（微电子学与固体电子学专业论文）wcdma直放站专用数字下变频器的fpga实现.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t d u e t o t h e p r o b l e m s c a u s e d b y m u l t i - f r e q u e n c y , m u l t i - m o d e a n d m u l t i - s t a n d a r d i n t h e 3 g m o b i l e c o m mu n i c a t i o n s y s t e m , t h e d i g i t a l i n t e r m e d i a t e f r e q u e n c y t e c h n o l o g y i n t h e s o ft w a r e d e f in e d r a d i o i s b e c o m in g p o p u l a r w i t h w ir e l e s s - c o m m u n i c a t i o n r e p e a t e r s . c u r r e n t i c s i n t h e m a r k e t s a r e d e s i g n e d s p e c i a l l y f o r m o b i l e s t a t i o n s , t h e i r f u n c t i o n s a r e p o w e r f u l , b u t t o o c o m p l e x a n d c o s t l y f o r r e p e a t e r u s e s . h e n c e , t o d e s i g n t h e d i g i t a l c o r e c i r c u i t s s p e c i al l y f o r t h e 3 g r e p e a t e r s w i t h p r o g r a m m a b l e l o g i c d e v i c e s , w h i c h a r e r e l a t i v e l y c h e a p , i s d e s i r a b le . t h i s p a p e r i n t r o d u c e s t h e m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l e s a n d s t r u c t u r e s o f t h e k e y p a r ts in t h e d i g i t a l d o w n c o n v e rt o r , i n c l u d i n g n u m e r ic a l l y c o n t r o l l e d o s c i l l a t o r ( n c o ) , c a s c a d e - i n t e g r a t o r - c o m b ( c i c ) f i l t e r a n d h al f - b a n d ( h b ) f i l t e r , e t c . w e m a k e a n i n t e n s i v e s t u d y o f t h e a l g o r it h m s t o i m p l e m e n t t h e s e f u n c t i o n p a r t s , s u c h a s t h e c l a s s i c a l c o r d i c a l g o r i t h m a n d o n e o f i t s i m p r o v e d f o r m , c a l l e d s c al i n g - f r e e a d a p t i v e c o r d i c , t o i m p l e m e n t p h a s e - t o - a mp l i t u d e c o n v e r s i o n in t h e n c o mo d u l e , a n d d i s t r i b u t e d a l g o r i t h m ( d a ) w h i c h i s u s e d t o i m p l e m e n t t h e f i n i t e - l e n g t h i m p u l s e r e s p o n s e ( f i r ) f i l t e r