（系统理论专业论文）粗相似度及其特性研究.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 粗相似度及其特性研究 徐晓静 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 指导教师。史开泉教授 摘要 1 9 8 2 年，z p a w l a k 教授提出了粗集理论，它是用下、上近似定义一个不可定义集 合的理论2 0 0 2 年史开泉教授将z p a w l a k 粗集进步推广，提出了奇异粗集( s i n g u l a r r o u g hs e t s ) ，简称s 粗集，它有三种形式，单向s 一粗集，单向孓粗集对偶和双向孓 粗集孓粗集将z p a w l a k 粗集的静态形式扩展成粗集的动态形式，使粗集具有了更 为广泛的应用2 0 0 5 年史开泉教授再次提出函数s - 粗集，它是建立在函数论域基础上 的由于函数与规律等价，因此函数$ 粗集可以广泛地应用于规律挖掘，规律识别等 本文在z p a w l a k 粗集，& 粗集和函数s - 粗集的基础上，提出了粗相似度以及给出粗 相似度特性的研究 本文的主要研究内容是；提出a 粗集和a 粗模糊集，讨论了* 粗集和k 粗模 糊集的特征；提出了粗相似度，在粗集理论和& 粗集理论中研究了粗相似度的特征及 应用；研究了函数粗相似度及其在函数粗空间中的应用；最后在类域上定义了粗类和 类粗相似度，定义了动态类和给出了它的粗相似度特征 第一章绪论，首先叙述了z p a w l a k 粗集理论的提出背景、发展和研究近况，给出 了z p a w l a k 粗集的定义和性质；其次给出了理论上的扩展昏粗集和函数s - 粗集的 定义 第二章首先将z p a w l a k 粗集的建立基础等价关系扩展到模糊等价关系根据模 糊集合理论中截关系的概念，提出了k 等价类和知粗集的概念研究a 粗集的 一般结构得出* 粗集是z p a w l a k 粗集的推广研究k 等价类和k 粗集的基本性 质，得到根据a 值的变化有定理2 2 7 和定理2 2 8 ，即当a 1 a 2 sk 时，k 等价类和k 粗集都存在分解结构一一分解链，分别是m x ，2 【叫 。2 陋】h 和( r 。( x ) ，最，( x ) ) 2 ( 风。( x ) ，兄 2 ( x ) ) 2 2 ( 皇h ( x ) ，风。( x ) ) ，而且在分解 链中，v 九，【0 ，1 】，一等价类满足条件( 1 ) m n z h , ，( 2 ) 吲 = n 嘲凡和 a - 粗集满足条件( 1 ) ( r k ( x ) ，了瓦( x ) ) n ( 兄。( x ) ，了瓦( x ) ) ，( 2 ) ( 星墨( x ) ，了西( x ) ) = n ( 冗k ( x ) ，氐( x ) ) k s 其次，因为模糊集和粗集都是解决不确定性问题，所以d d u b o i s 和h p r a d e 将 两者结合提出了粗模糊集的概念并给出了粗模糊集的一般形式但本文是在a 一粗集的 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 基础上给出了另一种粗模糊集的定义一一k 粗模糊集和它的一般结构因为模糊关系 存在强片截关系，所以提出了一种强k 粗模糊集的概念根据模糊集并分解定理和 交分解定理，可以得到a 一粗模糊集的并分解定理2 4 3 和交分解定理2 4 7 和强k 粗 模糊集的并分解定理2 4 4 和交分解定理2 4 8 最后根据模糊等价关系是特殊的模糊 集，即模糊等价关系也存在并分解形式和交分解形式，就可以得到皿粗集的并交分解 定理2 5 1 在得到集合的k 粗集和强粗集后，利用定理2 5 1 即可求得r - 粗集。同样利 用k 粗模糊集的并分解定理2 4 3 或交分解定理2 4 7 求得模糊集合的九粗模糊集， 类似利用定理2 5 2 ，进而求得皿粗模糊集 第三章首先根据公理化相似度的定义提出了粗相似度( x ，y ) r 的定义，即( x ，y ) r = m i n 鼍；驾j 吕耋涮，篙 箬号罢科) ，进一步定义了下近似的下粗相似度和上近似 的上粗相似度 其次给出了粗相似度的基本性质，得到了定理3 2 8 和定理3 2 9 ，它们分别是 ( x ，y ) 冠= 0 的充要条件是对任意的z x n y ，有n 旦( x ) = 妒或m n 显( y ) = 和( x ，y ) r = 1 的充要条件是对任意的z xuy xny ，有r ( x ) 和 再( y ) 且旦( x ) = 显( y ) 利用粗相似度( x ，y ) r 给出了一种距离定义3 2 1 0 即 p ( x ，y ) = 1 一( x ，y ) r ，定理3 2 1 1 证明了p ( x ，y ) 满足距离三公式( 1 ) p ( x ，y ) = 0 甘x2 ry ，( 2 ) p ( x ，y ) = p ( x ) 和( 3 ) p ( x ，z ) sp ( x ，y ) + p ( z ) 即p ( x ，y ) 是一种合理的距离形式 粗相似度有一个特殊性质，即当一个集合确定时，其它集合与它的粗相似度的值 是0 或者l 的可能性大于粗相似度值介于0 和1 之间的可能性它的这个性质更有利 于建立聚类模型和识别模型，因此在粗相似度的基础上给出一个聚类的算法聚类后 得到n 类模式，当出现一个新样本时，需要用模式识别的方法去识别它属于哪个模式， 因此接着就给出了粗模式识别的算法。文中应用一个简单的例子解释了这种粗模式识 别模型 最后用粗相似度对集合与其受干扰后形成单向s 一集合和单向s - 集合对偶的关系 进行描述得到定理3 5 5 和定理3 5 6 ；而且针对8 - 粗集中单元素迁移做了粗相似度的 分析，得到定理3 5 7 和定理3 5 8 第四章首先在函数单向s - 粗集定义的基础上，给出了属性变化时函数等价类基数 变化定理4 1 3 以及粗集的上下近似的基数变化定理；同样在函数单向s 粗集对偶定义 的基础上，给出了属性变化时函数等价类基数变化定理4 2 3 以及粗集的上下近似的基 数变化定理将昂函数等价类【胡中的函数进行离散，通过多项式公式4 4 给出了舜函 数等价类 u 】的生成粗规律p ( z ) = a n x “+ 一1 扩_ 1 + + a l x + a o ；m 受到属性入侵攻 击的，生成m ，相似地可得 u l i 的生成粗规律p ( z ) ，= b x ”+ b n 一1 x n - 1 + + b l x + b o i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 由式4 8 即p ( z y + 口( o ) ，= p ( o ) 得到，- 碰撞规律0 ( z ) 1 ，而且给出了m 的生成粗规 律和m ，的生成粗规律以及，- 碰撞规律p ( z ) ，的关系定理 其次，在函数论域上定义一个算子函数粗相似度，就建立了一个函数粗代数空间 4 4 5 ，在函数单向s 集合和函数单向孓集合对偶基础上给出这个函数粗代数空间的 性质研究任给集合q 9 ，应用函数粗相似度给出函数单向孓集合q 。