（应用数学专业论文）基于不变量的概念格约简.pdf

污趣烽范大学硕击研究主学位论文 孛文耩要 本文研究了概念格与嵌概念格的属性约简问题。( 1 ) 讨论了概念格 中的不变量，提蹴了基予不变整的概念格约筒，给蹬了协调集的划定定 瑾，并研究了藩径懿煎瑟程震( 2 ) 提醴 了镪满形式鬻景懿概念，褥翻了 协调形式背景与辆窬予镱最之阍魏关焱，绘出了槎关性箴( 3 ) 瀵过。一 元素关系，褥爨了“缀念格，著褥究了葵满往约麓，证鼹了a 一概念嵇鳇 协调粲以及属性的誊要程度不隧8 鼢变化丽交化 关键词：形式背景，械念襁，不变攮，协调集，a 一概念楂，概念格 约麓 湃北师范大学硕士研究生学位论文 霉h er e d u c t i o 娃l ne o n c e p tl 拽t t i e e sb 坞e do 娃t 薹1 电i 娃v 致r i 矬n 电s a b s t r a c t t h i sp 印e r 龇u d i 砒t r i b u t er o d u c t i o ni nf 。r m a lc o n c e p 七l 舭t i e f sa n da l p h ac o n c 。p e j 雠t i g 0 8 r r s t l y ，w cd i 8 c u 8 8t h oi n v 射j a n t s | nc 。n c e 衅1 8 t t i c e s ，a n d h e ni n t r o d u c 它托n m o 氇t t b u t er e d u 式i o nb 8 s 。d 。n 幽。i 硅v 氇l i 巍嫩so f 。o n e p tl 雏t ；c e s 譬h ej h d g e m e 啦强r e m o f n s i 靠f ! n ts e t s 、a n dt h ei r n p t h t 魏n td o g r “) o fa t t r i b l 】 。t 岛a r ca 1 8 ( ) p r o p ( 埘：ds o c o n ( i y 。、w m t r o ( 1 蛙o ea n e c n to fc o n 蕊8 t o l l ts 畦b 娃t ：x 昭b 毡s c do nt h em v 戤- 1 8 l n so f 靠e o p l 鑫t 雠e 嚣， t 滟r 毽i 拽t l o n s h 主d sb 站t 靴e nc 。粥i s e n s 曲n 如x 耄s 轴l de o 靠零懿i b i e8 曲c n n t 。x t sa 揩或u d i 穗 s o n 他b 鲻i cp r o p e r _ i e so fm e 嚣e8 u b c u n 钯姒sa r 。靠s o 。b t a j n e d 。t h i 埘l nw e8 t 幢d ， 越p h 秘 g a l 。诲i 趣t i sb ye m p l 孵i n gt 沁。1 1 c c p t 醋戡l p | l a c l c m t 嘲a 毫i 。n ，譬硒啦) 1 ) 1 - o h 鹳。 越捅1 ) u 七cr c d u e t i 。nm a l p h al 氆t t i c 铺矗r c # h 站np r e n t c d i t 诗p r 。v 滔t h 舭，枷cc l l n n g 。 o ft 1 1 ev a ii a n ta l p h a ，t h ce 。n s i 8 t 。1 1 ta “r j b u 钯8 0 t sa n dt h ci m p o r t a n c 。d 。g r o 。0 fa t t r j b u t o s a r on o tc h a n p r c k 。yw o r d s ：f 。黼戚鞋t e x 抟，c 。麟e # 辨瓤鲢c 舔，i 珏v 3 r i t s e 。蚓s l 黼诋越曲孙 l l e 印tl 且t t i c c s ，r “i u c t i 0 “ 河北师范大学硕士研究生学位论文 l 攀 富 概念格是由德国数举家w i l l e 子1 9 8 2 年提出的1 1 乩它是椴据数掇集中对象与属 蛙之瓣静= 元关系建立超寒鹣一静撩念屡次缨鞫，生臻麓涪毙体褒了穰念之麓豹激 化和特化关系每个概念都魁对象( 外延) 与属性( 内涵) 的统一体。本质上，描述 了对象与矮程之潴懿臻聚露为数据分橱秘翔识处理黪有力工其，襁念格理论已缓 广泛应用于知识工程，数据挖摄，信息检索，软件工程等领域概念檄所分析的数攘 一般弼形式背景采籀述，楚特殊秘信惫系绕强蓊，概念嵇理论豹磷突主要嶷中凌 以下几个方面：概念格的生成算法姚概念格模型的推广f l o l ：蒸予撅念格魄规则掇 取 7 ，9 ，1 4 ，l 吼概念稽与粗糙集等理论f 1 3 ，2 l ，2 4 之间的关系与融合f 1 2 ，1 7 ，1 9 ，2 0 】 以及概念格的应用 2 】镣文 3 l 从概念格的定义 ：妊发，系境地讨论了形式背擐和概 念格的往菠，研究了澎式背祭和概念格的结构交化、最近，受糨糙集理论中属性约 筒方法懿瘗发，文 3 ，l l 。