s . a c c o r d i n g t o t h e a d v a n t a g e s a n d s h o r t c o m i n g s o f t h e s e a l g o r i t h m s , a n d c o n c e r n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f f p g a s , w e p r o p o s e a n o v e l a n d o p t i m u m s c h e m e , u s i n g c a r r y l o o k - a h e a d a d d e r s w i t h a p i p e l i n e a r c h i t e c t u r e i n t h e p h a s e - a c c u m u l a t o r m o d u l e a n d s c a l i n g - f r e e a d a p t i v e c o r d i c w i t h r e d u c e d s e a r c h i n g a l g o r i t h m i n t h e p h a s e - t o - a m p l i t u d e c i r c u i t , a n d o p t i m i z i n g t h e i m p l e m e n t a t i o n o f d a f i l t e r s i n a c c o r d a n c e w i t h b o t h s p e e d a n d r e s o u r c e s . w e b u i l d t h e s e f u n c t i o n m o d u le s w i t h v e r i l o g h d l a n d f i n al l y s u c c e e d i n i m p l e m e n t i n g w i t h f p g a a d i g i t a l d o w n c o n v e rt e r o f wc d ma r e p e a t e r . a ft e r t e s t i n g t h e m o d u l e s w i t h a d e v e l o p m e n t b o a r d a n d a n a l y z i n g t h e r e s u l t s , i t p r o v e s t h a t t h e s c h e m e w e p r o p o s e d i s f e a s i b l e . k e y wo r d s : d d c n c o c i c h b c o r d i c d a 缩略语 说明 缩略语说明 3 g adc ad1 as i c c dm a2 0 0 0 c i c c l b cordi c cs d da ddc ds p e da f f t f i r f p g a hb i m t 2 0 0 0 i t u l f s r l p f l t i l ut m ac m ag n c o r am r f r om r t l t d- w c d ma us b w cdm a 3 r d g e n e r a t i o n 第二代 ( 移动通信系 统) a n a l o g t o d ig i t a l c o n v e rt e r 模拟一 数字转换器 a n a l o g d e v i c e s i n c o r p o r a t i o n ( 美 国 ) 模 拟 器 件 有限 公司 a p p l i c a t i o n s p e c i f i c i n t e g r a t e d c ir c u i t专用集成电 路 c o d e d iv i s io n m u lt i p le a c c e s s 2 0 0 0 码分多 址2 0 0 0 c a s c a d e - i n t e g r a t o r -c o m b 级联积 分梳状 ( 滤波器) c o n f i g u r a b l e l o g ic b lo c k 可配置 逻辑块 c o o r d i n a t e r o t a t i o n d i g i t a l c o m p u t e r坐标旋转数字计算机 c a n o n i c s ig n e d - d i g it正则有符号数 d i s t r ib u t e