（机械制造及其自动化专业论文）机床滚珠丝杠系统热特性分析及其热变形补偿.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 数控机床的定位精度是反映机床性能的一项重要指标，是影响工件加工精 度的重要因素。由于滚珠丝杠和螺母、各支座之间相对运动所产生的热变形， 严重影响定位精度，由于机床加工时工况多变，其丝杠的热变形状况不甚一致。 本文结合某机床的滚珠丝杠系统，首先利用有限元分析方法，建立其有限元分 析模型从而达到对滚珠丝杠系统进行热特性分析目的，为实施其热变形补偿提 供理论依据。其次分析滚珠丝杠运动特点，设计热变形补偿实验，并应用多元 线性回归方法对滚珠丝杠进行热变形补偿研究，其主要工作概括为如下几个方 面： 1 建立了滚珠丝杠系统三维温度场数学模型，并基于弹性力学、热变形基 本方程和有限元理论建立了热变形的数学模型。 2 建立了滚珠丝杠系统三维c a d 模型，并对有限元网格划分和结合面间的 热接触传导进行了探讨，在此基础上建立了热特性有限元模型，为c a e 分析奠 定了基础。 3 在分析丝杠系统内部热源、边界条件的基础上，建立了该系统温度场的 有限元模型。基于有限元法对系统的温度场，和热变形进行了详细的分析，为 实施滚珠丝杠系统的热变形补偿提供了强有力的理论依据。 4 根据有限元热特性分析结果设计实施热补偿方案，利用节点温度和滚珠 丝杠热漂移的相关性分析来设计测温点的布局，用多元线性回归方法，针对某 型号数控机床，建立了滚珠丝杠系统的热误差补偿模型，并开发出与之相应的建 模软件模块。 论文成果为建立滚珠丝杠系统的热特性有限元数学模型和对滚珠丝杠系统 的热变形补偿研究做出了有益的贡献。通过有限元分析结果和实验结果的比较， 验证了理论分析结果的正确性；其次对系统进行了热变形补偿研究，使机床滚 珠丝杠系统的热变形误差达到其补偿精度要求。 关键词：滚珠丝杠；c a d 模型：有限元；热特性分析；热变形补偿 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a bs t r a c t p o s i t i o n i n ga c c u r a c yo fc n cm a c h i n et 0 0 1 i sa l li m p o r t a n tc r i t e r i o nt or e f l e c t t h ep e r f o r m a n c eo fm a c h i n et o o l ，a n di ti sa l s oa ni m p o r t a n tf a c t o rw h i c hc a na f f e c t t h em a c h i n i n ga c c u r a c y b e c a u s eo ft h e r m a ld e f o r m a t i o ng e n e r a t e db yr e l a t i v em o t i o n b e t w e e nb a l ls c r e wa n dn u t ，a n dt h eb e a t i n g ，t h ep o s i t i o n i n ga c c u r a c yi ss e r i o u s l y a f f e c t e d t h et h e r m a ld e f o r m a t i o no ft h eb a l l s c r e wi sc h a n g e a b l ed i f f e r e n t l yb e c a u s e o ft h ec h a n g e a b l 岫o fj o bs i t u a t i o n s t h et h e r m a ld e f o r m a t i o no ft h eb a l l s c r e wi s c h a n g e a b l ed i f f e r e n t l y a c c o r d i n gt ot h eb a l l s c r e ws y s t e mo f am a c h i n et o o l ，f i r s t ， e s t a b l i s haf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sm o d e lt oa n a l y s et h et h e r m a lp r o p e r t i e so f b a l l s c r e w , u s i n gt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d , t h e np r o v i d et h e o r e t i c a lb a s i s e sf o r c o m p e n s a t i o no ft h e r m a ld e f o r m a t i o n s e c o n d , a n a l y s et h ec h a r a c t e r i s t i c s o f b a l l s c r e wm o v e m e n t s ，d e s i g na ne x p e r i m e