（统计学专业论文）广义Gamma分布及Beta分布次序统计量的随机比较.pdf

摘要 随机序近年来在诸多领域得到广泛应用，逐渐成为概率论的一个热点研究领 域。本文主要考虑样本来自非齐次的广义g a m m a 分布和b e t a 分布的随机模型。 设，k ，) f ，- 1 ，2 ，厅，分别为( z ，x ：，x 。) 和，e ，k ) 的第f 个和第 j 个次序统计量，记x o - ( x ( ，) ，j ) ，一1 ) ，x 。) ) 。在第二章中，我们证 明了来自广义g a m m a 分布的两个非齐次样本，如果密度函数中某个参数服从优 化序，而其他参数相同时，两样本对应的极大和极小值统计量或次序统计量x 。与 k 之间存在一般的随机序。对来自b e t a 分布的两个非齐次样本，在一个参数相 同而另外一个参数服从优化序时，两样本对应的极大或极小值统计量之间也存在 类似的一般随机序的关系。 在第三章中，我们证明了上述两个非齐次样本，在密度函数中某个参数服从 强p 1 a r g e r 序而其他参数相同时，两样本对应的极大或极小值统计量也存在一般 的随机序，充实了第二章的结论。 本文的结论包含并推广了以往关于指数分布族在尺度参数服从优化序而形 状参数相同时，次序统计量的随机序的研究成果，并首次讨论了形状参数服从优 化序而尺度参数相同时，次序统计量的随机序；而参数服从强p l a r g e r 序时，尚 未见到与本文中广义g a m m a 分布和b e m 分布的次序统计量的随机不等式相类似 的结果公开发表。 关键词：一般随机序，广义g a m m a 分布，b e t a 分布，优化序，s c h u r 函数， 巩，p l a r g e r 序 a b s t r a c t s t o c h a s t i co r d e r sa n dp r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e sa r eb e i n ga p p l i e dw i d e l yi nm a n y a r e a ss u c ha ss t a t i s t i c a l p h y s i c s ，r e h a b l h t yt h e o r y , q u e u i n gt h e o r y , i n s u r a n c e m a t h e m a t i c s ，e t c t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t et h es t o c h a s t i ci n e q u a l i t i e s o fo r d e rs t a t i s u c sf r o mh e t e r o g e n e o u sg e n e r a l i z e dg a m m ad i s t r i b u t i o n sa n db e t a d i s t r i b u t i o n s i 就x t l ) ，i j ) ，f ，j = l 2 ，以，b e t h eo r d e rs t a t i s t l c so f ( 墨，肖2 ，工。) a n d ，e ，k ) a n dd e n o t ex o 一( 1 ) ，五。) ) a n d 。1 ) ，磁) ) i nc h a p t e r2 ，i f t h es a m p l e sc o m ef r o mt w oh e t e r o g e n e o u sg e n e r a l i z e dg a m m a d i s t r i b u t i o n s ，a n do n e t y p eo fp a r a m e t e r ss a t i s f i e sm a j o r i z a t i o n w ep r o v et h a tt h e r ei sr e v e r s e du s u a l s t o c h a s t i co r d e rb e t w e e nt h el a r g e s ta n ds m a l l e s to r d e rs t a t i s t i c so rm u l t i v a r i a t eu s u a l s t o c h a s t i co r d e rb e t w e e n x oa n d a s f o rt w oh e t e r o g e n e o u sb e t ad i s t r i b u t i o n s ， t h e r ei sa l s ou s u a ls t o c h a s t i co r d e rb e t w e e nt h el