（基础数学专业论文）二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性.pdf

二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 摘要 本硕士论文由二章组成，讨论了二类脉冲泛函微分方程的振动性 与渐近性 第一章讨论了一类带强迫项的脉冲微分方程 o t o ，t f 量，k 忉 o = i ，2 ，r - - 1 ) o = 1 ，2 ，一一1 ) 的振动性与渐近性先分别考虑了力= 2 与刀= 3 ，得到其振动性与渐近 l x ( 一( f ) + p ( ，) h f f ) = g ( ，) ( f f o ，t t i ，k ) j ( f ：) = 口o k x ( t 七) ，j 。( ，；) - - a 业工。( f f ) ( ，= l ，2 ，刀一1 ) i j = 9 ( f ) ，t 【t o f ，t o 的振动性与渐近性先分别考虑了刀= 2 与刀= 3 ，得到其振动性与渐近 性的判别准则，并举例说明准则的有效性：再推广到一般情形 关键词：强迫项：脉冲时滞；微分方程：振动性；渐近性 o 砖o x 卜 砜z 扣 = ，o o 七o 啦地一 声， 烈叶o + 口 x d = i l 蜕 高校教师在职硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft w oc h a p t e r s ，w h i c h s t u di e st h eo s ci ll a t o r ya n da s y m p t o ti cp r o p e r t yo ft w ocl a s s e s o fi m p u l s e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h eo s cilla t o r ya n d a s y m p t o t ic p r o p e r t yo fac l a s so fi m p u l s e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h f o r ci n gt e r m i x ( 一( f ) + p ( f ) x o ) = 甙f ) 可t d = o o t 坤七) ，j o o ；) = 口t x 。o i ) i 川o ) = 工o ，x ( f ；) = z5 ：f ( f t o ，t t k ，k 忉 o = i ，2 ，一一1 ) o = l ，2 ，r - - 1 ) f i r s t l yw ed i s c u s sr e s p e c t i v e l yn = 2a n dn = 3 ，a n do b t a i ns o m e c r i t e r i o n sf o rd i s c r i m i n a t i o n o ft h e o s c i l l a t o r y a n d a s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h ee q u a t i o n s ，a n dg i v et h ee x a m p l e s t od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec r i t e r i o n s t h e nw e g e n e r a l i z et h e mt oag e n e r a lc i r c u m s t a n c e i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t o r y a n d a s y m p t o t i c p r o p e r t yo fac l a s so fi m p u l s e sd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hf o r ci n gt e r m ij 佃( 0 + p ( o x ( t - f ) = g ( f ) ( f ，o ，tst 七，七) j ( f 亡) = 口。