（计算数学专业论文）（块）h矩阵类的判别条件及其应用.pdf

皇王登垫盔堂堡主堂焦笙奎 一 ( 块) h 矩阵类的判别条件及其应用 摘要 本文主要分两大部分： 1 ( 块) 矩阵类的判别条件：主要是给出了( 块) h 矩阵的充分条件，这 些条件是已有结果的推广和改进。如 研究了非奇异块h 矩阵的判据，给出了两个充分条件，如 卜 7 p 铲，学乜旭卟删于任协“有 气气卸， 存在q j ，则a 为非奇块日矩阵。 2 块矩阵的充分条件的应用：在块h 矩阵判定的基础上，推广其应用， 给出了块h 矩阵与稳定阵和亚正定的判定，接着将结果应用与炉。忆与最小奇异 值的估计，最后讨论了块迭代法的收敛性。 关键词：非奇异h 矩阵，正规化方程组，块迭代法，收敛性，稳定阵，亚正 定阵，最小奇异值 第页麸3 4 页 旦型茎奎兰堡主兰垡堡苎 s i m p l ec r i t e r i af o r ( b l o c k ) h m a t r i c e sa n di t s a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t t h i sp a p e r m a i n l yi n c l u d e st w op a r t s ： i s i m p l ec r i t e r i af o r ( b l o c k ) l h - m a t r i c e s ：w ep r e s e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，w h i c h g e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e s u l t s f o r e x a m p l e ： w e p r e s e n tt w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rh - m a t r i x f o r e x a m p l e , 汕型( 二堡 ll 肛 ，m 。a x ：( 墨1 置) j ，f e 置 中t h e r e i s 姐 k j a n d a ，a s 0 ，q j ，则a i sa n o n s i n g u l a r b l o c k h - m a t r i c e s 2 a p p l i c a t i o n sa b o u ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o c kh m a t r i c e s ：w es p r e a dt h e a p p l i c a t i o nb a s eu p o ns i m p l ec r i t e r i af o rb l o c kh m a t r i c e s a n dw e p r e s e n ts i m p l e c r i t e r i ao fp o s i t i v e s t a b i l i t ya n ds u b p o s i t i v ed e f i n i t yf o rab l o c kh - m a t r i c e st h e n e x tw es t u d yt h eu p p e rb o u n d sf o r fa - 1 忆a n d t h el o w e rb o u n d sf o rt h es m a l l e s t s i n g u l a rv a l u ea t l a s tw ed i s c u s sc o n v e r g e n c eo f b l o c ki t e r a t i v em e t h o d k e yw o r d s ：n o n s i n g u l a rb l o c kh m a t r i x ，l i n e a re q u a t i o n s ，b l o c ki t e r a t i v em e t h o d ， c o n v e r g e n c e ，s u b p o s i t i v ed e f i n i t y , p o s i t i v es t a b i l i t y , t h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u e 第页共3 4 页 电子科技大学硕上学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，沦文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名：拯鸱日期：2 0 0 4 年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向固家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权电子科技大学可以将学位沦文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 签名：堑鸱导师签名： 墓堑塑 日期：2 0 0 4 年月日 屯了科技人学颂i j 学位论丈 符号说明 c ”( r ”)维复( 实) 向量的全体 ”阶复矩阵的全体 m 。