（基础数学专业论文）环上对称矩阵模的线性保持问题.pdf

；1 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在 年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名：皇窒垒 日 导师签名： 臣多差 日 、， 期：星垒垃，垒堑 期：兰! ! ! ! 垒! ! ! 环上对称矩阵模的线性 刻画矩阵集之间保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性算子的问题被 称为线性保持问题。线性保持问题是矩阵论研究领域中一个十分活跃的课题，它在微 分方程，系统控制等领域有广泛的应用，近年来取得了丰硕的成果。 本文在介绍线性保持问题的背景和发展概况之后，讨论了环上对称矩阵模的线性 保持问题。本文的主要结果如下： 1 刻画了特征不为3 且2 为可逆元的主理想整环上对称矩阵模到全矩阵模的保 逆线性映射的形式。 2 刻画了2 ，3 ，5 为可逆元的交换幂等可对角化环上对称矩阵模到全矩阵模的保 幂等的线性映射的形式。 关键词：主理想整环；交换幂等可对角化环；逆矩阵；幂等矩阵；线性映射 作者：史雪莹 指导教师：游宏 l i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e m so ns y m m e t r i cm a t r i xm o d u l e so v e rr i n g s e s e r v e rp r o b l e m so ns y m m e t r i cm a t r i x m o d u l e so v e rr i n g s a b s t r a c t c h a r a c t e r i z et h el i n e a ro p e r a t o r sw h i c hp r e s e r v ec e r t a i nf u n c t i o n s ， t r a n s f o r m a t i o n si n v a r i a n t sb e t w e e nm a t r i xs e t sa r ec a l l e d “l i n e a r l i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e mi sav e r ya c t i v et o p i ci nt h ef i e l do fm a t r i x t h e o r y , i th a sw i d ea p p l i c a t i o n si no t h e ra r e a s ，s u c ha s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s y s t e m s c o n t r o l ，e t c i nt h er e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo nt h el i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e mh a sm a d eg r e a t p r o g r e s s a f t e ri n t r o d u c i n gt h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n to ft h el i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e m ， w es t u d yt h ep r o b l e mo fl i n e a rp r e s e r v i n gi n v e r s e sa n di d e m p o t e n to ns y m m e t r i cm a t r i x m o d u l e so v e rr i n g s t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 w ec h a r a c t e r i z e dl i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e sf r o ms y m m e t r i c m a t r i xm o d u l e so n t om a t r i xm o d u l e so v e ra p r i n c i p a li d e a ld o m a i no fc h a r a c t e r i s t i cn o t3 a n ds u p p o s e2i sau n i t 2 w ec