（统计学专业论文）基于卡尔曼类滤波方法的利率期限结构模型估计研究.pdf

中文摘要 利率期限结构的理论和模型是金融研究中最具挑战性的课题之一，也是目前 金融工程领域的一项十分重要的基础性研究工作。而利率期限结构的模型估计又 是利率理论研究和实证工作的基础和关键环节。卡尔曼类滤波估计理论是经典最 优滤波理论的组成部分，由于其实时、快速、精确以及稳定和易操作等性质和特 点而广泛应用于信号处理、通讯和控制等领域，取得了很好的效果。本论文的目 的就在于通过回顾利率期限结构模型和卡尔曼类滤波估计理论和方法的发展历 程，系统的将卡尔曼类滤波估计理论和方法引入到利率期限结构的模型估计上 来，为利率期限结构模型理论和实证研究提供模型估计方法和应用基础。 本论文首先将利率期限结构模型划分为均衡模型和无套利模型两大类，分别 具体介绍了两大类模型中具体模型理论的提出、构建以及模型特点。接着，系统 介绍了卡尔曼类滤波估计理论和方法，包括卡尔曼滤波估计( k a l m a nf i l t e r ) 、扩 展卡尔曼滤波估计( e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ) 、无损卡尔曼滤波估计( u n s c e n t e d k a l m a nf i l t e r ) 的理论和方法，以及在利率期限结构模型估计上的具体应用。 最后，本论文在m a t l a b7 0 环境下实现了扩展卡尔曼滤波估计( e k f ，下同) 和无损卡尔曼滤波估计( u k f ) 对v a s i c e k 模型的参数估计，并通过对两种滤波 方法的运算速度、估计效果等方面进行对比，探讨了e k f 和u k f 的特点、适用 范围以及性能优劣。 本论文的研究内容受国家自然科学基金项目“固定收益证券利率风险动态定 价与对冲方法研究( 项目编号：7 0 4 7 1 0 5 1 ) 资助，是其部分研究成果。 关键词：利率期限结构卡尔曼类滤波模型估计最大似然估计遗传算法 a b s t r a c t t h et h e o r i e sa n dm o d e l so nt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sa l - eo n eo ft h em o s t c h a l l e n g i n gw o r k si n f i n a n c er e s e a r c ha n da ni m p o r t a n tf u n d a m e n t a lb r a n c hi n f i n a n c i a le n g i n e e r i n gf i e l d a n dt h em o d e le s t i m a t i o no ft e r ms t u c t u r eo fi n t e r e s t r a t e si st h ef o u n d a t i o na n dk e yl i n kf o rt h et h e o r e t i c a la n de m p i r i c a lr e s e a r c ho n i n t e r e s tr a t e s t h ef a m i l yo fk a l m a nf i l t e r si sp a r to ft h ec l a s s i c a lt h e o r yo fo p t i m a l f i l t e r i n g t h e yh a v eg o ta d v a n t a g e ss u c h 舔r e a lt i m ec o r r e s p o n d i n g ，s p e e dc o m p u t i n g ， p r e c i s ee s t i m a t i n g ，s t e a d yr u n n i n ga n de a s yo p e r a t i n g ，w h i c hm a k e st h e mw i d e l yu s e d i nv a r i o u sf i e l d ss u c ha ss i g n a lp r o c e s s i n g ，c o m m u n i c a t i o n ，c o n t r o la n ds oo n i nl i g h t o ft h ee x c e l l e n te s t i m a t i o ne f f e c t s 也e s ef i l t e r sh a v eo b t a i n e di nt h ef i e l d sa b o v e ，t h i s d i s s e r t a t i o n ，b yr e v i e w i n gt h ee v o l v i n gp r o c e s so fb o t ht h e o r i e so nm o d e l i n gt e r m s t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sa