（机械制造及其自动化专业论文）摆线传动修齿技术的研究.pdf

佳木斯大学硕士学位论文 摘要 为了补偿制造误差、便于拆装和保证良好的润滑，通常标准针轮和修形的摆线齿轮 相啮合，以保证啮合间隙。对于多齿啮合的摆线针轮传动而言，啮合间隙分布规律对受 力分布产生直接影响，所以研究初始间隙分布规律具有重要意义。本文对等距修形、移 距修形及等距加移距修形的摆线齿轮同标准针轮相啮合时的初始间隙分布规律进行了探 讨，比较了各种摆线轮齿形修形方式初始间隙的大小关系，并利用新的方法推导出在一 定条件下最小初始间隙的摆线轮齿形修形方式。建立了摆线轮齿形通用方程，提出摆线 轮齿形啮合部分的范围这个新概念，推导了摆线轮齿形啮合部分的范围的理论公式，并 在此基础上运用机械优化方法编制对摆线轮齿形修形量进行快速搜索的计算机程序。从 而证明了在优化程序中将优化范围规定在摆线轮齿形啮合部分的范围内的合理性。 关键词：摆线齿轮，修形方式，优化设计，初始间隙 佳木斯大学硕士学位论文 r e s e a r c ho n 唧t e c h n o l o g yo ft o o t hm o d i y 矾 t h ec y l o i dd m v e a b s t r a c t i no r d e rt oc o m p e n s a t et h em a n u f a c t u r ef a l l i b i l i t ya n dm a d ea s s e m b l ef l e ) ( j b l ya n da s s u r e t of a v o r a b l el u b r i c a t i o n , c o m m o n l ym o d i f i e dc y c l o i dg e a rt o o t hm e s hw i t hs t a n d a r dp i ng e a r , t h i sc a na s s u r et h em e s hg a p p 迦l e a r a n c e t om o r et o o t hc y c l o i d g e a r i n gm e c h a n i s m , d i s t r i b u t i o nd i s c i p l i n a r i a no f m e s hg a p p i n gp l a c et a k ed i r e c t n e s se f f e c tt ob ef o r c e dd i s t r i b u t i o n , s oi ti si m p o r t a n tt os t u d yp r i m a r yc l e a r a n c ed i s t r i b u t i o nd i s c i p l i n a r i a n i nt h i sp a p e rd i s c u s si n d i s t r i b u t i o nd i s c i p l m a r i a no fm e s hg a p p i n gp l a c e ，w h e nc y c l o i d a lg e a rw i t hm o d i f i c a t i o no f e q u i d i s t a n c e 、m o d i f i c a t i o no fm o v e dd i s t a n c ea n dm o d i f i c a t i o no fe q u i d i s t a n c ea d dm o v e d & s t a n c em e s hw i t hs t a n d a r dp i ng e a r s ，a n dc o m p a r ew i t hs i z er e l a t i o no f p r i i l l a r yc l e a r a n c et h a t a l lk i n d so fc y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l em o d i f i c a t i o nm o d e ，t h e nt a k ed v a n t a g eo ff l e wm a t h d e r i v a t et h ec y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l em o d i f i c a t i o nm o d eo fm i n i m a lp r i m a r yc l e a r a n c ei n s o m ec o n d i t i o n a tt h es a m et i m e ，w eb a s e dc y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l eg e n e r a lp u r p o s e e q u a t i o n , a n dd e r i v a t et h e