（机械制造及其自动化专业论文）基于随机振动试验的模态参数识别.pdf

西南科技大学硕士学位论文第1 页 摘。要 工作模态参数识别技术是只在响应可测的实际工作条件下对结构动力学 参数进行辨识。与传统识别方法相比，其突出特点是无需测试激振输入数据， 仅利用响应测试结果便能识别出结构的振动模态参数，因此被视为对传统识 别方法的创新和扩展。本文的研究目标是利用白噪声输入的随机振动试验实 测响应数据识别结构模态参数，并结合工程实际结构来拓展工作模态参数识 别技术的应用。本文对工作模态参数识别方法进行了理论分析、算法编程和 试验研究。具体步骤是；第一步对传统试验模态参数识别方法的理论进行分 析，指出其方法的局限性，重点对工作模态参数识别方法中基于互相关函数 的特征系统实现法的算法做理论研究。第二步在m a t l a b 环境下编写基于相关 函数的特征系统实现法的算法程序，并且设计一个算例进行验证。第三步应 用i - d e a s 软件对结构进行有限元模态分析，利用初步分析结果指导后来的振 动试验和模态试验，接着在振动台上进行宽带随机振动试验，并测试其结构 响应，通过基于相关函数的特征系统实现法，进行结构的振动模态参数识别， 最后用传统的模态识别方法，对结构进行振动模态参数识别，并将两者的结 果进行了对比，对比结果两者有较好的符合性，从而表明文中给出的方法具 有一定的工程应用意义。 关键词：模态参数识舜j特征系统实现法有限元振动试验 相关函数 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 1 页 a b s t r a c t o p e r a t i o n a l m o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nc a r r i e so nt h e d y n a m i c s p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nu n d e rt h ea c t u a lo p e r a t i o n a lc o n d i t i o n so fr e s p o n s e o b s e r v a b l e c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a li d e n t i f i c a t i o n ，i tc a ni d e n t i f y t h e v i b r a t i o nm o d a lp a r a m e t e r so fas t r u c t u r eo n l yu s i n gt h er e s p o u s ed a t aw i t h o u t i n p u td a t a ，s oi ti sr e g a r d e da st h ei n n o v a t i o na n de x p a n s i o no ft h et r a d i t i o n a l i d e n t i f i c a t i o nm e t h o d t h ea i mo ft h i sa r t i c l ei si d e n t i l y i n gm o d a lp a r a m e t e r s o n l yu s i n gt h er e s p o n s ed a t af r o ma na c t u a lw h i t en o i s er a n d o me x c i t a t i o n v i b r a t i o n e x p e r i m e n t a n d d e v e l o p i n g t h e t e c h n o l o g ya p p l i c a t i o n o ft h e o p e r a t i o n a lm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o no na na c t u a ls t r u c t u r e t h i sa r t i c l eh a s c a r r i e do nt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，a l g o r i t h mp r o g r a m m i n ga n dt h ee x p e r i m e n t a l s t u d yt ot h eo p e r a t i o n a lr o o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d t h ec o n c r e t e s t e pj s - f i r s tt h e o r ya n a l y s i so ft h et r a d i t i o n a li d e n t i f i c a t i o nm e t h o d ，p o i n t i n go u t i t sl i m i t a t i