n tf o rc o m p e n s a t i o no ft h e r m a l d e f o r m a t i o n t h e nt a k ear e s e r c hf o rc o m p e n s a t i o no ft h e r m a ld e f o r m a t i o nu s i n g m u l t i p l el i n e a rr e g r e s s i o nm e t h o d s ，s u c ha sf o l l o w i n ga s p e c t s 1 e s t a b l i s ham a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h r e e d i m e n s i o n a lt e m p e r a t u r ef i e l df o r b a l l s c r e ws y s t e m , a n db a s eam a t h e m a t i c a lm o d e lo fh e a td i s t o r t i o no nt h e k n o w l e d g eo fe l a s t i c i t y ，h e a td e f o r m a t i o nb a s i ce q u a t i o na n df i n i t ee l e m e n tt h e o r y 2 e s t a b l i s hat h r e e d i m e n s i o n a lc a dm o d e lf o rc o m p o n e n tb a l l s c r e ws y s t e m s ， a n dh a v ead i s c u s s i o n0 nf i n i t ee l e m e n tm e s h i n ga n dh e a tc o n d u c t i o nb e t w e e n c o m b i n e ds u r f a c e s ，t h e ne s t a b l i s haf i n i t ee l e m e n tm o d e lf o rh e a tc o n d u c t i o n ，a n dl a y af o u n d a t i o nf o rc a ea n a l y s i s 3 e s t a b l i s haf i n i t ee l e m e n tm o d e lf o rt e m p e r a t u r ef i e l d a f t e ra n a l y z i n gt h e i n t e m a lh e a ts o u r c ea n dt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s m a k ead e t a i l e da n a l y s i sf o rt h e t e m p e r a t u r ef i e l da n dh e a td i s t o r t i o no f t h es y s t e m , t h e np r o v i d eas t r o n gt h e o r e t i c a l b a s i sf o rt h et h e r m a ld e f o r m a t i o nc o m p e n s a t i o no fb a l l s c r e ws y s t e m 4 d e s i g n at h e r m a l c o m p e n s a t i o np a c k a g ea c c o r d i n g t ot h et h e r m a l c h a r a c t e r i s t i cr e s u l t so ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，a n dd e s i g nt h el a y o u to ft h e t e m p e r a t u r em e a s u r e m e n tp o i n t st a k i n ga d v a n t a g eo f t h er e l a t i v i t yo ft h et e m p e r a t u r e o fn o d sa n dt h eh e a td r i f to fb a l l s c r e w ，e s t a b l i s hat h e r m a le r r o rc o m p e n s a t i o nm o d e l o fb a l l s c r e ws y s t e mt on u m e r i c a lc o n t r o lt o o l ，u s i n gm u l t i p l el i n e a rr e g r e s s i o n m e t h o d s a n dd e v e l o p eam o d e l i n gs o f t w a r em