a r g e s to rs m a l l e s to r d e rs t a t i s t i c s i nc h a p t e r3 ，i ft h es a m p l e sc o m ef r o mt w oh e t e r o g e n e o u sg e n e r a l i z e dg a m m a d i s t r i b u t i o n so rb e t ad i s t r i b u t i o n s ，a n do n e t y p eo fp a r a m e t e r ss a t i s f i e ss t r o n gp l a r g e r o r d e r , w es h o ws i m i l a rr e s u l t sa sc h a p t e r2 s o m ee a r l i e rm s u l t sa b o u ts t o c h a s t i cc o m p a r i s o no fo r d e rs t a t i s t i c sf r o m e x p o n e n t i a l a n dg a m m ad i s t r i b u t i o n sa r es h o w nt ob e s p e c i a l c a s e so fo u r c o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：u s u a ls t o c h a s t i co r d e r , g e n e r a l i z e dg a m m ad i s t r i b u t i o n , b e t a d i s t r i b u t i o n , m a j o r i z a t i o n , s c h u rf u n c t i o n s ，砰；，p l a r g e ro r d e r 2 第一章绪论 本章旨在对全文研究的问题作一个简单的介绍。我们首先在1 1 中对随机 序的研究情况作简要的综述；1 2 侧重介绍本文中所要涉及的基本概念和性质， 这些内容是推导本文主要结论的基础；而1 3 则概括介绍了后续各章的主要内 容。 1 1 引言 随机序描述的是随机变量之间的一种不等关系，最早对其的研究始于h a r d y , l i t t l e w o o d 和p o l y a 1 9 5 2 1 。在这部关于不等式的名著中，作者引入了一阶停止 损失序，用以刻画非负向量之间的优势关系。此后，学者们提出了各种关于随机 变量以及随机向量的随机序。随机序和概率不等式在统计学，可靠性理论，排队 论，保险精算及风险管理等领域越来越成为不可或缺的研究工具。s h a k e da n d s h a n t h i k u m a r - 1 9 9 4 1 和m u l l e ra n ds t o y a n 2 0 0 2 1 全面而系统的介绍了随机序 的知识。 在众多的随机序中，研究得比较多的是随机凸( 凹) 序，单调凸( 凹) 序， 一般随机序，似然比序，d i s p e r s i v e 序等。由于常见的效用函数都假定具有凸( 凹) 性，因此凸( 凹) 序在风险管理里应用比较广泛。一般随机序由于直接考虑分布 函数，研究起来简单，并且在可靠性理论里经常应用。似然比序是比较强的一种 序，在多维的情形下有时被称为z 只序。而依赖于分布函数的尺度参数，与位置 参数无关，描述不同分布函数散布程度的d i s p e r s i v e 序也是被经常研究的一种随 机序。 对于随机变量的随机序一般只需直接考察分布函数或者密度函数，根据定义 来验证。而常见的分布，例如寿命分布或损失分布，均由一个或两个参数唯一确 定，因此对单个寿命分布或简单样本的随机比较可以通过比较其对应的参数来实 现。而向量的随机序的关系则相对复杂，往往不直接研究多元密度函数，而是借 助比较分量以及考虑分量间的相依关系来确定随机向量间的关系。由于此前齐次 样本的随机序有众多的研究成果，而非齐次样本的研究结论相对较少，因此对非 齐次样本的随机比较日益引起学者们的兴趣。当前研究的重点是来自非齐次或者 相依的随机向量的统计量的随机比较，本文研究的正是此类样本的次序统计量及 其向量所对应的一般随机序。 对于非齐次样本的次序统计量的随机比较，较早的是s e n 1 9 7 0 的文章， 他证明了一个非齐次样本和一个简单样本所对应的极大和极小值统计量间的一 3 般随机序。p l e d g e ra n d p r o s c h a n 1 9 7 1 进一步证明了风险函数成比例的样本， 在比例系数具有优化序时，次序统计量l 日】的一般随机序的关系。