（基础数学专业论文）带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标.pdf

大连理工大学硕士学位论文 本文主要研究了c a u c h y 问题 摘要 u 。z = ，。a ，u ：+ 咖u 。p z ( x ，) + u g ( z ，t ) r x ( o ，t ) ， z r - v 的爆破指标与f u j i t a 指标，其中0 1 时，方程的解对任意初值整体存在；当 m a x p + ，口 - 1 时，解对大初值爆破这一结果与常指标方程毗= u 十舻的已知结果类 似( 特别地，当p ( x ) 三q 时，与其结果一致) 在第四章，我们讨论了该方程的f u j i t a 指标与爆破指标不同，由于p ( z ) 与q 相互 作用，我们所得的f u j i t a 指标的结果与常指标方程已不再具有相似性 关键词：变指标；爆破指标；f u j i t a 指标；抛物方程；整体存在；爆破 c r i t i c a le x p o n e n t sf o ras e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t h 玎i a b l er e a c t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb l o w u pp r o p e r t i e so ft h en o n n e g a t i v es o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n g c a u c h yp r o b l e m ： f 毗= u + u p ( z ) + u q ， ，t ) r ( o ，t ) ， 1u ( z ，0 ) = 呦( ) ， z 乏， 、 w h e r e0 1 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ef u j i t ac o n d i t i o n ：i f1 1 + 斋，t h e nt h e r ea r eg l o b a ls o l u t i o n sf o rp 一 1 + 斋，a l l s o l u t i o n sb l o wu pi nf i n i t et i m ef o r0 p 一p + l 十斋，a n dt h e r ea r ef u n c t i o n sp ) s u c ht h a t a l ls o l u t i o n sb l o wu pi nf i n i t et i m ea n df u n c t i o n sp ( z ) s u c ht h a tt h ep r o b l e mp o s s e s s e sg l o b a l s o l u t i o n sw h e np 一 1 + 斋 p + k e yw o r d s ：v a r i a b l ee x p o n e n t ；b l o w - u pe x p o n e n t ；f u j i t ae x p o n e n t ；p a r a b o l i ce q u a t i o n s ； g l o b a le x i s t e n c e ；b l o w - u p i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 作者签名： 带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指棰 刘云霞日期：2 0 0 9 年5 月 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 作者签名： 导师签名： 刘云霞玉卜氟： 阮期： 至q q 旦年垒月2 2 日 盟年上月生日 大连理工大学硕士学位论文 i 上l 1 目i j百。 本章主要通过列举若干实际模型来介绍本文所研究问题的实际背景，并阐述了相关 问题的发展现状，最后对本文的结构安排加以概述 1 1 引言 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，它作为一个多侧面，多应用的学科， 描述许多物体的物理或是机械的行为，如弦的震动等现象因此在二十世纪以前，人们多 是直接联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 早 在1 9 0 0 年，h i l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、 2 0 、2 3 个问题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现代偏微分 方程理论的萌芽现今偏微分方程已经成为一个与数学其他分支联系紧密的学科，微分 几何、复分析、调和分析、代数理论等学科都与其有密切的关系，它们也成为研究偏微 分方程的工具现在，偏微分方程特别是非线性偏微分方程，已成为数学乃至整个自然 科学中活跃而重要的研究领域随着数学工作者以及其他学科的工作者的努力，数学在 理论和方法上取得了很大的进步数学工作者及其他学科工作者各显其能充分利用现代 数学工具解决复杂的非线性问题 近些年来，在生物学、生态学、生物化学及物理、工程等传统学科的研究领域中，各 种非线性抛物型和椭圆型偏微分方程( 组) 得到了很广泛的应用，尤其是二阶非线性抛物 型和椭圆型偏微分方程( 组) ，通常都有明确的实际背景，其研究日益受到科学工作者的重 视并逐渐取得了许多有价值的成果其中人们对抛物方程( 组) 解的爆破性理论产生了极 大的兴趣，爆破理论与其它各个领域之间的关系( 例如：化学反应堆、量子力学、流体力 学、湍流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为进一步介绍抛物型方程( 组) 的实际背景，下面列举若干经典模型： 1 带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 1 生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 甓 - a u + u m ( u ，卅t f ( u ( 叩) ，巾s ) ) d s 裳- - - = a v + v n ( u ，口) + z 。