（基础数学专业论文）弱量子代数的弱hopf代数结构及表示.pdf

浙江大学硕士学位论文 弱量子代敷的弱h o p 代数结构及表示 摘要 为了研究y a n g - b a x t e r 方程和二维可解格楱，d r i n f e l d p l 】和j i m b o 【j j 】同时引入 了k a c - m o o d y 代数的量子包络代数的概念1 9 8 8 年，b o r c h e r d s i s l 在研究m o n s t r o u s m o o n s h i n e 以及m o n s t r o u s 单群的顶点算子代数表示时，又引入了广义k m c - m o o d y 代 数的概念，广义k a c - m o o d y 代数的结构和表示与k a c - m o o d y 代数类似，但它允许有 虚根，文【k n 】中给出了广义k a c - m o o d y 代数的量子包络代数和模结构李超代数又 是广义k a c - m o o d y 代数的推广，b o r c h e r d s 超代数也叫广义k a c m o o d y 超代数，是允 许有虚根的k a c - m o o d y 超代数文( b k m l 中讨论了b o r c h e r d s 超代数的包络代数， v e r m a 模和不可约最高权模， 另一方面，随着量子群【d 2 】研究的深入，许多物理学家和数学家都开始着手h o p f 的弱化推广文 l i l l 中定义了一类弱h o p f 代数设日是域k 上的双代数，如果存 在t h a m k ( h ，h ) 满足 i d ，t $ i d = i d t $ i d 4 t = t 其中日上的卷积+ 定义为f + g = m ( fog ) ，则称t 为日的一个弱对极，日为 弱h o p f 代数本文所涉及到的弱i t o p f 代数是指上述意义下的弱h o p f 代数两类典 型的弱h o p f 代数是关于正则半群s 的半群代数k s l i l 】以及弱量子代数w s ! 。( 2 ) 和 s z q ( 2 ) l i 2 1 ，2 0 0 3 年，a i z a w a a i l 构造了弱h o p f 代数m s z 如1 ) 2 0 0 5 年，扬士林m 构 造了关于有限维半单李代数9 的弱h o p f 代数卅( 孚) 类似于【l i l 】对弱h o p f 代数的定义，本文还定义了弱h o p f 超代数的概念，设 日是域女上的双超代数，如果t h o r n k ( 日，h ) 满足t ( a b ) = 口( o ，卢) t ( t ( 口) ，其中 d e g ( d ) = a ，d 印( = 展则称r 是一个口一着色的反代数同吞若丁进一步满足 t i d t = zi d t i d ；i d ， 那么日是个弱h o p f 超代数，t 是目的弱对极 本文采用与f y l 类似的办法，将g 的量子包络代数中类群元素的可逆性弱化为 正则性，从而把量子包络代数弱化为弱量子代数文章依次构造了三个弱量子代数 t t ，( g ) ， 昭( g ) 和程( g ) ，其中前两个代数是弱h o p f 代数，而研( g ) 是- - + 弱h o p f 超代数，然后讨论了它们的若干表示问题 第一章对有限维半单李代数蛋，定义了一个新的量子包络代数k ( 9 ) 文章构造 了一个相应的弱量子代数t ，y q ( 孚) ，并讨论它的弱h o p f 代数结构和类群元素集，同时 给出两个不同参数意义下的弱量子代数”k ( g ) 和w k ( 9 ) 同构的条件， 第2 页 浙江大学硕士学位论文弱量子代数的弱舶代数结构及表示 第二章构造了一类d 一型弱量子广义k a c - m o o d y 代数 四( 譬) 特别地，当9 是 有限维半单李代数时，”皤( 蛋) 就是文f y l 中的喇( 岔) ，本章讨论它的弱h o p f 代数结 构，基，最高权模和弱一一形式最后构造了秩为1 的子代数唧的中心 第三章采用类似于”皤( 蛋) 的构造方法，得到一类更加一般的d 一型弱量子代数 n j ( g ) ，其中9 是b o r c h e r d s 超代数特别地，当够的着色矩阵b 中所有= 1 0 i ) 时，则g 是一个广义k a c - m o o d y 代数，若同时g 的所有虚根的重数都是l 重时，n j ( g ) 就是第二章的w 咄( 9 ) ；若g 是有限维的半单李代数，n ：( g ) 就是【中的m ：( 9 ) 本 章构造了删( 分) 的弱h o p f 超代数结构，定义了弱a 一形式 u j 最后证明了q 一1 时 ，j 的极限矾是一个h o p f 超代数，并且和蛋的一般包络代数【，( 蛋) 同构 本文通过对几类弱量子代数的研充给出了更一般的弱h o p f 代数和弱h o p f 超 代数的例子，同时也为研究相应量子代数提供了一种新方法另外，本文在没有特别 说明的情况下，所有代数，模和向量空间都是在特征为0 的域k 上讨论参数q 不是 单位根 关键词；弱h o p f 代数；广义k