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自适应进给速度参数曲线插补算法研究 摘要 在现代高速、高精度曲线加工中，需要较小的轮廓误差和较低的进给速度 波动，而为了实现这个目的，较多地采用了参数曲线插补。虽然参数插补具有 实时等优点，但是在求参数空间时，大部分参数插补算法都是采用泰勒级数展 开公式，这样就带来了进给速度波动比较大的缺点。这样，随着计算机性能的 提高，寻求一种新的参数求法就显得很有必要性。 为了减少进给速度波动，提高零件加工表面质量，本文基于传统的参数求 法，应用数值分析方法提出一种新的参数计算方法。这种参数求法不仅可以使 曲线的弓高误差小于设定值，而且进给速度波动更小。同时，为了降低由于收 敛速度较慢造成的对加工精度的影响，本文提出虚拟插补区间这个新的概念。 通过模拟仿真，可以看出采用这种插补算法不仅对于较低次数的三次曲线具有 较高的插补精度和较低的速度波动，而且对于较高次数参数曲线，例如五次， 同样具有很低的弓高误差和速度波动，因而这种参数插补算法具有很高的实用 价值。 关键词：c n c 插补算法；参数曲线；自适应速度控制；虚拟插补区间 4 ar e s e a r c ho na n e w a l g o r i t h mo fa d a p t i v ef e e d r a t e p a r a m e t r i cc u r v e a b s t r a c t i n h i g h s p e e da n dh i g h - a c c u r a c ym a c h i n i n go fp a r a m e t r i cc u r v e ，t h em i n o r c o n t o u r i n ge r r o r sa n ds m a l l e rs p e e dr a t ef l u c t u a t i o ni sr e q u i r e d t oa c h i e v et h ea i m m o s tr e s e a r c h e r sp r e f e rt h ep a r a m e t r i cc u r v ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，w h i c hc a n b e i n t e r p o l a t e d i nr e a lt i m e ，b u ti nt h ec o u r s eo fc o m p u t i n gt h e p a r a m e t e r ，t h e f i r s t - o r d e ro rs e c o n d - o r d e r t a y l o r se x p a n s i o na p p r o x i m a t i o n i n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h mi su s e d ，w h i c hc a nb r i n go u tl a r g e rs p e e dr a t ef l u c t u a t i o n t h e r e f 。r e ， w i t ht h ei m p r o v e m e n to fc o m p u t e rp e r f o r m a n c e ，i ti s q u i t eu r g e n tt of i n do u tan e w m e t h o dw h i c hc o u l ds o l v et h ep a r a m e t e r a c c u r a t e l ya n dq u i c k l y i no r d e rt or e s o l v et h ep r o b l e ma n di m p r o v et h ep a r t ss u r f a c e sq u a l i t i e s ，b a s e d o nt h et r a d i t i o n a lp a r a m e t r i cs o l u t i o n s ，t h ep a p e rp r e s e n t san e wm e t h o db ym e a n s o ft h ea p p l i c a t i o no fn u m e r i c a la n a l y s i s m e t h o d c o m p a r i n gw i t ht h es e t t i n gv a l u e ，t h e c h o r de r r o ri s1 e s s ，a n dt h ef e e dr