（基础数学专业论文）曲线曲面中的调节参数的研究.pdf

i ， ： l 1 冬 ? ， 3 l l 、 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：墨拯焘擅 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：兰起羞煎： 指导教师签名：銎丝婴 签名日期：c 山t 年卜月，7o 日 1-irl，0 ， 1 x 二 l 辽宁帅范火学硕士学位论文 摘要 参数曲线曲面造型设计是计算机辅助几何设计( c a g d ) 的核心利用调节参数处理计 算机辅助几何设计中的曲线曲面造型问题一直受到众多专家学者的关注本文着重研究 如何利用调节参数使三角域上的二元二次b 6 z i e r 曲面发生一定的形变达到某种效果的 问题所使用的方法是通过带有调节参数的变换矩阵将控制点的个数增加，并通过参数 的改变调整控制点的位置，从而达到调整曲面形状的目的 对于二元二次三角域上的b 6 z i e r 曲面来说，所定义的调节参数共有9 个， a ，卢，y ，f ，p ，6 。，6 ：，岛，其中a ，p ，y ，f ，是影响曲面边界控制点的参数，6 。，晚，疋是影 响曲面内部控制点的参数，根据参数的取值范围不同，我们可以调整三角域上b 6 z i e r 曲面的形状 主要工作如下： 首先，对三角域上b z i e r 曲面的一条边界进行研究，对于所定义的参数矩阵来说， 影响一条边界的参数有两个，根据参数的取值范围的不同，得到9 种不同类型曲面 其次，对三角域上b 6 z i e r 曲面的三条边界进行研究，每条边界有9 种类型，共有 7 2 9 种 最后，对三角域上b 6 z i e r 曲面的内部控制点进行研究，根据面积坐标正负号的对 应区域确定控制点的位置，共有7 种不同类型所以通过改变参数的值，可得到5 1 0 3 种 不同类型的曲面 研究了这种带有形状参数的曲线曲面的类型，分析讨论了形状参数的几何意义以及 形状参数对曲线曲面的影响这些调节参数是局部参数，它既能整体调控曲线的形状， 又能局部调控由于函数基的不变性，减弱了对参数范围的限制，增加了参数曲线曲面 的自由度，因此能很好的调整曲线 关键词：形状参数；b 6 z i e r 曲线；b 样条曲线；三角域上b 6 z i e r 曲面 譬l-一 一j】，-i 曲线曲面中调节参数的研究 t h es u r v e yo f c u r v e sa n ds u r f a c e sw i t ha d j u s t a b l ep a r a m e t e r s a b s t r a c t p a r a m e t e rc u r v ea n ds u r f a c e d e s i g n i st h ec o r eo fc o m p u t e ra i d e d g e o m e t e r d e s i g n ( c a g d ) ，t r e a t m e n tt h ep r o b l e mo ft h ec u r v ea n ds u r f a c em o d e l i n gb ya d ju s t i n gt h e p a r a m e t e r si nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g nh a sb e e nt h ec o n c e r no fm a n ye x p e r t sa n d s c h o l a r s t h i sp a p e rf o c u s e so nt h ep r o b l e mt h a th o wt oa d j u s tt h ep a r a m e t e r so ft h eb i n a r y q u a d r a t i cb 6 z i e rs u r f a c eo f ft h et r i a n g l em u s to c c u rt oa c h i e v ea ne f f e c to fd e f o r m a t i o n t h e m e t h o du s e db yt h et r a n s f o r m a t i o nm a t r i xw i t ha d j u s t a b l ep a r a m e t e r st oi n c r e a s et h en u m b e r o fc o n t r o l p o i n t s ，a n da d j u s tt h ep o s i t i o no fc o n t r o lp o i n t sb yc h a n g i n gt h ea