o p y d ce x p r e s s i o n st h a ta tt h er a n g eo fc y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l e e n g a g i n gp i e c e , b a s e do i lt h i sw et a k eu s eo fm e c h a n i s mo p t i m i z em e t h o dw o r ko u tc o m p u t e r p r o g r a m m et h a tc a nq u i c k j ys e a r c hc y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l em o d i f i c a t i o n t h e r e b y , w e p r o v e dr a t i o n a l i t y t h a tl i m i t e do p t m u z a t i o nr a n g ei nc y c l o i dw h e e lt o o t hp r o f i l ee n g a g i n gp i e c e a m o n go p t i m i z a t i o n p r o g a m m e k e yw o r d s ：c y c l o i d a lg e a r , m o d i f i e dm e t h o d , o p t i m u md e s i g n , p r i m a r yc l e a r a n c e 2 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 佳木斯大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示 了谢意。 关于论文使用授权的说明 护石t ；o 本人完全了解佳木斯大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：叠! 缕。 佳木斯大学硕士学位论文 引言 摆线针轮行星传动和渐开线少齿差行星齿轮传动，同属k - h - v 行星齿轮传动，其 工作原理和结构基本相同。所不同者，摆线针轮行星传动的行星齿轮的齿廓曲线采用变 幅外摆线的内侧等距曲线，中心轮齿廓是与上述曲线共轭的圆。摆线针轮行星传动已经 在许多行业得到广泛应用，目前已经成为产量最大的通用传动装置，其特点和适用条件 主要有： ( 1 ) 传动比大。由式f = 一z 。可知，摆线针轮传动的传动比按绝对值等于摆线 轮的齿数。其齿数越多、传动比越大。目前，我国生产的摆线针轮减速器系列，一级传 动比为“1 1 9 ，两级传动比可达1 2 1 7 5 6 9 ，三级传动比可达6 5 8 5 0 3 。若采用多级组 合，可达到更大的传动比。 ( 2 )承载能力大。对于普通的渐开线齿轮减速器，一对齿轮同时啮合齿对数仅为 1 2 个，而摆线针轮传动中同时啮合齿对数理论上可达摆线轮齿数的一半。实际上，由 于制造和装配精度的影呐，同时啮合齿对数不可能达到理沦值，能够达到4 0 对以上。 ( 3 )体积小、重量轻。将摆线针轮减速器与同功率的两级普通圆柱齿轮减速器相 比，体积和重量均可减少1 3 1 2 。 ( 4 )运转平稳、效率高。由于摆线针轮传动同时啮合齿对数较多，并在啮合传力 部位都采用了销轴与套管的结构，理论上成为滚动啮合，加之零件的加工与安装精度较 高，故运转干稳，有较大的过载能力和抗冲击能力，传动效率也较高。单级传动效率可 达0 9 0 - 0 9 5 。 ( 5 )工作可靠、使用寿命长。摆线针轮传动除以上优点外，它的主要零件还要求 选用优质材料，并制定有严格的制造工艺程序。因此，其使用寿命比一般减速器提高 1 也倍。 目前，对摆线齿轮尚缺乏一套完善的测量方法和测量工具。此外，由于转臂轴承转 速较高，承受载荷大，转臂轴承的寿命成为该型传动的薄弱环节，在很大程度上限制了 它的应用范围。目前，摆线针轮传动装置主要用于高速轴转速万。1 5 0 0 1 8 0 0r r a i n 和传递功率，1 3 2 k w 的场合。 佳木斯大学硕士学位论文 摆线针轮行星传动中标准的摆线轮和针齿啮合时没有间隙，但实际上，为了补偿尺 寸链误差、保持合理的侧隙便于润滑、保证装拆方便，更为了获得传动所需要的合理齿 廓，一般要对标准的摆线轮进行修形。 2 佳木颠大学硕士学位论文 i 绪论 1 1 国内外发展现状及发展趋势 1 9 6 4 年，摆线针轮行星减速机在我国试制成功并开始生产，至今已有4 0 多年的历 史脚。摆线针轮行星减速器自2 0 世纪7 0 年代末在国内生产以来，由于该传动形式的诸 多优点，得到了较快的发展，目前国内的年产量近百万台，已经成为产量最大的通用传 动形式。尽管尚没有一个统一的划分标准，国内大体上把额定传递功率大于5 5 千瓦的 摆线减速器称为大功率减速器，把额定传递功率从1 千瓦到5 5 千瓦范围的称为一般减 速器，在1 0 0 瓦到i 0 0 0 瓦范围内的称为微型减速器( 或小型减速器) ，在1 0 0 瓦以内的 称为超小型减速器埘。