h a r a c t e r i z e dm a p sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tm a t r i xf r o ms y m m e t r i cm a t r i x m o d u l e st om a t r i xm o d u l e so v e rac o m m u t a t i v ei d e m p o t e n c e - d i a g o n a l i z a b l er i n ga n d2 ，3 ， 5a r e u n i t s k e y w o r d s ：p r i n c i p a li d e a ld o m a i n ；c o m m u t a t i v ei d e m p o t e n c e - d i a g o n a l i z a b l er i n g ； i n v e r s eo fm a t r i x ；i d e m p o t e n tm a t r i x ；l i n e a rm a p 一7 2 1 引言5 2 2 主要概念及引理5 2 3 主要结论及证明8 第三章交换幂等可对角化环上对称矩阵模到全矩阵模保幂等的线性映射1 8 3 1 引言18 3 2 主要概念及引理。18 3 3 主要结论及证明2 0 结论2 3 参考文献2 4 致谢2 6 环上对称矩阵模的线性保持问题 本文采用保持问题研究文章中常用的定义及符号： r 一在第二章中表示主理想整环，第三章中表示交换幂等可对角化环，r 表示r 中可逆元全体构成的集合。 m m 俾) 一表示r 上m 阶矩阵所成的模。 s 。( r ) 一表示r 上刀阶对称矩阵所成的模。 g l m ( r ) 一表示坂( r ) 中所有可逆矩阵所成的群。 l 一表示m 阶单位矩阵。 q 一表示m 阶零矩阵。 巨，表示( f ，) 位置为l 其余位置为0 的矩阵，其阶数由上下文确定。 q 表示第f 个元素为l 其余元素为0 的列向量，其维数由上下文确定。 曲一表示矩阵易+ 巳，其阶数由上下文确定。 岛表示矩阵l 一巨，一岛，其阶数由上下文确定。 a0 b 一表示矩阵彳与b 的张量积。 彳。口表示矩阵历昭( 彳，b ) 。 【1 ，z 】一表示整数集合 l ，2 ， ) 。 厶( 尺) 一表示矩阵集合 么3 = 彳l 彳心( r ) 。 z ( r ) 一表示矩阵集合 么2 = a a 鸭( r ) ) 。 z 一表示整数集。 绪论 环上对称矩阵模的线性保持问题 1 2 问题的背景和发展概况 矩阵代数是代数学的一个重要研究领域，它在经济、控制、计算机、图论等许多 - 方面都有应用。设k ，k 为两个矩阵空间，刻画从k 到的保持某些函数、子集、关 系、变换等不变量的映射的结构问题称为保持问题。保持问题是矩阵代数中的一个重 要的研究分支，包括线性保持问题，加法保持问题和乘法保持问题。保持问题的研究 结果加深了人们对于线性结构与代数结构之间关系的理解，同时也为其它代数分支的 迸一步研究提供了许多新的技巧和方法。 关于保持问题最早可以追溯到十九世纪末，1 8 9 7 年，g f r o b e n i u s 在文献【1 】中给 出了保行列式的线性算子的刻画。由于保持问题最初是从理论上以反问题的方式提出 的，较长时间没有引起足够的重视。2 0 世纪4 0 年代，华罗庚在文献【2 】中将实域上的 仿射几何基本定理推广到除环上，刻画了长方阵仿射几何空间和射影几何空间中保粘 切映射的形式。万哲先及其学生研究了任意域上对称矩阵几何和交错矩阵几何以及有 对合的除环上h e r m i t i a n 矩阵几何，并且给出了它们在代数、几何和图论等方面的应 用( 见文献【3 】) 。2 0 世纪7 0 年代，在美国矩阵论专家m a r c u s 4 研究了矩阵的秩1 保持 这一核心问题之后，大量的线性保持问题的文章和成果涌现( 参见综述文章【5 】) 。使 得保持问题的研究发展迅速，人们开始了各种矩阵代数或算子代数上保持不变量问题 的研究。经过多年的发展，这个领域的研究取得了丰硕的成果。 研究各种不变量以及保持不变量的映射和变换历来是数学各学科领域关注的问 题。刻画矩阵空间的保持不变量的线性映射已经成为矩阵论研究中一个极为活跃的课 题，通常被称为“线性保持问题 。线性保持问题是保持问题中最基本、最常见的保 持问题，一方面是由于它的理论价值；另一方面是由于它在微分方程、系统控制等领 域都有着广泛的应用。如在解答微分方程时，为了简化问题，我们希望在解方程组之 前对其做一变换，一般要求变换应该是简单的且具有较好的性质，这些都与线性保持 问题有关。 矩阵代数上线性保持问题大致有以下几种类型： ( 1 ) 研究保持矩阵的某种数量特征不变的线性映射，如研究矩阵代数上的保行列 2 环上对称矩阵模的线性保持问题第一章绪论 式的线性映射( 【1 ) ；保秩的线性映射( 6 9 】) 等。 ( 2 ) 研究保持矩阵之间某些关系不变的线性映射，如研究矩阵代数上保乘积零的 线性映射( 1 0 】) ；保相似的线性映射( 【1 1 一1 3 】) 等。 ( 3 ) 研究保持矩阵代数上的变换不变的线性映射，如研究矩阵代数上保可逆的线 性映射( 【1 4 1 - 6 】) ；保转置、伴随变换的线性映射( 1 7 】) 等。 ( 4 ) 研究保持矩阵的某些性质不变的线性映射，如研究矩阵代数上的保幂等的线 性映射( 【18 - 2 3 】) ；保幂零性的线性映射( 2 4 】) 等。 近年来，对域上矩阵空间之间的线性保持问题的研究成果相对较多，解决不同矩 阵模( 空间) 之间的保持问题引起了许多学者的重视。如域上对称矩阵空间的线性保 逆问题早以开始研究：2 0 0 4 年，曹重光在文献 1 4 仲给出了实数域上从n 阶对称矩阵 瓤空间到m 阶对称矩阵空间保逆矩阵的线性映射的形式；2 0 0 5 年，皇甫明和曹重光在文 献 1 5 】中将实数域推广到特征不为2 和3 的域，刻画了从刀阶对称矩阵空间到m 阶全矩 阵空间的保逆矩阵的线性映射。 矩阵空间的保持幂等关系的问题则是保持问题中一个年轻而活跃的分支，随着线 性保持问题结果的不断涌现，幂等集上的的线性保持结果也逐渐完善。1 9 9 7 年，刘 绍武在文献 1 8 】中给出了主理想整环上全矩阵模保幂等的线性映射的形式；2 0 0 3 年， 佟鑫和曹重光在文献 2 2 q p 亥0 画了特征不为2 ，3 ，5 的域上n 阶对称矩阵空间到m 阶 全矩阵空间保幂等的线性算子；2 0 0 5 年，曹重光和张显在文献 1 9 q p 亥u 画了有单位元 1 的连通交换环上甩阶矩阵模到m 阶矩阵模保幂等的线性映射。 目前，对于环上不同对称矩阵模之间的线性保持问题的研究成果相对较少。因此， 继续研究这些保持问题仍有意义。 1 3 本文的主要结果 本文共分为三章，主要研究了环上对称矩阵模的线性保持问题。全文结构如下： 1 第二章刻画了特征不为3 且2 为可逆元的主理想整环上对称矩阵模到全矩阵模 的保逆线性映射，即证明了 定理a 令r 表示交换的主理想整环，且c h a r r 3 ，2 r ，则厂是s 。( 尺) 到 环上对称矩阵模的线性保持问题 性映射当且仅当存在不全为零的非负整数p ，q ，使得聊= n ( p + q ) 使得对任一x = ( 嘞) s 行( 尺) ， ( x ) = p x 。历昭( ，一) 一1 。 示交换的主理想整环，_ 且c h a r r 3 ，2 r + ，则是s 。( 尺) 到瓯( r ) 上的保逆线性映当且仅当存在不全为零的非负整数p ，q ，使得聊= ，2 ( p + g ) 且存在 尸g l m ( r ) ，满足p r p - - go 矿) o ( 厶 形) ，使得对任一x = ( 而) s 一( 尺) ， 厂( x ) = 尸 x p 讲昭( ，一) 尸， y 和是p x p 和q x q 阶阵。 2 第三章刻画了2 ，3 ，5 为可逆元的交换幂等可对角化环上对称矩阵模到全矩阵 模的保幂等的线性映射，即证明了 定理c 令r 表示交换幂等可对角化环，2 ，3 ，5 r ，则厂是最( r ) 到( 尺) 上非 零的保幂等的线性映射当且仅当存在p 呱( 尺) 和正整数，且m 朋，使得对任一 x = ( 吻) 最( 尺) ， f ( x ) = 尸( r 圆o q ) p 一， 其中m = h r + s 。 进一步得到了 推论d 令尺表示交换幂等可对角化环，2 ，3 ，5 r ，咒，所为正整数，则厂是& ( r ) 到( r ) 上非零的保幂等的线性映射且满足厂( 厶) = 厶当且仅当对某个正整数，且 m = r n ，存在尸g l m ( r ) ，使得对任一x = ( 吻) 最( r ) ， 厂( z ) = 户( x o ) 尸一。 最后给出了结论及对未来工作的展望。 4 的关注，见文献 1 4 - 1 6 ，1 8 2 0 。文献 1 4 1 6 对域上阶数不同的对称矩阵空间上的线性 保逆矩阵的映射作了刻画。本文所讨论的是特征不为3 且2 为可逆元的主理想整环尺 上的对称矩阵模到矩阵模的保逆矩阵的线性映射。 2 2 主要概念及引理 定义2 1 令厂是r _ k n 阶对称矩阵模s 。( 尺) 到r 上聊阶矩阵模坂( r ) 上的线性 映射，若厂满足厂( x ) = 厂( x 1 ) ，对任一x & ( r ) n g l ( r ) ，则称厂为保逆线性 映射。 定义2 2 令彳m m ( r ) ，若矩阵彳中不为零的子式的最高阶数为，则称彳的秩 为，记为r ( a ) - - r 。 引理2 1 2 5 对任一彳坂( r ) ，r ( 彳) = ，存在p 瓯( r ) 和q 瓯( r ) ，使 得 p a q = 0 o ，其中z 0 且zi z “，i = 1 ，。 咖2 2 对任一彳坂( 趴存在尸呱( 砂使得p a p - = ( a o a i 。