（基础数学专业论文）紧量子度量空间中的理想与子空间.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 l 玲v c o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 2 l e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h ei d e a l sa n d s u b s p a c e s o fc o m p a c t q u a n t u m m e t r i cs p a c e s d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n t o fm a t h e m a t i c s m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ： o p e r a t o ra l g e b r a s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r w uw e i a u t h o r ：g u oj i n g a p r i l2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文紧量子度量空间中的理想与子空间，是在华东 师范大学攻读飞尹磊士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的 研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示 谢意。 作者签名： 日期：加解硼；f e t 华东师范大学学位论文著作权使用声明 紧量子度量空间中的理想与子空间系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师 指导下完成的碌博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构 如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入 华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士 学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩 印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文宰， 于 年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名彦坜 本人签名主聋磕 y 夕年月le l 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范人学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生中请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 郭靖硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 套j 乏仅数技彳墨焊太 主席 硼点允苏毒嗳刍一量i ) 筇天 缓z 墨竞友摺葬撕太 华东师范大学 目录 摘要 a b s t r a c t 】 i i 第1 节引言1 第2 节预备知识 3 第3 节主要结果7 3 1 的理想7 3 2 的子空间1 1 致谢1 9 华东师范大学 摘要 本文主要研究的是紧量子度量空间中的l i p s c h i t z 代数的理想与子空间通过 处理的理想与c 一代数a 的理想之间的一些关系，我们证明了对于的满足某 些条件的理想l 有 i = n p e e s ( a ) ，c 瞄彤 另外还把【4 】中关于l i p ( x , p ) 的子空间的一个性质进行了推广，得到：若l 为a 上的 l i p s c h i t z 半范数，k 为的一个有单位元的序完备子空间，那么k 在范数”l i l 下为 闭的在本文最后，通过对态空间s ( a ) 中的元素之间规定一个等价关系，我们得到了 l i p ( x , p ) 型l i p s c h i t z 代数之间的一个自然的压缩线性映射 关键宇：l i p s e h i t z 代数理想子空间序完备压缩线性映射 i i 华东师范大学 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ei d e a l sa n ds u b s p a c e so fl i p s c h i t za l g e b r a so fc o m p a c tq u a n t u m m e t r i cs p a c e s f i r s to fa l l ，b yd e a l i n gw i t ht h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ei d e a l so fda n dt h e i d e a l so fc 嶙- a l g e b r aa 。