（系统理论专业论文）painlevé测试及其符号计算研究.pdf

2 0 1 0m a s t e rt h e s i ss c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：5 1 0 7 1 2 0 1 0 0 4 e a s tc 皿n an r m a lu n r r v s t u d yo np a i n l e v i 臣t e s tw i t h s y m bo l i cco m p u t a t i o n d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： a u t h o r ： c o m p u t e rs c i e n c e s y s t e m st h e o r y n o n l i n e a rs y s t e m sa n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n p r o f z h i b i nl i y i n l o n gz h a o 2 0 1 0 0 4 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文p a i n l e v 6 测试及其符号计算研究，是在华东 师范大学攻读嘎左博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名乙是垒曼! 釜 日期： 工6 f o 年5 月弓j 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 p a i n l e v 6 测试及其符号计算研究系本人在华东师范大学攻读学位期间在导 师指导下完成的碗驻博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学 所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许 学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加 入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用上述授权。 导师签名盘丛导师签名：筮塾氐本人签名：起墨盖盔本人签名：世堡巨垒 沙j 。年5 月刍j 日 木”涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过 的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉密”审批表方为有 效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公 开学位论文，均适用上述授权) 。 t 赵银龙硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王薪伟副教授华东师范大学主席 柳银萍副教授华东师范大学 钱海峰副教授华东师范大学 摘要 完全可积的微分方程描述了诸如反应扩散系统、人口和动力系统、非线性网 络、化学反应、材料力学等非常有趣的物理现象求解完全可积的非线性发展方程 有两个基本方法：一个是通过显式变换将非线性方程转化为线性方程，另一个是反 散射方法( i s t ) 反散射方法需要高深的分析技巧和艰难的计算，缺乏系统化的步 骤，且事先不能确定求解是否成功然而如果方程有幸通过p a i n l e v 6 测试，那么能够 反散射求解的可能性就非常大另外，p a i n l e v 6 测试能为求解方程提供诸多有用信 息，如双线性变换，b i i c k l u n d 变换，l a x 对，d a r b o u x 变换等本文的主要内容如下： 第一章是与本文有关的研究背景，简要回顾了p a i n l e v 6 测试的发展历史，并针 对性地综述了国内外在p a i n l e v 6 测试软件包设计方面的成果和发展状况 第二章介绍了p a i n l e v 6 测试的基本理论和相关概念，重点介绍了偏微分方程的 w t c 测试算法p a i n l e v 6 性质和p a i n l e v 6 测试这两者既有密切联系又有区别，牢记 p a i n l e v 6 测试的缺陷会更加自如地使用p a i n l e v 6 测试这一强大的可积性探测工具 在第三章，针对变系数偏微分方程的p a i n l e v 6 测试第三步计算量繁杂这一难 点，提出了一个改进的w t c 算法，它可以看做k r u s k a l 简化算法在变系数偏微分方 程情况下的推广与k r u s k a l 简化算法相比较，新算法在一定程度上更进一步简化 了变系数偏微分方程的p a i n l e v 6 测试第三步中的计算两个具体例子说明了新算法 的计算步骤和有效性 