a t ef l u c t u a t i o n ss m a l l e r i no r d e rt or e d u c et h e i m p a c to nt h em a c h i n i n ga c c u r a c y , w h i c hi sc a u s e db yt h es l o wc o n v e r g e n c e ，t h e p a p e rp r e s e n t san e wc o n c e p to fv i r t u a li n t e r p o l a t i o ni n t e r v a l t h r o u g hs i m u l a t i o n ，i t c a nb ec o n c l u d e dt h a tt h ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mi s p r o p e rn o to n l yf o rt h el o w e r c u b ec u r v e sw i t hh i g h e ra c c u r a c ya n dl o w e rf l u c t u a t i o no fr a t e ，b u ta l s of o rt h e h i g h e rn u m b e ro fp a r a m e t e ro fc u r v e s ，s u c ha sq u i n t i cp a r a m e t e rc u r v e s s ot h e p a r a m e t e ri n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mh a sh i g h e rp r a c t i c a lv a l u e k e y w o r d sc n ci n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，p a r a m e t r i cc u r v e ，a d a p t i v es p e e dr a t e c o n t r o l 。v i r t u a li n t e r p o l a t i o ni n t e r v a l 5 插图清单 图1 1 直线逐点比较法4 图1 2 圆弧逐点比较法4 图2 1 曲线插补流程图9 图2 2 弓高误差示意图1 5 图2 3 直线长降速规律1 9 图2 4 指数升降速规律1 9 图2 5 升降速控制模块布置示意图。2 0 图2 6 圆弧插补轨迹误差2 0 图2 7 柔性加减速控制原理框图2 l 图2 8 自动加速曲线2 2 图2 9 自动减速曲线2 3 图2 1 0 降速点的捕捉示意图。2 4 图2 1 1 结构体示意图2 4 图2 1 2 刀具运动轨迹2 7 图2 13 任意点曲率半径2 8 图2 1 4 插补轨迹误差示意图3 4 图3 1 直线与直线转接形式4 0 图3 2 直线与圆弧转接形式4 2 图3 3 圆弧与直线转接形式4 2 图3 4 圆弧与圆弧转接形式4 3 图3 5 数控加工过程示意图4 4 图4 1 轨迹前瞻示意图4 6 图4 2 降速点的捕捉4 7 图4 3 参数插补流程图4 8 图4 4 速度控制流程图镌 图4 5 刀补模块流程示意图。4 9 图4 - 6 三次曲线模拟程序运行结果5 0 图4 7 三次曲线插补速度变化特性曲线。5 0 图4 8 三次曲线插补弓高误差变化特性曲线5 0 图4 - 9 五次曲线模拟程序运行结果。5 1 图4 1 0 五次曲线插补弓高误差变化特性曲线5 2 图4 1 l 五次曲线插补速度变化特性曲线5 2 9 表格清单 表1 - l 直线进给脉冲与偏差计算公式5 表1 - 2 圆弧进给脉冲与偏差计算公式5 表2 1 型值点3 1 表2 2 求样条插值函数表3 3 表3 1 转接形式分类4 0 1 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金日巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：彩涛弘夕签字日期：力叮年印月旷日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金日巴工业太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权佥8 巴工些太 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名劣备砷 签字日期呵年午月心日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：揍猃 ，2 ， 3 圹 仁 ：产错蝴 归 致谢 值此论文完稿之际，谨向给予我悉心指导的导师朱政红副教授表示深深的 感谢并致以崇高的敬意。