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摘要齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 摘要 本文讨论了齐次平衡原则在求非线性偏微分方程( 组) 的孤立波解中的应用。并利用 齐次平衡法求得细长结构的热弹性非线性动力学方程组的孤子解。对几类典型的波动 方程如k d v 方程，非线性热传导方程及s i n e - g o r d o n 方程等的求解进行了探索，提出了 较为简单的求解办法并得到了数量较多的解。在求解方程的过程中还使用了计算机的 符号计算系统，借助m a p l e 程序求出一些方程( 组) 的特定形式( 如t a n h 函数) 的解。 关键词：齐次平衡原则，孤立波解，t a n h 函数，m a p l e a b s t r a c t齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 a b s tr a c t t h i sp a p e ra d d r e s s e st h ed e r i v a t i o no fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sf o rs o m en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s eo fh o m o g e n o u sb a l a n c e dp r i n c i p l e t h es o l i t a r yw a v e s o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rt h e r m o - e l a s t i cs y s t e mo fs l e n d e rs t r u c t u r ea r eo b t a i n e d t h et y p - i c a lw a v ee q u a t i o n ss u c ha sk d ve q u a t i o n s ，n o n l i n e a rt h e r m a lc o n d u c t i n ge q u a t i o na n d s i n e - g o r d o ne q u a t i o na r ei n v e s t i g a t e da n dm o r es o l u t i o n sa r ef o u n d i na d d i t i o n ，ac o i n - p u t e rs y m b o l i cs y s t e m ( m a p l e ) i su s e dt of i n dt h ee x a c ts o l u t i o n so fp d e si nt e r m so f t a n hf u n c t i o n s k e y w o r d s ：h o m o g e n o u sb a l a n c e dp r i n c i p l e ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ，t a n hf u n c t i o n ， m a p l e i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生妣雄 砌年7 月乡日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：趁磐攀： 勿年7 月弓日 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 1绪论 1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g y 与d ev r i e s 【7 】在对孤波进行全面分析后建立了浅水 波的运动方程 塑o r = 振吴( 罢r 2 + a r + 三象) ， 1 ， 这里盯= 吾危3 一面t h ，其中7 7 为波面高度，r s b n n ，专为移动方向上的运动距离， 为水 深，夕为重力加速度，j d 是水的密度，q 是与水的匀速流动有关的小常数，t 是水的表面 张力。对上述方程作变换t = 砉、为丁，z = 一嘉，u = 丢叩+ q 后可变形为 饥+ 乱撇+ 6 让= 0 ( 1 2 ) 该方程是一个非线形偏微分方程，k o r t e w e g 与d ev r i e s 利用行波法求出了它的孤波解。 后来人们为了精确解这类方程提出很多的方法，其中齐次平衡法和t a n h 函数法是常见 的两种方法。 w a n g 2 8 用齐次平衡法获得了变形的b o u s s i n e s q 方程组的孤波解。之后对近似长 水波方程组，耦合的k d v 方程组和扩散长水波方程组也进行了探讨并获得了一些孤子 解 2 7 1 。