r m - 一 o 环上对称矩阵模的线性保持问题 m 。( r ) ，存在p 呱( r ) 和q 瓯( r ) ，使 0 o ，其中巧o 且z 1 4 + 。，i = 1 ，。 0 一= 针 0 只有零解当且仅当r ( a ) = 聊( 未知量的个数) 。 环上对称矩阵模的线性保持问题 又r ( 4 。4 ：) = ，由引理2 3 取= ( 乞甜有 e = e , a e , 一1 e = - 1 = 令：? = ( 最# ) ，则p - i 彳尸= 引理2 5 设尺是主理想整环，a 厶( r ) ，则存在尸瓯( r ) ，使得 尸a p = 4od ，其中彳= 。 证明由a e 厶( r ) ，可得( 彳2 ) 2 = 么2 ，即么2 为幂等阵，由8 1 3 n2 4 ，存在 p 瓯( r ) ，使得 再由彳2 么= 彳= 州2 ，可得 尸- 1 彳2 尸= od ，其中，= 尺( 彳2 ) 。 p 一1 a 2 p p a p = p a p = p 一1 a p p 一1 a 2 p 。 舻1 肚匕甜则 ( 台吕) ( 置主 = ( 置乏) = ( 乏乏) ( ：暑) ， 即 ( 鲁 o3 = ( 乏乏 = ( 置吕 ， 故4 = 4 = a 4 = 0 。即有尸a p = 4 o d ，2 2 p - 1 a 2 p = od ，故彳= 。 引理2 6 设r 是主理想整环且2 r ，令a 坂( r ) 满足a 2 = ，则存在 p e 瓯( r ) ，使得尸- l a p = 【1 1 ，- 1 一1 】。 7 性保持问题 证明( 1 ) 因彳= 4 ，由引理2 5 得：存在丑g l m ( r ) 使得 墨。4 日= & od ，其中焉= 。 由4 4 = 0 ，得毋- 1 4 毋= d oc 2 ，其中c 2 为m 一阶矩阵。 再由4 = 4 ，有q = c 2 。由引理2 2 ，g - 在o = g l m 一。( r ) ，使得 劣1 c 2 q = od ，其中= 。 g j2 o 取b = ( 台星 ，则巧1 日一4 丑昱= 。& 。，而巧1 互一4 露昱= 。& 。仍成立c 其 中= ) ，依次下去，因彳+ 彳- - i ，故存在尸瓯( r ) ，使得： p - 4 e = a i a g ( o , , q q ，e ，o f _ io * o r , ) ，其中鬈= ，；= 研。 ( 2 ) 当2 r 时，由引理2 6 易得结论成立。 环上对称矩阵模的线性保持问题第二章主理想整环上对称矩阵模的保逆线性映射 且存在尸瓯( 尺) ，使得对任一x = ( ) s n ( r ) ， ( x ) = p x 。a i a g ( i ，一) p 1 。 证明充分性显然。 下证必要性。 取口r 及6 r ，对不同的f ， 1 ，刀】，由( 6 _ 1 岛+ 鸩，+ s ) = 6 岛一呜+ s 可得 f ( b _ d 4 + n e i ij 卜s u l f q d q a e n + s 0 = i m ， 即 ( 岛) 2 - b 1 a f ( 岛) ( ) + 6 。( 岛) f ( s 口) + a b f ( e j ，) ( 岛) 一口2 ( 巨，) ( ) + 矿( e ，) 厂( 岛) + 可( 岛) 厂( 岛) 一a f ( s o ) f ( e j j ) + 厂( 西) 2 = 厶， ( 2 1 ) 令a = 0 ，则( 2 1 ) 变成 厂( 岛) 2 + ( 岛) 厂( s ) + 可( & ) 厂( 岛) + 厂( 岛) 2 = 厶， ( 2 2 ) 故 厂( q ) 2 + 厂( 咒) 2 一l + 6 。( 吃) f ( s u ) + b f ( s q ) f ( d ，) = d 。 在( 2 3 ) 式中分别令b = 1 ，- 1 得 厂( b ) 2 + 厂( 毛) 2 - i + 厂( 岛) f ( s o ) + f ( s u ) f ( d o ) = d ， 厂( q ) 2 + 厂( ) 2 一厶一厂( 岛) 厂( ) 一f ( s u ) f ( d , s ) = d ， ( 2 4 ) 式减去( 2 5 ) 式得 2 ( 岛) 厂( 苗) + 厂( 毛) 厂( q ) = 0 ， y 2 r 故 ( q ) 厂( s ) + 厂( s ) 厂( 岛) = 0 。 将( 2 6 ) 式代入( 2 4 ) 式得 ( 岛) 2 + ( 岛) 2 = l 。 把( 2 7 ) 式代入( 2 3 ) 式得 6 _ 1 ( 岛) 厂( 蜀) + b f ( s , j ) f ( d , j ) = 0 ， 9 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 上对称矩阵模的保逆线性映射 环上对称矩阵模的线 别令b = l ，2 得 厂( 见) f ( s o ) + f ( s o ) f ( d o ) = 0 ， 、i 1 ( 岛) 厂( 毛) + 2 f ( s , s ) f ( d o ) ：d ， 时乘以2 再减去( 2 1 0 ) 式得 丢厂( 岛) 厂( 毛) = 0 。 