（系统分析与集成专业论文）混沌理论用于经济预测研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究i 作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：二艘 日期：拦盏：? l 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论 文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解南京信息j j 驮学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 辘粤象 扣缸1 - 导师签名： 混沌理论用于经济预测研究 摘要 复杂性科学是当前世界科学发展的热点和前沿，其研究与应用正在向各个学 科渗透。作为复杂性科学理论之一的混沌理论，对待自然界和社会生活有着与传 统科学不同的思想、研究方法，解决与说明了一些应用传统科学所不能解决与说 明的问题或现象，其研究与应用也已渗透到了众多学科领域。 本文首先简要介绍了混沌理论及其在经济预测研究中的应用原理，然后通过 对b p 神经网络、l y a p u n o v 指数和混沌时间序列三方面的研究提出一个新的预测 模型。 b p 神经网络理论是非线性动态系统建模与预测的强有力工具，本文引入混沌 机制来优化b p 算法，利用混沌的全局遍历性特点解决b p 神经网络的局部极小点 问题，获得了更快的收敛速度和更优的全局网络。 本文根据经济系统的非线性特征，提出了“基于l y a p u n o v 指数和c b p 的混沌 时序预测模型”，利用l y a p u n o v 指数判别时间序列的混沌特性，估计最大可预测 时间尺度；应用混沌优化的b p 神经网络进行经济预测。然后将这一模型应用于某 超市的销售数据预测，取得了比较满意的结果。 最后，本文在进行总结的同时还提出了今后进一步研究的方向。 关键词：混沌、预测、神经网络、l y a p u n o v 指数、混沌时间序列 4 混沌理论用于经济预测研究 a b s t r a c t f i r s t l yi th a sb e e ni n t r o d u c e ds i m p l yi nt h i st h e s i st h a tc h a o st h e o r y a n di t sa p p l i c a t i o ni ne c o n o m yf o r e c a s t sr e s e a r c h t h e ni th a sb e e n e m p h a s i z e do ni m p r o v et h ef o r e c a s tm o d e l w i t hs t u d y i n go nm a x i m u mf o r e c a s t t i m es c a l ea n dn e u r a ln e t w o r k i t i sat r a d i t i o n a lf o r e c a s t i n gt o o lo fb pn e u r a ln e t w o r k t h ec h a o s t h e o r yh a sb e e nu s e di nb pa l g o r i t h ma n di t so v e r a l le r g o d i c i t yi ns o l v i n g b pn e u r a ln e t w o r k sl o c a lm i n i m u m st og a i n i n gq u i c k e ra n db e t t e r g l o b a li yn e t w o r k e c o n o m ys y s t e mi ne s s e n c ei san o n l i n e a rc o m p l e x i t ys y s t e m b a s e d o nc h a o st i m es e r i e sn o n l i n e a ra t t r i b u t i o n ，l y a p u n o vi n d e xh a sb e e n a p p l i e di ne s t i m a t i n gm a x i m u mf o r e c a s tt i m e s c a l e i ta l s oa p p l i e d i m p r o v e db pn e u r a ln e t w o r ki nf o r e c a s t i n ge c o n o m yd a t at oi m p r o v e f o r e c a s t i n gp r e c i s i o n i nl a s t ，a f t e rs u m m a r yo fa l lw o r ki th a sb e e np u tf o r w a r d e do ft h e d e e p e rs t u d yd i r e c t i o n k e yw o r d s ：c h a o s ，f o r e c a s t ，n e u r a ln e t w o r k , l y a p u n o vi n d e x ，c h a o st i r a e 。