（机械工程专业论文）信号变换装置结构动态设计与分析.pdf

信号变换装置结构动态设计与分析机械工程领域研究生陆超指导教师袁中凡、杨战平信号变换装置是飞行试验中状态测量和信号变换的重要设备。信号变换装置内安装有一块印制电路板，印制电路板上有电容、电阻、继电器和集成电路等电子元器件。在做随机振动试验时，有几个装在印制电路板上的继电器出现损坏现象，为提高产品可靠性，需要重新设计信号变换装置。振动可通过磨损、疲劳和过应力引起对产品的损坏，并且可能会导致产品在使用期间的过早损坏。几乎每一类机械都要经受某种类型的随机振动，确定系统能否经受这些载荷是分析人员要做的工作。动力载荷对微电子组件和装置能否可靠工作起关键作用。信号变换装置在飞行试验等试验中常常要经受随机振动。因此，对于信号变换装置来说，分析随机振动下关键器件的动力响应并进一步最小化不利影响是非常重要的。本文研究了基于虚拟环境的信号变换装置动态设计的方法。在虚拟环境中实现结构的动态设计和性能分析，可及时发现设计中的薄弱环节。有限元法已广泛地应用于研究、生产和设计单位，成为解决工程实践中各种复杂问题必不可少的工具。有限元法仍在发展和完善之中，未来的若干年对有限元分析来说是激动人心的。本文介绍了作者在结构动态设计方面的研究工作及其工程应用。首先研究了结构的最低阶固有频率的计算方法。一个典型结构可能有数百个振动模态，但通常我们只对少数低阶频率对应的模态感兴趣。探讨了有限元法的概念和原理。随着有限元分析建模技术的发展，基于模型的结构设计正取代传统的反复试验式设计。计算机辅助设计( c a d ) 和计算机辅助工程分析( c a e ) 已经被看作产品设计修改、分析、仿真、评价的有效工具。在设计规范和试验的基础上，用a n s y s 软件建立了信号变换装置有限元分析模型，由有限元分析模型得出的结构最低阶固有频率与试验测得的数掘基本一致。深入研究了随机振动响应的谱分析法。响应谱分析是一个计算结构对基础激励( 或地震) 的统计最大响应的过程。每一个振动模态可以被假设为像一个单自由度系统一样单独地响应。已经确定了每个振动模态对激励的响应之后，可通过综合每一个振动模态的响应效果来获得结构的响应。单自由度系统最大响应取决于系统的固有频率和阻尼比。一类重要的机械结构仿真是预测系统对随机振动的响应。本文最后对信号变换装置进行了随机振动响应分析，简要探讨了实验模态分析法，找出了装在印制电路板上的继电器在随机振动试验中被损坏的原因，也介绍了结构动力模型修正技术的发展。在结构动态分析的基础上设计了新的信号变换装置。试验结果表明：新的信号变换装置在随机振动试验中工作性能良好。关键词：信号变换装置随机振动有限元法实验模态分析a n s y ss t r u c t u r a ld y n a m i cd e s i g na n da n a l y s i s0 fs i g n a lt ra n s f o r md e v i c em a j o r ：m e c h a n i c a le n g i n e e r i n gp o s t g r a d u a t e ：l uc h a ot u t o r s ：y u a nz h o n g f a n ，y a n gz h a n p i n gt h es i g n a lt r a n s f o r n ld e v i c ei sa ni m p o r t a n ts t a t e sm e a s u r i n ga n ds i g n a lt r a n s f o r m i n gf a c i l i t yi nt h ef l i g h te x p e r i m e n t s i ns t r u c t u r e i ti sa na l u m i n u mc a s et h a tc o n t a i n sap r i n t e dc i r c u i tb o a r dw i t hv a o u sa t t a c h e de l e c t r o n i cc o m p o n e n t ss u c ha sc a p a c i t o r s ，r e s i s t o r s ，r e l a y s ，a n di n t e g r a t e dc i r c u i t s s o m er e l a y so nt h ep r i n t e dc i r c u i tb o a r dw e r ed e s 打o y e du n d e rr a n d o ma c c e l e r a t i o ne x c i t a t i o n s i no r d e rt oi m p r o v et h ep r o d u c tr e l i a b i l i t y , t h en e ws i g n a lt r a n s f o t l nd e v i c em u s tb ed e s i g n e d v i b r a t i o nc a l lc a u s ed a m a g et op r o d u c t sb ya b r a s i o n ，f a t i q u