o n ，d o i n gt h e o r yr e s e a r c ht ot h ee i g e n s y s t e mr e a l i z a t i o na l g o r i t h m b a s e do nt h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n s e c o n dc o m p i l i n gt h ea l g o r i t h mp r o g r a mo f t h ee r ab a s e do nt h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o na n dd e s i g n i n ga ne x a m p l ef o r c o n f i r m a t i o n t h et h i r d d o i n gf i n i t ee l e m e n tm o d a la n a l y s i so ft h es t r u c t u r e u s i n gi - d e a ss o f t w a r et oi n s t r u c tv i b r a t i o ne x p e r i m e n t sa n dm o d a le x p e r i m e n t s a f t e r w a r d s t h e nd o i n gv i b r a t i o ne x p e r i m e n t su n d e ft h ee n v i r o n m e n to ft h ew h i t e n o i s er a n d o me x c i t a t i o na n di d e n t i f y i n gt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i cu s i n ge r a b a s e do nt h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，f i n a l l yi d e n t i l y i n gt h em o d a lp a r a m e t e r so ft h e s t r u c t u r eu s i n gt r a d i t i o n a li d e n t i f i c a t i o nm e t h o da n dc o m p a r i n gt h er e s u l t sw i t h e a c ho t h e r t h er e s u l t sh a v et h eg o o dc o m p l i a n c e 。s oi td e f i n i t st h a tt h em e t h o d t h i sa r t i c l eg i v e sh a sc e r t a i ns i g n i f i c a n c eo np r o j e c ta p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：m o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n ；e i g e n s y s t e m r e a l i z a t i o n a l g o r i t h m ；f i n i t ee l e m e n t ；v i b r a t i o ne x p e r i m e n t s ；c o n e l a t i o n f u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西南科技大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：黎君 日期：z 卯7 - 孕，d 关于论文使用和授权的说明 本人完全了解西南科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文的复印件，允许该论文被查阅和借阅；学校可以公布该论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：梨君 导师签名：王豫弛趣啐日期：矽7 争，。 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 页 1 绪论 1 1研究意义和背景 1 1 1 研究意义 随着现代科学技术的飞速发展，新型结构不断出现，工程设计开始从传 统的由经验、类比和静态设计方式向动态设计方式转换，在这一过程中，结 构的动态特性起着至关重要的作用，结构的安全可靠性是与结构的动态特性 参数密切相关，特别是在振动设计及损伤检测方面，对系统参数识别是相当 重要的。 在通常的参数识别方法中，需要同时测试振动激励和响应数据，利用激 励和响应的完整信息进行参数识别，然而这些方法在具体应用时还是存在局 限性，因为对于某些实际工程结构，要获得输入激励的完整信息是难以实现 的，或者根本就没有获得任何输入信息。