国内尚未有生产超小型摆线针轮行星减速器的报道。而国外对该 方面的研究和研制则取得了实质的进展，且发展很快。近几年来，由于中国经济的高速 发展，人民群众的生活水平不断提高，人们对家电产品、汽车附件、办公设备、住宅设 备、高级玩具等自动化、智能化的要求日趋提高，功率为几瓦到几十瓦的减速器应用场合 越来越多。在日本，住友重机械株式会社每年生产大量的超小型摆线针轮行星传动减速 器，用于如复印机、银幕卷动机、窗帘自动收放器以及高级电动玩具等场合。可以预见， 随着计算机技术、网络技术的进一步发展，随着人口老龄化趋势对自动化、智能化要求的 加强，家用的超小型减速器的应用也将会更加普遍，需求容量也将会大为提高叫。 摆线针轮行星减速器齿廓的修形是设计和制造的关键部分之一，日本企业正是较好 地解决了齿面修形问题，才使摆线针轮行星传动在工业上作为通用传动装置变为可能， 使其产品最先占据国际市场，也是其重点保护的技术秘密，从产品样本上根本无从获得 该方面的资料。日本住友重机械工业株式会社研制开发成功的机器人用r v 系列、f a 系 列和f r 系列传动产品均采用了摆线针轮传动结构形式，由于应用了最新的设计理念，外 型美观大方，内部结构合理，传递功率增加，尤其是可靠性高，在工业机器人领域得到 了广泛的应用，占据了国际市场嘲。欧美国家在高转速输入大型摆线针轮减速器方向远 远领先。 3 佳木斯大学硕士学位论文 1 2 国内外的在摆线传动修形方面的研究 目前在国内只有少数的科研人员、科研机构在这方面研究，例如：北京机械工程学 院机械工程系姚文席、谭月胜等，大连交通大学机械工程学院关天民、孙英时等，郑州 工业大学机械与电子工程学院孙利民等，佳木斯大学机械工程学院于影等，辽宁工学院 单鹏等。下面将有关摆线传动修形方面的研究内容简要介绍如下： 1 2 1 齿廓啮合间隙分布 北京机械工业学院姚文席老师等从摆线齿轮成形法加工入手研究摆线针轮减速器的 齿廓啮合间隙分布嘲。其齿廓啮合间隙是减速器的制造误差、装配误差、原理误差等的 函数。运用解析法求得齿廓啮合间隙( 包括切向啮合间隙和法向啮合间隙) 的分布规律。 计算表明，空载时的减速机一般只有一对针齿、摆线齿接触；承载时的减速器当摆线针 轮修形时，接触齿廓的数目可能少于理论接触齿廓数目的一半；并提出了一种摆线轮齿 形的设计方案。 1 2 2 摆线针轮行星传动中修形所产生的回转误差及反弓齿廓的新概念 1 摆线针轮行星传动装置的回转误差是由不同的因素造成的，如加工误差、装配 误差、啮合变形产生的误差等，但其中一个重要的因素，就是由于摆线轮修形而产生的 回转误差。摆线轮上的柱销孔和柱销之间也必须进行适当的修形才能合理啮合，一般是 将柱销孔的半径增加( 半径增加量为a t ) 。由于修形的原因摆线轮变小。变小了的摆线 轮齿廓和针齿啮合时，摆线轮的非工作齿侧和针齿之间将产生一定的间隙；而变大了的 柱销孔和柱销啮合时，不受力一侧的柱销和柱销孔之间也产生一定的间隙。当传动时， 将产生回转误差，其大小一般用回转角来表示m 。文献 1 4 中主要讨论由于修形而产生 的回转误差，为合理选择修形方式和修形量的大小提供理论前提。并得出以下结论： ( 1 ) 同一大小的移距修形和等距修形所产生的最小回差和最大回差位置均相同，且 等距修形产生的回转角大于移距修形产生的回转角。回差的变化区间是2 州：。，小回转 角发生在最大力臂处，最大回转角可以通过二分法求出。 ( 2 ) 组合修形产生的最小的回转角为口。，口。 4 佳木斯大学硕士学仿论文 转角修形组合使用时：口。= 2 j + 1 2 a = - t ( 3 ) “负移距+ 正等距”组合修形可以获得满意的传力齿廓，但回转角大，最佳传 力齿廓时的修形量为 缸；= _ 南 ：= 2 珥i 下 坼2 ( 4 ) “负等距+ 正移距”组合修形可以获得满意的回转精度，但是承载能力下降，满足 预定回转角 盯。 时的修形量 b p2 谢毒= 厶一曲 ( 5 ) 输出机构中柱销和柱销孔所产生的最小回转角：明。：笔墨，最大回转角： 压。 2 r q m 2 瓦硐6 2 在对摆线针轮行星传动中摆线轮修形所产生的相对转角进行计算的基础上，提 出了反弓齿廓的概念，并给出了反弓齿廓的存在条件，采用“正等距+ 负移距”简单组 合修行方法可以获得反弓齿廓。计算表明：最佳反弓齿廓可以有效地减少最大接触力和 接触应力，从而提高齿面承载能力。 1 2 3 确定摆线轮与针轮同时啮合传力齿数的原则 从保证基本承载能力和有较高传动效率的观点出发，同时啮合传力的齿数，既不能 小于3 4 个齿，也不宜过多。通常根据针轮齿数z 。的多少，在传递额定转矩时，将同 时啮合有效传力的齿数控制在4 7 个齿左右“1 。 1 2 4 摆线轮最佳修形齿廓 在确定合适的径向间隙后，还应选择简单、实用，不应增加磨齿时间的修形方 式。经过以上分析，可以得到对最佳修形齿廓的基本要求：l 、保证在齿根和齿顶附近 产生一定的间隙，在齿侧产生合理的侧隙。2 、修形所产生初始间隙最小，在齿廓传力 5 - 佳木斯大学硕士学位论文 区接近于理论齿廓。以上两点似乎是相互矛盾的，但通过分析可以达到基本满足2 个条 件的最优结果。 