（概率论与数理统计专业论文）双边截尾指数分布的统计分析.pdf

摘要 对于寿命试验，目前的讨论主要集中在右定时和右定数截尾场合，而双边截尾情形讨论 较少。完全样本和右定时截尾和右定数截尾都可以作为双边截尾的特殊情况本文系统的讨论 了指数分布下双边定时截尾和双边定数截尾样本下的参数估计并将双边截尾引进到恒加寿 命试验中，得到了恒加试验的相关结这些结果也可以进一步推广到步加等加速寿命试验中 第一部分介绍了双边截尾的数学表达式，定义了后面几章中使用的符号系统，介绍了恒 加寿命试验的两个假定 第二部分推导了双边定数截尾下的失效率的m l e ( 2 3 ) ，双边定数截尾下的b a y e s 估计 ( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，双边定数截尾下的平均寿命的区间估计( 2 4 ) ，双边定时截尾下的平均寿命的 m l e ( 2 1 5 ) ，双边定时截尾下的b a y e s 估计( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) ，双边定时截尾下的平均寿命的矩 估计f 2 1 9 ) 第三部分将双边截尾应用到多应力恒加寿命试验中，推导得到了双边定时截尾和双边定 数截尾下加速方程中系数的极大似然估计( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，推导了双边定数截尾下加速方程系 数的线性估计( 3 7 ) ，推导了双边定时截尾下的线性估计( 3 1 0 ) ，推导了双边定数截尾下利用约 束b a y e s 方法得到各个应力水平下的失效率的b a y e s 估计( 3 1 6 ) ，推导了双边定数截尾下利用加 速因子b a y e s 方法得到正常应力水平下失效率的b a y e s 估计( 3 2 7 ) 和加速因子的b a y e s 估计 ( 3 2 8 ) 第四部分对前两部分的结果做了大量的随机模拟试验并附上了m a t l a b 模拟程序供读者 参考除了第二章的区间估计和第三章的m l e 外，其他结果都都进行了模拟，计算了的平均寿 命和加速方程中系数的估计值的误差和相对均方误差，模拟结果中相对均方误差都控制在 l o - 2 范围内，证实了本文给出的结果是可行的 关键词：指数分布，双边定时截尾，双边定数截尾，恒加寿命试验，b a y e s 估计，加速因子，约束 b a y e s 估计，极大似然估计，线性估计，矩估计，随机模拟 ab s t r a c t f o rt h el i f et e s t ，t h ec u r r e n td i s c u s s i o na r em a i n l yc o n c e n t r a t e di nt y p e ic e n s o r i n ga n dt y p e i i c e b s o r i n g ，b u tt h ed i s c u s s i o no nd o u b l yc e n s o r e dd a t aa r el e s s c o m p l e t es a m p l e c a s ea n dt h et y p e - i c e n s o r i n ga n dt y p e i ic e b s o r i n ga r es p e c i a lc i r c u m s t a n c e so fd o u b l yc e n s o r i n g t h i sp a p e r d i s c u s s s y s t e m a t i c a l l yt h ee s t i m a t e o no fp a r a m e t e r so fe x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nb a s e d o nd o u b l yt y p e ic e n s - o r i n ga n dd o u b l yt y p e i ic e b s o r i n g ia l s oi n t r o d u c et h ed o u b l yc e n s o r i n gi n t ot h ec o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t ，t h e s er e s u l t sc a nb ef u r t h e re x t e n d e dt oo t h e rk i n d so fa c c e l e r a t e dl i f et e s t ss u c h a ss t e p s t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t t h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e ri n t r o d u c et h em a t h e m a t i c a ld e f i n i t i o no fd o u b l yc e n s o r i n ga n ds y - m b o l su s e di nt h el a t t e rc h a p t e r s i n t r o d u c e dt w ob a s i ca s s u m p t i o n so ft h ec o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f e t e s t t h es e c o n dp a r td e r i v et h em l e ( 2 3 ) o ff a i l u r er a t e ，b a y e s i a ne s t i m a t i o n ( 2 12 ) a n d ( 2 13 ) ， i n t e r v a le s t i m a t i o n ( 2 4 ) o fa v e r a g el i f eu n d e rd o u b l yt y p e i ic e n s o r i n g i ta l s od e r i v et h em l e ( 2 15 ) o f r e l i a b i l i t y ，b a y e s i a ne s t i m a t i o n ( 2 1 6 ) a n d ( 2 1 7 ) ，m o m e n te s t i m a t i o n ( 2 1 9 ) u n d e rd o u b l yt y p e _ i c e n s o r i n g t h et h i r dp a r ti n t r o d u c et h ed o u b l yc e n s o r i n gi n t oc o n s t a n ts t r e s sl i f et e s t id e r i v et h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t e ( 3 3 ) ( 3 4 ) a n dl i n e a re s t i m a t i o n ( 3 7 ) ( 3 10 ) o fp a r a m e t e r si nt h ea c c e l e r a t i n g e q u a t i o nu n d e rb o t hd o u b l yt y p e - ic e n s o r i n ga n dd o u b l yt y p e i ic e n s o r i n g id e r i v e d t h eb a y e s i a n e s t i m a t i o n ( 3 16 ) b a s e do nc o n s t r a i n e df a i l u r er a t em e t h o da n d ( 3 2 7 ) b a s e do na c c e l e r a t e df a c t o r m e t h o d p a r tf o u rd o e sal o to fr a n d o ms i m u l a t i o n m a t l a bp r o g r a ma r ea t t a c h e df o rr e a d e r s r e f e r e n c e e x c e p tt h ei n t e r v a le s t i m a t i o no ft h es e c o n dc h a p t e ro