a c - m o o d y 代数；弱量子代数；类群元素；同构条件； 最高权模；弱a 一形式；b o r c h e r d s 超代数 第3 页 浙江大学硕士学位论文弱量子代数的弱舶代数结构及表示 a b s t r a c t q u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a sf o rk a c - m o o d ya l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e di n d e p e n - d e n t l yb yd i r f e l di d l la n dj i m b o 【j i 】i ns t u d y i n gt h eq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o na n d t w o - d i m e n s i o n a ls o l v a b l el a t t i c em o d u l e s i n1 9 8 8 ，b o r e h e r d sf b 】i n t r o d u c e dg e n e r a l i z e d k a c m o o d ya l g e b r a st oa c c o m m o d a t eh i ss t u d yo fm o n s t r o u sm o o n s h i n ea n dt h ev e r t e x r e p r e s e n t a t i o no ft h em o n s t e rs i m p l eg r o u p t h es t r u c t u r ea n dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r y o fg e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a sa r ev e r ys i m i l a rt ot h o s eo fk a c - m o o d ya l g e b r a s ，a n d al o to ff a c t sa b o u tk a c - m o o d ya l g e b r a sc a nb ee x t e n d e dt og e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l - g e b r a sw i t h o u td i f f i c u l t y b u tt h e r ea r es o m ed i f f e r e n c e s ，t o o f o re x a m p l e ，g e n e r a l i z e d k a c - m o o d ya l g e b r a sm a yh a v ei m a g i n a r ys i m p l er o o t sw h o s em u l t i p l i c i t yc a nb eg r e a t e r t h a n1 a l s o ，t h e ym a yh a v ei n f i n i t e l ym a n ys i m p l er o o t si n1 9 9 5 ，k a n g 【k n 】h a dc o n - s t r u c t e dq u a n t u md e f o r m a t i o n sf o rg e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a sa n dt h e i rm o d u l e s l i es u p e r a l g r b r a sc a l lb er e g a r d e d ag e n e r a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a s f o rb o r c h e r d ss u p e r a l g e b r a sd e f i n e db yas y m m e t r i z a b l ec a r t a nm a t r i x ，g e o r g i ab e n k a r t ， s s o k - j i nk a n ga n dm e l v i l l ei b k m lh a v ed e s c r i b e dq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a sa n d g i v e na ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h e i rv e r m am o d u l e s ，a n dt h e i