k o c h a ra n d k o r w a r 1 9 9 6 ，k o c h a ra n dr o j o 1 9 9 6 进一步讨论了这个问题，他们证明了 由风险函数成比例的样本而来的标准空间( n o r m a h z e ds p a c i n g ) 变量间的随机序的 关系。此外，b a p a ta n db l e g 1 9 8 9 ，b o l a n d e ta 1 1 9 9 4 “1 9 9 6 ，k o w a ra n d k i r m a n i 1 9 9 5 也对独立但不同分布样本的次序统计量或者标准空间的随机序 作了讨论。p r o s c h a na n ds e t h u r a m a n 1 9 7 6 以及b a l l 1 9 8 5 独立讨论了来自 风险函数成比例的非齐次随机模型，n u 1 9 9 5 强化了这些结论并推广了b a r b o u r e ta 1 1 9 9 1 的结果。对于样本来自d f r 型分布等寿命分布的非齐次模型，相 当多的著作都有论述，然而对非d f r 型分布的研究却并不充分。 由于一般的非齐次样本研究起来比较困难，上面提到的研究都是基于参数的 优化序进行的。b o n 和p a l t a n e a1 1 9 9 9 1 提出了p 1 a r g e r 序，这是对优化序的一 个有益补充。k h a l e d ia n dk o c h a r 2 0 0 0 ， 2 0 0 2 都利用参数的这种序关系讨 论了来自非齐次样本的次序统计量，标准空间或者样本卷积的随机序关系。 最近，s u n , la n dz h a n g , x 2 0 0 5 得到了两个具有相同的形状参数且尺 度参数满足优化序的g a m m a 分布的次序统计量的随机序的性质，却未阐明尺度 参数相同而形状参数满足优化序时次序统计量的随机序的关系。本文讨论了两个 具有相同的形状参数且尺度参数满足优化序的广义g a m m a 分布的次序统计量的 随机序的性质，还推导出了尺度参数相同而形状参数满足优化序时次序统计量的 随机序的结果，推广了s u n ，la n dz h a n g , x ，的结论。另外，我们还得到了一个 参数相同且另一参数满足优化序的两个b e t a 分布的次序统计量的随机序的关系。 类似优化序，我们在参数服从强p 1 a r g e r 序下得到了广义g a m m a 分布和b e t a 分 布次序统计量的随机序的结论。 对于一般意义的非齐次样本，由于分布的未知性，很难有一般的结论。因此 对非齐次的样本的随机序的研究往往基于具体的寿命分布，尤其是指数分布， g a m m a 分布，w e i b u u 分布等。本文中研究的广义g a m m a 分布的随机序包含了 上面所列的情形，而有关b e t a 分布的随机序的结论却是以往研究中少有论述的。 1 2 有关概念及性质 定义1 2 1 随机变量z 在一般随机序意义下比l ，小，记为x 。y ，如果它们的分 布函数满足如下不等式 乓( f ) 耳( f ) 或者所有的生存函数满足不等式 4 目o ) s ( f ) 此处t 为所有使分布函数大于零的实数。 一般随机序是最直观的随机序，也是应用最为广泛的，它反映了分布函数或 者生存函数点对点的比较。除了上面两个式子，一般随机序还有一个等价定义： 不等式e 妒僻) s 却) ，如果对所有使期望存在的单调增函数矿均成立，则 称x s 。y 。 上面介绍的是一元的一般随机序，下面我们给出多元的一般随机序的定义， 其表达式与一元时类似。 定义1 2 2 设z 一( 墨，z ：，瓦) 和y 一，k ，e ) 为两个阼维随机向量，如果不 等式e 矿( x ) s e 妒( 聊，对所有使期望存在的单调递增有界的多元函数均成立， 则工s 。y 。同样的，多元的一般随机序也有一个等价定义： 如果对所有的u p p e rs e t 集u ，e ( x u ) p e u ) 都成立，则称x 在一般随 机序下比y 小。 下面接着介绍考察向量中分量的分散程度的优化序( m a j o r i z a t i o n ) 。 定义1 2 3 设a n ( ，九) ，肛n ( h ，以) 为两个n ( n 苫2 ) 维实值向量，设 1 ) s 2 ) s s 。) 为a 从小到大的次序量，( 1 ，p ( 2 ) s ，为从小到大的次 序量，如果 荟，s 荟肛 对所有m 一1 ，n 一1 均成立，且 善。荟卢卿， 则称被a 超越( m a j o r i z e d ) ，记为a 卜卢。 如果最后一个等式改为不等式 善善口， 则称a 与p 满足弱优化序，记为a 卜肛。 