（系统理论专业论文）对lfuzzy拓扑空间中几种拓扑性质的一点研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 1 9 7 9 年，王国俊教授提出了拓扑分子格理论，这是一种包括点集拓扑学和f u z z y 拓 扑学为特例的拓扑格理论、分子、远域和序同态是这一理论中的三个核心概念在王国 俊教授的专著l f u z z y 拓扑空间论中，系统地讲解了它的特殊情形一- f u z z y 拓扑 空间论，在那里也是基于分子、远域和序同态展开的 本文所研究的内容也是l f u z z y 拓扑空间论，所依赖的基础即是分子、远域和序同 态，是对l f u z z y 拓扑空间中的连通性，分离性及紧性作了进一步的推广 在第一章中我们介绍最基本的概念，同时在这一章中提出了一个新的概念国聚点， 随后便转入对国一聚点的讨论 在第二章里我们讨论了连通性的问题，提出了国连通性与国+ 强连通性，其中国一连 通性是基于最基本的概念远域提出来的它们保持了一般拓扑空间中连通集的若干重要 性质，我们还将进一步讨论它们之间的关系 在第三章中我们介绍了分离性，由于层次结构的存在， 拓扑空间的分离性远比一 般拓扑空间的分离性复杂，我们引入了两种新的分离性，国一z 分离性和r 正则性，讨论 他们所具有的良好的性质及其与其它几种分离性之间的关系 在第四章中我们将讨论一种新的紧性及仿紧性理论，比较详细地研究了l f u z z y 拓 扑空间中这种紧性的特征及其拓扑性质 在第五章中我们给出了保交映射的逆，并讨论了一些相关的重要定理和性质，并给 出格上保交映射类的一种对应 关键词：三一向拓扑空间；国一聚点；国连通；国强连通；国一互分离性；r 正 则性；近似强f 紧性；保交映射；逆映射 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n1 9 7 9 ，p r o f e s s o rw a n gg u o - j u np u tu pt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a lm o l e c u l a r l a t t i c e s ，t h i st h e o r yi n c l u d e dp o i n ts e tt o p o l o g ya n d f u z z yt o p o l o g ya sp a r t i c u l a rc a s e s t h et h r e eb a s i cc o n c e p t s - m o l e c u l e ，r e m o t en e i g h b o u r h o o da n do r d e r - h o m o m o r p h i s m w h i c hh a v eb e e nu s e dt oe s t a b l i s ht h et h e o r yo ft o p o l o g i c a lm o l e c u l a rl a t t i c e s i nt h e b o o k ， ，p r o f e s s o rw a n ge x p l a i nt h ep a r t i c u l a rc a s e l f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c et h e o r y , ，w h i c hi sa l s ob a s e do nm o l e c u l e ，r e m o t e n e i g h b o u r h o o da n do r d e r - h o m o m o r p h i s m w h a ta r es t u d i e si nt h i sp a p e ri sa l s ot h et h e o r yo fl f u z z y t o p o l o g y , i sa l s ob a s e d m o l e c u l e ，r e m o t e ，n e i g h b o u r h o o da n do r d e r - - h o m o m o r p h i s m ，a n di sf u r t h e re x t e n t i o n t oc o n n e c t e d n e s s ，s e p a r a t i o np r o p e r t i e sa n d c o m p a c t n e s s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h em o s t b a s i cc o n c e p t , m e a n w h i l e ，w ep u tu pan e w c o n c e p t - c o 。