（通信与信息系统专业论文）高精度频率估计算法研究.pdf

硕士论文 高精度频率估计算法研究 ab s t r a d f 明uen 叮e 蛇 汕掀 l onisan汕训rt ant p artofdi gi 回5 1 ，al户 . 比 s s i n g ， toe 拓 m a 妞阮 白 闪 u 即 c yof s 访 理 沁 i d山 ro w 压 刃indoisc isac l as s i 。 目即 切 ect of s i 即alp 到 洲 义 治 s l n g ， c u n 笼 旧 目 y，hi gh口 p recision 丘 闪 朋n c ye 蛇 im 如on 恤5卜 笼 n， u 。 ， 活 5 五 d l y哪 甲 i i ed to r a d a r d e te 比dg， sonar幼d。 理 th q ua 坛 m 耐t o 山 唱 ， 腼d g ev i b ra ti o n加 st 劝 喀阳 dd ec tl ” ni c 伪浏力 切 面 “ 时 l ons t echoo l o gy， th e re fo re ， 比 e stud yofhi gh. p 卿i s i o n介 eq讹n c ye s t i m 成 ion 目 g o ri th mh asan汕pohantth eo祀 t i 喇胡d 越 扣 】 i edv al u e . t b ep 即 er isn 跳 姆 aj 陷 hon邓 v el 幻诊 衅sof hi gb. p r 沈ision 丘 月 uenc y已 蛇 ir 比 时 io n al gor ith m s ， 泳1 侧 阮gthe amp l 而d ehaom e th od， p ha 阴 d i 月 七 r e n ce m e th od， 5 详 烈 刊 比 山 1 仙in gm e th o d and a u t o c o n 1 西onsas si s t 目 m e th 。 氏 叨m p aretheal gori th m s ， p e 雨n n a n c eb as ed on the ai 1 a i ys isofits p n n c iple田 ldfe 刊 吐 re s ， g e t the re l ation of ro ot-m 田 . s q 谈 比 e d evi ationand 旧ativefr eq u e n c y d e v l ati。 氏aswen asth e si gna l -to一i se n 妓 1 o bymo n t e c arlo 5 面u l atio 氏助d 公 le n com p ar e th e e st i m at edm ot刀 q e a n s q 侧 叮 e e rr o r to 此c n 泣 n e r- 凡 ” 1 b and .m e an w hi 】 e ，thep a ， 叮 目vancess omel l刀 p r o v 曰 hi gh. p r ec i si on fr eq咖 cy e st l m a t ion a l g o ri thn招 . t 七 el 找 lp r o v ed p ar a bolic in t e 耳 心 l ation m e th odisa s u p p i 。 刃 e ntto几fe目 g o ri th m ， of嘱 七 i chperfoc e l s 户 沁 r w h e n the si gnal 丘 叫朋。 。 yisn e a 了to th edi sc r e l 已肠 闪 u e n c y.t b el n te 耳 幻 l a 幼 o nm e th od r e l 助 闭 俪由 a u 奴 兄 o rrel ation p r e tr 已 劝 m e n 丸can be e 巧 戈 ti v e l ys upp r e s s 吨 noise andm lp ro v i ng the 伴而n 刀 a n c e inl o ws n re n v l r o 到 m ent. badd iti 叽 the p al 兄 r 代 月 u c e s th e com p u tati o n of 丘 阅逃 n y e st l m at i o 刀 ai gori th mb as edon伪 叫 ， en c y 。 任 沁 t co n 卫 c t i o n . 