七x ( t i ) ，j “( f ；) - a 趾j ( t do = l ，2 ，力一d f j = 伊( ，) ，t i t o r ，t o 】 f i r s t l yw ed i s c u s sr e s p e c t i v e l yn = 2a n d 以= 3 ，a n do b t a i ns o m e c r i t e r i o n sf o rd i s c r i m i n a t i o no f t h eo s c ill a t o r ya n d a s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h ee q u a t i o n s ，a n dg i v et h ee x a m p l e s 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 t od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec r i t e r i o n s t h e nw e g e n e r a li z et h e mt oag e n e r a lc i r c u m s t a n c e k e yw o r d s ：f o r c i n gt e r m ：i m p u l s e sd e l a y ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： o s ci1 l a ti o n s ：a s y m p t o ti cp r o p e r t y m 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明弓i 用的内容外，本 论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 吣博淤沁 2 o 口7 年1 1 月；o 日 | l v 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密曲 ( 请在以上相应方框内打。钾) 作者签名：吣炉日期：l 口t 僻1 1 月专9 日 导师签名：1 才怼智日期：毋彳年7 7 月夕口日。 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 绪论 具有“突变刀特性或具有依赖于“滞后或“超前 状态特性的 客观现象随处可见，这些客观现象的数学模型有许多就是脉冲微分方 程、泛函微分方程与脉冲泛函微分方程它们在航天技术、信息科学、 控制系统、通讯、生命科学、医学、经济等许多领域中都有着重要的 应用 泛函微分方程的研究始于1 7 5 0 年e u l e r 和c o n d o r c e t 的工作，经 历了一个世纪以及b e r n o u l l i 、l a p l a c e 、p o i s s o n 、b a b b e g e 等著名数学 家的努力，都无多大进展，自1 9 0 0 年以来，由于自然科学与社会科 学的许多学科中提出这方面的大量问题，才获得很快的发展脉冲微 分方程的研究始于1 9 6 0 年m i l m a n 和m y s h k i s 的工作，经历了十年的 缓慢发展，自1 9 7 0 年以来获得较快的发展，b a i n o w 、s i m e n o v 、 l a k s h m i k a n t h a m 等学者都做了重要研究工作脉冲泛函微分方程的 研究始于1 9 8 0 年，泛函微分方程的各方面的结果都被陆续地推广到 脉冲微分方程上来，出版了多本脉冲微分方程专著如【3 ，4 】，发表了 大量的相关论文，内容涉及存在性、稳定性、振动性、渐近性、有界 性、比较原理和周期解等领域 振动性与渐近性是脉冲泛函微分方程研究的重要领域，许多学者 对其进行了深入地研究，并取得大量的研究成果如【8 4 l 】但主要局 限于低阶的情形，而高阶的结果还较少见，但也已经有了一个良好的 起步，有一些很好的结果公开发表如【8 ，9 ，1 2 】下面就本文研究的 问题所产生的历史背景作一些简要概述 高校教师在职硕士学位论文 一、带强迫项的脉冲微分方程的振动性与渐近性 1 9 9 6 年，申建华和庾建设在文【5 】中，研究了具有脉冲扰动的非 