故 厂( b ) ( 毛) = 0 ， 这里f ，j 1 ，万】，i j 。 把( 2 11 ) 式代入( 2 9 ) 式得 ( s ) 厂( 岛) = 0 ， 这里f ，【l ，刀】，i j 。 把( 2 2 ) 代x ( 2 1 ) 式，令a 0 ，( 2 1 ) 式变为 - 6 。1 厂( 岛) 厂( ) + 可( 毛) 厂( 岛) 一a f ( e ，) 厂( ) + 厂( e ，) f ( s o ) - f ( s o ) f ( e x s ) = 在( 2 1 3 ) 式中分别令口= 1 ，a o ，其中a o r j l a o o ，1 ，然后两式相减得 a o f ( e i t ) 厂( ) = 厂( e , i i ) 厂( ) ， 由0 ，1 可得 厂( 色) 厂( ) = 0 ， 这里f ，歹【l ，刀】，i j f 。 厂c 岛，厂c 易，= 厂c 厶一邑一，厂c ，= l k 喜- ：, , j 厂c ) 厂c 岛，= 。， 同理厂( 毛) 厂( q ) = d ，所以 这里i ，j 1 ，刀】，i 。 由厶= 厶得( 厶) 一1 - y ( i ) 即 厂( 厶) 2 = l 。 由( 2 1 4 ) 式得 ( 2 1 7 ) 厂2 ( 巨1 ) + 厂2 ( e 2 2 ) + + 厂2 ( ) = 厶， ( 2 1 8 ) 上式两边同时左乘f ( e j ，) ，再由( 2 1 4 ) 式可得 厂3 ( 巨，) = 厂( 巨。) ， 对所有的f 【1 ，z 】。 下证对任一后 1 ，聆】，厂( ) o 。 若存在p 【l ，行】，使得厂( ) = 0 ，由( 2 1 6 ) 式得 ( ) 厂( 巳) = 0 ， 对所有坳【1 ，刀】，j p ， 在( 2 2 ) 式中令f = p ，且右边乘以厂( ) ，再由( 2 1 5 ) 式和( 2 2 1 ) 式可得 故 厂( 巳) = o ，对所有的 1 ，行】，j * p 。 厂( 厶) = 厂( e 。) = d 。 与( 2 1 7 ) 式矛盾，故 厂( 巨，) 0 ，对所有的i 【1 ，n 】。 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 式和引理2 7 可得：存在日呱( r ) ，使得 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 0 罡一1 厂( 巨，) 置- - d i a g ( o r , q - l 色，q “o n ) ， ( 2 2 2 ) 其中焉= ，垅= 。 理想整环上对称矩阵模的保逆线性映射环上对称矩阵模的线性保持问题 b - 1 ( 岛) 日按( 2 2 2 ) 式的准对角阵分块，块为，：阵，其中任意( f ，j f ) 位置为 歹= ，i ，碰2 为，：，阶阵，由( 2 1 6 ) 式可得 墨f ( s o ) p 。= ：蹴0 磷! l e 20 磷e ： ? e ! ： i g ：0g ：+ e ：乙0 e ! ：e 2 000 0 0 剐0 0 摩： i e 盘。0e 2 “e 2 d 0 e 2 h 9 2 啦呓q0 叱+ 磷乙0 啦“啦 00 删0 0 000 嗽犯q0 呓h 磷_ q0 啦+ 1 一啦 础碳0 嗽醒。0 哦础 令 q = 墨f ( s g ) p 。一 即 故 厂( 岛) = 互 d d dd 0 0 嘲0 0 础0 0 d d dd d d dd 0 0 嘲0 0 喇0 0 d d od + q ( 2 2 3 ) 00 喇剐0 d d dd 而 日一1 厂( 岛) 2 墨= d i a g ( i , , ，q ，r + l ，q ，i h 1 ) 把( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 式代k ( 2 7 ) 式可得 嘴噬= k 噬哦= i r j ， 上式表明= 乃( 见 2 6 】) 。令= r j = ，则由( 2 2 2 ) 式可得 其中缉2 = ，m = 附。 互以厂( 邑) 只= ( 巨， 耳) ， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 再由2 r 和引理2 7 可得存在最呱( r ) ，使得 ( 互沪b 置，o d i a g ( 1 p , ，一l ) 弦， ( 2 2 8 ) 其中b + 仍= ，m = n r ，昱= 丘西昭( 墨。，墨：日。) ，互，为，阶可逆阵，f 【l ，胛】。 再由( 2 11 ) ，( 2 1 2 ) 式可得 墨。厂( s ) 墨= 其中e ：) ，喇都是，r 阶阵。 d d 0d 0 0 彬0 0 删0 0 d d 0d 令巧1 f ( s u ) p 2 = ( 乞p 4 零) + ( 弓， 删) ， 都是，阶阵。 