丁 b ep ape ra n a l y s iz 笼 sas 如p le 皿de ff 改 石 ve p u i se . p a 厅al g o 对 th m 初th 】 e s s 叨m p u tati 叭 the th i nk 如 g ofp u 比， p air m e 山 edm ayh a v e a r e fe r e n ceton 娜 叮 y spec tr 侧 m re， 出 引 陷 hsch o l a 了 5 . freque n c ye s t i m at i on， f f t，a u to 介l ati叽 rootmean s q u aj 吧 e rr o 乙c r b l l 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过 的 研究成 果， 也不 包含我 为 获 得任何教育 机构的 学位或 学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已 在论文 中作了明确的说明。 研究生签名:了 问年7 月) 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 问 年 月1 日 硕士论文高精度预率估计算法研究 1绪 论 l l课题研究背景及意义 随机信号的频谱分析在现代数据分析中 起着重要的作用。 频谱分析就是基于有限 的数据估计信号、 随机过程或系统的频率成分。 处理时变信号的一种常用的技术是将 其变换为频域中的等价形式， 这就是根据信号类型( 周期的、非周期的或随机的) 的不 同， 找出它的傅里叶级数或傅里叶变换的关系式， 这种傅立叶变换技术已 经广泛地应 用到数据整理中。 因为在很多情况下， 信号的频域形 式比较易于解释和表征， 信号的 频谱通常是原始信号的一种更为简单的 表达方式， 同时因为利用频域方法适于解释信 号通过线性系统以后的变化， 所以随机信号的频谱分析法在科学、 工程、 经济、 社会 科学等领域中得到了广泛的应用。 例如，对汽车、飞机、轮船、 汽轮机等各类旋转机 械、电 机、 机床等机器的主体或部件进行实际运行状态下的谱分析， 可以提供设计数 据和检验设计效果， 或者寻找振源和诊断故障， 保证设备的安全运行等， 在声纳系统 中， 为了 寻找海洋水面船只或潜艇， 需要对混有噪声的信号进行谱分析， 以 提供有用 信息， 判断舰艇运动速度、 方向、 位置、 大小等。 因此对谱分析方法的 研究， 受到普 遍注意和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。 高斯白噪声中正弦波频率估计问 题是频谱分析的重要内容， 正弦信号频率估计是 指通过对信号采样值的计算和变换， 估计出淹没于噪声中的信号频率的过程。 频率估 计不仅在理论上， 而且在实际应用中， 都有着非常重要的研究价值。 对被污染的有限 长正弦波信号频率进行精确估计在雷达、 通信和声纳等领域有着广泛的应用， 特别是 在 f m c w 雷达测距方面占 有举足轻重的 地位。 如在电子对抗领域， 雷达信号的频率 信息是信号分选、 威胁识别、引导干扰的重要参数， 如何对截获雷达信号载频进行高 精度估计一直是电子战接收机的设计重点， 大规模集成电路的发展为数字测频提供了 硬件平台， 数字接收机既可以 进行实时 处理， 也可以 将信号存储起来， 数字测频的核 心在于算法， 灵活多样、 精度高是数字测频算法的 特点， 采用什么算法要根据实际信 号 环境以 及 所要 达到的 精 度 来 确定 川 。 目前国内外己经提出了不少方法， 主要分为时域、 频域及时一频分析算法等， 计 算量小、精度高的快速频率估计更是倍受电子领域专家学者的关注，利用 mu s i c算 法、 a r模型算法以及最大似然估计算法等现代谱估计的方法， 可以对正弦信号频率 进行精确估计，但由 于算法复杂，计算量巨 大，难以实时处理而限制了进一步应用。 而 采用离 散傅立叶 变换 ( d 盯) 的 直接谱估计 法， 由 于物理意义明 确， 计 算量小 ( 借助于 f f d ， 得到了 广泛的 应用。因 此， 基于f f t的 高 精 度频率估计技术研究 具有重大的 实际意义和应用价值， 在目 前的工程实践中也具有广阔的发展前景。 但d f t中存在 能量泄漏和栅栏效应， 使得这种方法具有很大的 误差， 并且算法精度在很大程度上依 硕士论文 高辅度频率估计算法研究 赖于采 样长度 n 周 。 因 此， 为了 提高d f t的 精度， 诸多学者致力于频谱校正理论的 研究， 来解决离散频谱误差较大的问 题， 提出了 许多快速、 精确、 实用的频率估计改 进算法。 i j频谱校正技术发展现状及趋势 自1 %5 年库利一图 基在 计算数学 杂志上首次提出 快速傅里叶变换算法以来， 随着微机的推广和普及、 运算速度的提高， f f t 和频谱分析很快发展成为机械设备故 障诊断、 振动分析、 无线电 通信、 信息图象处理和自 动控制等多种学科重要的理论基 础。 f f r 和谱分析运算速度迅速发展， 而且还会随着微机运算速度的提高而进一步加 快， 已 经能够满足大部分工程界的需求。 