（基础数学专业论文）双曲守恒律（Ⅰ）：粘性解.pdf

摘要 在这篇文章中，我们应用b r o u w e r - s c h a u d e r 不动点定理得到了 下述抛物系统c a u c h y 问题的局部光滑粘性解的存在性 让；+ ( 让1 ，铲，矿k + g l ( t 1 ，u 2 ，u n ) = s 也 醒 t - 厶( u 1 ，铲，矿k4 - g n ( u 1 ，矿，矿) = s “芝 其中初值 札1 0 ，0 ) = 瑶( z ) ，n 2 ( z ，0 ) = 镌( 。) ，扩( $ ，0 ) = 钍3 ( 。) 有界可测进而根据局部存在性和极值原理，得到了两个特殊系统 的整体光滑解的存在性，分别为带源的二次流系统和l er o u x 系统， 关键词：双曲守恒律，粘性解，c a u c h y 问题，先验估计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw e1 l s et h eb r o u w e r - s c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e mt oo b - t a i nt h ee x i s t e n c eo fl o c a ls m o o t hv i s c o s i t ys o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gc a u c h y p r o b l e mf o rt h ep a r a b o l i cs y s t e m ，扩k + 9 1 1 ，舻，妒) = t 屯 ，矿k + g ( u 1 ，舻，矿) = 屹 w i t ht h eb o u n d e dm e a s u r a b l ei n i t i a ld a t a u 1 ( z ，0 ) = = 碡( z ) ，u 2 ( z ，0 ) = 砺( z ) ，u n ( x ，0 ) = 皤( z ) t h e nb a s e d0 nt h el o c a le x i s t e n c ea n dt h em a x i m u mp r i n c i p l e ，w eg e tt h e e x i s t e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o l u t i o n st ot w os p e c i a ls y s t e m s ，w h e r eo n ei sr e - l a t e dt ot h eh y p e r b o l i cs y s t e mo fq u a d r a t i cf l u xa n da n o t h e rr e l a t e dt ot h e l er o u xs y s t e m k e y w o r d s ：h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，v i s c o s i t ys o l u t i o n ，c a u c h yp r o b - l e m ，op v o r e s t i m a t e 1 v 以铲 尉 肘 十 + 疋 罅 ，l_-l-(1lll 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：_ 旦坠 伽7 年月留日 致谢 首先感谢我的导师陆云光教授在难忘的三年研究生时光中，我 在学业上得到了他的悉心指导和帮助，耳濡目染了他矢志不渝的敬 业精神和一丝不苟的治学风格，使我终生受益他对数学的热情感 染着我们，同时，他在学术上的开放态度，使我们有机会接触到很 多最新的成果，极大地开阔了我们的视野本文的工作凝聚了他不 少的辛劳同时要特别感谢陈祖墀教授，他的关于非线性偏微分方 程的课程使我受益菲浅，他的谆谆教导使我终生难忘我要诚挚地感 谢胡森教授，宣本金副教授等数学系的其他老师，他们循循善诱的 教风深促使我们不断进步我还要感谢数学系的黄稚新老师，张伟 老师和张韵华老师，在这几年里，她们也给了我很多的帮助。 感谢同组的师兄弟成志新，陶明，刘名斌，张清源，感谢他们 热情而无私的帮助，在与他们的探讨和交流中我学到了很多东西 我还要感谢数学系的同学吴志伟，李志远，樊碟，马文晔这个名 单很长恕我无法列举完全，几年来，大家一起学习，生活，度过了 很多美好的时光，也得到了他们的许多帮助和鼓励，借此机会向他 们表示深深的谢意 最后我要感谢我的父母和家人，感谢我的父母对我的养育之恩 和家人多年来对我的一贯支持和鼓励! 正是他们的无私奉献，使我 能顺利地完成学业 第一章绪论 1 1 双曲守恒律 我们通常把具有下列形式 m + ，( 。= 0( 1 1 ) 的拟线性偏微分方程组称为守恒律方程组，或简称守恒律这里 u ( x ，t ) = ( u 1 ( x ，t ) ，( z ，t ) ) ，n21 ，( 。