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硕士论文 室内声场的数值模拟与特征分析 摘要 边界元法具有计算简单、适应性强和精度高的优点，其应用广泛存在于工程计算 领域。本文基于边界元法进行室内声场的数值模拟，分析声学结构对教室和声乐练习 室声场扩散性的影响。 首先，建立了二维和三维内部声场问题的边界元模型。采用了二次不连续单元， 以解决角点问题并提高计算精度。对一种d e l a u n a y 三角形细分算法提出了改进，以对 简单多边形边界进行有效的单元划分。对于边界上的奇异积分，分离出奇异部分，利 用积分极限或极坐标变换给出其解析表达式。采用了组合算法求解复系统方程。 其次，实现了边界元模型的c 拌程序，并利用m o r s e 的简正理论进行了验证。采用 了声阻抗率的转移公式近似表示二次余数扩散体，利用完全边界模型进行了验证。 第三，利用二维边界元程序对教室的声场进行了数值模拟。讨论了在地板、天花 板和后墙分别安装阶梯以及不同参数的二次余数扩散体和吸声材料时，声场扩散性的 改变。数值结果表明，组合三种声学结构可以显著的改善教室声场的扩散性。 最后，利用三维边界元程序对声乐练习室的声场进行了数值模拟。讨论了天花板 形状和吸声材料位置对声场扩散性的影响。数值结果表明，当吸声材料安装在斜面天 花板最低边所在的侧墙上时，声场的平均扩散程度最高。 关键词：边界元，数值模拟，室内声学，声扩散，二次余数扩散体，吸声材料 a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) i sw i d e l ya p p l i e dt oe n g i n e e r i n gp r o b l e m sd u e t oi t ss i m p l ec o m p u t a t i o n , s t r o n ga d a p t a b i l i t ya n dh i g ha c c u r a c y i nt h i sp a p e r , t h ei n d o o r s o u n df i e l di ss i m u l a t e dn u m e r i c a l l yb yb e m ，a n dt h ee f f e c t so fa c o u s t i cs t r u c t u r e so nt h e a c o u s t i cd i f f u s i o no fac l a s s r o o ma n dav o c a lp r a c t i c er o o ma r ed i s c u s s e d f i r s t , b e mm o d e l so ft w oa n dt h r e ed i m e n s i o nr e g a r d i n gt h e i n t e r i o ra c o u s t i c p r o b l e m sa r eb u i l t q u a d r a t i cd i s c o n t i n u o u se l e m e n t sa r ee m p l o y e dt od e a lw i t ht h ec o r n e r s a n di m p r o v et h ea c c u r a c y ad e l a u n a yr e f i n e m e n ta l g o r i t h mi si m p r o v e dt ot r i a n g u l a t ea s i m p l ep o l y g o nb o u n d a r ye f f e c t i v e l ya n du n i f o r m l y t h es i n g u l a rp a r to ft h es i n g u l a r i n t e g r a li ss e p a r a t e do u ta n di sc a l c u l a t e da n a l y t i c a l l yb yt h ei n t e g r a ll i m i to rt h ep o l a r t r a n s f o r m a t i o n t h ec o m p l e xs y s t e me q u a t i o ni ss o l v e db yac o m b i n a t o r i a la l g o r i t h m s e c o n d , b e mp r o g r a m sa r ed e v e l o p e di nc 群l a n g u a g e ，a n dt h e nv a l i d a t e db ym o r s e s t