和函数单向 孓集合q 7 与集合q 之间的关系定理4 4 6 和定理4 4 9 针对函数s 粗集中单元素迁 移做了粗相似度的分析，得到定理4 4 1 2 和定理4 4 1 3 最后，由于一个函数就是一个规律，因此函数空间的萎缩和扩张对应于规律空间 的萎缩和扩张利用粗相似度定义一个误差度量规律变化程度，进而通过测得误差和 系统受侵后生成的规律就可以得到系统的原规律 第五章首先在类论域上根据粗集定义给出了粗类的定义，而且给出了类粗相似度 的定义给出了类粗相似度的基本性质，而且得到了两个充要条件定理，即定理5 2 3 对于任意子类盯和6 ，( 口，6 ) r = l 的充要条件是盯，j ) 昱= 1 和( 盯，6 ) 瓦= 1 ；定理5 2 4 对于任意子类口和正( 盯，6 ) r = 0 的充要条件是( 盯，6 ) 丑= 0 或( 口，6 ) 瓦= 0 其次由于类有两种变化形式，一种是类的元素集合个数的变化，一个是类的元素 集合大小的变化，因此由元素个数的变化提出了动态类的单向s - 类i 和单向s 一类对 偶i ，由元素大小的变化提出了动态类的单向s 一类i i 和单向s _ 类对偶i i 在类变化 的基础上给出了动态类的单向粗类i 和i i 以及单向s 粗类对偶i 和i i 的定义 最后根据类粗相似度和单向s 粗类i 以及单向孓粗类对偶i 的定义，给出了关 于动态类的单向孓粗类i 和单向s _ 粗类对偶i 的粗相似度特性，即定理5 4 1 和定理 5 4 4 本文的创新点； 创新点1 以z p a w l a k 粗集理论为基础，根据模糊集理论中的a 一截关系。将粗集 拓展到知粗集，并给出k 粗集的基本性质，得到了沁粗集的分解结构一一分解链； 在粗集的基础上建立了k 粗模糊集，根据模糊集理论中的分解定理，得出了粗 模糊集的分解定理，最后得到了b 粗集和尼粗模糊集分解形式 创新点1 列于第二章中 创新点2 在相似度公理化的基础上，给出了粗相似度的概念和基本性质，而且根 据粗相似度的定义得到一种距离形式的定义方法；根据粗相似度的特殊性质即当一个 集合确定时，其它集合与它的粗相似度的值是0 或者1 的可能性大于粗相似度值介于 0 和1 之间的可能性，给出了聚类和粗模式识别的算法最后用粗相似度计算s 粗集 中单元素迁移对集合的影响程度 创新点2 列于第三章中 创新点3 在函数粗集和粗相似度的基础上建立的函数粗代数空间，根据在集合变 化时函数代数空间会出现萎缩或扩张，给出了相应的萎缩和扩张定理；一个函数就是 i i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 一个规律，利用函数粗相似度定义一个误差度量规律变化程度，进而通过测得误差和 入侵后的规律就可以得到系统的原规律 创新点3 列于第四章中 创新点4 在类论域上给出了类粗相似度的概念和性质，提出了单向粗类i 和 i i 以及单向s 一粗类对偶i 和i i 的概念；最后给出了单向s 一粗类i 和单向s 粗类对偶 i 的粗相似度特性 创新点4 列于第五章中 关键词a 一粗集，粗相似度，粗模式识别，函数粗代数空间，动态类 i v s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n r o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ea n dr e s e a r c ho ni t sc h a r a c t e r i s t i c s x u x i a o - j i n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s & s y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i n1 9 8 2 ，p r o f e s s o rz p a w l a kp r e s e n t e dr o u g hs e t st h e o r yi nw h i c hau n d e f i n a b l e s e tc a nb ed e f i n e db yt h el o w e ra p p r o x i m a t i o na n dt h eu p p e ra p p r o x i m a t i o n i n2 0 0 2 ， p r o f e s s o rs h ik a i q u a nh a se x t e n d e dz p a w l a kr o u g hs e t sa n dp r e s e n t e ds i n g u l a rr o u g h s e t sw h i c hi ss h o r t e df o rs - r o u g hs e t s i th a st h r e ef o r m s ，o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ， d u a lo fo n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t sa n dt w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s s - r o u g hs e t sm a k e z p a w l a kr o u g hs e t sb e c o m es t a t i ct od y n a m i ca n dm a k er o u g hs e t st h e o r yh a v em a n y a p p h c a t i o n s i n2 0 0 5 ，p r o f e s s o rs k ik a i q u a np r e s e n t e df u n c t i o ns - r o u g hs e t sa n di ti s f o u n d e db a s e do nf u n c t i o nf i e l d b e c a u s ef u n c t i o ni se q u a lt ol a w ，f u n c t i o ns - r o u g hs e t s i sa p p l i e di nl a w - m i n i n ga n dr e c o g n i t i o n ，t h i st h e s i sg i v et h er e s e a r c ho nc h a r a c t e r i s t i c s o fr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e eb a s