d a lg o r it h m 分布式算法 d ig i t a l d o w n c o n v e rt e r 数字下变频器 d ig i t a l s i g n a l p r o c e s s i n g 数字信号处理 e l e c t r o n i c d e s i g n a u t o m a t i o n 电子设计自 动化 f a s t f o u r i e r t r a n s f e r 快速傅立叶 变换 f i n it e - l e n g t h i m p u l s e r e s p o n s e 有限长脉冲 响应 f i e l d p r o g r a m m a b l e g a t e a r r a y 现场可编程门阵列 h alf - b a n d 半带 ( 滤波器) i n t e r n a t i o n a l m o b i l e t e l e c o m m u n i c a t io n s f o r t h e y e a r 2 0 0 0 国际移动 通信 ( 系统)2 0 0 0 i n t e rn a t i o n al t e l e c o m m u n i c a t i o n u n i o n 国际电信联盟 l in e a r f e e d b a c k s h ift r e g i s t e r线性反 馈移位寄存器 l o w - p a s s f i l t e r低通滤波器 l i n e t i m e - i n v a r i a n t线性时不变 l o o k - u p t a b le 查 找表 m u l t ip l y a n d a c c u m u la t e 乘法 一 累加 m u l t ip l i e r - a d d e r g r a p h 乘加图 n u m e r i c a l ly c o n t r o l l e d o s c i l l a t o r 数控振荡器 r a n d o m - a c c e s s m e m o ry 随机存取 存储器 r a d i o f r e q u e n c y 射频 r e a d - o n l y m e m o ry 只读存储器 r e g i s t e r t r a n s fe r l e v e l寄存器传输级 t i m e d i v i s i o n - s y n c h r o n o u s c o d e d iv i s i o n m u lt ip l e a c c e s s 时 分一 同 步码分 多址 u n i v e r s a l s e r i a l b u s 通用串行总线 wi d e b a n d c o d e d i v i s i o n mu l t i p l e ac c e s s 宽带码分多址 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下 各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本;学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存 论文;学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电 子版、在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术 活动。 学位论文作者签名: 71 1 4 年 歹 月 引日 介1|esl c工 妙一 一 一 一 - 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名: ,k f k . 学位论文作者签名: 解密时间:年月 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长 1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中己经注明引用的内 容外， 本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已 公开发表或者没有公开发表的作品的内容。 对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体， 均已 在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 际 宝 4 fl 叼年 了 ” ) 日 第一章引言 第一章引言 第三代移动通信系统 ( 3 g)是指由国际电信联盟 ( i t u)组织研究，国外部 分地区 已经开始使用 ，在我国即将得到应用的公用陆地 移动通信系统 即 i mt - 2 0 0 0 。