（通信与信息系统专业论文）量子卷积码的构造及其编译码方法研究.pdf

摘要 量子计算技术凶其强大的计算能力，近十几年来，引起了人们极大的兴趣。 然而，要使量子计算机成为现实，一个核心问题就是克服山消相干带来的量子噪 声。量了纠错码是迄今为止克服量了消相干最佳的有效方法之一。量子纠错码属 于以经典信息处理科学和量子力学为基础的新型跨学科交义领域，它是量子信息 科学领域中的一个重要组成部分。 本论文就量子卷积码中的若干问题进行了研究。根据经典卷积码的构造原理 和量子稳定子码的特点，给出了由经典卷积码构造量子卷积码的充要条件，并构 造出一类结构更为简单的量子分组码。首次提出了两种不i 司的 c a i d e r b a n k s h o r s t e a n e ( c s s ) 型量子卷积码的编泽码方法。方法一将码宁基态变换 为信息多项式与牛成多项式的乘积，然后用量r 态上的多项式乘法操作实现编译 码网络。方法二计算得剑其稳定子与编码算子的标准型，将传统的量子分组码的 编译码方法扩展到量子卷积码领域。借豁经典卷积码的译码思想，给出了具有线 性复杂度的量子v i t e r b i 算法。 关键词：量子信息量子纠错码量子卷积码自正交编译码多项式乘法 标准型纠错算法 a b s t r a c t q u a n t u mc o m p u t e rh a si n t e r e s t e dp e o p l eg r e a t l yf o ri t sr e m a r k a b l ec o m p u t a t i o n c a p a c i t y h o w e v e r , t om a k eq u a n t u mc o m p u t e rp r a c t i c a l ，i ti sn e c e s s a r yt of i n dt h e e f f e c t i v em e t h o dt ow i nt h r o u g hd e c o h e r e n c e q u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d ei so n eo f g o o dm e t h o d st og e to v e rd e c o h e r e n c e b a s e do nt h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o nt h e o r ya n d q u a n t u mm e c h a n i c s ，q u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d ei so n eo ft h en e w e s tc r o s s - l i n k e d r e s e a r c hf i e l d s ，h e n c ei th a sb e c o m eas i g n i f i c a n tp a r ti nq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h es t u d yo fs e v e r a lp r o b l e m si nt h et h e o r yo fq u a n t u m c o n v o l u t i o n a lc o d e s b yt h ec o n s t r u c t i o np r i n c i p l eo fc l a s s i c a lc o n v o l u t i o n a lc o d e sa n d t h ec h a r a c t e r i s t i co fq u a n t u ms t a b i l i z e rc o d e s ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o c o n s t r u c tq u a n t u mc o n v o l u t i o n a lc o d e sf r o mc l a s s i c a lc o n v o l u t i o n a lc o d e si sp r o v i d e d ac l a s so fq u a n t u mc o d e sw i t hs i m p l eb l o c ks t r u c t u r ei sa l s og i v e n t w on e wm e t h o d s f o r e n c o d i n g a n d d e c o d i n g o f c a l d e r b a n k - s h o 卜s t e a n e ( c s s ) 一t y p eq u a n t u m c o n v o l u t i o n a ic o d e sa r ep r e s e n t e di nf i r s tt i m e i nm e t h o do n e ，t h