s e r i e s d a t a 5 混沌理论用于经济预测研究 第一章绪论 1 1 经济预测常识 经济预测，是指以准确的调查统计资料和经济信息为依据，从经济现象的历史、现状和 规律性出发，运用科学的方法，对经济现象未来发展前景的测定。经济预测是经济决策科学 化的工具，是国家编制计划、预见计划执行情况、加强计划指导的依据，也是企业改善经营 管理的有效手段之一。 根据研究任务的不同，按照不同标准经济预测可以有不同的分类。常用的有以下几种分 类： i ) 按预测涉及的范围不同，可分为宏观经济预测和微观经济预测。 2 ) 按预测的时间长短不同，可分为长期经济预测、中期经济预测、短期经济预测和近 期经济预测。 3 ) 按预测方法的性质不同，可分为定性经济预测和定量经济预测。 4 ) 按预测的时态不同，可分为静态经济预测和动态经济预测。 1 2 研究背景 复杂性科学是当前世界科学发展的热点和前沿，其研究与应用正在向各个学科渗透，成 为受到众多学科领域科学家关注的交叉科学研究领域。西方许多发达国家都建立了专门从事 复杂性、复杂系统或非线性系统研究的机构，比较著名的如圣菲研究所、新英格兰复杂系统 研究所；出版了多个与复杂性研究相关的刊物，如 c o m p l e xs y s t e m 、 c o m p l e x i t y 等： 近年来每年都有许多有关复杂性科学的各种会议召开。复杂性科学与经济学的结合是复杂性 科学发展的一个重要方面，也正在成为一个新的学科交叉研究领域。有关研究与应用的兴起， 已经引起越来越多的经济学家和企业高层管理者的兴趣和关注。 作为复杂性科学理论之一的混沌理论，对待自然界和社会生活有着与传统科学不同的思 想、研究方法，解决与说明了一些应用传统科学所不能解决与说明的问题或现象，其研究与 6 混沌理论用于经济预测研究 应用也已渗透到了众多学科领域。面对一些复杂的经济现象，传统的经济理论不能给予合理 的解释，经济管理工作中经济的预测与控制也常常不能取得预期的效果。这些都使得对于混 沌理论用于经济预测的研究不仅十分必要，而且具有重要的理论价值和实际意义。 1 3 本文的主要工作 本文旨在讨论混沌理论在经济预测中的应用，主要安排如下： 第一章介绍了经济预测的基本知识，本文的研究背景以及论文章节安排。 第二章介绍了混沌理论的基本概念，分析了混沌的本质特征。 第三章介绍了混沌理论在经济学中的应用现状，并重点讨论了经济混沌的预测原理。 第四章介绍了b p 神经网络的基本原理和不足，对b p 神经网络进行混沌优化，并比较 了两者之间的性能差别。 第五章根据混沌时间序列的非线性性质，利用l y a p u n o v 指数估计最大可预测时间尺 度，并应用改进的b p 神经网络进行经济预测，并将这一方法应用于预测某超市 的销售数据。 第六章结束语，介绍了本文的创新之处，并提出了进一步研究的思路。 7 混沌理论用于经济预测研究 第二章混沌的基本概念以及本质特征 从现代观念看，混沌是相对于有序而言的。随着科学的发展，科学的视界越来越宽， 世界的复杂性已经日渐成为科学研究的中心。这当然也是科学本身的进步，由于科学认识对 象的复杂性、非线性、不平衡、非对称性、界限的模糊以及诸如此类的特性逐渐被纳入科学 研究的领域，科学已经进入了一个新的发展阶段。在这个新的阶段，近代科学所造成的机械 决定论的思想方法放打破了，新的与混沌和复杂性相关的科学思想正在形成，而处于前沿的 就是有关混沌和模糊性的科学。 2 1 混沌理论概述 2 1 1 混沌的传统释义 “混沌”的英语单词是c h a o s ，原是一个白希腊文转变为拉丁文的字，字根于“开口、 打哈欠”，此字的情绪背景是疲倦与困惑。在威布斯特大字典中，它有三层意思。第一，无 形的物质与无穷的空间之无序，这乃是有序的字宙存在之前的状态；第二，极端的混乱与无 序；第三，深渊、无底洞与大裂口，它的同义字是混乱( c o n f u s e ) 。 在我国2 5 0 0 年前，周易就谈到了“混沌”。我国古代传说中也有开天辟地始于混沌一 说。 混沌就其一般含义而言，意指混乱、杂乱、无序和没有规律性的事物或现象。如缓缓 上升的烟雾，风中飘动的旗帜，秋风中的落叶，小溪中的流水，公路上拥挤的车流，不断变 化的股市行情等，都可以用混沌一词来描述。 在传统的科学研究中对混沌的理解也有着不同于现代混沌学的含义。传统分析认为， 某一复杂的行为只能是复杂原因造成的。更确切地说，是原因的复杂性造成的：反之。某一 简单的系统只能具有简单的行为。从某种意义上说，整个传统科学的依据就是这种双重公理。 一般认为，一个系统行为的复杂，产生于大量互不相干因素的作用，这些因素干扰了所观察 8 混沌理论用于经济预测研究 系统的演变。