1 2 5 不同最佳修形方法的应用 最佳的修形效果是在保证合理径向间隙的前提下选择合理的修形组合方式。并且 根据摆线针轮行星减速器不同的应用场合选择的修形组合方式也不同。例如对于无特殊 要求的一般动力传动用摆线针轮行星减速器，摆线轮修形方法常用正等距加正移距优化 组合的齿形修形方法，但它虽可获得共轭多齿啮合，但难以实现间隙回差小的要求，该 方法在保证所需的径向间隙条件下，不仅不可能减少由其它零件配合间隙所形成的超过 需要的侧隙，同时还会增加新的侧隙哪；机器人用r v 传动中的摆线针轮啮合必须实现 运动精度高、间隙回差小、刚度大、传动效率高等一系列特殊要求，大连交通大学机械 工程学院的研究人员首次创新提出了对摆线轮进行负等距加负移距优化组合的优化修形 方法，不仅同样可以获得多齿共扼啮合齿形，而且还可以根据实际需要在保证所需径向 间隙的条件下，拟合出一段负转角齿形曲线，它不仅不增大侧隙，还可以减小因其他零 件配合间隙产生的已经过大的侧隙。 1 3 研究目的 与标准针轮相啮合，而没有啮合间隙的摆线轮齿廓为理论齿廓或标准齿廓。但由 于摆线轮理论齿廓没有考虑齿侧间隙，故只能作为理论分析使用。在实际的摆线针轮减 速器中，为了在啮合面间形成油膜，补偿温升引起的热膨胀和制造误差，同时为了便于 装拆，避免啮合摩擦增大，啮合齿面易发生胶合等问题，在摆线轮和针齿之间应有一定 的齿侧间隙。因此，实际的摆线轮一般不采用理论齿形，都经过修形。根据摆线针轮形 星传动的啮合与加工原理，目前摆线轮齿形的修形方式一般采用以下3 种修形方式及其 组合：( 1 ) 移距修形法；( 2 ) 等距修形法；( 3 ) 转角修形法。 摆线轮的齿形修形量( 包括移距、等距、转角三种修形量) 是影响这种传动性能的 重要参数，合理的摆线轮齿形的参数应使整机承载能力最大，其工作部分应最大限度逼 近共轭齿形，使转动平稳并有足够的同时啮合齿数。同时要求磨削工艺简单，还能保证 合理的啮合侧隙。因此，此课题针对摆线轮齿形修形方式与最佳摆线轮齿形修形方式进 行了研究时4 。 6 佳木斯大学硕士学位论文 1 4 研究内容 本课题是黑龙江省教育厅应用基础课题，在前人研究的基础上，运用所学的知识及 本人在调研、收集资料中掌握的知识，主要应用计算机软件m a t l a b 分析计算即可完成 课题。其研究内容主要从摆线针轮行星减速器的承载能力入手研究以下几个方面： 1 修形后的摆线轮齿形方程式中各参数的确定。 2 摆线轮的齿形修形方式。 3 齿形公法线方向的初始间隙分布规律的研究 ( 1 ) 等距修形初始间隙分布规律。 ( 2 ) 移距修形初始间隙分饰规律。 ( 3 ) 等距+ 移距修形初始间隙分布规律。 ( 4 ) 等距+ 转角修形初始间隙分布规律。 ( 5 ) 移距+ 转角修形初始间隙分布规律。 ( 6 ) 等距十移距+ 转角修形初始间隙分布规律。 4 从理论和具体图形比较不同修形方式的初始间隙，得出获得最小初始间隙的最佳齿 形修形方式。 5 确定摆线轮齿形啮合部分的范围。 6 研究等距加移距修形方式所产生的顶隙、侧隙。 7 - 佳木斯大学硕士学位论文 2 初始间隙分布规律的研究 砖辩麓篇譬亿， 毛 二一、 ，f 、。 厂 飞j j ，f 奄 j ； ! ，吖口lq t d ， 图2 1 摆线轮齿廓曲线 2 2 通用的摆线轮齿形方程式 实际应用摆线针轮行星传动时，为补偿制造误差，便于装卸和保证润滑，摆线轮齿 与针齿之间必须有啮合间隙。根据摆线针轮行星传动的啮合和展成法加工原理，目前所 看到的国内外资料与样机，摆线轮常见的修形方式有3 种“”： 一8 - 佳木斯大学硕士学位论文 ( 1 ) 移距修形( 修形量为)由于加工摆线轮是按摆线的内啮合形成法进行的，即 模拟摆线针轮的啮合关系。移距修形就是在加工摆线轮时，其它机床加工安装调整参数不 变，将磨轮向工作台中心移动一个距离( 称负移距) 。因此，磨出的齿轮小于标准齿 形。与标准针轮啮合时，自然会产生啮合间隙。规定磨轮远离工作台中心方向移动时， 称为正移距；反之称为负移距。 ( 2 ) 等距修形( 修形量为k )加工摆线轮时其它机床加工调整参数不变，相对于理 论的磨轮半径( 相当于针齿半径) 变化了一个修形量值。规定减少为负，增加为 正。虽然磨出的摆线轮短幅系数墨没有改变，但它与标准齿形是同一短幅外摆线等距值 不相同的两条等距曲线。这样磨出的轮齿小于标准齿形的轮齿，与标准针轮啮合时会产 生啮合间隙。 ( 3 ) 转角修形( 修形量为6 )加工摆线轮时其它机床加工调整参数不变，相对于理论 的针齿啮合位置，摆线轮毛坯绕中心向两个不同方向各转动一个修形角度6 ，改变摆线 轮在磨削时的初始位置，并按原来的方法进行第二次磨削，这会使摆线轮的整个齿的厚 度稍薄，齿槽稍有增大。从理论上说，此时的摆线轮齿廓和针齿齿廓为共轭齿廓，同时 受力齿数多、传动平稳，侧隙均匀，但齿顶和齿根部分将存在无间隙接触，从而不能补 偿径向尺寸链的制造误差和满足润滑要求，故不能单独使用，只能和移距( 或等距) 修形 组合使用。同时，由于转角修形调整繁琐，磨齿时间成倍增加。因而，一般工厂不采 用。 建立概括多种修形方式，通用的摆线轮齿形方程式，只须将摆线轮标准齿形方程式 中的勺以也+ 啡) 代替；以k + j 代替咱以k ：。