o d u l ef o ri t 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 t h e p a p e rm a k e san s e f u l c o n t r i b u t i o n t ot h ee s t a b l i s h m e n to r h e r r n a l c h a r a c t e r i s t i c so fb a l l s c r e ws y s t e mf i n i t ee l e m e n tm a t h e m a t i c a lm o d e l ，a n dt h e r e s e a r c ho fb a l l s c r e ws y s t e mt h e r m a ld e f o r m a t i o nc o m p e n s a t i o n t h ec o r r e c t n e s so f h et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t sa r ev e r i f i e db yc o m p a r i n gt h er e s u l t sb e t w e e nt h e f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n de x p e r i m e n t t h er e s u l ts h o w st h a tt h et h e r m a l j e f o r m a t i o no ft h eb a l ls c r e ws y s t e mh a sa c h i e v e dt h er e q u i r e m e n to ft h e m m p e n s a t i o na c c u r a c yt h r o u g h t h e s t u d y o ft h e c o m p e n s a t i o n o ft h e r m a l i e f o r m a t i o ne r r o ro f t h es y s t e m k e yw o r d s ：b a l l s c r e w ；c a dm o d e l ；f i n i t ee l e m e n t ；t h e r m a la n a l y s i s ；t h e r m a l d e f o r m a t i o nc o m p e n s a t i o n 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密留，使用本授权书。 ( 请在以匕方框内打“”) 学位论文作者签名：啊压 日期跏厂务z 司萝诏 j 指导老! j 嗽：写末、乏 日期： 7 、6 气 西南交通大学学位论文创新i 生声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 、或集体已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已葩丈中作 了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新性如下： 1 建立了机床滚珠丝杠系统的热特性有限元数学模型，为进行了该系统的热 变形补偿研究提供了理论依据o _ 2 应用有限元分析结果，利用节点温度之间及节点温度与系统热变形之间的 相关性分析来确定热变形补偿时测温点的布置，提高了对机床滚珠丝杠系统热敏 感点的辨识效率。 夕彳k u i 6 吕 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 随着机床向高速度、高精度和柔性自动化方向的迅速发展，对机床的加工 精度和可靠性提出了更高的要求，改善机床的热态特性，已经成为机械制造技 术发展中最重要、最迫切的研究课题之一。在机械加工中，工艺系统在各种热 源( 摩擦热、切削热、环境温度、热辐射等) 的作用下，产生温度场，致使机 床、刀具、工件、夹具等产生热变形，从而影响工件与刀具的相对位移，造成 加工误差，进而影响零件的加工精度。随着制造业的发展，机床主轴转速、伺 服进给速度和加工精度不断提高，热变形问题变得更加突出，各种不同类型的 机床，热变形误差约占总误差的3 0 - 5 0 。在机床进给系统中，滚珠丝杠和螺 母之间将产生摩擦热以及支撑轴承的摩擦热，进而产生热变形【2 】，滚珠丝杠的热 变形将使系统产生位置误差。由于丝杠高速旋转，热变形将更加严重，甚至有 时在机床热变形中占主导地位【3 】。因此为了进一步提高机床精度，对丝杠热变 形误差进行研究和热特性分析有着重要的意义。 1 2 国内外研究现状 滚珠丝杠驱动系统由于具有高效率和长寿命的特点，广泛应用于快速精密 运动传动，并且高速滚珠丝杠进给系统自然会在结合面上由于摩擦而产生大量 的热量。这些热量会引起热传导，进一步影响加工精度【4 j 。所以在高速和高精 度机床系统中，丝杠的热变形误差是必须要考虑的一项重要误差。