例如，轨迹的不规则性说明作用于运动物体的力是纷繁复杂的。 混沌理论的出现，使人们不得不重新审视从前对混沌现象的看法和科学研究中的假定。 2 1 2 混沌的科学释义 混沌作为一个科学概念，既有传统认识上的外表。也有不同于传统科学研究内容。 美国圣克鲁斯加州大学动态系统研究小组指出“仅具有几个元素的简单确定性的系统 能够产生随机行为，这种随机行为是本质上的，收集更多的信息并不能消除它，以这种方式 产生的随机行为就称为混沌。”1 物理学家奥特在物理学年鉴( 1 9 9 0 年，第二版) 的混沌专题中写到“混沌一词在此描述了 动态系统的一类行为，它随时间演化，可以是非常复杂的。对于一个非保守动力学系统如 果在一个吸引子上的典型轨迹具有对初始条件的敏感依赖性，则就说该系统是混沌的。”“1 综上所述，混沌的科学含义在于。1 ： 1 ) 混沌是确定性的非线性系统产生一种貌似随机的动态行为： 2 ) 混沌具有对系统初始条件敏感依赖性( 这里的依赖性含义是指对一个初始条件的集 合，而不是对个别初始条件的特例) ； 3 ) 混沌是有界的，具有混沌吸引子，是有序的。 2 1 3 混沌与非线性及混沌系统 一个系统中的非线性是指一个系统的后一期状态以非线性的方式依赖于它的前一期状 态。设z 。是一个系统的后一期观察值，x 。是它的前一期视察值，它们两者之间存在关系 ， x n “= f ( x 。) ，x r 。如果f ( x 。+ x ) f ( x 。) + f ( x ) ，则称j 是非线性的a 在现实世界中，事物之间以及事物内部要素之间的关系常常是非线性的。线性描述只能 是它们的近似表达，如果要细致和准确的描述只能是非线性的。这些非线性的数学形式通常 是差分方程、微分方程、偏微分方程、积分方程以及它们的组合。 哪里有混沌，哪里就有非线性，非线性是混沌的必要条件，但不是充分条件。 9 混沌理论用于经济预测研究 当一个非线性系统产生混沌状态时，就称该系统为混沌系统。混沌状态的产生是有条件 的，即它并不总是混沌的，只有满足一定条件时才会是混沌的，如果系统所处的条件不会产 生混沌状态，称之为非混沌系统。 2 1 4 混沌与随机 我们将混沌与投掷硬币这样的随机事件加以比较，看后一期状态是否严格依赖于前一期 状态，以此来区分混沌过程和随机过程。其实，科学家们关于这两者的区分是有争论的。一 般说来，混沌与随机的区别在于： ( 1 ) 混沌是非周期但有序的现象，即现象是随机的，但内在的发生机制是遵从一定规律 的。 ( 2 ) 混沌是有界的。混沌的有界性是指混沌系统在一定参数条件下产生的随机现象有界 限，不是无止境的。如考虑逻辑斯蒂映射( 图2 1 ) 取不同参数r 时，疋“在n = 5 1 5 0 0 k 值的 序列在相平面x r 上分布情况，如图1 1 所示右端阴暗部分表示取不同参数r 值时以+ l 的变化 是混沌的。在不同的时刻n ，以。都不一样，但被限制在一定的区域之内，随机事件就不会 有明显的规律性限制，即没有“混沌吸引子”的存在。 ( 3 ) 混沌具有对初始条件敏感依赖性。给 b l o g i s t i c 方程 x = r x 。( 1 一x 。) 在r = 3 7 8 初始值x o 分别为o 4 0 0 0 0 和0 4 0 0 0 1 时的时间序列值。从表2 1 可以看出 腊o = 0 0 0 0 0 1 ( 十万分之一) 时所得的序列显然不同。在n = 5 3 时，蚪5 3 = 0 7 8 5 0 7 0 1 9 8 2 6 = 0 5 8 6 6 1 1 ，z 5 3 x o = 5 8 6 6 1 ( 倍) 。真可谓“差之毫厘，失之千里”。随 着时间的推移，误差不断放大，而随机事件不具有这种特性。 ( 4 ) 给定一组( 1 0 0 0 个) 由混沌系统产生的时间序列( e b l o g i s t i c 方程产生的，r = 4 0 ， o = 0 0 0 0 0 1 ) 和一组由计算机产生( 0 1 ) 之间均匀分布的随机数，经过常规的统计测试， 发现两者并无明显差异。 1 0 混沌理论用于经济预测研究 l 么习 图2 1l o g i s t i c 方程的分叉图“ n 2 7 0 2 9 5 3 1 53 5 33 7 83 7 8 00 4 0 0 0o 4 0 0 00 4 0 0 0 o 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 l 10 6 4 8 00 7 0 8 00 7 5 6 00 8 4 7 20 9 0 7 2 00 9 0 7 2 1 2 0 6 1 5 9 0 6 0 9 9 0 5 8 1 10 4 5 7 0 0 3 1 8 2 3 0 9 0 7 2 1 3 0 6 3 8 8 0 7 0 1 9 0 7 6 6 80 8 7 6 00 8 2 0 1 1o 3 1 8 2 1 5 00 6 2 9 60 6 5 7 70 5 3 3 50 5 1 7 1o 8 4 7 6 60 2 7 2 8 1 5 10 6 2 9 60 6 6 4 20 7 4 8 00 8 8 1 50 4 8 8 1 2o 7 5 1 6 1 5 2o 6 2 9 60 6 5 8 00 5 3 3 50 3 6 8 80 9 4 4 4 70 7 0 5 6 9 5 30 6 2 9 60 6 6 3 90 7 5 8 00 8 2 1 8 0 1 9 8 2 6 0 7 8 5 0 7 表2 1 取不同r 值时逻辑斯蒂映射迭代值 混沌理论用于经济预测研究 2 2 混沌的本质特征与混沌概念的界定 混沌理论是非线性科学的核心部分，它的理论及应用价值很大，但是迄今为l e ，对混 沌概念还没有公认的严格的定义，我认为，对混沌概念的界定应从混沌现象的本质特征入手， 才有可能得出正确的完整的结论，本节将讨论混沌的本质特征一有界、非周期和敏感初条件， 并尝试对混沌概念的界定。 