ri r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h t m o d u l e s o nt h eo t h e rh a n d ，b e c a u s eo ft h ei n t r o d u c t i o no fq u a n t u mg r o u p si d 2 1 ，t h ei m - p o r t a n c eo fh o p fa l g e b r a sh a sb e e nw i d e l yr e c o g n i z e di nb o t hm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s r e c e n t l y , g e n e r a l i z a t i o no fh o p fa l g e b r a sh a sb e e nc o n s i d e r e d aw e l l - k n o w ne x a m p l e i s w e a kh o p fa l g e b r 8 ，w h i c hi si n t r o d u c e di n 【l i l ab i a l g e b r aho v e raf i e l dki sc a l l e d aw e a kh o p fa l g e b r ai ft h e r ee x i s t st h a m k ( h 日1s u c ht h a ttid+t=ta n d i d t i d = i d w h e r e i st h ec o n v o l u t i o np r o d u c t ；ti sc a l l e daw e a ka n t i p o d eo fh i np r e s e n tp a p e r ，aw e a kh o p fa l g e b r aa l w a y si n t h i ss e n s e a si sk n o w n ，t w ot y p i c a l e x a m p l e so fs u c hw e a kh o p fa l g e b r a sh a v eb e e nf o u n d ，w h i c ha r et h em o n o i da l g e b r ak s l i l 】o far e g u l a rm o n o i dsa n d t h ew e a kq u a n t u ma l g e b r aw s l 口( 2 ) a n dv s l a ( 2 ) 1 i 2 l ( s e e a l s o 【a i lf o rw e a kh o p fa l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt om 5 瑶( n ) i n2 0 0 5 ，y a n gh a sg i v e na m o r en o n t r l v i a lw e a kh o p fa l g e b r a 利( 9 ) v la s s o c i a t e dt h es e m i s i m p l el i ea l g e b r a 多 f o l l o w i n gt h ei d e ao ff y l ，w ew i l lc o n s t r u c tt h r e em o r eg e n e r a lw e a kq u a n t u ma l g e - b r a sw v q ( 9 ) ，t ，昭( g ) a n d 删( 9 ) t h e nw ed i s c u s st h es t r u c t u r ea n ds o m ep r e s e n t a t i o n s o ft h e m w h e nw et r yt og e n e r a l i z ey a n g sr e s u l tt ot h eg e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a a n db o r c h e r d ss u p e r a l g e b r a ，w em u s td e a lw i t ht h ei m a g er o o t sa n d0 - c o l o r e dm a t r i x 第毒页 渐江大学硕士学位论文弱量子代敷的弱h o p f 代数结构及表示 t h em e t h o di sn o tt r i v i a l m o r e o v e r ，t h i sp a p e rn o to n l yg i v es o m en e ww e a kh o p fa l g e - b r e a b u ta 】8 dg i v en e wm e t h o dt os t u d yg