减少热误差， 提高机床加工精度有两种基本方法【5 】，第一种是误差预防法，这是一种“硬技 术”，其通过改进设计和制造途径消除或减少可能的热误差源，提高制造精度， 或者控制温度来满足加工精度要求；第二种是误差补偿技术，人为地造出一种 新的误差去抵消当前成为问题的原始误差，是一种既有效又经济的提高机床加 工精度的手段。 在国外，进行机床热误差补偿技术研究比较有影响的有美国的密西根大学、 国家标准和技术所( n a t i o n a li n s t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y ) 、辛 辛那提大学，日本的东京大学、日立精机、大阪工业机床，德国的阿亨大学1 柏林工业大学等。其中美国密西根大学的s y a n g 等运用小脑模型连接控制器 ( c m a c ) 神经网络建立了机床热误差模型【6 】，密西根大学这几年还为美国波音飞 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 机制造公司的一些加工设备实施了误差补偿技术【7 】。日本大阪工机公司( o i ( i ( ) 的 t d c f l i l i z y 主轴热误差补偿控制器利用模糊控制理论控制主轴的热误差，日本 东京大学根据智能制造新概念已开发了由热作动力主动补偿综合误差的新方 法，并在加工中心上予以实现瞄j 。韩国的s k k i m 等运用有限元方法建立了机 床滚珠丝杠进给系统的温度场【9 】。德国柏林工业大学借助有限元计算机床部件 及整机的温度场及变形场【l u j 。 在国内，宋洪涛等对丝杠磨削过程中磨削热的热源强度进行了分析与计算， 解出了丝杠内部温度场的计算方法，对丝杠的热变形规律进行了分析，通过一 个计算实例，对丝杠磨削过程中的一些热现象进行了总结【l l j 。青岛大学的徐志 良等研究了精密丝杠磨削过程中的内部温度分布规律，采用二维热传导模型和 简化的一维模型求解了精密长丝杠的内部温度场分布规律，为精密丝杠磨削过 程中热变形误差的补偿提供了依据【l2 1 。合肥工业大学的苗恩铭等分析了热变形 和残余应力对精密丝杠加工误差的影响，建立了精密丝杠温度分布和热变形数 学模型，提出了基于能量守恒定律、采用平均线膨胀系数的丝杠热变形简化计 算方法，分析了磨削残余应力对精密丝杠尺寸变化的长期影响及计算方法【l3 1 。 天津大学对丝杠热误差补偿的在线检测功能进行了开发，并系统地论述了进给 速度、预紧力、加工状况以及轴承固定形式等对丝杠热变形的影响；以多体系 统理论( 船s ) 为基础，建立了包含测头误差、机床几何误差、丝杠和主轴热误 差的综合误差补偿模型，开发了热误差补偿的r b f 网络的结构和算法【l 4 。 目前对于丝杠的热变形误差进行软件补偿的研究很少。h u a n g 用多元线性回 归对半闭环机床的滚珠丝杠进行热误差建模，用丝杠前后支撑轴承和螺母三个 点的温度及它们的平方项和交叉项预测不同转速下的热误差引。s k k i m 等运 用有限元方法分析丝杠进给系统的温度分布情况。还有学者使用神精网络的方 法进行丝杠热误差补偿等。但热补偿方法也有其缺点，如过长的机床特性检测 和辨识时间；温度传感器的分布位置和个数大多是依赖经验来确定；补偿模型一 的鲁棒性、补偿模型的响应速度等都有待进一步研究；而这些都会对补偿结果 造成影响。 1 3 主要研究内容 本文采用误差补偿技术对机床丝杠系统热变形补偿研究，针对某型号机床 丝杠首先在理论上采用a n s y s 软件对机床滚珠丝杠进给系统进行热变形方面的 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 有限元分析，对丝杠迸给系统的温度场和熟变形进行数值计算，然后进行热变 形补偿研究，通过热变形补偿的实施，使机床达到加工精度要求。其主要内容 有以下几个方面。 1 、滚珠丝杠进给系统的有限元建模。 利用有限元法建立温度场的数学模型，基于热弹性和有限元原理建立热变 形的有限元方程。建立机床丝杠进给系统c a d 模型。在设计允许的范围内对结 构复杂的主要零部件进行简化，通过p r o e 的专用接口a n s y s g e o m 将其转换到 有限元分析软件a n s y s 中得到这些零部件的几何模型，为了方便有限元网格的 划分对零件进行分组切割，复杂结构采用自由划分网格的方式，对结构简单的 轴对称零部件则采用手工映射划分的方式。将材料属性赋到单元上，相互接触 的部件间采用接触单元描述，从而建立机床丝杠进给系统的有限元模型。 2 、丝杠进给系统的温度场分析。 机床丝杠在高速回转条件下，丝杠进给系统热特性很重要，它所产生的热 变形是提高加工精度的主要制约因素，要研究其热特性，必须先确定丝杠进给 系统的温度场。为此，分析丝杠进给系统的热源，计算发热量，确定热量传递 方式与边界条件，用a n s y s 软件计算出丝杠进给系统的瞬态温度场和稳态温度 场分布，分析温度场的变化，确定热变形温度采集点，并将得到的温度场与试 验进行对比。 3 、丝杠进给系统的热变形结构分析。 以a n s y s 通用有限元分析软件为工具，把稳态温度作为热载荷加到有限元 模型上，结合丝杠进给系统的约束，计算丝杠进给系统的热变形，为实施丝杠 进给系统热变形补偿提供依据。 。 4 、丝杠进给系统的热变形补偿。 根据热特性分析结果设计热变形补偿实验。对实验所得数据进行整理，对 丝杠各坐标点在瞬时时刻的变形关系和某一坐标点随时间变化的变形关系做了 详细的研究。