( r ) ( r ”)h 阶实矩阵的全体 p ( a ) d i a g 凹) 矩阵a 的谱半径 表矩阵a 的对角元构成的对角矩阵 电子科技大学硕士学位论文 第1 章绪论 i 1选题背景 随着现代科学技术的迅猛发展，新的数学理论日趋成熟，新的数学 方法层出不穷，在解决科技生产中的重大实际问题中愈亦显示出它勃勃 生机。矩阵是数学上的一个重要概念，由于它描述问题表达简洁，实质刻 画深刻等优点，因此是近年来数学建模中解决实际问题常用的种方法 引起了许多数学学者、工程技术人员和科技人员的青臁而众多人员的 参与又为矩阵理论的发展提供了绝对可靠的物质保证，为矩阵理论的 应用开辟了广阔的前景。矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是矩 阵理论的个重要方向，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领 域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算数学的一个重要分 支。 众所闺知，许多实际闯题最后常常归结为一个或一些大型系数矩 阵为特殊矩阵的线性方程组的求解问题，如在均衡论、投入产出分析 的研究中产生的m 矩阵；在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性 时滞系统的稳定性研究中需要h 矩阵及正稳定阵的理论。 h 矩阵是近年来计算数学研究的较为热门的一类特殊矩阵，目前 对它的研究主要集中在两个方面：一是研究它本身的数学性质；二是 研究与它有关的迭代矩阵的谱半径的估计、收敛性分析以及计算机算 法。自1 9 3 7 年由a m0s t r o w s k i 首先提出了h 矩阵的定义并研究了 它的一些简单性质以来，有众多学者在此基础上又给出了许多优美的 性质。对它的一个更为直观的定义是其比较矩阵为m 矩阵，它是h 矩 阵的一个子类。因此对h 矩阵研究便有助于揭示m 矩阵的性质。从而 也会促进对均衡论、投入产出等经济问题的研究。在研究对角占优矩 阵的性质时人们又定义了广义对角占优矩阵，并证明其与h 矩阵是一 个等价的概念。这样，从不同的角度、不同的问题背景提出了两种概 念在纯数学上是等价的，这为矩阵理论的研究与发展奠定了宽厚的基 础。随着实践的深入人们又提出了口一对角占优矩阵、双对角占优矩阵 等概念。 h 矩阵的研究之所以能引起如此多学者的重视，一个更重要的原 因是对于线性方程组a x = b ，当其系数矩阵为h 矩阵时，些经典的 第1 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 算法如j a c o b i 、g a u s s s e i d e l 、s o r 、s s o r 、a o r 、j o r ( 当参数满足一 定条件时) 等均是收敛的，对块h 矩阵也有类似的结论。特别是对于目 前提出的许多修正的迭代算法如：g a o r 、g s o r 、m s o r 、m a o r 、 m s s o r 等( 当参数满足一定条件时) 以及相关的许多多分裂并行算法也 是收敛的。 第2 页麸3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 1 2h 矩阵 定义1 2 1 设a = ( ) r ，若a 可表示为a = s 一b ，其中b 0 则当5 p ( b ) 时，称a 非奇异的m 矩阵，简称m 矩阵；若a 满足 口。蔓0 ，1 i j h ， 则称a 为z 矩阵；若a z 且满足 口。 0 ，i = 1 , 2 ，n 则称a 为l 矩阵。 定理1 2 。1 3 0 l 设a = ( a d ) 兄是m 矩阵的充分条件是a 为l 矩阵， 且a 。0 。 定义1 2 。2 设a = ( ) c ，令d = d i a g ( a 。，口。) ，c = d a ，则称 矩阵i d l i c i 为a 的比较矩阵，记作州( 一) 即 脚( 爿) = i q lli a l 2 一i 口2 1ii a 2 2 a 。】i 一 a 。2剖 若m ( 彳) 是非奇异的m 矩阵，则称a 为非奇异的h 矩阵，简称h 矩阵。 定义1 2 3 设a = 0 ，) c ，若4 满足 i 一1 1 “。l a fi + h i ，i = 1 , 2 ，n ， j = lj = i + l 且至少有一个j 使上述不等式严格成立，则称a 弱严格对角占优矩阵； 如果上述胛个不等式都严格成立，则称4 为严格对角占优矩阵。 定理1 2 2 【3 0 1 严格对角占优矩阵或不可约弱严格对角占优矩阵是 非奇异的h 矩阵。 