在第四章建立了求解非线性发展方程精确解的( g o ) 展开法和p a i n l e v 6 截断 展开法之间的联系，即( g 7 g ) 展开法是p a i n l e v 6 截断展开法的特殊情况这一工作 的理论价值在于它使我们朝着“将多种直接代数方法统一在p a i n l e v 6 分析的框架 之中 这个方向前进了一小步 关键词：非线性微分方程，p a i n l e v 6 性质，p a i n l e v 6 测试，p a i n l e v 6 截断展开，符号 计算，算法 a b s t r a c t c o m p l e t e l yi n t e g r a b l ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o d e ls u c hp h y s i c a l l yi n t e r e s t i n gp h e - n o m e n aa sr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s ，p o p u l a t i o na n dm o l e c u l a rd y n a m i c s ，n o n l i n e a rn e t - w o r k s ，c h e m i c a lr e a c t i o n s ，a n dm a t e r i a ls c i e n c e ( i np a r t i c u l a rs o l i dm e c h a n i c sa n de l a s t i c m a t e r i a l s ) t h et w op r i m a r ym e t h o d sf o rs o l v i n gac o m p l e t e l yi n t e g r a b l en o n l i n e a re v o l u - t i o ne q u a t i o na r eb ye x p l i c i tt r a n s f o r m a t i o n si n t oal i n e a re q u a t i o no rb yu s i n gt h ei n v e r s e s c a t t e r i n gt r a n s f o r m t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mi san o n t r i v i a le x e r c i s ei na n a l y s i s w i t hn os y s t e m a t i cw a yt od e t e r m i n eap r i o r ii fi tw i l lb es u c c e s s f u l h o w e v e r , p a s s i n g t h ep a i n l e v 6t e s ti sas t r o n gi n d i c a t o rt h a tt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i l lb es o l v a b l eu s i n g t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n m o r e o v e r , p a i n l e v 6t e s tm a yp r o v i d em u c hu s e f u l i n f o r m a t i o nf o rs o l v i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s u c ha sb i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ， b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，l a xp a i r sa n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nc o n - s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s c h a p t e r1 i st h er e s e a r c hb a c k g r o u n dr e l a t e dt ot h ed i s s e r t a t i o n f i r s tt h ed e v e l o p - m e n to fp a i n l e v 6t e s ti sb r i e f l yo u t l i n e d t h e nv a r i o u si m p l e m e n t a t i o no