利用热敏感区域和节点温度与丝杠热变形之间的相关性分析来设 计测温点的布局，用多元线性回归方法对丝杠进给系统的热变形进行数学建模， 并开发出相关的建模软件。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章滚珠丝杠系统热特性有限元建模 建立丝杠进给系统的有限元模型是进行其热特性分析的基础。主要包括热 特性分析所涉及的温度场和热变形理论和丝杠进给系统的数字化有限元分析模 型。本章首先建立温度场和热变形的有限元方程，然后利用通用有限元分析软 件a n s y s 建立数字化的仿真模型。 2 1 温度场计算的有限单元法 2 1 1 温度场基本方程 2 1 1 1 导热基本定律 傅里叶对热传导作了大量的实验研究，得出的导热基本定律：单位时间内通 过垂直于热流方向单位面积的热流量，其数值与该处温度梯度的绝对值成正比， 方向和温度梯度的方向相反即【1 6 】 1a 丁 g 。= 一以弋一( 2 一1 ) o n 式中，g 热流密度( w m 2 ) ； 力一导热系数，( w m o c ) ； 卜物体的温度( o c ) ； n _ 等温面法向 羹中：彳娑= 七娑m + 以挈玲+ 先挈绝 d nd xd v d z 此式中：尢，以，尢一材料沿x ，y ，z 方向上的导热系数； 陷，n y ，尬一等温面沿x ，y ，z 方向上的分量； x ，y ，z 一笛卡尔坐标的三个方向轴； 2 1 1 2 牛顿冷却公式 单位时间。- 内，单位面积上对流传热的热量用牛顿冷却公式来计算【切 q = 办( 乃一乃) ( 2 _ 2 ) 式中，乃_ 对流换热系数( w ( m 2 o c ) ) ； 、乃一固体表面温度( o c ) ； 乃一周围液体温度( o c ) 。 2 1 2 导热微分方程及定解条件 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 温度场指的是机床上各点的温度分布，一般表达式为：t ：f ( x ，y ，z ，t ) ，即 物体上某点的温度t ，随该点所处的空间坐标位置( x ，y ，z ) 和所处的时间t 而变。 随时间而变的温度场称为不稳定温度场或瞬态温度场。当机床开动以后，各点 的温度逐渐升高，等到生热和散热达到平衡时，即所谓机床达到热平衡，这时 的温度场不随时间变化，称为稳态温度场，可表示为：t = f ( x ，y ，z ，) 。 首先研究在直角坐标系中，导热固体内部任一微元体的瞬态热平衡。为了 减少问题的复杂性，这里只讨论固体和静止流体，并假定物体是连续和均质的。 图2 - 1 导热微元体模型 如图2 1 所示，在导热物体中取一微元体d x d y & 。由能量守恒定律，导入 微元体的净热流量9 与单位时间内内热源产生的热量q 矿之和，等于单位时 间内微元体热力学能的增量a u 。即 9 + a q v = a u ( 2 3 ) 在x 处，通过微元体表面导入微元体的热流量为 = 一2 d 、t 撒 ( 2 4 ) 在z + d x 处，通过微元体表面导出微元体的热流量为 9 + 警出啦丢( 一名誓撇卜 = 9 一见窑蚴 ( 2 5 ) 在x 方向上导入微元体的净热流量为 9 = 9 伽一警撕 6 ) 同理，在y 和z 方向上导入微元体的净热流量为 西南交通大学硕士研究生学位论文舅6 页 q ：名碧撇( 2 - 7 ) 缈 9 = 力警蚴( 2 - 8 ) 三个方向上导入微元体的净热流量为 9 = 9 + 9 + 9 = 旯f 孥+ 窑+ 窑1 蝴 ( 2 - 9 ) “l 丽+ 萨+ 可j 蝴 皑叫 单位时间内微元体内内热源产生的热量为 q r = p q d x d z ( 2 1 0 ) 式中，p 一材料密度( k g m 3 ) ； 9 物体内部体热源强度( w m 3 ) 。 单位时间内微元体热力学能( 内能) 的增量为 a u ：p c _ d t 奴晦d z ( 2 - 1 1 ) 式中，c 一材料比热( j ( k g o c ) ) ； t = t ( x ，y ，z ，f ) 一物体的温度函数； f 一时间( s ) 。 将式( 2 - 9 ) 、( 2 - 1 0 ) 、( 2 - 1 1 ) 代入式( 2 3 ) ，整理后得 p c 鲁= 名( 害+ 矿3 2 t + 警) + 朋( 2 - 1 2 a ，p c 百以l 丽+ 萨+ 虿j 叩g 或孥= 尘v ：r + 里( 2 - 1 2 b ) d t p c c 式中，v 2 一拉普拉斯运算子，即 v 2 r = 警+ 斋+ 窘 若材质不是均匀的，即各相异性，这时得到更为普遍的导热微分方程 胪警= 击卜警) + 专p 等) + 未卜誓) + 仞 c 2 一一 式( 2 1 2 a ) 和( 2 1 3 ) 称为导热微分方程，是在能量守恒定律和傅里叶定律 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 的基础上建立起来的，实质上是导热的能量方程。 导热微分方程是对导热物质内部温度场内在规律的描述，适用于所有导热 过程，是一普适方程，因而要获得特定情况下导热问题的解必须加限制条件。 这些限制条件称为定解条件。它包括时间条件和边界条件。 2 1 2 1 时间条件 时间条件给定某一时刻导热物体内的温度分布。如以该时刻作为时间的起 算点，则时间条件称为初始条件。