w e p r o o ft h a ti fii sa ni d e a lo f 盛t h a ts a t i s f i e ss o m ec o n d i t i o n s w e h a v e i = 帷朋( a ) ，嘶彤 s e c o n d l y o n ep r o p e r t yo ft h es u b s p a c e so fl i p ( x ，p ) i n 【2 】i sp r o m o t e di nt h i sp a p e r , i e i f li sal i p s c h i t zn o r mo naa n dki sau n i t a lo r d e rc o m p l e t es p a c e ，t h e nki sc l o s e di nt h e n o r m i h a tt h el a s t ，w eg e tt h er e s u l tt h a tt h e r ei san a t u r a lc o m p r e s s e dl i n e a rm a p p i n g b e t w e e nt h el i p ( x ，p ) 一t y p el i p s c h i t za l g e b r a sb ys e t t i n gt h ee q u i v a l e n c er e l a t i o nb e t w e e n t h ee l e m e n t so ft h es t a t es p a c es ( a ) k e y w o r d s ：l i p s c h i t za l g e b r a i d e a l s u b s p a c e o r d e rc o m p l e t e c o m p r e s s e dl i n e a r m a p p i n g i i i 罩引言 紧量子度量空间中的理想与子空间 a p r i l ，2 0 1 0 设( x p ) 为一个普通的紧度量空间，a = c ( 为x 上所有连续函数所组成 的代数，定义a 上的半范数如下： 厶一p 等：墨卿 ，w a 其中易的值可以取到利用厶通过下式我们可以重新得到p ： p ( x ，y ) = s u p i 八力一厂) l ：厶1 在 1 】【2 】中k a n t o r o v i c 用易在s ( a ) 上定义了一个度量几： p l ( p ，鸟) = s u p ip ( 力一9 i ：l a s ) 1 ，p ，q s ( a ) 如果我们把s ( a ) 看成是x 上的所有概率测度所组成的空间，把x 中的点看作 是它自身上的点概率测度，则xcs ( a ) ，此时p ，为p 的一个延拓k a n t o r o v i c 证明在其他一些性质下，p l 诱导的度量拓扑即为s ( a ) 的弱+ 一拓扑 因此m e t r i cd a t a ( c ( 勋，乙) 就等价于m e t r i cd a t a ( 五p ) 即利用交换的9 一 代数上的半范数厶可以重新得到对应的度量空间x 上的p 一个自然的问题 就是：是否可以利用非交换的含有单位元的p 一代数上的一个满足某种条件 的半范数l 来刻画p 一代数上的m e t r i cd a t a ，其中l 起到厶的作用 在c o n n e s 的文章 3 】中，他提出可以利用d i r a c 算子作为工具引出非交 换几何( 即c 一代数) 的m e t r i cd a t a 在这个指导思想下，他提出了谱三元组 华东师范大学 ( a ，鼠d ) 的概念其中日为一个h i l b e r t 空间，a 为日上的有界线性算子组成 事一代数，d 为日上的一个自伴算子，并且对v a a ，交换子 d ，a 】为日上的 一个有界算子令l o ( a ) = d ，口】，v a a c o n n e s 指出，利用这个谱三元组 可以得到a 的态空间s ( a ) 上的一个度量： p o ( p ，q ) = s u p l ip ( 口) 一q ( a ) l ：l o ( a ) 1 1 ，p ，q s ( a ) ， p o 可以取到值0 0 这时如起着厶的作用，m e t r i cd a t a ( a ，l o ) 等价于m e t r i c d a t a ( s ( a ) ，p o ) r i e f f e l 通过上述观察，给出了紧量子度量空间的概念： 设a 为一个序单位空间，l 为a 上的一个半范数，并且它可以取到值 如果还满足下列条件： ( 1 ) l ( 1 ) = 0 ； ( 2 ) 化在s ( a ) 上诱导出的拓扑为弱一拓扑 这时我们称l 为一个l i p 范数，( a ，d 为一个紧量子度量空间 若( a ，d 为一个紧量子度量空间，其中a 为一个有单位元的c 一代数， 为a 中所有满足条件l ( a ) o o 的元素a 所组成的空间r i e f f e l 对的一些性 质作了详细的研究；在【4 】中w e a v e r 对l i p ( x , p ) 的子空间和理想的性质做了 