fa n d t h em l ee s t i m a t i o no ft h et h i r dc h a p t e r , o t h e rr e s u l t so ft h i sp a p e rh a v eb e e ns i m u l a t e d ic a l c u l a t et h er e l a t i v em e a ns q u a r ee r r o r s i n c et h e 卜 e l a t i v em e a ns q u a r ee r r o ra r ec a l c u l a t e di nt h ea r e ao f10 ，i tc o n f i r m e dt h er e s u l t sa b o v ei s f e a s i b l e k e y w o r d s ：e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，d o u b l yt y p e - ic e n s o r i n g ，d o u b l yt y p e - l lc e n s o r i n g ，c o 。 n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t ，b a y e s i a ne s t i m a t i o n ，a c c e l e r a t i n gf a c t o r ，c o n s t r a i n e db a y e s i a n e s t i m a t i o n ，m a x i m u ml i k e h o o de s t i m a t i o n ，l i n e a re s t i m a t i o n ，m o m e n t e s t i m a t i o n ，r a n d o ms i m u l - a t i o n i i 第1 章绪论 1 1 研究背景 1 1 1引言 在可靠性理论中，特别是在电子产品的可靠性研究中，指数分布是最基本，最常用的寿 命分布，它的失效密度函数 f ( t ) = a e 础t 0 ， ( 1 1 ) 式中允为非负参数 由式( 1 1 ) 可知，其失效率是常数，即五( f ) = 五，平均寿命p = 前人对指数分布寿命数据的研究主要基于完全样本，定数截尾和定时截尾，文 2 2 介绍 了寿命数据分析的步骤和特点，给出了( n ，r ，无) 方案，( n ，r ，有) 方案，( n ，t ，无) 方案，( n ，t ， 有) 方案下的参数估计，以及随机截尾时的参数估计。而实际应用中，若前s 1 个次序观测数 据丢失，则样本转化为双边截尾，关于双边截尾的研究，文 3 中讨论了双边定数截尾帕累托 寿命数据的区间估计，文 1 1 讨论了双边定数截尾指数分布尺度参数的置信区间，另外，文 1 2 ，文 8 也作了双边截尾双参数指数分布相关的研究 随着高可靠，长寿命产品俞来俞多，为了评定产品的可靠性，在正常应力水平下进行截 尾寿命试验也无法适应实际需要，人们发展了另一种可以有效地缩短试验时间的寿命试验方 法即加速寿命试验加速寿命试验主要分为恒加，步加和序加恒加试验是其中准确性最高的， 也是最基础的加速寿命试验而序加和步加试验研究的主要方法也是来源于恒加寿命试验中 研究的方法 加速寿命试验中各加速应力水平下的样本目前研究较多的有完全样本，定时截尾样本， 定数截尾样本文 2 3 详细介绍了指数分布下，w e i b u l l 分布下，对数f 态分布下加速寿命试 验的统计分析 综上所述，关于寿命试验和恒加寿命试验下指数分布的研究目前较多的集中在定时截尾 和定数截尾，这篇文章就是将前人的研究推广到双边定时截尾和双边定数截尾寿命数据样本， 进行寿命试验和加速寿命试验的初步探讨 1 浙江大学硕十学位论文 2 1 1 2 双边截尾和恒加试验双边截尾的定义 在寿命试验中取玎个产品进行寿命试验，当试验时间达到给定的时刻f 2 时，试验停止， 设观察到的次序失效时刻数据为 t l f 2 t r f 2 ( 1 2 ) 这就是我们通常所说的定时截尾样本。若时刻f 1 前的数据未观测到或者也丢失了，则剩下的 观察到的次序失效时刻数据为 f 1 t s t + 1 o ) 类似地，当试验中样品的失效个数达到事先给定的截尾个数，时，试验停止，设观察到 的次序失效时刻数据为 t l t 2 - t r ( 1 3 ) 这就是我们通常所说的定数截尾样本。