z h o u 等【3 1 】利用自变换结合齐次平衡法建立了h o p f - c o l e 变换，重新分析了上述 提到的扩散长水波方程组，得到了更多的孤子解，其中还包括三角函数周期解 非线性偏微分方程的孤波解可以用t a n h 函数来表示b p t a n h 函数法是求非线性偏 微分方程的精确解的另一个有效方法。d u f f y 和p a r l 【s 等人( 【4 】，【2 2 】) 利用此方法求得 如七阶的一般k d v 方程的行波孤子解及耦合k d v 方程的n 一孤子解。f a n s l 用e x t e n d e d - t a n h 函数法，获得- k d v - b u r g e r s - k u r a m o t o 方程，二维的k d v - b u r g e r s 方程，变形 的b o u s s i n e s q 方程组，b u r g e r s - f i s h e r 方程和非线性热传导方程等的孤波解。y a u 3 0 ， 李向正【1 6 】等对一些非线性偏微分方程的孤波解也进行了探讨。 本文的结构如下。第一章介绍齐次平衡法和t a n h 函数法的概念。第二章中利 用e x t e n d e d - t a u h 函数法求出一维的细长结构的热弹性动力学系统的解。在第三章中基 1 1绪论硕士论文 于齐次平衡的想法，对类似于非线性热传导方程和s i n e - g o r d o n 方程进行了分析，探讨 解这类方程的方法。 1 1 齐次平衡法 齐次平衡法是近年来为了求解像k d v 这些非线形偏微分方程而提出的方法之一， 我们概述一下齐次平衡法的基本思想和步骤【2 6 】。为简单起见，仅以一个未知函数，两 个自变量的情形为例来阐明，对若干个未知函数及多个自变量的方程组的情形，可类 似地表述。给定一个非线性偏微分方程 p ( t 正，u t ，t 正，u 嚣，u 矗) = 0 ，( 1 3 ) 这里p 一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性出现的最高阶偏导数项。一个 函数= 妒( z ，t ) 称为是方程的拟解，如果存在单变元的函数，= ，( ) 使，( 矽) 关于z ，t 的 一些偏导数的适合的线性组合，r p u 可表达为如下形式 u ( z ，t ) = ，( 耐帕( ) 馏钟+ ，( ) ( 1 4 ) 是关于z 和亡的各阶偏导数为变元的低于m - i - n 次的一个多项式。精确满足上式的非 负整数m ，n ，单变元函数，= ，( ) 以及函数= 妒( z ，t ) 都是待定的。将( 1 4 ) 代x ( i 3 ) 后可通过下述步骤确定它们。 首先，使最高阶偏导数项中包含的驴( z ，t ) 的偏导数的最高幂次和非线性项中包含 的关于( z ，t ) 的偏导数的最高幂次相等，来决定m ，n 是否存在( 若发生m ，n 中有负数或 分数的情形，可通过未知函数的变换，将原方程化为新未知函数方程，使相应的m ，礼为 非负的) 。 其次，集合毋( z ，亡) 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得，( 咖) 满足 的常微分方程，解之得，= ，) ，一般是对数函数。 2 硕士论文齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 第三，将，( ) 的各阶导数的非线性项，用，( ) 的较高阶的导数来代替，再将，( 咖) 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得的各次齐次型的偏微分方程 组，可适当选择( 1 4 ) 中线性组合的系数，使p d e 组有解。 最后，若前三步的解答是肯定的。将这些结果代入( 1 4 ) ，经过一些计算可得方 程( 1 3 ) 的解。 下面举例说明如何利用齐次平衡法求一些偏微分方程的精确解。 例一：近似长水波方程组【2 7 】 舰一u 钍z 一+ 互1u 站= o ， 仇一u t ，茁一昙口搿：0 仇一u 口茁一互口搿2 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 首先将非线性项与高阶偏导数项进行平衡，第一个方程是将让心茹与霉平衡，第二个方程 将毗与 平衡。对应于( 1 4 ) ，对让取m = 1 ，佗= 0 ，对 取m = 2 ，n = 0 。因此我们可 假设方程有下列形式的解。 乱= 厶( ) - t - c ，( 1 7 ) 钐= 9 龆( 咖) 1 - c ，( 1 8 ) 此处，( 妨，夕( ) 是关于的函数，= 咖( z ，t ) ，c 是常数。它们稍后决定。从( 1 7 ) ，( 1 8 ) 可以把u ，v 的偏导数用f 和g 的导数与咖的导数表示出来。替换后的表达式代入原有的方 程( 1 5 ) 和( 1 6 ) ，并将咖( z ，亡) 的导数的齐次项合并同类项，则有捉和旌的系数为零。