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三角学历史研究 摘要：三角学的英文名称是t r i g o n o m e t r y ，原义为三角形测量，是以研究平面三角形和 球面三角形的边与角的关系为基础一门数学学科。本文首先总结了古埃及和巴比伦在长 期的生产活动中积累的丰富三角学知识，并将其定义为三角学的萌芽阶段：继而，希腊 学者由于天文学研究的需要确立了三角形边与角的精确关系，标志着三角学的兴起；本 文还完整地归纳了三角学的发展与改进过程：印度继承了希腊的传统，并最先引入了正 弦函数：中国出现了最早的正切表；阿拉伯学者使三角学成为一门独立的科学。随后系 统阐述了文艺复兴以后三角学的完善与深化过程：三角学一度成为欧洲数学的主要内 容，研究范围逐渐扩大，包括三角函数值表的编制，平面三角形和球面三角形的解法， 三角恒等式的建立和推导，三角学变成以三角函数为主要对象，隶属于分析学的独立科 目。最后本文整理了三角学在中国传播与进展，包括六种三角函数的词源发展。当代三 角学知识主要以三角函数为主的内容形式成为我国现行高中数学教学的重点之一，也是 继续学习其他数学知识的必备基础。本文初步探讨了应用一定的历史知识辅助数学教学 的必要性与可行性的方法。 关键词：三角学数学史数学教育 t h er e s e a r c ho nt h eh i s t o r yo ft r i g o n o m e t r y a b s t r a c t ：t r i g o n o m e t r yt h a ti su s e dt om e t r e i nt r i g o n o si so n eo fo l dm a t h e m a t i c a lb r a n c hs u b j e c t s t h e p a p e rs u m m a r i z e d st h ec o r s eo ft h ee a r l yd e v e l o p m e n to ft r i g o n o m e t r y , t h ee g y p t i a n sa n db a b y l o n i a nw i t h ac r u d ek n o w l e d g eo fp r a c t i c a lt r i g o n o m e t r yb e g a nt h et i m e so fp r o t o - t r i g o n o m e t r y t h eg r e e k st o o ku pt h i s s u b j e c ta n dt r a n s f o r m e di ti n t oap r o w e r f u lt o o lo fa p p f i e dm a t h e m a t i c si na s t r o n o m y i ti st h es i g no ft h e b r i t ho ft r i g o n o m e t r y t h ed e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n to ft h es u b j e c tw a si na s i ad u r i n gt h em i d d l e a g e s 1 n b ef u n c t i o n ss i n ea p p e a r e di nh i n d ua f t e rg r e e k t h ef r i s tt a n g e n tt a b l ew a sf o u n di nc h i n a t h e a r a b sm a d ei tt ob eai n d e p e n d e n ts u h j e c tf r o ma s t r o n o m y t h er a n g eo ft r i g o n o m e t r yr e s e a r c hw h i c hw a s t h em a i ns u b j e c ti ne u r o p ee n l a r g e da f t e rt h er e n a i s s a n c e i ti n c l u d e dt h em a k eo ff u n c t i o n st a b l e ，t h e s o l u t i o no ft h ep l a n ea n dt h es p h e r et r i g o n o m e t r y , t h ed e r i v i n go ft h ef o r m u l a ，w h e nt r i g o n o m e t r yb e g a nt o t a k et h ea n a l y t i cc h a r a c t e rt h a ti tw o u l dr e t a i ne v e rs i n c e t h ep a p e rh a sa l s ol i s t e