h e o r y t h eq u a d r a t i cr e s i d u ed i f f u s e r ( q r d ) i sa p p r o x i m a t e db yat r a n s f e rf o r m u l ao ft h e a c o u s t i cs p e c i f i ci m p e d a n c e ，a n di ti sv a l i d a t e db yt h ew h o l es u r f a c em o d e l i n g t h i r d ，t h ea c o u s t i cf i e l di nac l a s s r o o mi ss i m u l a t e dn u m e r i c a l l yu s i n gt h et w o d i m e n s i o n a lb e m p r o g r a m t h ed i f f e r e n c e so f t h ea c o u s t i cd i f f u s i o nw h e nt e r r a c e s ，q r d a n da b s o r p t i v em a t e r i a lo fd i s t i n c tp a r a m e t e r sa r ee m p l o y e do nt h eg r o u n d ，t h ec e i l i n ga n d t h er e a rw a l lr e s p e c t i v e l ya r ed i s c u s s e d t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a ts i g n i f i c a n t i m p m v e m e n to ft h ea c o u s t i cd i f f u s i o ni so b t a i n e dw h e nt h et h r e es t r u c t u r e sa r ec o m b i n e d f i n a l l y ，t h ea c o u s t i cf i e l di nav o c a lp r a c t i c er o o mi ss i m u l a t e dn u m e r i c a l l yu t i l i z i n g t h et h r e ed i m e n s i o n a lb e mp r o g r a m t h ee f f e c t so ft h ec e i l i n gs h a p ea n dt h ea b s o r p t i v e m a t e r i a lp o s i t i o no nt h ea c o u s t i cd i f f u s i o na r ea n a l y z e d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e h i g h e s ta v e r a g ea c o u s t i cd i f f u s i o ni sa c h i e v e d , w h e nt h ea b s o r p t i v em a t e r i a li sf i x e do nt h e s i d ew a l la g a i n s tt h el o w e s ts i d eo ft h eo b l i q u ec e i l i n g k e yw o r d s ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n , r o o ma c o u s t i c s ， a c o u s t i cd i f f u s i o n , q u a d r a t i cr e s i d u ed i f f u s e r ，a b s o r p t i v em a t e r i a l i i 硕士论文室内声场的数值模拟与特征分析 图表目录 图2 1 二次直线段单元6 图2 2 二次平面三角形单元7 图2 3 分裂线段的过程8 图2 4 分裂三角形的过程8 图2 5 简单多边形的限定d e l a u n a y 三角剖分1 0 图2 6 平面三角形单元上的极坐标变换1 4 图3 1 声波在表面的镜面反射、散射与吸收1 8 图3 2j = 7 的一个二次余数扩散体周期1 9 表4 1 二维模型的配置2 1 图4 1 二维模型c 。