本课题能够顺利完成，是与导师的支持与鼓励分不开 的。导师渊博的学识、严谨的治学态度以及为人师表和教书育人的作风给我以 深刻的教育与影响；导师一丝不苟的工作作风，忘我的敬业精神和对事业的执 着追求是我学习的楷模。导师不但教授我从事科学研究的方法，而且还给予我 许多做人的道理，这些我都将铭记在心。在课题的研究中，桂贵生教授也给予 了诸多的指导和帮助，在此一并表示诚挚的感谢。同时，在课题的研究过程中， 得到了路广硕士、吕游硕士、滕二硕士、李晓磊硕士、张萍硕士、时晓蕾硕士、 王月娥硕士、张烨硕士、邱优峰硕士、康家乐硕士、高雷博士热情帮助和指导， 借此机会表示衷心的感谢。特别感谢我的家人在我的读书期间所给予的最无私 的关爱和支持。 最后向所有关心和帮助过我的亲人和朋友致以最诚挚的谢意1 6 作者：张春伟 2 0 0 9 年4 月 第一章绪论 数控插补算法是伴随着数控技术的发展而发展的。在当今社会里，机械制 造行业的水平是一个国家工业发展水平的一个重要的衡量标准，而作为机械制 造的生产设备，数控机床更是扮演着一个重要的角色。由于数控机床具有能适 应不同零件的自动加工、效率高、精度高、加工质量比较稳定、可以加工比较 复杂的型面零件以及工序集中等优点，因此数控加工技术水平的高低是关系 到国家战略地位和体现国家综合国力水平的重要基础性产业，是衡量一个国家 制造业现代化程度的核心标志。实现加工机床及生产过程数控化，是当今制造 业的主流发展方向。 1 1 数控机床的发展历程【1 3 l 数控可以说是军备竞赛的产物，1 9 4 8 年，美国p a r s o n s 公司为研制新型 直升机浆叶的需要，与麻省理工学院合作于1 9 5 2 年研制成功世界上第一台三坐 标数控铣床，从此开始了半个多世纪的发展历程。总体说来，机床数控技术经 历了二个阶段六代发展。 ( 1 ) 数控( n c ) 阶段( 1 9 5 2 1 9 7 0 ) 早期计算机运算速度低，不能适应机床实时控制的要求，人们不得不采用 数字逻辑电路组成一台专用计算机作为数控系统，被称为硬线数控( h a r d w i r e d n c ) ，简称为数控( n c ) 。随着元器件的发展，这个阶段经历了三代，即1 9 5 2 年 第一代电子管；1 9 5 9 年第二代晶体管；l9 6 5 年第三代小规模集成电路。 ( 2 ) 计算机数控阶段( c n c ) 阶段( 1 9 7 0 一一现在) 进入7 0 年代，由于计算机技术的发展，其运算速度比五、六十年代有了大 幅度的提高，这比数字逻辑电路组成的专用计算机成本低、可靠性高。于是将 它移植过来作为数控系统的核心部件，从此进入了计算机数控( c n c ) 阶段。1 9 7 1 年美国i n t e l 公司首先将计算机的两个核心部件一一运算器和控制器采用大规 模集成电路集成在一块芯片上( 即微处理器) ，并于1 9 7 4 年用于数控系统，由于 微处理器是通用计算机的核心部件，故称为计算机数控。到了1 9 9 0 年，p c 机 的性能得到了很大的提高，可满足作为数控系统核心部件的要求，而且p c 机 生产批量很大，价格便宜，可靠性高。数控系统由此进入了基于p c 的阶段。 这样，计算机数控阶段也经历了三代，即l9 7 0 年第四代小型计算机；19 7 4 年第五代微处理器；1 9 9 0 年第六代p c 机。1 9 6 7 年，英国首先把几台数控机床 连接成具有柔性的加工系统。8 0 年代，国际上出现了以1 4 台加工中心或车削 中心为总体，再配上工件自动装卸和监控检验装置的柔性制造单元( f l e x i b l e m a n u f a c t u r i n g f m c ) 。这种单元投资少，既可单独长时间少人看管运行，也可 集成到f m s 或更高级的集成制造系统中使用。随后进一步出现了c i m s 制造模 式、敏捷制造模式等。可以说数控技术是综合应用了电子计算机技术、自动控 制技术、伺服驱动、精密检测与新型机械结构与材料等各种先进技术的成果。 我国在l9 5 8 年开始研制数控机床，首先由清华大学和北京机床研究所发 起，但是由于历史的原因，一直没有什么实质的进展。到达2 0 世纪6 0 年代末 7 0 年代初研制出一些晶体管式的数控系统，并能用于生产，品种和数量都比较 少，稳定性和可靠性都比较差。8 0 年代初，从美、日、欧等引进入些c n c 装置及主轴和伺服系统的技术后，数控系统的性能才趋于比较稳定和可靠。我 国的数控技术才开始有一个质的飞跃，并使我国的数控机床进入一个实用的阶 段。 从八十年代中期到九十年代初，是我国数控机床大发展时期。