（基础数学专业论文）极小极大不等式、截口定理及其对变分不等式的应用.pdf

摘要 1 9 2 8 年v o n n e u m a n n 证明了第一个极小极大定理，至今关于极小极大理论 的研究已经取得了丰硕的成果。极小极大不等式是极小极大定理的另一种形式。 在1 9 2 9 年波兰躺三位数学家k 滟s t e r ，x 魁r a t s k i 秘m a z u 呶i e w c z 提出并诞 明了一个关于单形的重要的定理，以盾人们称之为k k m 定理。k yf a i l 于1 9 6 1 年将 文麓定懋雅广为笼穷壤，称之麓辩鹾粤| 理； 毋f a 珏并予1 9 7 2 年零l 溺 f k k m 引理证明了第一个极小极大不等式。后米人们相继对k yf a n 极小极大不 等式遴行了很多推广，并将荚成用于交分不等式、偏微分方程、不动点定理、佼 势论、截口问蹶、相补问题等诸多领域。和极小极大定理一样，极小极大不等式 一般也是涉及三个假设条件：集合的空间结构。函数的连续性和函数的凹凸德。 题不同麴是极小极大不等式豹条馋要比极小极大定理的条件更弱。 本文利用凸空间以及紧明集的燃质把k yf a n 极小极大不等式推广为 k ”s d o 矿拓扑向量空间和拓扑空间的乘积空间上两个函数的极小极大不等式， 并由就得到一个砌辫踟，矿拓扑囱量空闻稻旅扑空间豹乘积空闯上一个函数瓣 极小极大不等式。进一步褥到一个薪的截口定瑷，并证明了所褥到的掰的截口定 理是我们得到的新的极小极大不等式的等价形式，是厩者的几何形式。最后将得 到瓣极小强大不等式赢爱予变分不等式之孛，涯暖了耀类变分不等式簿豹存在 性。本文分为四章。第一章介缁极小极大理论的进展以及本文的背景；第二章给 出并谣唆了一个定义森嚣个空瞎的乘积空闻上戆关予嚣个丞数静极小援大不等 式，并在此基础上得到个定义在两个宅间的乘积空间上的关于一个函数的极小 极大不等式的维论；第三章给蹒了一个截口定毽，并逶一步阐述了诧截口定瑗与 第二章中的极小极大不等式的等价关系。第四意绘出第二章中的极小极大不等式 在变分不等式中的应用，证明了两种形式的变分不等式解的存在性。 关键词拓扑空弼；掇矜向量警闯；极小裰大举等式；截日定瑾：凸空间：交分 不等式 一卜_ a b s 廿a c t a b s t r a c t s i n c ev b nn e u m a n n p r o v e d t h ef l r s tm i n i m a ) 【t l e o r e mi n1 9 2 8 ，r i c hp m d u c t i o n s a b o u tm i n i m a ) ( t h e o r yh a v eb e e no b t a i n e d m i n l m a ) ( i n e q u a l i t yi sa i l o t h e rf o m lo f m i n i m a x i n19 2 9 ，t h e em a t l l e m a t i c i a n so fp o l a i l dg a v ea n dp r o v e da ni m p o t e n t t h e o r e ma b o u ts i m p l e x ，w h i c hw a sc a l l e dk l ：mt h e o r e mu s u a l l y k - yf a ng e n e r a l i z e d k k mt h e o r e ma si n f i n i t ed i m e n s i o ni n1 9 6 l ，w h i c h 、v a sc a l l e df k k ml e m m a ； b e s i d e s ，k y f a i lp r o v e dt h ef i r s tm i n i m a ) 【i n e q u a l 时b yu s eo f h i so w n 1 e m m ai n1 9 7 2 f r o m 出e no n ，v 盯i o u sg e n e r a l i z a t i o n so fm i 工1 j m a xi n e q u a 上i t i e sh a v eb e e no b t a i n e d m o r e o v e r i th 弱b e e na p p l i e dt ov a r i a t i o