2 2 ，1 从混沌的李一约克定义看混沌的本质特征 士兕代科学蒽义上的棍、饨是个难以精确定义的概念，不耐领域的科掌冢往往对其做出不 同的定义。1 9 7 5 年李天岩和约克给出了混沌的一个数学定义，这也是第一次赋予混沌这个词 以严格的科学意义，混沌的李一约克定义如下”1 ： 设连续自映射厂：( f 斗，亡月) ，是r 中的一个闭区间，如果存在不可数集合s c ，满 足 1 ) s 不包含周期点。 2 ) 任给x l ，x 2 s ，( x l z 2 ) 有 l i m s u p ( 置) 一，。( j ：) l o 嫩i n f j l ( x ，) 一九x ：) l = o 这里，( ) = ，( 厂( ，( ) ) ) ，表示t 重函数关系。 3 ) 任给j ie s n t f 的任意周期点p e ，有 l i m s u p f ( z 1 ) 一厂( p ) l o 则称厂在s 上是混沌的。 由李一约克的定义可见，他们是用三个方面的本质特征来对混沌进行刻画的： 1 2 混沌理论用于经济预测研究 2 ) 3 ) 非周期一在李一约克对混沌映射的定义中，称，在s 上是混沌的所依据的三个条 件中的两条是对非周期的刻画，第一条表明混沌轨道排除了所有阶的周期点，第 三条意味着混沌轨道与任意的周期轨道都不具有渐近关系，而是原则上可区分 的。它们实际上是从周期性角度对非周期性进行的刻画。 敏感初条件一李一约克定义中的第二条实际上就是对混沌轨道所具有的“敏感初 条件”的描述，即距离的下确界为。的无限接近的两条轨道，其上确界却是有限 的，大于。的。 有界在李一约克定义中，“有界”是作为定义的前提条件出现的，这个“有界” 的前提条件的设定是必要的，如果没有这个限制条件，就不能保证系统是混沌的， 例如：映射厂：x = f ( x 。) = z ：，当x o 1 时，厂会很快使z 超越，的 边界而趋于一，这时x 。的整个序列显然仍具有非周期、敏感初条件等混沌的本 质特征，但是它的演化过程是发散的，不会形成混沌吸引子。可见“有界”是混 沌的不可或缺的必要条件和本质特征之一。 2 2 2 混沌概念的界定 有界、非周期、敏感初条件是混沌行为或状态所具有的本质特征，那么是不是一切具有 这些特征的行为或状态都可看作是混沌呢? 即混沌行为的主体是什么呢? 我认为，应把混沌 行为的主体限定为“确定性的非线性系统”，因为一方面，在严格的科学意义上被仔细研究 过的混沌系统都是确定性的非线性系统，另一方面，把那些机理不清的复杂行为当作混沌来 处理是不严格和不充分的。 1 )确定性。是指具有因果关系的完全决定论的情况，用概率论的语言讲，就是当 事件a 与事件b 存在着因果关系时，在事件b 出现的条件下，a 一定出现，条件概 率p ( a b ) = 1 。 2 )非线性。是相对于线性而言的，它可以从两个方面来表述，其一是叠加原理不 成立，其二是物理变量间的函数关系不是直线，函数的斜率在其定义域中有不 1 3 混沌理论用于经济预测研究 存在或不相等的地方，非线性是动力系统产生混沌现象的必要条件。 3 ) 确定性的非线性系统。顾名思义，是指具有确定的非线性机制的系统，在物理 上它有一定的不变的非线性物理机制，在数学上可以表示成一定的非线性数学 模型( 如非线性微分方程、非线性映射关系等) 。混沌理论告诉我们，在没有噪 声和外界扰动情况下，确定性的非线性系统只有三种非过渡性的稳态行为，即 稳定的周期行为、不稳定的周期行为、非周期行为，这第三种行为就是我们讨 论的混沌行为。 综上所述，我看到对于确定性非线性系统来说，都具有“有界”、“非周期”和“敏感 初条件”三个本质特征，在此两种情况下，这些特征的意义虽然不完全相同，但是它们之间 有确定的对应关系。同时，它们又都是最基本的特征，是其它非本质特征的基础。所以，可 以说这三个本质特征是满足界定混沌概念的原则的。 至此，我认为可以这样来界定混沌概念，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初条 件的非周期行为”。1 。只要能确定系统处于混沌状态，那么行为( 或状态) 主体就是确定性的 非线性系统，而且它一定具有“有界”、“敏感初条件”和“非周期”三个本质特征；反之， 任何一个确定性的非线性系统，只要它表现出“有界”、“非周期”和“敏感初条件”的特 征，那么就可以认为该系统处于混沌状态。 