最简单的初始条件是初始温度分布均匀，即 7 ( x ，y ，z ，f ) = t o ( 常数) ( 2 1 4 a ) 这便是稳态导热，导热物体内的温度分布不随时间变化，初始条件没有意义， 所以非稳态导热的求解才有初始条件。 2 1 。2 。2 边界条件 边界条件是指导热物体边界处的温度或表面传热情况。由于物体边界处传 热的特点不同，边界条件通常分为以下三类： ( 1 ) 第一类边界条件：给定物体边界上任何时刻的温度分布。对于非稳 态导热给定以下的关系式： 丁= r ( x ，y , z ，t ) ( 在r l 边界上) ( 2 1 5 a ) 当边界条件均匀时，式2 - 1 4 a 可简化为 t = 丁( f )( 在r l 边界上) ( 2 1 5 b ) ( 2 ) 第二类边界条件：给定物体边界上任何时刻的热流密度g 。对于非 稳态导热，给定以下关系式： ，2 一o ) t m + 以娑砌+ 尢娶地= g ( x , y , z , t ) ( 在r 2 边界上) ( 2 1 6 a ) o x a y o z 同样，边界条件均匀时 以坚n x - t - 坚m + 尢坚r l zq ( f ) ( 在r 2 边界上)(一一16b)nx a y r l z q 21 5 b 九_ m + 儿_【仕l j 2 边夼上j ( 一 d ! x o y 叱 ( 3 ) 第三类边界条件：给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周 围流体的温度乃。由固体壁导热量与表面传热量相等，得 无娑m + 办娑坳+ 尢挈地= h ( t b 一丁) ( 在r 3 边界上) ( 2 1 7 ) d x d y d z 式中，已知流体温度乃和边界面的表面传热系数h ，而边界面的温度丁和 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 温度变化率兰都是未知的，这正是第三类边界条件和条、第二类边界条件不 同的地方。 以上边界条件中，第一类边界条件是强制条件，第二、三类边界条件是自 然边界条件。设温度场求解域为q ，那么i ! q - i 2 - i f 3 = f ，f 是域q 的全部边界。 求解瞬态温度场问题是求解在初始条件下，即在 t ( x ，y ，z ，o ) = t ( x ，y ，z ) ( 2 1 8 ) 条件下满足瞬态热传导方程及边界条件的场函数t ( x ，y ，z ，t ) 。 如果边界上的t ( t ) 、g ( f ) 和乃及内部g 不随时间变化，则经过一定时间的 热交换后，物体内各点温度也将不再随时间而变化，即 坚：0 ( 2 1 9 ) d f 这时，瞬态热传导方程就退化为稳态热传导方程了。即 杀( 尢警) + 专( 办等) + 杀( 允誓) + p q o ( 在q 内，( 2 - 2 0 ) 求解稳态温度场的问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的温度场变 量丁，稳态温度场的温度分布与初始条件无关，它是只有边界条件而没有初始 条件的导热问题，丁只是坐标的函数，与时间无关。 2 1 3 稳态温度场的有限元法 稳态热传导温度场问题与时间无关，稳态温度场的有限单元法求解和弹性 静力学问题基本相同，对于热传导问题，场变量是温度，是标量场。稳态热传 导问题存在变分泛函，由变分建立的有限元方程与用迦辽金法建立的有限元方 程是致的。 本文研究三维热传导问题，采用迦辽金法建立稳态温度场有限单元法问题 的求解一般格式。先构造一个近似函数r ，并设丁己满足r l 边界上的强制边界 条件。将近似函数丁代入场函数( 2 - 2 0 ) 及r 2 和r 3 边界条件中，因丁的近似性， 将产生余量，即 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 r 。= 去( 尢豢 + 专( 以萼 + 未( 尢芒 + p g r r z = 未( o 娑 + 专 名y 苦 + 未 旯：警 一g c 2 2 ， 尺n = 去( 尢豢 + 专 乃萼 + 未( 名z 誓 一办c 乃一争，j 用加权余量法建立有限元格式的基本思想就是使余量的加权积分为零，即 j 尺翮d q + j 辟：a k d f + j r r ，劬订= 0 ( 2 2 2 ) 式中国、幼、幼是权函数。式( 2 - 2 2 ) 的意义是使方程( 2 2 0 ) 和自然边界 条件式在全域及边界上得到加权意义上的满足。 将( 2 2 1 ) 代入( 2 - 一2 2 ) 中，并进行分部积分可得 一f 塑o xr 尢塑o x ) + 等( 乃蒡) + 警( 尢誓) 一仞鳓】d 2 + 叮鳓( 以豢m + 以誓+ 尢警m ) 叮+ i ! c 允争+ 乃茜卅：誓岫幼订+ ( 以等+ 以誓州：誓洲( 撕m _ 0 ( 2 - 2 3 ) 将求解域q 离散为有限个单元体，在典型单元内各真的温度丁可以近似地 由单元的结点温度乃插值得到 丁= 于= m ( 石，y ，z ) 乃= 胛p ( 2 2 4 ) n = n l ，2 ，】 西南交通大学硕士研究生学位论文篁! 堕 瞰一，= ；嚣； ( 2 - 2 5 ) 并且 ym = i 由于近似函数是构造在单元体中的，因此( 2 2 3 ) 式中的积分可改写为对 单元积分的总和，用迦辽金法选择函数 鳓= f ( 歹= 1 ，2 ，孢) 式中m 是q 域全部离散得到的节点总数。