2 2 ，2 羽班究了形式鸳最秘概念磋鳃壤譬妻约筵耀题，郄在缳 持对象集不变的条件下，寻求最小酌属性熊，使能完全确定概念及概念之间的层趺 缝糖。 概念格又被称为g a l0 i s 格，而g a l o i s 格是建立在g a l o i s 联络上的一种概念层次 关系一般建，喹形式鸷景掰建立懿撅念掇链舍缀多援念，这婆攘念戆存镑褥要大 量的时间和空间，丽在很多实际问题申，未必需骚如此多精确的概念f l 、趴因此， 寻求减步襁念随箍 ：羧念楱结稳懿方法也楚需瑟关注的超题阱袋近，文i i 翻撬 出了啦一g a i o i s 格，并讨论了遮釉近似概念格的基本属性然两，对于这种格的属性 约简，属谯重要褴程度簿髓参数变讫情况并没有游行深入讨论 本文谯o 中研究基于概念格中一些不变量的属性约简问题给出了属性协调 集的翔定定理，研究了爝性糯谪集的性质鞠满往酌重要獠度在茈鏊獭上，还给出 了对象象的约簿方法。掇趱了掺渭予磐最懿穰念，矮究了协谖子蜚熬豹性凄及判定 定璎在葶中通过引入n 一元素关系，给出了“一概念格的概念，研究了n 一概念 穆鲍滋谴豢赞毪瀵程属髅约麓。 重论了夔a 豹交豫捺调集蔽及溪往夔要程度懿交诧 情况 河北师范大学硕士研究生学位论文 2 概念格的约简 2 2 1 预备知识 定义2 1 习称序集合y = ( v ) 是一个格，若对于v 中任意两个元素z 和p ， 上确界z vp 和下确界z 总存在 称y 是完备格，著对于y 中任意子集x ，上确界v x 和下确界 x 总存在每 个完备格都有一个最大元v y ，称为单位元，对偶地，最小元称为零元 定义2 2 剐设y = ( v ) 是序集合，o ，b v 祢n 是6 的一个下邻，若n 6 且不存在满足n ( b 的元素c v ，同时，称b 是n 的一个上邻，记作“ b 定义2 3 习在序集合y = ( u ) 中，称集合x y 上稠密于y ，如果v 中的任 意元素均可表示为x 中某些元素的上确界；对偶地。称x 为下稠密的，若v 口v ， = ( 一x l 彤) 定义2 4 爿形式背景( 6 t 盯，) 由集合g ， ，及它们之间的关系，组成 g 中 的元素称为背景的对象，m 中的元素称为背景的属性如果在关系，下，对象9 满 足属性，记为( g ， 1 ) ，或9 ，m ， 关系，也称为形式背景( g m ，) 的关联关系与( 9 ，m ) ，相对应。记对象9 不具有属性m 为( 口，m ) g ， 对于形式背景( g ， ，n 在对象集合x g 和属性集合口m 上分别定义运 算： x + = o fo ，vz x ，( z o ) ， ， b + = t iz g ，vo b ，( z ，o ) ，) x + 表示x 中所有对象共同具有的属性集合，b + 表示具有b 中所有属性的对 象集合 定义2 5 珂设( g m ，) 是形式背景，x g t ，b m ，如果二元组( x ，b ) 满足 x + = 口且口+ = x ，则称( x ，b ) 是形式背景的一个概念其中，x 称为概念的外 延，口称为概念的内涵 用l ( g ，m ，) 表示形式背景( g m ，) 的全体概念，记 ( x 1 日1 ) 曼( x 2 ，b 2 ) # 号x l x 2 ( 错廖l2b 2 ) ， 则“”是l ( g ，m ，) 上的偏序关系，即( l ( g ，m ，) ，) 是一个序集合 河北师范大学硕士研究生学位论文 寇理2 1 俐若( x 1 嚣1 ) 和( x 2 ，口2 ) 是形式背景( g ，) 的概念，日 x i ，露1 ) ( 恐玩) = ( x i n x 2 ，( 雪l u 器2 ) ) ( y 1 胆1 ) v ( x 2 ，廖2 ) = ( ( x lu 托) “，凹l n b 2 ) 也是概念，整藏概念貉互( g ，艇，f ) 是一个完备貉 例2 。1 设( g ，m ，) 是形式背景，对象集g = l ，2 ，3 4 ，属性粜 彳= n ，b ，c ，d 关未，如表j ： 表2 例2 - j 的形式背景 ( g ，0 ) | ! 娃 6 c 蠢 f ，j0 l 2jj口口 3口疗j口 【4 j dd ( 1 3 ，c ) ( 1 o c d ) ( 1 2 4 o ) ( 2 4 o b ) 滔a ，) 图2 j 表2 j 生成的概念格 通过甘冀可得，形式弩景g ，掰，z ) 翦有的概念为 e ( g ， ， ) 一“l ，o c d ) ( 2 4 ，0 6 ) ，( 1 3 c ) ( 1 2 4 。