fp a i n l e v 6t e s ti n a l g e b r as y s t e m sa r er e v i e w e d c h a p t e r2i sd e v o t e dt ob a s i ci d e a sa n dc o n c e p t so fp a i n l e v 6t e s t w ef o c u so nt h e w t c a l g o r i t h mf o rt h ep a i n l e v 6t e s to fp d e s i ti sc r u c i a lt om a k e d i s t i n c t i o nb e t w e e n t h ep a i n l e v 6p r o p e r t ya n dp a i n l e v dt e s t s o m ec o u n t e r e x a m p l e so fp a i n l e v 6t e s ta r eg i v e n i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s eam o d i f i e dw t c a l g o r i t h mf o rt h ep a i n l e v 6t e s to f n o n l i n e a tv a r i a b l ec o e f f i c i e n tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sn e wa l g o r i t h mf u r t h e rs i m p l i t i e st h ec o m p u t a t i o ni nt l l i r ds t e po fp a i n l e v dt e s tc o m p a r e dt ot h ek r u s k a l ss i m p l i f i c a t i o n a l g o r i t h m t w oe x a m p l e si l l u s t r a t ei t sc o m p u t i n gp r o c e d u r ea n d i t se f f i c i e n c y i nc h a p t e r4 ，w ec o n s t r u c tac o n n e c t i o nb e t w e e nt h e ( g a ) 一e x p a n s i o nm e t h o da n d t h et r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d ，w h i c hs a y st h a tt h e ( g c ) 一e x p a n s i o nm e t h o d i sas p e c i a lf o r mo ft h et r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d h e n c e ，as m a l ls t e pi s m a d et o w a r d st h ed i r e c t i o no fu n i f y i n gs e v e r a lk i n d so fa l g e b r am e t h o dt oc o n s t r u c te x a c t s o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sf r o mt h ev i e w p o i n to ft h ep a i n l e v da n a l y s i s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p a i n l e v dp r o p e r t y , p a i n l e v dt e s t ，t r u n c a t e d p a i n l e v de x p a n s i o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，a l g o r i t h m 目录 第一章绪论 1 1 p a i n l e v 6 测试的历史 1 2 本文的选题和主要工作 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 p a i n l e v 6 测试的基本理论及典型算法 p a i n l e v 6 型方程 p a i h l e v 6 性质和可积性 w t c 测试算法 p a i n l e v 6 性质和p a i n l e v 6 测试 w t c 测试举例 本章小结 变系数偏微分方程的p a i n l e v 6 测试 实际问题 改进的算法描述。 