它主要包括 wc d ma . c d ma 2 0 0 0以及我国提出来的 t d - w d ma 三大标准。由 于 3 g的标准的统一非常困 难， i m t - 2 0 0 0 的发展策略已 经改变过 去 “ 统一”的概念，转而 注意以各地区 现有的第二代系统网络基础为参考来制 定比 较 现实的 过渡方 法。 因此， 在未 来的 移动 通信的 直放站中 存在着多频、 多模、 多体制和多标准等问题，为软件无线电 技术在直放站中的应用提出了 切实的需 求。 数字中频技术是软件无线电的核心。采用数字中频方式的移动通信直放站， 其基站的下行信号经 r f模块变换为模拟中频信号后送入 a d c ，经 a / d变换为 数字中 频信号 并由 数字下变频器进行 抽取、 滤 波后变换为基带信号， 然后送往基 带处理单元按一定帧格式打包成串行数据， 再经高速数字光纤收发器由光纤远距 离传输至覆盖端高速数字光纤收发器，由 基带处理单元解帧后 送入 a d c ，由 数 字上变频器进行滤波、 插值后经 d / a变换 器变成模拟中频信号， 最后经r f 模块 变频为射频信号并发射到相应覆盖区域。 其远端机将接收到的移动终端上行信号 通过上述逆过程， 上送至基站接收端。 这种方式能 够极 大地减小传统方式中 令人 头疼的从中频到基带过程中的本振泄漏、 直流偏移等问题的影响， 特别适用于多 载波直放站基带信号远距离传输。 直放站数字部分的电路设计方案可以归为两类，一类是使用现有的商用芯 片， 例如我们之前研制成功的wc d ma数字中频直放站就使用了a d i 公司的中 频接收器a d 6 6 5 4 以 及数字上变频器a d 6 6 3 3 等芯片。 商用芯片功能强大， 使用方便， 且通用性和灵活性都非常高， 但是价格昂贵， 而且对于具体的直放站 应用而言， 很多 功能都使 用不 上 ( 绝大多数商用芯片都是 为基站而设计的) ，造成了巨大的浪费。因此有必要使用另一类方案，即使用可 编程逻辑器件来设计符合直放站系统应用要求的数字电路。 现场 可编程门阵列 ( f p g a ) 作为专 用集成电 路 ( a s i c ) 领域中的 一种半定 制电路，功能强大、使用灵活，近年来在数字通信等领域得到了广泛的应用。 本文的设计目 标就是在 f p g a中实现 wc d ma数字中频直放站的数字下变 频功能。 该数字 下变频器的前端是一 个高 速a / i ) 转换器，它以6 1 . 4 4 m h z 的 速 率对中心频率 7 2 . 5 mh z 的wc d ma模拟中频信号 ( 带宽 5 mh z )进行采样。由 于采样后信号的频谱产生了以采样周期为间隔的周期延拓， 因此数字下变频器只 第 一 章引。兮 需要对位 于7 2 . 5一6 1 . 4 4二1 1 . 0 6 mh z处的信号 进行处理即可。wc d m a标 准中基 带信号的采样速率为 3 . 8 4 m s p s ,因 此一 般 卜 变频到基带后都要对 信号 进 行抽取滤波，把信号采样速率降 低。 这里我 们需要将信号采样速率由a / d转换 器的 采样速率6 1 . 4 4 ms p s 降 低为3 . 8 4 m s p s x 2 二 7 . 6 8 m s p s 。 保持两倍的采 样速 率有助于对基带信号 进 行进一 步的 操作， 尽管一 般情况下直放站不涉 及基带信号 处理， 这样做可以与标准统一， 提高 系 统的 兼容性和可扩展 性。 本文基于以上应用背景和设计 思想， 对数字下 变频器的原理、 结 构和算法进 行了 较为深入的 探讨和研究。 针对具 体的应用， 在系统级和算 法级两 个层面 都进 行了 综合优化设计与实 现， 并进行了 初步的片 上测试， 得到的结果证明 本文所提 出的设计方案是完全可行的。 本文的组织结构如下: 第二章介绍 数字下变频的 数学原 理与功能结构: 第三章对数字下变频中 的实 现算法进行了 较为深入的 探讨， 对这些算 法的 优点与不足进行了研究， 寻找出了 适合我们的 系统设计目 标的 改进方案: 第四 章和第五章是本文的核心， 分别讨论 了数字下变频器中的 n c o混频器以 及低通抽取滤波器组的系 统设计 和算法实 现: 第六章对我们的设计结 果进 行了 简单的 片上测试与 验证; 第七章对本文所取 得的成果进行了简单的总结，并针对本文设计方案的不足之处提出了改进方向。 第_ 二 章数字 卜 变频器的原理与组成 第二章数字下变频器的原理与组成 数 字下变频器( d i g i t a l d o w n c o n v e rt e r , d d c ) 是软件无线电 体系结构的 核心 部件之一。