比如海洋平台、建筑物等在风、浪 以及大地像动作用下引起的振动，这些结构在实际工作时所承受的载荷往往 是不可测量或很难测得。又比如某些结构待识别的自由度很多，并且所受载 荷空间分布复杂，往往没有足够多的传感器，无法得到完整的输入信息。 对于这一系列输入未知的参数识别问题，发展仅基于响应数据的工作模 态参数识别技术显得尤其重要。其优点是：仅需测试振动响应数据，由于这 些数据直接来源于结构实际所受的振动工作环境，因而识别结果更符合实际 情况和边界条件；无需对输入激励进行测试，节省了测试费用；利用实时响 应数据进行模态参数识别，其结果能够直接用于结构的在线监测和损伤诊断。 1 1 2 研究背景 本文的应用研究背景来源于项目基金研究课题支撑系统隔振设计研究 中的一个子题，“基于振动试验的圆筒法兰结构模态参数识别”。圆筒法兰 连接结构是航天器设计中常用的一种结构形式，通过对该结构模态参数的准 确识别，为数值仿真及理论分析提供参考数据，对改进结构设计亦有重要意 义。 西南科技大学硕士研究生学位论文第2 页 1 2 国内外研究现状 只在响应可测条件下的模态参数识别技术，是近年来振动工程领域的一 个研究热点【“”，被视为对传统方法的创新和扩展。这一技术亦常称为工作模 态分析技术，在桥梁、建筑、机械等领域的实际应用中取得了实质性进展1 4 6 j 。 由于工作模态研究的是无法有效激励的或者难以测量有效激励信号、往 往只能获得自然激励或者工作动力下的响应信号的结构参数识别问题，因此， 工作模态参数识别方法研究较多的是基于响应信号的时域参数识别法【7 1 们。 也有部分学者研究频域【“1 和联合时频域的分析法【”1 。 时域参数识别研究较早的文献可以追溯到1 9 6 8 年c o l e 提出的单点单阶 模态测试的随机减量法【”i 。1 9 7 3 年i b r a h i m 创立的仅利用时域振动响应信号 进行参数识别的方法【1 ”，极大地促进了工作模态分析技术的发展，在随后的 多年该方法又不断得到完善【l ”l ，形成了独具一格的时域i t d 法。该方法的 特点是能够在未知输入条件下，直接根据响应时域信号进行模态参数识别， 识别时采用了全部测试数据提供的信息量，无需将测试信号进行不同域之间 的变化，避免了由数据变换而引起的截断误差；但该方法要求信号是平稳、 均值为零的高斯分布，实际应用时测试量大、不易克服噪声影响。1 9 7 6 年， b o x 与j e n k i n s 发表专著详细论述了用于时域参数识别的时序分析方法【1 9 j ，该 方法利用能反映系统特性的一组有序的按时间次序排列的随机数据，通过建 立描述这些随机数据内在规律的自回归模型( a r ) 或自回归滑动平均模型 ( a r m a ) 来识别系统模态参数，其优点是无能量泄漏，分辨率较高，可以 方便地用于在线模态分析，但该方法属于局部识别法，仅适用于白噪声激励， 实际应用时模型定阶比较困难，并且常规时序模型无法识别振型，因此近年 来模型定阶和多维时序模型的研究受到重视【2 0 4 ”。1 9 8 3 年m e t g e a y 研究了单 参考点复指数s r c e 法【2 2 i ，其核心是最小二乘估计和脉冲响应函数关于各阶 模态的复指数展开理论的结合，但该方法是一种局部识别法。后来l e u r i d a n 和v o i d 进一步发展了多参考点复指数p r c e 法1 2 3 1 ，该方法同时利用所有激 励点和响应点的数据进行分析，与s r c e 法相比扩大了参数识别的信息量， 使识别的模态参数具有整体统一性，并具有较强的对虚假模态的辨识能力， 识别精度大大提高，但该方法所要求的激励技术较为复杂，测试数据量和运 算量很大。1 9 8 4 年p a p p a 提出了特征系统实现法f “，该方法利用了n 自由度 线性系统的状态方程和系统最小实现理论，属于多输入多输出的时域整体模 态参数识别法，它以多点激励得到的脉冲响应函数矩阵为基础，构造广义 西南科技大学硕士研究生学位论文第3 页 h a n k e l 矩阵，利用奇异值分解技术，确定出最小阶数的用于描述状态方程的 系统矩阵和输入、输出矩阵，构成最小阶的系统实现，通过求解系统矩阵的 特征问题，得到固有频率、阻尼比和振型阵。1 9 8 5 年j u a n g 提出了另一类确 定系统最小实现的算法【2 ”，其核心是q r 分解技术，并进一步研究了模型缩 聚减小解算量问题。特征系统实现法的理论推导严密，它以最少的参数、最 小的阶次来描述系统的特征和进行求解，该方法识别精度高，是比较完善和 先进的时域参数识别方法之一，在航空航天结构中得到良好应用 2 6 - 2 7 1 ；但在 具体运用中，模型阶次的确定较为烦琐，在测点较多时h a n k e l 矩阵阶次很高， 对计算硬件要求教高。 9 0 年代以来，随着计算机技术、信号分析技术和试验技术的发展，系统 参数识别理论研究及应用获得很大进展。1 9 9 5 年j a m e s t 2 3 l 等人从解析结果推 导证明了系统任意点的脉冲响应，与白噪声激励时两点之间的响应互相关函 数具有相似的解析表达式，从而可以将运用脉冲响应函数进行参数识别的时 域基本方法扩展到运用相关函数进行参数识别，并进一步提出了利用互相关 函数识别工作模态参数的n e x t 技术，运用该技术对一个高速公路桥在交通 车辆环境激励下的模态参数进行了识别，并与力激励下的结果进行比较，结 果表明差异较小。