两个算例 正确性和有效性 本章小结 p a i n l e v 6 截断展开及其应用 问题的提出 ( g g ) 展开法和p a i n l e v 6 截断展开法介绍 两个方法之间的联系 ( g 7 a ) - ( g g ) 展开法及其应用 本章小结 第五章结束语 1 l 4 5 5 8 9 3 4 6 8 8 9 o 4 5 7 7 7 9 0 3 4 l 1 l 1 1 l 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 附录am a p l e 程序设计 参考文献 致谢 在读期间完成的论文目录 3 5 3 9 4 5 4 6 ； 第一章绪论 随着科学技术的发展，线性模型不足以反应客观世界的变化规律，于是人们建 立了众多非线性模型试图更精确地描述自然现象然而非线性的问题在数学上远比 线性问题困难，在很长一段时间内能够完全求解的非线性模型少之又少1 9 6 5 年美 国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 在用计算机数值模拟k d v 方程两波相互作用过程的 研究中提出了“孤子”的概念【1 】孤子的发现打开了一扇认识非线性问题的大门， 学术界从此掀起了一股研究非线性发展方程与孤子的热潮孤子的研究极大地促进 了传统数学理论的发展，可积系统的研究再次引起人们极大的兴趣经过半个多世 纪的发展，孤子已经形成了自己独特的理论和研究方法，其应用踪迹几乎遍及自然 科学的各个领域，如数学、生物学、化学、通信以及量子场论、粒子物理、凝固态物 理、流体力学、等离子体物理和非线性光学等物理学的各个分支 孤子理论研究的一个重要内容就是就是寻找非线性发展方程的精确解，分析 方程的可积性质以及寻找可积模型通常认为一个完全可积系统【2 】具有如下性质： ( 1 ) 反散射方法可解；( 2 ) 孤立波之间的相互作用为弹性碰撞，即存在多孤子解；( 3 ) 具有b l i c k l u n d 变换；( 4 ) 拥有无穷多对称与守恒律；( 5 ) 具有l a x 对表示；( 6 ) 可以约 化为完全可积的h a m i l t o n 系统1 9 世纪末p a i n l e v 6 等在对二阶常微分方程分类时 引入了p a i n l e v 6 性质的概念2 0 世纪7 0 年代末a b l o w i t z 和s e g u r 等发现了完全可 积系统与p a i n l e v 6 性质之间有密切的联系，他们提出的a r s 猜想给出了一个可应 用的可积性检验方法随后w e i s s 等将常微分方程的p a i n l e v 6 性质推广到偏微分方 程，使其能有效地用于非线性系统的可积性质和特殊解的研究近年来，国内外学 者在非线性演化方程的p a i n l e v 6 测试及应用研究领域取得了重大进展下面我们从 p a i n l e v 6 测试的理论、算法及软件三个方面加以综述 1 1p a i n l e v 6 测试的历史 简单地讲，p a i n l e v 6 测试就是分析方程的奇点结构数学家c a u c h y 首倡研究微 分方程的奇点( 9 0 不解析点) 他的想法是先在复平面上考虑微分方程的局部解析解， 然后用解析延拓的方法得到全局解【3 】因为在奇点处，t a y l o r 展式和l a u r e n t 展式 1 1p a i n l e v f , 测试的历史 的收敛域受到限制，不能向外解析延拓，所以这一想法若要实现，必须完全认识方程 解的奇点及其在复平面上的位置在这种意义下，对方程的奇点做两个区分类至关 重要：一个是固定奇点和活动奇点的区分，另一个是临界点和非临界点的区分 数学家k o v a l e v s k i 4 在研究方程的奇点结构与可积性的关系上迈出了决定性 的一步1 8 8 9 年她在研究刚体绕定点运动方程时，通过在方程中选取不同的参 数，使得方程解的活动奇点在复平面上只有极点，从而获得了一个新的可积系统 p a i n l e v 6 5 沿着f u c h s ，k o v a l e v s k i ，p i c a r d 等人的想法，按方程的解是否含有活动临 界点对所有有理形式的二阶常微分方程进行分类他们发现，如果方程具有这一性 质，则要么其解能由己知函数表示出( r i c c a t i 方程，椭圆函数，线性方程等) ，要么方 程可以化到6 个特殊的方程( p a i n l e v 6 方程) 【3 】这6 个方程本身定义了6 个函数( 称 作p a i n l e v 6 超越函数) ，它们不能用特殊函数表示( 除非参数取某些特定值) 九十年后，a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r 作了如下猜想【6 ，7 】：如果一个偏微分方 程( p d e ) 是反散射( i s t ) 可解的，那么每一个从相似约化( 或经过适当变量变换) 得 到的非线性常微分方程必然具有p