5 优化序是表示实值向量间关系的一种偏序，a 卜口就意味着在向量和一定的 情况下，a 比“要分散，下面的例子可以说明这种关系： ( i ) ( b ，九) 童，泣，盟) ； ( i i ) q o ，o ) 卜m ( - 1 ，j 1 ，o ，o ) _ = 专，j 1 ，j 1 0 ，o ) ：= ；e ，i 1 ，弓) 下面的定理来自h a r d y , l i t t l e w o o d 和p o l y a 1 9 5 2 ，它确保我们在利用优化 序时往往只需考虑前面两个分量的情况。 引理1 2 1 对于两个n 维实值向量a 和，如果他们满足a - p ，则存在有限整数 r 个向量a ( 1 ) ，a ，使得a 1 a 1 - a 7 ；z ，其中任意a 和a o + ”， z 一1 , 2 ，一1 ，之间至多有两个不相同的分量。 与优化序联系密切在一起的便是下面要介绍的s c h u r 函数。 定义1 2 4 对定义在n 维实数空间上的多元函数庐：r “一r ，如果对于所有其定 义域内的向量x y 满足： ( i ) 庐( 署) 2 妒口) ，则称妒是s c h u r 凸函数； ( i i ) 妒( x ) 妒( y ) ，则称妒是s c h u r 凹函数。 下面是我们将要用到的关于优化序和s c h u r 凸函数的性质，s c h u r 函数通常 利用下面的定理加以验证。 引理1 2 2 若多元实值函数妒置换对称且可导，则妒为s c h u r 凸函数的充要条件 是：对所有的i ，满足如下不等式； 隅一一譬一孥乩 对s c h u r 凹函数而言，上面的不等式反向。 除了优化序之外，p - l a r g e r 序也是描述向量间关系的一种序。p - l a r g e r 序由 b o n a n d p a l t a n e a 1 9 9 9 提出，其定义如下。 定义1 2 5 定义1 2 4 中的) 和p ( j ) ，i - 1 , 2 ，疗，如果满足 6 耳s 珥咋， 对所有m ，l ，n 均成立，则称a 在p - i a r g e r 序下比大，记为a 墨肛。 p - l a r g e r 序与优化序关系密切。定义i n k 是分量为i n 的向量，1 i l p 是分量 为l n 1 , 的向量，则 1 - a i n t - i n “ 又根据m a r s h a l la n do l k i n 1 9 7 9 ，有 t - t = ( g ( ) ，g ( 九) ) - ( g ( 心) ，g ( 以) ) 对所有的凹函数g 均成立。 所以 a 卜肛辛a 卜 反过来却不成立，例如 ( o 2 ，1 ，5 ) _ q 2 ，3 ) ， 但优化序并不存在。 本文中考虑的是一种强p - l a r g e r 序的情况，其约束条件稍作修改，即 = i 沪! = l 心， 对所有的坍一1 ，月一1 成立，且 。 此时的表达式与优化序颇为类似，第三章中随机序的关系正是基于这种强 p - l a r g e r 序，下文中将其记为a ；= 。 下面介绍另外一种常见的随机序，似然比序。先介绍一元的情形。 定义1 2 6 随机变量x 在似然比序意义下比y 小，记为x 兰。y ，如果他们的密 度函数对所有的s f 满足不等式 厶p ) 矗o ) 量& o ) 矗( f ) 7 x 毛y 可以推出x 毛y ，此处略去证明。似然比序是随机偏序中比较强的一种 序。 类似一般随机序，多元的似然比序也是存在的。与多元似然比序紧密联系的 是另外一个重要的概念，m 7 e 。 定义1 2 7 ( 1 ) 分布函数为p 的随机向量x 一( 五，x 2 ，以) ，其关于盯有限乘积 测度p = “心( 对连续型分布而言，z 通常是l e b e s g u e 测度；对离散型分 布而言，芦通常是计数测度) 的密度函数为，若对所有的石，y e r “均有 ， ) ，( ) ，) s ，g a y ) f 0v y ) 则称x ( 或，) 为m u l t i v a r i a t e t o t a l p o s t t i v i t y o f o r d e r 2 ( 简称崛) 。 ( 2 ) 如果随机向量x ，y 关于盯有限乘积测度z 一地以的密度函数，对所 有的s t 均有 厶( f ) ，y 0 ) s 厶o ) 矗o ) 则称z 量y 。这种利用密度函数比的单调性来定义的序称作弱似然比序，与一 元的似然比序的表达式类似。 ( 3 ) 如果随机向量x ，y 关于盯有限乘积测度p i 1 1 心的密度函数，对所 有的s ，f 彤均有 厶( f ) ，y o ) 量厶o a f ) 疗o vr ) 则称x 量，y ，或记为x 毛y ，称为强似然比序。显然，强似然比序是比弱似然 比序更严格的一种序。 需要提到的是，在hn2 的情形下， 仃e 变成了经典的z - 只，其定义如下： 如果，：s r 一尺，对任意墨i 屯s ，f 1 0 ，0 ，k 0 。 当取口，口，k 取特殊值的时候，广义g a m m a 分布将会变成g a m m a 分布， w e i b u u 分布，指数分布或对数正态分布： ( i ) 当卢一1 时，令七一a ，a - 三0 ，广义g 锄m a 分布变成g a m m a 分布： - 茜矿“，舱o ，”。