d j u s t a b l e p a r a m e t e r st oa c h i e v et h ep u r p o s e o fa d j u s t i n gt h es u r f a c es h a p e t ot h eb i n a r yq u a d r a t i cb 6 z i e rs u r f a c eo nt h et r i a n g l e ，t h en u m b e ro fa d j u s t m e n t p a r a m e t e r sh a sb e e nd e f i n e di sn i n e ，a ，p ，y ，f ，弘，v ，6 i ，疋，也，w h i c ha ，卢，y ，f ，p ， i st h e p a r a m e t e r so fa f f e c t i n gt h eb o u n d a r yc o n t r o lp o i n t so ft h es u r f a c e ，点，疋，毛i st h ep a r a m e t e r s o fi n t e r n a lc o n t r o lp o i n t so ft h es u r f a c e a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tr a n g eo fp a r a m e t e r s ，w e c a na d j u s tt h es h a p eo f b 6 z i e rs u r f a c eo nt h et r i a n g l e t h em a i nw o r ki sa sf o l l o w s ： a tf i r s t ，w es t u d yab o r d e ro fb 6 z i e rs u r f a c eo nt h et r i a n g l e ，t ot h ed e f i n e dp a r a m e t e r s m a t r i x , t h ep a r a m e t e r so fa f f e c tab o u n d a r yh a st w o a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tr a n g eo f p a r a m e t e r s ，w ec a n o b t a i n9d i f f e r e n tt y p e so fs u r f a c e f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h r e eb o r d e r so fb 6 z i e rs u r f a c eo nt h et r i a n g l e ，e a c hb o u n d a r yh a s 9 t y p e s ，at o t a lo f 7 2 9k i n d s f i n a l l y ，w es t u d yt h ei n t e r n a lo fb 6 z i e rs u r f a c eo nt h et r i a n g l e ，a c c o r d i n gt ot h e c o r r e s p o n d i n ga r e ao ft h es i g no fa r e ac o o r d i n a t e st od e t e r m i n et h el o c a t i o no fc o n t r o lp o i n t s ， at o t a lo f7k i n d s s ow ec a no b t a i n510 3k i n d so fd i f f e r e n tt y p e so fs u r f a c eb yc h a n g i n gt h e v a l u eo ft h ep a r a m e t e r s t h ep a p e rr e s e a r c h so ns e v e r a lc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs o m es h a p ep a r a m e t e r sa n d d i s c u s s e st h eg e o m e t r i cm e a n i n go ft h es h a p ep a r a m e t e r sa n dt h ei m p a c to f s h a p ep a r a m e t e r s t oc u r v e