在1 9 9 6 年举行的第1 4 届国际模态分析年会( i m a c ) 上， 利用响应互相关函数理论进行工作模态参数识别受到重视【2 9 l ，在随后的多 年，1 m a c 都有很多的文献和成果公开发表 3 0 - 3 3 l ，成为结构动力学参数识别 研究前沿。1 9 9 7 年h e r m a n s l 3 4 1 利用响应互相关函数替代自由响应信号并结合 传统的i t d 法进行系统识别。1 9 9 9 年p e e t e r s 3 爿提出了改进的随机子空间方 法，其本质就是将响应互相关函数与传统的特征系统实现法两者相结合，该 方法采用响应参考点、采样数据缩减技术，一定条件下解决了实际应用中数 据采样量较大给分析带来的困难，通过一个发射塔结构演示了它的具体应用。 目前国内在该领域的研究也非常活跃，无论是理论1 3 6 - 3 8 1 和应用1 3 9 4 1 1 上都取得 了较多的成果。 近年来，随着工程应用领域的不断拓展，进一步出现了一些其它新方法 及其变种形式。由于每种方法采用的假设和模型不同，因此在应用上都有其 局限性，但它们在描述结构的动态特性方面是等价的。必须指出的是，所有 这些方法都建立在响应测试是准确可靠的基础上，如果响应测试误差很大， 用它们来识别模态参数也就是没有任何意义。 综观这些年针对工作模态参数识别理论方法与应用的研究，不难看出工 作模态参数识别技术受到了国内外广泛重视，具有很强的实际意义和工程应 西南科技大学硕士研究生学位论文第4 页 用前景，它对于传统的试验室环境下依据传递函数的傅立叶分析的模态参数 识别是一项创新。但由于实际问题的复杂性，仍然存在一些问题需进一步研 究，这主要表现在： ( 1 ) 现有的工作模态参数识别方法在理论上都存在各自的局限性，如 i t d 法不易剔除噪声和虚假模态；而时间序列法的模型阶次较难确定；基于 响应相关函数的识别法要求数据样本长、平均次数多；单点复指数法利用的 响应信息太少，是一种局部识别法。因此这些方法还有一个不断完善的过程。 ( 2 ) 在工作模态参数识别方法的具体考证中，采用较多的是较为简单的 结构，并且主要针对平稳白噪声激励下的识别问题，而对非平稳激励的情况 研究得还很少。即使对于简单结构，现有的方法也不能说解决了所有问题， 当响应测试数据不完整、或者测试数据信噪比较低，现有的方法将会遇到困 难。 ( 3 ) 同传统的模态参数识别法相比，工作模态参数识别法无论是理论模 型、分析手段，还是计算方法都更为复杂，这就可能带来求解上的困难，例 如最b - - 乘原理对矩阵方程求解自回归系数可能遇到矩阵病态，又如h a n k e l 矩阵阶次的确定等。因此在模型自由度较多时如何保证数值分析的稳定性问 题，是值得进一步考虑的问题。 ( 4 ) 迄今为止，工作模态分析技术在桥梁、建筑等领域应用较多，但在 振动环境试验中的应用报道不多。 1 3 本文研究的主要内容和方法 本文的主要工作是完成特征系统实现法在工作模态参数识别中的理论、 程序实现以及应用。在复模态域中，对具有一般粘性阻尼的线性系统结构进 行模态参数识别。文中选择简单的悬臂梁结构来进行方法验证，然后对圆筒 法兰连接结构的下圆筒在振动试验状态下的模态参数进行了识别。文章主要 分为六个部分： ( 1 ) 理论分析 对传统试验模态参数识别方法的理论进行简要介绍，指出其方法的局限 性，重点对工作模态参数识别方法中基于互相关函数的特征系统实现法的算 法做理论研究。 ( 2 ) 程序实现和数值算例 西南科技大学硕士研究生学位论文第5 页 在m a t l a b 环境下编写基于相关函数的特征系统实现法的算法程序， 并且设计一个算例进行验证。 ( 3 ) 应用i d e a s 软件建立悬臂梁以及下圆筒结构的初始有限元模型，并 进行有限元模态分析，利用初步分析结果指导试验。 ( 4 ) 振动试验，在宽带随机激励下，对悬臂梁以及下圆筒结构测试响应 输出，通过仅根据振动响应输出进行参数识别的时域方法基于相关函数 的特征系统实现法，进行结构的振动模态参数识别。 ( 5 ) 模态试验，用传统的模态识别方法，对悬臂梁以及下圆筒结构进行 传统模态试验，识别出结构的振动特性，识别结果与工作模态参数识别结果 进行了对比。 ( 6 ) 对全文进行总结，并就进一步研究进行展望。 西南科技大学硕士研究生学位论文第6 页 2工作模态参数识别方法的理论分析 2 1传统试验模态参数识别的理论研究 2 1 1 系统的运动方程及傅立叶变换 传统的试验模态参数识别是建立在系统输入输出数据均已知的基础上， 利用激励和响应的完整信息进行参数识别的。 工程实际中的弹性结构可以离散化为有限个质量、弹性和阻尼元件组成 的多自由度线性系统，其运动微分方程为： ， 【j i f 】体( f ) + 【c 】岱( f ) + 暇】仁( f ) 一 厂o ) ( 2 - 1 ) 式中 肋质量矩阵，为正定及对称的n 阶方阵 翻n 阶阻尼对称方阵 朋n 阶剐度对称方阵，为正定或半正定 坛( 幻 ， 莺( d ， z ( 幻 各离散质量的n 维位移、速度、加速 度向量 对方程两边做傅氏变换得： ( 矿【m 】+ ，脚【c 】+ 】) 仁卜- 伊) 】 ( 2 - 2 ) 记【日( ) 】一( 一2 【m 】+ j , o i c 】+ 【k 】) - 1 则 弘( 奶 _ i n ) 】妒 ( 2 - 3 ) 式中阻( 硼系统的频响函数矩阵 x ( 珊) 卜响应 x ( 幻 的傅氏变换 f ) - 一激励 ，( f ) ，的傅氏变换 暇 ) 】也称导纳矩阵，其元日。