2 3 混沌研究的意义 混沌现象的研究不仅具有基本的理论意义，而且具有实际意义。目前非线性科学最重 要的成就之一就在于对混沌现象的认识。而关于混沌动力学的许多概念和方法，如奇怪吸引 子、相空间重构和符号动力学，正在广泛运用于自然科学和社会科学的各个门类之中，并取 得了普遍的成功。 自2 0 世纪7 0 年代以来的非线性科学和统计物理的最新发展表明，一个小的随机力并不 仅仅对原有的确定性方程结果产生微小的改变，而且它能出人意料地产生重要得多的影响。 在一定的非线性条件下，它能对系统演化起决定性的作用，甚至能改变宏观系统的未来命运。 另外，这种无规则的随机干扰并不总是对宏观秩序起消极破坏作用，在一定条件下它在产生 4 混沌理论用于经济预测研究 相干运动和建立“序”上起着十分积极的怠q 造性的作用“1 。 综上所述，通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去 被人们认为是确定论的和可逆的某些方程，却具有内在的随机性和不可逆性。确定论的方程 可以得出不确定的结果，这就打破了确定论和随机论这两套描述体系之间的鸿沟，给传统科 学以很大冲击，在某种意义上使传统科学被改造，这必将促进其他学科的进一步发展。 混沌理论用于经济预测研究 第三章经济混沌理论的基本原理 3 1 经济混沌理论研究概述 3 1 1 研究内容 研究主要包括有两大部分内容，一是经济系统的混沌理论与方法，包括经济系统的动 态演化基本原理，揭示经济混沌现象，经济混沌管理的理沦与方法，如经济混沌诊断、预测、 控制、评价、利用、防范与适应的原理与方法等：二是研究混沌理论在经济管理中的应用， 包括在宏观经济管理和企业管理中的应用，探索混沌理论指导下的经济系统管理的理论与方 法。 ( 1 ) 理论分析方法。在吸取前人有关经济理论、经济系统理论、企业管理理论以及经济 混沌理论与方法的基础上应用非线性科学的混沌理论与方法，综合应用数理统计、系统动态 学以及系统工程的理论与方法等开展研究。研究的理沦体系是，应用一般非线性系统的混沌 理论与方法研究经济系统的混沌理论与方法，并将它们应用于宏观经济的管理和微观经济的 管理( 企业管理) ，探讨复杂环境条件下经济管理的理论与方法。 ( 2 ) 试验分析和计算机模拟的方法。实际经济系统的不可重复实验性和反映现实经济系 统的统计数据有限性，除了要求研究数据有限条件下的经济系统的混沌理论与方法外。还可 以通过建立经验模型、理论模型，制造人工数据，以计算机为工具，进行方案模拟、理论验 证或政策试验，实现定性分析与定量分析的结合。 ( 3 ) 实证分析的方法。注重理论与实际的结合，开展实证研究，以宏观经济数据和微观 经济现象为研究对象，通过研究为现实经济工作提供指导意见。 3 1 2 研究方法 1 ) 经济混沌诊断的主要方法有关联维计算法和最大李雅普洛夫指数计算法等；对于小样 1 6 混沌理论用于经济预测研究 本、有噪声经济数据的混沌性诊断，可以用接近返回点测试法进行定性分析； 2 ) 经济混沌预测的方法有混沌动力学预测法、混沌唯象预测法和混沌情景预测法等； 3 ) 混沌经济系统的计划、组织、控制等管理活动需要一些基于混沌理论的原则来指导，也 需要建立经济混沌管理的计算机辅助决策支持系统闻。 3 2 经济混沌的可预测性原理 3 2 1 经济混沌的定性预测与定量预测 经济预测的要求不同于数理预测，数理预测要求绘出系统未来较为准确的状态，而经 济预测要求的是对系统未来的状态做出定性或定量的判断与估计，并不要求很准确。经济混 沌预测包括两个方面，经济混沌的定性预测和经济混沌的定量预测。 经济混沌的定性预测，就是对经济系统出现混沌状态的时机、条件和混沌的程度做出 推测判断，从性质上指出经济系统的未来状态；经济混沌的定量预测，则是当经济系统里混 沌状态时对其未来的变化做出数量上的估计”1 。 经济系统的行为可分为两类”1 ：一类是稳定的( 如平衡的、周期的) ，另一类是不稳定的 ( 如混沌的) 。当经济系统的行为是稳定的，系统的行为具有对初始状态和外界扰动变化的稳 定性，可以做出较为准确的数量上预测：当经济系统的行为是混沌的，因其行为具有对初始 状态和外界扰动的敏感性，从长期角度看，既没有数理意义上的可预测性也不能做出经济 意义上较为精确的预测。不过通过对经济系统模型的分析，可以找出表现系统不同行为性质 的结构参数，这对经济预测而言是有意义的，它至少是允许人们从性质上预见经济系统的未 来，对于经济混沌的定量预测从原理上讲，其短期预测是有效的。 3 2 2 吸引子及其分类 吸引子( a t t r a c t o r ) 是状态空间一种用以刻画状态空间中的长期行为的几何形式，是 耗散系统长时间演化的最终归宿。吸引子可分为定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和 奇异吸引子四类。1 。 t 7 混沌理论用于经济预测研究 第一类吸引子是定常吸引子，具有这种吸引子的系统在状态空间中其轨道趋于一个固定 点，不管系统从什么初始状态出发，其长期演化的归宿是恒定不变的，总是停在相空间中的 一个固定点上。 