但由于计算机只能对有限多个样本进行运算， f ft 和谱分析也只能在有限区间内进行， 这就不可避免地存在由于时域截断产生的能 量泄漏， 使谱峰值变小、精度降低，即 经 f f t得到的离散频谱其幅值、相位和频率 都可能产生较大的误差。 长期的应用和理论分析表明: 单频正弦波加矩形窗时最大误 差理论上可达36. 40/0 ， 即 使加其他窗时， 也不能完全消除此影响， 在加h 9 窗时， 只进行幅值恢复时的最大幅值误差仍高 达巧. 3 % ，相位误差高达90度。因此，频谱 分析的结果在许多领域只能定性而不能精确的定量分析和解决问题， 大大限制了该技 术的 工 程应用， 特别是 在机械振 动 和故 障 诊断中的 应用受到极 大限制f31 . 从70年代中期， 有关学者开始致力于频谱校正理论的 研究以期解决离散频谱误 差 较 大 的问 题。 19 75年j o h n c . b ur g 韶等 从 事电 学 领 域 研 究 工 作的 学者 采 用 插 值 法 lj， 对加矩形窗的离散化频谱进行校正， 解决了电学中的离散高次谐波参数的精确测量问 题; 1 9 83年t 、 o tnas g “ 山 d k e 提出 了 加h 朋 画 n g 窗 的 内 插 法 阁 ， 进 一 步 提 高了 离 散 高 次谐波参数的分析精度: 1993年， 丁康和谢明提出了三点卷积法幅值校正法161 ， 提高 了 频率间隔较大的信号的离散频谱幅值精度，解决了工程实际中的一些问题;1994 年， 谢明、 丁康和黄迪山 等提出 和发展了比 例频谱校正方法 iv，幻 ， 使内 插法系统地发 展成为一种通用的频谱校正 仿 ，法， 解决了频率间隔较大的离散化频谱幅值、 相位和频 率的 精确求解问 题， 并开始对离散频谱的校正方法和误差分析进行了深入系统的分析 和研究;1 9 95年， 刘进明， 应怀樵等提出了f f t 谱连续细化分析的傅立叶变换法【0. 引入了 频谱细化的 概念， 提高了 频率分辨率，有效提高频率估计精度;19 98 年刘渝 提出了 采 样一 段信号 作n点 和n 口点f f t 的 校正方法， 利用相位信息估 计频率1 1 0: 1 999年，丁康、谢明等提出了对连续时域信号分前后两段作傅里叶变换，利用其对 应离散谱线的相位差校正出 谱峰处的 准确频率的相位差校正法， 该方法可在不知道窗 谱函 数表 达式的 情况下， 直接用其相位差 进行频率 和相位校正 ll 1 ; 2 00 3年， 丁康、 钟 舜 聪 总 结了 以 往 相 位 差 校正 法的 思 想， 提出了 通 用的 离散 频 谱 相位差 校正方法112 气 2006 年， 张英龙、刘渝提出了 基于频偏校正的正弦波频率估计方法fl3 1 ， 用一点自 相 硕士论文 高精度须率估计算法研究 关值来辅助估计频偏， 时频域算法结合， 有效提高 精度， 且计算量小; 2 006 年， s aman 5 . a 比 y se k m， 结 合f ft提出 了 几 种基 于p p 算 法的 综 合 算法 11 叼 ， 通过自 相关函 数结 合f f t估计信号频率，算法简单且性能优越。 目 前国内 外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法: 第一种方法是离散频谱三 点 卷积 校正法 61 ， 它是 在已 求出的 加能 量恢复系数的多 段平均功率的基础上， 采用系 数为1 的三点序列与功率谱进行卷积得到校正幅值的功率谱， 这种方法的优点是简单 易 行、 运算速 度快、 精 度高( 理论分析加h 别 山 山 n g 窗时 最大误差只 有1 0/0)、 不受 频率 ( 转 速) 有小 波动的影响。 第二 种方 法是对幅值 谱进 行校正的比 值法卜 7 s. zi.22)， 这种方 法利用归一化后差值为1 的两点窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程， 解出频率，再进行幅值和相位的校正，校正的频率、幅值和相位精度可达细化 100 倍以 上效果. 第三种方 法是f f t 十 f t 谱连续细化分 析傅立叶 变换法网 ， 该方法用f ft 作全景谱， 针对要细化的局部再用d ft 进行运算，以得到局部细化精度极高的频谱， 这种方法的优点是适应性好， 精度较高， 缺点是计算速度下降太多。 第四种方法是相 位差法川 一 1 ， 在相 位差 校正 法中， 第一 种做法是 采连续两段 样本， 对这两 段序列进行 傅立叶变换， 利用其对应离散谱线的相位差校正出 谱峰处的准确频率和相位， 这种方 法进一 步发展成为时移 相位差法四， 平移的点数 是可以 选择的; 第二种做法是只采样 一段时域信号，对这一段序列分别进行n点和n 1 2 点的f 盯 分析，利用其相位差进 行频谱校正。 