dt h es p r e a d i n ga n d p r o g r e s s i n go ft r i g o n o m e t r yi nc h i n aa n dt h ed e v e l o p m e n to fs i xk i n do ff u n c t i o n s n o wt h ek n o w l e d g eh a s b e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp a r ti nt h em i d d l es c h o o le d u c a t i o n ，a n dt h eb a s e o fh i 功s c h o o l e d u c a t i o n t h e s u b j e c t u s e ss o m e h i s t o r yk n o w l e d g e i nm a t h e m a t i c a le d u c a t i o nh a sb e g a n v e r y s i g n i f i c a n t ，t h et e x th a sm a d es o m ed i s c u s s i o na b o u ti t k e y w o r d s ：t r i g o n o m e t r y h i s t o r yo fm a t h e m a t i c sm a t h e m a t i c se d u c a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名：盘立盟 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：垄壹盟指导教师签名：m 签名日期： 毋月湘 三角学历史研究 引言 “三角学”，英文t r i g o n o m e t r y ，法文t r i g o n o m 6 t r i e ，德文t r i g o n o m e t r i a ，都来自拉丁 文t r i g o n o m e t r i a 。三角学的原意是三角形的测量，以研究平面三角形和球面三角形的边 和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一 部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要研究对象，隶属于分析学的一个 数学科目。现在，三角学的研究范围已不限于三角形，成为数理分析的基础和研究实用 科学所必需之工具。 【美l e l im a o r 英文版t r i g o n o m e t r i cd e l i g h t s ) ) 是一部包含大量三角学史料研究的专 著。梁宗巨，王青建，孙宏安著世界数学通史，以及【美 v i c t o r j k a t e 中文版数学 史通论等著作中从希腊时期开始，在部分章节中分别介绍了相关三角学知识的发展状 况。梁宗巨数学历史典故中有对三角学词源发展的研究。 本文归纳，总结分析以上的工作，并认为三角学的历史应追溯到古埃及与古巴比伦 时期，通过分析史料将这一时期定义为三角学萌芽阶段，进而按照三角学在不同时期、 不同地区的发展情况系统完整地阐述并分析三角学的发展历史，而且从历史角度尝试探 讨如何有效地进行现代三角学知识的教学。 1 早期三角学的萌芽与兴起 古埃及和巴比伦都是世界上文明发达较早的地区，在长期的生产活动中积累了丰富 的实践经验。土地丈量和金字塔建筑，天文观象及商业发展等诸多原因促使他们取得了 许多数学成就，其中都蕴涵着三角学的萌芽，只不过这些知识是零碎的，片段的。后来， 由于天文学研究的需要，希腊学者确立了三角形边与角的精确关系，繁荣的希腊科学孕 育了三角学的兴起。 1 1 古埃及的原始三角学知识 古埃及人凭借尼罗河两岸的沃土，用他们的智慧独立创造出灿烂的古代文化。远在 公元前3 5 0 0 年以前，古埃及就已经有了象形文字。大约于公元前3 0 0 0 年左右，埃及成 为统一的奴隶制国家，在没有外来势力的影响下，发展着自己生生不息的文明和科学。 古埃及是世界上数学产生最早的国家之一。古埃及文化随着文字的破译清晰地展示 在后世学者面前。1 7 9 9 年，拿破仑的军队在埃及罗塞塔镇附近找到了著名的“罗塞塔 碑 ( r o s e t t a s t o n e ) 。碑上有以三种字体刻成的同一段文字，三种字体分别为正体埃及 文、俗体埃及文及希腊文。1 8 2 2 年，法国学者商博良( c h a m p o l l i o n ) 通过研究碑文破 译了古埃及象形文字，这一年因此被视为埃及学的发端之年。1 1 】 文字破译这项划时代意义的工作使得大量记录在纸草，木器与石头上的古埃及文献 被后人解读，其中对数学的认识，主要源于用僧侣文写成的纸草书，最著名的一卷是约 成书于公元前1 6 5 0 年的莱因德纸草书。 