，t ) r ( 0 ，+ o 。) 而f ( u ) = ( ) ，厶( 钍) ) 代表守恒项记，( 札) 对应的j a c o b i 矩阵为 d r = ( 差k 。 如果d ，的特征值都是实的，则称方程组( 1 1 ) 是双曲型的 非线性双曲守恒律是一类重要的偏微分方程，它们大多来自于很多重要 的物理模型，如流体力学，弹性力学，电磁学和天体物理学等等比较典型的 例子如气体动力学方程组，它包含了质量守恒，动量守恒和能量守恒，并且 是双曲型方程组对于双曲守恒律，一般来说，其相应的c a u c h y f 司题不存在 关于时间的整体光滑的古典解，换句话说，方程组的解通常会包含间断，即 产生激波因此，必须在弱的意义下或着说分布意义下讨论解，这样的解即为 弱解 对c a u c h y l ；- 题 t “+ ，( ) 。= o ，“( z ，0 ) = t 幻( z )( 1 2 ) 其中初值( z ) 有界可测称有界可测的函数u ( z ，t ) 为( 1 2 ) 的弱解( 或叫作广 义解) ，如果对每个试验函数( z ，t ) 四。( r ( 0 ，+ o 。) ) ，有下列等式 ，+ 。o，+ 。o u 也+ ，( u ) 妒。d x d t + t o ( 。) 庐( z ，o ) d z ；= 0 ( 1 3 ) j 0 j o 。 j 一 成立事实上，方程( 1 1 ) 两边同乘以毋( 曩t ) 后，在r ( 0 ，+ o 。) ) 上积分，经分布积 分后即可得到( 1 3 ) 式可以看出，名i u ( z ，t ) 是c a u c h y 问题( 1 2 ) 的古典解，贝l j ( 1 3 ) 对 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章绪论1 2 2x2 型双曲方程组 任意妒( z ，t ) c 矿( r ( o ，+ o o ) ) 成立，而( 1 3 ) 式对仅仅有界可测的t l o ( z ) 和札( ，t ) 也成立所以弱解是古典解的推广 非线性双曲守恒律弱解的整体存在性是一个很重要的问题，对此现有的 方法有g l i m m 差分格式，补偿紧致理论和其他一些差分格式利用补偿紧致理 论证明弱解存在性的时候，标准的方法是先在双曲守恒律方程的右边加上粘 性项。，从而得到抛物型方程 撕+ ，( t k = u 。 这里 o 是粘性常数其相应的c a u c h y 问题的解旷( ，t ) 称为粘性解进而由2 2 行列式的弱连续定理和y o u n g 测度表示定理得到弱解的整体存在性 本文主要讨论带有非齐次项的非线性双曲守恒律，即如下形式的双曲方 程组 啦+ ，( 让k + g ( 钍) = 0 粘性解的整体存在性考虑c a u c h y 问题 饥+ ，( 让k + g ( 牡) = 0 ，t p ，0 ) = t 0 ( z )( 1 4 ) 其中初值仳o ( o ) 有界可测为了得到弱解的整体存在性，我们利用补偿紧致理 论的框架，在双曲守恒律方程的右边加上粘性项 。，可以证明在，( 甜) ，9 ( “) 满 足某些条件时局部光滑粘性解的存在唯一性同时，如果解“( z ，t ) 有某种有界 的先验估计，比如u ( z ，嘶生r o ，+ o o ) 上是先验一致有界的，则粘性解在r 1 0 ，+ o o ) 上是唯一存在的所以，粘性解的整体存在性归结为方程组在r x l 0 ，+ o o ) 上解的先验估计。这里的主要结果即为定理1 1 22 2 型双曲方程组 在证明非线性双曲守恒律弱解的存在性时，补偿紧致理论基本上只能应 用于单个的守恒律和2 2 型的方程组下面介绍几个新的概念，这些概念将 有助于我们更好地处理粘性解和弱解存在性问题 对2x2 型双曲守恒律 饥+ 1 ( 缸，。) 。= 0( 1 5 ) 【巩+ ，2 ( 脚t ，k = o 。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章绪论1 ，22 2 型双曲方程组 记f 为映射 f ：( 仙，口) 一( ( t ，t ，) ，五( u ， ) ) 则它对应的j a c o b i 矩阵为 d f = 会) 定义l 若矩阵d f 有两个实的特征值a 1 ，a 2 ，则称系统( 1 5 ) 是双曲的；着实 的特征值a l ，a 2 不相等，则称系统( 1 5 ) 是严格双曲的；若对某些点( z ，f ) ，有a 1 = a 2 ，则称系统( 1 5 ) 是非严格双曲的或双曲退化的 定义2 记f 。，k ( n 。，n 。) 为d f 分别相对于a 1 ，沁的左( 右) 特征向量，即 f l d f = 入l f l ，- d f 一入2 l 抽 ( d f h i = a l h ，d f 7 知；九n 。) 若 v 0 则称第甜寺征场是真正非线性的 若对于某些点( 。