可以 得到一组常微分方程组如下 上式中的导数是关于西的，解得 一 一铲七1 = 乜、 ( ，7 + 歹1 ( 4 ) - o 3 = g = i n 由 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 3 1绪论 硕士论文 利用上式得 f 昀= 一n 霹= 一p 。 利用上还天系瓦，刀崔组( 1 5 ) ，( 1 6 ) 化为 他一讹z 一+ 互1u 砧= ( 屯也一c 镌一三九也霉) 厂 + 一一九一知) ， 仇卫一三= ( m 叫：一三缱) 9 肌 仇一札口卫一i 岳2i 、镌t c ：一互蛭啦犯j + ( 2 屯丸t + 也一3 c 丸一三：z 一九屯) 夕， + ( 纰一一丢) 9 7 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 丸也一镌一j 九丸= 0 ， 他一哦一九正茁= 0 ， 缱也一砸：一j 缱= 0 ， ( 1 1 4 ) 2 如九t + 妒正王也一3 砸z 咖一i 1 2 一九咖一= 0 ， 也疵一c 也一；屯船z = 0 j b 竿出刀程有如卜阴衣达式 ( z ，亡) = 1 + e a 卅。竹， 口，p ，7 ，c 在后面决定，将上面式子代入( 1 7 ) ，( 1 8 ) 从而方程组( 1 5 ) ，( 1 6 ) 的解为 u ( 叫) = 互1 q t a n h ( 丢q 。+ 互1p 抖互17 ) + 互1q + c ， 吣= 互1 以砌( 扣+ 互1 肼丢0 2 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 c ，a 是任意常数，p 由c ，0 f 决定，p = 缎+ q 2 例二：2 + 1 维的扩散长水波方程组 1 ，1 2 】 札妒+ u 篮+ 三( u 2 ) 甜= o ， 仇+ ( t 正口+ 让+ t 正硝) = 0 由齐次平衡原则，可以设 从而求得 和 t = 鼬( ) ， 秽= 向( ) + c ( z ，y ，t ) = 1 + e 口z + 卢v + 1 。+ 6 t 正( z ，秒，t ) = q t a n 【( qz + p 可+ ，y t + 6 ) e 】+ 1 ) ， u0 ，t ) = 互1q p s e c 2 【( 0 fz + p 可+ ，y 亡+ 6 ) 2 】一1 这里a ，p ，6 是任意的常数，y = 一口2 。 另一方面，我们利用自变换 = j 、+ b ， 将方程组化为 t 正旷+ 入让v + ( 让) 掣= 0 ， j 札班+ 仳删+ a ( u u 掣) 霉+ ( b + 1 ) 乱正= 0 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 5 1绪论 硕士论文 如果让入= 1 ，b = 一1 方程组就化为一个简单p d e u 矿+ + ( 缸u 王) 掣= 0 e w t + w x ：q - u 二o w = x = o , 羔蚶一， 毗+ t + 伽峨= 0 最后再利用，= 21 nw ，u = ，7 ( 叫) 硼嚣( 亡，z ，y ) + u o ， = m y - - 1 得u = 2 警十咖，u = 2 ( 警) 掣- 1 ， 并把叫解出代入到上述关系式中即可求出u ，u 并可得到比最初的方法更多的解【3 1 】。 1 2t a n h 函数法 求非线性偏微分方程的精确解的另一种常用方法是t a n h 函数法，即将非线 性p d e 的解先验的表示为双曲正切函数t a n h 的有限幂级数。自变量取为行波变量，级 数的最高幂次由方程中的最高阶导数的线性项与非线性项之间的平衡决定，将这种有 限幂级数代入方程后，注意t a n h 函数的导数可用t a n h 函数表示，将t a n h 函数的同次幂项 合并在一起，并令其系数为零，得到幂级数的系数的一个非线性代数方程组。用人工 解这种方程组几乎是不可能的，但借助于符号计算系统比如利用m a p l e 求得关于系数的 代数方程组，一旦求出非线性代数方程组的解，幂级数系数就被确定，从而该级数就 6 硕士论文齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 是非线性p d e 的行波解。该方法在确定级数的最高幂次时用到了平衡原则。现在来具 体的用数学公式描述这个方法的步骤，给定一个偏微分方程 我们假设方程有如下的形式， 这里 日( u ，毗，u ，) = 0 m 让( z ，亡) = u ( ) = a i w ， ( 1 2 0 ) w ( x ，t ) = t a n h ( k ) ，= z + c t ， m 是正整数，它的数值由最高阶导数的线性项与非线性项之间的平衡决定。将假设的形 式带入偏微分方程中，必然可转化为关于w 的的多项式，再让其前面的系数为零，可以 得到一组代数方程组，最后用计算机解出尼，c ，a o ，a m 之间的关系，最后把它们带入到 最初的所假设的级数( 1 2 0 ) 中，即可求出方程的精确解u 。参看文献 2 1 1 - 【2 3 】。 