三角学历史研究 1 8 5 8 年的冬天，在底比斯的卢克索( l u x o r ) 的拉美西斯神庙( r a m e s s c u m ，为纪念 拉美西斯二世而建立的神庙) 附近一座小建筑物的废墟中发现一卷纸草书，为年轻的苏 格兰古董商莱因德( a h e n r y r h i n d ) 购得。5 年后他死于结核病，这部纸草归伦敦不列颠 博物馆( b r i t i s hm u s e u m ) 所有，故定名为莱因德数学纸草书简称莱因德纸草书。 纸草书全长1 8 5 英尺( 5 6 4 厘米) ，宽1 3 英寸( 3 3 0 2 厘米) ，收入博物馆时，没有那么 长，已经断裂成两部分，中间有一段遗失。1 9 2 2 年，一位英国的埃及学者纽伯里( n e w b e r r y l 看到纽约历史学会( n e w y 0 r kh i s t o r i c a ls o c i e t y ) 也藏有一些纸草，怀疑是莱因德纸草书的 遗失部分。他把复制品交给皮特( p e e t ) ，经过仔细推敲，皮特把它补到适当的位置上， 并予与出版。这些碎片对整部纸草书的理解起了重要作用。1 2 l 这部纸草书产生于约公元前1 6 5 0 年，是埃及最早且最完整的古代数学文献之一。 它从右向左采用僧侣文数字系统书写，有别于早期难以辨认的象形文字。纸草由两种颜 色字体组成黑与红，并附加几何图形。文献中标注着书写员的名字a h m o s e ，被后 人简称为阿梅斯( a h m e s ) ，然而他并不是原作者，他声称是源于中王国时期的一个样板 ( 2 0 0 0 - - 1 8 0 0 b c ) ，间或有一些笔误。书的开头写道“准确的计算。阐明一切黑暗的、秘 密的存在事物的指南。 大概是当时一种实用的计算手册，记述千余年来的一些数学问 题。按顺序排列共8 5 道题，展现了单位分数的使用、简单方程、数列、面积以及体积 的计算等，记载着埃及人在生产和生活中遇到的实际问题，其中也含有纯数学的知识问 题。 纸草书中表明古埃及人采用分级符号制，除了1 、2 、9 、各有符号表示外，1 0 、 2 0 、9 0 、以及1 0 0 、2 0 0 、9 0 0 、等等都用特殊符号表示，如4 不再记成四条竖线， 而是用一道横线来表示；7 也不再记成七条竖线，而是用一镰刀形符号表示。他们在整 数的符号上加一个圆点表示分数，而且不用加法符号，单位分数简单地写在一起表示它 们的和。 莱因德纸草书中第5 6 _ _ 6 0 题的内容涉及三角学知识。题目的内容都围绕金字塔展 开。例如第5 6 题：一个金字塔形( 正四棱锥) ，高是2 5 0 腕尺( c u b i t ) ，底面边长是3 6 0 腕尺，求s e k e d 值。1 3 】 古埃及人将一倾斜直线每垂直升高一个单位时，相对于垂线的水平偏离称之为 “s e k c d ”。亦即底边的一半与高之比，相当于的底角余切值。 1111 解法：3 6 0 乘以二得1 8 0 ，再用2 5 0 去除1 8 0 得三三二腕尺，乘以7 掌( p a l m ) ， 2 255 u 17 三 3 三 2 2 1 1 1 土 53 】5 2 三角学历吏研究 土土上 5 01 02 5 即底角的余切值为5 2 1 5 掌。【即：( 3 + ； “1 + ；+ 西1 ) + 【面1 + 互1 5 ，_ 5 云1 = - i 瞰 二c ，帆2 言喇= ，一9 i ? = 筝a 童仕i = ，o ：， ， i 盘- o l t i ：一：= 也蛙冀7 ：三以一一= 射瞎蓄瑚。 聋盏；釜= 嘉：盔一。一t 一三一薷旦，仁e f - 仁一蒂百曼蔓篙n f i 骨一篙”l r _ 。、r 。r 。6 。“。”。 “ i 图1 莱因禧纸草书第5 6 最 显然3 6 0 的三是1 8 0 ，为金字塔底边长的一半，用它除以金字塔的高度2 5 0 就是所 z 求。但古埃及数学中要求所有答案都应该以单位分数形式给出，并且单分数兰，! 的 255 0 和即为；兰，这个比值就是金字塔底面边长的一半与其高度的比值，也就是正四棱锥侧 2 5 0 面与底面央角的余切值。之所以后来的答案还要乘以7 ，是因为统一单位的需要，古埃 及单位制中1 腕尺等于7 掌。 莱因德纸草书中有4 道习题都是相关底角余切值的展开，并赋以特殊的名称 “s e k e d ”，说明这个比值对金字塔建筑者具有重要意义。在金字塔的构建过程中保持每 个侧面相对水平线的倾斜度不变是关键的步骤，然而为什么古埃及人偏爱底角的余切值 而不是求其正切值昵? 我们认为有一种可能的解释是，在建筑学的实践中测量随着高度 增加带来的水平偏离更易行，这也说明古埃及人的初等三角学知识源于生活实践。 纸草书中第5 7 题内容是：已知s e k e d 值与底边长，求金字塔的高度。问题5 8 与5 9 的题型与5 6 题相似，只是所得答案不同。问题6 0 是求高为3 0 腕尺，底边为1 5 腕尺的 柱子( c y l i n d e r ) 的s e k e d 值，虽然无从得知这个柱子是类似金字塔的形状还是类圆柱体 ( 底面直径为1 5 ) ，但是通过验证我们可得，不管是哪种情况，所求值均为三。 4 5 6 题中所对应的底面与侧面的夹角为“。1 5 ，5 8 、5 9 题对应的角度为5 3 。87， 这些角度与现存的一些埃及金字塔的底角十分相似。