n ) 、( g t d ) ( 0 ， 3 定义2 6 廖习设( g 材，j ) 是形式背景，记厶。( g ，掰，) 为概念格( g ，删，) 所有 概念外延的全体， m ( g ，m ，) 为所有概念内涵的全体。即 二。( g ，掰。，) = x g x ”一x 盯( g 、 ，f ) 一 君a 筝 嚣”= 露 定义2 7 印称形式背荣( g ，m ，) 是正则的，若对于任意的对象9 g 和属性 m ，零骞口# ，矿a f ，扩g 和m g 成立。 称形式背景( g ，m ，) 是简明的，著对于任意满足矿= + 的对象9 ，h g ，总有 p = ，相砖地，踏于所有的属性m m ，若7 n + = n 一定有m m 对于一般的形式背景( g ，m ，) ，我们可以先将其转化为正则或简明背景后，再 研究它的性质 河北师范大学硕士研究生学位论文 4 定义2 。8 碧彩设三( g ：矗磊，五) 和( 8 ，矗磊，五) 是蝎令穰念据，如皋砖于任意酶概念 x ，鸯) 0 ( g ，a 蟊，南) ，总存在( x ，丑) 0 够，膨l ，f 1 ) ，使箨x = x ，则称( g ，村l 。，i ) 蛔千“g ， 如，如) ，记作 厶( g 。a l ，1 ) 己( g 如，如) 。 如慕联g ，斟l ，j 1 ) s ( g ，a 岛，f 2 ) 豆0 g ，掰2 ，f 2 ) ( g ，斟l ，f l ，撵幺臻两个黼念 格同构，记作 l ( g ， 彳l ，1 ) 劂l ( g ，m 2 ，如) 定理2 。2 第彰设( 0 ，掰，) 是形式裙带，v 口膨，嚣0 ，总有 二( g ， 彳，) 厶( g + d ，d ) 歪鹊：v x ，固g ，移。岛) ，x ”+ x + ) 玉( g 、掰，臻下嚣 正装x “= x 凌概 念懿毪凑可知，x + ，x ；又x 4 三x p 一彗净x 4 扩= x ，予箍x ”；x 巍魏 l ( g ，m ，) gl ( g ，口，d ) 口 定义2 。第彩设g ，女f ：f ) 是形式背荣，若存在璃褴泉p 艇，捷缮毛( g ，o ，为) 裂 厶( g ，m ，) ，则称d 是( g ，肘，) 的属性协调集 进一步，菪vd d l ( g ，) d ) ，m ) l ( g ，m 、，) ，则称d 是( g ，m + ，) 的属 蛾约藏集+ 对谯豫，我稍也可以得劐对象协调熊和约筒巢龅概念。崮属性对象) 协谓熟、 约筒集的定义，我们可以看到，每个j 蘑张对象) 对于形式背景的爨要程度是不榴 鲻麴， 定义2 、l o 捣搿设彤式背荣( g ，甜，f j 的所有篱挂约稿袋为 扫； r ) ，可翦属性 枭肼划分为以下三类： j 核心属性熊g = n 域； 2 相对必要属娃集“一u p ：一n 酝i 0 不必要属性巢= a ，一u d ， 其中r 为一指标熊 下藿酌定灌糖 筵了翔鼗勰缝重要糍篪翡方法， 河托师范大学磺士研究生学位论文 5 定理2 3 胆剀设( g ， ，、，) 是形式背景，vn ，记g ( n ) 一伯i 尊 ，g + 3o + 下萄命题成立： z ，8 是弦心蕊注斡( 8 ”一 8 ) 9 矿i 0 + 8 是不必要属性惜( n “一 。 ) 。= 矿且p ( n ) 一。+ ； 0 。是相对曲要属性静( n “一f d ) ) = 0 4 且9 ( n ) 矿。 不必要属性和相对必要属性叉统称为可约属性 定瑷2 。4 碧彤设( g ，肼。d 是形式背景，p ( 掰，d 0 ，则 上) 是( g ，) 的属性协调集铮l ( g ，d ，d ) l ( g ， ，) 证鹾：由定理霉1 可驭证明 定义2 1 1 珂设( g ，m ，) 是形式背景，若g 且 口。那么称( ，j vjn h ) 楚( g 、嬲，? ) 粒一个予背景 定义2 ，1 2 彩称一个子背景( 汀，n ) 是相容子背带，藩对于任意概念 砖，嚣) 厶( g ，材，) 零满足( 砖n ，8 n ) ( 嚣、，n 封) 。 判断一个予背景是不怒精容酌，我秘有下黼的翔定定理： 定遴2 。5 捌予背荸( 拦，；f n 髫x ) 是形式蜚豢( g ，掰，) 转撩容子背景酶竞 分必要惫锌为： j 对于任意满足( ，) 彰，的对象h 兰和属性r n m ，一定存在属性? a r 满足： ( n ) gj 箨且 l + 量n 2 ， g ，对于任意满足乎，髓) 舞，酌属谴站筇和辞象9 拦g ，一定存在砖象，。搿满 足： ( 7 ，n ) 掣，并h9 + g + 这个定理为下藤2 。警懿讨论挺馔了依据。 定义2 1 3 倒设( g ，肼，) 是形式背号，砖于对象磐g 和属性? b m ，我们有 9 m ：铮( g ，释幻g ? ，磬矿舻燕扩妒，艇矗，m ) ? ， 萝檄：甘9 ”) g ! ，菪m + n + 且m 矿，则国。