c l u s t e rp o i n t i nt h i sc h a p t e r , s o m et h e o r e m sa b o u t 国- c l u s t e rp o i n tw i l lb e d i s c u s s e d i nc h a p t e r2 ，c o n n e c t e d n e s sw i l lb ed i s c u s s e d t h ec o n c e p to fc o c o n n e c t e d n e s si s b a s e do nt h ec o n c e p tr e m o t en e i g h b o u r h o o d t h e s et w ok i n d so fc o n n e c t e d n e s sk e e p m a n yg o o dp r o p e r t i e so ft h ec o n n e c t e ds e to fg e n e r a lt o p o l o g y , i na d d i t i o n ，w ew i l l d i s c u s st h er e l a t i o n s h i po ft h e m i nc h a p t e r3 ，w ew i l ld i s c u s ss e p a r a t i o np r o p e r t y , b e c a u s eo ft h e s t r u c t u r eo fs t r a t i f o r m ， 缱h es e p a r a t i o np r o p e r t yo f 三一f u z z yt o p o i 。g yi sf a rm o r ec o m p l i c a t e dt h a ng e n e r a l t o p o l o g y i nt h i sc h a p t e r , w ei n t r o d u c en e ws e p a r a t i o n s ，c o 一互s e p a r a t i o na n dr r e g u l a rs e p a r a t i o n ，a n dt h e nd i s c u s st h e i rg o o dp r o p e r t i e sa n dt h er e l a t i o no ft h e m i nc h a p t e r4 ，w ew i l ld i s c u s san e wk i n do fc o m p a c t n e s sa n d s t u d yi t sc h a r a c t e r sa n d p r o p e r t i e si nd e t a i l s i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fd i s u n i t y - - p r e s e r v i n gm a p p i n g ；a n dt h e n d i s c u s ss o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e sa b o u ti t 2 1 k e yw o r d s ： - s t r o n gc o n n e c t i v i t y ： c o m p a c t n e s s ：i n v e r s e0 聊城大学硕士学位论文 月i j 舌 1 9 6 8 年，c l c h a n g 以z a d e h 的f u z z y 集理论为骨架，引入了f u z z y 拓扑空间的概 念，并把一些基本概念，如开集、闭集、邻域、内部、闭包等推广n - ：f u z z y 拓扑空间 中去，由于这些概念是模仿一般拓扑学中的相应概念来定义的，但这并未触及f u z z y 拓 扑空间的层次结构，所以许多一般拓扑学中的定理都被顺利地推广到了f u