在此期间， 通过实施国家重点科技攻关项目“柔性制造系统技术及设备开发研究 以及“数 控机床引进技术消化吸收”等推动了我国数控机床的发展，并取得很多具有自 主产权重大的成果。目前我国的数控产品已经覆盖了车、铣、钻、磨及加工中 心、齿轮机床、数控线切割机床、柔性制造单元等领域，品种己达到5 0 0 多种， 中、低档数控系统已达到小批量生产的能力。 1 2 数控编程技术的发展历程 数控机床除了一些特殊的机床如数控折弯机、数控弯管机、数控步冲机、 数控电火花切割机等金属成型类数控机床外，其余的如数控车、数控铣、数控 磨以及加工中心等在加工工艺与加工表面形成方法上与普通机床基本上相同， 即都是通过工件与刀具的相对运动将毛坯上多余的材料切除掉，从而形成零件 的加工表面 4 1 。但是两者在控制原理与方法上有着根本的区别。数控机床是将 加工零件有关的信息如工件与刀具相对运动轨迹的尺寸参数( 进给执行部件的 进给的尺寸) ，切削加工的工艺参数( 主运动和进给运动的速度、切削深度) 以 及各种辅助操作( 主运动变速、刀具更换、冷却润滑液启停、工件夹紧松开等) 数字化，即用数控系统能识别的文字、数字、符号组成的代码，然后通过某种 信息媒介输入到数控装置中，然后通过数控装置进行分析与运算并发出与输入 信息相一致的信号来控制数控机床的运动，从而完成零件的切削。而普通机 床主要是操作者根据工艺员制订的加工工艺规程按一定的顺序来完成零件的切 削加工的。从数控加工的原理可以知道，数控编程就是将加工信息用数控系统 所规定的代码和程序格式，编制成加工程序单并存放在控制介质上。所以程序 编制的好坏以及所采用的控制算法直接影响到产品的加工速度与加工质量。 数控编程技术几乎与数控机床是同步发展的，1 9 5 5 年，m i t 成功开发了一 款适合零件数控加工的自动编程语言( a p t - i 系统) ，并相继地升级为a p t - i i 系统、a p t - i l l 系统，可进行自由曲线、曲面零件、三维零件的数控加工编程； 在前几款的基础上，经过几次大的修改，并增加了多坐标曲面加工编程功能形 成了a p t - i v 系统。 随后各国所开发的自动编程语言大都基于a p t 编程语言，但是随着零件的 序很复杂，现在应用很少；而计算机数控插补器其插补功能是由软件来实现的， 虽然其插补速度相对较慢，但其修改程序较容易、灵活，所以现在应用很多， 并把第一种情况叫做硬件插补，第二种情况叫做软件插补。 1 3 2 数控插补方法分类及其基本方法 1 3 2 1 基准脉冲插补 基准脉冲插补又称行程标量或脉冲增量 、， 插补，其主要用于开环数控系统以及一些经 济型数控系统。它的特点是每次插补结束， 数控装置向每个运动坐标输出脉冲序列，每 个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代 y n 表了坐标运动速度，而脉冲数量表示移动量。 基准脉冲插补的实现方法简单( 只有加法和 移位) ，容易用硬件来实现。而且硬件电路完 成这些简单的速度很快，目前也可以用软件 来实现这些算法。但它仅适用于一些中等精 x n x 图1 直线逐点比较法 度或中等速度要求的计算机数控系统【l 4 5 l 。主要包括逐点比较法、最小偏差法、 数字积分法、目标点跟踪法、单步追踪法等。 在基准脉冲插补中比较常用的是逐点比较法以及改良算法i 6 嘣】。其基本原 理是：在控制过程中，能逐渐地计算和判别运动轨迹与给定轨迹的偏差，并根 据偏差控制进给轴向给定轮廓靠近，缩小偏差，使加工轮廓逼近给定轮廓。其 主要是用折线来逼近直线或圆弧曲线的，所以其最大 误差不会超过一个脉冲，有的改良的 逐点比较法可以使最大误差小于半个 脉冲当量，如文献【7 | 。y 对于用逐点比较法进行直线插补 时过程见图1 1 ，主要有四个步骤：即 偏差判别：通过偏差判别公式来确定加 工点与轮廓的理想位置之间的关系，从 而决定刀具进给的方向；坐标计算和进 给：由第一步的结果即可实现控制刀具 向零件的轮廓进给一步并计算新的位 图卜2 圆弧逐点比较法x 置点的坐标；偏差计算：经过第二步后，刀具达到一个新的位置点，这个新的 位置点是否在零件的理想轮廓上或者不在时，与理想轮廓距离是否在允许的误 差范围之内；终点判别：在插补的过程中，每进一步，都应该判别是否到达了 零件轮廓的终点。当计算机根据指定的算法判别没有到达终点时才会重新进行 下一轮循环，否则数控装置就会向伺服系统发出终止进给的命令。逐点比较法 4 形状越来越复杂，特别是复杂曲面，a p t 自动编程系统就显得很笨拙，效率极 低。于是从7 0 年代起，各国竟相开发图形数控编程技术，它避免了手工编程时 的复杂的数据计算，有效的解决了几何造型、零件几何形状的显示、交互设计。 