ea n do v e r s t r e s sa n dm a yc o n t r i b u t et oe a r l yp r o d u c tf a i l u r ed u r i n gu s e a l m o s te v e r yt y p eo fm a c h i n e r yu n d e r g o e ss o m et y p eo fr a n d o mv i b r a t i o n ，a n di ti st h ei o bo ft h ea n a l y s tt od e t e r m i n e 订t h es y s t e mc a ns t a n du pt ot h i sl o a d i n g d y n a m i cl o a d i n gp l a y sac r i t i c a lr o l ei nt h ef u n c t i o n a lp e r f o r m a n c ea n dm e c h a n i c a lr e l i a b i l i t yo fm i c r o e l e c t r o n i cc o m p o n e n t sa n dd e v i c e s f o rt h es i g n a lt r a n s f o r md e v i c e ，ac o m m o n l ym e td y n a m i cl o a d i n gi sr a n d o mv i b r a t i o n ，a sm e ti nt h ef l i 【g h te x p e r i m e n t s ，e t c t h e r e f o r c a n a l y z i n gt h ed y n a m i cr e s p o n s eo fs o m ek e yc o m p o n e n t su n d e rr a n d o mv i b r a t i o n ，a n df u r t h e rm i n i m i z i n gi t sa d v e r s ec o n s e q u e n c e so nt h ep r o d u c t si sv c r yi m p o r t a n tf o rt h es i g n a li r a n s f o md e v i c ed e s i g n s t h em e t h o do f d y n a m i cd e s i g nf o rt h es i g n a lt r a n s f o r i l ld e v i c eb a s e do nt h ev i r t u a le n v i r o n m e n ti ss t u d i e di nt h ep a p e r t h ed y n a m i cd e s i g na n dc a p a b i l i t ya n a l y s i sf o rt h es t r u c t u r ec a nb ec a r r i e do u ti nt h ev i r t u a le n v i r o n m e n t a n dt h ew e a k n e s so f d e s i g nc a nb ef o u n di nt i m e t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di nt h ef i e l d so fr e s e a r c h ，c o n s t r u c t i o na n dd e s i g na n dh a sb e c o m ean e c e s s a r yt o o lt os o l v ec o m p l i c a t e dp r o b l e m si ne n g i n e e r i n gp r a c t i c e f i n i t ee l e m e n tm e t h o di ss t i l lu n d e rd e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n t i tw i l lb ee x c i t i n gf o rf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i si nf u t u r ey e a r s t h i ss t u d yi n t r o d u c e st h ea u t h o r sr e s e a r c ha n de n g i n e e r i n gw e r k i n go ns t r u c t u r a ld y n a m i cd e s i g n a tf i r s tt h em e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h ef u n d a m e n t a ln a t u r a lf