若前s _ 1 个数据未观测到，则剩下的观察到的次序失 效时刻数据为 屯t + l - t r ( 1 4 ) 这就是双边定数截尾样本我们称s ，r 分别为左，右截尾数 恒加试验中，假设在七个加速应力水平下进行双边定数截尾寿命试验，定义应力f 下的试 验数据满足 0 + 1 0i = 1 ，2 ，后， ( 1 5 ) 其中s 为左截尾数，为右截尾数 类似地，假设在七个加速应力水平下进行定时截尾寿命试验，定义应力f 下的试验数据满 足 0 一 才 0 0 “0 o ，b 一1 参数口，6 通过历史数据及专家意见确定，联合( 2 5 ) 年- 1 1 ( 2 6 ) ，我们得到乡的后 验密度： x ( 2 1 t ) 芘a ”e 一知e 以s ( 1 一e - 2 t , ) ”1 故有r c ( 2 t ) = a 名”e 一知e 一船( 1 一e - a t , ) ”1 ， ( 2 7 ) 其中彳为正则化常数。由于 ( 2 t ) d 3 = 1 ，故 a 一1 = ra 6 + ”p 一加e - a s ( f ( 1 一p 一以) ”1d 2 由 令b = b + mc = a + s ( f ) ，贝l j 么- l _ 广力口p 一胛( 卜e - “) d 2 国 塑鲨鉴塑鲨l 一!一一一 o 2 善c i s _ ( 川f o 口2 1 b e - ( i t , + c ) ad 彳 汹 利用不完 g a m m a 函数恒等式 r x k e - a x 出= 蔫 由( 2 8 ) 和( 2 9 ) k 善s - i 已( 棚浠 f = oi l f 。十乙j ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 由( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 砌= 善s - 1c s _ l ( - 1 ) 南爷) - 1 2 1 b + l + me - a ae - a s ( t ) ( 1 - e - a t ) j - ( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) ，取损失函数为三( 五一互) = ( 名一盒) 2 ，五的b a y e s 估计为： 絮咆 五= e ( 2 1 t ) 2 j 兄7 r ( 2 1 t ) d 2 1 = 彳，名1 + ”e 一幻e 一艚f ( 1 一p 一以) ”1d 彳 = 彳荟s - 1 ，芳器 2 t 荟s - i “川寿善c i s _ 1 ，若器， 其中b - - - b + r s + 1 c = n + + 伽一r ) t r_ - j 、 i = s 由( 2 1 1 ) ，取损失函数三( 秒一谷) = ( 秒一目a ) z ，目的b a y e s 估计 务= e c 去，2 了去刀c 允，z ，d 名= 么了兄6 + m - lp 一知g 一五s t ，( 1 - e - a t ，r d 五 无信息先验分布下务计算相似，只需令口：0 ，6 ：一1 ，代入( 2 1 3 ) 即可 2 2 双边定时截尾情形 ( 2 1 3 ) 本节中假设产品寿命服从指数分布( 1 1 ) ，双边定时截尾寿命试验如1 1 2 所述，试验数 据为( 1 3 ) ，下面分别从m l e ，b a y e s ，矩估计三个方面分析( 1 1 ) 中兄，p 的参数估计 2 2 1m l e 引理3 设誓，) 五州) f 1s 五，) s 五，) f 2 五川) 五。) ) 为试验数据( 1 3 ) 的次 浙江大学硕士学位论文 序统计量记( 五妒，) ) 的联合密度为厂( t ，x a ，则 胞，一) 2 f 赢丽县r 阿1 - e - 2 r 广1 ( e - 2 r z 广7 7 ( 2 1 4 ) 证明：第5 个次序统计量五，) 落入无穷小f n j ( t ，t + 缸) ，第s + 1 个次序统计量五州) 落入 无穷小区间( k 。，t + 。+ 缸+ ，) 第厂个次序统计量一，) 落入无穷小区间( ，+ 缸) 这一事件 的概率等价于五1 ) ，五帕中有s 一1 分量落入区间( o ，r 1 ) ，- - + # n n a ( t ，x s + 缸) ，一个分 量落入( ，+ 缸) ，z 一，个分量落入( f 2 ，+ ) 设这一事件的概率等于厂“，_ ) a x , a x , 则有厂( t ) 缸缸= 一1 a 讲。