2 2 图4 2m o r s e 的简正理论和边界元法计算的二维模型a 中点( 4 5 ，1 2 ) 的声压级2 3 图4 3m o r s e 的简正理论和边界元法计算的二维模型b 中点( 4 5 ，1 2 ) 的声压级2 3 图4 4 完全和近似边界模型计算的二维模型c 中点( 4 5 ，1 2 ) 的声压级2 4 图4 5 声压级的频率响应，接收点( 3 5 ，1 1 ) ：a ) - - 维模型a ；b ) 二维模型c ；e ) - - 维 模型e ；d ) 二维模型l 2 5 图4 6 声压级的频率响应，接收点( 6 5 ，1 4 ) ：a ) - 维模型a ；b ) - - 维模型c ；e ) - 维 模型e ；d ) - 维模型l 2 5 图4 7 声压级的频率响应，接收点( 9 5 ，1 7 ) ：a ) - 维模型a ；b ) - - 维模型c ；c ) 二维 模型e ；d ) - - 维模型l 2 6 图4 8 声压级的空间分布，频率为4 0 0 h z ：a ) - 维模型a ；b ) 二维模型c ；e ) - 维模型 e ；d ) - - 维模型l 2 7 图4 9 声压级的空间分布，频率为8 0 0 h z ：a ) - 维模型a ；b ) - - 维模型c ；e ) - 维模型 e ；由二维模型l 。2 8 图4 1 0 二维模型c 和e 的扩散增益比较2 9 图4 1 1 二维模型d 、e 和f 的扩散增益比较3 0 图4 1 2 二维模型g 、e 和h 的扩散增益比较3 0 图4 1 3 二维模型i 、e 和j 的扩散增益比较3 l 图4 1 4 二维模型c 和l 的扩散增益比较3 2 图4 1 5 二维模型k 、l 和m 的扩散增益比较3 2 图4 1 6 二维模型c 和n 的扩散增益比较3 3 表4 2 二维模型的平均扩散系数和平均扩散系数差3 4 v 图表目录硕士论文 图5 1 三维模型a 至e 。3 6 图5 2m o r s e 的简正理论和边界元计算的三维模型a 中点( o 5 ，o 5 ，1 6 ) 的声压级3 7 图5 3m o r s e 的简正理论和边界元计算的三维模型b 中点( o 5 ，o 5 ，1 6 ) 的声压级3 8 图5 4 声压级的空间分布，平面高度为1 6 m ，频率为4 0 0 h z ：a ) 三维模型a ；b ) - - 维 模型c ；c ) - - - 维模型d ；d ) - - - 维模型e 3 8 图5 5 声压级的空间分布，平面高度为1 6 m ，频率为8 0 0 h z ：a ) - - 维模型a ；b ) - - 维 模型c ；e ) - - 维模型d ；d ) - - - 维模型e 3 9 图5 6 三维模型c 、d 和e 的扩散增益比较4 0 图5 7 三维模型c l 、c f 和c r 和c b 的扩散增益比较4 1 表5 1 三维模型的平均扩散系数和平均扩散系数差4 1 v i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学 位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己在论文中作了明 确的说明。 研究生签名：毯赵塞2 。j 。年占月2 弓日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：挞嫠基 汕。年乡月夥日 硕士论文 室内声场的数值模拟与特征分析 1 绪论 1 1 选题背景和研究意义 在室内环境中，人们接收到的声音包括来自声源的直达声和由室内结构与物体的 表面造成的反射声。不同于没有障碍物的自由声场，室内声场在很大程度上受到物体 表面对声音的镜面反射、散射和吸收的影响。人们日常的工作、学习、生活都是在室 内进行的，这些活动对房间有声学特征的要求，如要求房间中噪声低、声场分布均匀 等。为了满足人们对声学特征的要求，通常在室内环境中采用具有不同声学性质的结 构，改变房间的声学特征【l ，2 1 。在房间内安装吸声装置，可以控制房间的混响时间，提 高信噪比，使声音更清晰。在剧场内壁安装扩散体，可以增加声波的散射，提高声场 的扩散程度，使声音分布更均匀。因此，室内声学的一个重要目标是研究不同的声学 结构对室内声场特征的影响。在室内声学中的工程问题是设计房间的形状，并利用各 种声学结构改变室内声场的特征。 室内声场特征的改变最早是在追求视觉效果时偶然得到的。此后，为了创造更好 的听闻条件，人们往往凭经验或直觉对室内结构进行改造。随着建筑声学的发展和科 学技术的突飞猛进，采用理论分析、实验测量以及数值模拟等手段对室内声场进行特 征分析，为获得理想的声学环境提供了更科学的依据。c o x 和d a n t o n i o 研究了扩散 体对镜面反射的减少作用 3 1 。m o n a z z a m 和l a m 对项部装有不同参数的二次余数扩散 体的声屏障的插入损失进行了讨论【4 ，5 1 。y a s u d a 等预测了舞台周围声波的衍射对声压 级影响【6 】。