的物理意义是，其他点上激励为0 时，f 点响应谱与p 点激励谱的复数比，即 2 器 a ， 根据导纳矩阵的对称性质，r 要通过测试获得导纳矩阵的一行或一列 元素，便能确定整个导纳矩阵，也就能确定系统的全部动态特性。 结构阻尼、比例阻尼或小阻尼的情况下，利用振型矩阵的正交性质，可 得到模态参数与导纳矩阵的关系式： 西南科技大学硕士研究生学位论文第7 页 ，= 砉若鬻丢 协s ， 式中 9 。第j 阶振型 k ，m i ，c ，分别为第f 阶模态刚度、质量、阻尼 运用模态参数识别理论进行参数识别，便可获得各阶模态参数。 2 1 2 传统试验模态参数识别方法简介 因为本文在结构试验中的激励方法采用的是锤击法，所以主要介绍单点 激励的传统试验模态参数识剐方法。 2 1 2 1 瞬态激励下的频响函数表达式 目前广泛采用的瞬态激励，主要有三种类型，即脉冲激励( 锤击法) 、 阶跃激励( 突然施加或卸去一不变载荷) 及快速正弦扫描激励。这一类激励 属于非周期激励，但我们亦可将其视为t 一* 的周期激励来处理。只不过应 用傅氏级数将其分解为无限多个谐波分量时，各相邻谐波分量之间的频率间 隔n ，i 叻一纫，r 一0 。在这种情况下，蛾的下标即没有什么意义了为此 我们将傅氏级数表达式的记号作如下更改： 峨一一q _ 驰q a r g , t - 妨a 珊 这样，非周期的瞬态激励便可表示为 埘- 螫。耋【獬艨咖出卜虬耋【妊觯咖出卜棚 ( 2 - 6 ) 当t 一* 时，a w - d 珊，可用积分符号j 来代替，上式即变为 川- 扭匠腓删出p j “d c o - - 去f f f ( 础脚如 ( 2 - 7 ) 式中p ( j o j ) 为，( f ) 的傅氏积分，即 ，( ，甸- rf ( 0 e 叫“出 ( 2 - 8 ) 式( 2 7 ) 与式( 2 - 8 ) 所表示的关系称为傅氏变换对，f ( j o , ) 称为，( f ) 的 傅氏变换，( f ) 称为，( ，吐，) 的傅氏逆变换，并简记为 f ( j w ) i 【，( f ) 】，( f ) 1 1 【，( j 奶】 西南科技大学硕士研究生学位论文第8 页 或f ( j ) f ( o 实际应用时，为了方便，常将角频率珊改用频率f1 妨来表示。并考 虑到在t o 以前，f ( t ) 1 0 于是式( 2 7 ) 与式( 2 8 ) 便可改写成 f ( j f ) - 【，o ) 】- j c ，( f 弘一坤出 ，( f ) _ 1 旷( ) 卜r f ( 弘7 砷够 ( 2 9 ) 这一对变换称为单边傅氏变换对。 经过上述分析，可以认为：瞬态激励力，( f ) 是由无限多复幅值为f ( j f ) 够， 频率为f1 0 口2 x ( 可连续取任意值) 的简谐激励力连续叠加而成。根据线性 系统在简谐激励和周期激励下的频率响应特性，可以推断出：线性系统在瞬 态激励力作用下引起的非周期振动，同样也可表示为 工( f ) - 正x ( 矿弦7 2 妒够 式中 工( ) 一f x ( o e - j z 毋d t ( 2 一1 0 ) 因而，在一般情况下，系统的频响函数均定义为输出与输入的傅氏变 换之比，即 h u f ) 怒一器( 2 - 1 1 ) 其幅值及相位角均是频率f 或角频率的连续函数。 综上所述，频响函数在不同激励下的不同表达式实质是一脉相承的。非 周期的瞬态激励，能够激发出系统在一定频率范围内，所有频率点的动态特 性，而周期激励却只能反映出系统在一系列等问隔的离散频率点上的动态特 性 2 1 2 2 共振峰值法 西南科技大学硕士研究生学位论文第9 页 固有频率r 附近时，该阶模态导纳便起主导作用，其余各阶模态导纳的影响 可忽略不计。即 。h l p r 此时，整个系统等效于一个单自由度系统。利用幅频特性和相频特性， 便可确定系统的模态参数。 在待测结构上选择1 个测试点，求其中某点p 对所有各点的位移导纳。 点数卜一般应大于拟选的模态数n ( 自由度数) 则p 点对任意点1 的位移导纳 可作如下处理： 当激振频率在r 阶固有频率附近时有 h 卜赢 q 1 2 因此，由测得的幅频曲线卜驴( 叫的第r 个峰值位置( 共振频率点) ，便 可以近似确定r 阶固有频率咋由( o r 两侧半功率带宽，可以确定r 阶模态 阻尼比弓( 。瓦t o ) 由咋处位移导纳幅值卜驷呜i ，便可按下面方法确定模态 刚度和该阶振型侈k 当n ，一咋时有 k 竹卜崭( 2 - 1 3 ) 故在令的值等于1 时，由原点导纳曲线的峰值可得r 阶模态刚度为 。砰习1 此外，当一o ) r 时，f 个导纳的幅值分别为 ( 2 - 1 4 ) 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 0 页 显然，r 阶振型为 - h t 计鲁 b q i - 哿 h 啤1 竖2 k r ；r t | j = r 妒哆1 t p 2 p ( m r l t b 咋1 ( 2 - 1 5 ) 用共振法确定模态参数，方法简便直观。