z z y 拓扑空间 然而，人们不久就发现，作为一般拓扑学理论的推广，f u z z y 拓扑学要比一般拓扑学复 杂的多 c k w o n g 在初期的推广性研究中作了许多工作，他是第一个发现f u z z y 拓扑学与一 般拓扑学有重大差异的人，他首先在f u z z y 拓扑空间中引入了f u z z y 点及其邻域的概念， 正是由此开始把邻域工具在f u z z y 拓扑学中引起的重大矛盾充分地暴露了出来，国外白 1 9 7 5 年以后的一段时间里发表的文章大都回避f u z z y 点的概念，这并不是对f u z z y 点有 什么偏见，而是因为没有找到f u z z y 点的理想邻近结构，从而无法建立和谐的收敛理论 1 9 7 7 年，刘应明院士首次打破了传统的邻域方法，引入了“重域”概念，建立了完整的 m o o r e s m i t h 收敛理论，为有点派的工作奠定了基础自从重域理论提出后，有点派的工 作有了长足进展，像良紧性理论，完全正则性的点式刻划，s t o n e - c e c h 紧化理论，仿紧 性理论以及f u z z y 度量的点式刻划等这些理论的完成，确立了有点化研究在整个f u z z y 拓 扑学研究中的核心地位 聊城大学硕士学位论文 第1 章基础知识 在本章中，我4 f l i 二较系统地研究了一f u z z y ( 简写为三f ) 拓扑空间中0 9 一聚点这一 基本概念，文献 1 中定义了三f 集彳的聚点和它的导集a 4 ，由此得到了一些重要结论， 比如：a 一= av a d ；但一般拓扑学的不少性质，却不再成立，比如：( avb ) d = a dvb d 文 2 】中曾引入“明聚点”的概念以克服此项缺点，但此时等式a 一= ava d 却不再成立 本章引入国一聚点的概念，以克服上述两个概念的缺陷 1 1国一聚点 定义1 1 1 1 】 设( ，万) 是 拓扑空间，al x ，确m + ( ) 嘞叫做彳的附着 点，若v p r ( x 旯) ，a 芷p 定义1 1 2 设( ，5 ) 是l f 拓扑空间，a l x ，x 五m + ( ) 叫做彳的国一聚 点，若 ( 1 ) h 是么的附着点，即x 五a rx 旯萑a ( 2 ) 或者x a ar v p r ( x & ) ( x z , ，f hx j , 曰如，则知b 一若z 苤b ，因九 托，故屯cb ， 而又由札a & o 可知确a 一，由a b ，即得b 一，所以嘞是b 的国一聚点 若x b ，则有定义1 2 ( i i ) 矢1 x p 苤p ，v p 叩( ) x ，则若x 是b 的聚点，那么x 2 也 是曰的聚点，这显然是不对的，故x 例1 1 9 4 l = o ，1 ，x = x ) 为单点集，万= 0 , x 上，x 呈，1 ，则( r ，艿) 是 拓扑空 zj 间令么= 工；，b = z ；，则x l 是曰的国一聚点，而札2 却不是曰的国一聚点，但n 2 是彳的国一 聚点 定理1 1 1 0 设( ，f i ) 是l f 拓扑空间，若彳b ，则彳d b 如 证明 由国一导算子的定义，定理1 5 及定理1 8 ，容易证明上述结论 例1 1 1 1 定理1 1 1 0 对于 集的导集不成立如上例中，令彳= x 一4 ，b = x l ，则 a d = x lb d = o ，此时彳b ，而么d b d 却不成立 由定理1 1 1 0 知，9 0 一导算子是保序的，下面证明一个非常重要的定理 定理1 1 , 1 2 设( ，6 ) 是l f 拓扑空间，d c o ：l x 寸r 是导算子，贝j jv a ，b l x ， ( a v b ) d 国= a d v b d 国 聊城大学硕士学位论文 证明由于a avb ，则由定理1 1 0 知， a d ( 么vb ) 如，同理 b d ( avb ) 拗， 那么a d 珊v b d ( avb ) 如成立下面只需证明 ( avb ) d 国a 如vb 如，设x a 是4 vb 的一个国一聚点，则嘞( avb ) 一= 么一vb 一， 所以x 3 , a 一或者九b 一，若硭avb ，则h 仨a _ rx 旯仨b ，此时九是彳的0 9 一聚 点或者x a 是b 的国一聚点若x 五a vb ， 则有定义1 2 ( i i ) 知， _ 甚p ，v p q ( x ) ( h av 曰) ，而此时九a 或x a b ，不妨设x a a ，则显然 _ 苤p ，v p 刁( h ) ( h ，f u z z y 霸襄：a = x a ，b = _ ，显然彳ca 由于a 4 = i ，而由聚点的定义知b d = 0 ，因此a d 旺b 4 文 3 e e 给出了一聚点的概念，对于这一定义定理1 2 5 及定理1 2 7 在f 拓扑空间 中也成立，具体可表述如下： 定理1 2 9 设( ，万) 是凹拓扑空间，d 幸：r 专是一导算子，w ，b ，则有： a b ，那么a d + b d 7 定理1 2 1 0 设( x ，万) 是凹拓扑空间，a 是x 上的f 集，是x 上的f 点，则屯是 么的一聚点当且仅当九a d + 在文 3 中结论( a vb ) 咖= a 小vb 咖也是成立的，下面讨论缈一聚点与一聚点的关 系 例1 2 1 1 令l = 【0 ，1 】，x = z ) 为单点集，占= o ，t ，1 ) ，则( p ，万) 是 拓扑空间取 彳= 誓，则一是彳的聚点，显然依照国一聚点的定义知_ 是4 的一聚点，但是_ 苤p v _ 显 然是不成立的，故_ 不是么的一聚点，即国一聚点与n 一聚点是不同的两个概念 聊城大学硕士学位论文 第2 章连通性 在本章中我们系统地研究三f 拓扑空间中国一连通性与国+ 一连通性理论三f 拓扑空 间中关于连通性的基本定理都可以推广到c o 一连通集与国+ 一连通集的情形，特别地，在 国+ 一连通性理论中我们证明了从正面刻划连通性的樊畿定理，在国一连通性理论中，我 们是基于远域从正面定义的这种连通性另外，在本章最后我们将对几种连通性进行了比 较 2 1国一连通性 定义2 1 1 1 1 设( ，万) 是三f 拓扑空间，彳，b l x 如果a 一八b = a b 一= o 则称 集4 与b 集是隔离的 定义2 1 2 t 1 1 设( l x ，万) 是凹拓扑空间，a l x 如果不存在异于0 的隔离集b 和c 使a = bvc ，则称胆集4 为连通集 定义2 1 3 1 1 设( 印，西) 与( 譬2 ，以) 是二 拓扑空间，f ：l x i 一三是序同态如果 v b 万，f 。1 ( 曰) 4 ，则称厂为连续序同态 一 定义2 1 4 设( l x , 万) 是 拓扑空间，a l x x , t 与y 。是4 中任二不同的分子， 若存在屯劬p 的闭远域p ，q 且p 刁一( ) ，q 7 7 一( y ) 使彳p vq ，则称a 是国一连通集 特别地，当最大 集1 为连通集时，称( l x ，万) 为0 9 一连通空间 定理2 1 5 设( l x , 6 ) 是 拓扑空间，a l z 则么是c o 一连通集的充分必要条件 是不存在异于0 的隔离集b 和c 使a = bvc 证明 设存在b ，c l x ，且b 0 ，c 0 ，使b 一人c = bac 一= 0 ，且a = bvc 设 匆是a 中任二不同的分子，且b ，y p c ，则屯c 一，y f b 一我们不妨令 p = c - , q = b 一，而显然p 7 7 一( h ) ，q 7 7 一( y 。) ，又因a = b yc b vc 一= q vp ，所以4 不是c o 一连通 聊城大学硕士学位论文 反过来，设彳3 为彳的准闭包 定义2 2 2 设( ，万) 与( 譬，f ) 是三一f u z z y 拓扑空间，f ：寸葺是序同态如果 v b p o ( g ) ，f 一( 曰) p o ( l x ) ，则称厂为p 一不定序同态 定理2 2 3 4 1 序同态厂是p 一不定的当且仅当v b i g ，( 厂1 ( b ) ) + 厂1 + ) 定义2 2 4 4 1 设( ，万) 是一向拓扑空间，x 2em + ( ) ，aep c ( l x ) ，如果毛芷a ， 则称彳为而的p 一远域分子毛的一切p 一远域之集记作仃( ) 定义2 2 5 设( ，万) 是三一f u z z y 拓扑空间，彳，b 如果a + 八曰= a b + = o ，则称 么与曰是c o + 一隔离的 定义2 2 6 设( ，6 ) 是一向拓扑空间，a 如果不存在异于0 的国+ 一隔离 集曰和c 使a = bvc ，则称a 为0 9 + 一连通集当最大l f u z z y 集1 为强连通集时，称 ( ，万) 为+ 一连通空间 定理2 2 7 设( ，5 ) 是三一f u z z y 拓扑空间，则下列条件等价： ( 1 ) ( l x ，万) 不是国+ 一连通空间； ( 2 ) 存在两个非0 的准闭集4 与b ，使a v b = l 且么人b = 0 ； ( 3 ) 存在两个非0 的准开集彳与b ，使avb = 1 且彳八b = o ； 聊城大学硕士学位论文 定理2 2 8 设a 是三一丘z 秒拓扑空间( ，万) 中的国+ 一连通集，如果a