，b 。； ( i i ) 当七一1 时，a 令- a - f l ，a - 嘉，广义g a 衄a 分布变成w e i b u u 分布： ，( x ) a a x 。舻，善0 ，a 0 ，a 05 ( r i d 当口一1 且kt 1 时，令 - 三，广义g a m m a 分确变成指数分布： 0 f ( x 1 ；r e ，工2 0 ，a 0 ；可见指数分前】是g a m m a 分布和w e i b u l l 分布的特 殊隋形； ( i v ) 当k m 时，广义g a m m a 分布变成对数j 下态分布，经过适当的变换，其 表达式可写成：m t 而1 x o qe x “一鼍笋) 。纽 u 下面介绍本苹的主要结论。 定理2 1 1x 一隅，j ：，以) 和y 一“，艺，k ) 为两个分量独立的竹维随机向 量，他们的边际分布服从广义g a m m a 分布，具有相同的参数芦，0 且分别具有 形状参数k 。如，吒) 和k 一魄，k ) 。设j i j ) ，i - 1 ，2 ，撑，为x 的第f 个次 序统计量，k ) ，i - 1 , 2 , ，玎，为l ，的第f 个次序统计量。如果假，吒) 卜瓴，吒) ， 则： x o ) s “k 1 ) ；x ( 。) 之。瓦) 为了证明该定理，我们先研究二维的情形。 引理2 1 1 五，工：( k ，艺) 为两个独立的随机变量，服从广义g a m m a 分布， 具有相同的参数声，0 且分别具有形状参数以，屯) 和阮，k 2 + ) 如果 ( k l ，也) 卜0 0 ，k 2 ) ，则： x ( 1 ) “) ；x ( 2 ) 乏f 】j ；2 ) 证明：不失一般性，不妨设毛s k 2 ，毛如，由 ，也) 卜以。，k z ) 可知必有 k l s 毛七2 s 屯，设毛+ 屯- 毛+ 也一a ，a 为常数。 x o ) 的密度函数为 p l o ) - l ( x x x e o ) ) + l ( x x l 一e o ) ) 一丽篙嘉r w w ) 叫一嘉m n 卜 - 积) c x p 愕椰) 卜 类似可得k 。l 的密度函数为 椭；茄f 4 ( y k , # i 矿1 ) e x p 陟川) 卜 由于t + t 2 = 毛+ 七2 = 口，在口固定时，x ( ，) ，誓，) 的密度函数分别由，毛唯一 确定。 因此可设 p l q x ) ；j 忡呜“y ) g ( y , x ) d y ， p 1 ( 2 ，工) 。j ：。h d 2 ，y ) g ( y ，x ) d y ， 此处 j i l 】( 1 ，) ，) 鼻_ ) ，岛，1 + y 护1 ， h a ( 2 ，) ，) 葺y 屯- 1 + y 2 v - l ， m 力。c x p 【一4 ，卜 为了证明x o ) 毛，只需证明p i ( 1 ，x ) i p i ( 2 ，功关于x 单调减，即对o s 五s 屯， 有n g 屯) 见( 2 ，) = a g 屯) p 1 ( 2 ，x 2 ) ，即只需证明p l o ，x ) 在i t 2 1 和 工( o ，+ ) 上是z 只。 由于对任意0 s 鼍而，1 ns 儿，有 唧卜嘉r o + ，】e 印卜古( 1 + y ，) 】唧卜嘉r o + y z 4 ， e 冲 一古o 4 ，】 又 a 滞b - 页歹万p 研 代一屯) ( y 盹+ h 一) ，( 1 2 + f ) 4 ) 一 z 一矸) 0 ，她+ 町胪一) ，他村) 4 ) 】 在y g + * ) 时，上式不大于零，所以尘y k 兰, p - 二, + 坐y 枷- t 关于) ，单调减，根据推论1 2 1 可以证明见( f ，在f 札2 ) 和x ( 0 ，+ m ) 上是z 只。 1 3 所以 则 x ( 1 ) s p x l ) x 1 ) 墨) 。 类似的，x ( 2 ) 的密度函数为 p ：o ) ； 0 ) ，2 ) + 厂2 ) e 0 ) 。翻c x ：q # - i t k 2 # - i 懈k 2 # - l t # - 1 叫一叫出 。茄f ( y k , a - 1 蛔陟川刊方 誓的密度函数为 p 翮一茄缈 矿- 1 ) c x p 陟川+ y p ) d y 记 p ： 石) 。j ：g y ) g ( y , x ) a y ， p 2 ( 2 , x ) 4 j ：h 2 ( 2 , y ) g ( y ，石) a y ， 此处 g y ) 一y - 1 + y 彬- 1 ， 也( 2 ，) ，) l y 芦一1 + y f 卢- 1 ， 如小e x p 【一护卟 对任意o s 黾屯，0 s y l y 2 s 1 唧【- 古。( 1 + ) 】唧卜矿1f ( 1 + y ，) 】s 唧卜嘉寸( 1 + y ：4 ) 】e x p 一嘉。