线性时滞微分方程；2 0 0 1 年，x uw j 在文 1 1 1 中，研究了三阶线性脉 冲微分方程的振动性；2 0 0 3 年f e n gwz 在文 1 2 1 中，研究了四阶脉 冲微分方程的振动性；2 0 0 6 年，陈福来和文贤章在文 8 1 q 丁，研究了刀 阶线性脉冲微分方程的振动性 对于脉冲微分方程的振动性与渐近性的研究，有一些很好的结 果，但这些结果一般都是不带强迫项的，既使带强迫项的也是一阶 受上述文章的启发，本文在第一章讨论了一类带强迫项的脉冲微分方 程的振动性与渐近性先分别考虑了刀= 2 与以= 3 ，得到其振动性与渐 近性的判别准则，并举例说明准则的有效性；再推广到一般情形 二、带强迫项的脉冲时滞微分方程的振动性与渐近性 1 9 9 5 年。b a i n o vdd 、d i m i 仃o v amb 和d i s h l i e va b 在文 6 q a ， 研究了一阶非线性脉冲泛函微分方程的振动性：1 9 9 6 年，申建华和 庾建设在文【5 】中，研究了具有脉冲扰动的非线性时滞微分方程；2 0 0 5 年，t a n g d q 和c h e n y s 在文 7 q a ，研究了带强迫项的脉冲时滞微 分方程的振动性；2 0 0 6 年，陈福来和文贤章在文 8 1q 口，研究了力阶线 性脉冲微分方程的振动性：2 0 0 7 年，叶国炳、申建华和程英雠文 【1 0 q a 研究了带强迫项的二阶脉冲微分方程的振动性 对于脉冲微分方程的振动性与渐近性的研究，有一些很好的结 果，但这些结果一般都是不带强迫项的，既使带强迫项的也是一阶 受上述文章的启发，本文在第二章讨论了一类带强迫项的脉冲时滞微 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 分方程的振动性与渐近性先分别考虑了腮= 2 与力= 3 ，得到其振动性 与渐近性的判别准则，并举例说明准则的有效性；再推广到一般情形 高校教师在职硕士学位论文 第一章类带强迫项的脉冲微分方程的振动性与渐近性 1 1 带强迫项的二阶脉冲微分方程的振动性 1 引言 本节考虑 f x 。( f ) + 即) f ) = g ( f ) ( t t o ，f | ，后柳 川；) = a t x ( t k ) ，z ，( ，) = b k x ( t d ( 1 ) 【x ( f o ) 2 x 0 ，x ( f 孑) = x r o 解的振动性，其中o t o ，l - - - f 上 o ( o ( 0 ( o ) 证仅就括号外情形证明 证明存在l r ，当f 上t 时，有z ( f ；) o 否则存在f l ，工o ：) o ( t t ) 、砸) o 以及x ( f ) = 一烈，) 川) + 砸) ( 口卫) ，就有x 。o ) o ( f ( f 州，f 州) ，册( 础) ，从而得到x ，( ，) 在 ( f h ，t s + 1 ) 上单调不增因此对f ( f ，+ 。) 就有 z ( f ) z ，( f ：) = 口 o( 2 ) 由( 2 ) 式得z o 二) 1 i m 一工o ) s ，( f ：) = 吨 o ：类似地j r r ( f 二2 ) 抛) = 。一“ b s + l x ( ，二) 一6 州口 o ：；由归纳法可得，有 x ( t 二) - 6 | + i b ，+ 2 6 | 1 口 x ( f ) x ( f 二q ) o 否则存在f ，疋、x ，( ，f ) = o 。由j ( f ) o 、f ( f ，f ，+ 。) ( 口名) 以及至少 存在t i i 、t 心o ，f ，+ i ) r t i l ，n ，有j 。( f i i ) o 、j w l 2 ) 0 由工( ，) o ( f o i ，t k + 1 ) 、t 。l ) ( 口卫) ，可得工( f ) z ( f 二i ) o ，即 得 取r o = l ，由、引理得证 定理1 1 1 设引理的条件( 日) 、( 彳) 成立，且a 。 l ，o t o ，当t r 时，有川) o 由引理知存在t o t ，当t 2r o 、，o 上，) 时，有 川i ) o 、x ，( f ) o ，记s 2 唑i 从而川) 川：) - - a 。