( 【3 1 第8 页) 在现存的古埃及历史文献中并没有发现角的定义，也没有发现他们明确系统地表示 出一个三角形中角和边的关系，因此可以说：古埃及人只是在实践生活中掌握了一些粗 浅三角学知识一可谓之原始三角学。与之同时期或更早的美索不达米亚平原上也出现 了三角学的萌芽。 翘 三角学历史研究 1 2 古巴比伦的三角学泥扳 亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之同的地带，通常叫做美索不达米亚平原。早 在公元前4 0 0 0 年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。两河流域的居民 用尖芦管在湿泥板上刻写楔形文字，然后将泥板晒干或烘干，这样制成的泥板文书比埃 及纸草书易于保存。从1 9 世纪初开始，考古学家在两河流域进行大规模的发掘，出土 了大约5 0 万块泥板。 对楔形文字的释读比埃及文字要晚，关键的一步是破译贝希斯敦( b c h i s t t m ) 石崖。 公元前5 2 2 年，波斯王大流士取得政变胜利，并用三种文字古波斯文、巴比伦文和埃兰 文将战功刻在贝希斯敦悬崖的岩石上。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文字的 奥秘。 楔形文字被解读后，泥板上记载的文明逐渐清晰。从内容看，约5 0 万块泥板中实 属数学知识的仅有3 0 0 块_ 左右，其中约2 0 0 块是数表，包括乘法表、倒数表、平方表和 立方表等等，由此推断古巴比伦人明显掌握了较高的计算技巧。 巴比伦最显著的三角学成就是发现大量的勾股数组。即满足不定方程。z + ，z ：的 正整数组( y ，z ) ，也叫“毕达哥拉斯数”( p y l h a g o r e a nn u m b c r ) 或“毕达哥拉斯三元 数组”( p y t h a g o r e a n t r i p l e t ) ，简称为“勾股数”，它构成直角三角形的三个边。 最典型的证据就是编号为“普林顿3 2 2 ”( p l i m p t o n3 2 的泥板，据估计其年代可以 追溯到公元前1 9 0 0 1 6 0 0 年，因曾被一位叫普林顿( g ap l i m p t o n ) 的人收藏而得名， 现存于美国哥伦比亚大学图书馆。此泥板大小为1 2 7 8 8 厘米，照片如图2 。1 4 】 圈2 普韩顿3 2 2 三角学历史研究 原物左端有断裂的痕迹，还涂过现代胶水，大概出土时左边还有一块，后来再度断 开并遗失。可见它是更大泥板的一部分。现存的左上角损坏，右部中间有尖形深沟，想 是挖掘时被硬工具击伤。 巴比伦人应用6 0 进位制记数系统，他们用垂直的楔形来表示1 ，如“，用末端二 个横向楔形表示1 0 ，如“ 。例如用记号积胃表示3 5 。巴比伦的进位制，是不甚明显 的，因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板上没有发现零号。 不过总的来说，巴比伦的记数系统比埃及人优良，他们巧妙地将位值原理推广到整数以 外的分数，不像古埃及人那样受单位分数的束缚。为此有人认为，最早有关角的度数的 测量起源于巴比伦人，因为3 6 0 度角的测量系统十分适合巴比伦人六十进制记数系统， 我们认同这种推测。( 【3 1 第1 5 页) 将普林顿3 2 2 的数字翻译出来，如图3 可知它实际上是一张表格，由4 y u l 5 行六十进 制数字组成。列出1 5 组勾股数。【】内是因残缺后补上去的数字。( 【3 1 第3 2 _ 3 3 页) c q p bc l1 ，5 9 ，0 ，1 1 5 l ，5 92 4 9 i ll ，5 6 ，5 6 ，1 5 8 ，1 4 ，5 0 ，6 ，1 5 5 6 ，7 3 ，1 2 ，l 2 ll ，5 5 ，7 ， 4 1 ，1 5 ，3 3 ，4 5 1 ，1 6 ，4 1l ，5 0 ，4 9 3 ll ， 5 1 3 ，lj 0 ，2 9 , 3 2 ，5 2 ，1 6 3 , 3 1 ，4 95 , 9 ，1 4 ll ， 4 8 ，5 4 ，l ，4 0 1 ，5l ，3 7 5 l1 ，1 4 7 ，6 ，4 1 ，4 0 5 ，1 98 ，1 6 ll ， 4 3 ，1l ，5 6 ，2 8 2 6 ，4 03 8 ，ll5 9 ，l 7 ll ，1 4 1 ，3 3 ，5 9 ，3 ，4 5 13 ，1 9 2 0 ，4 9 8 ll 。1 3 8 ，3 3 ，3 6 ，3 6 9 ，l1 2 ，4 9 9 1 , 3 5 ，1 0 ，2 ，2 8 ，2 7 ，2 4 ，2 6 ，4 01 ，2 2 ，4 12 ，1 6 ，1 1 0 i ，3 3 ，4 54 51 1 5l l l ，2 9 ，2 1 ，5 4 ，2 ，1 52 7 5 9 4 8 4 91 2 l1 , 2 7 ，0 ，3 ，4 57 ，1 2 ，14 ，4 9 1 3 l ，2 5 。