n ) ， 箨赣“”务“”分嬲辩下糟钎和土强锌关系 定义2 1 4 掰拣形式背荣( g ：榭，) 是双基秘，若砖乎任意蟋母象9 芒g 及属挂 m 膨满足( 热? 玮) 雾j ，一定务在砖象赶g 庭属娃嬲满足 河北师范大学硕士研究生学位论文 g n 和m + 矿及 m 和扩护 6 定义2 1 5 剐称简明形式背景( g ，m ，) 的子背景( ，nh ) 是指针闭 的，若满足 爿， 2 号m 及n ， 咒 9 h 2 2 基于不变量的概念格约简 本节我们讨论基于不变量的概念格属性约简和对象约简 2 2 1 基于不变量的属性约简 概念格的属性约简就是在保持对象集不变的前提下，寻找最小的属性集。并在 约简后，还能够完全确定形式背景上的概念及层次结构，这里我们就利用不变量 z “，0 4 ，来讨论概念格的属性约简 在形式背景( g ， ，) 中，定义如下算子： l ：p ( g ) _ p ( p ( g ) ) 、，：p ( ，) + p ( 7 ，( g ) ) ， 即v x g ，b m ， l ( x ) = 。”i 。x ) u g ) ，h ( 口) = f n + o b ) u g ) 命题2 1 设( g ，m ，) 是形式背景，记n ，( m ) 是，( m ) 中元素所有可能的交集 构成的集合，u l ( g ) 是l ( g ) 中元素所有可能的并集构成的集合，则v x n h ( m ) ， y u l ( g ) ，一定有x ，y l g ( g ，m ，) 证明：首先，若x n h ( m ) ，即存在( o ：i t ) m ，使得x n 。；，则对于 上述属性概念( a ：，o ；+ ) ，由定理2 j ， ( o ；，。；+ ) 二( n n ：( u n ：+ ) ) 也是概念，即x = n n ；是概念的外延 其次，若y u l ( g ) ，即存在 就：t ) ，使得】，= u z ：+ ，则对于上述对象概念 ( z ；，z ；) ，由定理2 j ， v ( z ；+ ，。：) = ( ( u z ：+ ) ，n 出；) 也是概念。即y = u z ：+ 是概念的外延则命题成立 口 注记2 1v 口cm ，显然有h ( b ) h ( j ) ，进一步有n h ( 口) n 爿( m ) ，由命题 2 j ，vx n h ( b ) ，有x l g ( g ，m ，) 河北师范大学硕士研究生学位论文 命题2 2u l ( g ) 和n h ( n ) 均构成概念外延集l g ( 6 t ，) 的覆盖 7 证明：对于任意的和矿，它们分别是对象概念( r ，z ) 和属性概念( 。+ ”) 的外延，故l ( g ) ，( f ) l g ( g ，m ，) ，即l ( g ) 和h ( m ) 中的元素都是某个概念的 外延，并且对于任意的x k ( g ，m ， 来说，一定有 x = u 缸”iz x ) = n ( o + in 占，( x ，b ) l ( g ，n ，) ) 命题得证 口 在形式背景( g ，m ，) 中，属性集m 一定是形式背景的属性协调集，那么对于属 性协凋集b 吖来说，利用不变量集合h ( 疗) 就可以得到与属性集”类似性质 定理2 6 设( g ，m ，) 是形式背景，则 b 互m 是( g ，m ，) 的属性协调集错l g ( g ，们) = n h ( b ) 证明：= 争若b 是属性协调集，则由属性协调集的定义可知：l ( g ，b ，曰) 兰 l ( g n ，) ，即l g ( g ，n ，) = l g ( 0 ，口，日) ，贝0 有： 一方面，对于任意的x l g ( g ， ， x = ( x + n b ) 4 = n 扣+ 口x n b ， 即一定存在( n 。：i r ) b ，使得x = n o ：，故x n h ( b ) ，r 是一指标集再 由x 的任意性，一定有，g ( a ，) n ，( ，? ) 成立 另一方面，由注记2j 知，l g ( g ，m ，) n h ( 口) 成立 所必，必要性成立 车一要证口m 是( g m ，) 的属性协调集，即要证l ( g ，口，拓) ! 厶( g ，m ，) 由定理22 ，只需证工( g ，b 坫) 三( 6 t ，m ，) 若上g ( g ，m ，) = n ( 口) ，vx l g ( g n ，n 存在 o 。：。r ) 口，使得 x = n r z ：但n n ：，g ( g ，? ，b ) ，即x ，一g ( g ，7 ，日) ，则由定义可知l ( g ，口，b ) s l ( g ，m ，n 所以，充分性成立 由命题2 窖我们可将定理2 日中的条件弱化得到下面的推论： 推论2 1 ( g ， ，) 是形式背菁，则 口m 是( g ，m ，) 的属性协调集甘( 日) 在塔g m ，) 中下稠密 河北蜂范太学硕士辑究生学钕论文 证明；菪( 嚣) 在珞g ，m ，) 中下稠密 = 啼g ( g ，a 磊，) n 拱嚣) 函定义2 掌教定理髫，j ) 商喀( g ，掰，) 一n 露嚣) ( 爨注记g j ) 斑踅，愈题成立。 