( 1 + ) 】 又由于) ，( o ，1 ) 时，筹关于y 单调增，所以见a ，石) 在f 札2 ) 和 x ( 0 + ) 上满足p ： 毛) p 2 ( 2 ，屯) p 2 g 屯) p 2 亿葺) ，所以 1 4 x ( 2 ) p k 2 ) ， 则 x ( 2 ) 之x 2 ) 。 引理2 i 1 即证。 借助引理1 2 1 ，我们把可以把上述证明推广到n 维的隋形。 证明：由于k 一代，吒) 卜k n ，吒+ ) ，根据引理1 2 1 ，存在r 个向量 k ，墨，满足k - k - k 2 - 墨一k ，且对所有的l = l 2 ，一1 ，k 和k + ，至 多只有两个分量不一样。为了证明的方便且不失一般性，不妨假设k 和f 只有 两个分量不样。事实上我们假设 ，如) _ + ，七：) ，并且毛= k 3 + ，吒- k 。 则 p ( ) 工) 一p ( m i n ( & ，x 0 砼p 堪3 x 9o o o ，x 。 砷 s p ( m i n ( y 1 ，k ) 石) p ( e 算，e x ) 一尸吼) 石) 故x ( d 。巧) ，类似可证z ( 2 ，l ：；2 ) 。定理2 1 1 即证。 定理2 1 2x 一暖，x ：，邑) 和y 一伐，k ，k ) 为两个分量独立的n 维随机向 量，他们的边际分布服从广义g a m m a 分布，具有相同的参数k ，0 且分别具有 形状参数( 届，成) 和( 局，尼+ ) 。设z ( 1 ) ，i = l 2 ，以，为x 的第f 个次序统计 量，y o ，i - 1 , 2 , ，n ，为y 的第f 个次序统计量。如果( 届，成) 卜( 局+ ，成) ， 则； 乇；x o ) ) 类似定理2 1 1 ，我们同样先研究二维的情形。 引理2 1 2 置，工：( x ，e ) 为两个独立的随机变量，服从广义g a m m a 分布， 具有相同的参数七，口且分别具有形状参数( 屈，岛) 和( 属+ ，见) 。如果 ，尻) - ，岛+ ) ，则： x o ) 。k ) ；五2 ) k 2 ) 。 证明：我们的证明思路是通过证明f m 。( f ) = p ( x 2 f ) - p ( x 。之f ) p ( x 22 f ) 关于 岛，岛为s c h u r 凹幽凝采倔明x ( 1 ) s “y ( 1 ) 。 由于 p ( 置t ) 一南r 簪唧c 一暑皿 。高”即1 e 砸叫嘞 。r - t e f , “；, x k - ie x p ( 一工协， 所以 则 同理 记 则 由于 鼍产一等驴0 时m 0 ，硝r ) 一 型铲- 号等驴0 e x p ( 一m 0 职：叫； 帼聊) 、7 掣。等伊噼阳p ( x 。z t 0 0 ) 。 瞩r ) 。7 邢卜万(0)pk e x p ( - ( o ) # ) 冬磐一冬磐堕嗥娄盟( ，( 届) 一，( 尻”p ( 五土t ) p ( x 22 f ) 瞻a 尾r ) “ “一 1 6 丽1 一d r ( i r 。脚t x “唧( ( 扯b 工冲 一f 。钞( ) ，+ ( ) k q e x p ( 一y 胁 一呼) 肿。+ 咕) 9 尸f 9 e x p ( 一y ) 咖 。钞( 州分垆 其中( 0 ，+ * ) ，上面的过程用到了积分中值定理。 记 t ( t o a 耖( s + 咕) 甲， 则 等笋一号尸m o - i n t ) ( 女s + 咕n 。+ 守吖。 不妨假设岛乏成，若。c f 主口，则l i l p l i l f 苫。，旦! 警2 。，则，) 关于卢单调 减洲懈p ) 洲( 届例掣一掣；若例洲 l n o - i n t o 均魁 所以，瓦( f ) 关于届，以为s c h u r 凹函数，贝f j p ( x ( 。) f ) 譬，f ) ，因此 ) 墨。成立。 类似的，我们考虑墨：) 和k 2 ) 的随机序。 同上 f o ( f ) - p ( x ( 2 ) f ) s p ( x 1 墨f ，x 2 墨f ) ， 1 7 记 则 其中( o ，1 ) 。 记 则 则 丝铲= 堕高警e x p “三n p ( x 2 _ ( b “1 ，吃“1 ) ，则： x o ，若o 卢s 1 且o 1 。 ( 2 ) 如果( q 一，吃一4 ) _ ( q “，见印) ，则： x 0 ) s “k ) ，若b 1 ； x o ) ) ，若o - ( 耳，岛“1 ) ， 记目o l - 1 ，岛。0 2 ，q ”。b 一，吃”。岛，则条件变为( 硝，睦) ( 岛，0 2 ) 。 此处的证明将沿袭引理2 1 2 的证明思路， p ( 五苫f ) 一南厂酽锄( 卅掣渺 - 南f ) ， 妒c x 岫中渺 则 o e t ) 。一= 尝：肚肚e x p ( 一西4 ) ， a qr ) 1 1 则 1 9 同理 令 则 类似的，记 监掣。