e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a sa n db o r e h e r d s s u p e r a l g e b r a s t h ed e t a i l e do u t l i n eo ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1w ed e f i n eas p e c i a lq u a n t u me n v e l o p i n ga l g e b r a 够) a s s o c i a t e dt h e s e m i s i m p l el i ea l g e b r ag t h e nw ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gw e a kq u a n t u ma l g e b r a k 怛) ，w h i c hh a saw e a kh o p fa l g e b r as t r u c t u r e w ew i l ld e f i n et h eh i g h e s tw e i g h t m o d u l ea n dv e r m am o d u l eo v e rt h ea l g e b r a kc a ) m o r e o v e r ，w es t u d yt h ei s o m o r p h i s m a m o n gw k ( g ) a n d v q c a ) c h a p t e r2c o n s t r u c t saw e a kq u a n t u ma l g e b r at l ，嘭c a ) a s s o c i a t e dt h eg e n e r a l i z e d k a c - m o o d ya l g e b r a9 w ep r o v ew 叼( 毋) i saw e a kh o p fa l g e b r a w ea l s od i s c u s st h e b a s i so fw 皤( 岔) t h e nt h eh i g h e s tw e i g h tm o d u l ea n dt h ew e a ka f o r mo f 咄( 9 ) a r e s t u d i e d i nt h ef i n i a ls e c t i o n ，w es t u d yt h es u b a l g e b r a 呼o fr a n k1 t h ec e n t e ro fw 呼 i sc o n s t r u c t e d i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n eam o r eg e n e r a lw e a kq u a n t u ma l g e b r a 蟛( 9 ) ，w h i c h9i s ab o r c h e r d ss u p e r a l g e b r a ，t h e nw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fw e a kh o p fs u p e r a l g e b r a ， w h i c hi ss i m i l a rt ot h ed e f i n i t i o no fw e a kh o p fa l g e b r ai nt h es e n s eo fl i aw e a kh o p f s u p e r a l g e b r ai sab i s u p e r a l g e b r a ( h ，p ，叩，) e q u i p p e dw i t hao - c o l o r e da l g e b r aa n t i - m o r p h i s mt ：日hs u c ht h a tt i d t = ta n di d + t i d = i d ，w h e r eti sc a l l e d aw e a ka n t i p o d eo fh w ep r o v en ：( g ) i saw e a kh o p fs u p e r a l g e b r a i np a r t i c u l a r ，i f 分 i sas e m i - s i m p l el i ea l g e b r a ，t h e nn ：( 分) i sj n s tm ：( 9 ) i n 【y 】；i f 毋i sas p e c i a lg e n e r a l i z e d k a c - m o o d ya l g e b r aw h i c hs a t i s f i e s k = 1f o ra l l i ，t h e n 皤( 岔) i sj u s t 皤( 9 ) i n c h a p t e r2 f i n a l l y , w ed e f i n et h ew e a ka f o r mw 吲，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t yo ft l ，嗍 u n d e r t h e l i m i to f q 。