n da l g o r i t h m so ft h ef a m i l yo fk a l r n a nf i l t e r s ，p u r s u e sa s y s t e m i ca p p l i c a t i o no ft h ef a m i l yo fk a l m a nf i l t e r st ot h em o d e le s t i m a t i o no ft e r m s t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，w h i c hs u p p l i e sa ne s t i m a t i o nm e t h o da n da p p l i c a t i o n f o u n d a t i o nf o rt h et h e o r e t i c a la n de m p i r i c a lr e s e a r c ho nm o d e l i n gt h et e r ms t r u c t u r e o fi n t e r e s tr a t e s 卫1 ed i s s e r t a t i o nf i r s t l yd i v i d e dt h em o d e l si n t ot w of a m i l i e s ：e q u i l i b r i u mm o d e l s a n dn o a r b i t r a g em o d e l sa n dm a k e sad e t a i l e dd i s c u s s i o no nm o d e l si ne a c hf a m i l y a b o u tm e i f o r i g i n ，c o n s t r u c t i o na n dm o d e lc h a r a c t e r s t h e n ，t h e d i s s e r t a t i o n s y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c et h et h e o r i e sa n da l g o r i t h m so ft h ef a m i l yo fk a l m a nf i l t e r s ， i n c l u d i n gk a l m a nf i l t e r ( r e ) ，e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ( e k f ) a n du n s c e n t e dk a l m a n f i l t e r ( u k f ) ，a sw e l la st h e i ra p p l i c a t i o n st ot h em o d e le s t i m a t i o no f t h et e r ms t r u c t u r e o fi n t e r e s tr a t e s f i n a l l y , t h ed i s s e r t a t i o nc a r r i e so u tp a r a m e t e re s t i m a t i o no fv a s i c e km o d e l ，i n m a t l a b7 0 ，u s i n ge k fa n du k f r e s p e c t i v e l y a n dt h e na d i s c u s s i o ni sg i v e no nt h e t w of i l t e r si nt h ea s p e c t so fc h a r a c t e r s ，a p p l i c a b i l i t ys c o p e sa n ds u p e r i o r i t y , b y c o n t r a s t i n gt h e i re s t i m a t i o nr e s u l t si ne s t i m a t i o ne f f e c t s ，c o m p u t i n gs p e e da n ds oo n a so n eo fi t sr e s e a r c ha c h i e v e m e n t s ，t h ed i s s e r t a t i o ni sf i n a n c e db yt h en a t i o n a l n a t u r a ls c i e n c ef u n dp r o j e c t r e s e a r c ho na p p r o a c ht od y n a m i c a l l yp r i c i n ga n d h e d g i n g o f i n t e r e s tr a t er i s ko f f i x e di n c o m es e c u r i t i e s ( n