e do nz p a w l a kr o u g hs e t s ，s - r o u g hs e t sa n dh m c t i o n s - r o u g hs e t s t h em a i nr e s e d x c hc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ep r e s e n t i n ga - r o u g hs e t sa n da - r o u g h f u z z ys e t s ，d i s c u s s i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fa - r o u g h s e t sa n da - r o u g hf u z z ys e t s ，p r e s e n t - i n gr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e ，s t u d y i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n si nr o u g hs e t s t h e o r ya n ds - r o u g hs e t st h e o r y , s t u d y i n gf u n c t i o nr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ea n di t sa p p f i - c a t i o n si nf u n c t i o nr o u g hs p a c e ，d e f i n i n gr o u g hc l a s sa n dc l a s sr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e ， d e f i n i n gd y n a m i cc l a s sa n dg i v i n gi t sc h a r a c t e r i s t i c sa b o u tr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e c h a p t e ro n ef i r s t l yp r o v i d e sab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n da n dt h er e s e n t s i t u a t i o no fd e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c ha n dg i v e st h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fz p a w l a kr o u g hs e t s s e c o n d l yi tg i v e st h ed e f i n i t i o no fs - r o u g hs e t sa n df u n c t i o ns - r o u g hs e t sw h i c he x t e n dr o u g hs e t so nt h e o r y c h a p t e rt w o f i r s t l yc h a n g e st h eb a s i so ff o u n d i n gz p a w l a kr o u g hs e t si n t of u z z y e q u i v a l e n c er e l a t i o n a - e q n i v a l e n c ec l a s sa n da - r o u g hs e t sa r ep r e s e n t e da c c o r d i n gt o t h ec o n c e p t i o n so fa c u tr e l a t i o ni n f u z z ys e t st h e o r y b ys t u d y i n gt h eg e n e r a ls t r u c t u r e o fa - r o u g hs e t sw ec a no b t a i nt h a ta - r o u g hs e t si sag e n e r a lc a s eo fz p a w l a kr o u g h s e t s s t u d y i n gt h eb a s i cp r o p e r t i e so fa - e q u i v a l e n c ec l a s sa n da - r o u g hs e t st h e o r e m 2 2 7a n dt h e o r e m2 2 8a r eo b t a i n e da c c o r d i n gt ot h ev a r i a t i o no fav a l u e w h e n a 1 a 2 sa n ，b o t ha - e q u i v a l e n c ec l a s sa n da - r o u g hs e t sh a v et h ed e c o m p o s i t i o n i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r md i s s e r t a t i o n c h a i n sa n dt h e r ea r es e p a r a t e l y x h 。2 x h 。- 一2k 】ha n d ( 兄 1 ( x ) ，r 1 ( x ) ) 2 ( r 。( x ) ，瓦i ( x ) ) 2 2 ( r 。( x ) ，面i ( x ) ) ，i nt h i sd e c o m p o s i t i o nc h a i n ，v 九， 0 ，l 】，, k - e q u i v a l e n c ec l a s ss a t i s f i e s ( 1 ) 【z 】 ln 【。】 a n d ( 2 ) 【z 】 = n 【叫ka n da - r o u g h s e t ss a t i s f i e s ( 1 ) ( r k ( x ) ，夏i ( x ) ) n ( r x ，( x ) ，万承x ) ) 妒a n d ( 2 ) ( 旦( x ) ，再i ( x ) ) = n ( r 。