1 t h r o u g h o u tt h ep a p e r w ea u m et h eb a s i cf i e l di s w h o s ec h a r a c t e ri s 0 a l l a l g e b r a s m o d u l e sa n dv e c t o rs p a c 目a r eo v e r w i t h o u ts p e c i f i e d k e y w o r d s ：w e a kh o p fa l g e b r a ；g e n e r a l i z e dk a c - m o o d ya l g e b r a ；w e a kq u a n t u m a l g e b r a ；g r o u p l i k ee l e m e n t ；i s o m o r p h i s mc o n d i t i o n ；t h eh i g h e s tw e i g h tm o d u l e ；w e a ka - f o r m ；b o r c h e r d ss u p e r a l g e b r a 第5 页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代教的弱胁代数结构及表示 第一章弱量子代数叫k ( 9 ) 的弱h o p f 代数结构 1 1 引富 设g 是一个有限维半单李代数，a = ( 啦j ) - n 0 ： n = 0 ： n = n 显然，当m = 2 时，这里的v d g ) 就是文【l u l 和f m 】中给出的g 的量子包络代数 把量子代数k ( 9 ) 的余乘法：k ( 毋) k ( 9 ) 碥( 毋) ，余单位e ：k ( 蛋) k 和对极s ：k ( 9 ) k ( g ) 分别定义为 a ( k d ：恕。k i ，( q ) ：e i 。玎詈+ 萨。龟，( ) = 圆等4 - 铲。 ， ( ) = 1 ，( 岛) = e ( k ) = 0 ， s ( ) = 酊1 ，s ( e i ) = 一百“。i ，s ( ) = 一口m 五，1 r ， 不难证明( 9 ) 是个h o p f 代数 本章采用与阳类似的方法，把( 备) 的定义中的 k i ，耳1 替换成 硒，瓦，将 可逆性条件e 1 = 1 替换成正则条件尬瓦尬= 托，一k i 尬瓦= 瓦，从而构造出一 个弱量子代数 k ( g ) ，可以证明它是一个弱h o p f 代数然后讨论了钾k ( g ) 的类群 元素集，给出两个不同参数的弱量子代数”( 9 ) 和”k ( 9 ) 同构的条件 第6 页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代数的弱h o 代数结构及表示 1 2 弱量子代数k ( g ) 的定义和弱h o p f 代数结构 设，是个投射算子 对于所有1 冬i ，满足 j = k i k i = 耳i 噩 j k t = k 0 ；k “ j k t = k 一= k i ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 ，3 ) 显然j 0 定义1 2 1 代数 k ( g ) 是由轨+ 1 个生成子墨，e ，瓦及，生成，如果它满 足关系式( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 以及下列关系式： k 港5 = k k “k 蕊j = 夏i k “泵薄j = 一k j k i k t e j 承i = 露。e 3 ，k i f 幂t = 4 3 f j 明一乃蜀= 喀摹， 釉7 p 卜 嘲一o ，吲， ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 害( - 1 ) rf1 ：叼1 伊一r 弓巧乩喇， ( 1 2 8 ) 。o l j 妒 则称代数w v q ( g ) 为关于李代数g 的弱量子代数 本章假设j 1 ，否则必有k ( 9 ) 垒k ( 9 ) 定理1 2 2 对 k ( 卯的任意生成元x ，都有x j = j x = x 证明由( 1 2 1 ) 一( 1 2 ，3 ) 可知，当x = 甄，瓦( 1 i n ) 或，时，等式显然成立 当x = 晟时 根据，的定义及( 1 2 4 ) 可知 蜘瓶叼玛瞒，= 悟：笔笺；等以 同理可证最i ，= ，毋= 最对所有1 曼 成立 由定义1 2 1 ，不难验证对任意n ，s 乃o ，有下列关系式成立： k ；e = t 蠢”l e i k ? 。