oj ， 这种方法进一步可以 推广为改变窗长法; 第三种做法是将原时域序列 前n 12点平移n 14点， 将序列的前后n / 4 点置零， 再分别对原序列和新序列进行f 盯 分析， 利 用对 应峰值谱线的 相位差进行频谱校正 1 叨 . 实际上， 所有相位差 法的 基本原 理是一致的，就是通过时移和加不同的对称窗进行两次 f f t分析，并利用离散频谱 对应峰值谱线的 相位差求得频率和相位校正量， 综合这些方法并推广即为通用的相位 差校正法l 刀 . 从目 前国内 外 学者 所进 行的 大 量研 究工 作来 看， 主 要是 对单频率信号 ( 或频率间 隔 较大的多频率 信号) 离散频谱的自 动 识别和校正 方法进行探 讨， 密集频率的 校正也 只限 于 两个临近频率成分的 校正 件川， 未 能深入 到连续频率成分频谱的 误差和校正 方法的研究。 而实际工程中的很多信号是密集频率成分或连续频率成分的信号， 在有 限样本长度下，由 此类信号的f ft 谱很难识别其频率构成，确定各频率的参数。 而 且由于旁瓣泄漏或主瓣千涉的影响， 基于单频率信号频谱校正的比值法不再适合此类 多频信号。 对此类信号在进行离散频谱分析时所产生误差的 分析方法与频率间隔较大 的信号误差分析方法存在巨大差异， 校正方法也不相同， 校正的难度极大。因此， 只 有对这类信号在进行离散傅里叶变换时所产生的 误差进行深入系统的分析与研究， 并 找到一种较完善的频率、 幅值和相位的 校正方法， 才能使离散傅里叶变换和频谱分析 在工程中得到更广泛应用。 当前， 具有密集频谱的 频谱校正问 题是目 前频谱校正技术 硕士论文商翔度频率估计算法研究 最 难解决的问 题之一， 成为 工程界和 研究离散 频谱 校正的 学者们关注的 焦点 131 。 1 3本文主要工作及论文结构 本文主要工作是研究频谱分析的几类高精度频率估计算法，主要包括幅度比值 法、 相位差法、 频谱细化法和自 相关辅助法。以不同信噪比下频率估计均方根误差作 为比较对象，以频率估计均方根误差理论下限c r b作为衡量指标，对各种算法性能 进行分析、比 较及计算机仿真，针对算法存在的缺陷，对算法作适当改进。 论文结构如下: 第一章论述课题的研究背景和现状，同时简述论文的主要工作和结构安排. 第二章研究幅度比 值法频率估计算法， 分析基于 f 们， 次大谱线和最大谱线幅度 比值的频率插值方法，即 又fe频率估计方法的算法原理和特点，比较不同信噪比下 的频率估计均方根误差， 针对 形fe算法当信号频率位于量化频率点附近时精度降低 的缺点，分析两种改进的算法，即修正几丘算法和综合拓丘算法。 同时分析了利用主瓣内三条谱线幅值的三角形插值方法， 并基于此思想， 提出一 种新的抛物线插值方法。由于插值算法易受噪声影响， 因此， 基于自 相关处理提高信 噪比 原理， 提出了结合自 相关预处理和抛物线插值方法的改进算法， 有效提高低信噪 比下的估计精度。自 相关预处理的思想具有较好的 通用性， 特别适合于易受噪声千扰 的频率估计，在强噪声背景下，也可采用多重自 相关预处理，有效提高估计精度。 第三章研究相位差法频率估计算法，以分段 f f t相位差法作为特例分析相位差 法估计频率的算法原理，比较算法在不同信噪比和采样长度下的频率估计均方根误 差，并在此基础上引出通用的相位差校正算法。 第四章 研究频谱细化法频率估计算法， 包括f ft 谱连续细化分析的傅立叶变换 法和复调制乙 为 川 一 fft 算法， 研究算法原理和实现方法， 同时分析算法的优点和局限 性。 第五章研究自 相关辅助法频率估计算法， 分析基于频偏校正的正弦波频率估计算 法， 通过分析信号下变频前后自 相关函数的关系， 对频偏校正算法提出改进， 减少了 计算量。同时介绍了一种运算量小的内l se. p ai r 算法及基于p u l se-p 应 算法的几种综 合算法，结合 f ft 和自 相关的频率估计算法达到时 域与频域估计的有效结合，算法 简单，计算量小，且性能卓越。 第六章总结全文，并指出下一步的研究方向。 硕士论文 高梢度频率估计算法研究 2幅度比值法频率估计算法 正弦信号频率的估计方法很多， 基于d 盯 的频率估计方法可以利用f p t实现， ， 因 而 速度快、 便于实时 处理。 d f t 对正弦 信号的 信噪比 增益作用使得基于d 盯( f f d 的频率估计方法比直接在时域估计频率的方法信噪比闽值低很多，在信噪比很低时， 只要d f t 长度足够大， 仍可得到较高的频率估计精度， 因此这种方法得到广泛应用。 但由于 f f t得到的是离散频率值，频率的分辨率限制了频率估计精度，只有当信号 频 率为f f t 频 率 分辨 率丫的 整数 倍时 ， f f t 得到 的 频 率 估计 值才是 准 确的 网。 