r e q u e n c yo fs t r u c t u r ei sr e s e a r c h e d t h e r em a yb eh u n d r e d so fp o t e n t i a lv i b r a t i o nm o d e si nat y p i c a ls t r u c t u r e b u tu s u a l l y , i ti so n l yas m a l ln u m b e ro fv i b r a t i o nm o d e sw i t l lt h e1 0 w e s tf r e q u e n c i e st h a ta r eo fi n t e r e s t t h eg e n e r a lc o n e c d ta n dp r i n c i p l eo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o di sd i s c u s s e d w i t ht h ea d v a n c e m e n to ff j l l i t ee l e m e n ta n a l y s i s ( f f a ) m o d e l i n g ，m o d e l - b a s e dd e s i g no fm e c h a n i c a ls t r u c t u r e si ng e n e r a li sr e p l a c i n gt h et r a d i t i o n a lt r i a l a n d e r r o ra p p r o a c h c o m p u t e r - a i d e dd e s i g n( c a d ) ，t o g e t h e rw i t hc o m p u t e r - a i d e de n g i n e e r i n g ( c a e ) ，i sa l r e a d yr e g a r d e da sa l le f f e c t i v et o o lf o rt h eg e n e r a t i o nm o d i f i c a t i o n ，a n a l y s i s ，s i m u l a t i o n ，a n de v a l u a t i o no fap r o d u c td e s i g n t h ef e am o d e lo ft h es i g n a lt r a n s f o f i nd e v i c ei se s t a b l i s h e dw i t ht h eu s eo f a n s y sb a s e do nd e s i g ns p e c i f i c a t i o n sa n dt e s t s t h ef u n d a m e n t a ln a t u r a lf r e q u e n c yp r e d i c t e db yt h ef e am o d e li sc o n s i s t e n tw i t hi to b t a i n e db yt h et e s t s t h es p e c t n m aa n a l y s i so fr a n d o mv i b r a t i o nr e s p o n s ei sd e e p l yr e s e a r c h e d r e s p o n s es p e c t r u ma n a l y s i s ( r s a li sap r o c e d u r ef o rc o m p u t i n gt h es t a t i s t i c a lm a x i m u mr e s p o n s eo fas t r u c t u r et oab a s ee x c i t a t i o n ( o re a r t h q u a k e ) e a c ho ft h ev i b r a t i o nm o d e st h a ta r ec o n s i d e r e dm a yb ea s s u m e dt or e s p o n di n d e p e n d e n t l ya sas i n g l e d e g r e e o f - f r e e d o ms y s t e m h a v i n gd e t e r m i n e dt h er e s d o n s eo fe a c hv i b r a t i o nm o d et ot h ee x c i t a t i o n ，i ti sn e c e s s a r yt oo b t a i nt h er e s p o n s eo ft h es t r u c t u r eb yc o m b i n i n gt h ee f f e c t so fe a c hv i b r a t i o nm o d e t h em a x i m u mr e