利用计算机进行数值模拟在近几十年有长足的发展，在工程领域得到广泛 的应用。对室内声场进行数值模拟和特征分析，将有助于室内声学环境的改善。 1 2 国内外研究现状 自从1 9 0 0 年s a b i n e 提出了奠定室内声学理论基础的室内混响理论以来，对室内 声场的研究得到了极大的发展r 7 1 。s a b i n e 理论是一种统计声学的方法，e y r i n g 和 k n u d s e n 等人对其进行了修正和改进【3 】。此后，声线追踪法和镜像虚声源法等几何声 学方法被用于分析房间的音质【9 ，1 0 】。类似于几何光学，当频率较高，波长远小于房间 尺寸时，几何声学把声波简化为声线。因此，几何声学只能应用于高频声场的研究， 难于处理存在复杂衍射的问题。上世纪3 0 年代，m o r s e 建立了基于波动方程的简正理 论，对室内声学的研究产生了重大的影响【1 1 1 。m o r s e 的简正理论把室内声场视为简正 方式的叠加，适用于具有简单的形状和边界条件的房间。 为了研究具有复杂形状和边界条件的声场，解决波动声学问题的数值方法被引入 l 绪论硕士论文 声场的计算中。基于网格剖分的有限元法和边界元法是声学领域中常用的数值计算方 法【1 2 ，1 3 】。有限元法离散声场的求解域，以有限自由度的代数方程近似波动方程。当频 率较高时，为满足精度需要，有限单元的划分加细，计算量将大幅增加。m a l u s k i 和 g i b b s 采用有限元法研究了相邻房间中声音的传递损失【1 4 1 。在2 0 世纪7 0 年代后期， 边界元法在边界积分方程和有限元法思想的基础上发展起【l5 1 。与有限元法相比，边界 元法只需对区域边界而不是整个区域进行离散，降低了问题的维数，减少了单元的个 数，因而比有限元法计算效率更高。边界元法既可以求解内部和外部声场问题，也可 以用于声场的模态分析。d u r 誓等提出了一种改进的g a l e r k i n 边界元法用于特征频率 的计算，并讨论了算法的稳定性和收敛性【l 州。t a d e u 和s a n t o s 利用边界元法分析了由 声屏障隔开的两个房间的传声特性【1 7 】。目前，声学领域已经出现了一些基于几何声学 或波动声学的数值计算的商业软件【l8 1 9 1 。尽管如此，针对特定的问题，建立合理的模 型，选择合适的数值计算方法并编写程序，将在边界处理、网格划分、计算精度和时 间的控制以及后处理等方面更加有效和方便。 1 3 本文的研究路线和内容安排 本文在广泛阅读国内外室内声场分析方法的文献后，针对特定的声学结构分别建 立二维和三维边界元模型，对室内声场进行数值模拟和特征分析。研究的内容包括边 界的单元划分、边界积分的计算、系统方程的建立和求解以及声学结构的近似表示和 计算。根据提出的理论分别编写二维和三维边界元程序，并利用声学中经典的m o r s e 的简正理论进行验证。最后，分别利用二维和三维边界元程序，对阶梯教室和声乐练 习室进行数值模拟，分析其声场的扩散程度，并采用具有不同参数的扩散体和吸声材 料对其声扩散性进行改善。 本文的主要内容安排如下： 第一章，绪论。介绍室内声场计算的研究背景和国内外发展现状，提出本文的研 究内容和目标。 第二章，内部声学问题的边界元模型。建立二维和三维声学边界元模型，讨论边 界的单元划分、边界积分的计算以及系统方程的求解等问题。 第三章，室内声场的计算。介绍m o r s e 的简正理论，给出声学边界条件、多孔吸 声材料和二次余数扩散体的表示方法，以及评价室内声场的声学参数的计算方法。 第四章，教室声场的数值模拟和扩散性的改善。实现并验证二维边界元程序，对 简化后的阶梯教室进行数值模拟。讨论当阶梯以及不同参数的二次余数扩散体和多孔 吸声材料分别安装在地板、天花板和后墙时，声场扩散性的改变和改善。 第五章，声乐练习室声场的数值模拟和扩散性的改善。实现并验证三维边界元程 序，对简化后的声乐练习室进行数值模拟。讨论不同形状的天花板和不同位置的多孔 2 硕士论文 室内声场的数值模拟与特征分析 吸声材料对声场扩散性的改善。 最后，对本文的工作进行总结，指出不足并提出未来研究工作的展望。 本文进行数值模拟的硬件环境为2 0g h zc p u ，2 0g 内存的p c ，软件环境为 w i n d o w s7 操作系统，软件开发平台是v i s u a lc 群2 0 0 8 。 2 内部声学问题的边界元模型硕士论文 2 内部声学问题的边界元模型 2 1 闭合声场的边界积分方程 声波产生于声源的振动在介质中的传播，其所在的空间称为声场。声波的波动方 程描述了声场所满足的物理学定律。在理想流体介质中小振幅声波的假设下，空气中 的闭合声场力中的波动方程为【2 0 】 v z p ( t ，t ) 一言毫( 丁，t ) = p 筹( 丁，t ) ，t n ， ( 2 1 ) 其中，p 表示声压，c 是空气中的声速，p 是空气密度，y 是声源的强度。 