深刻而系统的阐述在本篇论文中，我们不要求l 为l i p 范数，而是满足一些 更弱条件的范数在此情形下得到了一般的的理想和子空间的一些性质 设l 为有单位元的9 一代数a 上的半范数，并且可以取到值o o 为a 中所有满足条件l ( a ) o o 的元素a 所组成的空间可以看到在适当的范数下， 为一个代数，我们称之为l i p s c h i t z 代数 设( x p ) 为一个度量空间，a = c ( 柳为x 上所有有界复值连续函数组成 的p 一代数，l f p ( 墨p ) 为( 誓p ) 上满足l i p s c h i t z 条件的所有有界函数所组成 的空间在半范数 l ：s u pf 监掣：五y cx , x y 1 、p t x , y j 下，= l i p ( x , p ) 在【5 】中s h e r b e r t 证明了l i p ( x , 力的理想的一些性质我们 发现，这些性质很难推广到一般的l i p s c h i t z 代数的理想上究其原因，是因 为c ( 幻中的元素为函数，而函数具有很多良好的性质，但一般的p 一代数a 中的元素却没有这些性质但是在【6 】6 中，我们知道p 一代数a 的理想具有很 多好的性质，我们可以通过研究的理想与p 一代数a 的理想之间的关系， 2 华东师范大学 进而得到的理想的一些性质沿着这个思路，在3 1 节中我们得到了下面这 个定理： 定理1 1 设刃在a 中稠密，l 为刃的一个真的闭左理想l 满足： ( 口一1 ) 口一1 2 以口) ，x 旷- = v 口一jca ，锄1 1 - 哼1 1 口，肴 l j ml ( a n ) 以口) ，则 ，= 帷雕( a ) ，嘶形 ( 定理中记号的意义将在后面给出) 在【4 】中，w e a v e r 对l i p ( x , p ) 的子空间进行了研究，得到了l i p s c h i t z 代数 l i p ( x , p ) 的子空间的一些很好的性质由于一般的l i p s c h i t z 代数中的元素 没有交换性，我们同样很难把那里的性质进行推广但是在3 2 节中，我们仍就 证明了： 定理1 2 为a 上的l i p s c h i t z 半范魏如果k 为的一个有单位元的序完 备子空间那么k 在范数i i l 下为闭的 ( 上述定理是 4 中l i p ( x , p ) 的子空间的性质的一个推广) 设l 为a 上一个的l i p - 范数，k 为的一个自伴子空间，x = s ( a ) 对于 任意的p ，q x ， p q 当且仅当p ( a ) = q ( 以) ，va 墨 则一为x 的一个等价关系通过等价关系一，可以得到一个商度量空间( y , p y ) 记度量空间( z ，p ：) 为( z p r ) 的完备化在本文的最后，我们有如下结论： 定理1 3 从l i p ( z , p z ) 到l i p ( x , p l j 有一个自然的压缩线性映射并且当k = 刃时上述压缩映射是等距的 ；预备知识 设( x j d ) 为一个度量空间，为一个定义在x 上的复值函数如果存在一 个常数k ，使得对任意的工，y x 都有 i 厂( 神一f ( y ) i k p ( x ，) ，) ， 3 华东师范大学 这时称，为一个l i p s c h i t z 函数满足上述不等式的最小的常数k 称为，的 l i p s c h i t z 范数，记着i i ，也即 i ifl i p p 筹：x , y ex 卿) 对于定义在x 上的一个有界复值函数厂 令 f 。= s u p l ，( 曲l ：工x l ， 我们称i l ，为f 的上确界范数记a 幻为x 上所有有界复值连续函数所组 成的空间，则c 在范数i i 下为一个c 一代数 由度量空间( x p ) 上所有有界的l i p s c i t z 函数组成的向量空间记着 l i p ( x , p ) 令 ，= 厂。+ ，i l p ，f l i p ( x , 力 由 4 】知向量空间l i p ( x , p ) 在范数| f h 下为b a n a c h 空间很明显在半范数 l 一p 等x , y e 墨川) 下，= l i p ( x , p ) 设f g l i p ( x , p ) ，在不等式 盟铲 - if ( x ) l 等恤圳筹 的两边对所有的工，y x ，x y 取上确界，可以得到 i l 以i i p _ l i 厂i i 。gl l p + l igi i m ，l b 而l l 妇- i i 厂k 0g 忆显然，所以 以= 厂g + i i 以i i p g 。厂l l 。+ i i 厂。gi l p + gi l 。厂i f p s ( f 。+ fi i p ) ( i igl i 。+ i jgl i p ) = i i ，g ， 因此l i p ( x , p ) 在范数| i 1 i 下为一个b a n a c h 代数，我们称它为l i p s c h i t z 代数 我们可以把上述概念和事实在c + 一代数上加以推广 4 华东师范大学 定义2 1 假设a 是一个有单位元的c 一代裁i | 为a 上的范藐l 为a 上的 半范数并且司以取到值0 0 ( 1 ) 如果a a o o 则称a 为一个l i p s c h i t z 元素，并且记 = a a ：以口) 1 2 ) 如果对所有的a ，b a l 满是不等式 l ( a b ) - i i 口i i 以功+ bi l 以口) ， 则称l 为a 上的l e i b n i z 半范数 例如果l 是l e i b n i z 胞并且j 乙还满足? 