一羔旷- 1 t 肿e x p ( 一o ( p t p ) p ( x ：z f ) ， o o , r ( t ) 1 一 、 。 堡掣。一羔矿- 1 t 肚e x p ( 一0 2 p t p ) 尸( x ，z f ) 。 o o , r ) 、1 。 邶卜0 # k 瓦- 1e x p 面( _ o p 面t p ) 表。f 守删e x p ( 叫y 一f ( y 4 + 一协广4 1 珊_ ) ，# - i e x p ( 一y # t a ) d y q ( o ) 一( 叩4 + 口9 ) “0 i 肿，其中，7 ( 0 ，+ m ) ， 则 掣。国+ o p 广一：p 7 一雕( ( 1 一肚) 叩，+ ( 1 一b ) o 4 ) 。 d p 。 下面分三种情况讨论： ( i ) 0 卢 1 ； ( i i i ) 芦 1 r o t p e l 或0 1 。 首先研究情况( i ) ，l l 七s c f r ( o ) 关于单调减。下面证明o r ( o ) 关于单调 增。 赤。f 守州e x p ( y 皿 一f y 4 4 e x p ( 一( ) ，4 1 ) o # t p ) d y 记 q ( p ) 一e x p ( 一0 7 ，一1 ) 口9 t 4 ) ，其中叩仉+ m ) ， 则 旦生掣：e x p ( 一铆一一1 ) 0 p t p ) o 一，7 ，4 p 4 阳协- s0 ， a 口 则口r ( ) 关于p 单调增。由h u 1 9 9 5 t h e o r e m1 可知，( x 【1 ) ，x ( 2 ) ) 苫。1 ) ，x 2 ) ) 。 下面把( x ( 。) ，x ( 2 ) ) 。q 。) ，k ：) ) 推广到n 维的情况，先介绍两个引理。 引理2 1 3 ：设口和6 为两个常值向量，并且有q 苫电，f ；1 ，? i t ，则对所有的 i 一1 ，n ，均有4 0 ) 6 0 ) 。该引理出自p r o s c h a n a n ds e t h u r a m a n 1 9 7 6 。 引理2 1 4 ：关于随机向量石和l ，下面两个条件等价： ( i ) x 蔓。y ； ( i i ) 存在两个定义在相同概率空间上的随机向量重和矿，满足： j 一nx ； 矿y ； 且 p ( x n 一1 。 此处一。表示概率相等。 下面来证明n 维情况下定理2 1 3 ( 1 ) 中的情况( i ) ，该证明类似于p r o s c h a n a n ds e t h u r a m a n 1 9 7 6 关于定理3 4 的证明方法。 证明：由引理1 2 1 ，存在，个筇维常值向量0 ”，0 b 满足 0 口，( 1 ) ：= 一，( 2 ) ；矿”0 r ，g o ，( j ) ，口，( i + ”( f 1 ，一1 ) 之间至多只有两个 不同的分量。同上，不妨设 7 ，吃) ； 。，吃。) ，并且岛。0 3 。，吃吃。 令 u 一- m a x ( x 1 ，x 2 ) ，u 。- m i n ( 墨，邑) ， - 胁x ，k ) ，一m i n ，k ) ， 另设，形，形为相互独立的广义g a m m a 分布随机向量，分别具有参数 岛，吃和相同的参数，卢，且与( u 。，。m ，p ，胁，。) 独立。则 x ( u 一，u 。，孔，彳) = 。u 。m ，彤) ； y ，n ( p ，眦，e ，k ) 一。( 。，。，9 - * , 9 睨) 。 由i i i 面二维情况的结论可知 。，【，。，呢，j k ) ( 。，圪m ，嵫，形) 。 根据引理2 1 4 ，存在定义在相同概率空间上的两个随机向量雪和矿满足： 萱i 时( u 。，u 。，彤) 一。x7 ； 矿，彤) = 。y ； 且 p ( 萱矿) 一1 。 由引理2 1 3 ， p ( x ( 1 ) 乏k 1 ) ，x o ) 苫) ) 一1 ， 即 x j 一。k o 矗t 。瑶。 注意到x ；一。x o 及巧，我们有 x 0u “i + o 情况( i ) 即证。 接着我们研究情况( i i ) ，在情况( i i ) 下，( 疗) 关于单调增。i = o ) 关于 是s c h u r 凹函数，所以x o ) 毛k u 。利用同样的方法，不难证明x ( 2 ) 誓：) 成 立。 在情况( i i i ) 下，x ( q ，】_ ；。) 或墨2 ) ，l ：；2 ) 间随机序的关系不容易确定 上面的证明过程同样可以推广到甩维的情形，定理2 1 3 的情况( 1 ) 即证。 下面证明定理2 1 3 的情况( 2 ) ，依然考虑二维的情况，此时有 ( b 一，吃一4 ) ； 唧，0 2 邮) 。不失一般性，不妨设o l - ps 岛，岛叫s 岛叫，由 ( 町4 ，如一4 ) ( 岛卅，时一4 ) 可知必有b 4s 吼呻s 吖一4 s 如一。 证明：类似引理21 1 ，x o ) 的密度函数为 删；彘徊- 0 2 ) - p 1 f * 。