s p o n s ed e p e n d so nt h en a t u r a lf r e q u e n c yo ft h es i n g l e - d e g r e e f r e e d o ms y s t e ma n dt h ed a m p i n gr a t i oo ft h es y s t e m o n eo ft h em e s ti m p o r t a n tt y p e so fm e c h a n i c a ls i m u l a t i o ni st h ep r e d i c t i o no fas y s t e m sb e h a v i o rd u et or a n d o mv i b r a t i o n f i n a l l y , t h er a n d o mv i b r a t i o na n a l y s i so ft h es i g n a lt r a n s f o r md e v i c ei sp r e s e n t e d e x p e r i m e n t a lm o d a la n a l y s i si sd i s c u s s e db r i e f l y t h er e a s o n sw h yt h er e l a y so nt h ep r i n t e dc i r c u i tb o a r dw e r ed e s t r o y e du n d e rr a n d o ma c c e l e r a t i o ne x c i t a t i o n sa r ef o u n do u t t h em o d i f y i n gt e c h n i q u eo fs t r u c t u r ed y n a m i cm o d e li sa l s oi n t r o d u c e d o nt h eb a s e so fs t r u e t u r a ld y n a m i ca n a l y s i s ，an e ws i g n a lt r a n s f o r r ud e v i c ei sd e s i g n e dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wd e v i c ew e r k sw e l la n dh a sg o o dp e r f o r m a n c eu n d e rr a n d o ma c c e l e r a t i o ne x c i t a t i o n s k e yw o r d s ：s i g n a lt r a n s f o i t nd e v i c e ；r a n d o mv i b r a t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e x p e r i m e n t a lm o d a la n a l y s i s ；a n s y s四门f 大学工程硕上专业学位论文第一章综述本章主要介绍信号变换装置结构动态设计与分析的背景和结构动态设计与分析技术的进展，结构动态设计与分析技术的应用现状等，最后介绍丈章的结构。1 1信号变换装置结构动态设计与分析的背景信号变换装置是某型号任务中一种进行特殊电路信号变换的装置。在限定尺寸大小和最大重量的情况下，已知要放置的印制电路板的尺寸大小，同时还知道一侧装置壁上需安装一个较大电缆插座，装置内需安装一个d c d c 变换器，要求进行信号变换装置结构设计，使信号变换装置在实际使用中能正常工作，并使信号变换装置能通过( 频率范围2 0 h z 至2 0 0 0 h z ，功率谱密度为某一定值的) 随机振动环境试验，同时变换装置工作时要有较好的电磁兼容性。以往研制的旧信号变换装置在做随机振动环境试验时，有几个装在其印制电路板上的继电器出现损坏现象，为查找继电器损坏原因，进行了随机振动环境摸底试验，摸底试验中有一个传感器安装在其印制电路板上原装继电器处，发现该传感器所测振动数据与振动台振动激励数据相比振动放大异常大，所测振动数据超出了继电器能正常工作的振动条件。为提高信号变换装置工作可靠性，需要重新进行信号变换装置结构设计。信号变换装置主要由腔体、上盖、印制电路板、电缆插座、d c d c 变换器组成，印制电路板平放并用螺钉固定在腔体内凸台上，d c d c 变换器用螺钉固定在腔体内凹槽中，电缆插座用螺钉固定在腔体侧壁上，上盖用螺钉固定在腔体上。旧信号变换装置的腔体四周壁厚和底部厚度都是3 r m n 。目前以及今后，本单位设计的相当多盒体、腔体类机电产品有通过( 频率范围2 0 f l z 至2 0 0 0 h z ，功率谱密度为某一定值的) 随机振动环境试验的要求，当进行该类产品结构设计时，仅依靠直观经验进行设计已难以设计出满足要求的产品，在有关设计分析理论和软件如何与实际结构设计相结合方面需要进步加强。