sa n ds u r f a c e s t h ea d j u s t a b l ep a r a m e t e r sc o n t r o lb o t ht h eo v e r a l ls h a p eo ft h ec u r v e b u ta l s ol o c a lc o n t r 0 1 b e c a u s eo ft h ei n v a r i a n c eo ft h ef u n c t i o nb a s e ，w e a kt h er e s t r i c t i o n so n t h er a n g eo fp a r a m e t e r s ，i n c r e a s et h ef r e e d o mo fp a r a m e t r i cc u r v e sa n ds u r f a c e s s oi tc a n a d j u s tt h ec u r v e sa n ds u r f a c e sv e r yw e l l k e y w o r d s ：s h a p ep a r a m e t e r ；b 6 z i e rc u r v e s ；b s p l i n ec u r v e s ；b 6 z i e rs u r f a c eo nt r i a n g u l a r i i 一 rr_ 0 - 【 c l j 、卜 ，i rj 3 1 ；j i 辽宁师范人学硕十学位论文 目录 摘要一i a b s t r a c t i i 弓i言1 l 关于带有形状参数的曲线曲面研究3 1 1 带有形状参数的曲线3 1 2 带有形状参数的曲面一5 1 3 思考7 2 带调节参数的二次b 6 z i e r 曲线曲面一8 2 1 带调节参数的二次b 6 z i e r 曲线8 2 2 带调节参数的二次b 6 z i e r 曲面9 3 三角域上的带调节参数的b z i e r 曲面的几何性质“ 3 1 调节参数对曲面边界的影响的研究1 l 3 2 调节参数对曲面内部控制点的影响的研究1 7 3 3 调节参数对三角域上b 6 z i e r 曲面影响图形实例2 2 结 论2 5 参考文献2 6 攻读硕士学位期间发表学术论文情况一2 8 致谢一2 9 _l-， 一 ，i_，、r_ 1 ： i 辽宁师范人学硕士学位论文 引言 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ：c a g d ) 是涉及数学及计 算机科学的一门新兴学科它研究的内容是在计算机图像系统的环境中曲线曲面的表 示和逼近，在飞机、船舶、汽车设计、c a d c a m 、工程器件、模具设计、生物工程、医 学诊所、动画制作以及多媒体技术等领域都有广泛的应用 曲线曲面的构造、表示和逼近是c a g d 的主要任务曲线曲面造型技术起源于二战 时汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺自由曲线曲面造型技术诞生于5 0 年代 最早由s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年提出插值样条函数，以解决插值问题，构造参数连续的插 值曲线曲面，由c o o n s ，b 6 z i e r 等大师奠定其理论基础1 9 6 3 年美国波音飞机公司的 f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线，是曲线 曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的b 6 z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法，以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线 和曲面的设计系统u n i s u r b 6 z i e r 方法在计算机辅助几何设计学科中占有重要地位， 为曲线曲面造型技术的进一步发展奠定了坚实基础，是c a g d 发展中的重要里程碑1 9 7 2 年，d eb o o r 总结给出了关于b 样条的一套标准算法，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 提出了b 样条方法，将b e r n s t e i n 基函数换成了n 次b 样条基，从而将向量形式的b e r n s t e i n 逼 近改成向量形式的b 样条逼近 参数曲线曲面造型设计是计算机辅助几何设计的核心，利用调节参数处理c a g d 中 的曲线曲面造型问题一直受到众多专家学者的关注韩旭里、刘圣军提出了一种带有一 