，t ) ，有 v 九r k = 0 则称第t 特征场是线性退化的 定) z 3 如果存在函数( 札， ) ，z ( u ， ) ，使得 v n ，= 0 ，v z 7 沁= 0 则称w ( u ，口) ，z ( u ，口) 为系统( 1 5 ) 分别相对于a l ，a 2 的r i e m a n n 不变量则有 ( 亿， 玩) d f = 入2 - ( 矾，矾) ，( 玩，磊) d f = a 1 ( 气，磊) 定义4 函数对0 ，口) ，g ( 乱，口) ) 称为系统( 1 5 ) 的熵一熵流对，如果它满足 v q = 可q d f 显然，对系统( 1 5 ) 加粘性项后得到的抛物系统 ，时紫_ 产 ( 1 6 ) 【仇+ ，2 ( 缸，口k = z 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 第一章绪论1 3 极值原理 若( 1 6 ) 的第一，二式分别乘以仉，仉后再相加，可得 r t + 啦= e 枷一e ( 2 + 2 如+ 2 ) 其中仉+ 缸在空间 磋中的紧性对于得到系统( 1 5 ) 弱解的存在性极为重要 1 3 极值原理 我们给出“带状区域”r 【o ，t l 上的极值原理，这在得到r i 眦l a n n 不变 量w ( u ，口) ，z ( u ， ) 的界的估计时会用到 命题1 毗+ a ( u ，z ，t ) t k ( ) 柚。，扛，t ) r ( 0 ，+ o o ) 初值条件u ( z ，0 ) = u o ( z ) ( 2 ) m ，对莱个固定的t o ，存在n ( t ) o ，使得 对任意的( z ，t ) 丑f 0 ，刀，有 礼0 ，) ls v ( r ) ，【口( z ，t ) i ( 即 则在整个置【o ，7 1 上有 让( z ，t ) s ( ) 吖 成立 证明我们只证明”的情形，”的情况是类似的，对任意取定 的( z 1 ，t 1 ) rx 0 ，卵，下面证”( 。1 ，t 1 ) - i x l l 则 俐) 叫蚋) 一m 一掣o 口( r ，) ：u ( 冗，z ) 一m 二尘丛! 掣o ”( 一月，砷= u ( 一r ，d m 一尘丛三掣s 。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第一章绪论1 3 极值原理 并且有 砘+ a ( u ，o ，) 一； = 掣( 2 一c r 一狮，咖) 下面我们证明 t ，( z ，t ) 0v ( x ，t ) - r ，嗣【0 ，t i 成立事实上，假定不对，设( x o ，t o ) 是口( z ，t ) 在卜r ，r 】i o ，q 内的最大值点， 根据上述结论，必有( x o ，t o ) ( - r ，r ，( 0 ，t i ，且v ( z o ，t o ) o 易知 v , ( x o ，t o ) o ，v 。( x o ，t o ) = 0 ，。( 茁o ，t o ) s0 故有 y t ( x o ，t o ) + u ( x o ，t o ) v 。( x o ，t o ) 一z o o ，t o ) 20 又存在常数c o o ，满足 警( 2 一c o r 砌( 吼啪m o ，存在( 0 ，使得对任意的( z ，t ) 冠【o ，纠，有 乱 ，t ) is ( t ) ，l a ( u ，茁，t ) l n ( t ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第一章绪论 1 3 极值原理 则在整个丑【0 ，即上有 尬呦( 。) sm 2 成立 下面的不等式在引理1 的证明过程中用到 贝尔曼不等式若 f ( t ) sn ( t ) + z o tb ( 下) ，p ) d r 其中口( t ) 0 ，b ( t ) 之0 贝0 有 ，( t ) 。( t ) + e 露6 ( r ) 打a ( s ) b ( s ) e 片6 ( 7 打 j 0 第二章粘性解的存在性定理 为了得到双曲守恒律方程组的粘性解，我们在方程右边加上小的抛物扰 动项，从而得到以下方程组 i 锄+ ( u ，u ，伽k + g t ( u ，口，叫) = s t k 口 巩+ ，2 托，叫b + 出( 玑。一，叫) = 5 z ( 2 1 )、上， l 【姚十厶( 让， ，叫k + 乳( u ，口，训) = z r ，t 1 0 ，+ o 。) 