1 3e x t e n d e dt a n h 函数法 t a n h 函数是r i c c a t i 方程的一个解，r i c c a t i 方程的其他解也可能是该方程的解，因 此利用r i c c a t i 方程并利用它的解去代替t a n h 函数，其过程与t a n h 函数一致的，取这种特 殊的r i c c a t i 方程为 叫7 ( 专) = b + 叫2 恁) 这里b 是将要被决定的参数。当对w 的有限项幂级数每求一次导数，则将上式代入。而 我们知道上述r i c c a t i 方程有以下几个解，根据不同的b 而言，叫可分为以下几种情形 w = 一向t a n h ( 雁) ，b 0 嘞+ u t k + p u 盘+ g t 上蕊+ r “勰= 0 p ，q ，7 是任意常数，这个方程在描述关于一些不稳定系数的物理过程中占有重要的作 用。为寻找行波解，令 钆( z ，亡) = u ( z + c t ) ， 代入得 cu ( 1 ) + u u ( 1 ) + p u ( 2 ) + q u ( 3 ) + r u ( 4 ) = 0 ( 1 2 1 ) 再由平衡原则可假设u 有下面的形式 u = a o + a l w + a 2 w 2 + a 3 w 3 ( 1 2 2 ) 将( 1 2 2 ) 代x ( 1 2 1 ) 式，( 1 2 1 ) 转化为一组关于叫的代数方程组。在m a p l e 帮助下，可以找 n a o ，a 3 ，p ，q ，r ，c 之间的关系，即将a o ，a 3 ，c 用p ，q ，r 表示出来，最后代入最初所假设 的级数中去。6 的正负是根据p ，r 的正负决定的。下面举两例进行说明，更多的解可参 看文献f 5 】o 1 ) ，：- 6 0 p 一 a o2 叫n l 2 一甫， a 2 = 0 ，a 3 = - 1 2 0 r ， 口= 0 ，b = 0 8 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 此时的解为 6 0 p 1 2 0 r u 12 一c + 画+ _ f 对于此解由于b = 0 ，p ，r 与6 无关，形式上较简单。 2 ) 知一c 士劬钙一= 3 叻， a 2 = 千6 0 们_ a 3 = - - 1 2 0 r ， g = 士4 痧，6 = 一石p 此时当p r o n 有b 0 一 习t a n h 【习( s 一以) 】b 0 b 0 ， 叫= 以t a n ( 候) ， 则由( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 得 0 - = - t o 一警t 强( 谯) ， = 承2 d t j 3 3 。，( c 。8 ( 候) ) + 6 - + c 3 ， z = 茄岛h ( c o s ( 谯) ) 慨帆 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 若取 叫= 一以c o t ( 候) ， 再由( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 得 取 9 = 一蜀+ 警c o t ( 幔) ， 妒= 瓦i 2 西t 丽j 3 3 五s i ns i n ( 噍) ) ) + 6 。专+ c 3 ，妒2 可i 碉 1 n ( 、蜒w + c 1 舌+ c 3 ， z = 茄南h ( 咖( 如) ) 坻帆 b o , b 0 也可做类似的分析。 硕士论文齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 3 平衡试验法 本章我们将对t a n h 函数法做一些推广与改进，即根据不同的类型方程的特点 将e x t e n d e dt a n h 方法中提出的 的形式进行改进。 3 1非线形热传导方程 设偏微分方程有如下的形式 叫7 = b + w 2 ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 日( u ，毯t ，钍茹，铲，t 1 2 z ，舻嚣，2t 二霉2 ) = 0 ( 3 3 ) 当方程中至少有两项次数相同的最高次项( 含导数项) 时，可假设= b o + b l w ，t = 笛a i w ，从而求得方程的解。 考察下面这样的非线性热传导方程【5 ，2 9 1 u t 一( 乱2 ) = p u qu 2 ，( 3 4 ) p ，g 是不为零的常数。 对上述非线性热传导方程可用e x t e n d e dt a r t h 的方法求解，但需要做变换，实际上我们 可将 叫= b + 叫2 ，( 3 5 ) t = a o + a l w 改进为设 凹7 = b o + b t 叫，( 3 6 ) “= a o + a l w ， ( 3 7 ) 2 1 毗 ：i = u 3 平衡试验法硕士论文 其中叫= 叫( z + 砖) ，a o ，口l ，b o ，6 l 是待定常数。