e ：霹= ”i 1 弓e 2 ， 第7 页 渐江大学硕士学位论文弱量子代教的弱月妇，代敷结构及表示 碍硪= 。”i 聪l q f 0 己= “i 霹磁 定义映射 a ：w k ( g ) ，w k ( 9 ) w k ( 蛋) ， e ：k ( 9 ) _ + 满足 ( 了) = j z ( ) = k i p 致，( 瓦) = 耳i o k i ， ( 最) ：最p 茚+ 碎p 毋，( 最) ：只。群+ 舻。毋， ( 尬) = ( 耳i ) = ( j ) = 1 ，e ( 墨) = ( 最) = 0 ，1 l 竹， 同时定义映射t ：”k ( 毋) ”k ( 9 ) 满足 t ( i ) = 1 ，t ( j ) = 五t ( k i ) = 瓦，t ( - x , ) = 姬， t ( e i ) = 一町”五，t ( 最) = 一哦“最，1 i n 定理1 2 3 k ( 孚) ，m ，u ，a ，e ，”是一个非交换和非余交换的弱h o p f 代数，但 不是h o p f 代数 为了证明定理1 2 3 ，需要下列几个引理， 引理1 2 4 扣k ( 毋) ，p ，仉，) 是一个双代魏 证明易证k ( g ) ，e ) 是个余代数且是代数同态，下证a 是代数同态 直接运算可知 z x ( j ) = ( 尬) ( _ ) ，a ( k o a ( j ) = ( j ) ( 尬) = a c k , ) ， a c 瓦) a ( j ) = ( ，) ( 瓦) = ( 瓦) ，) ( 巧) = ( 吩) ( 厩) ， 忍) ( 玛) = ( 玛) 忍) ， ) ) = 而) ) ， ( 西) ( 毋) ( 瓦) = 矿( 马) ， ( ) ( 乃) ( 瓦) = 酊叼( 乃) 即证明了保持关系式( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 成立 利用定义1 2 1 和定理1 2 2 得 ( e ) ( 乃) 一( 乃) ( 毋) = ( 最乃一乃最) 。- - 邵m 霹+ 茚碎。( 匠乃一乃最) ：拶互蠼窖字幽 = 幻竖r n 鼍m 专一等鉴- - - - ； * = 等婴 第8 页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代数的弱月o p ，代数结构及表示 即保持关系式( 1 2 6 ) 成立 下面验证等式 ，卜驴c 注意到 ( 霹) ：。本+ g 尹。e d n ：妻 s = 0乩霹尸。矿斧， 故有 ，= 和卜卜护班c 霹， = 警c 叫 1 _ 铲c 1 蔷 1 。? 铲霹产。霹萨， ( e j e j 圆砰+ 蜉。易) ( 圆碍+ 吁。易) ( t = o 1 - o j = ( 一1 ) r r = 0 m 霹p 矿露， p l 荟一q 卜叫 口t 霹易霹坐二萼型。口产璺 二型纽竽立4 型塑型霹一叼一一官尹瓦产笋 霹易霹巧1 一。订广一霹一叼1 一官芦瓦r 。 营叫p l 荟一叼卜一 妒弛t 乎竺当_ _ 专业竺坠竺! 业霹“坐二等型婷。霹一叼一r 一。马霹一t 耳尹笋 = 霹历e i 丛二二! 争= 型。 磅一叼一州殍霄尹掣e ；e j 琏k _ 节圆a e ：一q 。4 一蕾r 盖了r o j + t l 一蜘 + 霹+ t 产呼。b 孝笋 0 + # s 1 一。材 第9 页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代数的弱h o p f 代数结构及表示 其中 1 - - q j - - m a = ( 卜 妒卜” 妒弛 = 产掣卜“ 妒 = g 2 _i l 一1 【 s j 妒 c 1 争矿 1 。乞川 卯蝴) ， n 1 妒卜 妒 ( _ 1 ) t 州删( 1 。一( - 1 ) t k = o l = 0 1 一叼一s t1 。一m k 。+ 蚪) 、 j 铲吼 b = 1 争矿卜 妒卜” 妒乩 乎竺垫_ 竺专业竺坚型霹一叼一r 一易霹一t吼 。 q 饬 = 户掣一一叫 妒卜 妒 c 1 争矿 1 。乞川 ，t ) ) 霹- a 白- r - s e j 酽 = 户掣” 妒一 妒 州) c 卜静叫 1 。x 川 妒产皆一“硼 于是i = 0 ，即也保持关系式( 1 2 7 ) 成立同理可证保持关系式( 1 2 8 ) 因此 k ( 9 ) ，p ，q ，) 是一个双代数 第j d 页 浙江大学硕士学位论文弱量子代数的弱h 昭，代数结构及表示 引理1 2 5t 是w v q c g ) 上的反自同态映射，并且 ( 1 f d t d ) ( x ) = x ，( t i d 刃( x ) = t ( x ) 对所有生成子x = 晟，e ，噩，k i ( 1 i n ) 及，都成立 证明( 1 ) 显然丁能保持( 1 2 1 ) 一( 1 - 2 6 ) 的反关系式成立，对于( 1 2 7 ) 有 ”叼卜刚一广妒r = ，卜卜产产训孵破妒r = ( - q 7 坤叫p ，) 1 - 叫1 ，聃妒” = 州1 叼盯”) ( 一1 ) 1 - q ”i1 i 叼l 耳易霹一叼” = ( - q 7 邮- d l 力卯， 1 。