1 3 ( 2 2 9 ) 其中4 ：) = 露i 1 e 才墨，创= 巧1 喇兄 称矩阵模的线性保持问题 其中c ( o ，q 矿分别是p f 岛，q , x g 阶阵； x p j p i x q j ，q i x pj p i q j ，q t pj 阶降， ( 2 3 0 ) 同理将矩阵掣分块为 霉：霉) ，这里哆，嘭，哆，嘭分别是乃b ，乃吼， q jxp , ，乃xq , 髟r 阵，其中只+ g l2 ，乃+ 劬2 ，司得 制= 嘭k c 。( ，o ， 这里c 。( g ，哆分别是马只，q ) x 留，阶阵。 故 巧1 f ( s u ) p 2 = e 。 ( 嘤。q ”) + b 。( 嘭。哆) 。 由( 2 2 6 ) ，( 2 3 0 ) ，( 2 31 ) 式可得 唑c 蛩= i p i ，咄c ( u ki p j ，c 攀c | ! j o 。= i q i ，掣c p = i q j o 上式表明只= p j ，q 1 = q j ，令只= p ，吼= g ，则由( 2 2 8 ) 式可得 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 环上对称矩阵模的线性保持问题第二章主理想整环上对称矩阵模的保逆线性映射 f 厂( 巨。) = p 巨， d i a g g ，一) 尸一 1 厂( & ) = p & 圆幽昭( ，一) 尸一l 。 ( ) 当刀3 时，对于互不相同的f ，k 【1 ，胛】，记 。 m 社= d k + s q + s 量+ s j k ，n 忸= i n 一2 e n 一2 e n 一2 e | d 【+ s + s 彘， 由螂= 可得厂( ) = 厂( ) ，即 f ( m 鲋, ) f ( n v k ) = l 。 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 3 6 ) 式可得 故 ip0 哦i 0 喏1 0 0 一0q 驴) 0 ( 成 ( 嘴) 叫0 00 辔0 0 ( c i 功) 叫0 0 0 ( 群，) d ( 掣，) ddd d ( a 剐) d ( 嘭，) d d 一ip d 000一ip0 ( c 政) ddd 磷= 嘴掣，c 叫= 一( i 鲫。 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 2 ( p + g ) ， ( 2 3 7 ) + p = p 2 b ，其中b = 纰 州( 一c f 嘲，啦一c f l 3 ) c k o n ) r ( ) 。 ， 1 5 d 够d d 水、d d d d 掣d 掣d d l r， dd掣 d 删岛 d c ( 2 3 8 ) 证明因& ( r ) 坂( r ) ，故对任一厂是s 。( r ) 到( 尺) 上的保逆线性映射都满足 。是s 。( r ) 到m 。( r ) 上的保逆线性映射，所以由定理2 1 司得存在一个司逆矩阵 丑呱( 尺) ，使厂( x ) = p , x 圆a i o g ( ，一) 日一，任x 最( r ) ，其中埘= 玎( p + g ) 。 蹴存在一个可逆脚吲鼽蝴耻p x 暑一0 卜 任叫s ( r ) ，其中m = 刀( p + g ) 。由f 是s 。( r ) 到& ( r ) 上的保逆线性映射可得 f ( x ) 最( r ) ，即有 叫x 暑一0 - x 暑厶一磊卜 因此存在印印和n q x n q 阶可逆阵u ，使得 抑= 瞄针 所以对任一x 瓯( r ) ，有u ( x 圆) = ( xo ) u 和( 一x p ) = ( 一xp ) ， 可得： u = l y 和= 厶圆形，因此p 7 p = ( 厶圆y ) o ( 厶 形) 。结论得证。 1 7 环上对称矩阵模的线性保持问题 3 1 引言 阵模到全矩阵模 域上从对称矩阵空间到全矩阵空间保幂等的线性算子已有过研究，见文献 2 1 2 2 。文献 1 9 1 讨论了有单位元1 的连通交换环上全矩阵模的线性保持问题。设尺 是有单位元1 的交换环，若r 中每个幂等阵都相似于对角阵，则称r 为交换幂等可对 角化环。由文献 2 7 】中定理1 可知交换幂等可对角化环为连通交换环。本文所讨论的 是2 ，3 ，5 为单位的交换幂等可对角化环足上从对称矩阵模到全矩阵模保幂等的线性 映射。 3 2 主要概念及引理 定义3 1 令厂是r 上刀阶对称矩阵模s 。( 尺) 到r _ km 阶矩阵模( r ) 上的线性 映射，若对最( r ) 中任意幂等阵彳，都有厂( 彳) 2 = 厂( 彳) ，则称为保幂等的线性映 射。 定义3 2 令么鸠( r ) ，若矩阵a 中行列式为单位的子式的最高阶数为，则称 a 的秩为，记为r ( a ) = ，。 引理3 1 2 3 设尺是交换幂等可对角化环，对任一彳厶( 尺) ，存在尸呱( 尺) ， 使得 。 