n a l 妇q u a l 咄p a n i a ld i 毹r e n t i a le q u a t i o n ， f i x e d p o i n tt h e o r e m ，p o t e m i a l 也e o r y ，s e c t i o np r o b l e m ，c o m p l e m e m 撕t yp r o b l e m ，e t c l i k em i n i m a xt 1 1 e o r e m ，m i n i n l a xi n e q u a l i t yg e n e r a l l yi n v 0 1 v e st l l r e ea s s u m p t i o n s ： s p a c es t m c t u r e ，t h ec o n t i n u i t ya n dc o n c a v i t yo f f u l l c t i o n s t h ed i a e r e m i ai st h a tt h e a s s u r n p t i o n so f m i n j m a ) ( i n e q u a l i 可a r e w e a k e r 山a nt l l a to f m m i m a ) ( m e o r e m i n 也i sm e s i s ，i n 也ea s s i s to fc o n v e xs p a c ea i l dc o m p a c t a b l ec l o s es e t ，w e g e n e r a l i z e dk y f a n m i n i m a ) ( i n c q u a l i t y t oam i n i m a ) 【i n e q l l a l i t ya b o u tt w of u n c t i o n s i nac r o s ss p a c eo fa 胁淞咖，铲t o p o l o g i c a ll i n e a rs p a c ea 1 1 dat o p o l o g i c a is p a c e ，a l l d w ea l s og o tam i i l i m a ) ( i n e q i l a l i t ya b o u to n ef t l n c t i o nw 岫m e s a m e 岫d c r l i n es p a c ea s t h ei n e q u a l i t yw eh a v eg o tp f e v i o l l s l y u l t e r i o r l y ，w eg o tan e ws e c t i o nt h e o r e m ，趾l d d r o v e dt h a t 出en e ws e c t i o nt h e o r e m 、e1 1 a v eg o ti s t l l ee q u i v a l e n t o f 吐l en e w m i n i m a ) ( i n e q u a l 埘w cl l a v eg o t ，w h a t sm o r em e f o m e ri s 也cg e o m 咖c a lf o mo f 她l 砒e la tl 嘁w ep u t 龇m i n i m a ) ( i n e q l 】a l i t yw eh a v eg o ti 1 1 t o m eu s eo f v 撕a t i o n a l i n e q u a l i 吼a n dp r o v e dt h ee x i s t c n c eo fk e y so f t w ok i n d so fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s t h i s 也e s i si sc o m p o s e d o ff o u rc h 印t e r s i i lc h a p t e ro n e ，w ei n 仃o d u c e d t h ed e v e l o p m e n to f i i l i i l i 】m a ) 【t h e o r ) r 缸dt h eb a c k 伊a 腑do f t h i s 舐i c l e i nc