例如19 7 2 年，美国洛克希德飞机公司开发出具有计算机辅助设计、绘图、和数 控编程一体化功能的自动化编程系统( c a d c a m ) ，标志着一种新型的计算机 自动编程方法的诞生：1 9 7 8 年，法国达索公司开发研制出具有三维设计、分析 和数控编程一体化功能的c a t i a 自动编程系统；1 9 8 3 年，美国u n i g r a p u i c s s o l u t i o n s 公司研制出u g i i c a d c a m 系统，这也是目前应用最广泛的c a d c a m 软件之一。现在各种编程软件五花八门，适用的范围也不同，但都是朝着集成 化、智能化、网络化、并行化、和虚拟化的方向发展，当前比较流行的几款编 程软件是m a s t e r c a m 、u g 、p r o e 、c i m i t r o n 等。由于我国数控技术起步晚，现 在还没有形成主流的编程软件，但也形成具有自己特色的c a d c a m 软件，如 c a x a 、s k c 系统、z c k 系统、z b c 系统以及用于线切割的s k g 系统p j 。 随着计算机软硬件的发展，数控编程技术有如下几种发展趋势【l 5 j 。 ( 1 ) 基于c a d c a m 的数控编程自动化。随着计算机应用技术的发展，目 前c a d c a m 图形交互式自动编程己得到较多的应用，是数控技术发展的新趋 势。它是利用c a d 绘制的零件加工图样，经过计算机内的刀具轨迹数据进行计 算和后置处理，从而自动生成数控机床零件加工程序。以实现c a d c a m 的集 成，随着c i m s 技术的发展，当前又出现了c a d c a p p c a m 集成的全自动编程 方式，其编程所需的加工工艺参数不必由人工参与，直接从系统内的c a p p 数据 库获得，推动数控机床系统自动化的进一步发展。 ( 2 ) c n c 控制与编程一体化系统。实行前后编程与运算并行工作方式，自 动生成刀数据，自动生成加工工艺和工艺参数，实行刀具轨迹仿真，进行干涉 修正，最后自动生成数控加工程序。 ( 3 ) 数字化编程与语音编程的一体化系统。对无尺寸的图形或实物模型， 用坐标测量机获得几何数据，然后经过处理后形成数控加工指令或形成加工程 序，这就是数字化编程技术。随着语言识别技术的发展和应用，出现了语音编 程技术，编程人员只需通过话筒将相应的工艺参数按规定的指令输入到计算机， 然后经过数控装置处理后就可获得数控加工程序。 1 3 数控插补技术的发展历程 1 3 1 数控插补原理概述 在编制数控加工程序中，编程人员一般只能得到能够描述所加工零件特征 的参数，如直线的起止点坐标、圆弧的圆心和起止点坐标等，而数控装置必须 能够实时地输出控制刀具运动轨迹的指令。所以数控装置必须能够实时计算出 中间点的坐标，这就是数控插补。并把能完成插补功能的装置叫做“插补器”， 硬件数控插补器是由数字电路组成，其插补速度较快，但适应面较窄，修改程 就是通过这四个步聚往复循环，直到零件加工完成。由于直线可能处于不同的 象限，所以其偏差判别公式和进给方向也不同。具体见表1 1 表卜l 直线进给脉冲与偏差计算公式 j l f m 0 时送f 捌蹦。迸 编彳汁露公式 线剐 - f m o + f p r o 0 。+ i s r l - y + 茗 k 嘲寸。 |t 。 l f f o i f t 甄：y - i l f m o 。- a x s r 3 + y 一x y l 。1 - 了h l 气是一矿 n r 2 y x k 耐t f m 夕0 - 1 - _ x y f s 0 y k 1 s f 抽2 “ n r 4 + y + 厶x轧i - + l 丫 f 曩 o y 赴k 1 k - 2 + l_ f - o - i x s r lx yj 囊h - 岛- l j 艮 0 ，+ i f l o ，+ t l x眦厶x+ y k 。i k ：+ l i - 跏+ l 孓r + 厶x y p 曩 0 + y n r 3 1 3 2 2 数据采样插补 数据采样插补又称时间标量插补，适用于闭环、半闭环以直流和交流伺服 电机为驱动装置的位置采样控制系统。这类方法的特点是数控装置产生的不是 单个脉冲，而是标准二进制字。它采用时间分割的思想，根据编程进给速度将 轮廓曲线分割为插补采样周期的进给步长。在每一插补周期中，插补程序被调 用一次，为下一周期计算出各坐标轴应进给增长段，然后再计算出相应插补点 位置的坐标。数据采样插补的核心是计算出插补周期的瞬时进给量。主要包括 数字积分法、二阶近似插补法、双d d a 插补法、角度逼近插补法、时间分割法 以及其改良算法【1 3 _ j 等。 由于当前大部分数控系统只支持直线和圆弧插补，所以本论文只简单介绍 一下数控采样插补的直线和圆弧插补的算法。 