x ( t 。) x ( t ，) 、，o ，+ ) ，得x ( t 川) 川) ； 缸f ) f 二1 ) - - a j + l x ( t 什1 ) x ( t 什i ) x ( t ，) 、t6 ( t j + i ，f 什2 ) ，得x ( t | + 2 ) 川，) ； ：由归纳法可得，对l l ，有川) 川) 、t o 州，f j + ，) ，且 川，) 坪，) 由上式得 z 。( f ) = 一从，) r ( ，) + q ( t ) s p ( t ) x ( t ) 一x ( t ，“) 一【6 ，t x ( t i ) - a x ( t ，) 】 与( 4 ) 式合得一z o 州) 一i f , ，f h t ，- ) 一口，z ( ，) 】一川) r 州t p ( t ) d t 同理可得 一x ( t ，“) 一【6 ，f ，川二) 一口，x ( t ，) 】f 州t q ( t ) a 在上两式中当，充分大时由川) o 、r 。t p ( t t = + 或 f 佃t q ( t t = 一得1 i l i i 坪州) = + ，这与川) 有界矛盾 从而方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 定理1 1 2 设引理的条件i f - t ) 、( 4 ) 成立，若还有条件 酊，薹爱薏暑苕p o 矽= + ，s 或 ( c 2 ) ：- = 。a 口s 。a s 。+ “i a p x + + _ m c 们瑚= 一，s ， 则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 证设方程( 1 ) 有一个非振动有界解川) ，则存在m o ，当f ，。时， ) l m 不妨设存在r f 。，当f r 时，有o r ，当f l 、f 1 5 r 七 + 1 ) 时有 7 高校教师在职硕士学位论文 砸抄。锄) o ，眦小器= 鬻= 和抄。 ( 5 ) 1 4 己s = 。r a 。巩i n 七，当，l 、f ( t i + l - i t m + i ) 时，甜( f ) = 三3 笪铲 哿= 掣唧m 。) ，h i u ( f ) 一施一 f i 小 i f = 0 ，1 ，i - 1 ) ( 口p )( 6 ) 或h ) ：塑塑掣! 塑 盟= 2 坐堡盥垒盟盟o ( 口卫) ， z2 “) x ( n珂n珂f 1m 、7 即批) 警8 o 。一、m = o 1 , - - - , ) 泓) ( 7 ) 对( 6 ) 式从f 到f 。积分得川_ ) 。( f 二) 一c 砸矽= 尝川二_ ) - c p o 矽。鲁阶一一芒c p 从而与( 5 ) 式合得 蛾) 2 鲁帆) 血a s + 1 _ l 纽a s + ! 陋- ) 一掣b s + - ic 加mn i “ i h 二b 州a + t d - l 口b , 。+ “lf 口b , + 们l - 2 阻( ，二j - 2 ) 一a + 。l - 2 2 一f t 一 _ p ( t ) d t 】一芒眨肿_ 生丛瞳 a - + 1 - 2 a1 + 1 - 1 aj “( ，。：) 一老c 加矽一畿段加皿】 ( ，。 l 、0 o ，不妨设丁( 2 ，l 。万，2 n 。x + 2 x 、刀。，c 。矽( f 矽 f 。p ( t ) d t 妃撕p ( t ) a t 撕d t = + o o 从而定理1 1 1 的条件均满足，则方程( 8 ) 的任意有界解是振动的 f丢 ， 斯上川卜1 士一一1 t ( 2 n x , 2 n x + 叭胝删蚋 为方程( 8 ) 的一个有界振动解，其中文o ) = i i ，x ( o + ) = o 例2 考虑方程 f x 。) + p ( f ) 川) = g ( f ) ( f ，o = o ，f 2 k x ，k 加 川；) = 口七x ( t 七) ，x ，( f ；) = 6 七z 缸；) ( 9 ) 【x ( o ) = x 。，x ( o + ) = x ，o 其中f i = 2 k x ，口i = 6 上= ( 1 + _ 七a + - li ) ( 1 + p 1 ，七：烈，) = l ； 甙f ) = 川+ = - ) 4 ，l ( 2 h a ，知万+ 2 万】、力u o ) 刀+ i 显然方程( 9 ) 淖足引理的条件( 田、，而薹糟c 风懈= 9 高校教师在职硕士学位论文 艺f 一1 西= 艺( f ，+ 一+ 。一f 一) = 艺2 万= + ，即条件( c 。) 