定理1 2 3 1 3 1 1 设m = ( 聊。) c ，n = ( n “) c ，且m 为严格对角占 优矩阵，则 第3 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 旧l 1 1 * - - i i 掣。1 旷一硝0 ； 当，k 时，( p o ，= 一麒。t m fl = 一，。墨一1 1 , 4 ，t l = 口j ”，f ，有 | | 4 ：2 厂1 i l 一人_ j 2 = 1 1 4 孑1 _ 1 一屈心一口，”= ：r ) ，一口1 1 = ( 只) 。一口j 1 ) = 0 。 于是，c = 4 巨巨= a d 满足j j 硝2 1 。旷一a ( f 2 0 ，i 世。所以一是一 个块对角占优矩阵。 将定理2 2 i 的结论进一步推广，可得 定理2 2 2 设q = f 1 1 4 7 1 旷 a ，= 1 | 如i i 世) 中，k n 置：= ， ，f k 。u k ：= k ，4 = “) ，i 、j 匠，4 是一个非奇异m - 矩阵，且 ( 只) ，= 一，。局i m f l 是昱的向量，i e k z ，其中= | | 4 9 i l a = 1 1 4 # 1 | ， 等嚣2 若( 21 ) 式的每个不等号都是严格的，或者 刊号产 譬b 蛐卜 z ， 对于任何i 丘一，有氏一h b a 。o ，存在叮，则a 为非奇块h 矩 阵。 证 由( 22 ) 式，对于任何f k ，墨，有芈( 4 ；1 b ) ，。 不妨设d 满足 嚼华 如m ，a x ：( 吼 t e x l 8 i k 1 | 第9 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 构造i e 对角矩阵巨= d i a g d d ，见k ) ， 1 j k ，其中 d i = d ，f k ；d f = 1 ，f e k l ，b = a d l = ( 霹) 。当f k 时，有 懈一卜硝) _ 1 1 4 7 i i 飞一粥 - i i a , 7 i i 飞一监攀墨屈：o p 设b ：= 4 6 ，当f 互时，有 慨吣旷k 吣誊g 设毋1 只= x 0 ，且y = 日f ( e + 占) 0 。 石2 = d i a g d 1 ，d j 。) ，1 i k ，其中d f = 弘， c = b b ：= ( 鬈2 ) 。 当f k 时，有 再构造正对角矩阵 f k 2 ；d t = 1 ，f k 帮一1 旷一衅= i l 罐1 ) 。旷一a ，”一弘屈1 - - i i 1 。1i i - 1 一缉 o 当，e 丘时，( 足) ，= 一，。鼍i m al = 一，五一1 1 4i i = 西”，f j 有 l ia r , | 2 “旷1 一人? = ( 1 14 7 。旷一屈”) d 则c = a d 。d ：= a d ，满足1 l 珥2 。i i 一1 矩阵。 d 。“= ( 占2 y ) ，一“j ” ( p 2 ) ，一口；”= 0 a ：| 2 0 ，fe k 。所以a 为非奇块h 当止 ，p 斧 警( e 卟毗列似蜘日月，明 c = a d ，d 。= ( 爿。且满足 1 1 4 2 ) 。一一衅 0 ，f i ，；1 1 4 2 。1 旷一衅0 ，i e k 一， 且对任何i k j ，存在一个非零元素链4 ，。：a i , 。o ，使得q c d ，所 以c 是一个非零元素链块对角占优矩阵。从文献 3 中的定理4 可知爿 为非奇块日矩阵。 注：当f = 1 时，即是文献 5 中的结果，即文献【5 】中的定理是此 处定理的特例。 由定理221 的证明可得对于不可约对角占优矩阵肯定也是非零 锛元素对角占优矩阵。 第10 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 推论1若n 中，j 巾，彳= ( i l4 j i i ) 。是不可约矩阵，1 1 ( 21 ) 式 的每个不等号都是严格的，则a 为非奇块日矩阵。 推论2设l 巾， ( 1 ) 若有k ，k ：不相交，k 。u k ：= k ，对于任何f 墨，j e k ：，d 为一 常数存在 ( 1 1 4 7 i iz ) a ( il 4 1 旷一岛) 0 ，( 1 1 4 1 旷一口洲酊旷一岛) a j 屈，( 2 3 ) 则a 是块对角占优矩阵。 ( 2 ) 若( 23 ) 式的每个不等号都是严格的，或者j = ( i | 鸟忱。不可约且 ( 23 ) 式至少有一个严格不等号成立，则a 为非奇块h 矩阵a 证( 1 ) 由( 2 3 ) 式，对于任何i k ，j k z ， m ，。；i n 。警m ，。a 。x ：南i i 。 】“i 屈 j “t 1 1 4 d 1 一， 设4 ：x = 只，x ，= l l x 忆，那么 鼻= ( 掣p 2 ) ( 24 ) 由i 二式，得 m 。x ，= ( p 2 ) ，= 口，一m 。 