o ，7 0 4 7 1 0 5 1 ) k e yw o r d s ：t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，f a m i l yo fk a l m a nf i l t e r s , m o d e le s t i m a t i o n ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r , g e n e r i c a l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞望太堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：荡，亏鹏签字日期： 加0 7 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解云洼太堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权云望太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 磊，云鹂导师躲糨臣 签字日期：b 口7 年月形日签字日期：叩年6 月1 o 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 其他条件相同，而仅在期限长短方面存在差异的债券的收益率与到期期限之 间的关系称为利率的期限结构，它反映了时间因素对利率的影响。利率期限结构 是整个金融体系的基准，风险资产的期望收益均可表示为相对于无风险利率的超 额回报，所以利率期限结构是整个资产定价的参照系。因此，利率期限结构理论 和模型研究是目前金融工程领域的一项十分重要的基础性研究工作。而利率期限 结构的模型估计又是利率理论研究和实证工作的基础和关键环节。为了解决该问 题，学者们先后提出了许多不同的方法。其中以极大似然法【l 】( m l e ) 和广义矩 估计法1 2 】( g m m ) 的理论研究和实证支持最具代表性。g m m 的参数估计值不稳 定，选取不同的矩条件估计出的参数值会有差别；而m l e 得到的参数估计值稳 定，并且有效性方面来比较，m l e 也要优于g m m 。因此，国内外大多使用m l e 方法对利率期限结构模型进行估计研究。而一个新问题便出现了：如何构建模型 参数的最大似然估计函数，进而如何通过最大化该函数来获得模型参数的估计值 呢? 纵观国内外相关文献，卡尔曼类滤波估计方法是一个理想的选择。 卡尔曼滤波1 3 j 理论是经典最优滤波理论的组成部分。最优滤波问题是如何从 被噪声污染的观测信号中求未知真实信号或状态的以均方误差最小为准则的最 优估计。这类问题广泛出现在信号处理、通讯和控制领域。经典最优滤波理论包 括维纳滤波理论1 4 和卡尔曼滤波理论。在平稳条件下，两者所得到的稳态结果是 一致的。然而，两者所采用的方法有很大区别：前者采用频域分析方法，局限于 处理平稳随机过程，用传递函数模型描述信号，利用谱分解和平稳随机过程的谱 展式解决最优滤波问题，所得滤波器物理上不可实现。为了可实现性，要求传递 函数部分分式展开，且滤波器非递推，要求存储全部历史数据。上述局限性和缺 点使其难于在工程上实现，限制了其应用；而后者采用时域状态空间方法，用前 一个估计值和最近一个观察数据( 它不需要全部过去的观察数据) 来估计信号的 当前值。该方法是用状态方程和递推的方法来进行估计的，所得解是以估计值( 常 常是状态变量值) 形式给出的。因此，卡尔曼滤波理论不仅克服了经典w i e n e r 滤波理论的缺点和局限性，而且还容易在计算机上实时实现最优递推滤波算法， 因而获得了广泛的实际应用。之后，为了解决非线性以及非正态分布性等问题， 学者们相继提出了扩展卡尔曼滤波【6 】【7 】( e k f ) 、无损卡尔曼滤波【1 4 】【1 7 1 2 4 1 2 5 】【2 7 】 ( u k f ) 、粒子无损卡尔曼滤波【2 6 】( u p f ) 以及局部线性化滤波 2 8 1 2 9 】( l l f ) 等 第一章绪论 滤波理论，统称为卡尔曼类滤波理论。以上滤波理论的提出和发展过程将在下文 详细叙述。卡尔曼类滤波理论和方法广泛应用于包括控制、通讯、信号处理、石 油地震勘探、制导、故障诊断、图像处理等领域，获得了很好的估计效果。 鉴于以上原因，本文将卡尔曼类滤波方法应用到利率期限结构模型参数估计 上，通过引入观测误差项，从而在对利率及利率产品价格数据进行卡尔曼类滤波 的同时得到模型参数的最大似然函数。这样又一个问题出现了：如何极大化模型 的最大似然函数? 显然遗传算法( g a ) 是一个很不错的选择。这是由于遗传算 法不仅可以大大减少运算量，提高运算速度和效率，而且还具有很好的稳定性和 鲁棒性。因此本文通过采用遗传算法极大化模型的最大似然函数，从而得到了模 型参数的估计值。通过与实际参数值对比以及后续的实证检验，验证了运用卡尔 曼类滤波对利率期限结构进行模型参数估计的效果很好，从而形成了对利率期限 结构模型进行参数估计的一类方法，为利率期限结构模型理论和实证研究提供了 模型估计方法和应用基础。 