但由于略去了相邻模态的影响，得 到的模态不纯。因此，共振法的精度较差，特别在识别模态阻尼比和振型时， 可能引起很大的误差。另外，当各阶模态耦合紧密时，单个( 主导) 模态可 能无法分离。这种方法只适用于模态耦合较弱和阻尼较小的系统，或用来初 步估算。 2 2 工作模态参数识别的理论研究 工作模态参数识别方法中，作为理论基础的响应互相关函数理论非常重 要，其基本思想是白噪声环境激励下结构两点之间的响应互相关函数和脉冲 响应函数有相似的表达式，求得两点之间的互相关函数后，可用相关函数替 代脉冲响应函数来进行参数估计。 2 2 1 响应互相关函数理论 对于状态空间下的线性系统，其运动方程为 m + 陋- f 其中： m ，2 瞄苫】，吲2 慝一乞】，肛斜，如 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 式( 2 - 1 7 ) 中【 f 】、【c 】、冈分别为质量，阻尼和刚度矩阵( r ) 为位移向量； ，( f ) 激励力向量，利用模态坐标变换 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 1 页 积f ) = 【妒2 善妒，吼( f ) 2 砌 其中【妒】为复模态矩阵，q ( t ) j l o 模态坐标向量，妒，为第，阶振型将( 2 - 1 8 ) 代入 ( 2 1 6 ) 式，并前乘【妒】7 可得模态坐标方程 圣( f ) 一一日，( f ) - o l a ，) 妒y f t t ) ，f = 1 2 m ( 2 - 1 9 ) 这里利用了利用模态振型正交条件 眇r m 】【妒】- 【4 】，眇】r 【剀眇】- 嘲 其中【4 】、【b 】均为对角阵，其元素分别为4 ，、b ，；而- 地a ，) 。 个自由度激励下，i 自由度响应为 删- 薹等”哪 ( 2 - 2 0 ) 则在第k ( 2 - 2 1 ) 当上式中的，i p ) 为在f = 0 处的6 函数，就得到系统脉冲响应函数k ( f ) k 一茎警扣( 2 - 2 2 ) 定义两个稳态响应信号o ) 、靠( f ) 之间的互相关函数仃) ( r ) - k ( f + r ) x 辟( f ) 】 ( 2 2 3 ) 将式( 2 - 2 1 ) 代入( 2 - 2 3 ) ，假设 o ) 为白噪声，则日 0 ) p ) 】- 吼6 ( r 一力， 吼为常数，6 ( f ) 为狄拉克函数。于是 ( 2 - 2 4 ) 考虑不相关多点激励情况，即k = l n ，通过上式迭加得到两个稳态响应信号 之间的互相关函数心为 嘞口) 一妒一爿v ( 2 2 5 ) 其中 妒薹薹耥( 2 - 2 6 ) 比较( 2 2 2 ) ；f g ( 2 - 2 5 ) 两式，可以看出两点响应之间的互相关函数和系统的 脉冲响应函数一样都能表征为一系列复指数函数的迭加，这就证明了在时域 内系统任意点的脉冲响应与白噪声激励时各输出点测量信号之间的相关函数 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 2 页 具有相似的解析表达式。从而可以用相关函数代替脉冲响应函数( 或自由响 应函数) ，将运用脉冲响应函数进行参数识别的时域基本方法扩展到运用相 关函数进行参数识别，这一思路避免了测试输入的问题。 互相关函数法的算法是：首先对响应信号采样，然后对采样数据进行自 相关和互相关计算，最后将计算的相关函数作为脉冲响应函数，结合传统的 各种时域基本方法进行参数识别。 2 2 2 用于参数识别的状态空间模型 对于n 自由度线性定常结构系统，其运动方程可表示为 m d ( t ) + c 6 ( 0 + k 6 0 ) 一b f ( f ) ( 2 - 2 7 ) 其中厅、万、露分别为n x n 的质量、阻尼和刚度矩阵；，( t ) 为p x i 的激励 力矢量；万为n p 的激励力空间分布矩阵；6 为n x l 的位移响应矢量。 令 圳= m 1 小匕刽一= 譬爿 c z z 8 ， 则式( 2 2 7 ) 可转换成如下的连续时间状态空间方程 j ( f ) - 4 工o ) + 也f ( 0 ( 2 - 2 9 ) 其中a 。为系统矩阵( 2 n x 2 n ) ；b 。为输入矩阵或控制矩阵( 2 n x p ) ；石( f ) 为系统状态矢量( 2 n x l ) ，状态矢量所含的元素个数是描述系统振动状态所 需的独立变量个数。由于在实际振动测试中，并非总是对所有的n 个自由度 进行测试，因此假设测试自由度数为工( 三s ) ，在每个测试自由度上所测 试的或者是位移、或者是速度或加速度，系统的输出可表示为 y o ) 一e 6 ( 0 + c ，6 ( 04 - c d 6 ( 0 ( 2 - 3 0 ) 其中y ( d 为输出矢量( l x l ) ；c 。、c ，、c 。分别是位移、速度、加速度的 输出矩阵，均为l x n 阶的。若令 c - b c 。厅。1 露c c 。厅1 刮，d c c 。厅百 ( 2 3 1 ) 则式( 2 3 0 ) 就转换为 y ( o c 。