4 8 ，5 l ，3 5 ，6 ，4 02 9 ，3 l5 3 ，4 9 1 4 i1 ，1 2 3 ，13 ，4 6 ，柏 5 65 31 5 图3 译为现代阿拉伯数字的普林顿3 2 2 泥板 每一列顶端有一些文字，从左向右数第4 y d n q “名称 ，第3 y o 的意思是“对角线， 相当于直角三角形的斜边，第2 y o 是“宽 ，相当于直角三角形的一条直角边，表中分别 用c 、b 代表。 例如第1 行中b = l ，5 9 和c = 2 ，4 9 ，化为十进制数字为l x 6 0 + 5 9 = 1 1 9 和2 x 6 0 + 4 9 = 1 6 9 ，从 而可知另一条三角边的边长为a = 1 2 0 ，这样就组成了一个勾股数组( 1 1 9 ，1 2 0 ，1 6 9 ) 。 再如：第3 行b 一1 ，1 6 ，4 1 = l x6 0 2 + 1 6 x6 0 + 4 1 4 6 0 1 c 。l 5 0 4 9 ；i x6 0 2 + 5 0 x6 0 + 4 9 。6 6 4 9 5 三角学历史研究 因此a = 4 8 0 0 ，进而得到( 4 6 0 1 ，4 8 0 0 ，6 6 4 9 ) 。 然而表格中包括明显的错误，如第9 行中ba9 ，1 9 6 0 + 1 ；5 4 1 而c = 1 2 ，4 9 = 1 2 6 0 + 4 9 = 7 6 9 ，这并不构成勾股数( 第3 个数非整数) ，但如果将b 的值9 ，1 用8 ，1 = 4 8 1 代替，就得到勾股数组( 4 8 1 ，6 0 0 ，7 6 9 ) 。如此看来，当时的抄写员一定是溜号分神在 黏土上多刻了一笔，这个粗心的错误随着黏土的烘干成型保留了几千年。还有第1 3 行 b = 7 ，1 2 ，1 = 2 5 9 2 1 ，c = 4 ，4 9 = 2 8 9 也无法构成勾股数，但注意2 5 9 2 1 是1 6 1 的平方，而1 6 1 与 2 8 9 构成勾股数( 1 6 1 ，2 4 0 ，2 8 9 ) ，而在第1 5 行c = 5 3 ，正确的结果应该是将其扩大一 倍。这些错误未免有些遗憾，但同时也让我们更真切地感觉到几千年前那位祖先的真实 存在，人无完人，孰能无过。 最吸引入的是第1 列，它的字头也含有“对角线 字样，但是其具体含义从字面上 看并不明确。通过计算发现这一列表示 f 三1 2 即 i aj c s c 2 口，口是边a 所对的角。例如第1 行中b = l ，5 9 = 1 1 9 ，c = 2 ，4 9 = 1 6 9 ，根据勾股定理易知a = 1 2 0 ，得： f ，三1 ；f ，塑1 1 9 8 3 精确至l j d 、数点后3 位，而第1 行第4 列中的结果与之相符，即： 口1 2 0 ， 1 , 5 9 , 0 , 1 5 - 1 + 5 9 x ( 去) + o ( 去) “5 ( 击) 3 1 1 9 8 3 ( 再次注意：巴比伦人没有表示零的符号， 为此同一个数字可能被理解成很多数，正确的结果要根据上下文推断。) 我们分析表格内容通常思考两个常见的问题，第一：表格的顺序是随机排列的吗? 或者遵循某种顺序? 第二：巴比伦人如何得出这些特殊勾股数? 第一个问题相对容易回 答，比较每行的c s c 2a 值，发现它们从1 9 8 3 递减到1 3 8 7 ，找到对应的口值，得出口角 约从4 5 。递增到5 8 。，我们认为这说明表格的作者不仅对勾股数感兴趣，还研究勾股 数所对应的直角三角形。 关于第二个问题这些勾股数如何被发现，我们认同一种相对合理的解释：古巴比伦 人大概知道这些数组的算法。设两个正整数u 和l ，且u 苫 ，则可得三个数： a 。2 u vb 。u2 1 ，2c ；u 2 + y 2( 1 ) 构成一组勾股数。容易验证，满足方程组( 1 ) 的a , b , c 符合方程c z a2 + 6 z ，同时每组 勾股数都可以通过这种算法得出，这个结论已经在数论中得到证明。 通过总结分析莱因德纸草书与普林顿3 2 2 泥板，我们可以确信早于古希腊约1 5 0 0 年前人类已经发现三角形边与边，边与角之间的某种联系，其中巴比伦人明确了解勾股 定理。这些三角学知识的获得大多取自于生产实践，是古劳动者的智慧结晶。但是现存 的历史文献无法表明他们是否已经建立三角形边与角之间的精确关系，为此可将这段时 期定义为三角学萌芽阶段。这是一段历史发展过程中必不可少的知识酝酿积累时期，为 后来希腊学者进一步研究三角学并将其发展为应用数学的有效工具奠定了一定的思想 基础。 三角学历史研究 1 3 古希腊天文学中的三角学 古代民族观察天象，大多从实用或神秘的观点出发，除了赋以神话故事之外，并不 加以解释。然而希腊人的思路与此不同，对理性思维的热爱驱使他们采用数学的方法来 研究天体的现象与运动。 古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月蚀的详细记录，需要对天体 的距离和角度十分熟悉。他们采用日晷仪指针，一种通过垂直杆的影长显示时间的简单 装置。按照历史学家希罗多德( h e r o d o t u s 约公元前4 5 0 年) 的观点，该装置取自巴比 伦人。日晷仪指针实质上是一种类似计算余切函数的装置，如图4 ，h 表示竿的高度，s 表示它影子的长度，当太阳与地平线成口角时，s h c o t a ，若h 为单位长度，则s 与c o t a 在数值上相等。