q ，使对一切f t o 和一切x eq 满足以 1 5 青岛人学硕十学位论文 下条件： ( i ) v ( x ) 正定或者v ( x ，t ) 正定并且有界； ( i i ) 矿( x ) = d v ( x ) d t 也为正定或者矿( 墨f ) 也为正定并且有界。 则系统的平衡状态为不稳定。由上面的结论易知，当v ( x ，) 和矿( x ，) 同号时，系 统的受扰运动轨线理论上将发散到无穷大。 1 4 模糊系统理论 模糊的基本概念【7 4 1所谓模糊概念是指这个概念的外延具有不确定性，或者 说它的外延是不清晰的，是模糊的。例如“青年”这个概念，它的内涵我们是 清楚的，但是它的外延，即什么样的年龄阶段内的人是青年，恐怕就很难 说情楚，因为在“年轻”和“不年轻”之间没有一个确定的边界，这就是一个模 糊概念。 需要注意的几点： 首先，人们在认识模糊性时，是允许有主观性的，也就是说每个人对 模糊事物的界限不完全一样，承认一定的主观性是认识模糊性的一个特点； 其次，模糊性是精确性的对立面，但不能消极地理解模糊性代表的是 落后的生产力，恰恰相反，我们在处理客观事物时，经常借助于模糊性；