对任意给定的 0 ，考虑带有以下有界可测初值条件的c a u c h yr 瓷 题 钍( z ，t ) ；：伽( z ) ，v ( x ，t ) = = u o ( z ) ，t u ( z ，t ) = w o ( x ) ( 2 2 ) p ) f m ，l 撕( z ) i m m 0 对c a u 出y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，有以下定理 定理j ( i ) 如果五( ， ，w ) ( 形) ，并且仇( u ，口，幻) 0 = 1 ，n ) 是局部l i p s c h i t z 连续的函数，则存在某个适当小的正数而，勺仅依赖于初值 锄( 。) ，w o ( x ) 的l ”模，使得c a u c h yj - i 题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在丑【0 ，】上存在 唯一的解( z ，t ) ， ( z ，t ) ，伽( $ ，t ) ) ，并且满足 阻 ，) l 2 m ，i 枷0 ，) i 2 m v ( z ，t ) r 【o ，丁0 】 ( i i ) 进而，如果解( ( z ，t ) ， ( 霉，t ) ，w ( x ，t ) ) 有先验估计 0 u ，t ) l l l - ( , ) s 彳( 刃，一，f f 叫( z ，) l | l * ( 固sm ( t ) v t 【0 ，卅 n i 亥c a u c h y 问题的解( 钍( z ，t ) ，口( z ，t ) ，一，t f j ( $ ，t ) ) 在r 1 0 ，卅上唯一存在 特别地，若存在某个正的常数n 0 ，使得 u ( z ，t ) i l l ( 丑【0 + o 。) ) ，“l 叫( 茹，t ) f f l ( 且【o ，佃) ) n 7 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 第= 章粘性解的存在性定理 月j c a u c h y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在j = r x o ，+ o o ) 存在唯一的解( u ( x ，t ) ，t l ，( 茁，t ) ) ( 谢) 特剐地，若方程组( 2 1 ) 中有一个方程有下列形式 v t + ( v h ( u ， ) k + g ( t ，w ) = 印# 其中，初值口( z ，0 ) = v o ( z ) 26 0 ，矗( u ，叫) ( 舻) g ( u ，奶是局 部l 自v c h i t z 连续的，且- g ( u ，叫) = v l 托，叫) ，z ( ，一，埘) c ( r ) 如果 在r 0 ，t i 上有 i u ( z ，t ) i 曼 f 忙，6 ，t ) ，f 叫0 ，t ) i ，0 ，j ，t ) 则存在正数c ( t ，正e ) ，使得解 ( z ，t ) 满足 口( z ，t ) 2c ( t ，玩e ) o ，v ( z ，t ) r f 0 ，t t 这里，当t 趋于o 。或s 趋于0 时，c ( t ，6 ，) 可能趋于o 证明 ( i ) 容易看出，c a u c h y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 等价于以下的积分方程 组 ( 。，t ) = t 幻( f ) g 严( 。一f ，t ) 必 + z e 啦r ) i 一熊呦鼬吒h ) 一9 l ( 牡氆，r ) ，一，叫嬉，r ) ) g 5 ( $ 一，t 一丁) 1 d d f 叫 ，t ) _ 咖( f ) 酽0 一毛嵫 f tf + o o 十j - 上。嘛( 让( 洲，叫( ) ( 霉一毛2 一f ) 一甄( t ( ，r ) ，：，甜( r ) ) 酽0 一f ，t r ) 武打 这里，酽( z ，t ) = 志e 一是 对任意的r o 。令 b = ( t ( z ，t ) ，叫( z ，t ) ) l u c z ，t ) ， ，t ) 口( r ( o ，r ) n l o 。( a x ( o ，r 1 ) ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第二幸粘性解的存在性定理 耳= ( u 扛，t ) ，t l j ( z ，t ) ) l u c z ，t ) ，w ( x ，t ) c ( r t ( 0 ，7 1 ) l l u ( z ，t ) l l l * 。c a x ( 0 ，卅) s2 m , ，l f 0 ，t ) l l l * c r t ( o ，叫) 2 m 易知b 是一个b a a a e h 空间，其中元素( t ，口，叫) b 的模定义为 j i ( u ，口，一，w ) l l b = l l u l i l - - ( a x ( 0 ，卅) + f i v l i l - - c r ( o ，州) + + i i 埘| | l * ( r ( 0 ，一) 并且研cb 是b 的有界闭凸子集 在集合b ，上定义算子t 如下 t ：b ，_ b ， ( u ，一，t 1 ) h t ( t ，鲫) 这里 t ( u ， ) ；( 冗( ”，叫) ，死( u ，叫) ) 正( 缸， t o ) = 蜘售) 酽 一f ，f ) 必 + j ( e 胁下卜一腻r 版x - - h ) - g ，c u f f ，r ) ，伽( f ，丁) ) 酽0 一f ，t r ) j 武打 + c o 死( “，w ) = o ( ) g 5 ( z 一t ) 诺 j o o + z 上。