石( f ) + d 。f ( f ) ( 2 - 3 2 ) 其中c 。为输出矩阵( 三x 2 n ) ；d 。为传输矩阵或直接传递矩阵( 工x p ) 。 式( 2 2 9 ) 的状态方程和式( 2 - 3 2 ) 的输出方程联合构成了完整的描述结构 系统输入和输出的连续时间状态空间模型。但在实际计算系统的状态z ( f ) 时， 由于数字计算机只能在离散时刻点k a ( a 为采样时间问隔) 上进行分析计算， 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 3 页 因而必须对连续时间状态空间模型进行时间离散化处理，将其由矩阵微分方 程转化为离散状态下的矩阵差分方程，离散化的本质在于导出能在采样时刻 k a ( k - - 1 ，2 ，3 ，) 上给出与连续状态x ( f ) 同值的离散状态工( 七) 的离散状态 方程。首先对式( 2 2 9 ) 进行离散处理，利用拉普拉斯法求解非齐次状态方程 可得： 工o ) - 一。吨工( f o ) + p 4 0 呐也f o y f ( 2 - 3 3 ) 气 其中f 。表示状态矢量的初始时刻。取f 。= k a ，t - - ( 七+ 1 ) a 得 水+ 1 ) a 】一p 4 6 x g 厶) + 丘埘e 4 舭+ 1 一b 。f o m ( 2 3 4 ) 对上式的积分式作变量代换f = k a + s ，于是 越 + 1 ) 厶】e & a x 舭) + r 一b c f ( k a + s ) a s ( 2 3 5 ) 根据离散化原理，连续时间状态空间模型中与时间有关的量均只在 等间隔采样时刻上发生变化，而在相邻两次采样时刻k a 与( 七+ 1 ) a 之 间保持不变，其值等于k a 时刻的采样值。这就有 f ( 地+ s ) - ，( 姚) ( = o ，l ，2 - - ) ( 2 - 3 6 ) 于是式( 2 3 5 ) 变为 4 ( k + 1 ) a 】e & a x ) + e & ( a - s ) b , a s ) f ( k a ) ( 2 3 7 ) 显然有0 j a ，根据矩阵指数的性质，即 兰p 4 ，利，e 和= c4 a ， ( 2 - 3 8 ) 出 由式( 2 3 7 ) 和式( 2 3 8 ) 就得到离散时间状态方程 研0 + 1 ) a 】1 出( 地) + b f ( k a ) ( 2 - 3 9 ) 其中a = e 舭，口= 似州。- b 。离散时间输出方程可直接根据式( 2 - 3 2 ) 连续 时间输出方程获得，因式( 2 3 2 ) 不含关于时间变量t 的导数项，所以有 ) ，鼢) - ( 地) + o f ( k a ) ( 2 - 4 0 ) 其中c = c 。，d = d 。式( 2 - 3 9 ) 、( 2 - 4 0 ) 联合构成了时间离散上的状态方 程，由振动理论可知，实际振动结构的模态参数，即固有频率、模态阻 尼和振型是与状态方程的矩阵a ，c 密切相关的，而模态贡献因子与矩 阵口有关。 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 4 页 2 2 3 基于相关函数的特征系统实现法 通常的特征系统实现法利用了n 自由度线性系统的状态方程和系统最 小实现理论，属于多输入多输出的时域整体模态参数识别法。它以多点激 励得到的脉冲响应函数矩阵为基础，构造广义h a n k e l 矩阵，利用奇异值分 解技术，确定出最小阶数的用于描述状态方程的系统矩阵和输入、输出矩 阵，构成最小阶的系统实现，并进一步求解系统矩阵的特征问题，得到系 统的固有频率、阻尼比和振型阵。特征系统实现法的理论推导严密，它以 最少的参数、最小的阶次来描述系统的特征和进行求解，该方法识别精度 高，是比较完善和先进的时域参数识别方法之一，但需要同时测量输入和 输出从而得到脉冲响应函数，但在一些情况下，输入数据并不可测。 互相关特征系统实现法是基于响应互相关函数理论，对于输入不可测 量的随机状态空间模型，利用实测的响应互相关函数构造h a n k e l 矩阵，采 用奇异值分解法，确定能够反映实际系统动态特性的阶次最小的系统矩阵， 由系统矩阵的特征值和特征响量确定模态参数。 对于输入无法测试的结构系统，将其时间离散域上的状态方程表示为 x ( k + 1 ) - a x ( k ) + 占w ( 七) ( 2 - 4 1 ) y ( k ) 一c x ( 七) + d 啡) ( 2 - 4 2 ) 其中一为系统矩阵( 2 2 ) ；曰为输入矩阵( 2 p ) ；c 为输出矩 阵( j l x 2 n ) ；d 为传输阵( 工x p ) ；a 为采样时间间隔；工( 为k a 时刻系 统的状态矢量；y ( 七) 为k a 时刻系统的响应矢量。w ) 为k a 时刻系统的输入 激励矢量，由于输入是未知的，因而用确定性分析方法是无法得到系统的 矩阵一，口，c 的，但由于很多实际环境中结构的振动往往是平稳随机的， 为此假设w ( d 为均值零的随机白噪声，满足e ( w ( k ) w 7 ( d ) = ，( ，为p 阶单位 阵) 。