由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 得到 饥= c a t ( b o + b t w ) ， u 2 = 碚+ 2 a o a l w + q ：叫2 ， ( t 2 ) 霉= 2 a o a l b o b l + 2 b 2 a i + ( 2 a o a l 醒+ 6 b 0 6 1 0 i ) 叫+ 4 蠢缱叫2 方程可转化为代数方程组 c a l b o 一2 a o a l b o b l 2 碚口；一p a o + q a 3 = 0 ， c a l b l 2 a o a l 酲一6 b o b l a 一p a l + 2 q a o a l = 0 ， 一4 0 ；磅+ g = 0 利用m a p l en - j 解上述代数方程组 知= 0 ，c = 2 b o a l ，q = 4 b l ，4 a l b o b l + p = 0 即 a o = o , b l - - - - 警，c = 一磊，6 02 云0 l 是任意的常数。 n o = 。，6 2 一孚，c2 历p ，6 。2 云，。- 是任意的常数。 结合( 3 6 ) ( 3 7 ) ，最终可得方程的解 = 丽2 a lr 刊v 饥茁一拶p u l e x p t 2 + 翌q ， = ；? k 茁一；艺j j 十一， 0 q0 q ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 坳= 丽2 a l 以p 【_ 警扛+ 丽p 亡) 】+ 詈， ( 3 1 8 ) 其中0 1 是任意的常数，从而所得的解要比文献【5 】中所得的解要多。 注记： 假设( 3 6 ) 表明叫的解可表示成指数的形式。因此我们可直接把方程( 3 4 ) 的解表示成 用指数为元素的有限项级数的形式，即将u = c l e 蚪。+ c 3 代入方程( 3 4 ) 并把系数解出 而得到结果。 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 3 2 s i n e - g o r d o n 方程 孤子方程不仅出现在流体的运动中，也可用于微分几何的曲面论中。例如经典 约s i n e - g o r d o n 方程通过作适当变换有如下形式 2 】。 u 红= s i n u ( 3 1 9 ) 用e x t e n d e d - t a n h 方程求解则无效，但如果将 t u 7 = 6 + 伽2 ( 3 2 0 ) 改为假设 = as i n w ( 3 2 1 ) 可解出叫= 2a r c t a n ( c l e x p ( a ) ) ，= z + d ，并令 代入方程 可得如下方程 取 方程有一个解 其中c ，c l 是任意的常数。 乱= a o + a l w ( 3 2 2 ) u 缸2s i n u ( 3 2 3 ) a l c a 2s i n ( w ) c o s ( w ) = s i i n ( a o + a l 加) ， ( 3 2 4 ) a o = 2k l r ， a l = 2 ， 1 a2 ， x c u 地毗几( 叩印( 警) ) 栅丌， 2 5 ， 结论硕士论文 结论 本文讨论了齐次平衡原则在求非线性偏微分方程( 组) 的孤立波解中的应用。并利用 齐次平衡法求得细长结构的热弹性非线性动力学方程组的孤子解。对几类典型的波动 方程如k d v 方程，非线形热传导方程及s i n e - g o r d o n 方程等的求解进行了探索，提出了 较为简单的求解办法并得到了数量较多的解。在求解方程的过程中还使用了计算机的 符号计算系统，借助m a p l e 程序求出一些方程( 组) 的特定形式( 如t a n h i 函数) 的解。 本文中只考虑了一维细长结构的热弹性非线性动力学方程组，我们将对二维和三 维的情形进行研究。并讨论所得的解的物理意义和它的稳定性进行分析。对本文所提 出的平衡试验法我们也将探讨在更广泛的范围内的应用。 硕士论文致谢 致谢 值此论文即将完成之际，我首先感谢我的导师刘东生教授，感谢刘老师对我的精 心培养和悉心指导。刘老师工作上严谨、务实，学术上孜孜不倦，生活中平易近人， 使我受益匪浅。耐心地传道、授业、解惑，使我知识面地广度和深度得到了很大地扩 展。使我不仅学到了一定地专业知识，还学到了乐观积极的人生态度，为人做事的原 则。 其次，我要感谢我的家人，特别是我的父母，感谢他们对我的无限支持和理解， 如果没有他们的鼓励和支持，我的学业和生活不会如此的顺利和美好。 最后，我要感谢研究生期间共同学习和生活的同学、朋友。他们给我提出的意见 和帮我解决难题，在此我向他们表示衷心的感谢。 2 5 参考文献硕士论文 参考文献 【l 】l t fb r o e r a p p r o x i m a t ee q u a t i o n sf o rl o n gw a t e rw a v e s a p p l i e ds c i e n t i f i cr e - s e a r c h ，3 1 ( 1 9 7 5 ) ，3 7 7 3 9 5 2 】陈登远。