j 2 胙k 2 c 班捧班赢2 而蔫m 捣a x 考禹 所以对于任何i k i ，k ：，有 攀净利跣 由定理22 1 ，易知a 是一个块对角占优矩阵a ( 2 ) ：当( 23 ) 式的每个不等号都是严格的，由( 1 ) 的证明得 c 鳓g s 氍高豸c 哑半 第l1 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 由定理2 21 可知4 为块日矩阵。 式至少有一个严格不等号成立时， ( 爿i 1 只) ，x ， 当a = ( i i a 。i i ) 是不可约且使得( 2 3 ) 正如( 1 ) 的证明得 鬣胍帚可 口 脚：i | 4 ；1l r l _ 岛 n l i n 鱼型二堡 m l ；8 。 且至少有一个严格不等号成立。由推论1 ，可知4 为非奇块矩阵。 上面的结果给出了新的块日矩阵的判别条件。 第l2 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 第3 章块h 矩阵充分条件的应用 第3 1 节块h 矩阵与矩阵正稳定和亚正定判定 块日矩阵和亚正定矩阵近年来一直是计算数学和矩阵领域研究的 热点之一，分别取得了不少的优秀的成果。然而，关于这两类重要的 矩阵类的关系的报道却很少，而这同样是具有重要的理论和实际价值。 再次针对两类分块阵的性质及其与分块对角占优矩阵的关系进行了研 究，并应用于矩阵正稳定和亚正定性的判定。 设分块矩阵a = ( 爿。) m 。( c ) 阶复阵) ，其中呜e m ，。( c ) ， 4 ，m 、( c ) ，”，= n 。( ，j = 1 ，) ，且以下均设矩阵范数为诱导范数。 卢1 若4 为严格对角占优矩阵，则记a d ；若存在正对角阵盖，使得 x 1 a x d ，则称爿为日矩阵，记为a d + ( 参见文献 7 】) 。若a ，是非奇 的，l i 后，且1 1 4 7 1 旷，j ) 4 则称a 为严格块对角占优矩阵( 参见 1 ) ， 悬 记为a g ；若存在正对角阵z ，使得x 1 a x g ，则称爿为块日矩阵， 记为a g + ( 参见文献 7 】) 。 设a = a i r ，对任意非零向量，x - 1 a x 0 ，则称一为亚正定 矩阵。其中a 为亚正定矩阵日( 爿) = 去( 爿+ 4 ) 对称正定。若r e 丑( 4 ) 0 ， 则称爿为正稳定矩阵( 参见文献 7 ) 。 设a = a 。c ”“，如果 a a = 朋+ 则a 称为正规矩阵。 定义3 1 1r ( a ) 表示爿的方向图，结点集合为的方向图r 一) 内 一条非平凡回路，指| v 的一个序列：，i ：，f ，l r + ，= ，2 ，。i 互 不相同，且d 。o ，玎。0 。记s 一) 为r ( 4 ) 中所有非平凡回路的集合。 定理3 1 1 设a 埘。( c ) 分块同前，= 0 ，k - - 1 + 2 ， 第l3 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 1n n ：= 中，f 1 时，4 ，为h e r m i t e 正定阵时，4 i 为非奇m 阵，矩阵 范数取f r o b e n i u s 范数，则当4 满足定理221 或定理2 2 2 的条件时， a 为正稳定阵( 即r e a ( 4 ) 0 ) 。 证对于f 范数，彳满足定理2 21 或定理2 2 2 的条件时，a g f 相 应于f 范数) ，于是存在正对角阵x = d i a g ( x 1 i m ，x e i m ) ，使x 。1 a x g ( 相 应于f 范数) ，由文献 5 l 】中定理l 得石。肘为正稳定阵，因而4 为正 稳定阵。 注1 ：若a g ，则a 显然满足定理2 2 1 或定理2 22 的条件，故 定理311 中包含了文献 5 1 中定理1 。 引理3 1 1 1 1 设a m 。( c ) 分块同前，a g ，凡( j - 1 ，k ) 为非奇 矩阵，向量范数取绝对范数，则4 为正稳定阵。 定理3 1 2 设a m 。( c ) 分块同前，0 满足定理22 1 或定理2 2 ，2 的条件，a 。( f - 1 ，k ) 为非奇m 阵，向量范数取绝对范数，则4 为正稳 定阵。 证由定理2 2 1 或定理2 22 ，a g + ，于是存在正对角阵 x = d i a g ( x 】i ，x ，。) ，使鼻。1 埘g ，由引理3 11 知，x - 1 心为正稳 定阵，故彳为正稳定阵。 推论1a z m ”，满足定理31 1 或定理3 1 2 的条件，则爿为非 奇m 阵。 推论2a 为h e r m i t e 阵，且满足定理3 11 或定理3 1 2 的条件， 则a 为h e r m i t e 正定阵。 注2 ：可见，定理3l ，2 包含了文献 2 0 】中推论7 的“满足定理6 的条件时”部分。 定理3 1 3 设a m 。( c ) ，以j = ( 舀p ) ( 瓦，= i 口。i ，口g = 一l 口f 1 ，i j ) ， 分块同前，满足定理311 或定理31 2 的条件，口。