q c 一。【，( f 1 ) r ( t ) 缸f ( x , ) z l c 1 - f ( r 2 ) r 7 i n m c 厂( t ，_ ) = c - 1 q 一州c ：一，c ：一川 ，( r 1 ) 】”1 1 - f ( r 2 ) ”7 厂( t ) 厂( ) 由( 2 1 4 ) ，令 2 f 赫面冉弦1 - f i ) 川( e - 2 r 2 广7 刍1 1 1 讹伊。 得兄的m l e 旯满足 t r - s + l 一喜州卜1 ) 南七吖矿- o 利用n e w t o n r a p h s o n 迭代法可求其数值解 2 2 2 b a y e s 估计 f l 了( 2 1 4 ) ，似然函数 f 芘力“e 捌( 1 一e - 2 , , ) 一， 其中7 刀= ，一s + l ，s ( x ) = z x , + ( n - r ) r 2 i = s ( 2 1 5 ) 取名的共轭先验密度为g ( 允) 芘允6 e x p ( - ) ，a ) ，兄 0 类似于2 1 3 节，在平方损失函数下，兄的b a y e s 估计为： 盒= 荟s - ic ：一。( 一) i 云- 岛) 叫委s - ic ：一- ( 一) i 差三 乏等尝了， ( 2 6 ) 其中 b = 6 + r s + lc = 口+ 鼍+ ( n - r ) r 2 f = j 在平方损失函数下，0 的b a y e s 估计 浙江大学硕士学位论文 8 2 2 3 矩估计 引理4 e ( x k ) = 秒k i = 1 南n ，七= 1 ，2 ，卅 一f 十1 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 证明： 设x o = o t - - - x s + ，为指数分布的次序统计量， 令 口= 一i + 1 ) ( x t o 一 h ) ) ，i = 1 ，n 则 结合引理3 ，故 ”导+ 鲁1 + + 南nk 刀，l 一一 十l e ( x k ，= 旦n + 鲁n + + 皂nkd - 1 = 唼南n 一l一百一z 十l 由( 2 1 8 ) e 。) = 臼善ki i l 石，可列以下矩估计方程 故 此估计亦可应用于双边定数截尾场合 =乡窆k壹南=si = 1 ，l1 ( 2 1 9 ) 第3 章恒加试验双边截尾指数分布的统计分析 假定在产品寿命服从指数分布的情况下，恒加试验的实施如下： 1 ) 确定正常应力水平& 和七个加速应力水平墨，最，最，这些应力水平一般满足 & s l ，互 o ，( 口 o ，b 一1 ) 根 据产品在各应力水平下试验的独立性，可得到( a ，五五) 的联合先验密度函数 k 7 r ( a ，五，五) o c 兀以岛e x p ( 一以口，) ，口 o ，b 一1 ，( ，五以) 甲 茸 由b a y e s 定理可得a ，五，五的联合后验密度函数 刀( ，五，以丁) 芘兀k 以岛e x p ( 一五口，) 以嘶e 一五s ( r ( 1 一p 一五) 毛一t ) 即 万( a ，如五丁) o c 兀k 乃卅，+ 岛e 一再( 昌( ，) + q ( 1 - e - a e ； ) 毛一) ( a ，如五) 甲 取损失函数为平方损失，则五的b a y e s 估计为 互=ec丑，丁，=写兰苫；丢i三三i羔耋琶害羞措 a ，、，、 ，、 此时，易证却五，五满足不等式0 五五 利用不完全g a m m a 函数恒等式( 参见文【2 3 】) ，得到， 引理7 ( 参见文 2 3 】) p p 币出= 芳 引理8 广x l , e - ：, ( 1 _ e - x b ) d x 2 兰 t ：o i = o 由引理7 和引理8 ，计算下列k f = 0避一f 0 f ! 。 ( i = 1 ，2 ，尼) ( 3 1 2 ) 竖业3 ：p - ( ，螂 一 ：t j = o 么= f ，l ( r & ，五，五) 万( a ，五，五) d a d 以 矿6 1p 州驰1 百碱) 卅d “e 矿+ 6 ie - 椭帅( 1 - p _ 叩一d a s k 1一 k = o t ( a + 邑) 以一。】 