eb a s i ss t a t eo ft h e c o d e sa r et r a n s f o r m e di n t ot h em u l t i p l i c a t i o no fa ni n f o r m a t i o np o l y n o m i a lb yt h e g e n e r a t o rp o l y n o m i a l t h e nn e t w o r k sc a nb er e a l i z e dw i t ho p e r a t i o n so fp o l y n o m i a l m u l t i p l i c a t i o n i nm e t h o dt w o ，t h es t a n d a r df o r mo fs t a b i l i z e r sa n de n c o d i n go p e r a t o r s a r eg i v e n t h et r a d i t i o n a lm e t h o do fe n c o d i n ga n dd e c o d i n go fq u a n t u mb l o c kc o d e si s e x p a n d e d t ot h ef i e l do fq u a n t u mc o n v o l u t i o n a lc o d e s i n s p i r e d b y c l a s s i c a l c o n v o l u t i o n a ld e c o d i n gi d e a ，aq u a n t u mv i t e r b ia l g o r i t h mw i t hl i n e a rc o m p l e x i t yi sp u t f o r w a r d k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o nq u a n t u me r r o r - c o r r e c t i n gc o d e sq u a n t u m c o n v o l u t i o n a lc o d e s s e l f - o r t h o g o n a ie n c o d i n ga n dd e c o d i n gp o l y n o m i a l m u l t i p l i c a t i o n s t a n d a r df o r m c o r r e c t i n ga l g o r i t h m 西安电子科技大学 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，木人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致调 中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果：也不包含为扶得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了i ! j 确的说 明并表示了谢意。 本人签名：牌 日期2 竺堕! ! ! 拿 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 木人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查i 蒯和借阅论文；学校可以公布论文的伞部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证， 毕业后结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名：孚勾弱 导师签名： 蝉斟 期 期 h 日 筇一章绪论 第一章绪论弟一早三：百下匕 1 1 量子纠错码研究背景及意义 二十1 i = 纪科学史上的一个重人发现是量子论。它揭示了物质的微观：界遵循 的是量子规律，世界的本源是量子的；经典物理对物质世界的捕述仅在宏观条件 下是正确的，经典的物理规律是量子物理规律在宏观条件下的近似。 在信息时代，物质、能量、信息是人类赖以生存的三大资源。量子信息科学 是物理科学与信息科学交叉融合产生的新兴学科领域，其研究涉及到物理、通信、 计算机、数学等多个学科。量子特性在信息领域中有着独特的功能，在许多方面 可能突破现有的经典信息理论的极限，冈而量子力学便首先在信息科学中得到应 用，一门新的学科分支量子信息学，也应运而生。该学科以量子力学的基本 原理为基础，主要研究量子信息处理，近年来在理论和试验，卜都取得了重大的突 破。量子信息科学的发展为未米信息科学的革命性变革提供了可靠的物理基础， 为信息科学住二十一世纪的发展提供了新的原理和方法。 】9 9 4 年，s h o r 等人在量，迭加性和相十性这一量t 。r 最本质特征荩础上提出了量 子并行计算的量子计算机理论，给出了大数冈数分解的量子多项式时间算法，并 且说明可以实现经典计算机不可比拟的信息处理功能。