个形状参数的二次b 6 z i e r 曲线的扩展f l 】，刘值将其推广到厅次b 6 z i e r 曲线的扩展f 4 j ，王 文涛、汪国昭提出了带有形状参数的均匀b 样条理论 ! o - 1 2 1 ，吴晓勤、韩旭里构造了带有 形状参数的b 6 z i e r 三角曲面片【2 l j ，这些扩展的共同特点是在基函数中加调节参数，使 之成为一组新的带有调节参数的基函数，在不改变控制点的前提下，利用调节参数的不 同取值实现对曲线曲面形状的调节 本文受上述研究工作的启发，从另一个方面考虑，即通过带有调节参数的变换矩阵 调整控制点的数量和位置，进而改变曲线曲面的形状，进而研究调节参数对曲线曲面的 影响全文共3 章 第一章研究了几种带有形状参数的曲线曲面，分析讨论了形状参数的几何特征，以 及形状参数对曲线曲面的影响，分析如何通过对调节参数的选取达到调整曲线曲面的目 的 曲线曲而中调节参数的研究 第二章针对二次的b 6 z i e r 曲线曲面进行研究，通过引入带有调节参数的矩阵变换， 产生新的控制点，分析参数的几何意义 第三章分别从曲面边界和曲面内部控制点两方面进行分析，研究调节参数对三角域 上b 6 z i e r 曲面的影响，并将这类曲面进行分类通过控制点的变化，引起曲面形状的变 化，达到调整曲面的目的 最后是对全文的一个总结，并对进一步的研究工作做一些分析 一2 一 f t 一 ： j 1 辽宁师范大学硕十学位论文 1 关于带有形状参数的曲线曲面研究 b 6 z i e r 曲线是基于b e r n s t e i n 基函数和控制多边形构造的，其构造简单、使用灵活 在计算机辅助几何设计中广泛应用，b 6 z i e r 曲线曲面的理论长期在曲线曲面造型技术领 域中扮演重要决角色，但b 6 z i e r 曲线曲面的形状相对于其控制顶点时固定的，若要修 改其形状，则必须调节相应控制顶点的位置，这个问题一直受到中外学者的关注 1 1 带有形状参数的曲线 关于调整曲线的形状的研究，已经有了很多成果，最为突出的是引入权因子，由这 样产生的曲线有有理b 6 z i e r 曲线、有理b 样条、非均匀有理b 样条( 即n u r b s ) 【6 2 8 2 9 1 ， 特别地，n u r b s 已经成为工业设计的国际标准1 2 9 1 除此之外，学者们还对另外一种参数调节方法进行研究王晶听等构造出一个具有 两个可调参数弘y 的二次有理多项式插值函数【7 】齐从谦等曾构造了一类可调控b 6 z i e r 曲线，针对刀+ 1 个控制顶点，用2 2 = ( 厅一1 ) + 1 次b e r n s t e i n 基构造一类b 6 z i e r 曲线【5 1 韩旭里、刘圣军针对如何调整曲线形状、改变曲线位置的问题进行研究，给出了三次带 有参数a j 的多项式调配参数，基于此调配函数，生成带有形状参数的分段多项式曲线， 研究了此调配基函数、所生成的曲线的性质和连续条件【1 1 此种方法的关键在于：( 1 ) 通 过改变形状参数九的取值，可调整第，段曲线的形状，所构造的曲线具有良好的局部性 质，( 2 ) 所构造乘积型的带有形状参数的5 r _ - 次b 6 z i e r 曲面所定义的带有参数a ，的调配 函数是 r i 么o ( 力= ( 1 一a ) ( 1 一力z i 么，( 力- - ( 2 + 乃) ( 1 一力， i i 么2 ( 力- - - ( 1 一乃+ 柳 其中，【0 ，l 】，九月，为所构造曲线中曲线段的序数吴晓勤、韩旭里在文献 1 的基础上，提出三次b 6 z i e r 曲线的扩展，通过增加，的次数，得到4 个带有参数参数a 的基函数【2 】吴晓勤针对一般厅次b 6 z i e r 曲线的扩展展开研究，以文献 1 2 所给的 基函数为基础利用d ec a s t e l j a u 算法，得到了厅+ 1 个刀+ 1 次带有参数a 的基函数此 方法定义的基函数具有与b e r n s t e i n 基函数类似的性质，所构造的的曲线具有与刀次 b 6 z i e r 曲线类似的性质，如端点性质、终边性质、变差缩减性、保凸性等，并且在控制 曲线曲面中调节参数的研究 顶点固定的情况下，通过参数a 的不同取值，达到调整曲线形状的目的f 4 】 带有形状参数的分段多项式曲线之一是口曲线，它具有良好的几何连续性对于均 匀节点，当形状参数肠= l ，履= 0 时，卢曲线是产连续的此外，只有形状参数值适当 时，3 曲线才具有较好的端点性质【3 0 1 另一类带形状参数的b 样条曲线之一是c 一彦曲 线，此曲线的基函数中含有三角函数，调节参数也用三角函数表示针对基函数的不同 特性，当改变调节参数的取值，c 一刀样条曲线只能位于三次均匀b 样条曲线的远离控 制多边形的- n t 2 7 1 韩旭里、刘圣军针对b 样条曲线扩展进行进一步研究，给出四次多 项式调配函数，给出生成相对控制多边形不同位置的多项式曲线的方法，通过调整形状 参数的值，调整曲线逼近其控制多边形的程度，并且从两侧逼近三次均匀b 样条曲线 选取不同的形状参数，利用曲线俨连续条件，可构造封闭曲线，所定义的4 次调配函 数为 4 ( 0 = 刍( 4 一见一3 a 力( 1 一力3 刍( 力= i 1 1 6 + 2 允一1 2 ( 2 + a ) 户+ 1 2 ( 1 + 允) 户一3 z t 幺( 力= 寺 4 一九+ 1 2 + 6 ( 2 + z ) 一1 2 t 3 3 允】 磊( 力= 寺( 4 4 a + 3 9 t ) ? 