假设声场中有一个点声源，位于s 处，声源强度为q e - i 眦，其中= 2 町是声源的 角频率，厂是频率。对声压p 分离变量，由波动方程得到频域上的h e l m h o l t z 方程 v 2 p ( 丁) + k 2 p ( t ) = - i p t o q 6 ( t s ) ， ( 2 2 ) 其中k = c l j c 是波数。 设g r e e n 函数g 是h e l m h o l t z 方程的基本解【2 1 1 ，作算子 l k r r ( r ) = f ra j 【c ( r , u ) f ( u ) d f u ， ( 2 3 ) ( 帆f ) j ( 丁) = 象( 丁，u ) f ( u ) d f v ， ( 2 4 ) 并令q = 呈为声压的外法向导数，应用第二g r e e n 公式得到边界积分方程 ( 帆p ) 厂( n + 妄p ( n = r k q j ( n + p i ( 力，t 厂， ( 2 5 ) m k p ) 厂( 丁) + p ( 丁) = l k q r ( t ) + p 1 ( 7 ) ，t n r ， ( 2 6 ) 其中p ( r ) 的系数称为边界系数，直达声的声压为 p i ( 丁) = i p t o q g k ( s ，乃，t n ( 2 7 ) 2 2 边界积分方程的求解 为了求解无限自由度的边界积分方程，边界元法对区域边界和积分方程进行离散 化，以有限阶的代数方程作为边界积分方程的近似。将闭合的边界划分柳 惭a r j ， j = 0 ，1 ，o * o i i 一1 ，在每个单元上选定日个配置点乃_ l ，h = o ，1 ，日一1 。令p ( 弓_ 1 ) = 功，l ， q ( t j h ) = q j h ，在单元上对p 和q 进行插值 p ( 丁) = 褂功，l 岛，l ( 丁) ，q ( 丁) = h ：- 0 1 町，l 哆_ i ( 丁) ，t a r j ， ( 2 8 ) 4 硕士论文室内声场的数值模拟与特征分析 其中币m 是单元上的插值基函数。 令= h 仇h ，p 仇= p m l t l , m t t ，= q m l h ，m h ，踹= p h ，m 珂，彻= ( l k 9 m h , n i h ) ( ) ，n = ( 帆日，m 懈) 崛h ( ) ，m j 7 l = o ，1 ，n 一1 ，其 中j = ，h 。把式( 2 8 ) 代入式( 2 5 ) 得到 ( m + 主，) p = l q + p ， ( 2 9 ) 其中，是单位矩阵。 对于r o b i n 边界条件， 口( 7 ) p ( 力+ i ( t ) q ( t ) = y ( d ， ( 2 1 0 ) 在配置点处应用式( 2 1 0 ) ，得到 d a p + q = d y ， ( 2 1 1 ) 其中如，和d y 是对角矩阵，对角元素为口m = 口( ) ，风= 卢( ) 和= y ( ) 。 联立式( 2 9 ) 和式( 2 1 1 ) 计算出p 和q ，则声场内任意一点r n r 处的声压为 p ( 丁) = 一，j l 巩 ( 帆嘭，1 ) 厂，( 丁) - t - e j z ，l 劬_ l ( k 岛_ i ) 厂，( 7 ) + p ( r ) ( 2 1 2 ) 2 3 边界的单元划分 作为一种网格算法，边界元法的计算基于边界的单元划分。为了便于计算，通常 采用具有相同特征的单元。单元的特征包括单元的形状和配置点的个数与位置。单元 的形状决定了单元的组合可以表示的边界；配置点的个数决定了单元上插值函数的次 数；配置点的位置决定了插值函数在相邻单元间的连续性。单元的特征影响到边界元 法问题的复杂性和计算的精度。在选定单元后，需要采用适当的算法自动划分边界。 2 3 1 二维问题的单元及其划分 二维问题的边界是闭合的曲线，可以采用直线段或曲线段对边界进行划分或者逼 近。与直线段单元相比，曲线段单元能精确表示边界，具有更高的精度。但在实际计 算中，曲线段单元在单元的表示、边界的划分以及边界积分的计算等方面，都增加了 问题的复杂度。在边界曲线相对简单的情况下，采用适当的直线段单元，可以在有效 简化计算的同时，达到足够的精度。 本文考虑边界由若干直线段构成的二维问题，采用具有三个配置点的二次直线段 单元对边界进行划分。如图2 1 所示的，二次直线段单元的端点为巧。和巧l ，以线段的 三个四分点乃，l ，h = 0 ，1 ，2 作为单元的配置点。 2 内部声学问题的边界元模型硕士论文 i 一一、 。 。、 一 在本文采用的二次直线段单元中，线段的顶点不是配置点，因此插值函数在相邻 单元的公共顶点处通常是不连续的，即单元是不连续单元。连续单元在单元边界具有 公共配置点，可以减少配置点个数即问题的自由度。但在不光滑的边界处，连续单元 存在角点问题，即边界的外法向不连续，导致声压的外法向导数q 在相邻单元的公共 顶点处不唯一。