a i n l e v 6 性质( 方程的解不含有活动临界点) 这个 猜想为p d e 是否反散射可解提供了一个判定条件然而，这个条件是“必要”的，而 不是“充分”的，也就是说，如果这个条件不满足，那么它“一定不是”反散射可解 的，但是当这个条件满足时，它“不一定是”反散射可解的用该猜想验证一个非线 性p d e 是否反散射可解的过程比较复杂：先求出给定偏微分方程的相似约化，得 到相应的非线性常微分方程，然后用奇点分析逐个验证它们是否只有活动极点，这 个过程后人称之为偏微分方程的a r s 澳i 试算法此外，并不是每一个偏微分方程都 能精确约化到非线性常微分方程，即使有相似约化，求出所有的约化并不容易为了 克服这些困难，在1 9 8 3 年w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 8 对p d e 提出了一个直接测试 算法，后人称之为w t c 测试算法在1 9 9 7 年r s e h m i t z 9 证明了w t c 测试比a r s 测试“更强”，亦即每一个通过w t c 测试的p d e 必然通过a r s 测试尽管每个已 知的孤子方程支持a r s 猜想，但是a r s 猜想及其变种至今仍未得到完全证明 p a i n l e v 6 用自己创立的0 f 方法 1 4 ，2 2 来检测常微分方程的可积性，然而他的 方法是分析性质的、不易操作类极点展开法【1 4 】是普遍采用的p a i n l e v 6 测试方 法，它由h o y e r 和k o v a l e v s k i 首先提出，经g a m b i e r 加工整理，被a b l o w i t s 等重新发 现并广泛应用到一大类物理方程上，之后w e i s s 等将这个方法推广到偏微分方程 n e w e l l 1l 】等人将常微分方程和偏微分方程的p a i n l e v 6 测试统一在一个框架下非 线性演化方程的p a i n l e v 6 测试往往会涉及到大量的计算对于耦合的非线性演化方 程或者拥有较大共振点的非线性演化方程( 组) 更是如此为简化计算，k r u s k a l 1 0 】 将奇异流形取为某个自变量的线性关系，大大加速了测试过程c o n t e 1 2 区分了展 开变量和奇异流形，提出了共形不变展开法类极点展开法的特点是尝试将微分 方程的通解表示成l a u r e n t 级数的形式，从而为可积性的检验提供必要条件类极 2 1 1 p a i n l e v e 测试的历史 点展开法未考虑对负共振点的性质进行分析1 9 9 1 年f o r d y 和p i c k e r i n g 1 6 提出了 f u c h s p a i n l e v 6 方法，研究了负共振点的重要意义，并进一步指出某些方程如c h a z y 方程仅拥有负共振点，若忽略对这类共振点的性质进行考察，甚至会得出完全错 误的结论由于一些原因( 存在负共振点、共振点不足、领头项指数不是代数的) ， 很多情况下常微分的活动临界点并不能被类极点展开法检测到1 9 9 3 年c o n t e 1 7 】 提出摄动p a i n l e v 6 方法来处理这类方程1 9 9 5 年m u s e t t e 1 9 为了更快地测出对 数支点，提出了非f u c h s p a i n l e v 6 方法由于代数支点一般可通过变量代换去掉， k r u s k a l 1 8 ，2 0 1 等放宽了p a i n l e v 6 测试的要求，提出了“弱”p a i n l e v 6 测试其它更加 精巧的测试方法参见 2 1 ，2 2 偏微分方程的p a i n l e v 6 性质与可积性之间有密切联系某些非线性方程的 l a u r e n t 级数可以截断展开至有限项，此时展开变量不再是任意流形，而是满足特定 条件的奇异流形截断l a u r e n t 展开能有效地用于非线性系统的可积性研究，导出 方程的l a x 对、b i i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、某些特解和7 - 函数等 1 9 ，2 5 ，2 8 - - 3 2 1 目前比较著名的p a i n l e v 6 测试方法有p a i n l e v 6 的o 方法、k o w a l e v s k i g a m b i e r 方法、b u r e a u 方法、a r s 方法、w t c 方法、c o n t e 共形不变方法、摄动p a i n l e v 6 方法、楼森岳的扩展方法 2 3 1 等p a i n l e v 6 性质的检验涉及到大量的计算，对于 高阶非线性方程或强耦合的非线性方程组，检验将更加困难随着计算机代数 系统的日益成熟，各种检验p a i n l e v 6 性质的软件包相继出现【3 3 】1 9 8 6 年r a n d 和 w i n t e m i t z 3 4 基于m a