这一理论的提山，立即引 起了各国政府及学术界的高度重视。近几年来，有关量子计算和量子计算卡几【卜2 3 1 、 量子纠错码 2 4 - 5 2 】、量子通讯1 5 36 1 1 量子密码 6 2 - 7 2 】、量子信息【7 3 - 8 3 的理论和实验研 究迅猛发展，使得信息科学跨入了量子信息的新阶段。 在当前信息技术飞速进步的时代，信息安全得到了越来越多的重视，可以说， 信息礼会必须建立在信息安全的基础上，防止信息传送的过程中被窃听则是信息 安全的最基本部分。目前绝大部分的防窃听手段都是建立在经典密码学的基础上， 它是利用计算的复杂性来确保窃听者在没有解密密钥的情况卜，在有限的时间内 无法完成破译所需的大量计算，从而保证信息安全。 但是随着经典密码学的j 泛应用，新的问题又暴露了出来。首先，人们并没 有完伞证明破泽的运算量是现有技术所无法完成，比如我围学者王小云教授就提 鞋子卷积码的构造及其编i 千码方法研究 出了一种有效的攻击方案，破解了在信息安全领域得剑广泛戍用的m d 5 算法。更 让人担忧的是，也许一些重要加密算法实际上已经被某些国家破泽，但是它选择 了不公开，在二二次世界大战中美国就有过这样的例j r ，这帮助他们获得了大量的 ， 情报，直到其它国家的学者重新发现了破译方法，美国政府才公丌承认。另外， 随着计算机技术的飞速发展，人们一旦拥有足够的计算能力，在原则上，这种基 于计算复杂性的经典加密方法都是可以被破解的。尤其是一旦基于s h o r 提出大数分 解量子算法的量子计算机投入使用，那么传统的r s a 公钥体系将全面崩溃，人们 通过量子计算机可以轻易地破解密钥得n d i ：l 密信息。整个经典保密通信体系对于 窃听者将完全透明。 面对如此严峻的挑战，人们丌始寻找一种在物理荩本原理上能够证明绝对安 全的通信手段。量子物理正好为我们提供了解决通信安全性的全新途径。量子通 信的安全性依赖于量子力学中的量子态迭加原理、海森堡测不准原理、单光子不 可分割性和量子1 i 可克隆定理。这些量子力学基奉原理客观存在于任何微观量子 体系中，保证了未知的量子态不可以被精确复制，凶此采用量子态作为信息载体 能够准确的检测出是否存在窃听，从而征物理基木原理上确保了万无一失的安伞 通信。 当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法，且遵循量子力学 基本规律时，它就是量子计算机。量子计算机突出的优点有两个，首先是它能够 实现量子并行计算，加快计算的速度，提高信息存储能力；其次，它能够模拟量 子通信系统，这是经典计算机无法胜任的。无论量子并行计算还是模拟量子通信 系统，本质上都是利用了量子相r t 性。然而，在实际环境中，量子计算机的量子 态不是孤立的，它时刻与外部环境发生相互作用，破坏量子态间的相干性，导敛 量厂消相十。因此，要使量r 计算机成为现实，一个核心问题就是克服南消相干 带来的量子噪声。此外，源。丁量子门的不精确性产生的信道噪声也是量子计算机 必须克服的另一人障碍。研究证明，量子纠错码是一种能克服量子信道噪声的编 码方案，它能使量子计算机在有噪声的环境中能有效的计算，也能使量子消息在 带噪声的罩子信道卜实现可靠的通信。：茕子纠错码是罩：子信道编码中的最重要的 内容之一，也是量子信息科学领域中一个令人激动人心的发展。一方面，通过量 子纠错码的研究，使人们看到了克服消相干减少信道噪声的希望，促使量子计算 机和量r 信息在噪声信道中口j 靠传输等问题从梦想叟为现实：另一方面，量r 纠 第一章绪论 错码足经典纠错码的量子推广和拓展，在量子纠错码领域中的理论研究将大大促 进人们对量子力学和经典信息理论这两门科学的深入理解。目前，量子纠错码已 经成为量了信息科学领域最热门的研究课题之一，其发展速度令人惊叹，但遗留 下来的问题也还有很多，例如，如何设计纠错性能高且操作方法简便的量子纠错 码以及如何把量子纠错码应用到实际中等问题都面临着巨人的挑战。 量子纠错码理论的研究紧扣国家重大需求问题，量子纠错码技术可望大幅度 提高信息传输的安全性、信息1 擘输通道容量和效率等，是未来信息技术发展的重 要战略件方向，并极有可能引起诸多科学和技术领域的革命，对绎济和社会的进 步产生难以估量的影响。 对量。r 纠错码理论的研究是当前国际上量了通信科学领域的热点。以量r 纠 错码技术为基础的量子通信止在成为发达国家激烈竞争的焦点。并极有可能对人 类社会经济发展产生难以估量的影响。据估计，在未来2 0 年左右，量子通信可望 在全球形成几千亿美元的相关产业。 我国政府也高度重视骨= 子纠错码技术的发展，存国家中长期科学和技术发展 规划纲要中将量子渊控研究列入重大科学研究计划。发展量子信息学、量子通信、 量予纠错码等未来信息基础技术，具有明显的前瞻性。 1 2 量子纠错码研究及进展 量_ 了态的不可克隆性、相干性和连续性等量了物理特性决定了量了纠错编码 与经典纠错码有着本质的机理不同，然而，这并不影响量子纠错码作为一个崭新 且有着罩要研究价值的领域引起人们的罩视。 