i 厶如( f ，砷，t i ( ，r ) ) g ； 一 ，t r ) - a ( u f f ，7 | ) ，叫( f ，f ) ) 酽 一，t r ) 】武打 显然，n ( u ，叫) ，瓦( “，彬) 是连续映射 接下来，我们将证明存在一个适当小的正数, r o ，使得对任意( u ，t ，) 日。，有t ( u ，伽) ，并且t 是一个连续的压缩映射 事实上，若 ( 1 , ，叫) ，( u 1 ，她) ，( u 2 ，她) 研 则由定义 s u pi t ( 。，t ) i 2 m ，s u pf 切( z ，t ) 2 m 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕学位论文 第l o 页 第二章粘性解的存在性定理 因此存在常数肘，j l 毛 o ，满足 i a ( u ，”，t i ) l 坞 l 吼( 牡， ，伽) is 坞 i = i ，2 ，竹 和常数尬，肘j 0 ，使得 i ( 地，t 如) 一 ( u 1 ，一， 1 ) i 尬( i t 圯一珏1 i 十+ i 耽一叫lj ) 9 ( t 上2 ，7 1 ) 2 ) 一取( u l ， 1 ) 1 曼m ( 1 钍2 一钍1 l + + 1 叫2 蜘1 i ) l = i ，2 ，住 所以 ，十0 0，f，+ l 噩( 缸，”，一，) l t 0 任) l g 扛一f ，t ) + 【| ( 钍，伽) i | ( j 一j 0j o o + l g k u ，埘) i 酽p 一矗t 一7 _ ) 】打 肘+ 坞z 一o o i ( z 一，t r ) l 必打+ 坞t 由于 ， z 。e j g ；( 叫，煅打 = h 二而丽i z - , 1 f 蹈d 曲 = f o t 。厕1 ，f 一+ 妒。l r e - ”2 f 酬打 = z 高高打 = z 、去 毪们得到 乃( ，仉，叫) i 0 ，使下面的两个不等式同时成立 f + 孺2 m j v _ t o + m g r o o ，使得c a u c h y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在r 【0 ，而】上存在 唯一的解( “( 茁，t ) ， ( z ，t ) ，叫( 而t ) ) ，并且有 i ”( 1 ) ( z ，t ) js2 m ( t ) ，j 叫( 1 ) ( z ，t ) i 2 m ( t ) v ( z ，t ) r x 【0 ，t o l 若而r ，由给定的先验估计，可得 l 珏( 1 ) ( 羁t ) i m ( 力，一，1 w o ) ( x ，t ) j m ( t ) v ，t ) rx 1 0 ，t o 】 且u ( 1 ) ( z ，t ) ，v o ) ( x ，班，w o ) ( x ，t ) 是连续的显然，上述步骤可以继续下去，且 每一步延拓是等长的，从而该c a u c h y n 题的解可以逐步延伸到整个区域rx 1 0 ，卵上 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第二章粘性解的存在性定理 特别地，看存在常致n 0 ，便以f 先验估计成立 j i t 扛，t ) 8 l ( r 【o + o o ) ) s ，i l 加p ，妨f | l ( r 【0 ，+ ) ) n 则易知c a u c h y 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在r 【0 ，+ o o ) 上存在唯一的解( 让0 ，t ) ， ( z ，t ) ： ( 猁) 令z = l o g 口，则关于u 的方程可改写为 施+ h 似，t l 】) 磊+ h ( “，叫k + ? ( t ，埘) = e ( + 艺) 故 旎= s 州磊一掣) z 叫u ，毗一掣_ f ( u ，m 其初值问题的解可用函数酽( x - - y ，t ) 亍矗看唧 一譬) 表示如下 ， z = 酽0 一己t ( ) 嘭 j 一 + r 仁一争嘶，咖警i 型讹郴沁撕蚴 由于 仁脚吒溅屯z 。e f 缸印一r ) l d 4 d r = z 候( 例) 所以我们得到 剜聃j 厂0j ( 讹川。一业掣讹“川) g ( 叫，押肋一tc = 1 0 9 6 + z 仁似”一，训) c d 州叫一( 警 型讹m ) g ( 州一 l 0 9 6 2 m 老一m a t c ( t ，如) 一 从而存在正数c ( ，6 ，e ) ，使得解口( z ，) 满足 口( z ，t ) c ( t ，民) o ，v ( z ，t ) r 【0 ，t i 且当t 趋于o 。或趋于0 对，c ( t ，6 ，e ) 可能趋于0 定理证毕 第三章应用 在这一部分，我们将把定理1 应用到两个特殊的系统，得到粘性解的存在 唯一性和界的估计其中第一个与二次流系统有关，另一个则是l er o u x 系统 的推广 3 1 二次流系统 首先，对二次流系统，我们在该系统中加入非齐次项g l ( u ，u ) ，9 2 ( u ，口) ，从 而得到 啦+ ( 互3 u 2 + j 1 ”) 。