g ( 让( z ，s ) ，钉( z ，s ) ) d 8 2 神经传导的h o d g k i n - h u x l e y 方程 撕= z + x ( u ，伽1 ，w 2 ，叫凫) k 叫n = ( 札) 嘶+ 吼( u ) = 1 ，2 ，七) j = l 瓦o t = 尬t + 帆x p ( - 畚) 鲁= 恐t t - - f t 唧( 一畚) 4 b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应的n o y e s - f i e l d 方程 害曲口州1 一札) + 象 塞= m 口一阮u + 象 5 b r u s s l a t o r 方程 警= 0 u + a 一( b + 1 ) u 钐 窑= + b 钆o 6 图像处理中的a l v a x e z l i o n s m o r e 方程 甓= g ( i v g i ) l v u l d i 口( 尚) 其中g 仃( z ) = c a 一e 印( 一番) 是尺度为盯的高斯函数 7 大气污染扩散的微分方程模型 赛= _ 。0 z ，、k 。o z c ，一瓦0 唧t , 丽o e ，一爱( 也塞) + 番u + 番u 十基z 其中z t , ，叫为大气平稳风速的三个分量， ，如，k z 为弥散系数 其他例如渗透方程、液晶方程、反应器动力学方程、超导方程，反映生命现象的众多 数学模型，污染问题中出现的对流扩散方程等等，也都可以归于更复杂的抛物方程( 组) 2 大连理工大学硕士学位论文 1 3 发展现状 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人们发现， 对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问题的极端复杂性，直 接反映了自然现象的极端复杂性例如，对非线性抛物方程组来说，非线性可以来自反应 项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系所 有这些各不相同的非线性项都有可能导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w - u p 、 e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金 属) 淬火等现象上述四种非线性间的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞 争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还和空间维数 及区域的几何性质有关系) 本文主要研究一类带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标关于抛物方程 的b l o w - u p 现象的研究由来已久，开创性工作是在1 9 6 6 年f u j i t a 对半线性抛物方程u t = 钍+ 札口的b l o w - u p 临界指标的研究该方程f u j i t a 临界指标的经典结果为p c = 1 + 2 n 和p o = 1 ：即p o 1 他们证明了，当m q + 1 或者礼 p + 1 时，一定存在初值使得 一个分量发生b l o w u p 而另一个分量仍有界；当m q + 1 且佗 0 于q t 定义2 1 1 一致抛物如果存在常数口 0 ，使得对任意的( z ，t ) q t 和所有的实向量 ( = ( 白厶) 舻，都有 ( z ，t ) 白白p l ( 1 2 ， i d = l 则称算子爱+ l 在q t 上是一致抛物的 定义2 1 2 爆破若存在常数t ( o 1 ，函数妒( z ) 满足 妒( z ) = 1 ， 则对于任意的非负函数u ( z ) 满足不等式： 上护( z ) 妒( z ) 如( 上u ( 茹) 妒( z ) 如) p - ，q，q 2 1 3l i t a 经典理论 下面我们给出f i j i t a 在1 9 6 6 年所作出的经典结果( 其中临界情形由w e i s s l e r 等人分 别给出，见【1 3 ) 考虑初值问题 f 毗= a u ( x ，t ) 十u p ( x ，亡) ， ，t ) r ( 0 ，t ) ， 1u ( z ，0 ) = 钆o ( z ) ， z r 、 引理2 3 ( i ) 当l 1 + 斋时，方程的解对小初值整体存在，对于大初值爆破 ( 其中p c = 1 + 斋称为f u j i t a 指标) 2 1 4 重要引理 下面我们给出在后面证明中经常用到的一个重要引理 引理2 4 设j ( t ) 为连续可导函数且满足不等式： ( 亡) 一a j ( t ) + 6 尸 ) ， 其中的常数p 1 ，a ，b 0 若j ( o ) 0 ，- a j ( o ) + b j p ( o ) 0 ，则j ( t ) 爆破 8 大连理工大学硕士学位论文 2 2 基于最大值原理的比较原理以及上、下解方法 