此外，位于不光滑边界处的点的边界系数不统一，增加了计算的复杂 性。与连续单元不同，由于配置点都在单元内部，边界在配置点处光滑，不连续单元 避免了角点问题，并且在配置点处具有统一的边界系数1 2 。 二次直线段单元的配置点坐标可以表示为 阱剿勰：】o 眨 设直线段单元的长度为0 ，对于单元内一点7 ，定义长度坐标c = i t 一i 0 ，则 配置点上的二次插值基函数为瞄】 阡b 毒 6 】 | h 卦 眩 为了保证合理的计算精度，通常需要限制单元的长度。假设给定的最大单元长度 为2 m 积，对于构成边界的一条长为f 线段，作f z l m 戤1 等分点，依次以相邻的端点和等分 点作为直线段单元的端点，即完成边界的单元划分。 2 3 2 三维问题的单元及其划分 三维问题的边界是闭合的曲面，可以采用平面单元或曲面单元划分或逼近边界曲 面。与二维问题类似，为了简化计算，通常在边界元法中采用平面单元。三角形和四 边形是最常用的平面单元。与四边形单元相比，三角形单元不仅在表示上更灵活，而 且更容易被细分口3 1 。本文考虑边界由若干平面简单多边形构成的三维问题，采用具有 六个配置点的二次平面三角形单元划分声场的边界。为了避免角点问题并简化边界系 硕士论文室内声场的数值模拟与特征分析 数的计算，仍采用不连续单元，即配置点不在三角形边界上的单元。 图2 2 二次平面三角形单元 如图2 2 所示，二次平面三角形的端点为巧o 、巧1 和巧2 ，配置点弓，t ，h = 0 ，1 ，5 分别 在三角形的三条中线上，坐标为 乃。 乃l 乃2 乃3 乃4 乃5 1 6 2 3 1 6 5 1 2 1 6 s 1 2 1 6 1 6 2 3 s 1 1 2 5 1 2 1 6 ( 2 1 5 ) 设三角形单元的面积为4 ，对于三角形内一点丁，设丁巧，( ，l + 1 ) 3 v j ，m + 2 ) 3 的面积 为4 ，l ，定义面积坐标= a j h a ，h = 0 ，1 ，2 ，则配置点上的二次s e r e n d i p i t y 插值基 函数为【2 4 】 岛。 哆1 哆2 i b j 3 哆4 q b j 5 - 7 91 4 34 1 34 3 08 - 7 94 31 4 34 1 3 80 - 7 94 34 31 4 1 38 8 4 9 0 - 8 3- 8 3 10 4 9- 8 3 0 - 8 3 01 4 9- 8 3 - 8 3 000 1 t ! o 白1 l ! ，2 誓1 白2 勺2 t ! ，o t j o t j l ( 2 1 6 ) 记式( 2 2 2 ) 中的常数矩阵记为c ，面积坐标向量为f 。 采用平面三角形单元划分构成三维问题边界的平面多边形，是一个典型的三角剖 分问题。边界元法计算的可行性和精确性要求剖分出优质的三角形单元，即单元的大 小和密度均匀且形状接近正三角形。现有的三角剖分算法包括拓扑分解法、节点连接 法、网格模板法、映射法以及集合分解法【2 5 1 。其中，节点连接法首先生成节点，然后 连接节点构成三角形单元。因此，节点连接法基于点集的三角剖分。 平面点集的三角剖分是指对于一个有限的散点集矿，求平面图g 满足【2 6 】： 7 2 内部声学问题的边界元模型硕士论文 l 、g 的顶点集为矿； 2 、除在顶点外，g 的边互不相交； 3 、g 中所有面都是三角形，且所有面的并集是y 的凸包。 点集的d e l a u n a y 三角剖分具有全局和局部最优的特性，因而被广泛的采用。其经 典算法包括翻转法、逐点插入法、分治法以及扫描线法等 2 7 , 2 8 】。其中最快速的扫描线 法的时间复杂度为0 ( n l o g n ) ，n 是顶点个数【2 9 1 。 不同于点集的三角剖分，多边形的三角剖分要求多边形的边集包含在多边形顶点 集的三角剖分中。r u p p e r t 提出一种细分的方法，用于平面直线图的限定d e l a u n a y 三 角剖分1 3 0 1 。本文对r u p p e r t 提出的限定d e l a u n a y 三角剖分算法进行改进，以用于对带 尖角的简单多边形边界进行三角剖分。为了避免三维空间中计算的复杂性，首先利用 三维坐标变换，在局部平面坐标系下进行三角剖分，然后通过逆变换把剖分的结果转 换为空间三角形。对于平面坐标系下的简单多边形，算法输出其限定d e l a u n a y 三角剖 分。在计算过程中，需要动态更新三个集合，即点集4 矿、线段集a s 以及三角形集d t ， 其中d 丁是a y 的d e l a u n a y 三角剖分。算法的两个子操作是分裂线段和三角形。 分裂线段h 是指把u 从中点y 分裂为两条线段y 和y h ，把y 和y h 插入a s 中，把y 插m y 中，并更新d t 。如图2 3 所示，多边形的边v o v l 不在其顶点集的d e l a u n a y 三角剖分中，分裂边v o v l 后，子线段y 和y k 出现在限定d e l a u n a y 三角剖分中。 