一1 = ：o ( 1 一p s k l = k = o p 一诚+ & 钿) ) t 一五一- 锚) 址l _ l p 一破+ 乓+ 洲f 卜 - - m 五一1 _ l + 罐一t ( 一1 ) 4 1 ( t + e a 即1 ，t 0 九m t + 缸p 一五( & ( ，卜吼( 1 一p 一 唆) 一1d 以 ( - 1 ) 反寿 r 矗 唁蚋咱( 1 - e - a ) 叫d a d 以一l ( i k t 乏+ e a 如 味( _ 1 产1 砑嚣静 p 一破+ 最+ 最一t + 锚缸- i ) 一：) ，七一l = o 哦一c i k - r i ，( 一1 ) m i ( i k t 乏+ e + e 一。+ f ：一。) k r 矿 p 叫靴啪( 1 一p 一碾) 而。1d a 厶 ( 攻 ，七一i - o ( i k t 乏+ 乓) q + 1 + 色+ b 一。+ ：一，) 五一： k 。 厶一，! ( 取一l + 乓) ! ( f 支+ 乓+ b 一。+ ：一。) b i + “ ( t + e ) r ”m p 叫驰) + 口l ( 1 一p 一碱) 旷1d e ( 卜e 吨2 镐) 2 p 一吐唆+ 乓+ 乓一l + k - 一i l t 一- + 瓯一2 f ) + 口 一2 五一2 & 一- + 一2 + 一2d 九k 一2 f f 圾惮 仇芝神 仰 = 见一l + k d 2 + 6 v v 厶厶 厶一i = o，2 = o ( 哦一。+ 屯) ! q j ：k + e k + e k + 1 + ”1 罐一，罐：i - l 哦“一1 广钿+ 一岛茄。 ( 砬+ 乞) f ( i k t 墨也! 垒堡墨墨二立羔尘坐 ( 窆饯+ q ) w 厶2 p = 2 f 萎毛+ 岛+ s 卜q 1 ( i e 一 哇) 毛一- d 一五 p 卿 一“1 ) 1 五 厶一l ! 上) + 厶 ( 一1 ) p 轧一嚷一。c 髦c ：一。 如= o ( d l + f 2 ) !( + e ) 能+ 0 ) 即p 1 其中 皿= m i + 岛 类似地，可得到， 厶一，! 置= s i ( t ) + a i 七 ( 唛+ 色) 研+ 1 ( e + 0 ) 如 w = 2 石= j ，五三( 丁a ，五，以) 万( a ，五，五) d a d 五 警d 2 + t 3 哦一c i k - i 哦- l ( 川m 一- + 如 哦一。* i - l 哦一。( 一1 ) p k l + 如 一t = o，2 = o ( b 一。+ 厶) ! 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( 3 1 3 ) + q ) 一钳1 见纠神州 g 厶一 i | 如 、， w k f+ w e 。础 僻 。 i n 0 + 瓦 。一 一 ， 、，l 一聍 ，l + 1， f 。两 = 、， f ，l 墨 、， 尼2i i i ，l q 神州渊唧 = 浙江人学硕十学位论文 1 5 1 垒型 ：( 垒型堕型主，兰! ：二型- ! 薹竺二型：( 3 1 4 ) ( z i t p + q ) 岛+ 岛+ 1 ( z i p t + ) q + 如+ 2 l k !w 1 2 1 对于2 q k 时， ( 石= j ，a o l ( t ，丑，以) 万( a ，如，五) d a d 五 d 警k 譬” 么j 厶 | k i = o l q + i - - o ( 一1 ) p k 一铀哦一c k - 1 一吃一。 ( d q + l + 训( 屯桫皤 i e t f , + e ) 岛+ l + e w + t , ：i w ) 一 一11 ( ( w = q + l + 毛) 州( k p = k 一1 瓦+ 0 ) + 1 t q + l ! p = q + l p 州钟h ) ( 1 - e - 碥) 叫d 广m q 时le w 叫w ( 1 一p 一碱) 。1d 乃 ：擎亨 j ，一j ，一 ：o k t = o ( 见一。+ & ) ! 警岛参 & 一i = o+ i = 0 + q ) 1 + ”1( p = q + l +e廿(玩+wi(ia ) “ + 取) 童l 厂 厶一。! e ( 1 一p 镐) ” ：窆熏芝壹警 = o - i - - - - 0 p = k i ( 仇一1 + 屯) ! k i = o ( 妒”。哦一t 吃罐一- 寿。 ( 色+ 。