( 【3 】第2 3 页) s 图4 日晷仪指针 然而发明该指针的古人对余切函数似乎并不感兴趣，只是将其作为时间计时器。通 过每天影子的长度变化测出午时，日晷仪指针就可用来测量每年的天数。据说早期希腊 数学家泰勒斯( t h a l e s 公元前6 4 0 - - - 5 4 6 ) 就曾通过比较金字塔和一个日晷仪指针的投影 来计算金字塔的高度。在计算过程中并不包括三角形边与角之间的关系，仅包含两个直 角三角形相似的内容。不过，我们认为这一点足以说明这种“投影计算 被古代学者得 到相当良好的应用，可以称之为三角学比例的先驱。后来，这种简单的方法被成功地运 用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。希腊人怀着建立定量的天文学的愿望，创 立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时、计算日历、航海和研究地理， 因此，希腊人主要研究球面三角学知识，其中也包括平面三角学的基本内容。1 5 】 1 3 1 希帕霍斯和三角学的兴起 大多数数学史家通常认为三角学兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕 霍斯( h i p p a r c h u s ，约公元前1 8 卜前1 2 5 7 ) 。他生于小亚细亚的比提尼亚( b i t h y n i a ) 的 【n i c a e a ，在今土耳其西北角的伊兹尼克( i z n i k ) 】。在爱琴海的罗得岛( r h o d e s ) 度过了大半 生，并建造了一座天文台，应用自己发明的仪器长期从事天文观测。希帕霍斯以发现“岁 差著称。岁差是春分点在黄道上每年约逆行5 0 的现象，这种现象如今证实是由于地 7 三角学历史研究 球自身轴线的不稳定造成的( 牛顿在其万有引力理论中成功地解释了这种现象) 。他绘 制出一张包含8 5 0 个恒星的星图，并按照量度的不同对之分类，他的分类方法经修改后 得到推广并沿用至今。在这些工作中，他可能已采用经纬度来表示星的位置，具有了初 步的坐标制思想。【6 j 由于天文学研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和 现今三角函数表相仿的“弦表 ，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长( 相当 于现在圆心角一半的正弦线的两倍) 的表。为了定出数值，他采用了巴比伦人的6 0 进 制。对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。 目前还没有直接的文献载有希帕霍斯的表格与方法，但来自各种资料的信息已足以 使我们对他的工作勾勒出一幅合理的图画。【7 l 在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧( 或中心角) 所对的弦。 这里我们用口表示弧长，c h o r d ( a ) 简略为c r d ( a ) 表示对应的弦长，如图5 因为角度和弧度的度量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的 度量单位也转化成“度 或“分 。已知单位圆的周长为掀，取, z g 的六十进制近似值3 ； 8 ，3 0 ，他算得近似到最接近整数的半径尺的度数为： _ 6 0 x3 6 0 ；粤磐；5 7 , 1 8 。3 4 3 8 ，则在该圆中任意角的度数( 其对应的圆弧长除以圆 二巧 o ；1 的半径) 等于它对应的弧长的度数。 圈5 为了制作弦表，希帕霍斯从6 0 。角开始算起。在单位圆的情况下，6 0 。角所对应的 弦长等于半径值，即c r d ( 6 0 。) = 3 4 3 87 = 5 7 ，1 8 。而9 0 。角所对应的弦长 尺虿；4 8 6 2 ，。8 1 ，2 。为了计算其他角度的对弦，他利用两个几何结果，如图6 ： c r d 0 8 0 一a ) 一( 2 r ) 2 一c r d2 ( 口) ( 1 ) 因为c r d ( 1 8 0 一口) = 2 r c o s u _ ， 二 而且口角所对的弦与其正弦之间有下述关系： 8 三角学历史研究 三c 耐心) 尺一s i n 詈或c 耐 ) = 2 r s i n 号 所以( 1 ) 的结果就相当于s i n 2 口+ c o s 2 口一1 其次，人们推测他利用一种半角公式算出了硎( 詈) ，得出半角公式的过程如下：假 设角口= z b o c 被0 1 ) 平分，如图6 图6 为了用c r d ( a ) 柏c 来表达c 坩( 等) = d c ，在彳c 上选一点e ，使得他哥岱。那么4 肋 与4 e d 全等，从而b d = d e 。由于b d = d c ，因而d c = d e 。如果从d 作e c 的垂线 d f ，则有： c f 。丢= 三似c 一彳) 一丢( 彳c 一彻) = ( 2 r c r d ( 1 8 0 一嘞。 