19 9 5 年，为了克服量子消相干等效应在量子信息处理中引起的负血影响， s h o r t 8 4 】根据量子力学原理和信息论原理，将复杂且连续的量子错误模式归结为三 种基本类犁的最子错误的线性组合，利用量子位重复码成功构造了第一个量子纠 错方案，即利用9 个量子位编码一个量子位的信息，它能纠正任意的一量子位错误。 自从量了纠错码出现后，它逐渐地成为提高量了计算和量了通信性能的一种手段， 并迅速溶入通信、计算机和物理等研究领域。 1 9 9 6 年，s t e a n e t 8 5 , 8 6 i 利用与- s h o r 不同的方法通过研究多罩粒子纠缠念的性质提 量子卷移j 码的构造及其编译码方法研究 出了量子纠错码方案。由s t e a n e 并i s h o r 构造的量子纠错码称为加性量子纠错码，足 经典线性分组码的量子类似，也是目前研究最多的一类量子纠错码。山他们提出 的量r 纠错编码思想，为解决量二f 操作中的误码等问题提供了有效的解决方法， ， 也为量子计算机战胜量子噪声等冈素的影响提供了重要的武器，标志着量子纠错 码的诞生。 量子纠错码构造理论随着各种不同的编码方案的发展而刁i 断地得到完善和发 展。1 9 9 6 年，s t e a n e 8 6 1 ，c a l d e r b a n k 和s h o r 【8 7 】采用经典线性分组纠错码的思想，利 用两个特殊的经典二元纠错码设计了量子纠错码的第一个系统的构造方法，即 c a l d e r b a n k s h o r s t e a n e ( c s s ) 构造法，该方法构造的量子纠错码称为c s s 码；此 外，c a l d e r b a n k 和s h o r 还利用非构造性的方法证明存在纠错性能渐近好的c s s 码， 并证明了c s s 码的g i l b e r t v a r s h a m o v 界；同年，b e n n e t t 等人【8 8 】发现了5 量子位的量 子纠错码，并首次给出了量子纠错码存在的充要条件；在这个时期，l a f l a m m e 等 人1 8 9 】也基于经典纠错码设计出了类似的量子纠错码。 1 9 9 6 年，为了证明晕子h a m m i n g 界，g o t t e s m a n 9 0 】提出稳定子体系，并引入稳 定子体系的证明方法，定义了稳定子量子纠错码，构造出饱和量子h a m m i n g 界的 量了纠错码；随后，他又阐述了g o t t e s m a n k n i l l 定删9 1 】，且把稳定_ 了体系成功地应 用7 - h a d a m a r d 门、相位门和受控非门牛成正规化子等广泛的问题。 1 9 9 7 年，c a l d e r b a n k 等人【9 2 1 基于经典编码理论，利用实止交群的两个特殊离散 子群建立了量子纠错码的二元正交几何框架，搭建了量子纠错码与二元正交几何 之间的桥梁，独立地发现了种实质卜等价于量子纠错码的构造方法；其次，他 们利用正交几何方法【9 3 1 米分类几乎所有己知的量子纠错码，并证明了一般稳定子 量子纠错码的g i l b e r t v a r s h a m o v 界。 同年，k n i l l 和l a f l a m m e t 9 5 1 基于e k e r t 和m a c c h i a v e l l o t 9 4 1 的早期工作，独自证明 了量子纠错码检错的充要条件和量子s i n g l e t o n 界，并给出量子纠错码最小距离的定 义；随后，g r a s s l 和b e t h 9 6 】明确了纠正删除错误的量子纠错码的物理实质和数学表 示，提出量子b c h 码的概念；此外，r a i n s 等人【9 7 1 考虑稳定子量子码以j l - 的线性量 子纠错码，并构造了许多不同类型的r 旱= 子纠错码；l e u n g - 等a 1 9 8 首次提出并证明了 近似的量子纠错码可以改善码的纠错能力。 在此阶段，量子纠错码的发展多数是基于二元域上的构造和量子纠错码的界 的估计，其构造方法和界的估计是经典纠错码的推广和拓宽，这标志着量厂纠错 第一章绪论 码构造理论的初步建立。 此后，各种不同的编码理论和构造方法相继出现。1 9 9 8 年，z a n a r d i 和 r a s e t t i 9 9 , o o 与l i d a r 等人【1 0 1 1 提出无噪声量了码和无消相十予空间编码，1 9 9 9 年， b a c o n 1 0 2 , 1 0 3 和k n i l l 1 0 4 1 等人不断完善这些编码理论。 1 9 9 9 年，s t e a n e 1 0 5 l 巾- 和c o h e n 1 叫改进t c s s 构造法，确立了s t e a n e 构造法；基于 r e e d m u l l e r 码和二元b c h 码及扩展码得到许多参数较好的量子纠错耐1 0 7 】。 同年，c h a u l l 0 8 1 基于两个线性分组量子码的互相嵌入构造了量子卷积码，拓宽 了量子纠错码的种类。它与线性分组量子码的区别在于，该码不但需要引入冗余 量子位来保护信息，而且在码组之间引入卷积关联，在不增加分组长度的情况下， 有效地增加了码字的约束长度，该码的译码也相刘较为容易，且存在许多快速的 译码算法，资源需求也较少。 