蠢代替伊以 【f “伊+ 艿) 代替。经过修形后通用的摆线轮齿形方程式中由名( 针齿中心圆半径) 、 ( 针齿套外圆半径) 、z p ( 针轮齿数) 、口( 偏心距) 、0 ( 移距修形量) 、 ( 等距修形量) 、艿( 转角修形量) 这七个参数决定。 选择摆线轮的几何中心作为原点，通过原点并与摆线轮齿槽的对称轴重合的轴线作 为t 轴，如图2 1 ，则概括多种修形方式的通用的摆线轮齿形方程式如下： 9 佳木斯大学硕士学位论文 rt = 。+ 一k + 。砖 c 。s ( 1 一，”) 缈j 1 一 。 ， 和2韶。s i n 妒( c o s 2 妒一1 ) 2 所以妒= a r c c o s k 是使，取得极小值的点。 由以上分析可知，当伊= a r e c o s k l 位置的针齿与针轮首先接触时所需，最小，将 妒= a r e o a s k l 带入( 2 1 4 ) 得 1 4 佳木斯大学硕士学位论文 ，。：一生丽(215)ki 1 5 ) ，m2 一、l 一 z 因此，当整个摆线轮转一个角度，。时，处于缈= 矿。= a r c c o sk 。位置上的针齿和 摆线轮齿面接触( 即消除了间隙) ，而其他位置上的针齿和摆线轮齿面问在公法线o p 方 向仍有间隙a ( 即初始间隙) ，由( 2 1 2 ) 与( 2 1 5 ) 推出嘲“o 妇，) = _ c o s 一，删。n 乙s i n ( r + 仍) = 呜 c o s f 一厢s - n ( f + 仍) 将( 2 4 ) 、( 2 5 ) 带入上式，整理出移距修形的初始间隙分布规律公式嗍 劬) 2 = - a r p 1 - k , c o s 仍一雨s i n 妒, p ( 2 1 6 ) 2 5 3 等距修形加移距修形的初始间隙分布规律 综合等距修形的初始间隙和移距修形的初始间隙分布规律的推导过程，可知当 c o s = k i 即矿= a r c c o s k l 时，乃、儿同时达到最小值，由( 2 9 ) 与( 2 1 5 ) 得脚 ，。= 笠( z 一生正耳 (217)ca z c ，mv 。l 一。 因此，当整个摆线轮转一个角度。时，处于妒= = a r c c o s k l 位置上的针齿和摆 线轮齿面首先接触，而其他位置上的针齿和摆线轮齿面间在公法线o p 方向仍存在间隙 a ( 即初始间隙) 。所以等距修形加移距修形初始间隙分布规律公式由( 2 1 1 ) 与( 2 1 6 ) 推 出如下m ( 其中、均为矢量) 撕= a r r p ( 1 - s m o , s - - ： 一a r p ( 1 - k ，c o s ( , - 厢咖纪) s 一；c z 埘 分析公式( 2 1 8 ) ，各种修形方式组合的初始间隙分布规律公式总结如下： 1 ) 正等距修形加正移距修形( 正等距修形加正移距修形加转角修形) 酬粕( h 幡j i 卜( t 嗡唧一厢咖吼一亿蚴 2 ) 正等距修形加负移距修形( 正等距修形加负移距修形加转角修形) - 1 5 - 佳术斯大学硕士学位论文 酬她( t “n ； 帆i ( 嗡唧一厢咖纪声 ( 2 z 。) 3 ) 负等距修形加正移距修形( 负等距修形加正移距修形加转角修形) 酬= 蚓卜n ； 地l ( 一妒一面s - n 仍) s ( 2 z ) 4 ) 负等距修形加负移距修形( 负等距修形加负移距修形加转角修形) 酬= 蚓卜n ； 啦( - 嗡c o s 伊一厢咖竹声 ( 2 z z ) 2 6 各种修形方式初始间隙的比铰 为讨论方便，设等距修形量 o 、移距修形量铒 o 。 2 6 1 等距修形初始间隙幼) l 与移距修形初始间隙( 仍) 2 的比较 只有在等距修形量与移距修形量相等，即= 0 的前提下，对等距修形与移距 修形的初始间隙进行比较。由工程实际中可知，啮合相位角范围属于【o ，万】，我们的分 析才有意义。 等距修形初始间隙瓴x 与移距修形初始间隙如) 2 之差为 h 阮) 2 = 1 1 s i n 寸啡h 嗍一厢咖以扣 其中纯【0 ，万】。整理等式右边，有 啪一酬：；卜s 纪一6 - 厢k + s ；十亿z 。， 1 ) 一般短幅系数o 五 1 ，0 c o s 伊, 1 所以有 l + x ? - 2 k ls s = l + 足? - 2 k lc o s 妒, s l + 足? 0 一k r s 1 + 尺? j o s s l ! 70s2s l 2 ) 在土程实际中修形量k o 1 6 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 佳木斯大学硕士学位论文 3 ) 设函数厂幼) ：x 。c 0 。纪一6 一i = 耳) s 。n 纪+ s ；一1 ，仍【0 ，万】、o 墨 1 。 利用函数的最大最小值原理证明 ) 与0 的关系。 砉啮p t 卜+ ( 厢小s 矿 由粤：o j 识= a r o 圮o s 置。求函数厂幼) 得二阶导数 口p ， 筹叫s 屯衍郴，卜，卜+ ( 一厨) s i n 伊 将仍= a r c c 。s k l 带, k 中，得 剿 ：乒再 o 抛2 i 。