成立，从而定理 - = o “一= 0 _ = 0 1 1 2 的条件均满足，则方程( 9 ) 的任意有界解是振动的实际上 顶f ) = ! ，f ：0 2 7 苹一扣吲砜知棚球， 为方程( 9 ) 的一个有界振动解，其中颤。) = 三1 ，x ( o + ) = 。 1 0 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 1 2 带强迫项的三阶脉冲微分方程的振动性渐近性 1 引言 本节考虑 f ，( f ) + a f ) 删= 砸) ( t t 0 ，t ；e t k ，七忉 雄；) = u k x ( t 七) ，z ，( f ；) = 6 | i 抛f ) ，川；) = c t x 。( f f ) ( 1 ) 【x ( t o ) = z o 。j 。和；) = ，工。缸；) = 解的振动性与渐近性，其中0 t o f 。 o ( 0 ( o 否则存在f l 、川二) o ( t t ) 、砸) o 以及z 。( f ) = 一p ( f ) 川) + 稚) 如) ，就有z 一( f ) o ( f | i + i 1 ，f i i + ， 、，) ( 口) 后续证明与文【8 】 中的引理1 后续证明类似，此处略去 注记2 文【8 】引理1 条件伊；) 1 0 f = l ，2 ，刀一1 ) 不充分，缺本节引 理1 2 1 中条件 引理1 2 2 嗍设x q ) c q ，l 1 ，尺l 、t 且墼川) 存在若 存在；r + ，使得川) o ( o ( 0 ) 、t ；：存在肌，使得川) 在o 七，t k + 1 1q 肼) 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 上单调不增；m ；) = a k x ( t 七) ( 后) ，其中o 口。 l ，则魄x ( f ) = ，存 在且，0 对于引理1 2 1 中的条件饵) 换成条件口：) z ( f ) c ( f t ，t k + l 】，尺 、 x 。( f ) p c ( f ，t k + l 】，尺 o = 1 ，2 、k e n u o ) ，且在1 0 f - ，t k + 1 ) ( k e n u o ) l 为 至多有有限个第一类间断点不失一般性，设z ( ( ，) 在( f 。，t k + 1 ) en u 0 、j = l ，2 ) 内只有两个间断点y 、t ? ( 。弦，其中弦 o ( o ( 0 ( o ) ( f ( f i ( 2 弦，t2 ( 2 冲) ) 、工( f ) 0 ) ( f ( f i ( i 弦，t 2 ( 1 弦) 定理1 2 1 设引理1 2 1 的条件 。) 、( 彳，) o = l ，2 ) 与( 曰) 成立， o b i 、c 七l ( 七忉，且e l a - 1i 收敛或0 r 时，有川) o 由引理1 2 1 知存在r o t ，当，上r o 、te ( ，i ，t k + 1 ) 时， 有j 。( f i ) o 、j ( f ；) o 、x ( ，) o ，从而川) 在te ( t 七，t k + l 】 1 1 高校教师在职硕士学位论文 ( f i t o ) 上严格递减 若+ g o f 口i 一1l 收敛，可得到+ 0 0 【川；) 一川。) 】= 艺i 口七一l | 】c ( t 上) 收敛； 上= 1 上= l上= i 由引理1 2 2 知l i r a 川) = ，( o ， + 叫；若o a t l ，使得当f 。t l 、 f 1 0 f ，彳】时，有雄p 五r 记s = 唑七， 从而由( 1 ) 式得 工w ) = 一p ( ，) 】呼) + 们) 一p ( f ) 川) 2 x ( t ，“) 一【c f ，2 z v ，- - ) 一2 b ，t ，z ( ，j ) + 2 口，x ( t 。) 】+ 2 ( 1 - a ，+ ) x ( ，+ ) ( 4 ) 由( 3 ) 、( 4 ) 两式可得 2 x ( t ，“) 一【c i f ；x 弋f 二) 一2 b ，f ，x ( f 二) + 2 口，x ( t ，) 】+ 2 i - - ! ( 1 一口，+ ) x ( ，悄) 一三r ，2 p ( t ) d t ( 1 i ) 当0 口 l 忉时，同理可得 挪“) 一时：，o ：) 一2 bt , x ( t d + 2 口x ( t ，) 】一三r f 2 烈f 砂 在上两式中，由j ”f 2 从f 矽= + 、荟i - a o l 口i 一1 七) 收敛：或由 j 佃，2 p ( t ) d t = + o o 可得，1 i m + 。