但由于三角形a c d 与d c f 相似，因而a c ：c d = c d ：c f ，因此 c r d2 e ) 。c d 2 。a c c f 。r ( 2 r c r d ( 1 8 0 一口) ) 。 将上式用现代符号表示即得： ( 2 r s i n 争2 i r ( 2 r 一2 r e o s 争 或者，如用2 口代替口，得： ，口 l c o s 口 s l n 一= 22 这正是标准的半角公式。希帕霍斯在运算过程中得到的三角学公式不仅是以上两 个，还包括s i n ( a 卢) - s i n a c o s f l c o s as i np ( 表示成现代符号) 等，这些表示三角形角 与边之间关系公式都是用纯粹的几何学知识推导而得。利用这些公式，希帕霍斯轻而易 举地算出了从7 三。到1 8 0 。，以7 三。为间隔的任意角的对弦值。例如，对c r d ( 6 0 。) 应 用三次上面的半角公式，就得到c r d ( 7 1 。) ，再利用补角公式就得到c r d ( 1 7 2l _ 。o 用这种 方法算出来的弦表虽然所含元素数量有限，但足以使希帕霍斯在求解三角形的问题上取 9 三角学历史研究 得一定进展，并利用它们完成天体模型。据说希帕霍斯写了1 2 本有关圆内接弦计算方 法的书，( 【3 1 第2 4 页) 但遗憾的是原著均已经遗失。而最确凿的证据还是古代最有影 响力的天文学，三角学著作，克劳蒂乌斯吒勒密( c l a u d i u sp t o l e m y ) 的大成) ) ( a l m a g e s t ) 。 1 3 2 托勒密和( 大成 希腊天文学家，数学家克劳蒂乌斯托勒密( p t o l e m y ，约1 0 0 卜_ 1 7 0 年) ，长期居住 在亚历山大，并在那里进行了大量的天文观测。与大多数注重纯粹逻辑思维的数学家不 同，他更侧重于实践与应用。他的著作论述范围广，包含天文，地理，音乐，几何与光 学等方面。例如，在地理学方面，他制造了星盘和角距测量仪，并在著作地理学 ( g e o g r a p h y ) 系统地阐述了地图制作技巧，讨论了为制作地图所需要的投影知识，并 记录了世界上8 0 0 0 多个已知地和它们对应的经度与纬度。他制作的地图闻名于世且是 中世纪之前最标准的世界地图。然而，托勒密否定了前人埃拉托塞尼( e r a t o s t h e n e s ，约 公元前2 7 6 - 约公元前1 9 5 ) 计算地球大小的正确结果，两者之间矛盾后来引发哥伦布 的航海旅行，并发现新大陆。 如今托勒密最享盛名的著作是大成，约成书于公元1 5 0 年前。起初托勒密为之 取名为数学大全( m a t h e m a t i k is y n t a x i s ) 【8 l ，在流传若干世纪后被誉为伟大的文集 ( m e g i s t is y n t a x i s ) ，当阿拉伯人将这部著作译为他们自己的语言时，保留了形容词“最 成功的”( m e g i s t i ) ，加了一个连接词“这个 ( a 1 ) ，从此便以大成( a l m a g e s t ) 闻名 于世。我们在搜索相关资料时发现国内对此书译名也颇复杂且至今未统一，如还有将其 译为至大论或天文集等。1 9 j 全书共1 3 卷。书中对希腊人的宇宙模型给出了完整的数学描述，并包括有太阳， 月亮和行星的各种运动参数。因为从此书问世开始到1 6 世纪，它一直是西方最有影响 力的天文著作，并经历了无数次的翻印、分析和研究，因此大成一书是古希腊天文 学的光辉顶点，它取代了这一课题的所有早期的著作。天文学家能够创造出数学模型， 对自然现象进行一种定量描述，由此可靠地预测，对于这一点，没有任何一本书能比大 成更具震撼力。不管是在阿拉伯国家，还是在西方国家，直至包括哥白尼的工作，这 期间几乎所有的天文工作都是建立在托勒密的这本杰作基础之上。 1 3 2 1 弦表简介 在书的一开始，托勒密首先对古希腊人的宇宙概念作了简单的介绍，紧接着给出计 算行星位置所必需的相关平面三角学与球面三角学的数学知识。首先，托勒密创造出比 希帕霍斯弦表更完整的弦表，位于大成一书的第十章与第十一章。托勒密列出了从 ( 1 2 ) 。到1 8 0 。，且以( 1 2 ) 。为间隔的弦表，并且找出了一种能在已算好的两个值之间 的插值方法，同时考虑到原来的r = 5 7 1 8 在计算中很不方便，他采用了r = 6 0 。这是六 十进制中的单位值，托勒密的全部计算都运用巴比伦的六十进制。 在表格中他将六十进制与希腊字母结合，为希腊字母表中每个字母都赋以数值，如 1 0 三角学历史研究 口一1 ，卢一2 等，这样阅读他的表格需要掌握其间的规律。例如7 。角，用希腊字母耋表 示，对应的弦长为7 ；1 9 ，3 3 ，将结果转化为十进制为7 + 1 9 + 二生= 7 3 2 5 8 3 ( 记作扣觎， 6 03 6 0 0 其中f ，口，a ，y 分别表示1 0 ，9 ，3 0 和3 ) ，而现代计算出的真实数值为7 3 2 5 8 2 ，误差仅在 小数点第5 位。