图2 3 分裂线段的过程 分裂h 圪的子操作指把h 屹的外接圆，l , v 插入4 y 中，并更新d t 。如图2 4 所示，分裂h 屹后，三角剖分加细，尖角被移除。 8 图2 4 分裂三角形的过程 硕士论文 室内声场的数值模拟与特征分析 在两个子操作以及点集的d e l a u n a y 三角剖分中，都需要在a v 中插入一点y 并更新 d r 。实现此步骤的一个有效算法是b o w y e r w a t s o n 算法【3 l 3 2 l ： s t e p1 初始似e 为空的边的集合。 s t e p2 对于d t 中的一个三角形r ，如果矿在7 的外接圆内，把7 的三条边插a a e 中， 从d t 中删除丁。 s t e p3 重复s t e p2 ，直n o r 中所有三角形的外接圆都不包含矿。 s t e p4 删除a e 中重复的边。 s t e p5 对于a f 中的一条边e ，如果矿不在e 上，连接y 和e 的两个端点构成三角形r ， 把丁插入d t 中，眦e 中删除且。 s t e p6 重复s t e p5 ，直n a e 为空集。 s t e p7 把y 插，m y 中。 在r u p p e r t 提出的限定d e l a u n a y 三角剖分算法中，当线段不是d t 中任何三角形的 边，且与a v 中的点冲突时才被分裂。与此不同，本文所用的算法直接分裂a s 中不是d t 中任何三角形边的线段，略去了判断a v 中的点和线段冲突的步骤，避免了尖角处线段 分裂的无限循环。此外，本文所用的算法加入了对三角形面积的约束。 一个三角形被判断为坏三角形，如果三角形满足下面的条件之一： l 、三角形面积大于给定的最大面积a ； 2 、三角形最小角小于给定最小角度口，且最小角两边都不在简单多边形p 的边上。 第二个条件排除了简单多边形本身可能存在的尖角，避免了三角形分裂的无限循 环。 简单多边形的限定d e l a u n a y 三角剖分算法： s t e pl 输入简单多边形p ，约束的三角形最大面积a 和最小角度口。 s t e p2 作三角形丁o ，使得p 的所有顶点都在r o 内部。 s t e p3 初始似y 为空的顶点集合；a s 为边的线段集合，元素是p 的所有边；d t 为 三角形集合，元素为。 s t e p4 对于p 的一个顶点y ，将y 插入a v 中，更新d t 。 s t e p5 重复执行s t e p4 ，直n p 的所有顶点都插m y 中。 s t e p6 对于d r 中的一个三角形丁，如果丁和有公共顶点，则从d t 中删除丁。 s t e p7 重复执行s t e p6 ，直到d 丁中不存在三角形与有公共顶点。 s t e p8 作正方形r o ，使得4 矿中所有的点都在尺。内部。把尺。的顶点和边分别插，y 和a s 中。 s t e p9 对于a s 中的一条线段s ，如果s 不是d t 中任何三角形的边，则分裂线段s 。 s t e p1 0 重复s t e p9 ，直n a s 中所有线段都是d t 中三角形的边。 s t e p1 1 对于d t 中的一个三角形丁，设y 是丁的外接圆心，如果7 是坏三角形：如果 9 2 内部声学问题的边界元模型硕士论文 y 与s 中所有线段不冲突，则分裂三角形丁：否则，对于a s 中任何与矿冲突的线段s ，分 裂线段s 。 s t e p1 2 重复s t e p1l ，直至= u d t 中所有三角形都不是坏三角形。 s t e p1 3 重复s t e p9 至s t e p1 2 ，直到s 中所有线段都是d t 中三角形的边，并且d t 中 所有三角形都不是坏三角形。 s t e p1 4 对于a v 中的一点y ，如果y 在p 的外部，从d t 中删除以y 为顶点的三角形， 眦y 中删除y 。 s t e p1 5 重复s t e p1 4 ，直至_ u a v 中所有点都在p 的内部。 s t e p1 6 对于d t 中的三角形丁，如果7 有一条边不在p 的内部，从d t 中删除丁。 s t e p1 7 重复s t e p1 6 ，直到d 丁中所有三角形的边都在p 的内部。 s t e p1 8 输出d t ，即简单多边形p 的限定d e l a u n a y 三角剖分。 图2 5 是采用本文所提出的简单多边形的限定d e l a u n a y 三角剖分算法的结果。其 中，最小角度取为口= 3 0 0 ，字母z 末尾的尖角小于口。算法剖分出的三角形大小和密 度均匀，且形状良好，作为本文中三角形单元是适用的。 图2 5 简单多边形的限定d e l a u n a y 三角剖分 2 4g r e e n 函数及其性质 g r e e n 函数是h e l m h o l t z 方程的基本解。