b 彳+ ，则b 也是+ 一连通集 定理2 2 9 设( ，万) 是一他砂拓扑空间，m ) 心c 如果v f t ，4 是国+ 一连通 集，j t 有- s t 使v f 丁一斜，4 与4 都不是国+ 一隔离的，则a = v 4 是国+ 一连通集 t e t 推论2 2 1 0 若一族国+ 一连通集的交非空，则它们的并是c o + 一连通集 推论2 2 1 1f ：( ，万) 专( 辟，f ) 是p 一不定序同态，若a 是( ，万) 中的国+ 一连通集， 则f ( a ) 是( 葺，f ) 中的国+ 一连通集 证明假设厂( 彳) 不是( 耳，f ) 中的国一连通集，则在( 葺，f ) 中存在非0 的国+ 一隔离集 曰和c 使f ( a ) = b v c 令p = f 一1 ( b ) ，q = f - 1 ( c ) ， 则 a f - 1 厂( 么)= f - 1 ( b ) v f - 1 ( c ) = p v q 而 p + 八q = ( 厂一1 ( 曰) ) + 八厂一( c ) f 一1 ( b ) 人厂- 1 ( c ) = f - 1 ( b + ac ) = 0 ， p q + = ( 厂- 1 ( b ) ) 八( 厂_ 1 ( c ) ) + 厂- 1 ( b ) a t - 1 ( c + ) = f - 1 ( 曰八c ) = 0 ， 则p 与q 是( ，万) 中的异于0 的国+ 一隔离集令g = a ap ，h = a q ，则知g 与日是 非0 的国+ 一隔离集，且么= g vh ，则彳不是国一连通集，这与题设矛盾，故厂( 彳) 是国+ 一 连通集 下面我们将樊畿定理推广到l f u z z y 拓扑空间中国+ 一连通性的情形 定理2 2 1 2 设( ，万) 是三一以z 秒拓扑空间，a m + ( 彳) 表示彳中全部分子之 集则么是国一连通集当且仅当对每个映射 p ：m + ( 彳) 专u p ( x ) ix m + ( 么) ) ，尸( x ) o - ( x ) ， m + ( 彳) ) 以及a 中的任意两二分子口与 b ，在4 中可找出有限多个分子x o ，x 。，x n 使x 。= 以，x n = b 且 a 甚p ( x i ) vp ( x i + 1 ) ，i = o ，1 ，z - 1 ( 1 ) 证明充分性设么不是c o + 一连通集，则有( ，万) 中的非0 的c o + 一隔离集b 和c 使得 聊城大学硕士学位论文 a = bv c 定义映射p ：m + ( 彳) ju o - ( j c ) ix m + ( 爿) ) 使得当x b 时p ( x ) = c + ，当x c 时 p ( x ) = b + 由b + kc = b 八c + = 0 知，x 甚p ( 石) 又p ( x ) 为准闭集，所以 v x m + ( 彳) ，p ( x ) o - ( x ) 在b 中区分子a ，在c 中取分子b ，则以，b m + ( 彳) 对m + ( i l ) 中 的任意有限多个点x o ，葺，这里x o = 以，= 6 ，因t b 或誓c 必有一个成立 o = o ，1 ，刀) 所以p ( 誊) = c + 或p ( x ) = b + 所以存在j ( o j n 一1 ) 使 p ( 0 ) = c + ，p ( x j + 。) = b + 这时a = b vc 尸( ) vp ( + 。) ，所以定理中的条件不成立 必要性设定理中的条件不成立，即存在映射 p ：m + ( t 1 ) 专i - j o - ( x ) lx m ( 4 ) ) ，p ( x ) o - ( x ) ，b m + ( 彳) ) 且存在不同的分子 口，b m + ( 爿) 使得对m ( 彳) 中任意有限多个点x o ，x l ，使( 1 ) 不成立设口，b 是彳中的 两个分子，如果a 中存在有限多个分子而，x l ，使( 1 ) 成立，我们称口，6 可连接的， 否则称它们是不可连接的令 妒= 缸m + ( 4 ) i 口与x 可连接) ， 矽= 缸m + ( 么) i 口与坏可连接) ， b = v 伊，c = v 驴 易知a 与a 是可连接的，所以a 妒，a b 又有假设知a 与b 是不可连接，所以 b 缈，a c 这说明b o ，c 0 设b + 人c = 0 ，任取二分子x b + c 由x b + 知 b 甚p ( x ) ，从而有y 妒使y 甚p ( x ) 这时y 甚p ( x ) vp ( y ) 且y b a ，所以a 彗p ( x ) vp ( y ) 那么由y 与a 