中p 个实部为正，q 个实部为负，p + q = ”，则爿正好有p 个特征值实部为正，q 个特征值 实部为负。 证由推论1 ，j 为非奇m 阵，即a d + ，由文献 8 中的定理l 知 结论成立。 注3 ：由注1 可见，定理3 1 3 包含了文献【5 1 】中的定理3 。 第14 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 定理3 1 4 设彳m 。( c ) ，丢( 爿+ 4 ) 满足定理3 1 1 或定理3 1 2 的 条件，则a 为正稳定阵；若a m 。( r ) ，则a 为亚正定阵。 证 彳m 。( c ) ，；：l 口+ 爿+ ) 满足定理3i 1 或定理3i2 的条件 由推论2 ，丁为h e r m i t e 正定矩阵，即丁的所有特征值五( 丁) 0 ，于是由 m i n 2 ( t ) 蔓r e 兄( 锄m a x ) t ( t ) r e 似n m i n a ( t ) 0 所以a 正稳定。当a m 。( r ) ，v x r ”，x o ，由x 7 似= x 7 t x 及t 为 实对称正定阵，于是x 7 a x = x 7 t x 0 ，即a 为亚正定阵。 注3 ：定理31 4 包含了文献 5 1 】中的定理4 。 定理3 1 5 设a e m 。( r ) ，满足定理221 或定理2 2 2 的条件，向 量范数取绝对范数，也( f 戽) 为m 矩阵，则存在正对角阵x 、q ，使得 幽z 为亚正定矩阵。 证 设b = ( b o ) 。，其中 = j j 篙 。1 。：二) t ，石， 由假设满足定理221 或定理222 的条件，4 为块日矩阵，可知存在 正数z 1 ，x 2 ，k 0 使得 x ，i b , i l e x ，1 6 。l ，f e k 作正对角阵，：d i a g ( x 、，x ：，x 。) ，上式即b x ，为( 按行) 严格对角占优矩 阵。于是作正对角阵x = d i a g ( x 。j x ：，x 。) ，则a x 为( 按行) 块严格对 角占优矩阵。又由上式可知b 为日矩阵，显然b 7 也是日矩阵。又正对 角矩阵于h 矩阵的乘积仍为日矩阵，所以工b 7 为日矩阵。因而存在正 第15 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 对角矩阵g ，使得x 。b g 为按行严格对角占优矩阵，又x 。矿按列严格 对角占优，因而工，q 1 按行、按列均严格对角占优，这样， ( ，b 7 q ，) 7 = q 1 b x l 也按行、按列均严格对角占优。于是，取 x = d i a g ( x 1 ，q ，x 2 ，x ，) ， q = d i a g ( q j q ，q z k ，q e i h ) ， 其中苫，q ， 0 ，j k 。 则q a x 为按行、按列均严格对角占优的。记t ；鲫x ，则 点；去( 丁+ t 7 ) 为块严格对角占优的实对称矩阵。相应于a 的分块形式， 由4 ：( f t ) 为m 矩阵可知瓦为m 矩阵，因而既为m 矩阵。又e 为块严 格对角占优矩阵，根据文献【1 】可知 五( e ) 0 又叵实对称，所以对称正定。故r 为亚正定矩阵，即q a x 为亚正定矩 阵。 若彳为正规矩阵，可以得到下列更好的结果。 定理3 1 5 设a e m 。氓) ，满足定理22 1 或定理2 2 2 的条件，且 为正规矩阵，4 ，o 尼) 为m 矩阵，向量范数取绝对范数，则a 为亚正定 矩阵。 证由a 满足定理2 2 1 或定理222 的条件可知，月为块日矩阵， 爿，( f 女) 为m 矩阵，根据文献【5 2 有 r e 名( 4 ) 0 又a 为正规矩阵知 缸( 日( 爿) ) ) = r e 兄( 4 ) ) ， 于是 x o v ( a ) ) 0 。 即日( 4 ) 对称正定，故爿为亚正定矩阵。 第16 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 第3 2 节1 l l 与最小奇异值的估计 f i 怕一1 l 的上界( 著a 可逆) 与最小奇异值的估计是计算数学和其他许 多领域中的重要且困难的问题。所以对于大型块矩阵获得了忙一1 k 的 上界和最小奇异值的估计是具有广泛得实际背景。 定义设m ( c ) ，m 。( r ) 分别表示聊”阶复和实矩阵的集合。若 a m 。( c ) ，称 a ( a ) = 且( 以+ ) 为a 的奇异值。这里 ( 4 ) 表示a 的特征值；a + 表示a 的共轭转置。 可见矩阵彳的最小奇异值( 4 ) 的下界和怕一1 k 的上界的估计是十 分困难的。例如，数值代数中常用的矩阵a 的谱条件数 刚川i i i i 扩件端 ( 其中仃，( 4 ) ，盯。( 4 ) 分别为晟大、最小奇异值) 的估计中，o n ( 4 ) 的下界 是一个关键的数。事实上，在矩阵扰动分析中，o - 0 ( 4 ) 的下界均是极为 重要的数。 文献 1 】获得对角占优矩阵和块对角占优矩阵的怕一1 k 上界，也就获 得a 。