本节我们给出在抛物型方程中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较原理是抛物方程的理论基础，通过这些原理可以引出研究抛物方 程解的有效工具一上、下解方法，也可以对解的上下界进行估计由于这些原理在研究 问题时经常使用，故在此我们不加证明地给出最大值原理和比较原理的几种形式 假定( 2 2 1 ) 中，番+ 三是一致抛物的，且满足a i j ，b i ，c c ( q t ) ，a i j = t ( t ，歹= 1 扎) 则有如下极值原理成立 ( 1 ) 弱极值原理 定理2 1 假设让( z ，t ) c 2 , 1 ( q t ) nc ( 国t ) ( i ) 当c 三0 ，毗+ l u o ( 0 ) 时，有m a x 石2 r 乱= m a x s t 钍( m i n ( ) r = m j n s tu ) ( i i ) 当c 0 ，饥+ l u 0 ( 0 ) 时，有m a x 亩tu i n a x s t 钆( m i n ( ) rt 正一m a x s t 钍) ( 2 ) 强极值原理 定理2 2 假设u ( z ，t ) c 2 , 1 ( q t ) nc ( o 丁) ( i ) 当c 三0 ，毗+ l u o ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) q ? ，使得u ( x o ，t o ) = m a ? 钆( m i t 缸) ，则 钆_ - - c 于q t 0 ( i i ) 当c 0 ，u t + l u o ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) q t ，使得u ( x o ，t o ) = m a x 国tu 0 ( m i n 国ru 0 ) ，则u 三c 于q t o 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时常常用到的比较原理 考虑如下的方程 p u = u t + l u = s ( z ，t ，乱) ， b u = 夕( z ，亡) ， u ( z ，0 ) = 妒( z ) ， ( z ，亡) q t ， ( z ，亡) 鼠，( 2 2 1 ) z q ， 其中l u = 一乙：1a 巧( 。，t ) 弼+ 凳1 玩( z ，t ) ；，a i j = 叼t ( t j = 1 ，n ) ，l 一致椭圆， ， 关于u 是c 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的 定理2 3 假设钆，u c 2 , 1 ( v r ) n c ( 西t ) 若 p u 一，( z ，t ，钆) p v 一厂( z ，t ，口) ， b u b y ， u ( z ，0 ) 口( z ，0 ) ， 9 ( z ，t ) q t ， ，t ) s t ， z q 带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 则u ( x ，t ) v ( x ，t ) 于q t 又若u ( z ，0 ) ( z ，0 ) 于q ，则u ( z ，t ) v ( x ，t ) 于q t 2 2 2 上、下解方法 下面我f t 弓i 入上、下解的基本概念和解决问题常用的方法 定义2 。2 1 假设面( z ，亡) ，墅( z ，t ) c 2 , 1 ( q t ) nc ( 国t ) ，若满足 p 豆一，( z ，亡，面) 0 p 堑一f ( z ，t ，笪) ，( o ，亡) q t ， b 面一夕( z ，t ) b u 一9 ( z ，t ) ，( z ，t ) s t ， 云( z ，0 ) 一u o ( x ) 0 笪( 。，0 ) 一乱o ( z ) ， z q ， 则称云( z ，) ，笪( z ，亡) 分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解 根据最大值原理和比较原理，我们容易得到如下定理： 定理2 4 设面( 。，亡) ，笪( z ，t ) 分别是( 2 2 1 ) 的上、下解，且，关于u 是c 1 的，关于x ，t 是 h s l d e r 连续的，则( 2 2 1 ) 存在唯一的解u ( x ，t ) ，且满足面( z ，t ) u ( z ，t ) 笪( z ，t ) 于q r 在局部古典解存在时，解的最大存在时间是有限的还是无限的( 即解是在有限时刻 爆破还是整体存在) ，在最大存在时间t 1 ，则方程( 3 1 1 ) 的解对大初值爆破 ( i i ) 若m a x p + ，q ) 1 ，则方程( 3 1 1 ) 的解对任意初值整体存在 1 1 带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 3 3 爆破指标的证明 在这部分中，我们将主要运用方程解的积分表示，上下解方法和比较原理来完成命 题的证明在证明命题之前让我们先不加证明的给出一个重要引理和它的推论【1 4 】 引理1 设p 为区域bcr 的正测度满足如舡= 1 若，( b ，咖) ，并且对任意的 z b ，有l 6 p ( x ) 7 ，则存在常数c ，使得 正l 卯d p c m i n ( bi f l d # ) 6 ，( f bi f t 训7 推论在引理1 的条件下，我们有 ( 1 ) 厶l f l p ( 茁) 缸c r a i n ( f bi s l d p ) 6 ，( 厶i s l 6 缸) 7 6 ) ， ( 2 ) 厶l f l d 肛1 兮厶i f l p ( z ) 舡c ( 厶i f l d # ) 6 下面我们就来给出命题的证明 命题1 证明： ( i ) 当m a x 