怕( u ，口) = o l 仇+ ( u v ) 。+ 9 2 ( u ，u ) = 0 茹r ，t 【o ，+ o o ) 在方程的右端加上抛物扰动项后，考虑相应的c a u c h y 问题 f 饥+ ( ；舻+ 口2 b + 夕l ( 牡， ) = 鼬 仇+ ( 伽) 。+ 9 2 ( u ，t ，) = s ( 3 1 ) lu ( ，0 ) = t o ( z ) ，。( z ，0 ) = t b ( z ) r ，t 【0 ，+ o o ) 这里蛳( 。) ，v o ( x ) 是有界可测的函数 i p ) fs t i 如( z ) l m 假定9 1 ( u ，口) ，9 2 ( u ， ) 是局部l i p s c h i t z 连续的则可以得到以下结果 命题29 9 l ( u ，口) ，9 2 ( “， ) 满足 一焘v 俘+ v 2 纠q m 畿+ u - ：”机：f 面l u 例如 g l ( u ， ) = v 2 , 霸( u ，口) = 口( m + v - 万- + v 2 ) 1 4 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 叁三兰皇里墼；! 三垒垫量丝 则c a u c h y 问题( 3 i ) 在rx 【o ，+ 。) 上有唯一解( u ( z ，t ) ，t ) ( 岛t ) ) ，且存在常 数 矗 0 ，蝎仅与初值有关，使得 u ( z ，) is ，i v ( z ，t ) i m o v ( 。，t ) 丑【o ，+ o o ) 证明令f 为以下从f p 到r 2 的映射 f ：( u ，”) 一( ；u 2 + 互1 v 2 ，让以 则它对应i 约j a c o b i 矩阵为 扭= ( 乩 可以求得其两个特征值a l ，a 2 分别为 a 1 = 2 u 一、孑叼，a 2 = 2 u + v 俘+ v 2 由 ( i 玩，w v ) d f = a 2 ( w ，u ，w ， ) ，( 玩，磊) d f a 1 ( 乙，磊) 可以得到分别相对于a 1 ，k 的m e m a n n 不变量为 从而有 w ( u ，u ) z ( u ， ) = u + 2 + ”2 = 牡一 u 2 + ”2 “+ 南，眠2 祷杀 2 万，一万，眠。万旆 邑= 1 一丽u ，磊2 _ 高杀 瓦一蔷斋，耻j ( u 2 + l v 2 ) 忍一若舞 w ( z ，o ) = 撕+ 厢( 1 + 墒m z ( z ，o ) ：咖一厢葡2 一( 1 + v 2 ) m 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章应用 3 1 二次流系统 容易得到以下两个二次型的正定性 扩+ 2 w 曲+ w ，伽6 2 2o 瓦0 2 + 2 瓦西+ 6 2 o v ( a ，b ) 评 分别用w i 和眠乘以( 3 1 ) 中的第一，二个方程，然后两式相加，得 磁+ a 2 = w 么一( w 么乱# 2 - i - 2 w 。+ 。2 ) - l q , ( u ，u ) 眠+ 啦( u ， ) w 卅 同理可得 五十a 1 忍= s 磊。一( z 0 2 + 2 磊。+ z 。? ) 一【g l ( u ， ) j 玩+ 9 2 ( t ，口) 磊1 显然，如果以下条件成立 g l ( u ， ) 矾+ 9 2 ( u ，w ) 矾0 g l ( u ， ) 磊+ 9 2 ( u ， ) 乙o v ( t ，t ，) 尉2 或等价地 一器 o ，使 ! 导 i u ( z ，t ) i m o ，p ( 。，t ) l i o v ( z ，t ) r 【o ，r o 】 接下来，p a u ( x ，) ，”( z ，t o ) 为初值再次考虑c a u c i l yi h 2 n ( 3 ，1 ) ，类似地，存 在n o ，使得c a u c h y 问题( 3 1 ) 在p 。x o ，r o - f n i - _ 存在唯一解( “( 蜀t ) ， ( z ，t ) ) 且满足 l u ( z ，t ) ls2 m o ，如( ，) l 2 m o v ( x ，) r 【0 ，7 - o + n 】 同样有 a 1 托，t ，) ，k ( “，) ，w 7 ( ，”) ，z ( u ， ) 在rx 【o ，r o + 丁l 】上有界而且( “，口) ，z ( ， ) 的初值满足 - 矿扛， c o ) = p 矿 0 ，) ，口0 ，勺) ) ( 1 + 2 ) j i f z ( ，t o ) = z ( 钍( $ ，r 0 ) ，u ( 墨勺) ) 2 一( 1 + 2 ) 彳 根据命题1 ，有 w ( u ，口) ( 1 + 、，2 ) m z ( u ，口) 2 _ ( 1 + 2 ) f v 扛，t ) r 【o ，t o + n 】 2 0 0 俾中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第三章应用3 2l er o u x $ 统 故 u ( z ，t ) i 冬u o ，i 口( 宅，) is v 0 ，t ) r 【o ，而n 】 可以看出，上述过程可以继续下去，且每一步延拓可使解的存在时间延长n ，从 面c a u c h y 问题( 3 1 ) 在r 【o ，+ o o ) 上有唯一解( t ( q f ) ，( $ ，) ) ，且存在常 数m o 0 ，m o 仅与初值有关，使得 证毕 ( z ，t ) lsu o ，i 口( 。