x ( t “) = 一这与川) 有界矛盾，从而，= 0 - 则方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号趋于零 记s = 唑j 由( 1 ) 式可得 x o ) = 从f ) f ) + 口o ) q ( t ) ( ，( - + i d ，t i + ) 、，) ( 4 最) ( 6 ) 式两边同乘以f2 ，再从f ，到f “积分得 r - ( f 矽一雾f 2 砜r 矽 ( i ) 当艺l 口七二l i 收敛时，由( 4 ) 、( 7 ) 两式可得 ( 6 ) ( 7 ) 卿- q ) 一n f ；x 。( ，j ) - 2 b , t , x ，( ，；) + 2 口一川- ) 】+ 2 萎( 1 一口- + 一) 川一( 8 ) r f 2 砜，矽 ( i i ) 当0 a 上 lo 加时同理可得 2 坤什，) 一p ，t ：x 。( f ：) 一幼f 。x ( 1 二) + 2 口坪) 】 u i t t a l i2 q ( t ) d t 高校教师在职硕士学位论文 在上两式中， ，+ 。t2 q ( t ) d t = 一、荟- i - 。i 口七一l 上) 收敛；或由 f2 q ( t ) d t = 一0 0 可得，魄x ( ，“) = 一这与川) 是有界解矛盾。 则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 与定理1 2 1 的证明类似，可以得到下面的推论1 2 2 推论1 2 2 设推论1 2 1 的条件( 日：) 、( j 。) o = i ，2 ) 与( 召) 成立， o b - 、c 上sl 加，且f 口七一li 收敛或o a 七 l 忉若 f + 12 加矽= + ，则方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号趋于 零；若f + - f2 卯矽= 一，则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 定理1 2 2 设引理1 2 1 的条件饵。) 、( 彳，) o = l ，2 ) 与( 曰) 成立， o b 七、c i l 忉，且i 口七一li 收敛或o r 时，有川) 0 一的前提下，( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 、( 7 ) 、( 8 ) 式均可 运用 1 6 二类脉冲泛函微分方程的振动性与渐近性 由条件( d 。) 可得 等监 厶， m = ooj o ，+ l s r 幺i - ij i + _ * + a + l 一2 肌 + ) = 三p 2 硼矽) ( i ) 当l a 七一l i 收敛时，由( 8 ) 式可得 k = l r t2 x m ( t j i 。 - c t ；x 。( t 二) - 2 b ，t x ，( ，：) + 2 口川。) 】 i 1 + 2 ( 1 一口一扣( f 什。) 与( 3 ) 、( 9 ) 两式合得 扣萎i - i 蕞l = 心 ) a t 】 ) c , t ：x 。o j ) 一2 b ，t z ( f ：) + 2 口。x ( t ，) 】 一2 ( 1 一口一) 砸一) ( i i ) 当0 a l 辑柳时，同理可得 扣 ，+ l 口j + 一 j + c 什- 肌) 西) 掣；，o 二) 一幼l j r ，( f 二) + 2 口。x ( t ，) ( 9 ) ( 1 0 ) 在上两式中当，寸佃时，由条件( c 。) 、, i - o d l 口七一l 上) 收敛；或由 k = l 条件( c ) 知两式左端为+ 与右端有限矛盾，从而，= 0 则方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号趋于零 由条件。) 可得 ，；(x c _ j 外一 j l _ 卸 j l i ；o 1 - 1 鲰矽) ，；匹( 争2c 1 张m 2 q ( t ) d t ) 1 7 ，i 、 2 j r ，一2 一， 口一c h 删 _ i m 尸一， 口一c 脚 高校教师在职硕士学位论文 ( i ) 当罗i 口。