在边界上不失一般性的选择 0 ) 2 = 0 ) 3 = 一鳓 这时于已满足强制边界条件( 在解方程前引入强制边界修正方程) ，因此在 r - 边界上不再产生余量，可令9 0 1 在r l 为零。 将以上各式代入( 2 1 4 ) 式则可以得到【1 2 】 莓，c 警c 以警+ 万a n ji 咖- 矽b n + 警s 尢旷d 耻 。p q n m n - l 蝴订一肋聊r + 罗 。n j h n t 8 d f = 0 ( 2 2 6 ) 厶一肥 ( - = 1 ，2 ，玎) 写成矩阵形式，则有 莓，r 舞厂七罢+ 学，? y 可b n + 謦a 出n 丁8 擒：；埘r 胛锕一 n r g d r 一n 7 h t , d f 一l o n 7 p q d q = 0 ( 2 2 7 ) 这是n 个联立的线性方程组，用以确定n 个节点温度乃。按照般有限元格式 可表示为 k t = p ( 2 2 8 ) 式中五称为热传导矩阵，它是对称矩阵，在引入给定温度条件以后，置是 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 对称正定的；t = 丁1 ，丁2 ，强 7 是节点温度列阵；p 是温度载荷列阵。矩阵k 和p 分别表示如下： 岛= ；髟z 警警锄警警讹警警艘+ 莩帆m 订( 2 - 2 9 ) p = l l g d r + l m 乃订+ 。n i p q d q ( 2 3 0 ) ( 2 - 2 9 ) 式中的第1 项是各单元对热传导矩阵的贡献，第2 项是第三类热交 换边界条件对热传导矩阵的修正。( 2 - 3 0 ) 式中的3 项分别为给定热流、热交换 以及热源引起的温度栽荷。可以看出热传导矩阵和温度载荷列阵都是单元相应 的矩阵集合而成。可将( 2 - 2 9 ) 及( 2 - 3 0 ) 式改写成单元集成的形式 = 鬈+ 巧 ( 2 3 1 ) 只= 巧+ 置+ 弦 ( 2 3 2 ) 其中， 。c - e 。i 胞警警+ 匆警警+ 2 za 出n ia 出n ) d q 是各单元对热传导 矩阵的贡献； 西= h g , n _ ，d r 是第三类热交换边界条件对热传导矩阵的修正。 巧= lm g d o 是给定热流所引起的温度载荷； 巧，= ln , h t b d f 是热交换所引起的温度载荷； 弦= l , n i p q d f 2 是体内热源引起的温度载荷。 以上就是三维稳态热传导问题的有限元方程。 2 1 4 瞬态温度场的有限元法 瞬态温度场与稳态温度场主要的差别是瞬态温度场是场函数温度不仅是空 间q 的函数，而且还是时间域彳的函数。 仍以三维问题为例来建立瞬态温度场的有限元一般格式。首先将空间域q 离散为有限个单元体，在典型单元内温度丁仍可以近似地用节点温度乃插值得 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 到，由此节点温度是时间函数，即 r = 争= 羔m ( z ，烨) z ( r ) ( 2 3 3 ) i = i 同样近似函数丁满足在r l 边界上的强制边界条件。将丁代入场函数( 2 - 1 3 ) 及( 2 - 1 6 a ) 或( 2 1 6 b ) 和( 2 1 7 ) 两边界条件中，同样产生余量，即 舶= 去( 允豢) + 未( 以斋) + 丢( 尢i a t ) + 朋一尸c 百d t 肌= 厶豢以+ 以鲁b 以誓吃一g 辟，= 五誓k + 乃等+ 丑警他一向( 咒一幻 令余量的加权积分为零，即 q d q + 工，肆：a 4 d f + 工，珥，坞订= o 7 r 3 一， ( 2 - 3 5 ) 按迦辽金方法选择权函数，与稳态温度场建立有限元格式的过程相同，经 分部积分后可以得到用来确定n 个结点温度兀的有限元矩阵求解方程【1 2 】 cr + t = p ( 2 3 6 ) 这是一组以时间f 为独立变量的线性常微分方程。式中c 是热容矩阵，置是 热传导矩阵，c 和置( 在引入给定温度条件以后) 都是对称正定矩阵；尸是温 j 下 度载荷列阵，丁是结点温度载荷，r 仁等j 是结点温度对时间的导数列阵。矩 d t 阵五，c 和p 的元素由单元的相应的矩阵元素集成，即 其中， 墨，= 蟛+ 西 c j ，= g 鼻，= 吃+ 巧+ 磁 ( 2 - 3 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 霹= 她警誓+ 匆盟a y 业a y + 五警誓) 擒是单元对热传导矩阵的 贡献； 孵= lh n , n j d r 是单元热交换边界对热传导矩阵的修正； c ：；= lp 以m d q 是单元对热容矩阵的贡献； 髦= l 朋m 施是单元热源产生的温度载荷； 巧= lg 。m 汀是单元给定热流边界的温度载荷； 巧，= lh r b n , d r 是单元的对流换热边界的温度载荷。 至此，已将时间域和空间域的偏微分方程在空间域内离散为n 个结点温度 丁( f ) 的常微分方程的初值问题。 2 2 热变形的有限元法 2 2 1 有关的基本方程 2 2 1 1 本方程的矩阵形式 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6 个应力分量仉，西， 仍，锄，缸、蚀来表示，其中仉，西，仉为正应力；，砌、饧为剪应 力。