虽然a d c也 具有下变频的 作用， 但它受限 于采样时钟速率 ( 只 能为 采样速率的整数倍) ，在这里仅讨论数字下变频技术。 从工作原理讲， 数字下变频与模拟下变 频是一样的， 就是输入信号与 一个本 地振荡信号的 乘法运算。 与模拟下变频相比 ， 数字下变频的运算速度 受 d s p处 理速度的限 制， 同时 还决定了其 输入信号 数据流可 达到的 最高 速率， 相应地也限 定了a d c的 最高 采样速率;另外，数字下 变频的数据精度和运算精 度也影响着 接收机的 性能， 所以， 数字下变频器必须进 行优化设计。 数 字下变频器的组成也与模 拟下 变频器 类似， 包括数字混频器、 数控振荡器 (n u m e ric a lly c o n tro lle d o s c i lla to r , n c o ) 和 低 通 滤 波 器( l p f ) 三 部 分 组 成。 在 实 际 的接收机中，它通常采用如图2 . 1 的结构。 图21 数字下变频器的同相一 正交组成结构 这是一种同相一 正交信道分离结构，其意义在于:通过对一个实信号进行正 交分解可以可以 很容易获得原信号的瞬时幅度， 瞬时相 位以及瞬时 频率， 而这三 个特征参数是分 析、 识别解调的 基础 i 。 虽然 直放站只是移动通信网络中的 物理 层中继放大器， 不需要在基带对信号进行解调， 但是为了增加系统的通用性和可 扩展性，也采用了这种结构。 n c o是 数字下变频器的核心 部件，它 所实 现的功能是产生一个和 信号 载波 同频的正弦或余弦序列送给接收信号通道进行频率变换。 数字混频器传统来说就是一个乘法器。对于 f p g a或者a s i c来说，乘法器 的实现非常困 难， 而且速度低下， 往往成为 系统 性能的 瓶颈。 因 此， 一 般都尽量 避免使用 乘法器。 第三章中 我们介绍的c o r d i c 算法， 可以 在产生n c o输出 频 率序列信号的同时，完成混频过程，省去了此处的乘法器。 第二章 数字 卜 变频器的原理 j 组成 n c o f 变频过程如图2 . 2 所示:假设感兴趣信号中心频率为 1 1 . 0 6 mh z ，我 们通过设置 适当的 频率 字令n c o 产生频率为1 1 . 0 6 m h z 的单频正 弦或余弦序列， 两 者混频 之后， 感兴趣 信号 频谱被搬 移到了基 带， 同 时在2 2 . 1 2 m h z 处产生了一 个倍频分量，因此需要在后续的处理过程中使用数字低通滤波器将其滤去。 - q2一 1 1 .0 6 0 1 1 . 0 6 f / 2 信号频谱 、 ，t 二 二 二 1 一 i - f / 2 - 2 2 . 1 2 飞2 2 . 1 2 f / 2 - f / 2 一 ”.0 6 0 1 1 . 0 6 f / 2 n c o 产生的单频序列 基带信号 图 2 . 2 1 1 . 0 6 6 1 h z中频信号的 卜 变频过程 由 于d d c前 端的a d c在中 频进行采样， 采样速率很高( 例如， 6 1 . 4 4 ms p s ) , 而混频后得到的 数据率和采样速率 是一致的， 后级的数字低通滤 波器很可能无法 达到这个处理速率， 因此需要在滤波的同时进行数据速率的抽取，实际中一般先 通过c i c( 级联积分梳状) 和h b( 半带) 滤波抽取器进行较大 倍数的抽取，使 数据率快速降下来，再由f i r滤波器进行滤波，如图2 . 3 0 图2 . 3 数字低通滤波器的构成 由于c i c 滤波器系数的 特殊 性 ( 系数都为 1 ) ， 实现非常简单，只 有加减运 算， 没有乘法运算， 硬件实 现时 可达到很高的处 理速率， 很适合作抽取系 统中的 第一级抽取和进行大的 抽取因 子的工作。 但它的 过渡带和阻带衰减特性不是很 好， 通常需 要采用五级c i c级联的 方法加大过渡带和阻带的 衰减。 h b 滤波器由 于 其系 数几乎一半为零， 滤波时 运算量减少一半， 因此被作为第二级 低通滤波和 抽 取。 h b的 抽取因 子固定为2 ， 特别适合采样率降 低一半的 要求。 通过c i c 和 h b滤波抽取后，基 带信号由 最初的高 数据率被降到较低的速率， 适于后级f i r 滤 波器处理。 f i r 滤波器的 主要用 途是对整个信道 进行整形滤 波， 需要的 时候还 可以 作为匹配滤波器使 用。 信号 经c i c , h b滤波 抽取后， 输入到f i r 滤波器抽 取 组时 采样速率相 对来说己 经很 低， 所以， 在一定的处理时钟速率 下， 能够做到 更高 阶的f i r 滤波， 使得滤 波器的 通带波动、 过渡带带宽、 阻带 最小衰 减等指标 能够设计得很好。 