通过进行信号变换装置结构动态设计与分析，在一定的振动试验基础上，积累产品随机振动试验数据，归纳总结产品随机振动特性，探索研究零件结构与( 频率范围2 0 h z 至2 0 0 0 h z ，功率谱密度为某定值的) 随机振动响应的关系，了解熟悉有关设计分析理论和软件，对比设计分析理论、软件分析结心川1 人学工程硕j 专业学位论文果与实测试验数据，探索如何更好地用设计分析理论和软件辅助进行实际该类产品的结构设计，以提高设计效率。随着科学技术与工业的发展，出现了机械的高速化、结构轻型化，机械结构的工作环境也更加复杂，因而机械结构的振动问题同益突出，甚至因振动引起严重的事故。统计资料表明，飞行器所发生的事故中，约4 0 与振动有关。我国火电机组近二十年来，以振动为主要因素造成的恶性事故相继发生。振动水平过高，往往又是所投运行机组不能正常带动额定负荷工作的主要原因。振动问题不仅出现在航空、电力等工业部门，在航天、机械、建筑、水利、交通运输等部门，也都大量存在。振动问题将产生诸多负面效应：强烈的振动将影响仪器、仪表的正常工作；影响乘员的舒适性及工作环境；危及机械结构的安全可靠性；影响产品的功能与质量：因振动而引起的重大事故不仅造成巨大的经济损失，还将产生不良的社会影响。因此，为了满足某些军事和民用工程结构的低振动、低噪声的要求，必须进行基于动力学理论的动态设计，使它们由传统的静态设计转向动态设计o “”“。1 2 结构动态设计与分析技术的进展12 1结构动力学研究的基本内容和基本方法研究结构在动载荷作用下所表现出来的动态特性就是结构动力学的基本任务。结构的动力特性中最基本的两个特性就是自由振动和强迫响应。前者取决于初始条件，反映的是结构本身的固有特性，后者将取决于外部对结构的输入。结构动力学的三个要素是输入( 激励) 、系统( 结构本身) 和输出( 响应) 。输入是动态的，即随时间变化的；变化规律可以是周期的、瞬态的和随机的。系统可以是线性的，也可以是非线性的。输出即结构系统对输入的响应。在输入、系统和输出三个要素中，知道其中的任意两个求第三个的问题都是结构动力学研究的范畴。( 1 ) 响应预测。已知输入和系统求输出。( 2 ) 系统辩识。已知输入和输出，确定系统的特征参数。( 3 ) 测量问题。已知系统和输出求输入。结构动力学研究步骤主要分为设计、分析、试验和再设计。通常结构系统的动态设计方法大多都是从结构动态分析着手，以分析建模的各种方法建模，用试四川大学工程硕士专业学位论文验分析的数据对模型进行逐步修正，即所谓的结构动力学修改方法”。建模首先引入一些假设将实际的结构进行简化，得到便于分析的形式；然后设计一系列的参数，如几何尺寸、材料特征、约束边界等；最后建立组数学方程来描述所要分析的模型。建立的方程或数学模型应能反映结构动力学问题中的主要方面，并能较全面、客观地反映物理现象的本质，这是分析的关键之。建模的方法总体上目前有两种，是实验的方法，二是分析的方法。分析的方法主要依据是力学基本原理和变分原理。根据问题分析的需要可采用相应的微分原理，也可采用相应的积分原理。力学微分原理主要是牛顿定理和达朗贝尔原理：力学积分原理主要是能量守恒定律和动量守恒定律。微分变分原理主要是虚功原理；积分变分原理主要是哈密顿原理。此外，有限元的基本概念、弹塑性基本理论以及其它力学基本原理，也可直接引用来帮助建立数学模型。实际中人们往往采用所谓的集中参数模型。这是因为一方面建立偏微分方程是从局部着眼，对于较繁杂的问题难于建模，另一方面方程的求解比较困难，再者对于实际工程问题所关心的并不是问题的全部，而是起关键作用的方面。集中参数模型是用常微分方程来描述的。最常用的是有限元模型：m x ( f ) + c x ( 0 1 - j 1 0 ( 0 = “幻其中： c 、k 为矩阵，x ( t ) 、“0 为向量。求解，仞= o 时的齐次方程，得到方程的通解将反映系统的自由振动特性，求解它所对应的特征方程得到系统特征解将反映结构的固有特征。求解f 的分布外载荷，那么四门f 人学t = 程硕士专业学位论文z u = 。 c 警+ 矿a 2 w o h 2 卜盯，降等一c 茜，2 卜一z 肌幽慨妫( 2 1 7 )式( 2 1 5 ) 和式( 2 1 7 ) 中的二重积分是沿中性层曲面来进行的。对于板元素h d x d y 具有质量p h 出咖，其中p 是单元体积质量( k g c m 3 ) ，此元素的动能等于p h 百o t o ) 2 出咖整个板的动能为丁= 譬( 警) 2 蚴( 2 1 8 )当板作某一主振动时，则有w o ( x ，y ，2 ) = w ( 工，y ) s i n ( c o t + 口)对于这种振动，势能和动能的极大值将有如下表达式：。= 詈雌a 2 w ：+ 2 叫，刊r 窘雾一c 丽0 2 w ) 2 】x a y= 华j j w 2 出咖( 2 1 9 )2 13 板的横向振动的变分方程若在有相同周期兰堡的主振动的集合上，考察哈密尔顿泛函c os = f 。( r u ) d t( 2 1 1 0 )a并在区间一f 。= 兰竺上对时间进行积分后，可以得到变分式：删j ( 瓦。一。) = 0( 2 i 1 1 )板的实际主振动的固有型式必须满足这个方程。把极大动能和极大势能式( 2 1 9 ) 代入这个方程，并计算两者之差的变分。四川大学工程硕上专业学位论文圳从计舁封雕明叟分升始础一。 州占c 警c h h ，c 窘s c 窘，+ 拿占c 雾h 茜占c 嵩，忙咖式中用a 表示拉普拉斯算符。