随后，v a t a n t 1 首次提出了利用经典的纠错码检测和纠正突发错误的方法，基 于量子c s s 构造法，构造了一种能纠正量子突发错误的量子纠错码方案。与已有的 纠错码方案不同的是他设计的纠错码不但可以纠正单个的随机的量子错误，而_ 日 可以纠正一段长度为d 的量子突发错误。他设计的量子纠错码可纠正错误的突发长 度不超过3 ，量了码的长度分别为1 3 和1 5 。 2 0 0 1 年，依据s t e a n e 构造法，a s h i k h i m 等人0 1 与c h e n t 】先后证明了用代数几 何码构造出纠错性能参数渐近好的量子纠错码；此外，c h e n 等人2 1 证明了利用级 连方法和经典代数几何码可以构造出超过a s h i k h i m l i t s e n t s f a s m a n 界的纠错性能 渐近好的量子纠错码，并构造了距离为3 君1 j 4 ，具有很好参数且码长较短的量子纠 错码3 1 。 2 0 0 4 年，l j 等人4 1 利用分圆陪集和生成多项式刻画了二元域上满足c s s 构造 法干1 1 s t e a n e 构造法的循环码的特性，构造出一些参数较好的量。f - _ 幺q 错码；爿：利用自 正交二元线性码和组合方法【1 15 1 ，对码长大于1 0 的偶数构造出码距为4 的最优或拟 最优的量子纠错码。 如同经典纠错码从二元纠错码推广至忉元纠错码一样，量子纠错码的研究也已 经逐渐地从_ 态罩：子系统扩展到p 态茕子系统，在此基础卜，卅现了许多新颖的构 造方法和理论。 1 9 9 8 年，g o t t e s m a n 6 不n b a i n s 【1 1 7 1 首先构造了扑二进制量子纠错码，并考虑了 此类码的容错计算；同年，c a l d e r b a n k 等人【8 1 将前几年的t 作加以总结和发展， 6 量子卷移j 码的构造及其编译码方法研究 给出量子纠错码的正交群、酉群、辛群三种有限儿何框架，利用有限群的表示理 论和经典的纠错码给出构造量子纠错码的方法，建立了稳定子量子码与四元域上 迹内积自正交经典纠错码之间的联系，证明了加强量子s i n g l e t o n 界和线性规划界。 1 9 9 9 年，g r a s s l 等人9 ，坨0 1 根据c s s 构造法以及s t e a n e 构造法，分别利用二元域 和四元域及其扩域上的b c h 码和r e e d s o l o m o n 码构造出量子b c h 码和量子 r e e d s o l o m o n 码；随后，r a i n s l l 2 1 1 也将_ 态量子系统的量子纠错码推广到p 态量子 系统的革= 子纠错码，并讨论工该类纠错码存在的充要条件。 一j 年，a h a r o n o v 和b e n o r i 2 2 1 基于有限域上的多项式技术构造了非二进制码， 并研究了该码的容错计算。 2 0 0 0 年，b i e r b r a u e r t l 2 3 】利用扭曲码研究p 元量j - f t t 错码的构造方法，利用专门 的代数软件得到了许多的量子纠错码。 2 0 0 1 年，a s h i k h i m - 等人t 1 2 4 1 研究了p 元量子纠错码的错误基、稳定子等问题，并 构造了许多1 i 同类别的量子纠错码。 2 0 0 2 年，s ch i n g e m a n n 和w e r n e r 【1 2 5 1 利用具有两类顶点的赋权图导出最子图码， 实质上利用有限域上的矩阵组合一陛质构造稳定子量子码，证明了每个图码都等价 于一个稳定了量了码的稳定了生成元。 同年，t o n c h e v 1 2 6 1 用图的邻接矩阵导出【 刀，0 ，加 量子纠错码，并证明这样的量 子纠错码包括d 与门渐近成止比的量子纠错码；随后，f e n g l l 2 7 】利用图论并结合数论 和组合的方法，证明存却元量子纠错码【6 ，2 ，3 】和【7 ，3 ，3 】，这两个码达到了量 子s i n g l e t o n # ，然而对于_ 元量子纠错码，仅存在达不到量子s i n g l e t o n的量子码 【 6 ，1 ，3 】和【 7 ，l ，3 】。 2 0 0 4 年，f e n g 和m a t 陀8 1 基于有限域上的酉几何计算理论证明t p 元量子纠错码 的有l 杖g i l b e r t v a r s h a m o v 界，非构造性的推出一些具有很好参数的量了纠错码，并 改进了b i e r b r a u e r 的一些量子纠错码的参数。 至此，在p 元域上量子纠错码的构造方法和原理止逐渐的建立并发展起来，且 量子纠错码作为一个量子信息科学的专门分支理论框架也已经基本形成，正在1 i 断地得以完善和发展。 接下来量子纠错码研究的进展速度略显迟缓，论文也不如前些年那么多了。 2 0 0 4 年，m a c k a v 等人l 他9 1 研究了基于c s s 结构的量子蒯e 图码：2 0 0 5 年，k r i b s 等人 1 3 0 1 提出了算r 量r 纠错的框架；2 0 0 7 年，f o r n e y - 等, k t l 3 i 】对量r 卷积码进行了系统 笫一章绪论 研究。 