孤子引论。北京：科学出版社，2 0 0 6 【3 】r d o d da n da f r o d y o nt h ei n t e g r a b i l i t yo fas y s t e mo fc o u p l e dk d ve q u a t i o n s p h y s i c sl e t t e r sa ，8 9 ( 1 9 8 2 ) ，1 6 8 - 1 7 0 【4 】4b r d u f f y , e j p a r k s t r a v e l l i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o n st oas e v e n t h - o r d e rg e n e r - a l i z e dk d v e q u a t i o n p h y s i c sl e t t e r sa ，2 1 4 ( 1 9 9 6 ) ，2 7 1 2 7 2 【5 】e n g u if a n e x t e n d e dt a n h - f u n t i o nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o nt on o n l i n e a re q u t i o n ， p h y s i c sl e t t e r sa ，2 7 7 ( 2 0 0 0 ) ，2 1 2 - 2 1 8 【6 】m v f o u r s o v c l a s s i f i c a t i o no fc e r t a i ni n t e g r a b l ec o u p l e dp o t e n t i a lk d v a n dm o d - i f i e dk d v - t y p ee q u a t i o n s j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，4 1 ( 2 0 0 0 ) ，6 1 7 3 - 6 1 7 5 【7 】郭柏灵，庞小峰。孤立子。科学出版社，1 9 8 7 【8 】r h i r o t aa n dj s a t s u m a s o l i t o ns o l u t i o n so fac o u p l e dk o r t e w e g d ev r i e se q u a - t i o n p h y s i c sl e t t e r sa ，8 5 ( 1 9 8 1 ) ，4 0 4 0 8 【9 1 t k a w a a h a r a f o r m a t i o no fs a t u r a t e ds o l i t o n si nan o n l i n e a rd i s p e r s i v es y s t e m w i t hi n s t a b i l i t ya n dd i s s i p a t i o n p h y s i c sr e v i e wl e t t e r ，5 1 ( 1 9 8 3 ) ，3 8 1 3 8 3 【1 0 】n a k u d r y a s h o v ，d z a r g a r y a n s o l i t a r yw a v e si na c t i v e - d i s s i p a t i v ed i s p e r s i v em e - d i a j o u r n a lp h y s i c sa ，2 9 ( 1 9 9 6 ) ，8 0 6 7 - 8 0 7 7 【1 1 】n a k u d r y a s h o v e x a c ts o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n p h y s i c sl e t t e r sa ，1 4 7 ( 1 9 9 0 ) ，2 8 7 - 2 9 1 【1 2 】b a k u p e r s c h i m d t m a t h m a t i c so fd i s p e n s i v ew a t e rw a v e s c o m m u n i c a t i o nm a t h e m a t i c sp h y s i c s ，9 9 ( 1 9 8 5 ) ，5 1 7 3 【1 3 】x s g a o ，d m w a n g m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n da p p l i c a t i o n ，a c a d e m i c p r e s s ，2 0 0 0 2 6 硕士论文 齐次平衡法和非线性偏微分方程的孤立波解 【1 4 1d o n g s h e n gl