霹- a l i - r 局删 = 州1 - “力町”) ( 一1 ) i1 l 叼i 霹 局曰= o 对于( 1 2 ，8 ) 的证明完全类似，故r 是 k ( 蛋) 上的反自同态映射 ( 2 ) 当x = ，瓦( 1 i n ) 或| ，时，等式显然成立 当x = 玩( 1 i n ) 时， ( 。锄( 最) ：最。砰。砰+ 茚固最。群+ 茚固茚。局， 于是 ( 记t 硒( 最) ：置蜉蹿一酊m 茚e 尹群+ 茚耳尹墨= j 最= 局= t d ( 蜀) ， ( t 。i d 丁) ( 蜀) ：一盯m 置茸茚+ 群置译一盯m 礤茚毋= 一盯”蜀= t ( 毋) 同理可得等式对最( 1 i s n ) 也成立 定理1 2 3 的证明由引理1 2 4 知 ( g ) 是一个双代数对所有生成子x = k ，蜀，蜀，晟( 1 ) 或，有等式 ( 甜 t ) ( x ) = ( t d ) ( x ) = k x ) j 成立由于4 x ) s = j 或0 必是 ( g ) 的中心元素，并且生成子的余积是生成子的 双线性表达式，故对所有生成子z ，y ，如果 ( i d * t 回( 。) = 。，( t i d 丁) ( z ) = t ( z ) 第“页 浙江大学硕士学位论文弱量子代数的弱h o p f 代数结构及表示 ( i d t i d ) 0 ) = y ( t i d 功白) = t 白) ， 则 ( i d t i d ) ( x y ) = x y ( t i d t ) ( z ) = t ( x y ) 结合引理1 2 5 可得t 是一个弱对极，故k ( 9 ) ，m ，t l ，a ，t ) 是一个弱h o p f 代数 显然它是非交换和非余交换的 假设w k ( 9 ) 是个对极为s 的h o p f 代数，则有( i d * s ) ( j ) = w ( ，) ，即s ( j ) j = 1 实际上，j ( 1 一j ) = 0 且j 1 ，故，不是可逆元，从而假设不成立 故 k ( 毋) 不是 h o p f 代数 设蛳= k ( 蛋) j ，觋= 伽k ( 9 ) ( 1 一，) 类似于文f y l 中的命题4 2 ，可得弱量子 代数”k ( 9 ) 与量子代数y d g ) 的关系如下： 定理1 2 6 伽k ( g ) = i p q o 觋，并且皇k ( g ) 是一个h o p f 代数同构，砜= k ( 1 一j ) 证明过程与文f y l 中的命题4 2 的证明类似，在此只证明觋= k ( 1 一，) 因为砜 的生成子是e d l j ) ，只( 1 一，) ，k i ( 1 一j ) ，- g , ( 1 一j ) 和1 一j ，其中1 n 由定理 1 2 2 得，这些生成子中只有1 一j 0 于是吼= k ( 1 一，) 引入记号 ig t ， k o ； 露= z k = o ； i 瓦， k 0 是余代数g 的子空问集，并且满足 ( 1 ) c k c 杆l ； ( 2 ) ( c k ) e 叁o g o c ；而 则集合 g ) 。o 是g 的余代数滤予 引理1 2 7 ( f y l ，引理4 7 ) 令日是个双代数，如果子空间a oca t 满足下列 条件： ( 1 ) a o 是日的个含幺子代数，a l 是个勘一双模； ( 2 ) a i 生成代数日，且1 a o ； ( 3 ) a ( a o ) a o 固a o ，( a 1 ) a 1 0 a o + a o 圆a 1 ， 那么 如i 如= ( a 0 “，竹1 是日的一个余代数滤子，并且a o 凰，其中 h o = c o r a d ( h ) 是日的上根 第j 2 页 浙江大学硕士学位论文弱量子代数的弱h o p 代数结构及表示 定理1 2 8 ( 1 ) k ( g ) 的类群元素集为g = p t i 亡z n u ( 1 ) ，并且在 k ( 蛋) 的乘法下构成个含幺正则半群； ( 2 ) ”k ( g ) 是一个点双代数，并且c o r a d ( w k ( 9 ) ) = k g 证明( 1 ) 由于( 黟) = 辟。砰，故忱g ，都有( z ) = z o z ，( z ) = 1 ，因此 g 是类群元素集g 显然是含幺半群，并且对妇g ，3 y g ，使得x y x = 。