h a p t e rt w o ， w eg o ta n dp r o v e dam i i l i m a ) 【i n e q u a l 姆a b o u tt 、v of i l n c t i o i l si nt w os p a c e s a n do n 也i sb a s i sw ea l s og o tad e d u c t i o na b o u to n cf i l n c t i o ni i lt 、0s p a c e s i nc h a p t e rn l r e e ， w eg a v eas e c t i o nt l l e o r e m ，a 1 1 da l s os e tf b r n l 血ee q u i v a l e mr e l a t i o nb e m e e n i ta i l d m ei n e q u a l i t yi nc h a p t e rt w o i i lc h 印t e rf o u w e g a v et k 印p l i c a t i o n t ov 撕a f i o n a l 叫t 一 i n e q u a l i t yo f t h ei n e q u a l i t yi nc h a p t e rt w o ，a n d p r o v e dm e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa b o u t t w of o r m so f v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s k e y w o r d s ： t o p o l o g i c a ls p a c e ；t o p o l o g i c a l l i n e a rs p a c e ；m i n i m a xi n e q u a l i t y ；s e c t i o n t h e o r e m ；c o n v e xs p a c e ；v a r i a t i o n a n e q u a i i t y 第l 章绪论 1 1 概念与符号 记 第1 章绪论 设两个非空集合和】，：x y 斗r 。假设爿互x ，b ，且口，6 ，c ，r r 。 y ( 4 ，厂，) ：= n ，。月 y ，：厂( x ，j ，) r ) ( b ，) ：= n ，。口 x x ：厂( x ，y ) r ) 口v 6 ：= 棚( w ( 口，6 ) ；口 6 ：= ，j f 以( d ，6 ) 。 y 是线性空间的凸子集，函数，在y 上是拟凸的是指对于任意 ，( o ，i ) 和任意“，y 2 ，存毛印3 y ，使得厂( x ，儿) 矿( x ，m ) + ( 1 一r ) ，( x ，y 2 ) 对于所 有x 成立；函数在】，上是f - 拟凸的是指存在某个f ( o ，1 ) 使得对任意 y i ，y 2 y ，存在y 3 y 使得，( x ，乃) 矿( x ，y 1 ) + ( 1 一f ) 厂( x ，y 2 ) 对于所有x x 成立 函数厂在y 上是f 一凸的是指存在某个f ( 0 ，1 ) 使得对任意m ，虬e 】，存在儿y 使 得厂( x ，儿) ，【厂( x ，m ) v 厂( x ，_ y ：) 】+ ( 1 一r ) ，( x ，乃) ，( x ，儿) 】对于所有x z 成立。 函数在】，上是向上的是指v s 0 ，j 占 o ，使得对跏l ，y 2 ，妙3 y ，有 i v x x ，厂( x ，儿) ，( x ，m ) v ，( x ，y 2 ) 厂( x ，y 1 ) 一厂( x ，北) l 占= ，( 工，儿) 厂( x ，y 1 ) v ，( x ，儿) 一巧 函数在y 上是弱向上的是指砂，_ y ：y ，现】，使得 i v x x ，( x ，y 3 ) 厂( x ，y 1 ) v ，( x ，y 2 ) 【，( x ，m ) ，( x ，儿) j 厂( 工，乃) ，) 或者连通或者为 空集。 那么厂= 工。 后来，t u y 刚2 ”，g e r a g h t y l i n 【2 3 】都做出了推广。在此以后s t a c h 6 【2 4 】，c h e n g l i n ，k j n i g 【2 6 l 【2 ”，r i c c e r i 【2 8 1 等在这一领域都作出了很重要的结 果。 