妇+ ，g ) 1 时，存在球bcr 使得m a x p 一( b ) ，g ) 6 1 ，其中p 一( b ) 表示 p ( x ) 在球b 上的下确界令入为一在球b 上的主特征值，妒为相应的特征函数，规 范化为厶妒= 1 令 以亡) 2 以叩 由方程( 3 1 1 ) 及引理1 可知，只要j ( t ) 1 就有 j ，：l 姒9 = ( u + u p ( z ) + 钍口) 妒 ，b 2 五u 妒+ 上矿，妒+ 上让口妒 一入j + c ， 其中c 为常数这表明只要j ( o ) 充分大，即当j ( o ) m a x 1 ，( 矽入) 1 价一1 ) ) 时，由引理2 4 知方程( 3 1 1 ) 的解爆破 ( i i ) 当m a x p + ，q ) 1 时，构造 w ( x ，t ) = ( i | 咖i i l * + 1 ) e 2 t 1 2 大连理工大学硕士学位论文 则 w t = 2 ( j iu ojj p + 1 ) e 2 ( i iu oi i l * + 1 ) p 仕) e 2 t p ( $ ) + ( i i 如l | l 一+ 1 ) a e 2 t q = a w + 扩( 霉) + w q ， 并且 w ( x ，0 ) = ( i | u oi i l 一+ 1 ) 咖( z ) 从而伽( t ) 为方程( 3 1 1 ) 的上解，故方程( 3 1 1 ) 的解整体存在 1 3 口 大连理工大学硕士学位论文 4 变指标对f u j i t a 指标的影响 本章主要讨论可变指标对问题的f u j i t a 指标的影响，并得到以下主要结论 4 1 研究结果 本章，我们研究问题的f u j i t a 指标，在解爆破( 即m a x ( p + ，g ) 1 ) 的前提下，我们得 到如下结果 定理1 当0 1 + 斋时， ( i ) 若0 1 + 务 p 一，则存在p ( x ) 使得方程的解对小初值整体存在，也存在p ( 茁) 使得 解对任意初值爆破 ( i i i ) 若外三p 一 1 + 斋，则方程( 3 1 1 ) 的解对小初值整体存在，对大初值爆破 4 2 定理证明 在证明定理之前我们首先给出一个重要的引理 引理2 在定理1 的条件下，当0 q 1 时，方程 临篙蒜冀，t l 的解满足 u ，亡) ，( 亡) ， vz r ，t 1 ， 其中 邢卜( ( 1 - - q 弘p 八卜驯置 带有变指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 证明： ( i ) 当0 q ( ( 1 一g ) t ) 1 ( 1 一到 ( i i ) 当q = 1 时，方程变成如下形式： 0 篡，竺? l 2 对( 4 2 1 ) 方程两边同乘e ，并令钉= e l f 乱，则v 满足 v 口t 。z = ，。a ，v ：, u 。z ，：；- 。t c 4 2 2 ， 而由参考文献【2 4 知方程( 4 2 2 ) 的解有表示式： u：l厂e一掣呦)dy(4 u 2 7 r t ) n 2 厶e 4 2 吲可。 因为初值如0 ) 0 ，因此在某球b 内初值有正下界，我们可以证明t 1 时，在任意有界 区域上有估计 u = 赤厶e 一掣v o ( 。y ) d y 南，归研厶e 4 。 2 丽 其中c 为常数则 钆( 础) 南e t 下面我们就逐个给出定理的证明 定理1 证明：我们分两部分来证明定理结论 ( i ) 当1 1 ，从而存在球b 以及常数6 1 ，使得在球 b 上p ( z ) 6 1 ，下面我们来证明方程( 3 1 1 ) 的解的最大模在球b 上是爆破的，进而可 知在r 上也是爆破的 由引理2 可知，方程 ( z ，亡) r ( 0 ，t ) ， z r f ( ( 1 一g ) t ) 1 ( 1 一到， q m a x r ， p ( z ) 2 p 一， 吲咒 其中q p + 1 - f 斋 p 一，口 莉n 下面我们来构造问题( 3 1 1 ) 的稳态解 当蚓 r 时，考虑( r ) = c r ，a = 矗，c = ( 亟掣) 去 而在区域内部，我们考虑下面问题的径向解 u a ：v - c f r v p a - f ，u 口= 。 注意到当且仅当l 口7 ( r ) i i 乱7 ( r ) i 时，函数 z b r ( o ) z o b r ( o ) ( 4 2 1 0 ) f 口( i z f ) ， z b r ( o ) ， u ( z ) 5 u ( i x i ) ， z r n b r ( o ) 是问题( 4 2 1 0 ) 在全空间的上解 为了估计勘7 ( r ) ，我们考虑函数叫( r ) = 业c r 丑- c , ，它满足方程 f 嘶r - t - 矽- - 1 r 2 十口( 1 叩一) 扩+ c q 一1 r 2 + a ( 1 一q ) w q = 0 ， z b 1 ( o ) ， l 叫= 1 ， z a b l ( o ) 注意到对r = 0 ，我们得到常数解w ( r ) = 1 ，很容易验证当r 充分小时有 伽p ) = 1 + o ( 1 ) ，w 7 ( 7 ) = d ( 1 ) 这表明口7 = o ( r 一口一1 ) 另一方面，u 满足让7 ( r ) = 一r 呻，则a 充分小时，函数u 是( 4 2 1 0 ) 的上解，所以 ( 4 2 1 0 ) 的解整体存在 ( i i i ) 取6 = m i n p 一，g ) 考虑问题 f 饥= a u - b 2 u 占， ( z ，t ) 酞( 0 ，t ) ， u ( z o ) ：u 。