c s y m a 平台编写了常微分方程及方程组p a i n l e v 6 检验的软件 包o d e p a i n l e v e ，该软件包能检验关于未知函数及其导数为多项式的常微分方 程，也可检验首项阶数为有理数的方程，即可进行q u a s i p a i n l e v 6 检验h l a v a t 夕 3 5 研 究了如何在计算机代数系统上检验非线性常微分方程及非线性偏微分方程的 p a i n l e v 6 性质，并编写了r e d u c e 程序然而该程序并不完善，仅能完成首项阶数与共 振点的自动推导r e n n e r 3 6 在r e d u c e 系统上开发的软件包能检验h a m i l t o n i a n 形 式和规范形式的非线性演化方程是否通过p a i n l e v 6 检验h e r e m a n 3 7 ，3 8 ，4 1 1 等先 后在m a c s y m a 及m a t h e m a t i c a 系统上开发了多项式类型的常微分方程、偏微分方 程p a i n l e v 6 检验的软件包，其中在m a t h e m a t i c a 上开发的p a i n l e v e t e s t m 表现突出 谢福鼎、陈勇 3 9 提出将吴微分消元法思想用于相容性条件的验证，但该算法在共 振点的计算上显得较为繁琐，基于这个算法他们在m a p l e 系统上开发了单个方程 p a i n l e v 6 检验的软件包w t c 方法和k r u s k a l 简化法是非线性演化方程p a i n l e v 6 检 验的两种常用方法w t c 方法的最大不足是检验效率较低，在检验高阶非线性演化 方程或强耦合方程组时尤其如此，而k r u s k a l 简化法虽有较高的检验效率，但却无 法获得进一步研究方程其他可积性质的有用信息，如p a i n l e v 6 截断展开式，由此基 于这两种方法的软件包也存在一定的局限性为充分发挥w t c 方法和k r u s k a l 简 化法的优点，徐桂琼【4 2 4 4 】将二者结合起来给出了w t c k r u s k a l 算法基于这个新 3 l ，2 本文的选题和主要i 作 的算法，她在计算机符号系统m a p l e 上开发了w k p t e s t 软件包 1 2 本文的选题和主要工作 偏微分方程的p a i n l e v 6 性质与可积性联系紧密，w t c 检测法的提出不仅给出 了方程是否p a i n l e v 6 可积的判定准则，还可进一步用于方程其它性质的研究然 而，p a i n l e v 6 测试过程繁杂，手动计算容易出错设计快速而有效的p a i n l e v 6 测试 软件包，将为非线性方程可积性的研究提供强有力的工具国内外许多学者设计 了不同的软件包，表现出色的是d b a l d w i n 和h e r e m a n 在m a t h e m a t i c a 上开发的 p a i n l e v e t e s t m ，徐桂琼和李志斌在m a p l e 上开发的p d e p t e s t 然而这两个包还存在 一定的缺陷，比如，对变系数偏微分方程的测试p a i n l e v e t e s t m 由于中间一个不尽 完美的拟设，可能会给出错误的结果：而p d e p t e s t 在代码的可读性与功能上仍需 进一步完善本文对变系数偏微分方程的p a i n l e v 6 测试提出了一个改进的算法，该 算法更进一步简化了变系数偏微分方程的p a i n l e v e 测试第三步中的计算，从而为 p d e p t e s t 软件包的拓展和完善奠定了基础另外，我们修改了已有程序的一些错 误，增加了必要的注释和说明，为以后进一步研究和开发功能更加强大的p a i n l e v 6 测试软件提供了便利 p a i n l e v 6 截断展开在构造非线性演化方程的精确解、b 2 i c k l u n d 变换、l a x 对以 及d a r b o u x 变换等方面具有独特的优势本文证明了新近提出的( g 7 g ) 展开法是 p a i n l e v 6 截断展开法的一个特殊情况这个工作的意义在于，很多学者试图将近年 来发展起来的构造非线性发展方程行波解的多种直接代数方法统一在p a i n l e v 6 分 析的研究框架中，我们的结论在这方面前进了一小步，具有较重要的理论价值 4 第二章p a i n l e v 6 测试的基本理论及典 型算法 给定一个微分方程，如果它具有p a i n l e v 6 性质，那么就能以某种方式解出 p a i n l e v 6 测试是检验微分方程是否具有p a i n l e v 6 性质的工具，现已有很多p a i n l e v 6 测试方法，其中w t c 测试法最为广泛采用p a i n l e v 6 型方程指具有p a i n l e v 6 性质的 常微分方程，这类方程的解是亚纯函数，在某种程度上可以认为方程本身定义了方 