第二类吸引子是状态空间中的闭环，或称极限环，它描述的是稳定振荡。例如：钟摆的 周期运动和心脏的跳动。这种系统从某一初始状态出发，经过一个短暂的过程后直接进入周 期运动，一旦系统进入周期运动，在相空间中，其轨道就固定在闭环上，系统作周期运动， 其状态空间的相图就沿闭环周而复始，永远循环。 第三类吸引子为环面吸引子，或称拟周期吸引子。它描述复合振荡的拟周期行为，它的 轨道在状态空间中的一个环面上绕行而且永不重复永不相交。 第四类吸引子是奇异吸引子，又称混沌吸引子。洛仑兹吸引子是它的第一个观察到的实 例。它具有复杂的拉伸，折迭与伸缩的结构，可以使指数型发散保持在有限的空间内。 吸引子的产生可以解释为：耗散系统在其运动与演化的过程中，相体积不断收缩的结果。 收缩是由于阻尼等耗散项的存在所致。吸引子的维数一般要比原始相空间低，这是由于耗散 过程中，消耗了大量小尺度的运动模式，因而使得确定性系统长时间行为的有效自由度减少 【i n 3 2 3 经济混沌预测原理 给定一组反映经济系统混沌状态的时间序列，利用相空间重构方法，将其映射到有限 维状态空间中，就可以得到混沌吸引子1 。混沌吸引子具有总体稳定性、吸引性和内部分形 性。吸引子之外的一切方向的运动轨迹都将向吸引子靠拢吸引子具有把吸引子外的所有状 态集聚到吸引子上来的强大凝聚力，反映出极强的稳定作用，系统状态一旦到达吸引子内部， 其运动轨迹就相互排斥，对应着不稳定的方向。然而，混沌吸引子上的相邻两轨迹绝不永远 按指数分离，而是在有限的空间内不断嵌套，吸引子的吸引与排斥的统一，导致吸引子的分 形结构。由此可知，处于混沌吸引子外的任一状态点的运动轨迹都有与处于其邻界状态点的 运动轨迹相同的运动趋势，进入吸引子。处于吸引子内的任一状态点的运动轨迹与处于其相 邻状态点的运动轨迹也有保持在该吸引子内并产生分形结构的运动趋势。因此，通过找出预 培 混沌理论用于经济预测研究 测状态点的邻界状态与其后续状态点之间的函数关系，作为预测函数，就可以实现经济混沌 的短期预测。预测程序如图3 1 所示。 上 寻找雾篓姜耄点 上 图3 1经济混沌预测建模程序” 1 9 混沌理论用于经济预测研究 第四章混沌b p 神经网络预测模型 4 1 神经网络概述 人工神经网络主要原理是模拟生物神经元系统之间的复杂激励过程：它是由大量称为神 经元的简要信息处理单元构成，每个神经元的结构和功能都十分简单，工作是集体进行的， 其信息传播、存贮与脑相似。它没有运算器、存贮器、控制器，而只有相同的处理单元的组 合。它的信息存贮在处理单元之间的连接键上，是一种模仿人脑神经细胞的结构和功能的物 理可实现系统。每个神经元既从i 临近它的神经过敏元接受信息，也向临近于该神经元的其它 神经元输出信息，整个神经元的信息处理是通过这些神经元的相互作用完成的。神经网络具 有自组织、自学习和联想记忆功能，具有分布性、并行性、高度鲁棒表性等特性。因此，由 大量性能简单的神经元组成一个结构复杂、性能完善的系统就可完成各类复杂任务。 已有的神经网络可大致分成三类：前向网络( p e e d f o r w a r dn n s ) 、反馈网络( f e e d b a c k n n s ) 和自组织网络( s e l f o r g a n i z i n gn n s ) o 对于经济预测来说，它的预测特点是：多输入、单输出的非线性映射。对于这种高度的非 线性关系，选取多层前向网络结构，既清晰又明了“。下面的实践表明。这种网络结构可达到 较高的预测精度。 前馈网络在运行中执行两个过程：学习训练过程和预测过程。学习训练过程，网络随机产 生一组神经元之间的连接权，通过正向传播得到一个输出结果，将它与期望值比较，若有误差， 则进入反向传播过程，修正网络的各个连接权，减少误差，正向输出计算与反向权值修正交替 进行，直到网络的输出与目标输出的误差最小，从而得到满意的连接权和阀值。预测过程就是 将待测样本输入网络，利用已获得的稳定网络结构、连接权和阈值对样本进行预测1 。 本文选用m a t l a b 软件的神经网络工具箱进行建模。神经网络工具箱以人工神经网络理 论为基础，用m a t l a b 语言构造出典型神经网络的激活函数，使设计者对所选定网络输出的 计算变成对激活函数的调用。另外，根据各种典型的修正网络权值的规则，加上网络的v i f 练 过程，用m a t l a b 语言编写出各种网络设计与训练的子程序网络的设计者则可以根据自己 2 0 混沌理论用于经济预锢9 研究 的需要去调用工具箱中有关神经网络的设计训练程序，使自己能够从繁琐的编程中解脱出 来，集中精力去思考问题和解决问题，从而提高效率和解题质量“。 4 2b p 神经网络 4 2 1b p 神经网络概述 b p 神经网络，即多层前馈式误差反传播神经网络，通常由输入层、输出层和若干隐含 层构成，每层由若干个结点组成，每一个结点表示一个神经元，上层结点与下层结点之间通 过权联接，同层结点之间没有联系，网络结构见图3 2 。b p 网络采用的传递函数通常是 s i g m o i d 型可微函数“。 b p 神经网络的学习过程分为信息的正向传播过程和误差的反向传播过程两个阶段。