王文涛、汪国昭在此基础上提出了以后2 ) 阶带有一个形状参数的均匀b 样条曲线， 在控制点不变的情况下生成不同位置的多项式曲线，并且随着阶数的升高，形状参数的 取值范围也越来越大，大大增加了曲线的灵活性【l o 】，但此种方法定义的带有形状参数的 b 样条曲线还有一些不足，如不能精确地表示圆锥曲线和圆弧曲线，为了克服这一些不 足，作者又定义了带形状参数的三角均匀b 样条曲线【1 1 1 和带有形状参数的双曲均匀b 样条曲线【1 2 】以上构造了后( 后2 ) 阶带形状参数的代数、三角和双曲均匀b 样条曲线， 都含有一个形状参数，能够达到产连续，但它们的计算比较复杂左传贵、汪国昭基 于四次调配函数构造了一类带形状参数的分段多项式样条曲线【1 3 】，为了更加灵活地调整 曲线的形状，施晓燕等引入含有多个形状参数的5 7 阶均匀b 样条调配函数，产生易于 调整形状的分段多项式曲线f l 禾1 6 一4 一 f 鼍 i j - ， 7 t ： - 辽宁师范大学硕士学位论文 1 2 带有形状参数曲面 在曲面设计方面，人们可以基于b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线加入调节参数的扩展，再 运用张量积方法就可以得到带有形状参数的曲线推广到矩形域的曲面，该类曲面具有与 对应曲线相似的几何性质通过选取形状参数的值，可以得到不同程度地接近其控制多 面体的曲面对于适合于不规则与散乱数据几何造型的三角域上的b 6 z i e r 曲面，邬弘毅、 夏成林、汪国昭等通过不同方式引入形状参数，建立三角域上带形状参数的 b e r n s t e i n b 6 z i e r 参数曲面的生成方法，通过改变形状参数的取值，达到调整曲面的形状 的目的 1 9 - 2 0 1 邬弘毅、夏成林通过引入多个形状参数，实现三角域上b 6 z i e r 曲面的扩 展所构造的多项式曲线与曲面的调配函数具有显式表示，易于求导和求和，并且多个 形状参数的引入既能整体调控曲线和曲面的形状，又能作局部调控，但它无法精确地表 示圆锥曲线或其他超越曲线，这只能在三角多项式空间，双曲多项式空间或混合空间中 去解决【1 9 1 曹娟、汪国昭给出了三角域上带形状参数的类三次b e r n s t e i n 基函数，并由 此组基构造了带形状参数a 的类三次b b 参数曲面【2 0 】 吴晓勤、韩旭里通过加调节参数允提高二次多项式的次数，得到了三角域上三次基 函数组，以此基函数组为基础，利用与d ec a s t e l j a u 类似算法，得到了仞+ 1 ) ( 刀+ 2 ) 2 个刀+ 1 次带有参数a 的基函数组，基于该组基定义的带有形状参数a 的三角域上的 b 6 z i e r 曲面片，具有与，7 次b 6 z i e r 三角曲面片类似的性质【2 1 1 该文献中定义的带参数a 的三次基函数为 o ( 弘巧功= ( 1 一九+ 允功矿 罐o ( 巧砂= ( 2 + 九一九w ) u v 砬o ( 巧r e ) - - - ( 1 一允+ z v ) v 2 箔l l ( 巧功= ( 2 + 九一z u ) 2 ( 弘巧功= ( 1 一九+ zw ) 缩l ( 弘巧功= ( 2 + 允一z v ) u w 其中弘巧1 4 为控制点的重心坐标，砖0 ，t o + y + 炒= 1 ，- 2 九i 利用与d e c a s t e l j a u 类似的方法定义n + 1 次的基函数组为 i j , 1 k ( 以巧功= 飙雅l t ( 弘巧计+ 以致i ，- ( 砖功+ m - 一i ( 纺巧r e ) 曲线曲面中调节参数的研究 一般地，n + 1 次基函数的参数旯的取值范围为一，7 a 1 固定弘y 和，求易( 以巧功关 于参数允的导数，记为织( 强屿叻，则 z 场毛o ( 巧力= ( 一1 ) 瑰o ( e 功= ( v - 1 ) 伊 线2 ( 巧功= ( 一1 ) z 砣毓o ( 弘巧功= ( 1 一砂y 倒l l ( 弘坫叻= ( 1 一功删 瑰l ( 弘巧力= ( 1 一d 别 可知砬。( 碍砂，砬。( 砺巧砂及砬：( 职巧砂是九的递减函数，皖。( 巧叻，缩，( 弘砖功 及露。，( z ，巧叻是九的递增函数所以参数九在允许的范围内，九越大，曲面向彳。