1 2 文献回顾 p e n n a c c h i ( 1 9 9 1 ) 在其论文“i d e n t i 母m gt h ed y n a m i c so f r e a li n t e r e s tr a t e sa n d i n f l a t i o n ：e v i d e n c eu s i n gs u r v e yd a t a ”中，在正态概率分布设定条件下首次使用 了状态空问模型来设定估计系统，从而运用卡尔曼滤波方法来估计瞬时利率和瞬 时通货膨胀率的均衡模型，这成为了卡尔曼类滤波方法应用在利率期限结构模型 估计上的开端。之后，一系列研究将该方法应用于指数仿射模型估计上，尤其是 单因子和多因子的v 懿i c e k 模型、多因子的c i r 模型等，如l u n d ( 1 9 9 4 ) 、c h e n 和s c o r ( 1 9 9 3 b ，1 9 9 5 ，2 0 0 3 ) 、d u a n 和s i m o n a t o ( 1 9 9 5 ，1 9 9 9 ) 、p e n n a c c h i ( 1 9 9 6 ) 、 b i l l 和t o r o u s ( 1 9 9 6 ) 、s a i l t a c l a r a ( 1 9 9 5 ) 、d cj o n g ( 1 9 9 6 ) 、z h e n g ( 1 9 9 3 ) 、 g o n ga 1 1 dr e m o l o m ( 1 9 9 6 a ，1 9 9 6 b ) 、g e y e r 姐dp i c h l e r ( 1 9 9 6 ) 、b a b b s 锄dn o w m a n ( 1 9 9 7 ) 以及b r e n n a n 、w a n g 觚dx i a ( 2 0 0 4 ) 。 应该注意到，对具有仿射或者平方根仿射型波动函数的系统进行模型估计也 是很困难的。d u f f e e & s t a n t o n ( 2 0 0 4 ) 分析了不同估计方法对随机期限结构进行 估计的效果，他们得出结论认为卡尔曼滤波估计是一个很好的选择，甚至在非正 态假设条件下滤波并不是很精确的时候，此方法效果依然可以接受。而为了进一 步改进估计效果，他们建议使用改进的卡尔曼滤波估计方法，使用非线性漂移项 和扩散项的一阶导数表示的线性化表达式作为状态变量和协方差矩阵估计的校 正方程，也即是用扩展卡尔曼滤波方法估计利率期限结构模型。 然而，由于当非线性函数t a y l o r 展开式的高阶项无法忽略时，线性化会使系 统产生较大的误差，甚至于滤波操作难以稳定，因而c h i a r e l l a 、h m gh u n g 和 第一章绪论 t h u y d u o n gt o ( 2 0 0 5 ) 借鉴d u f f e e & s t a n t o n ( 2 0 0 4 ) 的发现，应用j i m e n e z o z a k i ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 提出的局部线性化滤波方法来解决非线性问题。该方法的基本思 路如下：对模型的漂移和扩散项均应用n o 公式，以此来线性化系统的动态随机 项，这样可以更好的保留系统的随机性。对经过线性化的模型再应用卡尔曼滤波 估计，这是由于卡尔曼滤波估计方法具有很好的无偏性质( 见s h a o j i ( 1 9 9 8 ) ) 以及很多模型计算上的便利( 见j i m e n e ze ta 1 ( 1 9 9 9 ) ) 。并且模型的估计方法既 利用了时间序列又利用了收益率曲线的截面数据信息。 虽然局部线性滤波估计在很大程度上改进了扩展卡尔曼滤波估计，但是强非 线性系统线性化产生的误差、雅克比矩阵求导的复杂性、无法作到黑盒封装以及 对正态分布假设的依赖等缺陷依然存在。而由于近似非线性函数的概率密度分布 比近似非线性函数更容易，使用采样方法近似非线性分布来解决非线性问题是一 个理想的选择。因此本论文将无损卡尔曼滤波估计方法( u k f ) 引入到利率期限 结构模型估计上，获得很好的估计效果。估计方法的构建、应用以及估计结果将 在下文详细阐述。 1 3 本论文主要内容及创新之处 1 3 1 主要研究内容 利率期限结构的理论和模型是金融研究中最具挑战性的课题之一，也是目前 金融工程领域的一项十分重要的基础性研究工作。而利率期限结构的模型估计又 是利率理论研究和实证工作的基础和关键环节。卡尔曼类滤波估计理论是经典最 优滤波理论的组成部分，由于其实时、快速、精确以及稳定和易操作等性质和特 点而广泛应用于信号处理、通讯和控制领域，取得了很好的效果。本文的目的就 在于通过回顾利率期限结构模型和卡尔曼类滤波估计理论和方法的发展历程，系 统的将卡尔曼类滤波估计理论和方法引入到利率期限结构的模型估计上来，为利 率期限结构模型理论和实证研究提供模型估计方法和应用基础。 本论文的研究内容及行文结构如下： 首先，第二章将利率期限结构模型划分为均衡模型和无套利模型两大类，分 别具体介绍了两大类模型中具体模型理论的提出、构建以及模型特点。 