r “1 所以，在仍= a r c c o s 墨点处，函数厂慨) 为最大，其值大小为 ) 雌= f ( a r c c o s k 。) = o 所以，当仍 o ，石】时，有 墨c o s 仍一6 一乒面) s i n 仍+ s i i l o ( 2 2 6 ) 综合( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 分析结果，得出 ) ，一瓴) ：o 等娩) ls 娩) ： ( 2 2 7 ) 妒, = a r c c o s k , 带k 从式( 2 1 1 ) 、( 2 1 6 ) 中，得 址一。= o ，娩) 2 i 。：。= 0 结论： 在啮合相位角纯 o ，万】的范围内， 1 在纪= a r c c o s 墨点等距修形的初始间隙瓴) l 等于移距修形的初始间隙瓴) 2 ，且 娩) l = 瓴) ：= o ； 2 当修形量相同时，等距修形的初始间隙) ，小于移距修形的初始间隙娩) ，； 1 7 佳木斯大学硕士学位论文 3 当采用单修形方式时，等距修形效果优于移距修形。 因此，对摆线轮修形进行组合修形时，采用等距修形量较移距修形量大的组合方 法，即i l j 坼i 。 现已以针齿中心圆半径0 = 1 9 5 、针齿套外圆半径- - 1 3 5 、针轮齿数z p = 2 6 、摆 线轮齿数乙= 2 5 、偏心距口= 6 、修形量= 0 = 0 2 2 5 为例。利用计算机绘制等距 修形的初始间隙娩) 1 与移距修形的初始间隙瓴) ：曲线，如图2 4f f i ：示 0 2 一0 1 5 量 凿 簧0 1 犀 o0 5 o 啮台相位角( r a d ) 图2 4 等距修形与移距修形的初始间隙 2 , 6 2 等距加移距修形的初始间隙娩x 与等距修形的初始间隙渤x 、移距修形的初始 间隙( 仍) ：的比较 在径向间隙为定值的前提下，由于等距修形产生的初始间隙小于移距修形产生的 初始间隙，所以在适当调整等距修形量、移距修形量o 后，能使得娩) 3 坼 0 ，正等距十正移距修形方式； b 峨” 0 坼”，正等距+ 负移距修形方式。 在径向间隙为定值的前提下，比较上述两种修形方式初始间隙的大小。 ? l 坼。= 叫啡1 = o 峨” 2 0 佳木斯大学硕士学位论文 又? 当修形量相同时，等距修形的初始间隙小于移距修形的初始间隙。 7 正等距+ 正移距修形的初始间隙小于正等距+ 负移距修形的初始间隙。 现已以针齿中心圆半径0 = 1 9 5 、针齿套外圆半径= 1 3 5 、针轮齿数z p - - 2 6 、摆 线轮齿数z ，= 2 5 、偏心距口= 6 为例，利用计算机绘制曲线。如图2 6 所示，图中径向 间隙= 0 2 ，正等距+ 正移距修形的各修形量为0 1 、0 1 ，正等距+ 负移距修形的各修 形量为0 3 2 5 ，0 1 2 5 。 e 题 厘 j 娶 屦 啮台相位角( r o d ) 图2 6 不同修形方式初始间隙比较 ( 2 ) 一o 、i 一足? o ，i l i oj ，初始间隙取负值时，分两种情况 a 峨 q 。 o 负等距+ 正移距修形方式，这种方式不能产生正的径向间隙， 不符合，舍去。 b ” 0 ) 3 ) 摆线轮齿形工作部分所需与之相吻合的转角修形齿形的转角修形量置的取值范 围，按，的取值范围确定。 3 1 佳木斯大学硕士学位论文 4 ) 按已定的、z p 、乙、口，并令艿= 疋，用公式( 4 1 ) 求转角修形摆线轮齿 形坐标： t 儿 其中z ，针轮齿数，摆线轮和针轮的相对传动比，2 詈，乙摆线轮齿 数，艿一转角修形量( o ) ，s = 1 + 砰一2 墨c o s q ，。 其余符号和意义同前。 5 ) 等距修形与移距修形组合的摆线轮齿形的坐标按公式( 4 2 ) 计算为。 r 砟= 。+ 。一k 十。b 一； c o s ( 1 一，片切一 去卜胁坼叶尹 i 儿= + 。一g ，+ 。b ； c 。s ( 1 一t ”) 妒+ 。+ 啡- - z p k + 坼一 s i n i 8 矿 z ， o + 啡k + 砖1i s 8 矿 ( 4 2 式中a 一等距修形量，r p 一移距修形量，k i 一有移距修形时齿形的短幅系数 耻老朋= l 州2 之墨s 伊。 6 ) 按同时啮合传力齿数z 4 的要求，初定与占= 疋的转角修形齿形吻合的摆线轮齿 形啮合部分的范围限定在扫( 以妒( 6 ) 】，图4 1 中如4 口段所示，并在此区间按尹值分 m 一1 等分，得仍= 伊q ) 、仍。、= 妒( 6 ) ，将此小- q - 伊, ( f = l m ) 值代人公 式( 4 2 ) ，可得艿= 以转角修形齿形曲线上册个点的坐标k ，儿) ( 持1 ”m ) 3 2 曲 曲 + 卜 叶 叩 v一p j 叮山叶 o 啦 哪 宴 旦旦0 一 + 小小 砌 珍 r k r k础础 佳木斯大学硕士学位论文 8 ) 等距修形与移距修形组合的摆线轮齿形坐标由公式( 4 2 ) 知，决定于勺、 乃、口、a 勺、共6 个参数“删。当0 、乃、口给定时，则齿形坐标只取决于 a 0 、峨这两个参数。转角修形的摆线轮齿形坐标由式( 4 1 ) 可知，取决于、 z ，、a 、6 四个参数当0 、z ，、口给定时，则齿形坐标只决定于艿。