，气，和 名。3 点方向膨胀；a 越小，曲面就收缩，离曰。，。和矗。3 点就越远如图l 所示 3 5 3 o 3 7 5 3 7 o 瓢5 舱o 叛6 2 垂 九= - 2 6 一 5 船o 3 7 5 3 7 0 3 6 i5 胬0 3 5 5 2 4 九一l f t j。 l k _ 。 辽宁师范人学硕士学位论文 3 8 5 3 8 o 37 5 37 _ o 3 6 s 3 6 。o 3 5 5 2 4 勰5 o 3 7 5 强o 胬5 a 弱5 2 4 a = 0 见= l 图1 不同参数值的三次曲面 f i g it h es u r f a c eo f t h r e eo r d e rw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r s 该曲面的优点是：在保持控制点不变的情况下，通过调节参数a 的取值可调整曲面 的形状，并且a 越大，曲面越接近控制网格，当a = 0 时，曲面退化为正常的厅次b 6 z i e r 三角曲面片，构造的曲面可在b 6 z i e r 三角曲面片的上方或下方，使曲面形状调整更加 方便、更加直观 于丽萍构造了三角域上带两个形状参数九，九的类三次b e r n s t e i n 基函数，基于该 组基函数定义了三角域上带形状参数 ，九的类三次b - b 参数曲面片【2 2 1 当形状参数 九= 疋= 0 时，曲面片退化为普通的b b 三角曲面；当形状参数九= l 一九， 厶= 3 3 一3 ( 0 九1 ) 时，曲面片退化为文献 2 0 中的曲面片；当形状参数 = 允， 九= 一a ( 一3 a 1 ) 时，曲面片退化为文献 2 1 中的当刀= 3 时的曲面片 1 3 思考 综合分析文献 1 - 8 、 1 6 一 2 0 的研究工作，我们有了另一个想法上述文献都 是利用调节参数产生新的基函数，然后讨论这组新的基函数的性质和这组新的基函数条 件下曲线曲面的设计问题，我们将这些调节参数重新整理发现这种方法又可以归结为 控制点在数量和位置上的调整，而基函数的类型又发生阶数的改变这样，就可以着重 分析调节参数对曲线曲面设计的影响，这就是本文研究工作的出发点本文首先给出带 有调节参数的变换矩阵，将控制点的个数增加，生成高一阶的b 6 z i e r 曲线和三角域上 b 6 z i e r 曲面，然后分析该曲线曲面的性质，最后通过调节参数大小和范围的变化绘制出 具有代表性的曲线曲面 曲线曲面中调节参数的研究 2 带调节参数的二次b 6 z ie r 曲线曲面 以上这些结果均足在不改变控制点的前提下改变形状参数的值实现对曲线曲面形 状的调控，以下给出一种加调节参数增添控制点，通过升阶的方法达到调整曲线曲面形 状的目的的方法研究如下问题：通过参数改变控制点的数量和位置，从而使得曲线曲 面成为在新的控制点条件下的高一阶的b 6 z i e r 曲线曲面，讨论调节参数对曲线曲面形状 的影响以下部分的讨论均针对y = 2 的情况进行 2 1 带调节参数的二次b 6 zi e r 曲线 霎 = 吾1 ：三0 苫；0 j 、 囊 、。， 丝：一1 - - o 奶名 a 置q 2 一p 7 奶名 l p 级分届彳的比为1 - a o r ，甥分镅的比为p ：l p ，如图2 一8 1 k j ： _ 。j 1 - ： 辽宁师范大学硕士学位论文 图2q 和1 3 的几何葸义 f i g 2t h eg e o m e t r i c a lm e a n i n go fda n db 由以上分析可知： 1 新控制多边形的首末端点鲲，奶和原控制点名，名重合 2 当a l 时，鸟 在丽的延长线上且当a 越接近0 时，幺越接近彳，当a = o 时，鸟与名重合，当= i 1 时，幺为线段名彳的中点，当a 越接近1 时，召越接近名，当a = l ，绍与名重合 3 当卢 l 时，奶 在砺的延长线上且当卢越接近0 时，旦越接近彳，当卢= o 时，甥与彳重合，当p = 时，甥为线段镅的中点，当p 越接近l 时，甥越接近忍，当p = l ，甥与皇重合【1 6 1 2 2 带调节参数的二次b d z i e r 曲面 设6 个控制点易詹“z 后o ，“+ 后= 2 ) ，这6 个控制顶点确定的三角域厂上的 2 次b e m s t e i n b d z i e r 参数曲面为 爿以巧功= 纭砺( 以坫叻，巧功， h 轴k = 2 曲线曲面中调节参数的研究 令 乡3o o 夕2io 夕i2o 锣o3o 夕o2l 矽ol2 夕oo 3 夕l0 2 夕2ol 夕 则得由1 0 个控制点易( z 后o ，“+ 后= 3 ) 所确定的带形状参数的三次b 6 z i e r 曲面 烈巧叻= 鳓铹似巧功，( h , v , w ) a t h j + k = - 3 其中口，p ，y ，f ，p ，y 是影响曲面边界控制点的参数，一，疋，瓯是影响曲面内部控制点的 参数，并且4 + 嘎+ 磊= 1 因为参数的变化，这种带有调节参数的三角域上b 6 z i e r 曲面将有许多形状上的变 化，下面一节，我们将研究参数对曲面的影响，并将这类曲面进行分类 1 - ： i 0 o o 2 o l 2 o o乃月局局月 p y o o o o o o o一 一豇 ，l ，l o o o 0 o r l 肛o o y o o o o 一 一o o o n o 0 p y o 0 0 o 0 口卢 o一 一o 0 o 0 0 0 乱 ，l，i 1 口0 o 0 0 0 0 y o _ j ： ? ， 。 