接着，第三章系统介绍了卡尔曼类滤波估计理论和方法，包括卡尔曼滤波估 计( k a l m a nf i l t e r ) 、扩展卡尔曼滤波估计( e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ) 、无损卡尔 曼滤波估计( u n s c e n t e dk a l m a nf i l t e r ) 的理论和方法。 最后，本文在第四章重点介绍了卡尔曼类滤波方法在利率期限结构模型估计 上的具体应用，并且在m a t l a b7 0 环境下实现了扩展卡尔曼滤波估计( e k f ，下 第一章绪论 同) 和无损卡尔曼滤波估计( u l 汀) 对v a s i c e k 模型的参数估计，并通过对两种 滤波方法的运算速度、估计效果等方面进行对比，探讨了e k f 和u k f 的特点、 适用范围以及性能优劣。 1 3 2 创新之处 本文通过回顾利率期限结构模型和卡尔曼类滤波估计理论和方法的发展历 程，系统的将卡尔曼类滤波估计理论和方法引入到利率期限结构的模型估计上 来，从而为利率期限结构模型理论和实证研究提供模型估计方法和应用基础。纵 观全文，主要创新之处有以下三点： ( 1 ) 系统地介绍了卡尔曼类滤波估计方法在利率期限结构模型估计上的 应用。 ( 2 ) 将无损卡尔曼滤波方法( u k f ) 应用到利率期限结构模型估计上，并 将其在模型估计效果、计算量、适用范围等方面与扩展卡尔曼滤波方 法( e l 汀) 进行对比，得出了u k f 在计算量相当的条件下，适用范 围和估计效果均优于e k f 的结论。 ( 3 ) 将遗传算法( g a ) 应用于极大化似然函数上，不仅可以大大减少计 算量，而且使得算法具有极强的稳定性和鲁棒性旧瑚凇1 。 尽管本文系统介绍了卡尔曼类滤波估计理论和方法在利率期限结构的模型 估计上的应用，但仍有一些最新的卡尔曼类滤波估计方法在该方面的应用前景仍 需要进一步研究，因此本论文结束语部分在总结全文基础上，指出了未来研究的 方向，以便继续作进一步深入的研究。 第二章随机利率期限结构模型研究 第二章随机利率期限结构模型研究 目前国内外研究利率期限结构的文献很多，从不同角度提出了不少利率期限 结构模型。总起来讲，这些模型可归纳起来分为两大类：均衡模型和无套利模型 【5 3 】【5 4 j 【5 5 】，前者是基于流动性偏好理论建立起来的，后者则是根据预期理论推导 得出的。 2 1 均衡模型分析 均衡模型首先对经济变量的动态过程做出具体的假定，然后给出在这种假定 下利率期限结构所应遵循的变化方式。在均衡模型中风险的市场价格是外部确定 的。虽然在实务中较少直接使用均衡模型，但它能够提供利率变化的经济动因， 为套利模型打下理论基础。根据均衡模型中所设定的影响因子的多少，可将其分 为单因素均衡模型和多因素均衡模型。 ( 一) 模型的理论基础 为了便于下文的论述，首先对模型中经常用到一些常用记号和数学符号进行 有关说明。 ，( f ) ：指t 时刻的短期利率( 或瞬间利率) ； p ( t ，丁) ：指t 时刻到期的零息票债券在t 时刻的价格； r ( t ，丁) ：指t 时刻到期的零息票债券在t 时刻以连续复利计算的到期收益率； f ( t ，t ) ：指t 时刻到期的零息票债券在t 时刻的瞬间远期利率； 且有尺( ，丁) = 等，f ( t , t ) = 等= 挈 l u ( r ) 指影响短期利率变化的漂移项： 以，) 指随机冲击对短期利率变化的影响，即瞬时波动性； 其他有关符号将在以后用到时加以解释。 单因素摸型中的短期利率过程通常用下列方程来表示： 咖= ( ) 魂+ 口( ，；) d 形 ( 2 1 1 ) 第二章随机利率期限结构模型研究 该式表明短期布朗运动的变化可以分解成两部分：在时段( f ，f + 旃) 内的漂移 量( ，；) 成和由布朗运动代表的随机冲击j 形，随机冲击对利率变化的影响用瞬时 波动性。口( ) 衡量。且( ) 衍和口( ，；) 只与当前的利率水平，( f ) 有关，这体现了 利率的无记忆性，意味着只要当前的利率水平包含了全部过去利率的信息，则过 去的记忆对未来的利率预测是毫无帮助的，利率的变化是纯粹的随机游走。 如果在短期利率的漂移项和扩散项上加一些限制，可以得到一些常见的模 型，比如仿射模型、高斯模型和对数正态模型。大多数单因素模型【5 6 】都属于仿 射模型。一个模型被称作“仿射的 ，条件是该模型下零息债券价格采用下列形 式： b ( t ，丁) = e x p a ( t ，r ) + 6 ( f ，丁) 】 ( 2 1 2 ) 其中口( f ，z ) 和6 ( ，丁) 是f 的确定性连续函数。“仿射是指这类模型中得到的 利率期限结构r ( t ，t ) 是短期利率r ( f ) 的仿射函数。 附) - 等r ( f ) + 警 ( 2 1 3 ) 此时远期利率也是短期利率，( f ) 的仿射函数。单因素模型一般具有三类参数 一回复速度、回复水平和波动率参数，在一定程度上可以拟合初始利率期限结构、 初始波动率的期限结构和短期利率波动率的路径。但由于这类模型中的( ，) 和 盯( ，) 多是时间t 的函数，是确定性函数而非随机性函数，而波动率的期限结构具 有随机性质，所以在获得初始a ( r ) 和c r ( r ) 的形式后，模型中得到的波动率的期 限结构会与现实结果越来越远。 ( 二) 单因素均衡模型的特点 由于大多数单因素模型都是以瞬时短期利率r ( f ) 作为研究对象的，因此有必 要首先对其行为特征进行简单介绍。 从历史数据来看，短期利率主要具有以下主要的特征： ( 1 ) 短期利率的变动范围是有限的。一般情况下，短期利率不会是负值， 也不可能是特别大的值。 ( 2 ) 当利率水平特别高时，利率更倾向于下降而非上升；反之，当利率水 平特别低时，利率更倾向于上升而非下降。这种行为称作具有均值回复性。 第二章随机利率期限结构模型研究 ( 3 ) 在收益率曲线的短端下降很快，在长端下降很慢。两个不同期限的 利率随期限相隔增加而不断降低，但是降低的速率不同，因此不同期限的利率之 间不是完全相关的。 ( 4 ) 不同期限的利率具有不同的波动率，收益率曲线短端的利率通常具有 更高的波动率。 ( 5 ) 短期利率的波动率具有异方差性，即不同的利率绝对率水平上，利率 的波动率的方差不同。 此外，短期利率在不同的建模过程和不同的模型中有不同的作用： ( 1 ) 短期利率本身就是作为环境变量，如c i r 等单因素模型； ( 2 ) 短期利率是环境变量的仿射和，如仿射多因素模型； ( 3 ) 短期利率是环境变量的平方和，如平方高斯模型； ( 4 ) 短期利率是环境变量的指数，如对数模型； ( 5 ) 短期利率仅代表远期利率的短端，如h j m 模型类； 在建模过程中，可以从利率模型过渡到贴现债券模型，从而确定其价格。为 保证不存在套利机会，贴现债券的价格还要受到风险的市场价格的影响，但是 五( ，) 对于经济系统中所有的债券都是相同的，并不依赖于到期日丁。不同均衡模 型的区别主要表现在兄( r ) 的设定不同，这取决于对投资者偏好、生产技术等变量 的假定不同。此外，单因素模型的另一个特征是所有不同到期日的债券的瞬时收 益率是完全相关的，且当r ( f ) 是均值回复时，到期日为无穷大的债券的收益率将 趋近于一个常数。由于依赖于当前的短期利率水平r ( o 的影响，收益率曲线将会 出现单调增加、单调减少或单峰现象。表2 1 归纳了几个主要单因素期限结构模 型的参数特征。 表2 1 主要单因素期限结构模型的参数特征 模型 u ( r ，f )盯( ，f )a ( ，t ) 有无解析解 m e r t o np仃a 有 v a s i c e k k ( o - r ( t ) ) 口五 有 c i r k ( 8 - r ( t ) ) 口厕；l a 厕 有 表2 1 列出了几个主要的单因素利率期限结构模型，下面分别对其进行介绍。 第二章随机利率期限结构模型研究 ( 三) 主要的单因素期限结构模型 ， 本部分将对m e o n 模型、v a s i c e k 模型以及c i r 模型进行介绍。每一模型的 讨论都是从其短期利率的随机过程开始，在研究了短期利率的性质后，推导出贴 现债券的价格和贴现债券收益率的期限结构。 ( 1 ) m e r t o n 模型f 5 7 】 m e r t o n 于1 9 7 3 年首先提出了一个最简单的单因素模型： d r ( t ) = a d t + 蒯彬 ( 2 1 4 ) 其中，、仃为常数，则风险的市场价格z 也为常数。 该模型中，在给定时刻s ，s t 的信息集合时，时刻f 的短期利率服从正态分 布，即 ，_ ( ，) l r ( ) 一n ( r ( s ) + a ( t - s ) ，盯2 0 s ) ) ( 2 1 5 ) 其中，r ( ) 是由生成的盯一代数，且如果z 0 ，其条件均值将随时间珀勺 增加而增加。 由无套利第一定理删可推出零息债券b ( f ，丁) 在m e r t o n 模型下的价格方程为： 占( ，) + 去盯2 露一培+ ( 一五口) 所= 0 ( 2 1 6 ) 结合边界条件b ( t ，t ) = l ，可以得到贴现债券的价格： 即，r ) = e x p ( ( t - 乃忡) 一三( 丁_ f ) 锄一刎+ 丢( r 叫3 0 2 ) ( 2 1 7 ) 又根据r ( ，丁) = 一l n f b ( 丁t , r ) ，可以得到贴现债券的收益率r ( ，丁) 为： 眦，r ) = 心) + 圭( r - t ) ( u 一五一吉( r 卅2 0 - 2 ) ( 2 1 8 ) 从该式中可以看出m e r t o n 模型下的收益率期限结构等于瞬时短期利率加上 一个关于自变量( t t ) 的开e l 向下的二次函数。由于，( f ) 是正态分布的，故r ( t ，t ) 也是正态分布的，其分布形式为：给定在s ，s t 的信息集合时，时刻t 的 r ( t ，t - t ) l r ( ) 一n ( r ( t ，乃- f ) + o s ) ，仃2 0 s ” ( 2 1 9 ) 从中可以看出，到期收益率的波动性盯2 0 s ) 独立于剩余期限( 丁一t ) 。说明 m e r t o n 模型下波动性的期限结构是一水平函数。 