数量拓扑极小极大定理是指定理中不涉及x 和y 的线性结构，而由某些数 量条件和拓扑条件表述函数的凸性的极小极大定理。第一个数量拓扑极小极大定 理是由t e r k e l s e n 于1 9 7 2 年给出： 定理1 2 4 ( t e r k e l s e n ， 2 9 ) 设z 为一集合，y 为紧拓扑空间。设，：y j r 在j ，上下半连续。如果 ( 1 3 ) 在x 上是三一凹的； ( 1 4 ) 对于x 的任意有限子集和任意，r ，】，( 4 ，r ) 是】，中的连通子集 或者为空集。 那么厂= ，。 后来，g e r g h t y l i n f 3 0 】，s i m o n s 都作出了推广。1 9 9 6 年c h e n g l i n y u 给出了另一种形式的数量拓扑极小极大定理。k i n d l e r f ”和c h e n g l i n p 2 1 也作了 大量工作。 两个函数的极小极大定理包含两个函数，和g 。第一个两个函数的极小极 大定理由f a n 于1 9 6 4 年给出： 定理1 2 5 ( f a n ， 3 3 】)设x 和y 是拓扑线性空间的紧凸子集，设 厂，g ：z y r 满足厂g 。，在】，上下半连续，g 在z 上上半连续。如果 一4 一 第l 章绪论 ( l 5 ) ，在z 上是伪凹的： ( 1 6 ) g 在，上是伪凸的。 那么厂蜃。 1 9 7 8 年，l i u 3 4 1 给出了推广。1 9 8 1 年，s i m o n s 1 给出了另一种两个函数的 极小极大定理： 定理1 2 6 ( s i m o n s ， 3 5 )设z 为一集合，y 是一紧拓扑空间。设 ，g ：x ，_ 豫满足，g 且厂在 ，上下半连续。如果 ( 1 7 ) 厂在y 上圭一拟凸； ( 1 8 ) g 在x 上是圭一拟凹的。 那么厂g 。 1 9 9 6 年，c h e n g l i n 给出了这一定理的推广。1 9 9 1 年，l i n q u a n 给 出了第三种两个函数的极小极大定理： 定理1 2 7 ( l i n q u a n ， 3 7 )设x 是一集合，y 是紧拓扑空间。设 厂，g ：爿y 豫且，和g 在y 上下半连续。如果厂g 在z x ，上成立，且满足以 下两个条件： ( 1 9 ) 存在某个j ( o ，1 ) 使得对于任意五，而x ，玛z 使得对于， 厂( 墨，y ) 5 厂( _ ，y ) v g ( 屯，y ) 】+ ( 1 一s ) 。，( 五，y ) g ( 屯，y ) 】成立： ( 1 1 0 ) 存在某个，( 0 ，1 ) 使得对于任意m ，儿】，现j r 使得对于v x x ， g ( 工，y 3 ) ， 厂( x ，y 1 ) v g ( x ，儿) 】+ ( 1 一r ) 【厂( x ，m ) g ( x ，_ y 2 ) 】成立。 那么厂毋。 f o r 9 6 - j 0 6 对此定理进行了推广。 尽管最初产生极小极大定理的想法来自二人的零和对策，但是这一理论除 了作为对策论中寻找合理的策略的方法的依据外，还使数学学科得到了相当普遍 的收益。近十年来，极小极大定理的研究活动非常活跃而且成果颇丰。这一定理 不仅成为博弈论的基本定理而且成为非线性分析的重要内容和研究对象。随着极 小极大定理的发展，这一原理已有广泛的应用。例如它已应用于博弈论，数量经 济学，最优化理论，变分不等式，微分方程，不动点定理，位势论，截口问题等 诸多领域。 1 2 2 极小极大不等式 对于平面上一块三角形，分别以其顶点，_ ，屯为中心作三个圆面 心，m 。，鸩，使得三角形的边_ 亡m u 呜( f ，= o ，1 ，2 ，f 口，这与翟玳删= 口穿擘。 由g 厂知对任意的x x ，有f ( x ) c g ( x ) ，所以 妒( c o v 扛l ，x 2 ， ，_ ) ) c u g g ，) 。 又由条件( 2 3 ) 知g ( ) 是王，中的紧子集，于是由定理1 2 1 0 4 2 得知 n g g ) o 。 j e x 所以砜n g o ) ，很显然e 足，即存在k n y 使得g ( x ，蜘) 口对 t e 妇爿都成立。特别可得： 定理证明完毕。 i r l f 驯p g g ，y ) ss u p ，( x ，妒g ”。 ，e l 睫xt e x 推论2 2 2 设e 是胁w 踟，拓扑向量空间，z c e 是非空凸子集，f 是拓扑 空间，ycf 是非空子集，仍z 斗y 是连续映像，：x y _ r ，记 s u p 厂g ，妒( ，) ) = 口，如果： ( 2 4 ) v x z ，厂( x ，) 在l ，上下半连续； ( 2 5 ) 砂】，( ，_ y ) 在x 上准凹； ( 2 6 ) 至少有一点x ，使得k = y ：厂g 。，y ) 口j 是l ，中的紧子集。 则存在儿k n ，使得，g ，y 。) s 口对v x e x 成立。 特别： i i 崞s u p ，g ，y ) s u p g ，p o ) ) 。 y t r l e x z t x 2 3 本章小结 在本章中，我们借助定理1 2 1 0 【4 2 1 证明了定理2 2 1 。定理2 2 1 是一个 定义在一个胁“5 如，移拓扑向量空间与一个拓扑空间的乘积空间上的两个函数 的极小极大不等式，是定理1 2 1 l 4 “、定理1 _ 3 1 1 4 “和定理1 3 2 【4 7 1 的直接推广： 易知当e = f ，k = x = y 为紧凸子集，= g ，妒为恒同映射时，定理2 2l 就可得到定理1 2 1 lh “。 当e = f 是胁础如r 拓扑向量空间，岸= z = y 是紧凸子集，p 为恒同映 射时，定理2 2 1 就可得到定理1 3 1 h 6 1 中的极小极大不等式。 当，为局部凸胁淞如够拓扑向量空间时，定理2 2 1 就是定理1 3 2 【4 7 1 。 在第一节我们介绍本章的预备知识，回顾了本章要用到的几个概念。第二 节我们给出并证明了定理2 2 1 。 3 1 定理及其证明 第3 章截口定理 本节中我们给出一个截口定理，并加以证明。 定理3 1 1 设e 是胁埘幽，扩拓扑向量空间，f 是拓扑空间，x 匕e 是非空凸子 集，y f 为非空子集，妒：x 。y 为连续映像，b c 4 亡z y 满足以下条件 ( 3 1 ) 对坛z ，集合抄】，：( z ，y ) 爿) 为闭集； ( 3 2 ) 对砂y ，集合b x ：g ，y ) b ) 为凸集或空集； ( 3 3 ) 帆x ，都有( x ，伊( x ) ) 占； ( 3 4 ) 至少有一点x ，使得k = y y ：( ，y ) 彳 为y 中的紧集。 则存在儿足n ，使得 x 虬 c 一。 证明：令 g ，j ，) 一 g ，y ) 茌彳 g ，y ) b g ，_ y ) 萑b 因为b c 一，所以函数g s ，。由条件( 3 3 ) 可知：对帆x 都有 厂g ，妒g ) ) = o ，故 口= s 印厂g ，妒g ) ) = o 。 j e 对任意z z 及实数r ，集合y ：g g ，j ，) ，) 或为空集( 当r o ) ，或为j ， ( 当，1 ) ，或为秒y ：g ，y ) 一 ( 当o ， ， 或为空集( 当r 1 ) ，或为 ( 当r ( ，y ) 对 任意y y k ，则存在k n l ，使得 s u p ( v ，一妒( ) ) ( x ，乩) ，对任意石x 成立。 x e 月oc 】 4 2 定理与证明 定理4 2 1 设e 是一胁埘如，拓扑向量空间，x 是e 的非空凸子集，f 是一 拓扑向量空间，y 是，的非空子集，妒：j 哼y 是线性映射，爿：y 一2 为单调 映射， ：x ，斗r 满足： ( z ，) 在y 上上半连续，_ b ( ，y ) 在上为凸函数，且 g ，伊g ) ) = o 对帆成立。若至少存在一点，使得集合 足= 涉y ：( v ，y 一妒( ) ) ( 粕，y ) 对所有的v 彳9 ( ) 为y 中的紧子集，则：存 在儿足n y 使得s u p ( v ，儿一妒( x ) ) ( x ，蜘) 对所有的x z 都成立。 证明： 因为p 为线性映射，所以伊连续。因为彳单调，所以对砂。，儿y 及 “砂l ，v 砂2 ，则有 0 一v ，m y 2 ) o ，于是： 鞣( 圳t 喝) 溉( v ，h 一儿) 。令 g ( x ，j ，) = s u p ，( f = 1 ，2 ) ，则对v “缈有 ( “，y 一妒( x ，) ) 一矗( x 。