很明显， 随便给定一组坼、，由公式( 4 2 ) 所确定的曲线不会与艿= 皖的转角修形曲线在 工作的齿形啮合部分4 口段吻合，而当y 。= 虼( f = l m ) ，则工。与屯( f = 1 ” 肼) 均有差距工0 0 ( j = 1 m ) ，曲线与曲线上工作的齿形啮合部分偏离的指标 可以用r a 个点偏差绝对值的平均值来衡量，记为 f 沁，) = 去善i ，q 一= 分 ( 4 3 ) 如果适当地选择郇与使得f k ，= r a i n f ( a r ，嵋) ，坼= 掣。 求得的0 与就是使等距加移距修形的齿形曲线，与转角修形的齿形曲线在4 b 段，能最大限度相吻合的等距修形量与移距修形量的数值。实质上是以f = ，) 为目标函数求极小值，以厶一= 分为约束条件建立的数学模型来搜寻设计变量 坼、的最优化求解问题，即为公式( 4 3 ) 。如果需要某种特定等距加移距的修形方 式，增加对修形量a 0 、的约束来建立数学模型，见公式( 4 4 ) 。 f 沁，) = m ；i 1 善mp 。吖。i h p 一心，= 匀， 坼 0 ( 或者坼 o ( 或者峨 o ) ( 4 4 ) 3 3 佳木斯大学硕士学位论文 图4 1 等距修形与移距修形组合所获得的摆线轮修形齿形 9 ) 用计算机绘图检验等距加移距修形的齿形曲线与转角修形的齿形曲线的a b 段吻 合的情况，绘图时可将尺寸放大检验。 图4 1 是按上述方法，通过计算机辅助设计，获得的用等距修形方式与移距修形方 式合理组合，磨出的理想修形齿形的实例计制。明显看出，修形十分理想。 连续光滑齿面上的a b 段与有均匀侧隙的转角修形齿形基本吻合，用这一段齿 面工作时，接近理论共轭齿形，可保证传动比恒定、运转平稳。 由于存在约束0 一a = 掣，所以存在合理的径向间隙，满足润滑对顶隙的要 求。 4 3 优化方法的选择 根据各种优化方法的适用条件和优化的效果选用惩罚函数法中的混合惩罚函数法进 行摆线轮齿形优化。 3 4 佳木斯大学硕士学位论文 4 3 1 惩罚函数法的介绍 惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问 题“8 1 ，- m m f ( x ) g j ( 功o u = l 2 ，肌) ( 4 5 ) l 玩( 力= 0 0 = 1 , 2 ，) 中不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数惩罚 函数 妒g ， ，r 2 ) ：，g ) + 童g k ，g ) 】+ ，2 圭阮g ) 】 ( 4 6 ) 求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。为此，按一定 的法则改变加权因子_ 和，2 的值，构成一系列的无约束优化问题，求得一系列的无约束 最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。在式( 4 6 ) 中1 妻g k ，g ) 】称为障碍 项，其作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程中将阻止迭代点越出可行域，惩罚项 的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼 近约束边界或等式约束曲面。 根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数法又可分为内点惩罚函数法，外点惩 罚函数法和混合惩罚函数法三种。 混合惩罚函数法简称混合法，这种方法是把内点法和外点法结合起来，用来求解同 时具有等式约束和不等式约束函数的优化问题。对于公式( 4 5 ) 的约束优化问题，利用 混合法转化后的混合惩罚函数的形式为 妒g ，) = 厂g ) 一r 萎i b + 万1 荟阪g 汗 ( 4 7 ) 一i5 ，p ，v ，。l 式中，窆j - iz b - 障碍项，专喜胃阮g 汗- 惩罚项。 一3 5 佳木斯大学硕士学位论文 4 3 2 实际操作 以正等距加正移距修形为例，其他组合修形方式只是不等式约束g j 她，) 的正 负上有所不同。很据公式( 4 4 ) 和( 4 7 ) 建立摆线轮齿形优化的混合惩罚函数形式如下： 伊k ，) = f b ，) 一岳2 可写1 碥+ 专陆沁，峨) 其中g l ，) = 呜o ，9 2 沁，) = 一峨s o ， 饥，峨) = 峨一q = 掣。 4 3 3 初始点z o 、惩罚因子的初值，o 、缩减系数c 的选取和收敛条件的确定 ( 1 ) 初始点p ( 即0 0 ，o ) 的选取吣埘 初始点x o 应选择一个离约束边界较远的可行点。若x o 太靠近某一约束边界，构造 的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难。程 序设计时，一般都考虑使程序具有人工输入和计算机自动生成可行初始点的两种功能， 由使用者选用。计算机自动生成可行初始点的常用方法是利用随机数生成设计点。 ( 2 ) 惩罚因子初值r o 的选取 惩罚因子的初值r o 应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般r o 太大，将增 加迭代次数；，o 太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。由于问题函 数的多样化，使得，o 的取值相当困难，目前还无一定的有效方法。对于不同的问题，都 要经过多次试算，才能决定一个适当的，o 。 本程序采用经验公式( 4 8 ) 选取r o 。 ( 4 8 ) 这样选取的r o ，可以使惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障 碍项的值太大而起支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽略掉。 ( 3 ) 惩罚因子的缩减系数c 的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子，是一个逐次递减到0 的数列，相邻两次迭代的 惩罚因子的关系为 3 6 佳木斯大学硕士学位论文 ，= c r k - z o = i , 2 ，) 式中的c 称为惩罚因子的缩减系数，c 为小于1 的正数。一般的看法是，c 值的大 小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0 3 0 7 之间。 ( 4 ) 收敛条件 收敛条件为 p ( r k - x 护】岛 前式说明相邻两次迭代的惩罚函数的值相对变化量充分小，后式说明相邻两次迭代 的无约束极小点已充分接近。当满足收敛条件的无约束极小点x ( ，) 已逼近原问题的约 束最优点，迭代终止。原约束问题的最优解为 工= x ( ，)几+ ) = 几( ，) ) 4 4 优化程序框图 图4 2 优化子程序框图 3 7 堡查堑盔堂堡主堂笪堡奎 图4 3 摆线轮齿形优化程序框图 3 8 佳木斯大学硕士学位论文 5 研究工具及编制的应用软件介绍 5 1 研究工具 m a t l a b 是美国m a t h w o d c s 公司自2 0 世纪8 0 年代中期推出的数学软件，优秀的数 值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖雨出。到目前为止，其 最高版本7 0 版已经推出。随着版本的不断升级，它在数值计算及符号计算功能上得到 了进一步完善。m a t l a b 已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。在 欧美等高校，m a t l a b 已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号 处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具恤。 m a t l a b 的主要特点是悯： 1 有高性能数值计算的高级算法，特别适合矩阵代数领域； 2 有大量事先定义的数学函数，并且有很强的用户自定义函数的能力； 3 有强大的绘图功能以及具有教育、科学和艺术学的图解和可视化的二维、 三维图； 4 适合个人应用的强有力的面向矩阵( 向量) 的高级程序设计语言； 5 与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力； 6 有在多个应用领域解决难题的工具箱。 5 2 编制的应用软件介绍 利用m a t l a b 提供的图形用户界面( g u d 的设计和开发功能设计的应用软件界面阍如 图5 1 ，该应用软件能实现的功能如下： 1 对各种摆线轮齿形修形方式的进行优化计算，并可以利用图形窗口直观的显示 优化齿廓曲线的逼近情况。 2 对相同的输入数据利用不同的修形方式的优化结果的比较功能。 3 对优化数据的管理功能。包括数据的删除、排序、简单的查找。 4 对优化数据文件的保存、输出、输入功能。 3 9 佳木斯大学硕士学位论文 图5 1 应用软件的主界面 佳木斯大学硕士学位论文 结论 1 推导出等距修形的初始间隙分布规律、移距修形的初始间隙分布规律、等距 加移距修形的初始间隙分布规律。 2 利用新的方法推导出：在径向间隙为定值的前提下，当初始间隙为正时， 在各种修形方式中正等距加正移距修形产生的初始间隙最小；当初始间隙为负时，在各 种修形方式中负等距加负移距修形产生的初始间隙最小。等距加移距的修形方式比单纯 等距修形与单纯移距修形的初始间隙小。 3 从理论上准确的推导出摆线轮齿形啮合部分的范围移0 l 伊( 6 ) 】，并且采用摆 线轮齿形啮合部分的范围k 如l 妒( 6 ) 】编制的程序优化结果优于传统方法。 4 选择合理的机械优化方法，建立摆线轮齿形优化的数学模型。 4 1 佳木斯大学硕士学位论文 参考文献 1 1 l 徐灏主编机械设计手册( 第四版) 北京：机械工业出版社，2 0 0 3 6 第三章 1 2 l 高世国，梁学锋，赵若采，刘雅生摆线减速机新技术应用z w l l 一8 7 减速机的 研制广东科技，2 0 0 5 【3 1 关天民，孙英时超小型摆线针轮行星传动