m e r t o n 模型的主要缺陷有两点：首先，由于，( f ) 对v t 0 固定时是一个均值 第二章随机利率期限结构模型研究 为r ( o ) + z t 方差为t o - 2 的正态分布，由于任何正态分布的随机变量可以以正的概 率取负值，因此m e r t o n 模型违反了市场对利率的非负性假定；其次，当0 时， ，( f ) 的均值是t 的单调增函数( 0 ) 或单调减函数( 0 ) ，此与利率具有的 均值回复性的波动方式不符。 ( 2 ) v a s i c e k 模型5 9 1 为了克) 艮m e r t o n 模型的上述缺陷，v a s i c e k 于1 9 7 7 年提出了一个满足均值回复 性的利率方程，模型形式如下： d r ( t ) = k ( o - r ( t ) ) d t + c r d w t ( 2 1 1 0 ) 其中k 、0 、仃为常数。显然，( ，) 是围绕利率的长期均值口上下波动，参数k 反映了利率回复到0 的速度。 该模型中，在给定时刻s ，s r 的信息集合时，时刻f 的短期利率服从正态分 布，即 ，( ，) l r ( ) 一 r ( ，( j ) + ( ，一j 弦- ( t - a ) ，0 2 豇2 、( 1 一p - 2 忡” 。( 2 1 1 1 ) 贴现债券b ( f ，丁) 在v a s i c e k 模型下的价格方程为： b ( f ) + 委仃2 量，一r ( f ) b + k o 一，( f ) 一a o ) b ，：o ( 2 1 1 2 ) 结合边界条件b ( t ，r ) = 1 和f = t t ，并进行变量替换，可以得到贴现债券的 价格： b ( t ，t ) = e x p a ( r ) 一口( f ) r ( f ) 】 ( 2 1 1 3 ) 其中，) = 万0 2 ( 1 可砖) + 妻( 曰一丝k i 0 2 ) ( 1 可髓) 一( 口一警一譬h b ( f ) = ( 1 一p - f ) 同样，根据r ( f ，r ) = 一h a f b ( 丁t , t ) ，可以得到贴现债券的收益率尺( f ，丁) 为： 骱) = - l f - ( e - a - i ) + 2 3 ( ie - k ) + 妻( 矽一丝k 一0 21 一一邶一等一0 2 f 】 ( 2 i 1 4 ) 第章随机利率期限结构模型研究 在v a s i c e k 模型中，贴现债券的收益率和波动率在概率测度p 下分别是 ，o ) + 墨华和华，在给定的风险市场价格五下，收益率和波动率随 到期期限了的增加而非线性增加。 与m e r t o n 模型相比，v a s i c e k 模型同样违反了市场对利率的非负性假定，但 却满足了利率的均值回复特性，同时短期利率r ( f ) 是一个连续的马尔可夫过程， 表明未来的短期利率仅与现在的利率水平有关，而与短期利率的历史值无关，即 r t ( r ) ：t f t ) 的分布仅由，：( f ) 决定。 ( 2 ) c o x - i n g e r s o l l r o s s 模型删 为了克服m e r t o n 模型和v a s i c e k 模型利率可能为负的缺陷，c o x 、i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 提出了利率总是为非负值的c i r 模型。该模型是一个持续竞争 经济的一般均衡模型，其基本假定是每个投资者都通过对单一商品的选取达到预 期效用的最大化，而这一商品是通过有限状态的技术生产出来的。因此，在最优 选取中通过最优消费水平，财富中投资于每个生产过程的最优比例，以及投资于 各种债券或衍生品的最优比例，来达到期望效用的最大化。在一般均衡条件下， 可得到一个单平方根过程： d r ( t ) = 七( 口一，o ) ) 西+ 仃r ( f ) d 形 ( 2 1 1 5 ) 其中，k 、0 、仃为常数，i ( f ) 是围绕利率的长期平均值0 上下波动的，参 数k 反映了利率回复到口的速度，短期利率变化的方差与利率水平的平方根成正 比。 该模型中，在给定时刻s ，s f 的信息集合时，时刻，的短期利率，( ，) 服从z 2 分布，其均值和方差分别为： 廓( 厂( f ) l ，( ) ) = 口+ ( ，( f ) 一o ) e “1 ) ( 2 i 1 6 ) v a r p ( r ( 圳砘) ) - r 等( e - k ( t - , ) _ e - z k ( t - s ) m 暖) ( 1 - - e - k ( t - n ) ) 2 ( 2 1 1 7 ) 均值为短期利率的当前值和无条件均值0 的加权平均，权重为正，并且总和 等于l ，反映了短期利率的均值回复性。 贴现债券b ( t ，丁) 在c i r 模型下的价格方程为： b ( t ，丁) = e x p a ( r ) - b ( r ) r ( t ) 】 ( 2 1 1 8 ) 第二章随机利率期限结构模型研究 为： 鼽删一2 一k o i n 卜 弦t + e 等幂删咖再s i n h t r 厂c o s 芦+ ：s i n n 芦 可以看出贴现债券价格对数与短期利率，( f ) 呈线性关系。 又根据r ( f ，丁) = 一堕麴t - t 和f = r f ，可以得到贴现债券的收益率尺( f ，丁) 郸) = ；即) r ( 沪1 k + 2 矿e r + y 一半脚) ( 2 1 1 9 ) 其中，r ( t , o o ) ；_ 罢，表明c i r 模型中的长期利率收敛于正常数。 