一1 i 收敛时，与( 7 ) 、( 1 0 ) 式合得 一i i 、 f ；( 荟i - ic cj + c j + ，f ，：+ + m + l g ( f ) m ) _ c ，f ：x w 二) 一2 6 ，f ，x ( f 二) + 劢，川，) 】 + 2 o - a 佃) m 一) ( ) 当o a 上 lo 忉时，同理可得 承丕i - 1 考芒专专：c 驰瑚) - 印y 2 ( f ；) 一2 6 川j ) + 2 口川j ) 】 在上两式中当z 一佃时，由条件( c ：) 、e l - , 七一l 七) 收敛；或由 条件( c 2 ) 知两式左端为一与右端有限矛盾 则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 与定理1 2 2 的证明类似，可以得到下面的推论1 2 3 推论1 2 3 设推论1 2 1 的条件俾2 ) 、( j - ) = l ，2 ) 与( 两成立， o b 七、c si 够忉， to o ，不妨设r 伽。一1 ，力。】、刀。，f 。t 2 p ( t ) d t r f2 e ( t ) a t p ( ，渺= 三r 出= 帆且听4 f2 p ( t ) d t = 帆 从而定理1 2 1 中的条件均满足，则方程( 1 1 ) 的任意有界解或者 振动或者最终定号趋于零实际上 f 1 ，f = 0 川) = l + ! 为方程( 1 1 ) 的一个最终定号趋 i 早p 。，t ( n - i ，刀】、刀 于零的有界解，其中缸o ) = 1 ，x ，( 0 + ) = x 。( o + ) = o 2 例2 考虑方程 i x _ ( ，) + p o ) 工( ，) = g ( f ) ( f t o = 0 ，t 6 k ，量柳 x ( t ；) = c i 上x ( t 七) ，x ，( ，：) = 6 七x ，( f f ) ，z ( f ；) = c 上x 。( f ；)( 1 2 ) 【0 ) = x o ，鼻( 0 + ) = x ：，z 。( 0 + ) = x ： 其中f = 繇，口t = b k = c k - ( 1 + 若- ) ( 1 + p 1 ，七； 胁1t 嚣( 6 n6 3 n 一+ 3 臻茹勰瓶联川) 】【 ， ， 一2 】u ( 6 刀+ 3 + 2 ，6 ( 刀+ 1 ) 】 1 9 高校教师在职硕士学位论文 f 0 ，f ( 6 n + 3 一压，6 n + 3 + 压】 g ( ，) = 1 + l ，刀nu o 【芦，f 惭渤+ 3 一压】u 渤+ 3 + 压，鼬+ 1 ) 1 显然方程( 1 2 ) 满足推论1 2 1 的条件俾2 ) 、( - t ) o = l ，2 ) 与( b ) ，且 o a 七 f o ，t f 上，k n ) 工( f ；) - - a o 七x ( f 七) ，戈o ( f ；) = 口i 七工o o i ) o = l ，2 ，一，刀一1 ) ( 1 ) lx ( t o ) = 工o ，工o ( f ；) = z ? ( i = l ，2 ，一，n - i ) 解的振动性与渐近性，其中o ，o ，。 f 七 o ( o ( 当 = 2 时，不需要此条件) ， 一- + d 则存在t o t ，当t 上t o 、te ( ，七，t k + 1 ) 时，有( 一1 ) 7 工( w - j ) ( f ；) o ) 、 ( - 1 ) l xc - - ( o o ) u = l ，2 ，刀一1 ) 成立 对于引理1 3 1 中的条件饵) 换成条件俾：) x ( o ec ( f ，k + l 】，尺) 、 z ( 。( f ) p c o 七，f “i ) ，r o = l ，2 ，刀一1 、k u o ) ，且在( f 七，t k + 1 ) o u o ) 内至多有有限个第一类问断点不失一般性，设j ( f ) 在 o - ，t k + 1 ) o = l ，2 ，刀一1 、七u o ) ) 内只有两个间断点f i ( ip 、t 即弦，其 中f i ( i o ( 0 ) ，且满足条件( j ，) o = l ，2 ，矗一1 ) 与俾) ，则存在t o t ，当f 上瓦时，有( 1 ) 7 x 7 ( f i ，卜，冲) o ，( - 1 ) ，x 7 o ) 0u = i ，2 ，刀一1 、，( ，i ( 叫，i ，f2 ( 叫弘) ) 定理1 3 1 设引理1 3 1 的条件饵) 、( 彳，) o = l ，2 ，刀一1 ) 与( 曰) 成 立，0 l ( k s n ) 或i 口。