a = 砌昭( ，d ) 尸一， 其中，= r ( a ) 。 引理3 2 设r 是交换幂等可对角化环，2 r ，聊为正整数目m 2 ，若 ( 3 1 ) 式两边同时右乘彳可得 a b a + b a = 0 ， 故a b = b a ，再由( 1 ) 式和2 r + 可得 a b = b a = 0 。 引理3 3 设尺是交换幂等可对角化环，2 r ，m 为正整数且m 2 。若 么，bea ( 尺) 且彳b 厶( r ) ，贝, l ja b + b a = 召且彳2 + b 2 = 爿。 特别地，若彳厶( r ) ，有b 2 = d 。 证明由a + b 厶( r ) 可得 彳2 + a b + 舢+ b 2 = 么+ b ( 3 2 ) a 2 一a b b 4 + 曰2 = a b ( 3 3 ) ( 3 2 ) 式减( 3 3 ) 得 2 a b + 2 b a ：2 b 2 a 2 + 2 8 2 = 2 a ， 又2 r ，故 a b + b a = b ，a 2 + 口2 = a 。 若彳厶( 尺) ，即a 2 = 彳，代入( 3 4 ) 式可得b 2 = o 。 ( 3 4 ) 引理3 4设尺是交换幂等可对角化环，且2 ，3 ，5 r ，f t , m 为正整数，令 f ，j e 1 ，玎 且f ，若是& ( 尺) 到( 尺) 上保幂等的线性映射，则 ( 1 ) ( 岛) 厂( ) = d ； ( 2 ) 厂( 西) 2 = 厂( 乜) + 厂( ) ； ( 3 ) ( 妨) = 厂( 易) 厂( 毛) + ( 西) 厂( ) 。 证明 由巨，乓，+ ，2 1 ( 邑+ ) 2 1 岛，吾毛+ 詈2 5s 驴厶( 尺) ， 1 9 线性保持问题 ( 3 5 ) 厂( e ，) ( 嘞) + 厂( 嘞) 厂( ) + ( 岛) 厂( 磊，) + 厂( 西) 厂( 嘞) = 2 厂( 岛) ， ( 3 6 ) 由( 3 5 ) 式和厂( e ，) + ( 嘞) 厶( r ) 可得( 岛) 2 = 厂( 毛) + 厂( 岛) ； 取爿= ( 瓦) + 鲁厂( ) ，b = ；厂( 西) ，由引理3 3 9 | 荤1 厂( 互，) 厂( 岛) + 4 厂( ) 厂( 西) + 厂( s ) 厂( e ，) + 4 厂( & ) 厂( ) = 5 厂( 毛) ， ( 3 7 ) ( 3 7 ) 式减( 3 6 ) 式得 3 厂( ) 厂( & ) + 3 厂( 岛) 厂( ) = 3 厂( 岛) ， 又3 r + 得 ( ) 厂( 毛) + 厂( 岛) ( 巳) = 厂( 岛) 。 3 3 主要结论及证明 定理3 1 令灭表示交换幂等可对角化环，2 ，3 ，5 r ，则厂是& ( 尺) 到m 所( r ) 上 非零的保幂等的线性映射当且仅当存在p 瓯( r ) 和正整数rj i m _ r n ，使得对任一 x = ( 吻) 瓯( r ) ， 其中m = 玎，+ s 。 厂( x ) = p ( x o o o ：) 尸， 若存在七 1 ，” ，使得厂( 如) = d ，则由引理3 4 ( 3 ) 得厂( & ) = d ， ( 3 8 ) 由引理3 4 ( 2 ) 得厂( 互，) = o ，对任一f 1 ，刀 且f k 。故对任一s 1 ，刀 ，s ( e ，) = d 。 n ( 3 8 ) 式可证得厂( & ) = o ，这里j ，f 1 ，以 且s t 。由f 的线性可得厂= o ，与已知 矛盾。故对任一f 1 ，z ，s ( e ，) d 。又厂( 巨，) 厶( r ) ，由引理3 1 和引理3 4 ( 1 ) 可 得存在只g l m ( r ) ，使得 s ( e ) ：4 a f a g ( o q q ，o r i 1 o m 一) f ， ( 3 9 ) 对任一f 1 ，门 ，其中= 厂( 互，) ，= 耋，；。 将丑一( 岛) 墨按( 3 9 ) 式的准对角阵分块，其中任意( f ，歹) 位置为鸣，鸣为，：，阶 阵，对f ， 1 ，刀 且f ，由引理3 5 ( 3 ) 并1 1 ( 3 9 ) 式可得 厂( 岛) = 只 o s 。o ooo oqo 4 o oo q 圹电o o o 4 ， ooo o oo o 瓯一 再由引理3 4 ( 2 ) 和( 3 9 ) 式可得 4 4 , = iq ，a j l 氐2i 矿 其中鸟，4 ，分别为0 ，0 阶阵。 ( 3 1 1 ) 式表明= ，：，( 见 2 6 ) ，4 ，= 巧1 。令= ，对任一f 1 ，z ，有 ( e ，) = 舅( 巨，o lo q 一。，) 墨。1 厂( 岛) = 只 ( 局圆鸣+ 局，9 巧1 ) 。q 州 丘一1 这里f ，_ 1 ，聆 且f 。 2 l ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 环上对称矩阵模的线性保持问题 由( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 式可得 故 q ) e 一1 q ) p 一1 ( r ) 厂、以( r ) ， 3 。