氛l o - y 在原概率p 下，贴现债券的收益率和波动率分别是丛丛生旱鱼塑盟和 k ，( f ) 仃b ( z ) 。如果风险市场价格a r ( ，) 为正，收益率和波动率随到期期限f 的增 加而单调增加，当到期日r 趋近于o 。时，分别达到极限值r ( f ) ( 1 + 孚旦) 和 ，( f ) ( 七+ y ) ，其中k = k - 2 c r 。 c i r 模型具有以下特点： ( 1 ) c i r 模型中的利率过程，( ，) 具有非负性。由公式可知，当，( ，) 一0 时， 漂移项恒为正数，而扩散系数莎( f ) 也以利率平方根的速度趋近于零，这表明 利率的波动性也趋近于零，从整体来看预期的利率变化d r ( t ) 为正数，保证了利 率不会降到零以下。 ( 2 ) c i r 模型中的利率过程r ( ，) 具有均值回复性，回复速度为k 。 ( 3 ) 与m e r t o n 和v a s i c e k 模型不同的是，c i r 模型下风险的市场价格不再 是常数，而是取决于短期利率水平，此时五( ，) ：业。 仃 ( 4 ) c i r 模型可以产生的收益率曲线的形状比较有限，不及其他单因素模 型丰富。 以上是迄今为止经典的利率期限结构单因子均衡模型。单因子模型把短期利 率，( f ) 作为解释期限结构的唯一变量，即认为不同期限债券的价格都是受同一个 第二章随机利率期限结构模型研究 随机冲击量d 形的驱动，这种同源驱动性也就意味着不同到期期限的即期利率之 间的相关系数为1 ，这就造成了模型与实际利率数据之间存在误差，在某些情况 下这种拟合误差十分明显。为了克服上述缺陷，多种多因素模型被提出以更好的 拟合实际利率数据，常见的多因子模型如b r e n n a n s c h w a r t z 模型6 1 】、f o n g - v a s i c e k 模型【6 2 】、l o n g s t a f f - s c h w a r t z 模型【6 3 】等。但是，多因素模型的优越性是以更大的 复杂性为代价的，表现为一般不能得到解析解，而即使使用数值方法根据多因素 模型来求解利率衍生品的价格时仍具有很大的困难，所以在实务中模型因素的数 量不能太多。因此本论文并没有将多因素均衡模型纳入研究范畴内。不过本文介 绍的运用卡尔曼类滤波估计方法很容易推广到多因子均衡模型的参数估计上，在 此不再赘述。 2 2 无套利模型分析 单因素模型和多因素模型都是从均衡分析框架下导出的，因此它们本身不会 存在套利机会，否则市场就不会处于均衡状态。均衡模型中的参数可以从历史数 据回归中得到，但是由于利率期限结构的行为方式是不断变化的，对历史数据拟 合的很好的模型常常不能很好地拟合当前的市场价格，这样就会出现套利机会。 因此，从对金融市场的无套利均衡分析角度出发，国外学者构建了大量的无套利 模型，以下仅以其中的几个主要模型进行介绍。 ( 1 ) h o - l e e 模型 1 9 8 6 年h o 和l e e 在美国金融杂志1 2 月号上发表了论文期限结构运动 与利率有条件要求权定价，文章中提出了一个基于无套利机会假设的利率期限 结构变动模型，人们称之为h o l e e 模型嘲3 。h o l e e 模型认为现在的利率期限结构 包含有现时人们对利率预测的足够信息，因此在没有套利机会的假设下，利率期 限结构的变动只能反映出这些信息，因而其变化情况是可测的。模型有两个参数： 短期利率标准偏差和该短期利率风险的市场价格。模型的连续时问极限为： d r ( t ) = o ( t ) d t + c r d w , ( 2 2 1 ) 其中短期利率r ( f ) 的瞬态标准偏差仃是常数，而o f f ) 是为了保证模型与初始 期限结构一致而选择的时间的函数。变量口( ，) 定义了在t 时刻，( ，) 的平均运动方 向。它独立于r ( r ) 的值。 归纳起来，h o l e e 模型包括两个方面的内容：一是初始利率期限结构的估 第二章随机利率期限结构模型研究 计，首先必须确定一个期限结构或相应贴现函数的初始状态，一般来说要求所选 择的债券能覆盖市场上大部分可得债券，并必须运用特定的函数形式，如指数形 式；第二是利率变动的套利约束，利率期限结构被假设按满足某种自然约束的方 式进行变化。 ( 2 ) h u l l w h i t e 模型 由于h o l e e 模型与m e r t o n 模型一样，不具有均值回复性。鉴于此，1 9 9 0 年h u l l 和w h i t e 探讨了c i r 模型的扩展情况，并提出了一个可以精确地符合初 始期限结构的模型。他们建议的v a s i c e k 模型的一个扩展形式是： d r ( t ) = o ( t ) - a r d t + a d w , ( 2 2 2 ) 其中口和仃是常数，这就是通常意义上的h u l l - w h i t e 模型5 鳓。与h o - l e e 模 型一样，h u l l - w h i t e 模型以速率a 向均值回复。此外，h u l l - w h i t e 模型与v a s i c e k