可连接知，a 与x 也可连接另一方面，由x c 知c 甚p ( x ) ，从而有万矽使 j 菇p ( x ) 这时j 甚p ( x ) vp ( 万) 且万c a ，所以a 甚p ( x ) vp ( 万) 那么由x 与a 可连接推出 a 与万也可连接这与万矽矛盾所以b + 八c = 0 类似可证b 八c + = o 2 3 几种连通性之间的比较 在文【6 提出了强连通集的概念，并证明了每一个强连通集是连通集在本章第一节中 聊城大学硕士学位论文 我们提出了国一连通集的概念，同时证明了一连通与连通是等价的，下面我们讨论0 9 + 一 连通集与强连通集之间的关系 由国+ 一连通集与强连通集的定义，易知每个缈+ 一连通集是强连通集，但反之不真 例2 3 1 设x = x ，y ) ，l = o ，a ，b ，1 ) 是菱形格，即0 a 6 ，0 b 1 ，a 与b 不可比较， 0 = 1 ，1 = o ，a = 口，b 7 = b ，定义a ( x ) = 以，a ( y ) = b ；b ( x ) = 1 ；b ( y ) = 0 ；c ( x ) = 口； c ( y ) = o ；d ( y ) = b 则万= o ，b ，1 ) 是f 上的拓扑因为彳职能唯一地表示两个不相交的非0 的l f u z z y 集c 与d 的并，即a = c vd ，cad = o ，c o ，d 0 易知c = o ，从而c - 八d 0 ( c - 表示c 的半闭包【5 】) ，即c 与d 不是i 型弱隔离的， 所以彳是i 型强连通的，故它也是强连通的易知c 与d 都是准闭集，即c + = c ，d + = d ，从 而c d = c ad = 0 ，即c 与d 是国+ 一隔离的，故么不是c o + 一连通集 聊城大学硕士学位论文 第3 章分离性 在胆拓扑空间中，很多深刻的结果都是就具有某种分离性的拓扑空间得出的在本 章中我们将系统地讲述国一五分离性，r 正则性等理论，最后一节将讨论几种分离性的关 系 3 1t o 一五分离性 定义3 1 1 【1 】设( ，万) 是，拓扑空间，如果对m + ( ) 中的任二不同的分子而与y 。， 当扎苤y p 时，存在p 7 7 ( 屯) 使y p ，则知( ，万) 为五空间 定理3 1 2 【1 1 设( x ，万) 是凹拓扑空间，如果每个f 点邑的导集都是闭集，则每个 f 集彳的导集都是闭集 定理3 1 3 设( 印，匹) 与( 碜，疋) 是二 拓扑空间，f ：矸1 寸譬2 是序同态，则下 列条件等价： ( 1 ) 厂连续 ( 2 ) v b 哮，厂- 1 ( b 。) ( 厂_ 1 ( b ) ) 。 定义3 1 4 设( 印，反) 与( 譬：，万：) 是二三f 拓扑空间，厂：单一睁是序同态如果 v b 万：，厂_ ( b ) 反，则称厂为连续序同态 定义3 1 5 设( ，万) 是凹拓扑空间，如果对m + ( ) 中的任二不同的分子毛与y ， 当屯甚儿时，存在p 叩一( 屯) 使y p ，则称( r ，5 ) 为国一互空间 注当p 是正则开集时p 一= p ，故此时上述空间即是互空间在本文中考虑p 为闭 集，故定义3 1 5 可表述如下： 定义3 1 6 设( r ，万) 是凹拓扑空间，如果对m + ( ) 中的任二不同的分子_ 与y ， 当屯甚儿时，存在尸刁( 而) 且p 为开集，使以p 。，则称( r ，万) 为t o 一互空间 显然，西o - t , 互，反之不真 聊城大学硕士学位论文 例3 1 7 三： o ，一1 ，一2 ，1 ) ) ，x ： o ，1 ，在x 上定义拓扑6 ： o ，! ，三，1 ) ( ，z ) ， 取_ = 掣，以= o ) ，则而簋，取p = ，则p 但甚p 。，故( r ，万) 是互空间， 行胛，z 但不是国互空间 定理3 1 8 设( ，5 ) 是 拓扑空间，若( r ，5 ) 为国- 互空间，贝1 jv x a m + ( ) ，_ 是闭集 证明设( r ，5 ) 是c o 一互空间，屯m + ( ) 设y x 二，如果y 芷_ ，则有 p 叩一( y ) ，使p 。，而p 。p 即y p x j p ，这与p 叩一( y ) 矛盾，故y _ ，即 一屯，所以x a 是闭集 ” 定理3 1 9 设f 拓扑空间( x ，万) 是国石空间，则x 上的任一f 集么的导集么d 都是 闭集 证明 由定理3 1 2 ，我们只需证明m + ( ) ，是闭集，这里三= o ，1 ，设_ 有聚 点y 一，由定理3 1 8 知而是闭集，则y p 巧d x j ，即y = x ，且允，故x 。