特征系统实现法是给定y ) 去构成系统的矩阵a ，b ，c ，每一组这样 的矩阵称为系统的一个实现，其中满足状态空间模型阶次最小的实现称为 特征系统实现，此时的矩阵a 、c 是与实际物理系统的模态参数相关的特 征系统矩阵。下面的问题是在输入不可测量的条件下，通过测得的响应互 相关函数去构成特征系统矩阵。 对( 2 4 1 ) f 阳( 2 4 2 ) 两式左右乘以y 7 一0 后取数学期望，可得到用随机 振动统计特征量表征的式子： o ( i + n a o ( i ) + b o ( o ( 2 - 4 3 ) 矗( f ) 一c o ( i ) + o a ( i ) ( 2 - 4 4 ) 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 5 页 其中o ( i ) 一e ( x ( k ) y 7 一d l r ( f ) 一e ( y ( k ) y 7 ( 七一f ) j 仃o ) t e ( w ( k ) y 7 肚一圳均是二 阶统计量( 自相关或互相关) 矩阵，i = 0 ，1 ，2 ，”。令g = 0 ( 1 ) 一e ( x ( k ) y 7 罅一1 ) j ， 考虑到当前输出与过往输入之间的独立性，即有口a ) = 0 ( f 1 ) ，则由以上 两式可得 r ( i ) = c a 。4 g ( 2 4 5 ) 根据线性定常系统的脉冲响应函数与矩阵a ，b 、c 之间的关系，式( 2 4 5 ) 表明响应互相关函数矩阵r ( 0 是某个由矩阵a ，g ，c 构成的系统的脉冲响应 函数矩阵，为了明确该系统的各个矩阵，构造基于s ( 0 的广义h a n k e l 阵如下 h rq 1 ) - - 月g ( i + 1 j r p + p 1 j r “4 - 1 j矗p + 2 j r 牡4 - 彤 i；i r 仃+ 4 1 ) r 和4 - 砂 矗仃+ 4 + p 一2 川d 。皿 ，i = 1 ，2 ( 2 - 4 6 ) 其中参数口和卢决定了h a n k e l 矩阵的行和列，a 和芦的值是通过让h a n k e l 矩阵的秩趋于稳定来确定。投据式( 2 4 5 可褥 h 。o - 1 ) - - - c 翻 c a 4 - 1 a 。1 【ga g a p 4 g 上孵 ( 2 4 7 ) 将上式简写为 日。o 一1 ) - p a “1 q ( 2 - 4 8 ) 当i = 1 时，有 日。( o ) - p q ( 2 - 4 9 ) 为了得到矩阵p ，q ，对日。( 0 ) 实施奇异值分解( s i d ) ，则 一7 - 帆u z r ：心一u i s ( 2 - 5 0 ) 其中c 厂，矿分别为a l 和口工阶的正交矩阵；s 为口阶的对角阵，它所包含 的非零奇异值按降序排列，非零奇异值的个数即为日。( o ) 的秩；式中第二个 等号后面是按奇异值进行分块的结果。根据式( 2 4 9 ) 、( 2 - 5 0 ) 以及h a n k e l 矩 阵日( o ) 的特征可得 p u 1 舅位 ( 2 5 1 ) q - 斟7 v ( 2 5 2 ) 由式f 2 - 4 8 ) 有 西南科技大学硕士研究生学位论文第1 6 页 h 。( 1 ) 一p a q 由式( 2 5 1 ) 、( 2 5 2 ) 、( 2 5 3 ) g 得 a - s ；2 c ，；h 8 ( 1 ) s i “2 ( 2 5 3 ) ( 2 - 5 4 ) 令；= p 。0 l 0 t 】。，e ；= 【，。0 。0 l 。哪，对式( 2 4 6 ) 左 乘e i ，右乘e ：，并考虑到式( 2 - 4 8 ) u - i 得 占f h 。( f 一1 ) e 2 - r q ) 一e f p a - 1 q 匠： ( 2 5 5 ) 将式( 2 4 5 ) 和式( 2 5 5 ) 进行比较可知，它们有完全类似的形式，于是有 c - 巨p 一互f u 。霹7 2 ( 2 5 6 ) g 妈- 耐胆曙e 2 ( 2 - 5 7 ) 由式( 2 - 5 4 ) 可知，矩阵a 的阶次取决于s ，的阶次，而s ，的阶次为2 n ， 因此尽管日。( 1 ) 的阶次很高( 吐肚) ，经过奇异值分解后，a 为2 n 阶方 阵，它是描述2 n 阶系统的最小阶次。对日。( o ) 实施奇异值分解可以理解为： 从逼近理论来说，。s 曙是丑。( 0 ) 在所有子空间中的最佳逼近；从信号处理 来看，相当于对日。( m 数据进行一次滤波，被滤掉的是对应于奇异值为零的 那些与输入无关的随机噪声。 利用式( 2 5 4 ) 和式( 2 - 5 6 ) 得到离散状态系统的矩阵a 、c 后，实际物理 系统的模态参数可由矩阵a 的特征值和特征向量以及矩阵c 来确定，推导如 下： 假设a 的第r 个特征值( 复数) 为所= 口，+ j 羼、第，个特征向量为竹( 复模 态) ，根据离散状态系统的矩阵彳，c 和连续状态系统的矩阵a 。、c 。之间的 关系，即 彳= e 4 ，c = c 。 ( 2 5 8 ) 有 p r = o t ，+ j 露= c 6 - - - - c “+ 冉玷，妒，= 孵 ( 2 5 9 ) 其中一- - a ，+ j b ，和妒，分别为a 。的特征值和特征向量。于是求得 旷去n k + ) ，以2 丢【a r c t a n ( 尝) + h 】c k o ，t 互。(