将被积函数的每一项进行两次分部积分后，得出睁c 雾，蚴一移c 爹出+ 移+ 皤溅咖( 2 + 1 1 2 )式中右边前面的两个积分是沿板的外周界进行的回线积分：( 2 ) 类似于式( 2 1 1 2 )眵c 窘，撕= 移c 砂一 舄溉+ 略一s ，( 3 ) 用简单的记号交换法，由公式( 2 1 1 2 ) 和式( 2 1 1 3 ) 求得睁( 螂= q , 秽8 2 wc 寻8 w 砂一移妙+ 瞎眺妙眩4 ，睁c 雾，锄叫矿0 2 wc 万o w 肌移+ 畔呦他s ，( 4 ) 恰好相同的j 。j e 孝c 3 2 wt 圳0 2 w 蚴= 略昙( 艿蚴= 3 - 秽0 2 w 万o w 阱秘+ 嚼嗍( 2 1 1 6 )这个表达式也可由如下等式得出：咯占( 茜) 姗= 。f ，f 蚴a 2 w 砂a 、喀) 蛐借助千p 诛各公音可d j 求很 一! ! 型盔兰三堡婴! 主、业堂堡堡兰j ( 窘+ 窘渺( 雾c 窘， 蚴= 弘w 艿毫渺一a w 万( 富泣一4 i 暑一面c o a w 一出) 勘+ 庐w 西确砂( 2 1 1 7 )式中幽= 窘+ 2 翥+ 萨0 4 w ( 2 1 1 8 )现在，将式( 2 1 1 7 ) 、( 2 1 1 2 ) 、( 2 1 。1 3 ) 和式( 2 1 。1 6 ) 代入础。的表达式。经整理后，得出：三d 勰、= 皿窘玎方羽一筹翻j e 豢，+ 4 弋雾+ 盯窘泌邯叫翥痧搬一承警方一警新+ 肛w 嗍( 2 1 1 9 )ol 一强2 。 3 檄边界处的见拜关系r髑移表示外法线辨与轴甜之闯的夹角，并设躅界甥线珀方自如躅2 1 3 所示。4甜，百。出、方y四川大学1 = 程坝卜争业学位论文于是，在板的周界上有d x = 一d s i n 0 ，咖= d l c o s o兰：c o s 目旦s i n 曰旦瓠0 n现昙：s i n 臼旦+ c o s 臼旦卸8n。利用这些公式，可以将表达式( 2 1 1 9 ) 转换成如下形式：去砜x2 舻w 跳一挚讲+ 垂c 窘+ 盯雾灿s 2 毋( 2 1 2 0 )+ 等十盯黟。j n 2 州1 叫永- 芳s i n 2 0 万( 罢脚+ 矿竹石一跚n 镏+ ( 1 一盯)万( 嚣脚+ n c 窘一竽+ 等c o s z 卟詈讲由弹性理论可以知道，表达式- d ( 窘+ 仃寄) c o 阳+ 【矿0 2 w + 盯窘) s i n 2 0 + ( ，叫意s i n 2 仆帆( 2 1 2 1 )代表板的周界上的弯矩。第三个回线积分符号下的表达式若乘以d ，则为d ( i 叫【( 导一窘) s i n s 曰+ 蒜c o s z 印峨( 2 1 2 2 )这就是板的周界上的扭矩。最后一d 挲：n l( 2 1 2 3 )o n表示板的周界上的切力。在第三个回线积分中完成部分积分后，将它转换成如下形式：把刍( 删= 一挚榭( 2 地4 )经上述一切变换后，可将势能的变分表示成如下嚣终型吉：一璺删盎兰三堡堡主主些堂焦堡兰砜矿。胪w肌幽一扣烈等讲+虮警舢(2125s)t 、v 动能的变分为酝。= 力矽2m p 赢协( 2 ，1 2 6 )二i现在，若注意劐公式( 2 1 2 5 ) 和式( 2 1 。2 6 ) ，就可写出板的横向振动固有型式的变分方程”“：黔艇”雄”黼一纰未盛+ 炽一警嬲= 。( 2 f 越7 )式中如是中性层鲍麴礤元素。2 l 4 坂豹横国振动型式的微分方程张边界象撵能实现式( 2 1 2 7 ) 条件的型式工，y ) 应该满足如下方程：。( 窘+ 2 翥+ 驾0 y - 一彬w = o ( 2 1 2 8 )并且侵包含在式 2 1 2 7 ) 中的题线积分变成零，毽即满是如下条件：弘t 杀( 剐破一永虬一百o h l ) 泐= o( 2 1 2 9 )容易i 正踞“，方程式( 2 1 2 8 ) 就是泛函蒯加2 冉磁( 窘+ w ) 2 - 2 ( 1 - r r ) ( 萨0 2 w 矿0 2 w 一赢0 2 w ) ：) 】净的欧拉方程，因而，方程式( 2 ，1 2 8 ) 代表板的横向振动方程。等式( 2 。1 2 9 )表示闯题的边界条件的疑普通形式。在下列情况下，这些边界条件将能满足：( 删= 万( 豪旷。如果叛边铰链支承；在此情况下有伽k ) = o ，m = o如果额边是自国的，霹两这时有四川大学工程硕士专业学位论文m l = o ，m 一等= o对变分毋和占( 当) 施加限制的条件称为几何条件；对边界力矩和边界切力g n施加限制的条件，也即对m 。和( 虬一警) 施加限制的条件称为动力条件。图2 1 4 边界平行于坐标轴的矩形板对于具有平行于轴甜和轴o y 的边界的矩形板( 图2 1 4 ) ，在平行于轴o y 的边上，根据公式( 2 1 2 0 ) 式( 2 1 2 3 ) 有：因而0 ：o 旦：旦旦；旦缸锄。西a f耻咧窘+ 盯吼叫，一高炉咧窑o x + 孑。c k d p 因此，如果平行于轴o y 的边是铰链支承，那么有w ：0 , m 。：一d ( 百0 2 w + 仃鲁) ：o咖。c 少“p q 川犬学工程硬 专业学能论义或者w ：o ，尝+ 盯娑：o( 2 1 3 1 )出。a y 始果这些边是剐性固定的，有w ：业：o文如果平行于o y 轴的边是自由的，则在这些边上有塑a x 2 + 仃雾地窘坤叫蛊= g一 矿2 0 两+ 2 一丽。