8 0 推论2 。2 设( g ，掰，) 楚照粼彤式背景，则 嚣c 掰是( g ，辩，) 秘蕊牲协调袅哥? ，粒) 一g 惹g 姆一个覆燕。 诞嗡：装形式静鼗越正则的，那么辩于任崽的对象口g 。一定襻在属性削， 祷( 9 ，? 8 ) ? e pf ，n + ， 港龇嚣，命瑟最然成立； 菪州隹致豳定理露艿，一定存在 n ；：i r ) 姐( 口) g ，使褥m 4 = n n ；，剜 g 8 ；，辣念题或立。 连记2 2 雅论冀磐络盔了判辑岔c 埘是( g ， 固璐鹰挂协德浆始一个必冀条 件，但不是竞分条件 在稂论2 j 懿基磴上，我稍胃戮缭密满後翁篱浆判定定理： 宠懋2 。7 设( g ，甜，j ) 是形式背景，剐8 掰楚( g ，掰，7 ) 的属攘约简粟甘嚣( 嚣) 在缮g ，掰，d 中下鳓密且vd 嚣，存在x 塘( g ，a ，强使得x n ( 露 母) ， 镊鹾：虞推论2 j 及属性约篱集憩定义可知定瑗成囊。 上磷我嬲从整体出发讨论了餍蚀扔溺集的性凌，由于不瓣类型的壤性程氍念掇 约简中起的作用懋不同的，鄢么，对于m 中的属性来说，我们可“利用不变擞o + 讨论满经酌熬要程发 命题2 + 3 设( g ，嬲，j ) 是黪式觜景，v 。肼，记g 8 ) 一 9 9 肘，矿) 旷 ，下 藏命题成立： l8 为该心艨性磐且仅磐存在x 玉8 ( g + 斛；n ，使得xg n 辩( 嬲 8 ) ； 2 ，n 为术必要属性当且傲蚩对于v x g ( 0 ，a ，) ，都有x n ，( 7 n ) ) 且 9 ( 8 ) 一矿i 3 。盘为相对必要属蚀娄菇霞螽对干暇二g g 。矗，) ，都煮x n 搿掰和 ) 盟 g f n j 矿 河北师范大学硕士研究生学位论文9 证明： 由定理2 了，只需证，由核心属性的定义可得： n 为核心属性 错m 。) 不是形式背景的属性协调集 乍= h ( m n ) ) 不是l g ( g ，) 的下稠密子集( 由推论2 j ) = 辛存在x l g ( g ，m ，) ，使得xg n ( n ) ) 口 例2 2 ( 续例2j ) 如例2 的形式背景( “， ，) ，计算可知： 。+ = 1 ，2 ，4 ) ，矿= 2 ，4 ) ，c + = l ，3 ) ，扩= l ，h ( ”) 是g 一个覆盖 又l g ( g ，们，) = “1 ) ， 2 ，4 ) ， 1 ，3 ) ， 1 ，2 4 ，g ，d ) ， 令b = o 6 ，c ) ，则h ( b ) 在l g ( g ，m ，) 中下稠密由定理2 6 和命题23 可知 b 是m 的约简集，o 6 ，c 为核心属性，d 为不必要属性，无相对必要属性 在这个例子中，形式背景( g ，m ，j ) 没有相对必要属性，由命题2 3 可得到下面 的推论 推论2 3 简明形式背案没有相对必要属性 证明：设( g ，m ，) 是简明形式背景，那么v 0 m ，若。是可约属性，则。一定 是不必要属性 若否，设n 是相对必要属性，由命题2 只对于o + 三g ( g ， ，) ，有n + = n n ：，i r ， 并且o ：三o + 又( g ，m ，) 是简明形式背景，则有o ； n ，z r ，即 。： t ) g ( o ) ， 那么，n o ；9 ( n ) ，由命题2 ，的条件只g + ( n ) 。+ ，即9 ( n ) ) n + ，故n 。；) o ? r ， 这与n 8 = n n ：矛盾，即n 一定是不必要属性o 注记2 3 换句话说，在一般形式背景中，若n 是相对必要属性，则一定存在属 性6 ，使得o + = 6 + 2 2 2 基于不变量的对象约简 形式背景的约简不止包括属性约简，还应该包括对象约简，即在保持属性集不 变的前提下，寻找最小的对象集合，并在约简后，还能够完全确定形式背景上的概 念及层次结构类似于22 j 基于不变量的属性约简过程，我们可给出对象约简的 方法 设( g ，m ，) 是形式背景，定义如下算子： l ：p ( g ) + p ( p ( m ) ) ，h ：p ( f ) ，p ( p ( m ) ) ， 河北师范大学硕士研究生学位论文 即v x g ，b w l ( x ) = 矿f ：b x ) u ， ，h7 ( 口) = 矿lo b u m 1 0 命题2 4 设( g ，m ，) 是形式背景，记n l ( g ) 是l7 ( g ) 中元素所有可能的交集 构成的集合，u h ( m ) 是h ( m ) 中元素所有可能的并集构成的集合，则n l ( g ) 和 u ，( ) 均构成概念内涵集l m ( g ，m ，) 的覆盖 证明：对于任意的。