i u ，d q c a o ，r i c h a r dr o s i n g ，c h a r l e sh 一t w a n g ，a n d r e wr i c h a r d - s o n f i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o no fs l e n d e rs t r u c t u r e sw i t hs h e a rd e f o r m a t i o nb a s e d o nt h ec o 蹄e r a tt h e o r y i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fs o l i d sa n ds t r u c t u r e s 4 4 ( 2 0 0 7 ) ， 7 7 8 5 - 7 8 0 2 【1 5 】z b l i ，m i n g l i a n gw a n g t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n st ot h et w o - d i m e n s i o n a lk d v - b u r g e r se q u a t i o n j o u r n a lp h y s i c sa ，2 6 ( 1 9 9 3 ) ，6 0 2 7 - 6 0 3 1 【1 6 】李向正，张金良，王明亮。g i n z b u r g - l a n d a u 方程的一种解法。河南科技大学学报 ( 自然科学版) ，2 5 ( 6 ) ( 2 0 0 4 ) ，7 8 - 8 1 【1 7 】刘式适，刘式正。物理学中的非线形方程。北京：北京大学出版社，2 0 0 0 【1 8 】s l o u ，g h u a n g ，h r u a n e x a c ts o l i t a r yw a v e si nac o n v e c t i n gf l u i d j o u r n a l p h y s i c sa ，2 4 ( 1 9 9 1 ) ，l 5 8 4 - l 5 9 0 【1 9 】w m a l f l i e t s o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s a m e r i c a nj o u r n a l o fp h y s i c s ，6 0 ( 1 9 9 2 ) ，6 5 0 - 6 5 4 2 0 】w o e v e l o nt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h eh i r o t a - s a t s u m as y s t e m p h y s i c sl e t t e r sa ， 9 4 ( 1 9 8 3 ) 4 0 垂4 0 7 2 1 】e j p a r k s ，b r d u f f y a na u t o m a t e dt a n h - f u n c t i o nm e t h o df o rf i n d i n gs o l i t a r y w a v es o l u t i o n st on o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s c o m p u t e rp h y s i c sc o m m u n i c a t i o n s ， 9 8 ( 1 9 9 6 ) ，2 8 8 - 3 0 0 【2 2 】e j p a r k s ，b r d u f f y n s o l i t o ns o l u t i o n so fas y s t e mo fc o u p l e dk d ve q u a t i o n s p h y s i c sl e t t e r sa ，2 2 9 ( 1 9 9 7 ) ，2 1 7 - 2 2 0 【2 3 】e j p a r k s e x a c ts o l u t i o n st ot h et w o - d i m e n s i o n a lk o r t e w e g - d ev r i e s - b u r g e r se q u a ， t i o n j o u r n a lp h y s i c sa ，2 7 ( 1 9 9 4 ) ，l 4 9 7 - l 5 0 1 【2 4 】g i s i v a s h i n s k y l a r g ec e l l si nn o n l i n e a rm a r a n g o n ic o n v e c t i o n p h y s i c ad ，4 ( 1 9 8 2 ) ， 2 2 7 - 2 3 5 【2 5 】r w t u c k e r ，dc a o ，dl i u ，