( 爿) 下界的估计，至今这一结果仍被众多文献广泛引用，从而成为 这一问题的著名结果。 这里将通过矩阵的分块分析技术，获得了具有广泛实际背景的块 日矩阵( 严格包含对角占优矩阵作为特款) 的忙一1 忆上界和吒( 4 ) 下界的 估计( 块h 矩阵一定非奇) ，作为特例，也就获得了h 矩阵、m 矩阵的 怕。忆上界和吒( 4 ) 下界的估计。 第17 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 引理3 2 1 设a e m 。( c ) 分块同前，a g ( 按卜忆) ，则 l l a - l l l 。1 剐钉廿弘峥 设a = ( 口f ) e m 。( c ) ，记a = ( 西) c m 。( r ) ，其中 ：f l “? ii 7 = i 7 ， f ，：l ，2 一，刀， d = 1 一p ，i f l j = 1 2 一，? 定理3 2 1设a c m 。( c ) 分块同前，a 满足定理2 21 或定理2 2 2 的条件，则 忖峪1 懋胁) ， ， b = ( 6 。) = 。蛞忆i i a , 。k l i a ：，忆1 a 2 2 - 1 | i = 1 已 k l 。雌“| i = ( 3 21 ) 其中“，( 1 z t ) 为定理221 或定理2 2 2 证明中所构造的正对角矩阵 的对角元 证由定理2 2 1 或定理222 和引理3 2 1 可得结论。证毕 事实上，获得了肛。忆的上界估计 忆l 口。 也就得到了o n ( 4 ) 的下界估计3 5 1 盯。( 4 ) 口。 从而也得到了矩阵谱条件数的估计“l 删、：旦盟删删螳。 、o - 。( a ) 口 第1g 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 第3 3 节块迭代法的收敛 生 大型线性方程组求解是计算数学的核心课题之一。在n 阶线性方 程组a x = b 的迭代解法中，由于块迭代解法在收敛性和适应性方面都比 点迭代解法好，近年来引起了数值分析和数值计算工作者的极大兴趣。 而对于大型稀疏方程组的求解，常采用分块j a c o b i 迭代法，其收敛的 充要条件是相应的块j a c o b i 迭代阵谱半径进行实际计算是极为困难 的，而且其谱半径在其他块迭代法研究中也是常遇到的。可见，对于 半径小于1 的实用充分条件的研究具有重要的应用和理论价值。 在此通过块矩阵的分析方法，将块h 矩阵的应用和谱半径降维估 计法得到块a c o b i 迭代阵收敛的实用充分条件和块迭代格式的实用判 据。 定义3 3 1设方程组a x = b 的系数矩阵a m 。( c ) 分块同前，且对 角子块a 。( 扛1 ，2 ，k ) 非奇异，将a 做如下分裂： a = d l u 其中d = d i a g ( a t ，4 ：，气) 为块对角阵，与 ，分别为严格下和严格上 三角矩阵，称迭代格式 ( d r l ) x ) = 【( 1 一c o ) d + ( 一r ) l + u k 8 + 曲 ( 33 1 ) 为方程组a x = b 的块加速超松弛迭代解法，简称为b a o r 迭代法，其 中y ，口分别满足0 厂国，o 缈 2 ( t 反，) ) ，这里，= d - 1 ? c ， c = 上十u ，称迭代格式 髂( d - y 附l ) x f + m v 2 嚣茹嚣二r 力) u 三：c 硼o l x 鬟c o b n s2 ， l ( d 一膨) x 州= 【( 1 一功) d + 一 +卅1 2 + p 为方程组a x = b 的块对称加速超松弛迭代解法，简称为b s a o r 迭代法， 其中，分别满足0 ys ，0 国 2 0 + 尸( ，) ) 。 注 在迭代格式( 331 ) 中，当y = d o 时，称为b s o r 迭代法；当 7 = 珊= 1 时，称为b g s 迭代法；当，= 0 时，称b j o r 迭代法；当，= 0 ， c o = 1 时，称为b j 迭代法。 引理3 3 1 f 4 4 1若对矩阵4 经适当地分块能使起成为块拟对角占优 矩阵，则与此分块形式对应的迭代格式( 33 1 ) 与( 33 2 ) 都收敛。 第19 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 设a m 。( c ) 分块同前，其中a ，c 1 一，i = 1 ，2 ，尼，4 ：非奇。 记d = d i c i g ( a 1 1 ，4 ：，如) ， c = 0 i i 氟1 1 4 ：i | i i 川4 。 4 ：4 | | 0i i 爿丢| 1 1 1 4 ：。 a k ，l l 0 式中卜忆为矩阵范数。 又块j a c o b i 迭代阵为b j = ，。一d _ 。a ，这里，。为n 阶单位矩阵a 以下对大型矩阵a ，利用对低阶矩阵c 的研究，讨论谱半径 p ( b j ) 1 的条件，并得到了a 为m 矩阵的判别条件和其他结果。 引理3 3 2 【2 9 1设a c 分块同前，若 p ( c ) i ， p ( b j ) 1 。 