，y ) 厂( f = l ，2 ) 于是对v 强，钙o ，嘎+ 锡= l 及任绘“砂有： 掰，y 一妒( g x l + d 2 t ) ) 一毅：穗l 五+ 撑2 b ，y ) “，g 【芦一妒( 薯) 】+ 龟【岁一妒( ) 】) 一矗( 搿；蔓+ 辑毪，y ) 因鸯对任意静y y ，矗( ，y ) 程z 主戈凸函数，辑潋 ( n ，嘶f y 一妒( ) 】+ 【y 一伊( 黾) 】) 一矗( 嚷葺+ b 屯，y ) ( “，搿、( y 一妒( 一) 】+ 嘞( y 一伊( 也) 】) 一q 南( t ，y ) 一_ ；| ( 毛，y ) = q y 一妒( 葺) ) 一 ( 薯，y ) 十 ( w 一妒) ) 一向，y ) 由戏可得到 q ( “，y 一妒( 一) ) 一矗( 鼍，_ y ) + 吼 ( 1 f ，y 一妒( 屯) ) 一向( 也，y ) r + ，= r ( 蛩 ( 甜，y 一妒( 工i 十嘞屯) ) 一 l 十口2 而，y ) r 因此对任意，ot + 群2 = l 都有，( 一+ 口2 x 2 ，y ) ，即对砂y ，( ，y ) 在舅上准鞘，所戳条件( 2 2 ) 成就。 因为至少存在一点x 。ex ，使得集会 k = 侈，：( v ，j ，一妒( ) ) a ( ，y ) 对所有的v 爿妒( ) ) = y 幽，。溉，( v y 叫) 驯y ，) = y 幽，溉，( v ，y 刊柚) 叫胚o = 抄】，：g ( ，y ) 口) 为y 中的紧子集，由此条件( 2 3 ) 成立。 因此由定理2 2 1 可以得到：存在k n ，使得g ( x ，y o ) 岱= o 对v x x 成立，即s u p ( v ，虬一妒( x ) ) s ( x ，y 。) 对任意x x 成立。定理得证。 v e p ( j ) 定理4 2 2 设e 是一胁螂如，拓扑向量空间，x ce 是非空凸子集，f 是一拓 扑向量空间，y c f 是非空子集，妒：x _ y 是线性映射，设丁：y 斗f 为连续 映射， ：x x y 专r 满足： ( x ，) 在王，上上半连续， ( ，_ y ) 在x 上为凸函数，且 ( x ，妒b ) ) = o 对v x x 成立。若至少存在一点x ，使得集合 k = t y y ：( 砂，y 一妒( 粕) ) ( ，y ) ) 为y 中的紧子集，则：砂。k n r 使得 ( 砂o ，y o 一妒( x ) ) s ( 石，y o ) 对垤爿都成立。 证明： 取，( x ，y ) = g ( x ，_ y ) = ( 巧，y 一妒( x ) ) 一 ( x ，y ) ，( x ，y ) r x ，a 易知 ，( x ，y ) g ( x ，y ) 且s u p 厂( x ，缈( x ) ) = 口= o 。因为丁是连续映射，且 ( x ，) 在y 上上 f e f 半连续，所以g ( x ，) 关于_ y 在y 上下半连续，条件( 2 1 ) 满足。因为妒为线性映 射，所以p 连续。 对v r r 及v y l ，若x 1 ，x 2 x ，使得厂( x 。，) ，) ，( f = l ，2 ) ，即 ( 砂，y 一妒( x 。) ) 一 ( ，y ) ，( f = 1 ，2 ) 于是对v ，口2 o ，口l + 口2 = 1 有 厂( 口l 一十口2 - ，y ) = ( 巧，j ，一妒( q 工l + 口2 而) ) 一 ( 口l _ + 口2 毛，y ) = ( 砂，口。 y p ( _ ) 】+ 陟一妒( t ) 】) 一矗 一+ 而) 因为对】， ( ，力在x 上为凸函数，所以 ( 砂，d 。 y 一妒( _ ) 】+ 嘞 y 一伊( z ：) ) 一 ( q 五十口：而) 口。( 砂，y 一矽( 葺) ) + 口：( 砂，y 一妒( 而) ) 一口。 ( 五，y ) 一口z ( 也，y ) = q ( 砂，y 一妒( 五) ) 一 ( 一，y ) + 口： ( 砂，y 一妒( t ) ) 一 ( 恐，y ) = 口i 厂( x l ，y ) + a 2 ，( x 2 ，y ) 由式可得到： 口l 厂( 五，y ) + c r 2 厂( 而，) ，) q r + 口2 r = ， 由式联立可得到厂( 口。工。+ 口：x ：，y ) ，即对劬y ，厂( ，j ，) 在x 上准 凹，所以条件( 2 2 ) 成立。 因为至少存在一点z ，使得集合 k = p 】，：( 砂，y 一妒( x 。) ) ( x 。，) ，) = 抄e y ：( 砂，y 一妒( 工。) ) 一 ( x 。，y ) o y j ，：g ( ，_ y ) o ) 为y 中的紧子集，由此条件( 2 3 ) 成立。 故由定理2 2 1 可以得到：砂o k n y 使得对v x x 都有g ( z ，儿) o ，即 ( 砂。