( 【3 】第2 6 _ - 2 7 页) k ，v | ；v ，o ，f 函 v 鬈i ；- a v 0 a “石， 艮矿c 厶响 k “o v r o ，1 “，t v 譬 一v 汹， 霄i p 岬 e 0 乳函y 乏专p t 西 皿朝艿 幽鸸，耐纠居 , e t u v c亨h 誓 铲奠多， 主句j 3 ，o ；，z 钰 一芦，7 - 碜vi i ；z 5 9；i z ， f 盘舶t铲- 苫， i i i ：n i 箩口；i 2 5 口 z z ： ：，z 釉 一p 粒苫 钞* 移膏 z 主2 ；t 7 誓 ；，2 ，_ 寥 咨f 一 产 ，冷 审“参k 蠢 ； 3 ：矗z 8 0 ：z 1 8 驴 铲参“ 3 r毛3 9 纪 o ；z q 8 q 也l i ，j 口；工q 7 3 一至学孳一 铲kq 皇q ：，2 v 口 o ；i 之q 7 摹 ，；i 崎簟 o ；i z e 铲* 一k 舌5 量 髯- f 筝，筇o i ，2 q 手 e r 芎 葺 “守 铲* 一曲 ；_ 多 口：i ，z ，勺_ r反l f 8 o ；i ，z t q ， 7 瓦，惦 矿k 邸 ，r 磊9 ，彭o ；，2 q 二 ； 一专， 穸* 吕k 西 7 ：釉5 誓o ：。2 吁i -i 7 ，5 z 7 ：【w 厅 r 7 侈a 7 q i “兜射，勺，o ：0 z 钐 1 7 5 易，s o ；0 z 。5 o 7 a 哥如k 铲节务k 7 5 i q ：5 ，z 7 0 ；0 2 ，加p o e z o f 铲pi - 7 吩：5 ，；5 0 ：o 上 f ，o 二。钞。矿& 卜1 l 哆：g 3 9口；0 1 誓7 p o 弓毋9 与 p可可“aj 7 7 l i 哆：5 7 。3 zp ：0 i 3 0 夸。亏r 蠢霉妻 ，矿蠢沾。 1 7 7 r1 1 9 ：卵，1 5 口；0 1 峰 碧靴一 7 矿才，二i7 $ i l 笺5 8 跖 ；口，7 铲钞穸舭 l 郊1 1 1 9 ；功。z , o lo o v ， 7 才亨k t 1 7 ， i l ，：钐， y口：o o z r 矿7 可哥 1 7 ，f“亨；易必o ；0 ，o 夕 刍。秒 f ，c 万节 可7 矿7 1 8 矿 l c o ；0 ，oo ；o ，口0 乡。仔 p 佑 图7 托勒密弦表的一部分 托勒密的表格中弦长的精确度为两个六十进制，即1 3 6 0 0 ，在如今的大部分计算中 也足以够用。表格中还有一个专栏名为“六十分之一 ，目的是可以使读者连续地插入 增量，这一列的实质内容是角度每增加( 1 2 ) 。，弦长增加值的三十分之一。表格中的 计算相当复杂，而托勒密对大量的计算都只摆出结果，因此我们认为托勒密一定是依靠 了大量的“计算员 来从事这种冗长乏味却又是不可缺少的工作。 1 3 2 2 弦表的计算 托勒密弦表的计算大体可以分成三部分，首先他根据欧几里得原本【6 】中的定理 计算出一些基本弦值；其次根据前人的三角学公式方法，如希帕霍斯的半角公式计算出 一 三鱼兰望叁壁垄 一 一部分弦值；最后，他证明了一个新定理，并根据从中推出来的和角与差角公式完成了 他的弦表。( 1 7 】第1 1 卜1 1 8 页) 首先托勒密计算了3 6 。的对弦，即圆内接十边形的边长，如图8 ， b a肜心 c a d c 是以d 为圆心的圆的直径，b d 垂直于彳d c ，e 平分d c ，取点f 使得e f = e b ， 根据原本i i 一6 ，得 c f f d + e d2 一e f2 一b e 2 所以c f f d ；b e 2 一e d 2 - b d 2 一c l d 2 从而d 以黄金分割比分割c f 。又根据原本x i 叫，若将同一个圆的内接正六 边形和正十边形的边排成一直线，则其交接点分割这条直线段成黄金分割比。因为半径 c d 与圆内接正六边形的边长相等，因此托勒密证明了d f 是正十边形的边长，也就是 d f = c r d ( 3 6 。) ，且 d f ：e f e d 。e b e d ；4 n d + e d 2 一e d = 3 6 0 0 + 9 0 0 3 0 = 3 7 ；4 ，5 5 再根据原本xi i i 一1 0 ，正五边形的边长的平方等于正十边形的边长的平方与正 六边形的边长的平方之和，又因为c r d ( 6 0 。) = 尺= 6 0 因此 c 以( 7 2 。) ；c 以2 ( 6 0 。) + c r d2 ( 3 6 。) 一尺2 + c r d2 ( 3 6 。) 一7 0 ；3 2 ，3 此外，还有一些显而易得的结论： c r d ( 9 0 。) ；、厨；而；8 4 ；5 1 ，1 0 c r d ( 1 2 0 。1 。孬1 0 3 ；5 5 ，2 3 由于存在公式洲2 ( 1 8 0 一口) ；( 2 尺) 2 - c r d 2 a ，因而 对于任何一个已知其对弦值的角度，托勒密也能算出其补角的对弦值。因此仅仅从欧几 里得的几何命题出发，他已经能得到一些角度的对弦值，为构造弦表的工作起了一个良 好的开端。 接下来的弦表制作过程中除了借鉴希帕霍斯的三角学公式外，托勒密还创新地应用 了一则定理托勒密定理。定理的内容是：给定一个圆内接四边形，对角线的乘积等 三鱼兰里叁竺壅 一一_ 一 于两对边乘积之和。如图9 【1 0 l 应用三角形相似和等