+ 乞+ ：) 2 饼+ q ) 岛+ l 啊1 k e w + t , ：i w ) 终刍：! ! ( k + e p ) 岛+ “+ 2 ( o k l + 厶) ! 饯+ q ) 钆小1 f 呐呐 r 矿槲( 1 一e 一碱) 旷1d 瞄+ e + 岛一i 卜一i 2 p 1 b l m - q ，一- + 6 q 一- - 1 i + d 歹b l j -i q，j ，1 一 t 2 - - o(一)+瑶一i+(甍一tc，i。-一。t一-(篙一t毋。 ( d q + 乇“+ 1 ) ! 嘭+ q ) b t 鸭+ - ( k + e p ) 。q + “+ 2 似i + e 、厶( 风+ o ) k ( + t ) 童。州钆o ( p = q + l 瓯+ 0 ) 如 ( q + 乞+ t ) ! 饯+ t ) 岛+ 铀+ 1 ( 0 2 + 毛) ! ( 3 1 5 ) 圾惮 纠伊 一 g 乙御 = 羔伊 尽乙惮 g 乙p p 护 。陟 ，l 唧 。h ( p m 伊羔p 0 = o 1 1 h + 吨呸 、， q + 嘭 0 。戽 ，i 、 瞄 五 恐 丑 汁估 se y ab 的 屯五丑 “u至得而从 $ i3 ，八q i3 又” l3 又动 1 0 由 浙江人学硕士学位论文 1 6 互= 鲁，五= 鲁，q 吃 七 ( 3 1 6 ) 有了a ，如，疋，根掘加速方程( 1 。8 ) ，则可用最小二乘法得到a , b 的估计，进而可得到正 常应力下失效率及平均寿命在加速寿命试验之前，若未对产品其他试验，则名的先验密度可 取无信息先验密度，如取无信息先经分布万( 名) 芘名，以上分析要求取a ，- 1 ，包20 的整数， 若不是整数，则需要利用插值求解或求以上式子的数值解。 3 3 2 加速因子b a y e s 估计 顺序约束b a y e s 方法可以有效综合产品在各种加速应力水平下的先验信息，其优点是它 不依赖加速模型，缺点是无法利用产品在正常赢利的先验信息，而一般情况下，人们最易于 了解和掌握的产品在正常应力水平下的先验信息，为了充分利用这种先验信息，这里借助加 速因子将模型参数进行变换 由加速模型( 1 8 ) ，有丑= 九p 6 矿品m 墨= 厶口k ， ( 3 1 7 ) 式中，九中为产品在正常水平下的失效率，口= 矿伊岛卜妒钠= 争为产品在应力水平s 和篷之间 的加速因子，其变化范围是 口 1 ，甲，2 篇f = 1 ，2 ，死 由于缈( s ) 一般为单调函数，因此有甲t 甲七- l 甲l = 1 结合( 3 1 1 ) ，( 3 1 7 ) 似然函数 l ( r & ，如，五) 芘血 凡鸭口甲，竹矿和s ( 。( 1 - e - 和) 而一一) ( 3 1 8 ) 此时，式子中只有两个参数九和口在实际加速寿命试验中，人们最关心且最易于了解的是产 品在正常应力下失效率凡和加速因子口，因此参数厶，口的先验分布形式较易确定，从而避 免了确定各加速应力水平下产品失效率先验分布的困难若在恒加试验之前产品无任何先验 信息，加速因子口只与应力水平s 有关，见参考文献 2 3 】，则磊，口独立，尽管在实际中关于 加速因子口的先验信息较少，但根据工程经验很容易确定加速因子口的变化范围，即 1 5 墨 口 如 由文 2 3 选取口的先验密度万缸) = i 1 1 k l o ，6 一1 ，1 毛 口 o ( 3 1 9 ) 由式( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 可得到参数凡，口的后验密度，即 万似，九d ) 丢凡e x p ( 一九口。) a 凡竹口掣，蚂e - a o a 帅驰( 1 一p 一枷) 毛- 1 ) ( 3 2 0 ) 由( 3 2 0 ) ，九，口的边缘后验密度分别为 c 口，。，= 1 - 篆，乃c 气，。，。1 | 一3 2 。 e 难，2 0 d ) d 口= r 去柞嘲耳k 坩泸码矿垛f ) ( 1 - e - 矿 4 广胁 = r 芝 = o n 窆2 = o 茎吉九6 0 + 喜p 一如口喜甲f 竹p 一厶善。q 昂( r ) ( 造一。( 爱一。( 一，) 荟吩p 一如善岛口f j d 口 罐中一罐一，( 一1 声岛九6 0 + 跏1 = 1 矿钒r罐中一罐一，( 一1 ) 引九一矿钒r a ! 善甲，一le 一如善口s r 卜岛d a ( 3 2 2 一) 口8 1 。1 ( 3 ) r 万( 口，九d 矽九：芝芝兰罐小一c 雯一。( 一1 声岛口善。