y k p - t ( e x p 一盯一+ 矿y 4 ) 】+ e x p 【一( 岛。4 + 矿y 9 ) 】痧 一而2 a 0 广嘭h x p m 4 + 町4 吲 r y 咿，( e x p 一嘣y ，一) 】+ c x p 一4 ( ) 4 一桫 一彘( 柑即e x p m q 咖1 j ：。w ，广( e x p 一( 岛一9 r 4 ) 】+ e x p 【一( 町4 ) p p 协 的密度函数为 p ：一( 吖町广矿即e x p 【- 研印+ 町叩矿】 r ( 妒y 一1 ( e x p 【一研一4 ) 1 + 唧【- 叩f ) 矿4 函 由于 a c 篆稀黼，产 一面诵fite-t 昕9 _ o l - a 脚鸱q 钟个喇。眨邛朋 + 碗一，一矿) ( e x p “矿+ 谚一9 y 4 ) 一e x 砥町+ q y 9 ) ) ) 所以笔簧笔；等黼关于t 单调减口 对0 畸量屯，0 5 气屯，如果七 1 ，贝| j 钟+ r 广。也，+ 尸钟+ f ，广o ，+ t l # ) k 4 ； 如果o c k 1 ，则 钟+ t t # ) t 。w + t 2 # ) t - 1 ，+ t 2 a ) t 。1 w + r 尸。 所以七，1 时，有工哪气，则x ( 1 ) s 。；o 七；1 时，有x ( 1 ) 气，则 x ( 1 ) k 1 ) 。 类似的，可以推广到n 维的情形，定理2 1 3 中的情形( 2 ) 即证。 由于g a m m a 分布和w e i b u l l 分布是广义g a m m a 分白的特例，因此我们的结 论对这两个分布也是适用的。 推论2 1 1 5 对g a m m a 分布：，o ) 。裔矿4 p ，z 2 0 ，口 0 a o 而言， 如果( ，九) _ ( ，九+ ) ，由定理2 1 3 知当口 1 时，x ( 1 ) 气，k 1 ) x ( 町x 。) ； 当o 0 ，a 0 而言， 如果( a l ，) - ，a n + ) ，由定理2 1 2 知x ( qs 。k ) ，x 苫。) ；如果 m ( ，九) _ ( 万，屯) ，由定理2 1 3 知x 。) 一。誓。) 。 2 2b e t a 分布的主要结果 b e t a 分布是统计里面常见的分布，并且应用广泛。在b a y e s i a n 分析里，b e t a 分布可以作为二项分布的先验概率。其密度函数如下： ，( x ) 。j i 三：万i x “- , o z ) 4 4 。坠壁2r 一( 1 一z p r ) r ( 卢) 、7 a ，卢都是形状参数，0 0 ，卢 0 。 b e t a 分布与g a m m a 分布关系密切，有如下关系： 如果z g a m m a ，1 ) ，y g a m m a ( f l ，1 ) ，则j ( x + y ) b e t a ，卢) 。 下面介绍关于b e t a 分布次序统计量的随机序的主要结论。 定理2 2 1 x 一( 墨，x 2 ，以) 和y 一，k ，k ) 为两个分量独立的行维随机向 量，他们的边际分旆服从b e t a 分布，具有相同的参数声，不同的参数( q ，q ) ， ( q ，c t n ) 。设x ( j ) ，i l 2 ，以为x 的第f 个次序统计量，誓，j ，i - l 2 , ，n ， 为y 的第f 个次序统计量。当( 口l ，) ；( q + ，) 时， ( 1 ) 如果o 1 ，则 x i 。) “誓。) ： x ( 。) 苫“誓。) 。 址明：儆蕊只需丐屣一兀网情况 五：，的密度函数为 p ：c x ) ! ；：；j f ；i ! ； ：乎c x q 。o 一工，4 一i r 4 0 r ) 9 。1 疵+ x 。1 0 一石，一_ r m 。1 0 r ，一。出， 一氍箍鲁箦) 9 州1 a 2 - 1 l - x a 2 妒1 矽 一铬簇鲁篑严协圳妒蝴a 2 - 1 + x t - 1 尸恸 - 氍簇鲁长广 1 扣圳。( y a , - t + y a z - i 胁 类似的圪) 的密度函数为 p 舱甏喾辫酱) a - , x e o ；- 1 f f o ( 1 计1 护矿胁 显然在y ( o ，1 ) 时筹关于y 单调增， 不妨o 焉s 屯1 ，0 1 时，有x ( 2 ) 苫。x ：) ，推广至，l 维情形，x ( 帕x 。) 。 x ( u 和x 。) 之间的随机序不容易确定。 定理2 2 2 x 一( 墨，x ：，以) 和y = 瓴，k ，k ) 为两个分量独立的h 维随机向 量，他们的边际分布服从b e t a 分布，具有相同的参数口，不同的参数( 店，成) ， ( 后，成+ ) 。设瓦) ，i 一1 ，2 ，n 为x 的第f 个次序统计量，k ) ，i - 1 , 2 ，n ， 为l ，的第f 个次序统计量。当( 局9m 0 9 成) 卜( 岛，成+ ) 时， ( 1 ) 如果口 1 ，则： z ( 1 )