，t ) l m o v ，t ) r 【0 ，+ o 。) 3 2 l er o u x 系统 第二个例子是带源的l er o u x 系统 f 毗+ ( 2 + 。+ g l ( u ，口) = 0 1 钝+ ( 珏 b + 卯( ，口) ：0 $ r ，【o ，+ o 。) 同样考虑相应抛物系统的c a u c h y 问题 f 钍t + ( 舻+ k + g a ( u ， ) 一。 v t + ( u v ) 。+ 9 2 ，口) = 。 ( 3 2 ) 【“( 。，0 ) = t 1 0 ( z ) ，口( z ，0 ) = = v o ( z ) z r ，t 【o ，+ o 。) 其中初值咖( z ) ，( z ) 有界可测 l t 幻( 茁) i m ；0 如( z ) m j ( t 0 ) 7 | s n ，i ( 咖) l n g l ( u ，口) ，9 2 ( u ， ) 局部l i p s c h i t z 连续则有以下命题 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 9 页 第三章应用3 2l e r d u x 系统 命题了如果9 l ( “， ) ，9 2 ( u ， ) 满足条件 啦( u ，口) - u - d i 孕+ 一4 v 吼( q ，口) 肋( 让，口) 二兰塑垂生生m ( u ，u ) 卯( “，t ，) = v h ( u ，口) 这里 ( u ，口) 是连续函数如 g l ( u ， ) = 口，虫0 ， ) v ( - u + 、砬2 + 4 v ) 则c a u c h y f * ：题( 3 2 ) 在矗x 【0 ，+ o 。) 上有唯一解( “( 。，t ) ，口( z ，) ) 且有 j ( z ，t ) lsm o ，0 v ( x ，t ) 曼m o v ( z ，t ) 置1 0 ，+ ) 首先，我们来证明下面两个引理 引理1 僻羔 ：毫：三 ；：三芝 且有初值条件 “( 茹，0 ) = t 幻( z ) ，口( z ，0 ) ；= t ，o ( z ) i t 0 ( z ) i ，i v o ( x ) l ，i ( 咖) 7 l ，i ) 7 l m ( 缸，u ) ，2 ， ) c 1 g l ( u ，口) ，9 2 ( u ， ) 局部l i p s c h i t z i 奎续对固定的丁 0 ，存在m ( t ) 0 ，使得 l t ( z ，o i ，l t ，( 茹；) l m ( t ) v ( z ，t ) r 【0 ，z l 则u 。( z ，t ) ，( z ，t ) 在r 【o ，司上有界 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 0 页 第三章应用 3 2k r o l l ) 【系统 证明先将上述初僵i 司题等价转化为以f 积分万程组 卜归e ( 柏州岱+ z e 一瓶版x - - h ) j 9 1 ( 札晦，r ) ，口“，7 _ ) ) g o 一，t r ) 1 必d r 卜垆e ( 相卜印肘o e 燃一加) ) g f 卜力 【 一9 2 ( “恁，r ) ， ，r ) ) g o - 6 t r ) 1 d 打 故有 ，+ ( z ，t ) = ( u o ) g 一 ，t ) 武 j - - o o + ( e 燃川川打牖2 9 - - 卜r ) d d r + z 仁眺心+ ( 0 州嚷( x - - 印_ 嗽打 两边取绝对值并由初值条件得 ，t ，十 i ( z ，) sm + 尬l g 一已t - r ) l 武打 j oj 一 ，f ，+ + ( 1 嗽 + 1 j ) l 嚷扛一，t r ) l d 等d r j oj 一 从而 8upmx,t)l8(。)+(础supi“dzer j o+ 裟寿打 z r$ rvl 一 同样可以得到 8 u p m x , t ) l s 。( ) + ：( 8 u p u d x e r0 x e r + s u p x e r 考v 毒打 j一， 我们记 k ( t ) = s u pl “。0 ，f ) j + s u pi ( 茹，t ) j z e rx f i r 上两不等式相加可得 詹( ) 2 。( 印+ 2 j o ( 。) 