而当 信号频率不是f f t 的频率分辨率丫 的整数倍时，由于f 曰， 的“ 栅栏” 效应引起频谱 泄漏， 此时 信号的实际 频率位于 f f t主瓣内两条最大谱线之间，可以 借助第二谱线 与最大谱线的幅度比 值来估计信号的实际频率在两条谱线之间的位置，即基于 f ft 幅度比 值的 频率插值方 法， 也 称为拓 介频率估计 方法12 习 . 2. 1 插值f f t 频率估计算法 2. l i f u fe算法原理 单一频率实正弦信号表示为 戏 t) = a cos( 2 万 儿 t + 氏 )(2 :l” 其中 a 、 儿 和民 分 别 为 正 弦 信 号的 幅 度、 频 率 和 初 相。 按 等间 隔夕= t j n对x (t)在 。 一 t 区间内 进行采样， 得到长度为n的 序列x( n)，x( n)的n点d f t 记为x ( k)， 鉴 于实序列的d ft 的对称性，忽略d f t 频谱的负频率成分，只考虑离散频谱的前n /2 点，有 x( k ) 二 a s in 二 ( k 一 儿 t ) z s i n 防( k 一 儿 t ) / n l .。 “ 今“， ，、 = 0 ，1，2 ，万 / 2 一 1仅 .1 2 ) x (k ) 幅度最大值处的 离散频率索引 值记做气，凡= int以ti，int x表示取最接 近x 的整数， 对于较大的n ， 在幅度最大处，x ( k)的幅度可以 近似表示为 铸= 匡 ( 凡 )i = 入 公 si n( 砧) 2 砧 (2. 1 3) 其中，占 = ( 儿一 ko 刃 / 丫为 信号频率与其 d ft 幅度最大处对应频率的相对偏差， 鱿月厅 ，占 的 变化范围 为刁一 0. 5 。 在紧 邻气 的 左 侧 和右 侧的 两条 谱 线中幅度 较大 处 ( 即 幅 度 次 大 值 ) ， 对 应的 离 散 频 率 索 引 值 记 做气 ，气= ko 士 1 ，x ( k)的 幅度 可 近 似 表示为 几= ix 仇)l= na ! sin( 哟 ! 2 万 ( 1 一 ! 占 1) (2. 1 . 4 ) 鸿与鸿的比 值记 做a ，由 式 (2 . 1 .3) 和式(2 . 1 .4 ) 得 1 咨 1 1 一 1 占 1 (2. 1 5 ) 硕士论文 高精度频率估计算法研究 可得到 1 仆井 = 1+ 已 凡 城+ 凡 (2. 1 6 ) 根 据占 值可对离散 频谱得到的儿的估计值插值从而得到更精细的频率估计值 儿= (ke土 ! 引 ) 琴， 式 中 符 号 根 据气 的 位 置 确 定 ， 若气 = 气 +1取 加 号， 反 之 取 减 号。 2. l 2高斯白 嗓声下频率估计误差 d f t 系 数 幅 度 最 大 值凡 及次 大 值凡都 位 于s in 。 函 数的 主 瓣内 ， 气= ko 士 1 ， 当 占 接 近。 时， ! 凡 较 小， 与 最 大 谱 线 另 一 侧 第 一 旁 瓣内 的 谱 线 幅 度1 凡1 接 近， 凡的 位置 记 做气 ，气 = 气土 2 ， 无噪 声千 扰时 始 终 有! 凡1习 凡! ， 但是， 在噪 声 千扰背景 下. 当 占 较小 时 会发 生! 凡1闷 凡! 的 情况， 占 的 符号 根 据第 二 大 谱 线是 位于最 大谱 线的 左 边还 是 右 边 来 确 定 ， 因 此dft 幅 度 第 二 大 谱 线 位 置 的 错 误 将 造 成 含 的 符 号 错 误 . 当 信 号 的 实 际 频 率 为几= ( 凡 + 句 扩时， 根 据d f t 系 数 幅 度 次 大 值 与 最 大 值的 比 值得 到 的 频 率 估 计 值为fo= ( ko 一 句 丫， 从 而造 成频 率估 计出 现( 妨) 军的 误差， 若这 种错 误出 现 的概率较大，则这种频率估计方法失去意义， 发生这种情况的概率与d f t点数n以 及 信噪比 有关，同 时 也 与占 值本身的 大小 ( 即 信号频率偏离最大谱线的大小 ) 有关，因 此 对 应一 定 的d f t点 数 和 信 噪比 ， 存 在 一 个 闭 值气， 只 有 在占 编 时 ， 才 能 利 用 d 曰， 系数的幅度信息进行频率插值。 由 文献口 zj 可得， 插值f 门， 方法估计频率的总的湘对) 均方误差为 时= 0 一 占 1) 2 权 1 一 ! 咨 ) 2 + 占 2 万 ( 夕 伏 。 ) s in c ， ( 司 + 2 ; ，。 喊 咎禁到扭(叽) 1o . 1 乃 万l l 一0 夕 其中，e 诱( x)为补误差函 数。 插值f f t 方法的 频率估计均方根误差为 丐 = 价 吠/ 刃(2.1.8) 利用不加窗频谱次大谱线与最大谱线的幅度之比进行频率插值的优点是插值公 式简单。 不考虑噪声影响， f p t 主瓣内的次大谱线的幅度永远大于旁瓣幅度， 因此插 值不会出 现方向 错误。 但是在有噪声的情况下，当占 的绝对值较小时， 可能出现位于 f f i ， 频谱最大值另一侧第一旁瓣的幅度超过主瓣内次大值的情况， 从而造成频率插值 方向相反，引起较大的频率估计误差。