在直线数据采样插补中，假定直线在第一象限，当l t l l 儿i 时可以采用如下 的递推算法求出插补点的坐标( x ，y ) 厶) c ：= a l c o s a x i l = x i + 厶x i y i + l = + lt a na ( 1 - 1 ) 觚= y j + 1 一y ， 这样算出来的数值对误差有收敛作用：当f t f 觚= a l ( x ，+ 缸一l 2 ) r 儿l2 盟( 1 - 4 ) 薯+ 。= 尺2 一正l 挑= 薯+ l 一而 对于上述四个递推公式，在程序设计时都是将其设计成子程序，在需要时再通过调用 子程序指令来调用，因而速度较快。 6 1 3 3 参数曲线插补背景与意义 1 3 3 1 参数曲线插补产生背景 随着c a d c a m c n c 技术的进一步发展，具有复杂轮廓零件设计和制造 日益趋于一体化。目前的c n c 机床通常只有直线，圆弧及螺旋线等少数几种插 补功能，复杂型面零件的数控加工只能通过c a m 离线编程系统，将c a d 生成 的待加工零件的曲线曲面轮廓离散成大量的微段直线或圆弧来进行编程；：9 n - r 。 这样缺点很明显，特别是对那些复杂的面积比较大的曲面加工更是会生成海量 的程序。这样不仅对数控系统的存储能力有很高的要求，而且，在c n c 系统与 c a d c a m 系统之间传递数据时就会很容易造成数据丢失，造成传递数据误差； 另外，将曲线离散成短直线或圆弧，破坏了零件轮廓曲线的1 阶导数连续性， 影响了零件表面的光滑性，对加工过程和产品的质量会造成不良影响；再次， 在每一个分割直线段或者圆弧段的进给速度变化比较频繁，则在加工过程中存 在电机加减速太过频繁、噪声大、加工效率低，并且对机床的寿命影响也很大 的缺点；最后，无论是直线还是圆弧插补复杂轮廓曲面，其进给速度与弓高误 差有很大的关系。如在圆弧插补中误差与进给速度有如下的关系：万= ( 刀) 2 8 p ， 其中万表示误差，f 表示进给速度，丁表示插补周期，p 表示曲率半径，从这 个公式可以看出误差与进给速度成平方关系，这样严重地限制了进给速度，所 以不适应当前高速加工的需求【1 7 2 引。 为了解决以上四种问题，现代数控系统开始应用参数曲线插补。参数曲线 插补可以直接将曲线传到c n c 中，不需将曲线分解成微小线段，从而使c a d c a m 系统和c n c 系统之间的信息流连续。参数曲线插补可以分为均匀插补、 速度控制插补和自适应进给速度插, b t 2 l 】三种类型。对于均匀插补，曲线增量是 一个常量，使得它不可能控制进给速度，所以不常用。目前常用的是速度控制 的插补，例如非均匀有理b 样条插卒b ( n u b s 曲线) ，其泰勒展开式1 阶近似算法 【1 7 ，1 8 ，2 01 基本可以实现进给速度均匀，而泰勒展开式2 阶近似算法【1 8 ，2 0 】可以 进一步减少速度波动。然而由于泰勒级数展开公式存在着截断误差，这是轮廓 误差和进给速度波动的根源【2 2 1 。有的学者提出对任意参数曲线用等弧长的方法 进行插补【23 1 ，但是前提必需精确计算出每个周期的弧长，除非是一些特殊的曲 线，如圆弧，椭圆等，要确切地计算出任意参数曲线弧长也是比较困难的1 2 制。 为了适应高速高精度的加工，并且考虑机床动态特性，较多地采用自适应进给 速度插补，其有如下几个优点：首先，具有机床适应性，能在不同的机床上均 可加工出高质量的工件；其次，加工精度高，轮廓误差小，进给速度可随曲线 的曲率自动调整，这样即能保证曲线的轮廓误差，又能提高机床的进给速度， 从而提高了零件的加工效率；最后，由于自适应进给速度插补具有前瞻控制能 力，所以在加减速时可以避免刀具与零件的剧烈撞击，这样不仅可以提高零件 的表面质量，延长刀具的使用寿命，而且对于提高机床使用寿命也具有很高现 7 实意义。由于自适应进给速度插补具有上述的优点，所以国内外很多学者提出 针对自适应进给速度插补的算法【2 5 、27 1 。 由于参数曲线相比较用直线或者圆弧来拟合曲线具有这么多优点，所以现 在数控加工中对于复杂的曲线曲面都是用参数曲线来表达的，例如b 曲线和 n u r b s 曲线。这样参数曲线插补就应运而生了。 1 3 3 2 参数曲线插补研究的意义 现在随着科学技术的发展，有时为了满足产品功能的需要，例如满足飞机 飞行的空气动力学曲线，轮船航行流体动力学曲线等：或者满足产品特定需求 和人们审美情趣的需要，产品表面形状必须设计成曲线曲面。由于曲线广泛应 用于航空航天、轮船、模具、汽车、电子产品、医学、光学等和人们生活和生 产息息相关的领域，所以曲线产品加工的效率、成本、精度等就显得尤为重要， 而当前所用的参数曲线的编程方法由于1 3 3 1 节所述缺点就显得越来越不适合 当前的需要了。 当前零件基本上是c a d c a m - - 体化设计和制造，所以成熟的插补算法不 仅对于改善零件的加工精度，表面光滑性和生产效率，提高c n c 的轨迹功能具 有重大的意义，而且对丰富和提高当前的c a d c a m 软件也具有很重要的指导 意义。 由于插补算法的好坏对数控系统具有重大的意义，所以选择算法就显的至 关重要。