( x ) ，取( x ) ) s e c o n d l yb e c a u s eb o t hr o u g hs e t sa n df u z z ys e t sa r et o o l sf o rs o l v i n gt h eu n c e r t a i n p r o b l e m ，t h eg e n e r a lf o r mr o u g hf u z z ys e t sw a sp u tf o r w a r db yd d u b o i sa n dh p r a c l e b yc o m b i n i n gr o l l g hs e t sa n df u z z ys e t s b u tt h ed e f i n i t i o na n ds t r u c t u r eo fa r o u g h f u z z ys e t sp r e s e n t e di nt h i st h e s i sa r eb a s e do nx - r o u 幽s e t s b e c a u s et h e r ei st h e s t r o n gk c u tr e l a t i o ni nf u z z ys e t st h e o r y , t h ec o n c e p t i o no fs t r o n ga - r o u g hf u z z ys e t s i sp r e s e n t e d ，b yt h eu n i o na n di n t e r s e c t i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo ff u z z ys e t ，t h e u n i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 3a n dt h ei n t e r s e c t i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 7 o fa - r o u g hf u z z ys e t sa n dt h eu n i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 4a n dt h ei n t e r s e c t i o n d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 8o fs t r o n ga - r o u g hf u z z y s e t sc a nb eg i v e n b e c a u s eaf u z z y e q u i v a l e n c er e l a t i o ni sas p e c i a lf u z z ys e ti th a st h eu n i o na n di n t e r s e c t i o nd e c o m p o s i t i o n f o r m t h eu n i o na n di n t e r s e c t i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 5 1o fr - r o u g hs e t sc a nb e g o t w h e na - r o u g hs e t sa n ds t r o n ga - r o u g hs e t sa r eg o t ，r - r o u g hs e t sc a nb eg o tb y t h e o r e m2 5 1 a f t e ra r o u g hf u z z ys e t so ff u z z ys e t sc a nb eo b t a i n e db yt h eu n i o n d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 3o rt h ei n t e r s e c t i o nd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 4 7o fa r o u l g h f u z z ys e t s ，s i m i l a r l yr - r o u g hf u z z ys e t sc a n b eg o tb yt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m2 5 2 c h a p t e rt h r e ef i r s t l yp r e s e n t st h ed e f i n i t i o no fr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e ( x ，v ) r a n dc x ，y ，r - - - - m i n t 镬l ；罟号耋涮，苦 筷 ：矧，b a s e do nt h ea x i 。m a t t cs t m ，a r i 锣 d e g r e e f u r t h e rt h ed e f i n i t i o n so fl o w e rr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e eo fl o w e ra p p r o x i m a t i o n a n du p p e rr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e eo fu p p e ra p p r o x i m a t i o na r eg i v e n s e c o n d l yt h eb a s i cp r o p e r t i e so fr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ea r eg i v e n t h e o r e m3 2 8 a n dt h e o r e m3 2 9a r eo b t a i n e da n dt h e r ea r es e p a r a t e l y ( x ，y ) r = 0i fa n do n l yi ff o r a r b i t r a r yz xn yt h e r ea r ep 】n 显( x ) = o r n 显( y ) = 妒a n d ( x ，y ) r = 1i f a n do n l yi ff o ra r b i t r a r yz xuy xn yt h e r ea r eb 】r ( x ) a n dk 】r ( y ) a n dm o r e o v e r 旦( x ) 一旦( y ) d e f i n i t i o n3 2 1 0i sp r e s e n t e da n dp ( x ，y ) i sd e f i n