3 i l 辽宁师范大学硕士学位论文 3 三角域上的带有调节参数的b 6 z ie r 曲面的性质 3 1 调节参数对曲面边界的影响的研究 调节参数对曲面边界的影响本质上是调节参数对曲线的影响，利用对控制点加调节 参数这种方法进行对曲线的调整以及调节参数对生成的曲面的影响，由于三角域，上曲 面的边界表示是弘巧中之一为0 ，即为b 6 z i e r 曲线易知，与之有关的参数为 仅，卢，y ，f ，y ，而这只要对参数口，p 的变化进行讨论( 其他情况类同) 根据a ，卢的取值 范围不同，可以分为以下9 种情况【2 8 】，得到9 种不同形状的曲面( 表1 ) ，调整口，卢的大 小只影响= 0 这条边界的控制点，由式( 2 ) 可知，新控制多边形的首末端点甥。，或，。分 别和原控制多边形的首末端点，名。重合 表1 不同参数域情况分类 q o 0 q 1 两个望塞、。尖点 一个拐点 二重点 一个拐点无拐点 无奇点一个拐点 无奇点 一个拐点 无拐点 当a ，卢1 时 a ：鱼鱼， 皇彳l op = 篁彳些l o p 0 2 0 昱鲤。o l a 彳。幺2 。一卢 ：= = = = = = = 一一= = = = = = = = = 一一 奶l o 矗o a 召2 0 q 0 3 0 l 一卢 甥l o 分边最彳l o 的比1 一口：a ，鸟2 0 分边彳l 。0 2 。的比p ：1 - p 【8 1 ，如图3 当仅，p = l 时，甥。与皇，鸟加与。重合，b 6 z i e r 曲线退化为一条直线 曲线曲而中调节参数的研究 图3q 和1 3 的几何恿义 f i g 3t h eg e o m e t r i c a lm e a n i n go fqa n d8 定理1当a 0 ，p 0 时，所生成的b 6 z i e r 曲面的一条边界，即口，p 影响的边界 会出现两个拐点、尖点、二重点其中之一 当“ 0 ，p 0 时，甥。在互彳。的延长线上，召：。在名。彳。的延长线上，控制三 边形首末边相交，视其交点在首末边上的相对位置从远离到接近首末端点，曲线会依次 出现两个拐点、尖点与二重点当a = 一l ，p = 一l 时，所生成的= 0 这条边界曲线出现尖 点，如图4 1 此情况下所生成的三角域上b 6 z i e r 曲面如图5 1 ，其中参数a = 一l ， p = 一l ，) ，r ，y = 1 25 1 ，疋，磊= 1 3 定理2 当a 0 ，p ( o ，1 ) 时，所生成的b 6 z i e r 曲面的一条边界，即o f ，卢影响的 边界会出现一个拐点 当a 0 ，卢( o ，1 ) 时，甥。在忍。彳。的延长线上，鸟2 。在线段彳。名：。上，控制多边 形首末边位于中间边所在直线的两侧，所生成的b 6 z i e r 曲线具有一个拐点该曲线不在 露。名。的凸包内，如图4 2 ，所生成的三角域上的b 6 z i e r 曲面如图5 2 ，其中参数 a = - l ，p = 1 2 ，) ，f ，6 l ，龟，疋同上 定理3 当a l 时，所生成的b 6 z i e r 曲面的一条边界，即d ，p 影响的边界 无奇点 当口 l 时，甥。在昱名。的延长线上，幺2 。在名。名。的延长线上，控制三 边形的首边与末边的正向延长线相交，其交点接近首端点，远离末端点，所生成的b 6 z i e r 1 - f ： j 一 ； 1 ： 、l 辽宁师范大学硕士学位论文 曲线无奇点，且该曲线不在最0 0 彳。名：。的凸包内，如图4 3 ，所生成的三角域上的b 6 z i e r 曲面如图5 3 ，其中参数a = 一1 ，卢= 2 ，y ，f ，p ，6 l ，6 ：，5 3 同上 定理4 当a ( 0 ，1 ) ，p l 时，甥i o 在线段名名。上，鸟加在曰。的延长线上，控制三边 形的首末边位于中间边所在直线的两侧，所生成的b 6 z i e r 曲线具有一个拐点该曲线不 在彳。吃。的凸包内，如图4 6 ，所生成的三角域上的b 色z i e r 曲面如图5 6 ，其中参 数a = 1 2 ，p = 2 ，y ，f ，5 i ，6 2 ，6 3 同上 定理7当仅 l ，卢 l ，卢 l ，卢( o ，1 ) 时，所生成的b 6 z i e r 曲面的一条边界，即a ，卢影响的 边界有一个拐点 曲线曲面中调节参数的研究 当口 l ，卢( o ，1 ) 时，甥。