评价算法好坏的准则【lj 是： ( 1 ) 算法稳定性准则由于插补算法是对连续曲线的离散化，所以都是采 用迭代的方式来求得各个插补点的坐标，这样在插补运算的过程中就会出现插 补点和理想曲线点不重合的现象，造成这种现象的原因很多。一个好的插补算 法应该使这种误差随着迭代次数的增加而减少，而不是产生累积。 ( 2 ) 算法计算量要小，易于编程当前数控加工的轮廓越来越复杂，如果 算法的计算量大，主要是乘除法，则程序运行的时间长。因为加工中对实时性 要求很高，则插补周期过长，从而影响加工的进给速度和精度要求。 ( 3 ) 插补精度准则在数控加工中，由于是用近似的方法求出各个插补点 坐标，因而误差是不可避免存在的，但是在同等的条件下，如进给速度相同， 插补周期相同等，应尽量使插补的误差减少到最低限度，这样由于软件所产生 误差所占的比例减少，不仅可以降低成本，而且留给补偿其它加工误差的比例 就会增大，从而增大了零件的加工精度，降低了加工难度，减少了加工成本。 ( 4 ) 功能需要准则在选择插补算法时，不仅应保证上述三个准则，而且 还应该满足机床功能要求和加工功能要求。如在选择算法时，程序控制机床运 动应平稳而不应该有强烈的冲击，即主轴的加减速度应在机床允许的范围之内。 第二章参数曲线插补新算法的原理分析及应用 2 1 引言 在实际的产品设计中，为了满足某些特定 功能的需要，经常会用一些参数曲线或者列 表曲线，如在船体放样和机翼设计时，过去 工程师通常用一根富有弹性的木条压在固定 的样点上，其它地方自由伸长，然后沿着这 根木条划出曲线，这称为样条曲线。这种样 条曲线抽象成数学模型时经证明是一个三次 曲线连接而成的。还有一些曲线用数学解析 式是无法准确描述的。 对于这类曲线在没有曲线插补的数控系 统中，在编程时通常是用直线或者圆弧来拟 迸给速度 图2 1 曲线插补流程图 合，然后再插补，不仅误差大，而且加工效率极低，并且在离线编程时不能实 现实时插补，所以这种方法越来越不能适应高速加工的需要，其插补流程见图 2 1 。 2 2 当前插补曲线原理介绍 不论是给定参数曲线还是列表曲线，在插补时都涉及到两个空间：一维参 数空间和二维或者三维轨迹空间。因此现有插补方法将插补计算分成两步完成 【2 8 】：( 1 ) 参数插补将轨迹空间的进给步长li 影射到参数空间，求出相应的 参数增量ui 及参数坐标ui + l _ ui + u i 。( 2 ) 轨迹计算将得到的参数空间坐 标值再影射到轨迹空间，得到相应的影射点pi + l = p ( ui + 1 ) 。经过两次影射以后， 就可以求得插补轨迹的新坐标点。 为使本文的参数曲线具有一般性，设曲线方程为p ( u ) = p ( x ( u ( t ) ) ，y ( u ( t ) ) ，z ( u ( t ) ) ) ，u 为参数曲线p ( u ) 的参变量。为了保证曲线的光滑性，一般都要求参数曲 线至少具有二阶导数，令u ( t i + 1 ) = u ，将参数u 在时间点t i 处进行一阶泰勒公 式展开，于是可得 +譬+日0ui+l-ul a t , 7 1 + i + 爿7( 2 1 ) 其中h o t 表示截差误差，2 + ，一。一般情况下对参数u 进行一阶泰勒公式展 开，当求的误差较大时，可以考虑用二阶泰勒公式展开，但计算相对要复杂一些。 掰川= “，+ 塑d t f + 互1d 出2 u 斟z l t + m r ( 2 2 ) 将求得的u j + l 代入到参数方程中就可求出各个插补点，如此迭代下去，直 9 至到达曲线的终点。在这种方法中需要求出二阶导数，这样程序的算法就较为 复杂。 下面具体求出参数对时间的一阶导数或者二阶导数，曲线的进给速度为： 咖沪降k = 0 掣l 乱 协3 ， 乳，2 甬 ( 2 - 4 ) 孔，2 翮 皑q ) 对( 2 - 4 ) 式再对时间求导，就可以求出参数曲线对时间的二阶导数： 在( 2 5 ) 中 d 2 “i ：- i d t 2i t - - - - 4 0 掣l ( 2 5 ) ：盟d u 扑a r t 盟d u 随a e u ) 协6 ， b0i f 讣毹掣 沼7 ， d p ( u ) d 2 尸 ) 。臂 q - 8 ) 卦一一 协9 ) 将( 2 4 ) 式，( 2 9 ) 式，代入到( 2 2 ) 式或者( 2 1 ) 可以求得1 1 i + l 。 1 0 型出 竺 i护一 曲一，一k掣百 i川一 2 3 改进参数曲线插补算法 2 3 1 参数曲线的递推算法 基于参数递推的观点，u i + l - u i + a u ，在计算u i + l 之前，1 1 0 ，u l ，u i 都是已 经求出的，如果能充分利用第i + l 步之前的信息来预测u ，那么会获得 更高精度的u 值的。