1 雕* ， 。1 l 巧1 厶i 以，( r ) ， i 颤1 j 4 2 4 厶， ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 令昱= o 钲o o o l ，p = 月罡，1 主t ( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 5 ) 式可得 ；三二；善詈乏言墨；：， c 3 t 6 ， i 厂( 西) = 尸( 圆oq ) 尸- 1 v j w 其中m = n r + s 。 由( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) 式和f 的线性性得定理成立。 由定理3 1 易得 推论3 2 令r 表示交换幂等可对角化环，2 ，3 ，5 r ，以，m 为正整数，贝, t jf 是 ( 尺) 到m 脚( r ) 上非零的保幂等的线性映射且满足厂( 厶) = 厶当且仅当对某个正整 数，且聊= 聊，存在尸瓯( j r ) ，使得对任一x = ( 而) 鼠( 尺) ， 环上对称 线 制等领 和发展 本 1 逆线性映射的形式。 2 刻画了2 ，3 ，5 为可逆元的交换幂等可对角化环上对称矩阵模到全矩阵模的 保幂等的线性映射的形式。 我们认为还可以在以下几方面开展进一步的研究： 1 本文第二章中刻画了特征不为3 且2 为可逆元的主理想整环上对称矩阵模的 保逆线性映射的形式，可以进一步推广到交换环上讨论对称矩阵模的保逆线性映射。 2 本文第三章中刻画了2 ，3 ，5 为可逆元的交换幂等可对角化环上对称矩阵模 到全矩阵模的保幂等的线性映射的形式，也可以进一步推广到交换环上讨论对称矩阵 模的保幂等、保立方幂等的线性映射。 阵模的线性保持问题 s u b s f i m t i o n e n j 3 】w a nzx g e o m e t r yo f m a t r i x m w o r l ds c i e n t i f i cp u b l i s h i n gc o p t e 1 i d ，1 9 9 6 【4 】m a r c u sm l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so nm a t r i c e s j j r e s n a t b u r s t a n d a r d s ， 1 9 7 1 ，7 5 b ：1 0 7 - 11 3 【5 】“ck a n dt s i n gnk l i n e a rp r e s e r v e rp r o b l e m s ：ab r i e fi n t r o d u c t i o na n ds o m e s p e c i a lt e c h n i q u e s j l i n e a ra l g e b r a a p p l ，1 9 9 2 ，1 6 2 ：2 1 7 - 2 3 5 【6 6b e a s l e ylb ，p u l l m a nnj b o o l e a nr a n k - p r e s e r v i n go p e r a t o r sa n db o o l e a nr a n k 1 s p a c e s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ，19 8 4 ，5 9 ：5 5 5 7 【7 b e a s l e ylb ，p u l l m a nnj f u z z yr a n k - p r e s e r v i n go p e r a t o r s j l i n e a ra l g s b r aa p p l ， 1 9 8 6 ，7 3 ：1 9 7 - 2 1 1 【8 】c a ocgt a n gxm l i n e a rm a p sp r e s e r v i n gr a n k2o nt h es p a c eo fa l t e r n a t em a t r i c e s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s j i n t j m a t h s c i ，2 0 0 4 ，6 3 ：3 4 0 9 3 4 17 9 】a l i e v aaa ，g u t e r m a nae l i n e a rp r e s e r v e r so fr a n kp e r m u t a b i l i t y j l i n e a ra l g e b r a a p p l ，2 0 0 4 ，3 8 4 ：9 7 1 0 8 【1 0 】d r i e s s e lk 民