1r 九”善珊e 咄驴毗俩。卜 枷引d 九f - 万似，九d 矽九= c 宝小c 雯一。( 一1 ) 鲁。口智f 九。智1e ”智。 1 “。1 。d 九 _ i l i = 0 卸也卸 2善茎茗罐十一罐一声k岛口善k_1忑iic323， = o _ 1 1 2 = o惋= 0， 。鬼 l y e - , r 竺和 ( 3 2 4 ) 南幽 + 磁) 】+ 弦q 令_ 啊，c x ，y ，= ei薹三云i：i蒜d口，由(321)，(322)，(323)，(324)，得至ij 窆忡掣厶坤即忡 i i 芝坤 争甲m 一l 篁、=0h窆2=o蓑罐小一罐-1声k(+妻嘲h忑五iik 死( 口d ) - 1 三l 一( 3 2 5 ) 窆篁罐一c 芰- l ( 一1 ) 善吩 +k聊w(仙)(k甲腭一1，bo+k(bo m ，+ 1 ) 罐c 芰一。( 一1 ) 竽+ 聊w ( 仙 ) ( 甲腭一1 ，+ m r + 1 ) 乃( 凡d ) 。 t 甲，m i i一如 【口( 昌( ，卜 j 呜) 】 口1 2 1 p 2 篁篁窆罐中一罐q ( 一声岛九”争e - 钒罐中一罐q ( 一1 ) 掣九冶钒 d a 取损失函数为平方损失时，由( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) ，参数的b a y e s 估计分别为 ，m 凡2 上凡乃( 厶d ) d 凡 会= e 口乃( 口d ) d 口 双边定时场合b 缈劣估计计算完全类似于双边定数场合b 缈嚣估计 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 一肆一 一唧一誊坤 一窆忡 第4 章随机模拟验证 为方便模拟，本章除了4 6 节外，均采用定数截尾。 4 1m l e 取参数真伽o = 3 0 循环次数t = l0 0 0 样本数n = 2 0 ，牛顿迭代法初始2 0 ，迭代误差取 o 0 0 0 1 步翌舻掣t = l 胡左截融，为椭麟眦俐表1 黼 。t。t 木钟 、 。 表1 n = 2 0r = 2 0r = 1 9r = 1 8r = 1 7 臼2 9 9 9 5 52 9 7 9 2 52 9 7 4 5 92 9 6 9 7 7 s = l 国 0 0 4 8 9 0 0 4 9 90 0 5 5 lo 0 5 8 0 口2 9 9 5 9 82 9 8 6 6 02 9 8 3 8 63 0 2 1 9 3 s = 2 国0 0 4 8 10 0 4 8 70 0 5 7 6o 0 6 1 6 口3 0 2 3 5 23 0 0 0 1 82 9 7 4 9 33 0 0 4 6 7 s = 3 缈o 0 5 0 4o 0 5 1 1 0 0 5 5 2 0 0 5 6 3 矽2 9 9 8 1 72 9 8 8 1 32 9 8 4 6 32 9 8 9 4 1 s = 4 国 0 0 4 9 90 0 5 2 90 0 5 7 50 0 6 0 5 可看出随着s ，的增大，相对均方误差随之增大 4 2 b a y e s 估计 取参数真值0 0 = 3 0 ，f ，厅芦，0 ，缈同4 1 节 取2 1 3 节中a = o ，b = 0 时，依( 2 1 3 ) ，模拟得到表2 数据： 表2 n = 2 01 - = 2 0r = 1 9r = 1 8r = 1 7 口2 8 5 4 9 22 8 8 1 9 6 2 8 0 8 3 9 2 8 5 2 9 8 s = l 缈0 0 4 8 20 0 5 3 90 0 5 5 10 0 5 6 4 1 9 浙江大学硕十学位论文 2 0 续表2 p2 8 6 0 5 92 8 4 3 8 72 8 3 3 4 22 8 1 8 1 9 s = 2 c o 0 0 4 5 8 0 0 5 0 60 0 5 2 80 0 5 2 7 9 2 8 8 2 4 0 2 8 4 1 2 42 8 2 0 3 42 8 8 3 5 8 s = 3 0 90 0 4 7 20 0 4 8 60 0 5 0 30 0 5 0 9 秒2 8 4 7 3 42 8 3 5 5 32 8 2 3 2 02 8 2 9 7 7 s = 4 c o 0 0 4 6 20 0 4 5 40 0 5 5 10 0 5 3 7 取2 1 3 节中a = o ，b = 一1 时，依( 2 1 3 ) ，模拟得到表3 数据： 表3