定理3 3 1设a m 。( c ) 分块同前，若满足定理22i 或定理2 22 的条件，则4 非奇，且 p ( b j ) 1 。 证 设q = ( q 。) r “2 ，其中 g ，= ! 置i o 。i = ，j ，t ，= - ，2 ，尼。 由定理22 1 或定理2 2 2 可知a g + ，且q 为块h 矩阵 4 3 o 因而，由 文献 4 6 有 p ( i 一p 。q ) 1 。 其中p = d i a g ( q 】1 q 2 ：，q ) ，而 k = ( k o ) 。 = ，i - p 一1 q = 第20 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 o 9 2 1 q 2 2 一q 鼋肚 即 f 0 2 卜湍叫旧1 | l | i 呜 一吼： 一q 2 k -_ o z = j ，f = 1 ，2 ，k 。 f ， 即c = ，所以由式p ( i 。一p 1 q ) 1 p ( c ) = p ( 一k ) = p ( x ) 1 。 故根据引理33 2 知结论成立。 推论1若爿满足定理22 1 或定理2 2 2 的条件及其推论，则 p ( b j ) 1 。 由文献 4 3 和 5 2 1 失f i 结论显然成立a 推论2设a c 分块同前，若满足下列条件之一： ( 1 ) p ( c ) 1 ， ( 2 ) 满足定理2 2 1 或定理2 ，22 的条件及其推论， 则，= ( 岛) 为h 矩阵，其中t f = i i a f 证 记r = ，。一d ；1 r = ( 0 ) ，其中d ，= d i 口g ( t l l f 2 2 ，t k k ) ，则 名：j1 1 0 一， 1 2 7 ，f ，j ：1 ，2 ，i 。 勺2 4 卅i i1 i i 呜i i j 一“ 由于1 1 4 ，旷1 1 4 ，。l l ，所以 1 l c 。 因而根据非负矩阵谱半径单调性2 9 1 有 p ( r ) = p ( 一r ) = p ( i r l ) p ( c ) 。 当a 满足条件( 1 ) 或( 2 ) 及由定理33 1 的证明可知，均有p ( c ) 1 。于是， 由文献【4 6 知t 为日矩阵。 引理3 3 3 1 3 1设a m 。( c ) 分块同前， 每个主对角子块 “。“ 电子科技大学硕士学位论文 a ，：( i = 1 ，2 ，k ) 非奇异且 m ( a ) = 冉1 旷 。1 1 4 i i 1 1 4 ：l i | 旷 一i | 4 。l 一1 | 4 ：。i 4 ，| | 一1 1 4 ：i | l i a 2 旷 为非奇m 矩阵，则爿为块日矩阵。 定理3 3 2若a m 。( c ) 分块同前且满足定理2 21 或定理2 2 2 的 条件及其推论，则迭代格式( 3 3 1 ) 与( 3 3 2 ) 都收敛。 证若a 满足定理2 2 1 或定理2 2 2 的条件及其推论，且m ( 4 ) 为 4 的比较阵，则m ( a ) 为非奇珏矩阵，由引理3 33 知4 为块矩阵， 再由引理3 3 1 知迭代格式( 3 31 ) 与( 332 ) 都收敛。 引理3 3 3 1 4 3 1设a m 。( c ) 分块同前，如果4 为块严格对角占优， 则4 非奇异：谱半径p ( b j l 1 ；矩阵d 。1 4 的每个特征值的实部都为正 d = d f a g ( a 1 1 ，如，4 。) a 推论3设4 满足定理2 2 1 或定理2 2 2 的条件及其推论，则a 非奇异；谱半径p ( b j ) 1 ；矩阵d 。1 4 的每个特征值的实部都为正，这 里d 同于引理3 3 3 。 注由推论3 知，对于一个矩阵一若经适当的分块能使其满足定 理22l 或定理222 的条件及其推论，则按此分块形式构造的解线性 方程组a x = b 的块j a c o b i 迭代法收敛。 第22 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 本文分两大部分 结论 1 通过构造性证明方法，给出了块h 矩阵的几个简捷判据和充 分条件，包含和改进了相应的结果。 2 块h 矩阵的充分条件的应用：在块h 矩阵判定的基础上，推 广其应用，给出了块h 矩阵与稳定阵和亚正定的y - 0 定，接着 将结果应用与怕。忆与最小奇异值的估计，最后讨论了块迭代 法的收敛性。 