考v 毒打 一， 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 第三章应用3 2l e r o u x 系统 由贝尔曼不等式可得出关于七( t ) 的估计 雄) 2 a t 0 南打0 t 2 a ( s ) 器e - g 击打d s 这就说明扎。( z ，) ，( 茁，t ) 在区域r 【o ，司上是有界的 引理2 仇+ ( u v ) + v h ( u ， ) = 这里 ( u ，口) 连续 口( z ，0 ) = v o ( x ) ，t ) 0 ( z ) 0 ，z 冗 对固定的t o ，存在n ( t ) o ，使得 l “i ( t ) ，l + h ( u ，口) l ( 卵，l 口i n ( t ) v ( z ，t ) r 1 0 ，叨 成立，则有 ( 。，t ) o ，v ( z ，t ) 置【o ，刁 证明对任葸取定的( 茁l ，t 1 ) rx 【0 ，2 ，我们采论证口( $ l ，亡1 ) 0 百先 帝叟函暂 ( z ，t ) ：如( z ，f ) 一n ( t ) ( x 。2 + c r t ) i e ( 邛 这里冗 l z l 贝0 仇= ( w t - - c n - 挈( a t ) ) + ( 刁( 埘一尘丛! 铲) 】e n 【t ) t ：k 一1 2 n ( r t ) x 】e ( 1 r ：k 一2 n 酗( t ) 。 一n ，o ) = 咖( z ) + n ( 矿t ) x 2 o 埘( r ，f ) = 秽( r ，亡) e - - n ( 即t + ( t ) + 里垒笔：坚o t ，( 一只，t ) = ( 一月，t ) e - n ( 砷+ ( t ) + c n 蠢( t ) 一t o 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 2 页 第三章应用 3 2kr 0 u x 系统 所以 一挈) + n c t ) ( t c ，一型紫) 】e 聊 托一1 2 n ( r t ) x , j e n ( 即+ 陋( 。，t ) n ( t ) ( x 。2 。+ c r t ) e k + 口) 】 = k 一2 n 形( t ) 1 ，e ( t m 移项后得到 哪+ u t 一” = 警( g r + 2 x u - 2 ) 一 孵，+ + ( 删e - ( 研t = 警( d r + 2 x u - 2 ) 仆嘶) + 塑铲i ( ( 功+ 州删 下面我们证明 t 口( z ，t ) 0v ( z ，t ) 【- r ，同【0 ，刁 成立事实上，假定不对，设( 跏，t o ) 是叫( z ，f ) 在【一r ，用1 0 ，邪内的最小值点， 根据上述结论，必有( x o ，t o ) ( - r ，r y ( 0 ，卵，j l w ( x 0 ，t o ) 0 ，满足 警( 岛r 他。u ( z o , t o ) _ 2 ) o 当r 充分大时，下式成立 一t t ，( 勋，南) + n ( t ) ( x o 面2r + c o r t o ) o 综上可知 【一叫( z 。，t 。) + n ( t ) ( x 。2 c o r t o ) n ( 丁) + t b ( 跏，z 。) + ( “( a o ，。) ，”( z 。，t 。) ) 】 + 磐( 砌毗，t o ) - 2 ) o 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 3 页 量三兰皇里：! ! ；! 望坠坚量篁 这就得出矛盾故假设不成立，而 叫( z ，t ) 0 v ( x ，t ) 卜r ，冗】1 0 ，刁 由此 ( z 以) = l ，t 1 ) 一n ( t ) ( x ，+ c o r a l ) f e n ( t - 一n ( t ) ( a ；+ c o r h ) e n c r ) t 。 。 彬 令r 一+ o o ，可得 v ( x l ，t 1 ) 0 这就证明了此引理 命题3 的证明f 为以下映射 f ：( 口) h _ ( 钍2 + ，1 1 , 0 ) 则 凹= 00 其特征值a l ，a 2 为 a - = ；( 3 u - - 厕) ，抛= ；( 3 让+ 而) 由 一 ( 矸么，w 。) d f = a 2 ( 矸乞，乞】，( 磊，磊) d f = a l ( 玩，磊) 可得r i e m a n n 不变量 w ( u ， ) = u + 4 v z ( u ，口) = t 一4 v 且 眠叫+ 赤胍2 赤 口jo = 丽4 v ，= 一确2 u ，= 一网4 z 。= l - 刀，玩= 一丽2 况“= 一南，= ( n 2 u 硝，2 丽4 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 4 页 第三章应用3 2k r o u x 系统 分别用眠和- k 乘以( 3 2 ) 中的第一，二个方程，然后两式相加，得 仇+