记于= u 一7 ，r = 吲，对于r 0 ，有 帅o g _ _ a ( l ，) = 孚等( r ，u ) ( 2 1 7 ) 2 4 1 二维g r e e n 函数及其性质 二维问题的g r e e n 函数为【3 3 1 瓯( 丁u ) = 圭h 5 1 ( 尼r ) ，k c ( o ) ， ( 2 1 8 ) 其中成1 是零阶的第一类h a n k e l 函数。当七= o 时，h e l m h o l t z 方程变成l a p l a c e 方程， 基本解为 g o ( t ，) = 一去l o g r 。 ( 2 1 9 ) l o 硕士论文 室内声场的数值模拟与特征分析 对于r 0 ，有 警( 丁，u ) = 一圭恐磷1 ( 艮r ) ， 鲁u ) = 一去。 其中日f 1 是一阶的第一类h a n k e l 函数。当lu a r j ，且巧在丁处光滑时，有 l i m 【，+ r 【g j ：【( l ，) 一g 。( 丁，) 】= 一壶( y + l n 9 + 圭， 其中y 是欧拉常数。 2 4 2 三维g r e e n 函数及其性质 三维问题的g r e e n 函数为 g k ( t ，) = 去e 灯，k c ( o ) ， g o ( t ，u ) = 赤。 对于r 0 ，有 a d c r 七f 、t ，u ) = 嘉e 批r ( i k r - 1 ) ， 堕o r ，) = 一上4 t r r 2 。 、。， 当丁，u a r j ，且巧在7 处光滑时，有 l i m u t c k ( t , u ) 一g o ( t ，) 】- 石i k 。 2 5 边界积分的计算 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 矩阵l 和m 的元素，以及式( 2 1 2 ) 中的系数都是单元上的边界积分， 仁r 哆，1 ) r ，( 7 ) = 厶厂fg k ( t ，u ) 哆_ l ( u ) d f u ， ( 2 2 8 ) 慨k ( 丁) = 0 ，嚣( 丁，u ) ( u ) d f u ， ( 2 2 9 ) 当t j 2 正时，边界积分的被积函数在正上不存在奇异点。当t 乃时，由式 ( 2 1 7 ) 可知，式( 2 2 9 ) 中的被积函数在拜上为零；由式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 3 ) 可知， 式( 2 2 8 ) 中的被积函数在u = t 时奇异。因此，所有边界积分中，只有当t 乃时， 式( 2 2 8 ) 为奇异积分。 本文中采用数值积分计算正常的边界积分。对于奇异积分，由于被积函数值在奇 异点附近急剧变化，采用数值积分计算将造成较大的积分误差。为了保证积分的精度， 2 内部声学问题的边界元模型硕士论文 当丁e 时，将式( 2 2 8 ) 改写为【3 4 】 ( j | c ) q ( 丁) = ( l o t ) ，la r j ( 丁) + 埘瓯( 丁，u ) 一g o ( t ，u ) 】哆，l ( u ) d f u ，( 2 3 0 ) 在式( 2 3 0 ) 的等号右边存在两项积分。由插值基函数的有界性，以及式( 2 2 2 ) 和式 ( 2 2 7 ) 中g r e e n 函数的渐进性，第二项积分的被积函数在巧上有界，此积分可以采 用数值积分来计算。第一项积分是k = 0 时的边界积分，仍具有奇异性，本文将采用解 析方法计算此积分。 2 5 1 直线段单元上的复合积分 对于二维平面线段上的曲线积分，以长度坐标t 为积分变量，由曲线积分公式，有 h f ，f ( u ) d f u = bf ? f ( t ) d t 。 ( 2 3 1 ) 区f b - 3 0 ，1 】上的定积分，可以由g a u s s - l e g e n d r e 积分公式计算。理论上，增加积分节点 可以提高数值积分的精度。但是，受计算机浮点数有限字长的限制，高阶数值积分公 式会产生较大的舍入误差。因此，实际应用中通常采用低阶的复合积分公式。设和 w m 分别是 - 1 ，1 】上的m 点g a u s s - l e g e n d r e 积分点和权重，则子区间个数为的复合积 分公式为【3 5 】 f 孑f ( t ) d t = 寺j ? h ) 拟昙篙三5c h o ) ， ( 2 3 2 ) 其中 h 仪) = 搿f ， ( 2 3 3 ) = 兰2w m ，= 三( 1 + ) ， ( 2 3 4 ) 2 5 2 平面三角形单元上的复合积分 对于空间三角形上的曲面积分，以面积坐标岛。和吼为积分变量，由曲面积分公式， 有 0 ，f ( u ) d r u = 2 4 以f ( t j o ，t v l ) d t j o d t j l ， ( 2 3 5 ) 其中积分区域为= ( ( 如，t j l ) i o t j o - i - t ! ，l 1 ，白o o ，白l o ) 。 与区间上的