在彳。昱。的延长线上，鲳：。在线段名。2 0 ：。上，控制多边 形首末边位于中间边所存宜线的两侧，所生成的b 6 z i e r 曲线具有一个拐点该曲线不在 忍。彳。层：。的凸包内，如图4 8 ，所生成的三角域上的b 色z i e r 曲面如图5 8 ，其中参数 a = 2 ，p = 1 2 ，f ，p ，v ，5 l ，5 2 ，5 3 同上 定理9 当口 l ，p l 时，所生成的b 6 z i e r 曲面的一条边界，即口，口影响的边界 是凸的 当0 l ，p l 时，甥。在彳，。气。的延长线上，鸟：。在彳。2 0 ：。的延长线上，多边形 级甥。召：鸽：。是凸的，所定义的b 6 z i e r 曲线也是凸的，曲线无拐点，但曲线不在 最。暑。2 0 ：。构成的凸包内，如图4 9 所生成的三角域上的b 6 z i e r 曲面如图5 9 ，其中 参数a = 2 ，卢= 2 ，y ，了，v ，5 l ，5 2 ，疋同上 图4 1a 0 ，p 0 f i g 4 1a 0 ，p 0 图4 4a ( o ，1 ) ，p 0 f i g 4 4a ( 0 ，1 ) ，p 0 图4 2a 0 ， p ( o ，1 ) 图4 3 口 1 f i g 4 2a 1 f i g 4 6a ( o ，1 ) ，卢 1 t 毫 ； j j t f ， 4 辽宁师范大学硕士学位论文 一，1，x 莎 l 卜-7、l 曲线曲面中调节参数的研究 图5 7 f i g 5 7 图5 8 a 1 ，p ( 0 ，1 ) f i g 5 8 a 1 ，p ( 0 ，1 ) 图5 9a 1 ，p 1 f i g 5 9a 1 ，卢 1 同理，还可以对p = 0 ，= o 这两条边界的参数变化情况做类似分析，这样与原来 的三角域上的二阶b 6 z i e r 曲面相比较，共有7 2 9 种下面图6 是部分图形 口= 2 ， ，= 2 ，p = 2 o t = 1 2 ，y = - 1 , = 2 f ； z f 龟 p l t ! i - j e f 0 o 划 口 多 1 ： 、 万 ， 0 辽宁师范大学硕士学位论文 x a = 1 2 ，y = p = 2 x a = ，= - l , p = 2 口= p = y = f = p = ，= 2a = f l = y = t = 肛= ，= 一l 图6 边界点变化图 f i g 6b o u n d a r yp o i n t sv a r i a t i o nd i a g r a m 3 2 调节参数对曲面内部控制点的影响的研究 变换a ，p 的值可得9 种不同变化的曲面，知变化a ，p ，r ，p ，y 的值可得到9 3 ，即 7 2 9 种不同变换的曲面以上讨论是针对影响边界变化的参数进行分析此外，调节参数 6 ，嘎，也的值亦可影响曲面的形状，以下针对6 。，疋，岛对曲面的影响进行研究 图7 面积坐标示意图 f i g 7a r e ac o o r d i n a t e ss c h e m a t i cd i a g r a m 定理1 0 当磊，岛，也非负时，磊越大时，所生成的b 6 z i e r 曲面相对于点名，气，偏向 彳。，并且乏，岛越大时，相应的也有类似性质 由式+ ( 2 ) ，幺。i = 艿，彳。+ 0 2 7 0 ，。+ 0 3 8 0 。，磊+ 盈+ 瓯= l ，由面积坐标的定义知， ( 曩，疋，毛) 是召。在衅。f o 。，f , o 。上的面积坐标，衅。名昂，的顶点依逆时针方向排列时其 有向面积记为衅，。f o 。名。，如图7 ，a = 鸟i l 露l l 冗i 衅i o f o ll 乞l 疋= 衅，。召。 名l o 名l1 名l 磊=衅i o 名i l 鸟i i 1 一 衅j 0 名i l 气l 由磊+ 龟+ 色= l ，可知鸟，。在彳。，肩，气。所确定的平面上，岛，岛，盈均为非负值时，即 点，盈，岛( o ，1 ) 时，鸟。在a 4 , i o 矗1 1 名l 内， 由于雠。名气。的面积值固定，磊越大时， 蛔- t 名t - 气t 的面积值越大，点鸟。越靠近暑。，当4 = l 时，点鸟，。与矗。重合，控制网格 l o ：活( i + j + k = 3 ) 偏向名l 。，所生成的b 6 z i e r 曲面相对于点名，名。偏向昂。，同理，6 ：，磊 越大时，相应的也有此性质 ，图8 1 ，a ，卢，y ，f ，y 为1 2 ，= 三，龟= 詈，岛= 詈，以下各 组图中a ，f l , y , v , l x , v 均相同，图8 2 ，4 = j 1 ，龟= j 1 ，磊= ；1 ，图8 3 ，暖= 三，疋= 丢，毛= 。离v 越来越近图中v