+ 和o “，它们分别是对象概念( ”，z + ) 和属性概念( n + ，o “) 的内涵，l ( g ) ，日7 ( m ) l g ( g t ，m ，) ，即l ( g ) 和j v ( m ) 中的元素都是某个概念的 内涵，并且对于任意的口l m ( g ， f ，) 来说，一定有 b = u n ln 口) = n ( z + lz x ，( x ，疗) l ( g ，m ，) ) 故命题成立 与属性协调集和属性约简集类似 调集和对象约简集： 口 我们可以在形式背景( g ， ，) 上定义对象协 如果存在对象集，) g ，使得l ( d ，m ，b ) 竺l ( g ，m ，) ，则称口是( g ，m ，) 的 对象协调集 进一步，若vd d ，l ( d d ) ，m ，d d ) l ( g n ，n 则称d 是( g n ，) 的对 象约简集，类似于2 2 j 中的情况，我们可利用不变量集合l ( g ) 得到对象协调集 的判断方法： 定理2 8 设( g m ，) 是形式背景，则 x g 是( g ，) 的对象姊l 调集 = 辛l ，( g ，m ，) = n l ( x ) 推论2 4 设( g a f ，) 是形式背景，则 x 至g 是( g ，m ，) 的对象协调集仁辛l ( x ) 在“g ，m ，) 中下稠密 例2 3 ( 续例2 ) 如例2 j 的形式背景( g ，) ，计算得， 1 + = n ，c ，d ) ，2 + = 4 + = n ，味3 + = c ) ， 0 ( g ) = o ，c ，d ) ， n 6 ) ， c ) ，m ) 令x = 1 2 ，3 ) ，由定理2 8 可知，x 是( g ，m ，) 的对象协调集 上面，我们用n + 和z ”判定形式背景的属性协调集和对象协调集，对偶地，我 们可以从n “和扩的角度出发，得到下面的性质： 一 塑韭登蕉蠢堂燧圭蹩塞塞堂堡煎塞 一n 定琏2 9 後( g 、嬲，j ) 是彤式背景，删 x g 是g ，埘，d 的琦黎协谲象 = 净喀( g ，a ，f ) 一u 烈x ) 裳理2 i o 设( g 。矗，妇是彩式背景，列 剪董膨是孵a 彳，) 的属性协调巢e 峥五鲥( g ，m ，) 一u ( 酋) 。 2 3 概念格约越的牧壤 蠡姆岔当我艇分别对对象爨露藤经藤遴抒麓毒| 二瑶，爵戳褥戮下藤鹣集会； 定义2 。1 6 设( g 。，。，) 是影戒背景，可定义如下躜个袋合； 蛋= 拦l 群，埘岛) 黛o ( g 刺，) ， a 一 l 五( g ， v f ) 黧五( g 。脚，) 丽概念捺黪约篱就是在保持援惫掇的格绩拣不变的裁挺下，寻找最小瓣子鹜 聚，毙给出如下定义： 定义2 + 1 7 设( g ，a ，j ) 是形式背荣，称( ，f n 辫x ) 怒( g ，斛，) 的摊调子 背带，著对v 口，坩t 满足； 以辩，z n 影) 拱己( g 。趔，j ) 拣协鹂子背景( 岸。f n 日a f ) 是e 掰，) 妁约麓子背景，若饕疑糖满足： ( 搿， 娥 n 嚣 m ) ) 喾玉( 0 ，艏。d 。 五( 搿转 ，f n ( 秘转j ) ) 笋占( g ， g ，f ) 命颓2 。5 设( g ， ，。，) 是形式背繁，v 够，艇，子背景( 珂，a ，、培) 和 ( g 。，粕) 雒是g 、甜，) 的协调子背荣。 谖明：由定义岔，j 玩命题显然成立 注记2 + 4v 科9 ， 烈辩，f n 脬) 与( g ，掰，d 不一定鞠鹊，辑就( 簸。+ f n 符) 不一定是 褥，女j ，) 的协调子背景+ 特别地，些是( g ，如) 酌对裳捧谰巢，或舞当a 遣( 群，掰扬) 妁属挂协调 巢跨，( 蟊；_ ，n 嚣x ) 是( g ，越，) 秘游调譬鹜繁， 递! ! 墅整盎壁避堑塞生壁垡堡塞1 2 铆2 4 ( 续例露，j ) 如倒2 。j 的形式背景( g ， ，) ，计算褥： x 一 l ，2 ，3 是g ，掰，f ) 的劈象势疆集，器一 堪，5 、e 是( s ，掰，j ) 的属槛访 调集； 概念格己( x ，口，n x 口) = ( 1 ，。c ) ，( 2 ，。6 ) ( 1 3 ，c ) ，( 1 2 ，。) ，( x ，0 ) 。( 0 口) j 且 毛( x ，嚣、z n x 旦) 黧0 g 矗j ，j ) 目此，子背景( x ，8 ，n x 疗) 是( g ，m ，) 的约简子背景。 ( g ，0 ) ( x ，d ) ( 0 ，m ) 爨2 2 占( o ，村， ( 仞，b ) 蘑2 3 烈x ，嚣，n x 嚣) 定增2 1 1 设( g n ，) 是彩式背景，则子背景( h ，n 肘) 韪协调子背景 充分必要条件是( “，n h ) 是提容乎弩繁且映射 疆：五( g ，掰，f ) 一工( 尉，n 掰 眉 是单射，其中n 。( 4 ，口) = ( a n ，廖n ) + v ( a ，口) 五( g ，m ，) 证明tj 设( ，n ) 是挤调予背景，则融定义可知： 己( 强，n ) 裂已( g ，7 _ v ) 裂五( g ，m ，d ( 簧l ( ，m 妇) ) ， 霹绺在鬻掇浃射歹：五g ，掰，f ) 一哆，知) ，9 ：泠，知) 一五( 蟊：，f n 封) 使得： 一方丽，v ( x ，疗) 毛( g 、 f j ) ， 歹：( x ，露；叶x ，嚣n ) ，雪：( x ，嚣n j v ) 啊( xn 辩，嚣o ) 其中， ( x ，嚣n ) 三g ，强) ，爿n 辟，露n ) 占( 撵，n 嚣) + 鄂 v ( x ，b ) l ( g ，m ，) ，部有( x n 甄口n ) g 五( ，n ) ，则协调子背景 ( 嚣，+ f n ) 魁( a ，a f ，j ) 的捆裙予背景。 塑堑鉴整杰璺透堡塞妻堂璺燕塞i 3 弱方粼， 口蹙弼祷映辩，刚r m 一，o g 0 够、 毋一三 h ，艚j n 辩x 棚 琏弼鞫淡翁，辫越鼹黔殂m 魅攀黼。 谶甄魑j n 嚣辩照裰蒜子案紧，曩浚魁薹：l 敞n 蹩警荣，趣擦寮芋鹫最 麴定义，浚辩瓣辩翌受耩辩装曝棒黪；蘧冀绣糨，艨磷疆射嚣h 。w ：( 8 、掰，黔一 五 辟，f n 搿魁麓构姨射，鄯 j 乙( 尉、。，n 月) 麓l ( g m ，) 粥子鬻黎致斌，门嚣x ) 照协调子锗袋， 0 镰鞭童。嚣每个诤调子鹜景雒悬糟钳磁砖， 谖镧；浚尉、。，n 符购薤黟式辩潦( 0 $ g 。，) 的猕穗子鬻鬟，剩矮一嶷怒裙 察予鹜聚+ 辩予 ，m 嬲满怒a m ，壶定曜簿# 黪基锌u ：襻穗，德襻 涵* 彗，萎“g 矿+ 又蜀鸯a 啡，嚣”矿蹙灌燕( 蠡，f ) g f 辩最大蒜奁，掰班， m 5 乏矿，帮m 4 * 旷，黟式簿蘩g 。a 。f 蕊麓襞霭聚，瓣蠢m = n ，群m 踅鼹鹱 磁褥。慧巍钨毫酣、粥孽m 毽 命趟2 7 瓶攘背喾的势调予背潦也照双嚣的 落躜；淤( 强甄z n 嚣x 搭) 是双萋彩式鬻荣( 鼠辩。秘潞调予背蓉，剿其一 囊蕊糍骞予饕蒙，簧谣，敞；n 群弦燕戏鏊魏；静癸涯对予饪戆漤避g 。口磅露f 懿对黎8 g 鞠爝饿，”勰，鬣襻程辩黎a g 穗耩燃 掰使褥 # ”和矿篓& 4 黼撵蟪矗m 嬲矿驴 曾鬼，潜 站在 g ，鸦玛中琏立，粼& 在飘n 玎聊娥或霓。 褰安上，浚a 嚣、# ，嚣凑盘n 瞧f g ：掰、蛰孛蠛竞，盘下豢钟袭黎嚣邃 义，舻燕程祥孛淹罡n 窄扩静避丈篡鑫，簿幺窿f 群。z n 撵弹申，妒n 榉瞧 憝在中满避诧桩舻n 雄翡撼天然念，鄢 摊在( 眠，n 魂成立， 篡次，设 甜，h ，曩( ，磅z ，溯为( s 掰，) 怒鞭嚣的，掰戳襻程g g 满熊簦* 熊妒s 旷，翅定理致薛条姊g 霹翔，磐在如榉，使褥2 ，椎) 彰，藏 矿趟，蠢亨措赞关菇瓣定义，掰霄矿一毽，霉璐镕， 嚣一个条释霹瓣霹糯戆程鹾，溺静鬻藏室。 茎燕撵蕊大学磺壶龌究生学位论文 l 畦 定义2 ，给出了序集台上的上( 下) 稠密的概念，类似媳，称( ，n 尉) 崔( g ，嬲，f ) 中稠密是搀：7 拱= ( 扩+ ，矿) 譬搿 是在五( g ，艇，) 中上疆密的，量 乒一 ( 7 踺+ ，n “) | ，n 燕在( g ，掰，) 中下稠密。 窳淫2 。1 2 设( 嚣，z n 努) 是形式鸳荣( 0 。 f ，) 毽子背荣，嬲下交簿条傍 等价： z - ( ，n ) 在( g ，m ，) 中稠密， 粤( 露，n v ) 是协调子背繁， 3 + v ( x 口) ( g ，) ， 溶n 嚣) “= x ，且f 器n ) ”= 彗 谥明：耸3 j 垮3 若( ，n 爿) 在( g ，) 中稠密，则7 爿在( g ，a ? ，) 中上稠密， 邸么对予经意静对象p g ，存在鼻垦搿，使褥了9 = v 。 了r ，弹矿一囊+ ，敌g _ ” 因此，对于每个概念( x 廖) ( g 吖，强嚣x 一9 ”，9 爿： 一方嚣有x + 一贫，鲻a x n 舅，鼯+ 滞n 盖，又因隽x x ”= 麓”，酝 以x f xn 日) “成立 另方面，xn 曼x = ( xn ) “gx ，即( xn ) ”一x 黠鳃可谖( 露n 尸= 8 亭净j v ( x ，口) ( g 掰，) ，若( xn 拶r = x ，( bn 柳“一嚣，则( x8 ) = ( ( x n 嚣) “，( b n ) ”) ，鼯 ( x ，口) = v ( 尊，9 + ) 9 x n 盯) ( ( m + ，m 柑) i 仃z 嚣n 点定义g 3 可知，7 日是农三( g ，埘，中上稠密的，且弘是栏五( m ，) 中下稠 密，帮( 拜，f n 封) 程( g ，a f ，j 中稠密 2 夤尊3 由定义磐只( 尉，zn 矗) 是蜘调子背景 对存在嗣擒浚瓣，：三( g 。