第23 页共3 4 页 电子科技大学硕士学位论文 3 4 5 6 8 9 10 l l 1 2 参考文献 f e i n g o l ddga n dv a r g ars ，b l o c kd i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e sa n d g e n e r a l i z a t i o n so f t h eg e r s e h g o r i nc i r c l et h e o r e m ，p a c i j m a t h ，4 ( 1 9 6 2 ) ， 1 2 4 1 1 2 5 0 y i - r u i n gg a o ，x i a o h u iw a n g c r i t e r i af o r g e n e r a l i z e dd i a g o n a l l y d o m i n a n tm a t r i c e sa n di v - m a t r i c e s l i n e a r a l g e b r a a p p l ，1 9 9 2 ，l6 9 ： 2 5 7 2 68 p a n gm x ，m a c g p ，g e n e r a l i z a t i o n s o f d i a g o n a l d o m i n a n c ef o r m a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，j o fm a t h r e s e a r c he x p o s i t i o n ，1 1 ( 1 9 9 i ) 4 ， 5 0 7 5 0 9 b e r m a n a ，p l e m m o n s rj n o n n e g a t i v e m a t e i e e si nt h em a t h e m a t i c a l s c i e n c e sa c a d e m i c n e wy o r k ，1 9 7 9 y i r u i n g g a o ，x i a o - h u iw a n g c r i t e r i ao ft h e g e n e r a l i z e dd i a g o n a l l y d o n m i n a n tm a t r i c e sa n dm - m a t r i c e si i l i n e a r a l g e b r aa p p l ，1 9 9 6 ，2 4 8 ： 3 3 9 3 5 3 f r o b e r t ，b l o c s h - m a t r i c e se t c o n v e r g e n c e d e sm e t h o d si t e r a t i o n s c l a s s i q u e sp a rb l o c s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，2 ( 1 9 6 9 ) ：2 2 3 2 6 5 游兆永，黄廷祝，两类分块矩阵的性质与矩阵正稳定和亚正定判定，工程 数学学报，1 2 ( 1 9 9 5 ) ，8 9 9 2 游兆永，李磊，广义共轭对角占优矩阵的特征值分布，数学研究与评论， 2 ( 1 9 8 9 ) ，3 0 9 3 1 0 黄廷祝，非奇h ，矩阵的简捷判据，计算数学，1 ( 1 9 9 3 ) ，1 9 - 2 0 游兆永，非奇m 矩阵，华中工学院，1 9 8 1 逢名贤，矩阵谱论，吉林：吉林大学出版社，1 9 8 9 黄廷祝，白中治，游兆永，块对角占优的推广与特征值分布应用数学 学报1 9 98 ，2 l ( 2 ) ：2 7 7 - 2 8 1 李竹香，逄明贤，按环路a 对角占优及应用，计算数学，2 0 0 1 ，( 3 ) ： 2 7 1 2 7 8 ra b r u a l d i ，m a t r i c e s ，c i g e n v a l u e s ，a n d d i r c o t e d g r a p h s l i n e a r a n d m u l t i l i n e a ra l g e b r a ，1 9 8 2 ，( 1 1 ) ：1 4 3 - 1 65 abe r m a n r jp l e m m o n s ，n o n n e g a t i v e m a t r i c e s i nt h em a t h e m a t i c a l s c i e n c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，l 9 9 4 黄廷祝，o s t r o w s k i 定理的推广与非奇胃- 矩阵条件， 计算数学，1 9 9 4 ， 1 6 ( 1 ) ：1 9 2 4 黄廷祝，块h 阵l l a 一1 忆的上界和最小奇异值的下界。 电子科技大学学 报，1 9 9 6 ，2 5 ( 4 ) ：4 4 l - 4 4 4 王川龙，王效俐，王华日，矩阵的充分条件，工程数学学 第24 页共3 4 页 h 埔 皇王型垫查堂里主堂垡笙奎 报，2 0 0 0 ，1 7 ( 1 ) ，1 2 l 一1 2 4 黄廷祝，广义对角占优矩阵判定条件的改进，电子科技大学学报， 1 9 9 3 ( 3 ) ，3 0 6 - 3 1 0 逢明贤，矩阵对角占优性的推广及应用，应用数学学报， 1 9 8 9 ，12 ( 1 ) 3 5 - 4 3 胡家赣，肘1 特征值模的上、下界估计，计算数学，7 ( 1 9 8 6 ) 2 ：4 1 - 4 6 rah o r n ，c