e db y ( x ，) ra n dp ( x ，y ) ；1 一( x ，y ) r t h e o r e m3 2 1 1p r o v e st h a tp ( x ，y ) s a t i s f i e st h e t h r e ef o r m u l a so fd i s t a n c e ( 1 ) p ( x ，y ) = 0 = 辛x ry ，( 2 ) p ( x ，y ) = p ( ex ) a n d ( 3 ) p ( x ，z ) v ( x ，y ) + p ( z ) s op ( x ，y ) i sa r e a s o n a b l ed i s t a n c ef o r m u l a r o u g hs i m i l a r i t yd e g r e eh a sas p e c i a lp r o p e r t yt h a ti st h ep r o b a b i l i t yo ft h er o u g h i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n s i m i l a r i t yd e g r e eb e t w e e nad e t e r m i n e ds e ta n da l la r b i t r a r ys e ti s0o rli sl a r g e rt h a n t h ep r o b a b i l i t yo ft h er o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ei sb e t w e e n0a n dlt h i sp r o p e r t yd o e s g o o dt of o u n dc l u s t e r i n gm o d e la n dr e c o g n i t i o nm o d e la n dt h ea l g o r i t h mo fc l u s t e r i n gi s g o tb a s e do nr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e a f t e rc l u s t e r i n gnp a t t e r n sa r eo b t a i n e d 。w h e na n e ws a m p l ei so b t a i n e di tn e e dt or e c o g n i z et h a tb e l o n g st ow h i c hp a t t e r ni nn p a t t e r n s a n dt h ea l g o r i t h mo fr o u g hp a t t e r nr e c o g n i t i o nj so b t a i n e d u s i n gas i m p l ee x a m p l e e x p l a i n st h i sm o d e la b o u tr o u g hp a t t e r nr e c o g n i t i o ni nt h i st h e s i s l a s t l yt h er e l a t i o n so fb e t w e e nas e ta n di t so n ed i r e c t i o ns - s e t sa n dd u 蛆o fo n e d i r e c t i o ns s e t sc a nb ee x p l a i n e db yr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ea n dt h e o r e m3 5 5a n d t h e o r e m3 5 6a r eo b t a i n e d t h ea f f e c t i o nd e g r e eo fs i n g l ee l e m e n tm i g r a t ei ns - r o u g h s e t sc a nb ea n a l y z e da n dt h e o r e m3 5 7a n dt h e o r e m3 5 8a r eo b t a i n e d c h a p t e rf o u rf i r s t l yg i v e st h e o r e m4 1 3a b o u tt h ec a r dv a r i a t i o no ff u n c t i o ne q u i v - a l e n e ec l a s sa c c o r d i n gt ot h ea t t r i b u t ev a r i a t i o na n dt h e o r e ma b o u tt h ec a r dv a r i a t i o n o fl o w e ra p p r o x i m a t i o na n du p p e ra p p r o x i m a t i o nb a s e do nt h ed e f i n i t i o no ff u n c t i o n o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s s i m i l a r l yt h e o r e m4 2 3a b o u tt h ec a r dv a r i a t i o no ff u n c t i o n e q u i v a l e n c ec l a s sa c c o r d i n gt ot h ea t t r i b u t e v a r i a t i o na n dt h e o r e ma b o u tt h ec a r dv a r i a - t i o no fl o w e ra p p r o x i m a t i o na n du p p e ra p p r o x i m a t i o na r eg i v e nb a s e do i l t h ed e f i n i t i o n o fd u a lo ff u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s f u n c t i o ni nr - f u n c t i o ne q u i v a l e n c ec l a s s m i sm a d ed i s c r e t ea n dr o u g hl a wp ( x ) = n n 矿+ a n 一1 z “一1 + + a l x + a 0g e n e r a t e d b yr - f u n