至此，量子纠错码作为一个量子信息科学的专门分支理论框架已经形成，j 下 在不断地得以发展和完善。国内对量f 纠错码理论的研究尚处于起步阶段。其中 值得一提的就是中国科学技术大学郭光灿院士小组提出的量子避错码方案【6 2 1 和上 海交通人学曾贵华教授小组提出的量子错误事件码【2 1 。此外，西安电子科技火学、 中科院物理所、山西大学、武汉数学与物理研究所、半导体所、清华大学、华东 师大等多家研究单位也都在量子纠错码领域进行了一定的研究。无论从参加的单 位、投入的资源以及取得的成果来说都呈持续上升的态势。 1 3 论文的内容安排及研究成果 木文围绕着量子纠错码理论中的研究热点和难点，研究了量子卷积码的构造、 编译码方法及纠错算法等问题。下面简要叙述一下本文的安排及主要研究结果。 第二章阐述了量厂信息理论的基本概念，重点介纠了分析量r 力学所用的数 学工具，量子纠缠，量子不可克隆及常用量子逻辑门等概念。总结了常见的量子 信道与量子噪声模型，并将量子通信系统归纳为两种基本模型：量子直接通信模 型与量子隐形传态通信模型。 第三章主要介绍量子纠错编码基本原理。系统的总结了s h o r 的9 位晕子码， s t e a n e 的7 位量子码，量子稳定子码，c s s 码等具有重要地位的量子纠错编码方案， 并分析了稳定予码的矢量偶表示方法，最后介绍了量了纠错参数的几个重要门限。 本章t 要作为理解后续章节的理论荩础。 第网章研究了量子卷积码的构造技术。首先介绍了稳定子码与g f ( 4 ) 卜经典码 的对应关系，并给出了利用g f ( 4 ) 上经典卷积码构造量子卷积码的充要条件，定义 了量子卷积码稳定子的表示形式。此外，将自止交经典卷积码变换为分组码结构， 构造出一种结构史为简单的量子分组码。 第血章苗先提出了两种不同的茕子卷积码的编译码方法，描述了其编译码网 络。与法一定义了量子态的多项式表示形式，将码字基态变换为信息多项式与生 成多项式的乘积，然斤用量子态上的多项式乘法操作实现。方法二将传统量子分 组码的编译码方法扩展到量r 卷积码领域。给出了c s s 型量r 卷积码矢量偶的多 最子卷积码的构造及其编详码方法研究 项式表示，并计算得到其稳定子和编码算子的标准型。最后研究了具有线性复杂 度的量子v i t e r b i 译码算法。 第六章为全文的总结与展望。 第二章量子信息理论基本概念 9 第二章量子信息理论基本概念 所谓量子信息，是这样一种信息，它在量子力学试验中彼量子系统从制备装 置带到测量设备上。在现代信息处理中所有信息是加载于微观粒子( 如光子、电 子等) 之上的，因此量子信息自然要发挥作用。现在人们可以忽略这一点，仅仅 用经典信息论来捕述所有有关的过程，并且不m 现问题。但是，如果在典型的线 路上元件的大小减小到菜一界限，经典信息论将不再有效，量子信息论将进入角 色。本章主要阐述与本沦文相关的量子信息理论基础。 2 1h i l b e r t 空间 h i l b e 九空间足建立量子力学的主要数学工具。量子念可以用h i l b e n 空禹中的 矢量或函数表示，力学量或可观测量则用h i l b e r t 空间上的算子表示，而系统状态的 时间演化则可以用h i l b e r t 空间上微分方程来刻画。整个量子力学都是建立在上述 事实的基础卜的。 定义2 1完备的复内积窄问称为h i l b e r t 窄问，记为何。h 上的矢量用d i r a c 符号 记为l ) 。 h i l b e r t 窄问上的内积定义为 ( 卜) ：咒咒一c ， p , l j ( 协i b ) ) 三( a l b ) ， ( 2 1 ) 它是一个复数。内积满足如下性质： ( 口m ) + 坳= ( a l b ) + ( a l c ) ( a l b ) = ( 6 ( a l a b ) = 口( a l b ) ；( a a l b ) = 口( a 1 6 ) 其中车表示求复共轭。 最了卷秋码的构造及其编译码方法研究 定义2 2 若两矢量i ) 和i 缈) 满足 ( i 缈) = 0 ， 则称i ) 和i 缈) 正交。一个矢量集 i ”) ) 若满足 似i 缈，) = 瓯， ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 则称为正交归一系。若对冗巾的每一个矢量i y ) 都有 7 ，) = 口，i i f , ) ，= ( ”i 办 ( 2 - 4 ) 则称引彬) ) 为爿的完备正交归一系，简称为正交基。h i l b e r t 空f n - r j 以认为是南正交 基张成的，即 咒= s p a ) ) ，( 2 - 5 ) i ”) 的个数即为7 - t 的维数。由 l y ) = q l i , ) = ( i y ) ( 2 - 6 ) 可以推出 i ) ( ”i = ， ( 2 - 7 ) 式( 2 7 ) 称为基的完备性条件。 h i l b e r t 空问：的算子定义为： p ? h _ h ， 量子力学所讨论的算子都是有界线性算子。咒上所有有界线性算子的集合记为 召( 咒) 。 定义2 3 设l ) ，i 妒) 7 - ，a 侈( 冗) ，若 ( i ( 彳i 妒) ) = ( ( 妒i 爿+ ) l ) + ， ( 2 - 8 ) 则称a + 为笄子a 的j 匕米共轭算子。 