( 吐 z r ( 4 2 1 1 ) 由文献 1 】可知( 4 2 1 1 ) 的解对于足够小的初值，满足缸1 ，因此 毗= a u + 2 u 6 a u + u p ( x ) h - u 口 即u 为方程( 3 1 1 ) 的上解，从而方程( 3 1 1 ) 的解对于小初值整体存在 口 1 9 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文主要研究了一类带有变指标反应项的半线性抛物问题 fu t = 乱+ 驴o + u q ， ( 。，t ) r ( 0 ，t ) l ( z ，0 ) = 咖( z ) ， z r 非负解的爆破指标和f u j i t a 临界指标，得到以下主要结论 结论1 当m a x 妇+ ，g ) 1 ，方程( 3 1 1 ) 的解对于大初值爆破 当m a x p + ，g ) 1 ，方程( 3 1 1 ) 的解对于任意初值整体存在 结论2 当0 1 + 斋时， ( i ) 若0 1 + 斋 p 一，则存在p ( z ) 使得方程的解对小初值整体存在，也存在p ( z ) 使得 解对任意初值爆破 ( i i i ) 若p + p 一 1 + 斋，则方程( 3 1 1 ) 的解对小初值整体存在，大初值爆破 对于参考文献 1 4 中所讨论的方程，对变化指标的讨论是比较复杂的，而在本文的 讨论中，指标p ( z ) 和q 相互作用，使得增加了爆破情形在本文工作的基础上，可以进 一步研究反应项相减或者方程组的情况 2 1 带有变化指标反应项的半线性抛物方程的临界指标 参考文献 1 f u j i t ah o nt h eb l o w i n gu ps o l u t i o n so t h ec a u c h yp r o b l e m o r 饥= a u + u 1 + 。 j f a c s c i u n i v t o k y o s e c t a m a t h1 6 ( 1 9 6 6 ) ，1 0 5 - 1 1 3 2 】a r o n s o nd j a n dw e i n b e r g e rhf m u l t i d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rd i f f u s i o na r i s i n gi np o p u l a t i o ng e n e t i c s a d v a n c e si nm a t h3 0 ( 1 9 7 8 ) ，3 3 - 7 6 h a y a k a w ak o nn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so fs o m es e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s p r o c j a p a na c a d 4 9 ( 1 9 6 3 ) ，5 0 3 - 5 2 5 【4 k o b a y a s h ik ，s i a r ota n dt a n a k ah o nt h eb l o w i n gu pp r o b l e mf o rs e m i l i n e a rh e a t e q u a t i o n s j m a t h s o c j a p e n 2 9 ( 1 9 7 7 ) ，4 0 4 2 4 【5 】w e i s s l e rfb e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n i s r a e lj m a t h 3 8 ( 1 9 8 1 ) ，2 9 4 0 【6 】w e i s s l e rf b a nl 。b l o w u pe s t i m a t e o ran o n l i n e a rh e a te q u a t i o n c o m m p u r e a p p l m a t h 3 8 ( 1 9 8 5 ) ，2 9 2 2 9 5 【7 】w e i e rp o nt h ec r i t i c a le x p o n e n tf o rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s a r c h r a t i o n a lm e c h 1 0 9 ( 1 9 9 0 ) ，6 3 - 7 1 【8 】b a n d l ec b l o wu pi ne x t e r i o rd o m a i n s ，r e c e n ta d v a n c e si nn o n l i n e a re l l i p t i ca n d p a r a b o l i cp r o b l e m s ，p b e n i l a n ，m c h i p o t ，l e v a n sa n dm p i e r r e p i t m a nn o t e s 2 0 8 ( 1 9 8 8 ) ，1 5 2 7 9 b a n d l eca n dl e v i n eha o nt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so f r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n si ns e c t o r i a ld o m a i n s t r a n s a m e r m a t h s o c 6 5 5 ( 1 9 8 9 ) ，5 9 5 - 6 2 4 【1 0 m e i e rp e x i s t e n c ee tn o n - e x i s t e n c ed es o l u t i o n sg l o b a l sd u n e6 q u a t i o nd el ac h a l e u rs