屯，只 需验证文献 1 】聚点定义( 2 ) ，设q r ( y ) ，则有聚点定义( 2 ) 知毛蓝qvx 五，这是不可能的， 所以x 五没有聚点，即_ d = 0 ，所以巧d 是闭集 定理3 1 1 0 如果( ，万) 是国一互空间，v y c xj l y 矽，贝i j ( l r ，a ( y ) ) d t 是c o 互空 证明 设( ，万) 是缈一t , 空- l q ，v x 五，y 一m + ( ) 且彗y 设x ：与y ：分别是屯与 y 在r 中的扩张x j ，y ：m + ( ) ，x j 甚y ：因( ，5 ) 是0 3 石空间，所以存在 p 7 7 一( ) 使y p 。，由于pi 】，是h 在( ，万i 】，) 中的闭远域， 又 y 冬p 。iy p 。i 】，。= ( pi 】，) 。所以( l r ，5i 】，) 是国一互空间 定理3 1 1 1 设( 矸1 ，瓯) 与( 譬2 ，a 2 ) 是二 拓扑空间，f ：印专譬：是连续序同态 若( 譬2 ，5 ：) 是国一互空间，则( 单，4 ) 是国一互空间 证设屯，y 是m + ( 印) 中任二不同分子，则f ( x ) ，f ( y 。) 是m + ( 譬2 ) 中的分 聊城大学硕士学位论文 子，f ( x a ) 苤f ( y ) 则存在f ( x 兄) 的闭远域p ，使厂( y ) p 。，而厂一( 尸) 是以的闭远域，只需 证雌 厂_ 1 ( p ) 。，假设y 甚 厂- 1 ( 尸) 。，由定理3 1 3 知，y 彗f 一1 ( 尸。) ，最pf ( y ) 甚p 。，矛盾， 所以( 单，瓯) 是国五空间 定理3 1 1 2 设( l x ，吼( 丁) ) 是由分明拓4 b 空f b q ( x ，t ) 拓扑生成的三f 拓扑空间，则 ( l x ，吼( 丁) ) 是国- 石空间，当且仅当( x ，丁) 是国r , _ 空f b q 证明设( ，吼( 丁) ) 是国- 互空间，xe f _ x 任取旯m 犯) ，因为屯是闭集，所以 l ( ) = z xl ( 屯) ( z ) 旯) = 缸) 是( x ，丁) 中的闭集，故( x ，丁) 是国z 空间 反之，设( x ，r ) 是c o - 互空间，下面证明( l x ，吼( 丁) ) 是国互空间，易知x 。是 ( ，c o l ( 丁) ) 中的闭集( l x ，国上( 丁) ) 是满层的，故在x 上取常值旯的三f 集 允 是闭的， 则知= x 。人阻 是闭集，所以( l x ，吼( 丁) ) 是国- 互空间 类似于文 1 】定理5 2 7 可证下述定理 定理3 1 1 3 设( r ，万) 是 ( 丑，4 ) ) 心的乘积空间如果v f t ，( 三一，万，) 是国五空间， 则( r ，万) 是国- 石空间反过来，如果( ，万) 是国五空间，则v t t ，当( p ，4 ) 是满层 空间时，( p ，4 ) 是国互空间 3 2r 正则性 定义3 2 1 ( l x ，万) 是 拓扑空间，如果对m + ( r ) 中的任二承点相同的分子_ 与x ，当 0 当且 仅当a ( x ) 以，v x x 定义3 2 3 1 1 设( ，万) 是 拓扑空间，如果对x 上的任一非零准分明闭集a 和 x a m + ( ) ，当x 仨s u p pa 时有p u ( x 量) 和q 7 7 ( 么) 使pvq = 1 ，则称( l x ，万) 为正则 空间 一1 d 聊城大学硕士学位论文 定义3 2 4 ( l x ，万) 是 拓扑空间，如果对任一为m ( r ) 及任一p q ( x a ) 且 p 非零，存在q q - ( ) 使q 甚p ，则称( r ，万) 为r 正则空间 定理3 2 5 当三= o ，1 时，若( ，万) 为r 正则空间，则( r ，艿) 为。空间 证明 设( l x ，万) 为r 正则空间，对任一力m + ( ) ，p r l ( x a ) ，则允甚p ( x ) ，令 p ( x ) = ，则见苤由于( r ，万) 是r 正则空间，则存在q 7 7 一( x a ，使q 甚p ，显然x 。q ，所 以( ，万) 为。空间 定理3 2 6 如果( ，万) 是r 正则空间，则它的任一闭子空间( ，万l 】，) 是r 正则空 间 证明设( r ，万) 是r 正则空间，v x 五m + ( ) ，卯r ( x a ) ，记是屯的扩张，p + 是 p 的扩张，则p + 是的远域，因( ，万) 为r 正则空间，所以存在q + r - ( 豸) 使q 苤p + ， 由于p = p + iy