第_ 二 章数字 卜 变频器的原理与组成 第一节数控振荡器 ( n c o )的原理与结构 2 . 1 . 1 n c o 的数学原理 众所周知， 理想的正 弦波信号s ( t ) 可以 表示 成 s ( t ) = a c o s ( 2 ) r f t + 沪 )( 2 . 1 ) 上式 说明了 信号s ( t) 在振幅a和初 相0 确定 之后，频率可以由 相位来唯一 地 确定 必 ( t ) = 2 ) r 声( 2 . 2 ) n c o就是利用了式( 2 . 2 ) 中0 ( t ) 与时间t 成线性关 系的 原理来进行频率 合成 的。 也就 是说， 在时间t 二 o f 间隔内， 正弦 信号的相位增量 0 与正弦信号的 频率 f 构 成一一对 应关系，也就是说， 对式( 2 . 2 ) 两端进行微分 后有 d o ， _ ， - 二 于_ l r i ,t 口r ( 2 . 3 ) 很显然，通过上面的讨论，我们也很容易知道有如下的公式，即 f 一 竺一 a 旦 2 7 r 2 u 0t ( 2 . 4 ) 其 中 ，a o 为 一 个 采 样 间 隔a t 之 间 的 相 位 增 量， 采 样 周期 a t = 1 / f , , 。 故 式 ( 2 . 4 ) 也可以改写成 f = a o f c . 2 n ( 2 . 5 ) 从式( 2 . 5 ) 中， 我们可以很容易地看出， 如果可以控制 b ， 就可以控制不同 的 频 率 输 出 。ab 受 频 率 控 制 字f c ， 的 控 制， 即由 0 1 2 7r = f c w l 2 l ( l 为 相 位 累 加 器的 位 数) 得 到 ，ab = 乓 w 2 )r l 2 l 。 所以 改 变乓 二 就 可以 得 到 不同 的 频 率 输 出 儿， 经过简 单地代换处 理， 将有如下的n c o调谐方程 、 二 争f clx 、 = f c r2 l ( 2 . 6 ) 当式( 2 . 6 ) 中f c w = 1 时，有 ( 2 . 7 ) 这是n c o可产生的最小频率，也就是n c o的频率分辨率. 可以看出，从理 论上来说 ，只要 相位累加 器的 字长足够大， 就可以 获得足够理想的 频率分 辨率。 另 外， 根 据n y q u is t 准 则 ， n c o 允 许 输出 的 最 高 频率 为f c r,k / 2 ， 即 f c w r ( b - 2 .5 8 5 ) / 3 1 = p( 因 为1 只 能 取 整 数 ) ( 3 .2 1 ) 然而， 实践表明， 1 的下限 可以稍微放松一些， 可以 表示为: l (b 一 2 .5 8 5 ) / 3 j = p ( 3 .2 2 ) 1 的 上限 是b - 1 ， 因为任意b 位的 数右移b 位都将为机器 零。 因 此 在以 上 条 件 下 ，s in a , 和 c o s a , 可 以 分 别 表 示 为 : s i n a , =2 - ( 3 .2 3 ) c o s a , =1 一2 - ,+ q ( 3 .2 4 ) 假设应用以 上近似，o , = + 1 ( 因为对于所有迭代， 余角的 符号始终一致) 且 顺时 针方向 旋转， 则( 3 . 1 ) 可以 重新表示为: 门.j 戈戈 尸lesesesesl ，.j 川一 n l y= p 1 一 2 - ( 2 , + 1) 一2 - 2 - 1 -2 - (2 , + 1 ) ( 3 . 2 5 ) 可以 注意到， 和式 ( 3 . 7 ) 一样，式 ( 3 . 2 5 ) 在实际中也可以 只用移位和加减法操 作来实现。另一方面， 和( 3 . 7 ) 不同，式。2 5 ) 中没有出 现比例项，这意味着该 c o r d i c 操作不需 要比 例因 子。 这不仅省去了 额外的 后续处理电路， 还节省了处 理时间。实现以上所述操作的数据流程框图如图3 .4所示， 图3 . 4 i _ b / 2 的 基本旋转 级，硬件开销和传统c o r d i c的基本旋转级一样，如图3 . 5 所示。 图3 . 5 i _ b 1 2 时的基本旋转级结构 3 . 2 . 2 扩展旋转模式下的角度收敛范围 上一小节所述的 c o r d i c单元是无比例因子的， 它节省了后续处理的硬件和 处 理时间。尽管 如此， 这种 c o r d i c算法的 最大缺陷是它只能 对非常小的目 标 角 度进行计算。 例如， 让我 们设 想一 个字长 为1 6 位的实 现。 根据式( 3 .2 2 ) ， 可以 算出迭代 序号i 为4 , 5 , . . . , 1 5 0 由 于 这 里 目 标 角 度 “ 一 艺 二 a , , 且 根 据 式 ( 3 .1 5 ) , s in a , - a , = 2 - ， 可 以 计 算 的 最大角 度仅为士 7 . 