为了抑制旁瓣， 通常在 f ft 之前对采样数据 进行加( 非矩形) 窗处理。 加窗使主瓣变宽， 主瓣内出 现多条谱线，也使得分别位于最 大值两侧的第一大和第二大谱线更容易区分，因此基本避免了频率插值方向 错误。 2. i j仿真分析 用计算机m 心 nt e c arl。 对插值f ft 估计正弦信号频率算法仿真， 将模拟结果的频 率 估 计 均 方 根 误 差 件 ) 与 理 论 公 式 的 计 算 结 果 进 行 对 比 . 图 2. 1 1为不加窗时频率估计均方根误差理论计算与模拟结果对比，仿真取 硕士论文高精度须率估计算法研究 冷1 0 2 4 ，天= 10 24比，儿= ( n /4十 司 丫， 信嗓比 分别为0 、12、 2 叼b 。 可以 看出， 理论计算与仿真曲 线基本吻合， 信噪比 较低时， 频率估计均方根误差较大。 对于同一 信噪比，频率估计均方根误差与万 有关，当占 接近 0. 5 ，即信号的频率位于两频率间 隔 中 心 附 近 时， 估 计 精 度高 ， 而当 占 小 于 某 一 闷 值编时， 频 率 估 计 均 方 根 误 差 较大 ， 例如卜1 0 2 4 ， 信噪比 为12 db时， 心约 为0. 巧， 当占 气时 插值估计 频 率误 差 较大， 不加窗时日 谁 卜 妇 旧算法 0.1 4 模拟值 理论值 0 . ， 2卜 - - 一 一丫、 /方犷 j儿。， _ 一 _ _ _l - 一 _ 一 一. 0 一 1 一 _ _ j _ _ 一毒 、 一 一 升 一1 一 一 一 r 一 一 一 一 一1 一 - 一 一 一 .一. 洲 . ; - 一 艺绷书彩长骊本华哥纂 _ 匕 n r = 0 妇 日 护 :.5n r 卜 2 认 s n r 益 1 2 d b o 00 . 0 50 . 101 50 . 20 ， 2 5 6 0 . 3 0 . 3 50 . 4。 . 450 . 5 图2. 1 . 1不加窗时频率估计均方根误差理论计算与模拟结果对比 图2 . 1 2 为几fe算法与f f t 算法比 较， n 司。 2 4 ， 兀=1 0 2 4 刊 吃 ， 儿= (n/4十 必 琴， 信噪比分别为0 、12、2 4 d b 。从图中可以看出，若s n 协 用d b ，此时，当占 0. 44时， 用 f f t直接估计频率的均方根误差急剧增大，占 = 0. 5 时均方根误差达到 0. 5 地，为 1 /2个频率分辨率， 而当占 。 科时的频率估计均方根误差约为0. 0 17个丫， 明显小于f p t 直接 估计所得的误差，当0 2 5 占 4 s db 时，加窗的频 率估计均方根误差反而大于未加窗的频率估计均方根误差， 例如频率估计均方根误差 为。 .0 3 hz 时， 加窗与未加窗信噪比 分别为0. s db 和3 一 s db， 此时信噪比改善3 db:当 ， 硕士论文高精度频率估计算法研究 频率估计均方根误差为0. 01比 时， 加窗与未加窗信噪比分别为1 0 d b和7 db， 此时信 噪 比 损 失3 db， 这与 图2. 1 .2 分 析的 当 占 编时 加窗 造成 信 噪比 损 失 的 结 果 一 致。 因 此，加窗侧丘算法性能可总结为:加窗拓丘算法的性能与信嗓比和占 有关，对于同 一信噪比 ，当占 气时， 加窗 性能 优于未 加窗 性能， 反之， 则次 于未 加窗性能; 对 于同一占 ，当信噪比 低于一定值时， 加窗性能优于未加窗性能， 反之， 则次于未加窗 性 能 . 如s n r 钾 。 d b 时 ， 蝙约 为0. 27， 而当 气为0 2 时 ， 对 应 信噪比 门 限 约 为4. s db z j修正r i fe算法 利用信号频谱的 最大两根谱线进行插值对频率进行估计，即形fe算法。当信号 频率位于离散傅里叶变换( d f d 两个相邻量化频率点的中心区 域时，算法精度很高， 均方根误 差接近克拉 美一 罗下限 (cr l b ) ， 但当 信号频率位于量化频率点附 近时， 几丘 算法精 度降 低22l。 修正形 fe算 法就 针对r j 介算法这一 特点，当 信号频率 位于 量化频 率点附 近时， 对原信号 进行 适当 平移， 通过频谱的 搬移， 对形 fe算法进行修正 127 1 . 2. 2. 1 几介算法不足 利用两根谱线进行正弦波频率估计的计算公式( 即r ife算法) 、 1 _lx ( k 。 + r 、 11 1=一1 瓜+r we es es es es es 二 一 二- - 一! t l x ( k 。 ) 卜1义 ( k 。 + 产 ) 1 (2:21) 式 中 : 当 x ( k 。 + 1 ) 卜 x ( k 。 一 1 ) 时 ， r = 一 1 ， 当 !x ( k 。 + 1 ) 之 x ( k 。 一 1 ) ! 时 ， ; = 1 ， t = n 夕。 计算机模拟结果表明， 在适度的信噪比 条件下， 当f 位于两个离散频率的中心区 域时， f 性能 很好， 频 率估计的 误差 远小于dft 算法。 反之， 当 信噪比 较低而 且f 十 分 接 近ko 大 / n时 ( 尤 为 采 样频 率 ) ， 估 计的 误 差 将 可能 大 于d f t 算 法。 死 允算 法的 这 一特点也可以 这样分析:如果f 很接近两相邻离散频率的中点( 凡+ ， j 2) 关/ n，则 x ( k 。 + r ) 1 的 幅 度 与 接 近 于 ko 五 / n， 则 x (k 。 )l 很 接 近 ， 这 时 采 样内 插 公 式 具 有 较高 的 精 度 反 之 若f 很 x(k 。 +r )i 很 小 ， 在 有 噪 声 存 在 的 情 况 下 ， 噪 声 对 ix (k 。 +r ) 的 影 响 比较大，这将影响内 插的精度。 2. 2. 2修正几介算法原理 利用当f 位于两个离散采样频率的中 心区域时形 fe算法性能很好的 特点，定 义 (k+l/3 ， k + 2/3)为离散频率点k 与k +l之间的中 心区 域。 该算法的 基本思想是: 先用 二 fe 算 法 进 行 频 率 估 计 得 少 ， 然 后 判 断 少 是 否 位 于 两 相 邻 量 化 频 率 点 的 中 心 区 域 ， 如 果 是 ， 则 将 少 作 为 最 后 的 频 率 估 计 值 ， 否 则 对 原 信 号 进 行 适 当 的 频 移 ， 使 新 信 号 的 频 率位于两个相邻离散频率点的中心区 域， 再用 拓丘算法进行频率估计，这样就可以 保证较高的估计精度。 假设x( n)经过f f t以 后的 频谱为x ( k)，即 硕士论文 高精度频率估计算法研究 x( k ) 一 ， 架 醉 x ( n)e一万 ，k =0 ， l 去， n一 1 ， (2:22) 洞艺a-. 一一 求得最大谱线位置ko，根据式( 2.2 . 1) 得到f 的估计值f 由 于 x ( k 。 ) 之 x (k 。 + r ) ， 少 满 足 凡人/ 丫12( 式中丫 为 琴 13f 一 凡 关/ d f t 童化频 率 间隔) 。如 果满 足 l x (k 。 一 1)1 时 ， ; = 1，对 应 于 谱 线 右 移 ， 反 之 对 应 于 谱 线 左 移 ， ; = 一 1 . 修 正拓 丘算法 仅 利 用xl ( n)的 最 大 两 根谱 线 值。 将原始 信号的 频谱平 移氏 丫后， 当r = 1 时， 戈( k)的 最 大 两 根 谱 线 一 定 位于k 。 和( 气+l ) 处， 而当， = 一 1 时， 最大 两根 谱线一定 位于(k。 一 1) 和k 。 处， 于是仅需计算出 相应的 两根谱线， 再作简单的 判断就 可以 确定戈( k)的 最大 值， 最后 再用式 e :21 ) 估计频率。 因此不需要 对xl ( n)作f f t ， 仅需计 算k 。 和( k 。 +r) 两点的dft 即 可。 修正拓 介算法的 算法流程图 如图2. 2. 1 所示。 x ( n ) 1 作f f t x( k ) 求最大值 双凡 ) 用形fe 算法求 几 求最大值 山卜侧戏少 石 。 的 求最大值 * 冬 丫 频 率 布 些 ( 垂 ) 愉 共闷 *林 蒸 j刊刀 匕 塑 晋 呵 频率左移戈(k) 图2. 2. 1修正形介算法流程图 硕士论文 高精度顺率估计算法研究 2 j 3仿真分析 图2. 2. 2为几介算法与修正形介算法在不同占 时的频率估计均方根误差曲 线， 卜10 24，天 习02 4 f 吮 ， 儿= (n/4+ 司 丫， s n r 声 1 2 db，由 图 可知， 修正拓 介算 法 在 所有频率区域都具有稳定的良 好性能， 当占 0 . 13时， 瓦fe算法优于补充死介算法， 而当占 0 . 13 时， 侧介算法则次于补充形fe算法， 可见， 两者各有利弊， 如在不同的频率范围选择 不同的估计算法，则可提高估计的精度。 2 人2综合r i fe算法原理 由上面的分析可以 看出，形fe算法和补充 形丘算法各有利弊，但是它们可以相 互补充. 因此可以 结合频谱细化技术进行智能化判决， 在不同的频率段采用不同的估 计算法，使估计的整体性能提高。 在频谱的主瓣，当k 变化很小时，频谱值却变化相对较大，分别定义 礼， ， 凡十 0. 5 ，七5 = ko一 0. 