程的解完全可积的非线性偏微分方程与p a i n l e v 6 型方程具有密切联系，w t c 测试 法用于直接测试偏微分方程的可积性p a i n l e v 6 性质、p a i n l e v 6 测试和可积性三者 既有联系又有区别 2 1p a i n l e v 6 型方程 考虑佗阶齐次线性常微分方程( o d e ) 万d w + 萋眦) 老_ 0 ， ( 2 1 ) 如果方程的系数 p j ( z ) ) 备1 在复平面名= z o 处解析，则称z o 是( 2 1 ) 的正则点，此 时方程在z = z o 附近有礼个线性无关的解可以证明，如果线性方程( 2 1 ) 的解有 奇点，那么这个奇点必定是系数 弓( z ) ) 务1 的奇点常微分方程的这类奇点称为固 定奇点，它们的位置与积分常数无关( 注意方程的奇点特指方程解的奇点，下同) 换 句话说，线性常微分方程只可能有固定奇点不同的是，非线性常微分方程却可能有 活动奇点，即解的奇点依赖于积分常数例如线性方程 _ d w 一一1 1 3 ：0 , r l l ( 2 2 )、， 的通解是叫( 名) = a e 一1 肛，a 是积分常数方程( 2 2 ) 的奇点名= 0 是系数e ( z ) = 一1 z 2 的奇点，与a 无关然而非线性方程 下d w ：w 2 ( 2 3 ) 1 2 l 厶j ， s 2 1p a i n l e v e 犁方程 的通解是 w ( z ) = 二一， ( 2 4 ) z o z z o 是任意常数当初值w ( o ) = 1 时，z o = - 1 ；当初值变为w ( o ) = 2 时，z o 移动到 z o = - 1 2 换句话说，方程( 2 3 ) 在z = z o 处的奇点随初值的变化而变化，奇点的位 置是活动的非线性常微分方程解的活动奇点多种多样，表2 1 列出了一些例子，其 中k 和徇是任意常数从表2 1 的最后一个方程可知，非线性常微分方程可能有奇 解( s i n g u l a rs o l u t i o n ) ，实际上这是非线性常微分方程区别于线性常微分方程的又一 个特点方程的奇解指任何不是特解的解，而特解指对通解里的任意常数取特殊值 得到的解常微分方程奇点的第二个区分是临界点和非临界点临界点指在黎曼面 上该奇点附近具有多值代数支点和对数支点是临界点，极点是非临界点本性奇 点( 孤立的或非孤立的) 既可能是临界点，又可能是非临界点 1 9 世纪末人们开始根据方程的奇点对常微分方程分类1 8 8 4 年f u c h s 发现在 形如 z d y ：f ( z ，可) ( 2 5 ) _， 7 ( 其中f 是w 的有理函数，f 关于z 局部解析) 的一阶常微分里没有活动临界点的只 有r i c c a t i 方程 警= p o ( z ) + 只( z ) 可+ b ( z ) 2 ， ( 2 6 ) r i c c a t i 方程可以线性化成二阶常微分方程 受f u c h s 工作的启发，1 8 8 8 年k o v a l e v s k i 在研究刚体受重力影响绕定点运动时 另辟径溪，她寻找使得控制方程没有活动临界点的参数取值，然后证明在这些参数 下原方程能显式积出，从而获得一个新的可积模型，这个发现为她赢得了巨大声誉 p a i n l e v 6 及其合作者讨论了形如 善羔2 ：f ( 名，y ，矿) ( 2 7 ) ， 、_ ，拶， 、一7 方程 通解( 或特解) 奇点类型 l y + y 2 = 0y = ( z 一劲) _ 1 单极点 ，。一 代数支点 2 2 y y = 1y = 、名一z o 3 y + 沪= 0y = l n ( z 一劲) + k 对数支点 4 可+ y 2 ( y y 一1 ) = 0y = k e x p ( ( z z o ) 一1 ) 孤立的本性奇点 5 ( 1 + 可2 ) 秒+ ( 1 2 y ) y 忍= 0y = t a n ( t n ( k ( z 一绚) ) ) 非孤立的本性奇点 y = k t a n ( k 3z z o ) ) 极点 6( 矿+ y a y ，) 2 = y 2 y 陀( 4 矿+ y 4 ) y = ( ( 4 3 ) ( z 一匈) ) m 代数支点 6 2 1p a l n l e v e 型方程 ( 其中f 是y 和矿的有理函数，f 关于名局部解析) 的二阶常微分方程他们根据方 程是否具有活动临界点对所有这种方程分类p a i n l e v 6 等指出在形如( 2 7 ) 的方程中 只有5 0 类( 标准) 方程没有活动临界点，他们进一步证明所有这些方程能够约化到 线性方程或者已求解的( 比如用椭圆函数) 方程，或者约化到如下的6 个新方程( 称作 p a i n l e v 6 方程) ： p z ：矿 p i i ：y i p i i i ：矿 p i v ：y “= p v ：矿= p v o 矿= 6 可2 + z ， 2 y 3 + z y + q ， 丝一譬+1z(ay2+y卅秽+ 