1 6。 这甚至比 传统c o r d i c的收敛范围 ( 9 9 . 8 8 0 ) 还要小得 多，因此显然不是通用的方案。 为了扩展无比例因子 c o r d i c算法的角度收敛范围， 人们开发出了“ 参数还 原” ( a r g u m e n t r e d u c t i o n ) 和 “ 重复 特定 迭代步骤” 这两种技术11 8 1 11 9 1 。 首先， 用 参数还原技术来减小所需计算的总的角度范围。 第二，以一种 自 适应的方式来选 择所需的基本旋转操作， 加快收敛速率，同时把最终角度逼近误差限制在某个预 设限下。以下的讨论将详细解释这个方案。 3 . 2 . 2 . 1 参数还原与区 域折叠技术 参数还原技术的主要目 的 是把较大的目 标角度b 的 c o r d i c旋转结果唯一 地映射到相对较小的目 标角度沪 的c o r d i c 旋转结 果上。 为此， 我们把坐标空间 分为 1 6 个相等的区域( 即每个象限4 个区域) ， 每个区域的角度大小范围都为7 6 8 . 任意的目 标角度都 会位于这 1 b 个区域中 的一个。 我们首先考察输入矢量关于位 于第一象限的目标角度b 的c o r d i c旋转，如图3 . 6 所示，b 将位于以下四个区 域之一: a ( q x / 8 ) ) , b ( s l 8 , a l 4 ) ) , c ( 7 r / 4 , 3 ; x / 8 ) ) , d ( 3 r r / 8 , z 1 2 ) 第 几 章数字 卜 变频器的实现算法 图3 . 6 第一象限的四个区域 在侮一个区 域，b 可以 用另一 个角度0 重新定 义为以 下等式: 区域 a : b 二 沪 ( 3 . 2 6 ) 区域 b : ( 3 . 2 7 ) 区域 c : ( 3 . 2 8 ) 区域 d : “ 一 普 一 “ 一 晋 + ” 一 号 一 ( 3 . 2 9 ) 需要注意的是角度0 位于区间 0 , s / 8 内 。把式 ( 3 . 2 6 ) - ( 3 . 2 9 ) 代入式 ( 3 . 1 ) 中， 对 于 输入矢量 x y t 的c o r d i c操作 在不同 的区域可以表示为: 区 域 一 圈 一 一coso sinor-sino cosh 习 区 域 一 圈 一 1 一 (coso+ sino) (coso -sino) x2 -(coso -sin o) (coso + sino)y 区 域 一 川 一 1 一 (coso - sino) (coso+ sin o)2 -(coso+ singt) (coso -sino)日 区 域 。 : i ym j一 !一 sino coso- coso sink 习 ( 3 . 3 0 ) ( 3 . 3 1 ) ( 3 . 3 2 ) ( 3 .3 3 ) 其中 升 。 代 表 的 是 经 过c o r d i c 旋 转了目 标 角 度( 该 角 度 位 于 * 区 域) 后 得 到的最终矢量。 现在 对于尹 和， 的c o r d i c旋 转可以 概括地表示为: 第二章数字 卜 变频器的实现算法 leseeesesj干.esj xyxy reseseseseslresllll 门.胜jrlweesj c o s 沪一 s i n 沪 s in 沪 c o s 沪 ( 3 .3 4 ) c o s 沪s i n 尹 - s i n 沪c o s 沪 ( 3 .3 5 ) 厂.l!l 一一- 门les.ij，esesesesesj ，十.十。一1 一巨|几|饰口 其中， x 和 y 的下 标十 和一 分别 指的 是 ( 3 . 3 0 ) - ( 3 . 3 3 ) 可以写为: x f a = x _ y s= y 一( 沪 = 印 c o r d i c 正旋转和负旋转。因此，式 ( 3 . 3 6 ) 、 一 岩 x ,十 夕 十， 、 一 岩 -x 一 ， 十， ( 一 于 一 0 ) ( 3 . 3 7 ) 、 一 i2 x 一 ， 一， 、 一 2 - x 几 ， 一】 (， 一 “ 一 9r )4 ( 3 . 3 8 ) x i d = 只 y j d = - x 万， 、 ，( 0=丁一d ) l ( 3 . 3 9 ) 等式( 3 .3 6 ) - ( 3 . 3 9 ) 表明: 对于位于第一象限的 不同区 域的目 标角度， c o r d i c 操作的结 果可以由目 标角度沪 的c o r d i c 旋转结果经过简单的加减 计算得出 来。 这意味着区域 b , c d都被有效地折叠到了区域 a。因此，我们把这种技术称 为 “ 区 域折叠” ( d o m a i n f o l d i n g ) 。 