g对平行予辘藩的边界，其袈件可叛 刍x 4 - 潜y ，岁钱替x 嚣得到。当密度为( 2 1 3 2 )( 2 ，l 。3 3 )f 如，弦) 2f ( 薯y ) s i n 啦的简谐外载荷作用在板上时，则板的横向受迫振幼型式的方程可写成如下形式掰w 一力蕊w f ( x ，奶= 0( 2 1 3 4 )也可以导出变刚发( 或变厚度) 媛载横向岛出振动方程3( d 叻邓叫( 害窘+ 矿c 0 2 d 万0 2 w 一2 器为州堋如：。( z 小。s )在这里和下文，( x ，y ) = 肋都擞示中性层单位耐积上的质量。2 - 1 5 板的固有振动型式的若平性质扳的横肉振动型式的方程式( 2 1 2 8 ) 可以解释为板敬固有载芬( x ，y ) c 0 2 w ( x ，y )髂翅下的挠度方程。根据功的互等原理，可以建立起板的固有型式的个极重要的性质一正交性。缀设在固有载萤蟛2 燃作用下，扳得到挠度w s ；恧在固有载旖廨作用下，则得到挠度。于是，载荷何2 ，n 唯刈位移的功应该等于载荷斫m 对位移的功，这个条件可以写成如下形式 ：四川大学下程硕卜专业学位论文l 洳jw k d s = 骢“：w k 出( j j( j )由此得到嘲一哇) l l w 以d s = ob )如果霹唾2 ，那么就有p w , w k d s ：o( 2 1 3 6 )( s )对于板的横向振动型式，展开定理成立。板的固有型式就是满足如下方程的函数瓴y ) ：d a 2 w 一西a n y i = 0o = 1 ，2 ，3 )上述按固有型式展开的级数具有如下形式：州力= q w o ，少)( 2 1 3 7 )f 。l式中系数a ；等于li 朋，( j ，y ) ( y ) d sq2 甄订q 1 3 8 )( ”对于已按规则i j 肿( z ，y ) d s = 1；标准化的固有型式，其系数a i 将有如下表达式：口。= i j ，n 畸( z ，y ) x ，y ) a s( 2 1 3 9 )( s )对于矩形板，固有型式w a x ，y ) 通常有两个函数的乘积；其中一个只依赖于x ，而另一个只依赖于y ：k ( z ，y ) = x i ( j ) k ( y )在此情况下，级数式( 2 1 3 7 ) 将有如下形式：w ( x ，y ) = 点( z ) k ( y )( 2 1 4 0 )l t = l四川大学丁程顺 专业学位论文在主振动时，由曲线族w a x ，y ) = 0把板的袭面划分成以相同位相戏相反位相作振动的几部分，这必曲线称为节线。在一点鬣定鼓( 逶霞莛中心器定承) 方钣上，彀上绥砂，并使葵发生摄动，苇线就形成著名的“赫拉尼”图。2 1 6 计算椴的横向振动固有振型和圈有频率的近似方法嚣对边铰链支承的短形叛数振动趣题，实壤土裁是题裁已翘豹能瘦建掰谓精确方法比较简单地导出完整解答的情况。在其它情况下，计搏固有频率和固有振型辘不缛不盔爱远戗方法。复杂结构系统最低阶固有频率是工程上人们较为关心的问题，它的最常用的近似计算方法有：d u n k e r l y 法、r a y l e i g h 法、r i t z 法、分解法( 包括嶷簸法、变换与分解法等) 、各种矩阵迭代法( 包括幂法、h o t e l l i n g s 收缩法等) 、矩阵逆迭代法、变换法( 包括j a c o b i 法、g i v e n s 法、h o u s e h o l d s 法秘g - h 法等) 、直接的予空间逸代法和求复杂结构固有频率的模态综合法等。在这几种计算方法中，d u n k e r l y 法给出了最低阶固有频率( 即基频) 的下界；r a y l e i g h 法和r i t z法给出麓频的上界，通常的矩陴迭代法和矩阵逆迭代法在程序运算中趸以某一元素迭代前后比值确定的，因而很难说确定了熬频的上界或下界：直接的子空闻迭代法在于通过不断改进r i t z 基向爨，僮之聚终收敛到需求的振动主模态，可以看作是r i t z 法的反复运用或看作是矩阵迭代法的推广，因而也就继承了r i t z 法和矩阵遗手法酌後缺点：各释禳态综合法 亟是鞋r a y l e i 舒r i t z 法为基磷的模态分析方法。c o l l a t z 包含定理给出了标准特征值问题特授值上、下界，c o l l a t z 雹含定遴不适瘸子广义特征毽褥趱，僵经适当捺导螽c o l l a t z 毯含定理可适用于广义特征值问题。利用子空间迭代法w 将复杂结构系统的高阶刚度矩簿k 稻溪量缒簿粥投影鲻x 中各令矢鏊蘸张开豹子空秘，褥戮觞蔻阵豹泠数大大地降低了，所以求解的计算工作量也大大地减少了。先采用子空问迭代法涛复杂络稳系绞翡毫除嚣l 疫篷臻k 露旗羹短簿m 投影戮x 中务令矢量搿强秃=的子空间，得到低价的k 和m 矩阵，然后用c o l l a t z 包含定理求出该结构系统瓣最低泠固有频率。这襁方法袋瓣豹谤黧_ i 馋爨少，诗箨耪疫纛较裹”“。些型查堂三堡堡! ：主些堂竺丝苎经验表明，在这些近似方法中，里兹变分法和加廖尔金变分法是最有效的。正是为了进行板或“薄板”的近似计算，才创立出这些变分方法。目前，变分法已被详细地研究过，适用于解任意边界条件下板的振动问题。