外 部输入的信号经输入层、隐含层的神经元逐层处理向前传播到输出层，给出结果。如果在输 出层得不到期望输出，则转入逆向传播过程，将实际值与网络输出之间误差沿原来联结的通 路返回，通过修改各层神经元的权值，使误差减少，然后再转入正向传播过程，反复迭代， 直到误差小于给定的值为止。b p 神经网络克服了线性神经网络的局限性，可以实现任意线 性或非线性的函数映射。然而，由于b p 神经网络是基于梯度下降的误差反向传播算法进行 学习的，所以其网络训练速度通常很慢，而且容易陷入局部最小点，这一点也就是需要对 b p 网络进行改进的一个重要原因“”。 2 1 混沌理论用于经济预测研究 输入隐层输出 1 厂一 、仁一 7 1 p 一1 丹一 r sx 1 s q x lq u、j、。j 4 l ：t a i l s 培0 p + 6 1 )d 2 ；p “m l i n ( l w 2 - 1 口l + b 2 ) 图4 1具有单隐层的b p 神经网络结构“8 其中，r 为输入矢量的维数，s 为隐含层神经元个数，q 为输出层神经元个数。 4 2 2b p 神经网络的基本原理 1 b p 网络学习公式1 设输入节点的输入为x ，则隐节点的输出为咒= ，( 口盖，一0 3 ，其中连接权值是 国口，节点阈值为只；输出节点的输出为o ，= f ( z t j j y ，一只) ，其中连接权值是乃，节点 阈值为只； 设输出节点的期望输出为t f ，则所有样本误差为e = 唧，每一个样本的误差为 = 主i f “一o ? l ，其中p 为样本数，n 为输出节点数；输出层权值可通过 乃 + 1 ) = 瓦g ) + 玎毋m 进行修正，输出层阈值可通过岛忙+ 1 ) = 岛( ) + 胛一进行修正 混沌理论用于经济预测研究 其中误差4 = “一0 1 ) 0 f ( 1 一d f ) ；隐含层权值可通过国f ( t + 1 ) = f ( 七) + 玎1 _ 进行修 正，输出层阈值可通过只 + 1 ) = 只g ) + 刁d ；进行修正，其中误差占i = y ，( 1 一j ，) 4 瓦。 f 2 b p 网络训练步骤 1 ) 用小的随机数对每一层的权值w 和偏差b 初始化，以保证网络不被大的加权输 入饱和： 2 ) 计算网络各层输出矢量，以及网络误差： 3 ) 计算各层反向传播的误差变化，并计算各层权值的修正值以及新的权值； 4 ) 再次计算权值修正后的误差平方和； 5 ) 检查误差平方和是否小于一开始设定的期望误差最小值，若是，训练结束，否 则继续。 4 2 3b p 算法的不足与改进 一、b p 算法的不足 b p 算法的不足主要表现在它训练过程的不确定上： 1 ) 要较长的训练时间 对于一些复杂的问题，b p 算法可能要进行几小时甚至更长时间的训练，主要是由于学 习速率太小所造成的，可采用变化的学习速率或自适应的学习速率来加以改进。 2 ) 完全不能训练 这主要表现在网络出现的麻痹现象上。在网络训练过程中，当其权值调得过大，可能使 得所有的或大部分神经元的加权总和偏大。这使得激活函数的输入工作在s 型转移函数的饱 和区，从而导致其导数非常小，从而使得对网络权值的调节过程几乎停顿下来。通常为了避 免这种现象的发生，一是选用较小的初始权值，二是采用较小的学习速率，但这又增加了训 练时间。 3 ) 局部极小值 b p 算法可以使网络权值收敛到一个解，但它并不能保证所求为误差超平面的全局最小 解，很可能是一个局部极小解。这是因为b p 算法采用的是梯度下降法，训练是从某一起始 2 3 混沌理论用于经济预测研究 点沿误差函数的斜面逐渐达到误差的最小值。对于复杂的网络，其误差函数为多维空间的曲 面，而且曲面表面是凹凸不平的，因而在对其训练过程中，可能陷入某- - + 谷区，而这- - + 谷区产生的是一个局部极小值。由此点向各方向变化均使误差增加，以致于使训练无法逃出 这一局部极小值。 二、b p 算法的改进 对b p 算法的改进主要有两种方法：一是启发式改进，二是数值优化技术改进。“。 b p 算法的启发式改进： 1 、附加动量法 附加动量法是在反向传播法的基础上在每一个权值变化上加上一项正比于前次权值变 化量的值，并根据反向传播法来产生新的权值变化。带有附加动量因子的权值调节公式为： a c o f g + 1 ) = o - m c ) q s i p + m c a o f a b 。 + 1 ) = 0 一m c h 占，+ m c a b ， ) 其中k 为训练次数，i l l c 为动量因子，一般取0 9 5 左右。 附加动量法的实质是将最后一次权值变化的影响。通过一个动量因子来传递。当动量因 子取值为0 时，权值的变化仅是根据梯度下降法产生；当动量因子取值为1 时，新的权值变 化则是设置为最后次权值的变化，而依梯度法产生的变化部分就被忽略掉了。在该方法中。 因增加了动量项，促使权值的调节向着误差曲面底部的平均方向变化。当网络权值进入误差 曲面底部的平坦区域时，占，将变得很小，有助于网络从误差曲面的局部极小值中跳出。 该方法在m a t l a b 工具箱中的函数为t r a i n g d m 。 