c t i o ne q u i v a l e n c ec l a s sm i sg i v e nb yp o l y n o m i a lf o r m u l a4 4 【qa c c e p t s t h ea t t a c ko fa t t r i b u t ei n c u r s i o nt og e n e r a t ej - g e n e r a t i o nm ，t h e8 a q ea sr o u g hl a w p ( x v = k 矿+ k l x n 一1 + + b l x + b og e n e r a t e db ym 7 i sg o t f - c o l l i s i o nl a w 目( ) ， i sg o tb yf o r m u l a4 8t h a ti sp ( x ) i + 口( z ) ，= v ( x ) a n dt h er e l a t i o nt h e o r e mo fr o u g hl a w g e n e r a t e db y 阻】a n dr o u g h l a wg e n e r a t e db ym ，a n d 产c o l l i s i o nl a we ( z fi sg i v e n s e c o n d l y 明o p e r a t o ro ff u n c t i o nr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e ei sd e f i n e d i nf u n c t i o nf i e l d a n df u n c t i o nr o u g ha l g e b r as p a c e4 4 5i sf o u n d e d t h ep r o p e r t i e so ff u n c t i o nr o u g h a l g e b r as p a c ea r eg i v e na c c o r d i n gt of u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - s e t sa n dd u a lo ff u n c t i o n o n ed i r e c t i o ns - s e t s f o ra na r b i t r a r ys e tq 9 ，a p p l y i n gf u n c t i o nr o u g hs i m i l a r i t y d e g r e et h er e l a t i o nt h e o r e m4 4 6b e t w e e nf u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - s e t sq 。a n dqa n d t h er e l a t i o nt h e o r e m4 4 9b e t w e e nd u a lo ff u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - s e t sq 7a n dqa r e g i v e n s i n g l ee l e m e n tm i g r a t ei nf u n c t i o ns - r o u g hs e t si sa n a l y z e db yf u n c t i o nr o u g h s i m i l a r i t yd e g r e ea n dt h e o r e m4 4 1 2a n dt h e o r e m4 4 1 3a r eo b t a i n e d l a s t l yb e c a u s eaf u n c t i o ni sal a w ，t h ec o n t r a c t i o na n de x t e n s i o no ff u n c t i o ns p a c e i sa c c o r d i n gt ot h ec o n t r a c t i o na n de x t e n s i o no fl a ws p a c e t h ee r r o rd e f i n e db yr o u g h s i m i l a r i t yd e g r e em e a s u r e st h ev a r i a t i o nd e g r e eo fl a wa n dt h eo r i g i n a ll a wo fs y s t e m i l l s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n c a nb eo b t a i n e db ym e a s u r i n gt h ee r r o ra n dt h el a wp r o d u c i n ga f t e rs y s t e mi si n v a d e d c h a p t e rf i v ef i r s t l yd e f i n e sr o u g hc l a s so nc l a s sf i e l db yt h ed e f i n i t i o no fr o u g hs e t s a n dg i v e st h ed e f i n i t i o no fc l a s sr o u g hs i m i l a r i t yd e g r e e t h ep r o p e r t i e so fc l a s sr o u g h s i m i l a r i t yd e g r e ea r eg i v e na n dt w ot h e o r e m sa r eo b t a i n e dw h i c ha r et h e o r e m5 2 3i n w h i c h f o r a r b i t r a r ys u b c l a s s 矿a n d6a n d ( 仃，6 ) r = 1i f o n l y i f ( ，巧) 区= 1a n d ( 盯，6 ) 丙= 1 a n dt h e o r e m5 2 4i nw h i c hf o ra r b i t r a r ys u b c l a s s 盯a n d5a n d ( 盯，6 ) r = 0i fo n l yi f ( 盯，占) 显= 0o r 盯，j ) 再= 0 。 s e c o n d l yb e c a u s ec l a s sh a v et w ok i n d so fv a r i a b l ec a s e sw h i c ha r et h en u m b e