，一妒( x ) ) h ( x ，y 。) 。定理证明完毕。 4 3 本章小结 本章利用定理2 2 1 讨论了基本空间一个是胁淞咖，拓扑向量空间一个 是拓扑向量空间，非线性项 为二元函数的情形下的两种形式的变分不等式。即 e 是胁“s 如够拓扑向量空间，x c e 是非空凸子集，f 是一拓扑向量空间， j ，亡f 是非空子集， ：x y 斗r 。当爿为多值单调映射时，我们得到了第一个 变分不等式解的存在性( 即定理4 2 1 ) ：当，为连续的单值映射时，我们得到 了第二个变分不等式解的存在性( 即定理4 2 2 ) 。 定理4 2 1 是定理4 1 1h 6 1 的推广 当e = f 为自反的b 口 口幽空间，x = y 是e 的有界闭凸集。 a ( x ，y ) = 啊( x ) 一 ( y ) ，其中啊：x _ r 为下半连续凸函数时定理4 2 1 就可以得 到定理4 1 1 【4 6 】。 本章分为三节。第一节我们介绍了本章中用到的一个重要概念以及与本章 相关的几个结论；第二节给出并证明了两个定理。第三节介绍本章所作的工作及 其意义。 总结 1 9 7 2 年，f a n 给出并证明了第一个极小极大不等式。自此以后人们不断地 进行推广和改进，得出各种极小极大不等式，并将其应用于变分不等式及不动点 定理的研究中。 本文利用凸空间以及紧闭集的性质把k yf a n 极小极大不等式推广为 胁淞幽，万拓扑向量空间和拓扑空间的乘积空间上关于两个函数的极小极大不 等式，并由此得到一个胁淞如，扩拓扑向量空间和拓扑空间的乘积空间上关于一 个函数的极小极大不等式。进一步得到一个新的截口定理，是对以前的一些截口 定理的推广。通过严密的证明证实所得到的新的截口定理是我们得到的新的极小 极大不等式的等价形式，是后者的几何形式。并讨论了一些以前的极小极大不等 式和截口定理是本文结果的特例。最后将得到的极小极大不等式应用于变分不等 式之中，证明了两类变分不等式解的存在性。 由于作者知识水平和时间有限，所以还有很多问题未能继续解决。例如， 我们在对极小极大定理的应用中，只将其应用于文中提到的两类变分不等式中， 还可以进一步将其应用于更多的变分不等式中，得到更好的结果；在极小极大不 等式的证明中，我们还可以将定理中函数g 关于第二个变量的下半连续的条件减 弱，这样就可以得到新的极小极大不等式，相应的会有一系列结果都会得到推广： 将极小极大不等式应用于不动点定理以及讨论不动点定理和相应的极小极大不 等式之间的关系也是有趣的问题，而不动点定理的作用会更广泛。这些将是我今 后继续考虑的问题，如果可能，我将会将极小极大理论的研究和其他的数学问题 相结合，将研究的范围拓宽。 参考文献 l j v o nn e u m a n n t h e o r i ed e r g e s e l l s c h a f t s p i e l e m a t h a n n 1 9 2 8 ，( 1 0 0 ) 2 9 5 3 2 0 2 j ， v o nn e u m a n n u b e r e i n6 k o n o m i s c h e s g l e i c h u n g s s y s t e mu n de i n e v e r a l l g e m e i n e r u n g d e sb r o u w e r s c h e n f i x p u n k t s a t z e s e r g e b n m a t h k o l l o q w e i n 1 9 3 7 ，( 8 ) ：7 3 8 3 3 j v il l e s u rl at h 电o r i e9 6 n 6 r a l ed e sj e u xo 由i n t e r v i e n n e n tp h a b i l i t 一 6d e s j o u e u r s t r a i t6d uc a l c u ld e sp r o b a b i l i t i 岳se td es e s a p p l i c a t i o n s 1 9 3 8 ，( 2 ) ：1 0 5 儿3 4a w a l d g e n e r a li z a t i o no fat h e o r e mo fv o nn e u m a n nc o n c e r n i n gz e r o s u mt w op e r s o ng a