为了按里兹法解变分问题，也就是说，为了寻求满足如下变分方程的板的振动型式：万( 乙、一u 。) = 0( 2 1 4 6 )就要构成有限级数形式的极小化型式：w ( x ，_ y ) = q ( 工，j ，)( 2 1 4 7 )i = 1式中w a x ，y ) 是基础函数，也即按照问题的边界条件来选取的已知函数；n i 是些参数，其值应在式( 2 1 4 7 ) 代入式( 2 1 4 6 ) 后，由函数( 瓦。一l ，m 。、) 的极小值条件来确定，即由如下方程来确定：善( 乙一u 一) = o ( f = 1 2 )( 2 1 ，4 8 )式中= 等f f h w 2 姗，= 丢驴 缸y 叫- 卅r 窘等一c 舄2 扣眨，在选择基础函数时，可以只限于满足几何条件。以后，将使按照这些几何条件来选取的基础函数服从方程式( 2 1 4 6 ) ，这样，它们也就能满足动力条件。这一点可以由写成如式( 2 1 2 7 ) 型的变分方程看出：胁。岔w 一詈p 2 一一扣。鲁c 研瑚+ 扎批一等，删= 。( 2 s o )事实上，如果板边是自由的，那么在板边的劬和莎( 娑) 是任意的。在板的周界以内，咖的值也是任意的。因此，如果w a x ，y ) 满足方程式( 2 1 4 6 ) 或式( 2 1 2 7 ) ，那么对于这样的型式：方程四川犬学工程碳卜专业学位论文d 2 w 一, u c 0 2 w = 0萃蟊动力边舞条件m ，：0 ，0 h 1 ：0“醚也将成立。因此利用墨兹法时，没有必要选取满足所有边界条件( 凡何条件和动力条件) 的基础函数。至于基硝函数本身的组成成分，正像上面所指出的，通常可以将它们作为两个函数乘积的形式，其中一个只是膏的函数，而另一个则只是y 的函数：”0 ( 算，y ) = x i ( x ) 一 y ) 2 1 5 1 )函数墨( x ) 和一( ，) 是简单的多项式，或者是均匀杆( 或梁) 的固有振动型式( 梁丞数) ，这些登式满足对应予投边固定方法的边赛条件”“。鼍= s i n 望十4 c o s 坐+ b , s h 巫+ c 础坐痒盘da) - s t n 等+ 4c 。s 警+ 哆曲等+ q 幽等式中：蛩妒哆“= 等( 2 。1 5 2 )a , b 分别是平行于轴o x 和轴o y 的边长。常量a ；，b i ，g ；4 ，毋，c j , 丑，五，可出并和薪的边界条件求得。在选定基础函数以后，应该将由这些基础满数构成的极小化型式代入。，帮珥。鲍表这式。关予。熬计算，应该注懑：对予各边铰链支承或涮往圈定的板，表达式f l 塑o x ：塑o y 2 一耐o z w ( 日做商斯全荫率) 等予零。包含在。；和，m 。式中的二重积分的计算可归结为标准形式的简单积分计算。琵如说对予基础函数式( 2 + l ，5 1 ) ，这些积分通常裁如下几荦孛类型：l x ；叔，l x ；2 d x ，l x l 2 d x四川大学_ 程硕士专业学位论义l x i x j d x = 一l x ? x 弘求各边刚性固定的矩形板的基本振动频率，问题的边界条件是：在平行于轴o y 的板边有w ：o 竺：0a x而在平行于轴o x 的边有w ：0 a w ：0砂为了作单项的第一次近似，取函数w l ( x ，y ) = x 。( x ) y a y )作为极小化型式，式中蜀g ) 和y 1 ( y ) 是梁函数，它们满足两端刚性固定梁的边界条件：( o ) = x i ( 口) = 0 ，墨( o ) = 墨( 口) = 0x ( 0 ) = 巧( 6 ) = 0 ，誓o ) = 誓1 6 ) = 0极大动能是。= 譬w 2 d x d y = 譬r 砰出r 1 2 d y求得其值为。”k ：1 0 3 5 9 2 p h _ 0 2 a b极大势能是“4 12 。= 。 f | , b ( 万a 2 w + 窘) 2 d z d y= d l x 瓠l y ? d y + 2 d f x 、x j d x f y , y ( d y + d l x ；出t y ：2 d y= 。( 坐坐a 攀婴+ 2 堕a b 墨+ 坐粤b 坐)_j由2 l 乙、= 2 i 。可得各边刚性固定的矩形板的最低阶固有角频率为：明川大学工程钡十专业学位论文，：f生一( _ 5 1 8 5 2 x _ 婴1 0 3 5 9 b + 21 2 7 7 5 型十5 1 8 5 2 。；0 3 5 9 a ) 。5 ( 2 。i ，5 3 )姣2 丽聂瓦历口。“8 6 。口一“。其中：d 扳的弯曲刚度：p 。一板的面密度；d 一板的长度；b 一板的宽度；h 板的厚度：铝材密度p = 2 7 1 0 3 k g m 3 ，泊松比2 = 1 1 3 ，弹性模量e = 6 8 1 0 9 p a ，当铝板的厚度h 为0 0 0 3 m 时，可得：。懿31 2 1 一u 。)6 8 1 0 9 ( 3 x 1 0 。3 p。聂f 丽n 1 2 n 。mx 一( 13 ) 2 】。= l 7 2 1 2 5 n m当铝板的长a 为o 1 5 4 m ，宽舀为o 1 0 8 m ，厚 为o 0 0 3 m 时，式可得各边刚健固定铝板的最低阶固有角频率为：c o 。= 1 1 9 0 6 4 x ( 1 5 8 8 3 5 + 1 9 6 2 4 9 + 6 5 6 6 4 + 8 ) 0 r a d s = 1 0 9 7