掰，f ) 一联g 。，珞) ，# ：玉( g ，氟) 一( 甄，z & ，1 姆存在映射厂( a ，b ) 篇( a ，b n ) ，9 ( 4 ，水n ) = ( 以n 、廖n ) 锚( x o 好) 抖= x 鼓( 露n ) = 启登 河北师范大学硕士研究生学位论文 3 1预备知识 定义3 1f 1 5 i 令 3o 一概念格 妒：尸一0 ，和妒：q p 是序集合( p ) ，( q ，墨) 的映射，称这组映射是g n z d i s 联络，若满足 r j ，p l p 2 = 妒p 1 妒p 2 j f 纠q 1 q 2 = 节q l 妒啦i s ) p 曼如节。p 豇q | 妒咄q 并称两个映射互为对偶伴随映射 定义3 2p 剐设映射对( 妒，砂) 是序集合( 只曼p ) 和( q 茎o ) 之间的g 口f o i s 联络 其中妒：p + q ，t 1 ：q + 尸，令 1 5 g = ( p ，q ) lp p 口q p = 曲q q = 妒p ) 并定义g 上关系“s ”：( p l ，q 1 ) ( p 2 ，q 2 ) ，则( g ，) 是一个格，称为g o f o i s 格，亦 可记为g ( p 妒，印妒) 每个g a l o i s 联络( f 妒) 都具有如下性质： 命题3 1 爿映射对( 妒) 是g n 捌s 联络的充要条件为：“助曼曲口甘口s 卯 证明：争设映射对( 妒、妒) 是g a l o i s 联络，若p 咖，由定义，的条件r ， 妒p 妒咖，再由条件r 圳，有q 妒，即条件“j 的必要性成立，其充分性可对称得 到 仁跏p ，有p 仰，由条件似，可得p 砂妒p 即条件俐成立所以，由 p 1sp 2 可得p ls 小僻，2 ，再由条件俐，则条件r j ，妒p l p 2 成立条件r 纠可对称 得到，则映射对( 妒，吐) 是g a l o i s 联络 命题3 2 珂对于每个g 缸f 。i s 联络( 妒，妒) ，满足 妒= 妒吐r 妒和砂= 妒妒， 特别地，在形式背景( g ，m ，) 中，映射对( + ，+ ) 具有性质： 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 6 命题3 3 设( g ，m ，) 是形式背景，对象集a ，月l ，月2eg 和属性集口，b l ，口2 m 具有如下性质： r j ， l a 2 专一；a ：，一，b l b 2 = 争毋互口：j 2 ) a 灯，( 2 f ) b b ”： t 3 ) a 4 = a ( 3 。3b = b ： “，a 口+ 甘b 爿甘a 口 3 2o 一概念格的定义 设( g ， ，) 是形式背景，则由命题，和命题l ，可知，映射对( * + ) 是( p ( g ) ) 和( p ( m ) ，) 之间的g a l o i s 联络，因此( g ，) 是一个g a l o i s 格 特别地，概念格三( g ，m ，) 亦可由g a l 。j s 格l ( p ( g ) ，s ，l m ( g ，眠n + ) 和 l ( l g ( g ，m ，) ，+ ，p ( 肘) + ) 表示 设( g ，m ，j ) 是形式背景，0 是对象集，r 是g 上的等价关系，由近似空间 ( g r ) 产生的等价类为 g r = k 】r i 乳g ， 其中陬】r = l ( ，) 砩，并且等价类g r 构成对象集g 上的一个划分我们记 这种具有了对象集上的等价关系的形式背景为：( g ，m ，；r ) ，其概念格可用g a l 0 l s 格l ( p ( g ) ，* ，l ”( g ，m ，；月) ，+ ) 来表示 由* 运算的定义可知，l ( g ) = + ig g ) 是对象集g 覆盖，但不一定足划 分，所以觇g ，h r 与z “不一定相同，下面的定义就明确了它们包含元素的差 别 定义3 3 陋一满足j 设( g ，m ，； ) 是形式背詈，令a 【o 1 】，h r g r ，丁 三 f ( g m ，只) ，那么称 【w 尺n满足丁当且仅当i 丁+ n 陋】r i l 陆】兄i q 注记3 1 月n 一满足z + 当且仅当1 z ”n r l 1 【z 口，当。+ 2f 嚣 凡时，a = 1 j 例当m r k ”0 时，o c l 1 定义3 4 陋一元素关系j 设( g ，m ；r ) 是形式背景，那么v z g ，丁l ( g t ， ，；月) 称。是。丁的当且仅当o 7 “，且吲r 口一满足r