定义2 4 设彳侈( h ) ，若彳+ = a ，则a 为厄米算子。对于j 匕米算子，有： ( 1 i 爿i ) = ( 缈i 彳+ i 缈) = ( 沙i 彳i ) 。 ( 2 9 ) 对于算子a ，若存在矢量i a ) 使得： 笫二章量子信息理沦基本概念 彳i 口) = a i a ) ， 口c ， ( 2 1 0 ) 则口称为a 的本征值，i 口) 称为对应于本征值口的本征态，式( 2 - l o ) 称为本征方程。 当a 为厄米算子时，可以证明所有本征值均为实数，即口r 。 定义2 5设u b ( 7 1 9 ，若u + = u ，则u 称为么正变换算子，简称么正算子。矢 量和算子的么正变换分别记为： i y 7 ) = u i ) ； ( 2 - 1 1 ) a = 洲u + 。 ( 2 1 2 ) 么正变换不改变欠量的内积，即： ( 妒i ) = ( q , l u u l ) = ( 妒i ) 。 ( 2 1 3 ) 么正变换不改变算子的本征值，即： 彳l a ) = u a u + u a ) = u a l a ) = 口 ( 2 1 4 ) 此外，么正变换不改变算r 的和与积，故么正变换不会改变算r 之间的代数关系。 2 2 量子位与密度算子 在经典信息理论中，最小的信息单兀是位( b i t ) ，而在量r 信息理论中，最小 的信息单元被称作量子位( q u b i t ) 。经典信息位足一个伟尔变量，取值为0 或l ， 可以被看作二元域z ，上的维欠量，一个刀位的经典信息串可能的取值有2 ”种， 通常用一个刀位长的二进制串表示。而量子位是二维h i l b e r t 窄间冗上的一个矢量， 物理上对应于- 二态系统，如具有两种偏振方向的光j r 或二能级的离。，等。任意单 量子位态矢可以记为 i ) = 口l o ) + 1 1 ) ， ( 2 1 5 ) 式中口和为复数，且满足l 口1 2 + 俐2 = 1 。一个具有疗位量子位的态是2 ”维h i l b e r t 空间上的一个矢量，其荩为 i 班f _ o 2 ”- i 。所以该矢量口j 以表示为 2 ”一l i 妒) = qm ( 2 1 6 ) 量r 卷积码的构造及其编译码方法研宄 其中蚶= 1 。 可以用确定的单一态矢表征的态称为纯念，无法用单一态矢表征的念则称为混 和态。混和态口j 。以用概率分布记为 ( i ) ，p ，) ) ，其中1 ) 是纯态，p 是系统处于i ”) 的概率，p i = 1 。注意i ) - - e ，厄i ) 与 ( i 彬) ，只) ) 的区别，前者是纯态，而 后者是混合态。就测量而言，两者给出的测量结果i 彬) 的概率都是p j ，区别在于纯 态i ) 是i ) 的相干迭加。测阜= 使i ) 发生塌缩，因此可以说是测量制备了f ) ， 而对丁 ( i ”) ，p ，) ) ，测量只不过足排除了其它的可能性，而不是制备了一个新的态。 为了更好的区别纯态和混合态，口j 以用密度算。r 来表征量，体系的状态，纯态 i ) 的密度算子p = i y ) ( l ，有时也称为投影算子。对于混合态 ( ) ，p ，) ，其密 度算子为p = i ”) 只( ”l 。可见，利用密度算子可以统一的表征纯态和混合态的 力学现象。在本文中，通常用密度算子来表示量子系统的状态。 2 3e p r 佯谬与量子纠缠 2 0 世纪初期，爱冈斯坦等人提出 拘e p r 佯谬1 3 3 1 试图证明量子力学是不完备的。 对于纯态 伽老( i o ) 1 1 ) + 1 1 ) | 0 ) ) ( 2 - 1 7 ) 当对粒子l 测量，将以5 0 概牢得到自旋向上的态i o ) ，之后系统将塌缩到l o ) 1 1 ) ， 因此町以1 0 0 地确定粒f - 2 处于白旋向下的态1 1 ) 。由于在统计诠释中系统的塌 缩被认为是瞬时的，故当两粒子类空间隔时，粒子之间存在超光速的相互作用。 根据定域实在论的观点，若能完全确定地预言对某个粒子的物理量测量结果且不 干扰该粒子，那么就应该“存在一个对心于该物理量的物理实在”。这一点与上述 理想试验是不相容的，因此爱因斯坦认为“量子力学是不完备的”。e p r 佯谬的根 源在于经典局域性概念是否适用于量子力学。 为了验订f 经典局域性存晕子力学中的适用性，b e l l 从隐参数理论和定域实1 1 1 ；f 论 第二章量子信息理论基本概念 观点出发，导出了自然界两个分离的部分相互关联程度必须满足的一个不等式一 - - b e l l 不等式【1 3 4 1 。 i p ( p n ，p 2 ) 一尸( p ，p 2 ) i 2 【p ( e ，e 2 ) + 尸( p 7 ，p 2 ) 】 ( 2 1 8 ) 其中p ( ，p 孙，p ，p 7 2 是空间任意四个方向的单位矢量。如果b e l l 不等式成立， 则町以证明爱因斯坦的观点是正确的。然而，大量的试验结果都超出了b e l l 不等 式容许范罔，证实量子非定域纠缠的确存在。 量子非定域性最吸引人的特点在于量子系统有可能处于纠缠态。