，y x y = y ， 故g 是正则的 ( 2 ) 设a o = k g ，a i = a o ( e 置+ 只+ a o ) ，显然山， 1 满足引理1 2 7 的条 件，又由勘冬凰，故1 t o = a o ，即c o r a d ( w k ( g ) ) = k g 1 3 两个弱量子代数同构的条件 令p 与口是两个非单位根的参数，文【w 卅给出了弱量子代数w s l p ( 2 ) 和w s l 口( 2 ) 同构的条件本节将采取与之类似的方法，讨论弱量子代数w k ( 9 ) 和w k ( 9 ) 同构 的条件 设权图r 是蛋的d y n k i n 图，其中顶点集是，= 1 ，2 ，n ) ，顶点i 带权并 且顶点i 与j 之间有a o a j i 条边记口是一个d y n k i n 图的自同构映射，则口是j 上 的一个双射，并且有 以叼；8 ，( ) ( ) ，d ) ， ( 1 3 1 ) 在这种情况下，不难证明下列结论成立： 引理1 3 1 若口是上述意义下的d y n k i n 图同构，则必存在k ( 9 ) 上的自同构 映射，也记为一，满足 口( ) = k o ( o ，a ( e i ) = e ，( ) ，口( ) = 矗( i ) ，1 n 设( g ) 是参数为p 的量子代数，它的生成子南，五，毛，露1 ( 1 s i n ) 满足( 1 1 1 ) 一 ( 1 1 5 ) 中用a 代替g 后相应的关系式，假设( 9 ) 具有和k ( g ) 相同的h o p f 代数结 构 引理1 3 2k ( 9 ) 垒y q ( 毋) 是保持d y n k i n 图r 上的顶点位置不变的h o p f 代数 同构的充要条件是。= 矿，1 t ，j n 证明( 必要性) 设映射妒：k ( g ) 一k ( 9 ) 是一个双代数同构，则eo 妒= s ，于 是类群元素的像是类群元素为了保持r 上的顶点位置不变，令妒( ) = 缸，妒( 露1 ) = 圩1 ，1 s i n 并且必有 ( 妒( 毛) ) = ( 妒。妒) ( 毛) = 妒( 毛) o 妒( 毛) ， 似( 孽1 ) ) = 似。妒) ( 露1 ) = 妒( 露1 ) o 妒( 孽1 ) 第j 芎页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代数的弱h o p 代数结构及表示 现不妨设妒慨) = 啦龟+ 6 + c i ( 舻一百i ) ，可以验证妒满足 ( 舻( 白) ) = ( 妒。妒) ( 邑) = 妒( 蠡) 。妒( j ；号) + 妒( 铲) p 妒( 磊) ， 故其定义是合理的 把妒作用到等式砖磊= 邑岛两边可得 b ( 毗q + b i f + q ( 妒一百号) ) = 孝，( n q + 6 i + q ( 妒一巧等) ) 幻， 于是 啦( 一) = 瓯( 酊叼一妒) = q ( 1 一) = 0 ， 由于鼽= 矿t 不是单位根，故q = 0 ( i ) 若啦o ，则如= 0 ，= ，从而对所有1s sn ，都有妒啄) = a i e i 把妒 作用到等式。一万”) 慨五一编) = 船一砖”两边可得 ( p 一p i ”) ( 啦e i 妒( 五) 一n f 妒( 五) e ) = 一酊”， 由( 1 1 3 ) 可知 ( 妒一町”) ( q 一 龟) = 妒一f ”， 于是妒( 五) = 慧；墨罢诲，不难验证它满足关系式( 妒( 五) ) = 渺。妒) ( 五) ( i i ) 若巩0 ，则啦= 0 ，p = q 7 叼，从而对所有1 n ，都有妒慨) = b j i 类 似于( i ) 可得妒( z ) = k ( q 扫t m p - - 一q 玎m 。) e ) i ( 充分性) 若才= 一，定义映射妒：k ( 9 ) 一k ( 9 ) 满足 妒( 白) = e ，妒( 五) = 篙， 妒( ) = 缸，( 圩1 ) = 盯1 ，1 i n 显然妒是个h o p f 代数同构映射 若= 订叼，定义映射：嵋( 9 ) 一v q ( a ) 满足 妒( 白) = 五，妒( 五) = 篙， 妒( 岛) = 缸，妒( 巧1 ) = 町1 ，1 i 佗 不难证明妒是一个h o p f 代数同构映射引理得证 第“页 浙江大学硕士学位论文 弱量子代数的弱h o p f 代数结构及表示 定理1 3 3 ( 蛋) 岂k ( 分) 是i i 叩f 代数同构的充要条件是p = 才叼，1 i , j 证明设妒：k ( 9 ) 竺k ( 9 ) 是保持d y n k i n 图r 上的顶点位置不变的h o p f 代数 同构，口是一个d y n k i n 图同构由引理3 2 1 知，口妒：k ( 9 ) 兰k ( 9 ) 也是一个h o p f 代 数同构根据引理3 2 2 可得，o 妒是h o p f 代数同构的充要条件是p = 东叱，1 ，j n 又由等式( 1 3 1 ) 得到矿t = 产( - ) ( 1 ) 圳，故结论成立 设”k ( 9 ) 是个参数为p 的弱量子代数，它的生成子为，瓦( 1 n ) 和，满足定义1 2 1 中把哦= 矿t 替换成肌= 矿- 后相应的关系式，假设它具有和 t l ，( 岔) 相同的弱h o p f 代数结构 定理1 3 4t i k ( g ) 型 k ( 孚) 是双代数同构的充要条件是舻= 萨叼，1 ，j 证明根据定理1 2 6 ， k ( 分) = ok ( 1 一，) ，且蛳垒k ( g ) 是一个h o p f 代数 同构同理t t ，k ( 口) = 唧ok ( 1 一，) ，并且w p 竺嵋( g ) 是一个h o p f 代数同构于是 ( 9 ) 呈 k ( g ) 仁事( g ) 兰k ( g ) ，利用引理1 3 1 ，定理得证 推论1 3 5 设口h 是一个d y n k i n 图同构，如果映射咖： k ( 9 )