m e s a n n m a t h 1 9 4 5 ，( 4 6 ) ： 2 81 2 8 6 5 k yf a n f i x e d p o i n ta n dm i n i m a xt h e o r e m si nl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a l l i n e a rs p a c e s p r o c n a t a c a d s c i u s a 1 9 5 2 ，( 3 8 ) ：1 2 l 1 2 6 6h n i k a i d 6 o nv o nn e u m a n n sm i n i m a xt h e o r e m p a c j m a t h 1 9 5 4 ，( 4 ) ： 6 5 7 2 7m s i o n o ng e n e r a lm i n i m a xt h e o r e m s p a c j m a t h 1 9 5 8 ，( 8 ) ：1 7 1 1 7 6 8 k yf a n m i n i m a xt h e o r e m s p r o c n a t a c a d u s a 1 9 5 3 ，( 3 9 ) ：4 2 4 7 9h k 6 n i g o b e rd a sv o nn e u m a n ns c h em i n i m a xt h e o r m a r c h m a t h 1 9 6 8 ， ( 1 9 ) ：4 8 2 4 8 7 1 0s s i m o n s c r i t 色r e sd ef a i b l ec o m p a c i t 6e nt e r m sd ut h 6 0 r 色m ed em i n i m a x s e m i n a i r ec h o q u e t 1 9 7 1 ，( 2 3 ) ：8p a g e s l1m n e u m a n n b e m e r k u n g e nz u mv o nn e u m a n ns c h e nm i n i m a xt h e o r e m a r c h m a t h 1 9 7 7 ( 2 9 ) ：9 5 1 0 5 1 2m a g e r a g h t ya n db 一l l i n m i n i m a xt h e o r e m sw i t h o u t1 i n e a rs t r u c t u r e l i n e a ra n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a 1 9 8 5 ，( 1 7 ) ：1 7 1 1 8 0 1 3h k 6 n i ga n dm n e u m a n n m a t h e m a t i s c h ew i r t s c h a f t s t h e o r e m i te i n e r e i n f u h r i n gi nd i ek o n v e x ea n a l y s i s f a t h e m a t i c a ls y s t e i l l si ne c o 九o m i c s 一25 1 0 0 。蠡，珏a n 。1 9 8 6 1 4b 一l l i na n dx 一c q u a n as y m m e t r i cm i n i m a xt h e o r e mw i t h o u tl i n e a r s t r u c t u r e a r c h 疆a t h 。1 9 8 ，( 5 2 ) ：3 6 7 3 7 0 1 5s s i m o n s a nu p w a r d d o w n w a r dm i n i m a xt h e o r e m a r c h m a t h 1 9 9 0 ， ( 5 5 ) ： 2 7 5 2 7 9 1 6a d o m o k o s am i n i m a xt h e o r e m a n n 8 l e su n i v s c i b u d a p e s t 1 9 9 4 ，( 3 7 ) ： 1 5 7 1 6 3 1 7e 。一z c h e n g ， 转。一l 。l i na n df s 。y