纠缠态是由 多位量子态构成的复合量子系统巾一类的特殊的量子态，它使得对一个子系统的 测量结果无法独市于其他子系统的测量参数。所谓纠缠态是指处于该态的复合罩 子系统不能表示为各部分状态的直积。通俗的说，就是无论间隔多远，处于纠缠 态的复合量了系统的各个予系统都不能视为相互独立，关联性是纠缠态具有的一 个重要特性。最常用的纠缠念是两个印砌一士粒子构成的纯态： = 击( 1 1 1 ) + i 。) ) ( 2 - 1 9 ) = 击( 1 1 1 ) 一1 0 0 ) ) ( 2 2 。) = 去( 1 0 1 ) + 1 1 0 ) ) ( 2 - 2 1 ) = 击( | 0 1 ) 一1 1 0 ) ) ( 2 - 2 2 ) 以上四个2 量子位纠缠态构成4 维h i l b e r t 窄间一个规范正交基，通常称为b e l l 基， 这些态也被称为b e l l 态。b e l l 态是结构最简单得纠缠态，故在许多场合中得到应 用。针对b e l l 态得制备、测量方法的研究进展在很大程度影响了量子信息和量子 计算的实用化过程。 量子纠缠是量子力学特有的性质，可以用来实现许多经典力学系统难以想象的 工作，也是景子信息处理区别于经典信息处理，并且优于经典信息处理得主要特 点之一。布量子稠密编码，量子纠错编码，量子密钥分配，量子隐形传态，量子 并行计算等重要应用中都有量子纠缠的身影。可以毫不夸张的说，量子信息理论 研究的重点是怎样有效地利用量。r 纠缠来实现各种功能。 帚r 卷积码的构造及其编译码方法研究 2 4 量子不可克隆定理 1 9 8 2 年，w o o t e r s 和z u r e k 在自然杂志上发表了题为“单量子态小司克隆” 的论文6 9 1 ，提出“- 个未知的量子态不可能被完全精确的复制”的论断，他证明 了量子力学的线性特征性禁止对一个未知的晕子态进行精确复制。该论断后米被 人称为量子不可克隆定理。 定理l i t 6 9 1 ( q u a n t u mn o n c l o n i n gt h e o r e m ) 一个未失i i 的量了态不口j 能被完全精确 的复制。 证明：这个定理的实质已经蕴涵在量子态迭加原理之中。设二态量子系统的两个 规范正交荩矢为1 0 ) 和1 1 ) ，根据态迭加原理，任何态i y ) 都。口j 以表示为 l o ) ，10 的线 性迭加 i ) = 口i o ) + 1 1 ) ，l 口1 2 + i 1 2 = 1 ( 2 2 3 ) o n n u 的仞态为i 么) ，则量子克隆过程可以表示为： u i 彳) l ) 寸i 以) i ) l ) ( 2 2 4 ) 当然，1 0 ) 和1 1 ) 也可以被该装置克隆，故 u i a ) i o ) 一i a o ) 1 0 ) 1 0 ) ( 2 2 5 ) u i a ) i i ) 一i a i ) 1 0 1 1 ) ( 2 2 6 ) 带入式( 2 2 3 ) i 彳) i y ) = i a ) ( a 1 0 ) + p 1 1 ) ) = 口i 彳) i o ) + l 彳) 1 1 ) ( 2 2 7 ) 而且么正算子u 满足线性，故量子克隆输卅态为： 口1 4 ) i o ) i o ) + h ) 1 0 1 1 ) ( 2 2 8 ) 若1 4 ) i a 。) ，则式( 2 2 8 ) 表示的态只能推出系统处于混合态，显然不同于需要复 制的纯态i ) i y ) ；若1 4 ) = i a ) ，贝j j a ( 2 - 2 8 ) 表示的态为纠缠态口i o ) l o ) + 1 1 ) 1 1 ) ， 同样也不同十i ) i ) 。所以i ) 不能被u 精确复制。 # 第二章蕈子信息理论基本概念 根据量子不司克隆定理，很答易得刽卜述推论。 推论2 1当且仪当两个量子态正交时，他们才可能被同一量子克降机u 复制。 证明：设量子态i ) 和i ) 可以被u 复制，即 u i a i 驴 。) 一j 4 ) l ) i ) ( 2 2 9 ) u i a ) i ) 一i a i ) m ) m ) ( 2 3 0 ) 而u 为么正变换，因此 ( 。i ( 爿l u + u i 彳) i ) = ( ，i 缈。) = ( i ) 2 ( 41 4 ) ( 2 - 3 1 ) 于l p ，1 4 1 - 1 ，故 1 ( 杪i 纸) i i i 少。) 1 2 ， ( 2 3 2 ) 又南i ) m ) ，故o i ( i ) l l ，因此，当且仅当( 1 t o ) = 0 ，即量了态i ) 和 l ) 正交时，才能满足式( 2 - 3 2 ) 的条什。 量了不可克隆定理在量了信息理论中占据非常重要的地位，一方面，它是量了 密钥分配协议安全性的理论保证。另一方面，它又给量子纠错编码带来了一定的 困难，使得我们不能直接照搬经典纠错码的理论和方法来克服量子通信与量子计 算中的错误。 虽然非正交态不能被精确克隆，但并不排除非精确克隆量子态的可能性。b u z e k 等人先提出了量子态概率克隆机的思想，中国科技大学的郭光灿等则设计了一种 量子概率克降机 6 4 6 5 ，利用段一郭克隆机，可以按一定的概率得到1 f 正交态的精 确复制。量了概率克隆的研究为量。厂计算机提供了新的途径。反过来