e m i - h n 6 a i r e ：e x i s t e n c ed u nt h 6 0 r 色m ed ef u j i t a c r a c a d s c i p a r i ss 6 r i ei 3 0 3 ( 1 9 8 6 ) 6 3 5 - 6 3 7 【11 】m e i e rp b l o wu ps o l u t i o n so fs e m i l i n e a rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s z a n g e w m a t h p h y s 3 9 ( 1 9 8 8 ) ，1 3 5 - 1 4 9 【1 2 m e i e rp o nt h ec r i t i c a le x p o n e n tf o rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l 3 9 ( 1 9 8 8 ) ，6 3 - 7 1 【1 3 l e v i n eha t h er o l eo fc r i t i c a le x p o n e n t si nb l o w - u pt h e o r e m s s i a mr e v 3 21 9 9 0 ，2 6 2 - 2 8 8 大连理工大学硕士学位论文 【1 4 】 f e r r e i r ar ，p a b l oad e ，mp4 r e z - l l a n o sa n dj d r o s s i c r i t i c a le x p o n e n t sf o ra s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hv a r i a b l er e a c t i o n ( i np r e s s ) 1 5 e s c o b e d om ，h e r r e r om a b o u n d e d n e s sa n db l o wu pf o ras e m i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 8 9 ( 1 9 8 1 ) ，7 6 - 2 0 2 1 6 z h e n gsn g l o b a le x i s t e n c ea n dg l o b a ln o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oar e a c t i o n d i f f u s i o n s y s t e m ，n o n l i n e a ra n a l 3 9 ( 2 0 0 0 ) ，1 0 4 9 - 1 0 6 2 【1 7 z h e n gs n g l o b a lb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n st oar e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m m a t h m e t h o d s a p p l s c i 2 2 ( 1 9 9 9 ) ，4 3 5 4 1 8 r o s s ijda n dw o l a n s k in b l o w - u pv e r s u sg l o b a le x i s t e n c ef o r as e m i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mi nab o u n d e dd o m a i n c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 2 0 ( 1 9 9 5 ) ，1 9 9 1 2 0 0 1 【1 9 】s o u p l e tp a n dt a y a c h is o p t i m a lc o n d i t i o nf o rn o n s i m u l t a n e o u sb l o w u pi nar e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m j m a t h s c o j a p a n 5 6 ( 2 0 0 4 ) ，5 7 1 5 8 4 2 0 r o s s ijd a n ds o u p l e tp c o e x i s t e n c eo fs i m u l t a n e o u sa n dn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w u pi na s e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m d i f f e r e n t i a li n t e g r a lf _ 加l u a t i o n s 1 8 ( 2 0 0 5 ) ，4 0 5 - 4 1 8 f 2 1 z h e n gsn ，l i ubc ，l ifj s i m u l t a n e o u sa n dn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u pf o rac r o s s - c o u p l e dp a r a b o l i cs y s t e m j m a t h a n a l a p p l 3 2 6 ( 2 0 0 7 ) ，4 1 4 4 3 1 【2 2 】z h e n gsn ，l i ubc