七- 1i 收敛，并且 厂。，一p ( f 矽= + 或厂”f “q ( t ) d t = - ，则方程( 1 ) 的任意有界解是振动 的 当刀为奇数时，若还有o 口他 10 柳或- i - oia o k - - li 收敛，1 ) 并 七2 i 且厂。f “p ( t ) d t = + o o ，则方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号 趋于零；2 ) 并且fh q ( t ) d t = - o o ，则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 与定理1 3 1 的证明类似，可以得到下面的推论1 3 2 推论1 3 2 设推论1 3 1 的条件( 日：) 、( j t ) o = l ，2 ，刀一1 ) 与佃) 成 立，0 1q 忉或艺i 口o i c li 收敛，并且 k = l 伸fh p ( t ) d t = + o o 或i f 1 9 ( f 矽= 一，则方程( 1 ) 的任意有界解是振动 当刀为奇数时，若还有o 口他 lq 柳或i 口破一l l 收敛，1 ) 并 k = l 且f 佃t - p ( t ) d t = + ，则方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号 趋于零：2 ) 并且f 佃t - q ( t ) d t - - - - o o ，则方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 - 定理1 3 2 设引理1 3 1 的条件饵。) 、( 彳。) o = l ，2 ，刀一1 ) 成立， 且以为偶数，若还有条件 f - ，薹警告i 专三_ c 烈，瑚= + ，s 或 f z ，薹善琶芸三苕g o 矽一，j ， 高校教师在职硕士学位论文 则万程( 1 ) 的任葸有界解是振动的 定理1 3 3 设引理1 3 1 的条件饵。) 、( 彳。) o = l ，2 ，刀一1 ) 与( b ) 成 立，刀为奇数，0 口i 。1o = l ，2 ，刀一1 、k 聊，且o 口o l 加或 荟+ a d f 口。一i 收敛，还有条件( 。- ) z 睾急等) h 伽、s 忉， 若有条件伍。) 芝j 坠鱼盟二鱼坐l _ f 烈f 矽：+ ，s n ，则 篇an - - i ，a j + l 口s - i j + _ 以8 + 1 1 1 方程( 1 ) 的任意有界解或者振动或者最终定号趋于零； 若有条件但2 ) 薹孟等鼍三兰尝“们矽= 一距，则 方程( 1 ) 的任意有界解是振动的 与定理1 3 3 的证明类似可以得到下面的推论1 3 3 推论1 3 3 设推论1 3 1 的条件( 日2 ) 、( j t ) o = l ，2 ，一一1 ) 与( 功成 立，以为奇数，0 a j 七lo = l ，2 ，刀一1 、k 忉，j t 0 a o 上 ，o ，七，七n ) 砸) 薯口七x ( t k ) ，j ( f ) = 6 七工( f f ( 1 ) 卜= 烈f ) ，t e 【t o r ，t o l 解的振动性，其中0 t o f l ，t - - - , 0 o ( o ( o ( o ) 证仅就括号外情形证明 证明存在瓦丁，当f t 时，有z ( f ；) o 否则存在t ，t 。、z ( f ：) 0 ( f 丁) 、驰) o 以及x w ) = 叩o 抛一力+ g ( f ) ( 口卫) ，就有x ( f ) o ( f o 川，t t + 1 ) ，j 忉( 口七) ，从而得到r ，( f ) 在 o 州，。) 上单调不增因此对，o ，t 州) 就有 工( f ) s z ( f 二) = 口 0 ( 2 ) 由( 2 ) 式得工o 二。) - l i r a 工( f ) s 工( r 二) = 吨 o ：类似地，o 二：) 抛二) = 6 z ( f 二) s b 川口 o ：由归纳法可得，有 工( 二i ) - 6 什l b + 2 b s + l _ l g ，工( ，) j ( f 厶一1 ) o 、t