基于这种思想，利用拉格郎日多项式来求得h i + i ，如 果仅仅从插值的角度来看，插值多项式的次数越高，精度越高，但次数过 高容易出现龙格现象，所以通常是取三次插值多项式。为了能预测到本插 补周期后面几个点的位置，并利用以前u 值的信息，在 u iu i + i 】的外面取 u i - 2 , u i - i ，这样就有四个节点，u i 2 ，u - 1 ，u i ，u i + l ，作三次插值多项式，其推导 过程如下： 舭，= 意蔫掣嚣宅心。 + 高t i 慧糕脚，( i 一+ 。) ( i 一一。) ( 一t 一：) 。“ + 孝蒜黼q c t i - i ，u i - i t l ， ( 一。一f f + 1 ) ( f h 一) ( t 一一2 ) 、 + 老穰t i 蓦镫t i 以j( t 一：一+ 。) ( t 一：一t ) ( t 一2 一一。) 。“ 一 = 面1 ( f 一桃一洲f 一鲰t ， 一j o t i + 1 ) o t i 1 ) ( f t i 一2 ) q ( t i ，吩) + 亩( t - - u i + 1 ) ( t ) ( t - u , _ 2 ) q ( t , - 1 ，u i - i ) 一= 吾( t - t l f + 1 ) ( f t ) o i 1 ) q ( 一2 ，甜，一2 ) ( 2 1 0 ) 其中h = - t f - l ( i = n + l ，2 ，n - 1 ) 纰彤) 咀。甬 ( 2 根据欧拉公式+ l = “f + r “q ( t ，“) d t ，则用p ，( f ，“) 代替q ( r ，甜) ，- q - 得 “川= + r “p ( f ，“) 衍，将( 2 1 0 ) 4 - l 入至uu i + i - 2 d i + r ”p ( f ，“) 衍可得 弘+ r 击( 刊( - 2 ) 以+ 1 ) 沈 一! + l 嘉( 训( - 2 ) 纵衍 + r 嘉( 刊( 陬汛渺 一：，+ l 击( ) ( t - t i _ 1 ) ( t - t i 1 珧z 私- 2 ) 础 ( 2 1 2 ) 求出( 2 1 2 ) 积分，可得下列的参数的迭代公式： h “+ l 。= “，+ j j 9 q ( t f + 1 ，+ 1 ) + 1 9 q ( t ，“，) 一5 q ( t , 一l ，一1 ) + q ( 一2 ，甜，一2 ) 】 ( 2 - 1 3 ) 二t 从这个公式可以看出，在迭代的过程中，需要求解方程才能求出，+ 一，所以 是隐式公式，这样计算很不方便。为了能够实时在计算机上求解，还需要推导 一个显式公式。( 2 13 ) 式中之所以会出现u i + 是由于选取了t i + l 作为插值节点， 若不取t i + l 而换作取t i - 3 ，即取t i 3 t j - 2 ，t i 1 ，和t i 作为插值节点，运用拉格郎日 多项式和线性多步法思想，其推导过程如同( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) ，这样可以求出 参数离散化的一个显式公式： h + 1 p 气“j + 暑 5 5 q ( t , ，“f ) - 5 9 q ( t , 1 ，材川) + 3 7 q ( t , 2 ，“心) - 9 q ( t i 3 ，甜，- 3 ) 】 ( 2 1 4 ) z 斗 通过比较，( 2 1 4 ) 式使用方便，计算量小，而( 2 13 ) 式计算量大，但是 其局部截断误差较小，稳定性也比( 2 1 4 ) 式较好，所以为了充分发挥两者的 优点，常将它们配合来使用，这样就形成了预测校正系统，即： u i + l p = ”f + _ 5 5 q ( t ，“f ) 一5 9 q ( t i 一1 ，一1 ) + 3 7 q ( f ，一2 ，站，_ 2 ) 一9 q ( t ，一3 ，坼一3 ) 】j 二叶 ，( 2 1 5 ) t i 吖= 龆，+ - 云4 1 9 q ( t , + 1 ： l t + 1 p ) + 1 9 q ( t , ，) 一5 q ( t ，- i9 u i - i ) + q ( b u i 一2 ) j i 这样，首先显式公式求出较好的参数值“川，然后代入到隐式公式中去校 正，这样既不用解非线性方程，又能达到较高的精度。 为了获得更高的精度，提高其收敛速度，对( 2 13 ) 式、( 2 1 4 ) 式使用 r i c h a r d s o n 外推技术，形成带改进的预测校正公式。在( 2 10 ) 式中的插值余 项为： 1 2 屹o ) = 挈。一) 一f f + 。) o t 一，) o f ，：) ，f 一2 孝 + 1 故( 2 1 3 ) 式的截断误差为 ( 2 1 6 ) = l + l 掣( ，f f 砸刊( t ：渺 ( 2 1 7 ) 由弟二积分中值足理司得 丁。j + 12 一旦7 2 0 五s u (