应力分量及其正方向如图2 2 所示。 图2 2 应力分量 应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量 1 8 】【1 9 1 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 田= 吒 o y 吒 飞q 气乒 乞 = 吒 o yo zt 砂，踞 ( 2 - 3 8 ) 弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状 的改变。弹性体内任一点的位移可由直角坐标轴方向的3 个位移分量u ，v ，w 来表示。它的矩阵形式是 f u l 。 q = v 卜v w 】7 3 【w j 称作为位移列阵或位移向量。 弹性体内任意一点的应变，可由6 个应变分量，e y ，加，胁，扣 来表示，其中乞，e y ，为正应变；弦，加，肛为剪应变。应变矩阵形式是 f 占，= lj i y 乞 岛 如 坛 = e 勺乞岛坛 r ( 2 4 0 ) 称作应变列阵或应变向量 ( 1 ) 几何方程 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和 位移向量间的几何关系为 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 ) = o u a b c o v 砂 批 a z b ub v ：一+ ：一 却 a x 孔o w i 一+ _ d z d y o wb u 一+ o xo z ( 2 ) 力的平衡方程 弹性体v 域内任一点沿坐标轴x ，y ，z 方向的平衡方程为 ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) 式中，r ，b ，r 分别为x ，y ，z 方向上的体力。 如果弹性体没有到热平衡时，其产生热应力随时间而变化，v 域内任一点沿 坐标方向x , y ，z 的运动微分方程为 式中，p 一密度， f 一时间。 ( 2 - 4 3 ) 勺乞坛 0 0 0 = = = 只 e + + + 吃i 竖如虹i 监砂堕砂堕砂 溉一h kh眈一融 甜一2 v 一2 w 一2 兆一舻执一扩一护 p p p = = = e e e + + + 吃i 堡玉溉i 嵋可堕砂堕矿 溉一孤k一越眈一孤 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 ( 3 ) 物理方程应力一应变关系 弹性力学中应力一应变之间的转换关系也称弹性关系。对于各向同性的线弹 性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示为 it=d忙(2-44) 其中 d = 垒! ! 二丝2 ( 1 + ) ( 1 2 ) 1 j l l 1 一1 一 1 l 1 一 1 对 称 d 称为弹性刚度矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量e 和泊松比。 2 2 1 2 变形基本方程 物体内温度发生变化时，它的体积将随温度升高或降低而改变。假设有一 个各向同性的立方体，因均匀受热而膨胀，它在长、宽、高各方向将产生热变 形，各边的伸长量和温度之间的关系为 址= 比o 丁 ( 2 4 6 ) 式中，址变形量 l o 物体原尺寸 丁物体温升 口材料线膨胀系数 2 2 2 热弹性有限元法 假设空间域v r 3 被m 个具有虬个节点的单元离散， 在每个单元各点的位移用节点位移表示为【2 0 】 万= 】恤 y 内共有n 个节点， ( 2 - 4 7 ) 一 o o o o o 旦耻 一 o o o o 景 一 o o o 景 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 式中， 卜一形函数； 枷 _ 一节点位移向量。 根据虚位移原理可知： 扣= a y( 2 4 8 ) 故有： e l 曰 7 d b ( v d ，) 枷) 一l ， b r d 【 曲) = 一pl ， 】r n d ( v o t ) l u +j m ij ， i m 7 p d ( a r e a p ) + f 删 8 ( 2 4 9 ) , l a t - e a p 式中，【b = 陋】 】。陋】一微分算子矩阵； m 】- 边界法向形函数矩阵； ”5 一加速度矩阵； ij 扩耐 。一单元节点力载荷。 对式( 2 - 4 9 ) 进行整理，可得出有限元的总体合成，即 ( e et k i 8 一莓扩晴圹= 莓( 1 m 。) 仁】+ 莩矿) 。+ ；耐) 。 c 2 5 。， 式中，【k 。= l ， 占 7 【d 】旧 d ( v d ，) 单元刚度矩阵； f 曲 。= i ， 剀7 旧】 忙曲 ( ，) 单元热载荷： m 8 = pl 。， 7 n d ( v o t ) 单元质量矩阵； 扩) 。= i 。 m r p d ( a r e a p ) 单元面力载荷。 2 3 滚珠丝杠进给系统有限元模型的建立 利用有限元分析软件a n s y s 建立滚珠丝杠进给系统的有限元数字模型， a n s y s 分析过程中包含前处理、求解和后处理三个步