争 zz 秒 豸+ 耋y 3 + 4 z 矿+ 2 ( 扛咖+ 争 ( 南+ 古) y a _ 去c 州，2 ( 卅参) + 孚+ 警， 三( 昙+ 击+ 圭) 沪一( 三+ 击+ 老) 矿 + 帮卜+ 拳+ 掰+ 错 ， 其中o t ，p ，y 和j 为复常数这些方程一般不能化为简单的方程去求解，它们本身定 义了六个超越函数，称作p a i n l e v 6 超越函数，可以应用p a i n l e v 6 等所给的方法求出 一些特解或渐近解下面我们正式给出p a i n l e v 6 性质的定义，并稍作论述 定义2 11 给定一个常微分方程，如果它的通解不舍有活动临界点，则称这个方程具 有p a i n l e v d 性质，或称为p a i n l e v d 型方程 如果一个常微分方程具有p a i n l e v 6 性质，那么它的通解在黎曼面上可以单值 化，从而定义一个函数【1 4 】线性常微分方程的通解可单值化现在不难理解用 p a i n l e v 6 性质对常微分方程进行分类的双重目的：一个是发现新的函数，这些函数 由p a i n l e v 6 型方程的通解定义，且方程本身不能约化到低阶或线性的方程；二是得 到p a i n l e v 6 型方程的完整分类表不难想象，如果之前没有发现过w e i e r s t r a s s 方程， 那么利用p a i n l e v 6 的这个系统化程序，将在寻找具有p a i n l e v 6 性质的一阶常微分方 程时发现它至此一个问题自然地摆在面前：哪些常微分方程具有p a i n l e v 6 性质 呢? 这点在研究完全可积的偏微分方程和p a i n l e v 6 型方程的关系时尤为重要不幸 的是，对于三阶( 及以上) 的常微分方程目前还没有完整的分类结果，主要困难在于 c h a z y 发现形如 俨， * = f ( z ，y ，矿) ， ( 2 8 ) 7 2 2p a i n l e v e 性质和可积性 ( 其中f 是y ，y 7 及y 的有理函数，f 关于z 局部解析) 的三阶常微分方程可能具有 活动的t l 然边界，例如c h a z y 方程 鱼d z 3 锄象_ 3 ( 黔 ( 2 9 ) 它的每个解在有孔平面上或在以直线或圆为边界的区域内解析但边界的位置依赖 于积分常数，方程的解不能解析延拓到区域外 2 2 p a i n l e v 6 性质和可积性 a b l o w i t z ，n e w e l l 和s e g u r 2 在研究能够用反散射方法求解的非线性发展方程 的长期渐进结构时，发现非线性发展方程的相似解扮演着重要角色考虑m k d v 方 程 象拙2 笔+ 象- o ， 它出现在很多物理问题中，比如等离子体物理，流体力学，非线性光学当t o o 时， 方程的解分解成有限振幅波( 称作孤子) 和弥散的“尾巴在“尾巴”中m k d v 方程 的相似解 w ( z 1 z u 2 ( 3 t ) ( 1 二。3 ) 名2 ( 3 t ) ( 1 3 ) 占主导地位，其中叫( z ) 满足方程 ，塞蛳2 警叱警刊_ o 如果对上面的方程积分一次就得到第二个p a i n l e v 6 方程片，实际上a b l o w i t z 和s e g u r 发现很多有名的能用反散射变换求解的非线性波方程都能相似约化到 p a i n l e v 6 型方程，例如b o u s s i n e s q 方程的一个相似解能约化到第一个p a i n l e v 6 方 程毋，s i n g o r d o n 方程的一个相似解能约化到第三个p a i n l e v 6 方程片肼基于上述观 察，a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r 【6 ，7 】提出了如下的猜想： a r s 猜想：如果一个非线性偏微分方程是“可积”的( 在反散射可解的意义下) ，那 么相似约化得到的( 或者经过适当的变量变换) 每一个常微分方程都具有p a i n l e v 6 性 质 a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r , m c l e o d 和o l v e r 已经证明了a r s 猜想的“较弱 情形这些证明基于如下事实，如果一个偏微分方程是完全可积的，那么它的解能由 g e l f a n d l e v i t a n m a r c h e n k o 方程( 线性积分方程) 的解表示出目前这个猜想还没有 完全证明这个猜想不仅建立了p a i n l e v 6 性质与可积性的关系，还给出了检测偏微 分方程是否可能是完全可积的一个准g j j ( 必要条件) 如果一个偏微分方程约化到一 8 2 31 l 珊c 测试算法 个非p a i n l e v 6 型的常微分方程( 即使允许变量变换) ，那么a r s 猜想预言这个偏微分 方程不是完全可积的利用该猜想判定一个非线性偏微分方程包括