区域折 叠操作的一个结果是对于区 域b和区 域c 里 的目 标 角 度 产生 了 一 个 恒 定的 比 例 因 子1 / 万 。 这 个 恒 定 比 例 因 子 可以 在 一定的预设误差范围内只用移位和加减操作的最小硬件来实现， 具体我们会在第 四章的实现结构中介绍。 到此为止， 我们只考虑了第一象限里的目标角度。 通过利用坐标轴的对称性， 也可以很容易地用区域折叠技术来执行其它象限里的目标角度的c o r d i c操作。 很显然，根据目标角度所在的不同象限，可以折叠到第一象限进行计算，如表 ” 所 示， 其 中 (x j , 劝根 据 式 (3 .3 6 ) - (3 .3 9 )计 算 得 到 。 这 样 做 把 收 敛 范 围 扩 展 到了 整 个坐标空间。 简单地说， 对于任意角度的 矢量旋转计算， 第一步是 检测它所在 的象限和区域，然后折叠到第一象限的区域 a，就可以相应地根据表 3 . 1和式 ( 3 . 3 6 ) ( 3 .3 9 ) 来执行计算。 3 . 2 . 2 . 2 自 适应地选择迭代步骤 尽管如 此， 利用区域折叠技 术， 只足以 顾及一 个调整后的收敛范围 0 , z / 8 , 这仍然在第三节所述的无缩放 c o r d i c的收敛范围之外。为了消除这种差异， 一种方法是不止一次地重复执行某些迭代步骤。 根据仍需计算的余角，自适应地 选择每一级的迭代序号 i 。自适应地选择 i 的过程如图 3 . 7 所示的流程图。 第二章数字 卜 变频器的实现算法 表3 . 1 第二、三、四象限的角度折叠到第 一 象限 第 i 象限 角度 b , 折叠成第 - 象限的角度b b , 的旋转结果( x , , y ,) 与 b 的 旋 转 结 果 (x 1 , 劝的 关 系 0 20 2 一 t d 2 二b ( x , , y , ) = ( y 1 , x l ) 0 30 3 一 兀=b ( x , , y , ) = ( 一 -y f ) 氏氏 一 3 x 1 2=6 ( x , , y ,) = 切， - x s ) 图3 . 7 自 适应选择迭代步骤 i 的流程 这 个 过 程 里 ， 在 每 次 迭 代 步 骤i 的 开 始 时 ， 将 余角 z , 和2 - ( 第1 个 基 本 旋 转 角 度) 进 行比 较。 如 果z , 小 于2 -i ， 则 跳过 第l 个 迭 代 步 骤( 因 为 这 意 味 着 即 将 计 算的余角比 第i 个基本旋转角度 要小) ， 此时 迭代序号l 更新至i + l ， 接 着再 次做 出 比 较; 如 果 气 大 于 或 者 等于 2 - ， 则 根 据 式 (3 .2 5 ) 计 算 出x ， 和戈 十， ， 同 时 相 应 地 更 新 余 角的 值 。 重 复 这 个 过 程 直 至 达 到 一 个 用 户 指定 的 精 度r re l 。 这 个 算 法 中 我 们只考虑单一方向的 旋转， 因 此这个选择 迭代步骤的过程保证了只有实际需 要的 迭代步骤才被执行，显著地减少了计算量。 定理: 只有所允许的最小i 值所对应的迭代步骤才会重复多于一次， 对于别 的i 值不会重复。 第三章数字 卜 变频器的实现算法 证 明 : 在 第l 次 迭 代 的 开 始， 设 余 角 为e 且2 - q 珠 2 - q - i1 2 - 1 ， 其 中 p 0 _ n 2 - 0 ， 则对应于印 的基本旋 转步骤将被执行n 次。 平均 来说， 这里所 述的自 适应无缩放c o r d i c比 传统c o r d i c算法少需要 5 0 %的 迭代1 1 5 1 。因此， 使用这个方案， 可以 保证收 敛速度比 传统 c o r d i c方式 要 快， 而 且 几 乎 不 需 要 缩 放 操 作 ( 乘以 1 / 万只 需 要 简 单 的 移 位 和 加 法 就 可 实 现) 。 3 . 2 . 3 c o r d i c 算法的误差 c o r d i c 算法的实 现中 有三个主要的 误差源: 输入字的量 化误差、 运算中的 累积截断误差以及最终的余角趋近于零的程度。 输入字的量 化误差主要是前端a d c考虑的 采样精度问 题， 无论 对于自 适应 无缩放 c o r d i c还是传统 c o r d i c都是一样的。 截断误差是由 运算过程中 有限字长引起的 截断引 起的， 这种 误差经过各流水 线级的不断积累， 最终就形成了 累积截断 误差。 很显然累积截断误差和 所进行的 迭代步骤有关， 进 行的 迭代步骤越多， 这个误差累积就 越大。 前面己 经说过，自 适应无缩放 c o r d i c算法中，某 些基本旋转级 被自 适应地跳过了，因 此可以 预 计其最终的截断累 积误差平均来 说比传统c o r d i c 算法要小。 至于