5 ，k+ 1 = 气十 1 ，丸 : = 凡一 1 利 用 频 谱 细 化 技 术 分 别 求 气 和 q 形 ， 当 儿 靠 近 最 大 谱 线气 ( 羌 / 的时 ， 气， 和 久， 的 幅 度 较 小 ， 而 q 劫 j 和 气， 的 幅 度 相 对 较 大 ， 在 存 在 噪 声 的 情 况 下 ， 由 于 q， 和 民的 幅 度 较 小 ， 噪 声 对 它 们 的 影 响 比 对 q 刁 j 和 q 匆 j 要 大 ， 因 此 直 接 利 用 补 充脉 算 法 的 效 果 没有细 化 后的 补 充形 fe算 法 好， 当儿 不 十分 靠 近最大 谱 线ko 以/ 劝时， 不 妨 设 天 / n 儿 ( ko + 0. 5) 人 / n ， 由 于 噪 声 的 影 响 ， 出 现 ! q 袖 j 目 气， 的 概 率 比 出 l 4 硕士论文 高精度颁率估计算法研究 现1 气 目 q， 1 的 概 率 小 得 多 ， 但 试 验 表 明 用 l q 刁 j l， i q 相 ， 和1 气 进 行 插 值的 性能 没 有 用 1 久. ! ， ! 久， 1 和 ! 气1 的 好 ， l q 初 1 的 相 对 大 小 选 择 插 值 项， 即 当 气j !闷 气j l 时 ， 当 l q 初 日 q 匆 j 时 ， 为 了 改 善 频 率 估 计 性 能 ， 这 里 提出 利 用1 气j i 和 一 “ 扔 一 lq 。 l l( . 气1+ ! q : 1) = “ ， 扔 + 1 气!/( 1 民! + igt+ 。 !) f th reshold( th re s h o l d 为1 . 5) 时， 采用形fe算法进行频率估计 胡叼一川 一 (刀朴【 ko 一 几 。 /(l 气1+1气 一 ( 刀岭 ko+l 气! /(l 气1+1气 ( l q 初 j 闷 gkwj i ) (i 气j l习 气， 1) 了j了 否则进行步骤(3 ) 。 (3 ) 按细化后补充儿介算法进行频率估计 少 = 叨n)t 协(l 气一 1 气t) /(i 气1+1叼十 1气1) 2 3 3仿真分析 图2. 3 .2为综合拓介算法与形丘算法及补充拓众算法在不同占 时的频率估计均方 根误差曲 线， 卜1 o 24，尤 = 1 o 2 4 u 比 ，几= ( n 14十 司丫， s n 获 产 1 2 d b ， 综合形 fe算 法 在不同频率范围内分别用几fe算法和细化后补充觅fe算法进行估计，频率范围选取 由门限t 决定，综合形介在所有频率区域都具有稳定的良 好性能。 从仿真图形可以看出， 当占 = 0. 25时， 综合几介算法采用形fe算法估计频率， 此 时，补充形介算法的频率估计均方根误差为0. ooslhz， 丸企算法的频率估计均方根 误差为0. 0 05比， 综合形fe算法的频率估计均方根误差为众 0 05hz， 与形fe算法相同。 而当占 = 0 . 1 时， 综合兀fe算法采用细化后补充拓介算法估计频率，此时，补充 r l fe算法的频率估计均方根误差为0. oo95hz，死fe算法的频率估计均方根误差为 0. 0 3 4 3 hz，而综合几fe算法的频率估计均方根误差为0 .0 0 55hz，频率估计均方根误 差比几fe算法小0. 0 2 88个频率分辨率，比补充兀介算法小0. 0 04个频率分辨率。 图2. 3 .3为不同信噪比下频率估计均方根误差与 c r b对比，仿真取占= 0. 2 ，从 仿真图形可以 看出，当s n r 6db时， 综合死fe算法采用细化后的补充犯fe算法估 计频率，均方根误差小于死丘算法和补充r i fe算法，如信噪比为s db 时，丸免算法 的频率估计均方根误差为0. 022 h z ， 补充几介算法的频率估计均方根误差为0. o 1 9 hz， 硕士论文 高辅度频率估计算法研究 . - - 一 r 湘 算法 补充r 湘算法 综合r 湘算法 1.1. .1. 一 车 ，:1:|1-es!| .| -l-。 .-.-:，. _一 _ 一 工_呼- .仁.| 0 . 1 艺翎醚骥板河卞华哥场 . 1.，.jj|1 。 . 05 . . o 00 . 0 50 . 101 50 一 20 25 6 0一 30 3 50 . 40 . 4 5 0 . 5 图2. 3. 2综合r ife算法与形fe算法及补充瓦fe算法性能比 较 0 . 阳 - - - 一 r 阳 算法 - - 一 补充r ife算法 综合r 湘算法 . . ”c r b 0 . 0 7 0 . ( 招 一- 一 0 . 0 5 一 !j|j|-.|! :一 、一、.，!、-、 0.04 -. - 一 - - 一 - 一 十 口 一 钾 - 一 一 弓 一 一 - 一 一 一 一 卜 - 一 - - 一 - - 一 0 . 0 3 - - - - - - - - - 一 - - 一 j.|jr| 一粅|气鴟| 0.眨 . ， - 一 一 一 本 一 一 一 一 - 一 _ 一 司 分 一 一 一 一 一 一 卜 一 之绷彩形长河卞华哥氯 00 1 盈=尸 _ _ 。 0 051 01 520 信噪比旧 25印 图2. 3. 3不同 信噪比下频率估计均方根误差与c r b对比 侧