2 、自适应学习速率法； 通常调节学习速率的准则是：检查权值的修正值是否真正降低了误差函数，如果确 实如此，则说明所选取的学习速率值小了，可以对其增加一个量；若不是这样，而产生 了过调，就应该减小学习速率的值。 其步骤如下： 1 ) 如果均方误差权值在更新后增加了，其超过了某个设置的百分数f ( 典型值为i 至 2 4 混沌理论用于经济预测研究 5 ) ，则权值更新被取消，学习速度被乘以一个因子p ( 0 p 1 。如果，被设置为0 ，则恢复到以前的值。 3 ) 如果平方误差的增长小于ft 则权值更新被接受但学习速度保持不变。如果y 过 去被设置为0 ，则恢复到以前的值。 该方法在m a t l a b 工具箱中的函数为t r a i n g d a 。 如果将动量法和自适应学习速率法结合起来则可以利用这两个方面的优点，该方法在 m a t l i b 工具箱中的函数为t r a i n g d x 。 3 、弹性b p 算法： 弹性b p 算法只取偏导数的符号，而不考虑偏导数的幅值。偏导数的符号决定权值更新 的方向，而权值变化的大小由一个独立的“更新值”确定。若在两次连续的迭代中，目标函 数对某个权值的偏导数的符号不变号，则增大相应的更新值；若变号，则减小相应的“更新 值”。在该算法中，当训练发生振荡时，权值的变化量将减小，当在几次迭代过程中权值均 朝一个方向变化时，权值的变化量将增大。 该方法在m a t l a b 工具箱中的函数为t r a i n r p 。 三、b p 算法的数值优化技术改进。”： 上面介绍的几种基于一阶梯度的方法用于简单问题时往往可以很快地收敛到期望值，然 而，当用于较复杂的实际问题，除了弹性b p 算法以外，其余算法在收敛速度上都存在一定 的问题。因此引出下面三种方法，其特点是在对最佳搜索方向s ( x ) 的选择上有所不同。 1 、拟牛顿法 牛顿法是一种常见的快速优化方法，它利用了一阶和二阶导数信息，其基本形式是： 第一次迭代的搜索方向确定为负梯度方向，即搜索方向s ( x ( o ) = 一v ，( 工( o ) ，以后各 次迭代的搜索方向由下式确定： s ( z ( ) = 一( 日) 一1 w ( j ) 2 5 混沌理论用于经济预测研究 其中，h 。为海森矩阵，牛顿法的收敛速度比一阶梯度法快，不过由于神经网络中参 数数目的庞大，导致计算海森矩阵的复杂性增加。 拟牛顿法则在每一次迭代中采用下式来逼近海森矩阵： 肚) + 絮耩+ 看 其中，d g x = 可丁( 工) 一可丁( z “1 ) 拟牛顿法在每次迭代中都要存储近似的海森矩阵，海森矩阵是一个 玎的矩阵，n 是 网络中所有的权值和偏置的总和，因此在网络参数很多时，该方法要求极大的存储量，计算 也较为复杂。 该方法在m a t l a b 工具箱中的函数为t r a i n b f g 。 2 、共轭梯度法 鉴于梯度下降法收敛速度慢，而拟牛顿法计算较复杂，共轭梯度法力图避免两者的缺点。 共轭梯度法的第一步沿负梯度方向进行搜索，然后沿当前搜索方向的共轭方向进行搜索，可 以迅速达到最优值。 其步骤如下： 1 ) 一次迭代的搜索方向确定为负梯度方向，即搜索方向s ( x o ) = 一w ( 并o ) ； 2 ) 以后各次迭代的搜索方向由式：s ( x ( k ) = 一可丁( z 2 ) 十s ( x “1 ) z ( ) = 爿( + 叩( s ( x 。) 确定，根据口忙) 所取形式的不同，可构成不同的共轭梯度法。常用的两种形式为： 忙) = 粤和卢似) = 挚，其中甑= 耵( x ( ) 。 g l 一1 9 一lg l l g i 一1 通常，搜索方向s ( x ) 在迭代过程中以一定的周期复位到负梯度方向，周期一般为n ( 网络中所有的权值和偏差的总数目) 。 共轭梯度法比绝大多数常规的梯度下降法收敛都要快，而且只需增加很少的存储量及计 堡鎏里丝旦王丝童! 塑! 堡窒 算量。 该方法在m a t l a b 工具箱中的函数为t r a i n s c g 。 3 、l _ m 法 卜m 法实际上是梯度下降法和牛顿法的结合，梯度下降法在开始几步下降较快，但随着 接近最优值时，由于梯度趋于零，使得目标函数下降缓慢；而牛顿法可以在最优值附近产生 一个理想的搜索方向。l l l f 法的搜索方向定为：s ( x 耻) = 一( ( 砷+ 五( + ，) 一1 w ( x c ”) 。 其步骤如下： 1 ) 将所有输入提交网络并通过口o = p ， 口”1 = 厂”“( c o ”+ 1 日”+ 6 ”“) ，( m = o , 1 ，m i ) ，计算相应的网络输出和误差 白= 一睁，通过f ( ) ：兰( 一) 。( t q 一) ：量岛计算所有输入的平方误差和 f ( 工) o 2 ) 计算雅可比矩阵式 卯1 i a 国i 2 o e 2 ，i a 国i 2 d 已1 a 国i 2 1 - 2 a 出i 2 l ，1& “ a 慷 3 b 2 1a e 2 1 劫k酬 抛一_ i a 6 7 o e i ，2 8 b j ，首先用式 晕= 一f m ( 衫) 初始化敏感度