以1 ) = 0 ，对于a 中任意的可逆元素a ， 有 i x a _ 1 ) q 集合 a a ，l ) r l 在a 中都是闭的则称l 为t 半连续的 定义2 2 设a 是一个有单位元的c 一代魏l 为a 上的半范数并且可以取 到值0 0 如果l 还满足下列条件： 1 ) l 的零空间为c 1 f 2 ) 月旷v 口a ，有l ( a ) = i x a 。) ， 这时我们称l 为一个l i p s c h i t z 的半范数 例2 1 设陇p ) 为一个紧致的度量空间令a = c ( 嗣，l c f ) = l lfl i p ，则= l i p ( x , p ) 前面我们已经得到 f gi b i i 厂i l 。gi b + g 。nfl i p ， 所以 l ( ，g ) = f gi i p _ l ifl i 。( g ) + gi i * l ( 门 5 华东师范大学 “1 ) = 0 显然，若- 厂可逆，则 妒1 ) - i if - 1i j p = s u p 鬻：五y 五工) ， = s u p 亘至墅i 互 掣：x ，) ，五石y ) 剑厂l i l 2s u p 筹：小x x 以 = i l 厂11 1 2 i ifi i p = l l 厂1 2l ， 所以为强l e i b n i z 半范数 若f c 1 ，贝h 姗= o ；若0 9 = 0 贝0 s u p l 掣：工，y x z y = 。， 进而可得八力= m ) ，vx , y x ，所以l 的零空间为c 1 ；而l = 砌是明显 的，因此l 为一个l i p s c h i t z 半范数综上所述，l 为一个强l e i b n i z 的l i p s c h i t z 半范数 对于va 。令 ai h = l ia + l 0 ) 则”1 1 1 为上的一个范数( 以后如果不加以说明，我们在上都取此范 数) 当l 为一个l e i b n i z 半范数时，若a ，b ，则 l ( a b ) - i iai l “6 ) + b 从口) 2l ( a 一) 0 ，jn ，使得 以一口) r ， 而a n ，所以 l ( 口) l ( 珥。) + 以a n 一口) o o ， 即a ，得证 口 定理3 4 若在范数下为a 的稠密子集j 则对于的任意理想 j j 在a 中的闭包j 也为a 的理想如果j 在刃中为闭的l 满足：对于 v 嘞jc a ，a n h 口，刁f f l i m l ( a ) “n ) ，则了n = 上 征了为a 的一个子空间显然设a j , b a 由在范数1 1 i i 下为a 的稠 密子集可知，存在 玩lc ，使得 i f 1 1 专b ， 由假设可知存在 a 。lcj ，使得 | h i 口n 专口 根据 巩锄z 锄骂b a ， 可以得到b a 了同理可得a b 了因此了为a 的一个理想 jc jn 显然下面我们证明了n cj 设a 了n ，则存在 a n ) cj ， 使得 一口骂。 由所满足的条件可知 l i m l ( a 疗一a ) l ( 0 ) = 0 9 华东师范大学 因此存在 的一个子列 l ，使得 以一口) _ 0 又由于a n 。一口一i i 1 10 ，我们可以可到a n k 一口当0 由j 为闭集知口 进而 了n cj 口 命题3 5 若l 为a 的真理想，则if 、刃为应的真理想 证? j n 为的理想已证假设，n 不为的真理想，则l n d = ，由于 l ，于是l i ，这与，为a 的真理想矛盾，于是，n 为的真理想 口 定理3 6 在菹数i i 下为a 的稠密子集l ( a 一1 ) - i ia 一11 1 2 从以若，为 的一个菲平凡闭理想则j 也为a 的一个菲平r 闭理想 证? 了为a 的一个闭理想已证，下面我们证明了为非平凡的假设了为平凡的， 则了= o ，或者了= a 若了= o ，则j = 0 ，这和，是非平凡的矛盾若7 = a ， 则1 - 于是存在a ，使得 1 一口 1 令b = 1 一a ，则甚1 胪收敛，又因为a 是一个c 一代数，所以存在一个 c a ，使得在范数”i l 下c = 甚l 矿由此可得 ( 1 一易) ( 1 + c ) = 1 + c b ( 1 + c ) = l + c c = 1 。 所以a 可逆由 l ( a 一1 ) - l l 口一1 2l ( 口) 知a 一1 ，因此1 j ，这与，是非平凡的矛盾 r a 命题3 1 3 6 中的结论对单侧理想也成立令形= 坼n ，p s ( a ) ，因 坼为a 的一个真的闭左理想，由命题3 2 和命题3 5 知形为的一个真的 闭左理想 关于a 的真闭左理想，有下面一个定理： 1 0 华东师范大学 定理3 7 6 1 设l 为a 的一个真的闭左理想那么集合 是非空的并且l m ef 、瞰 尺= lp p s ( a ) ，lc 我们可以把这个定理推广到的真闭左理想上 定理3 8 设在a 中稠密，为衫的一个真的闭左理想l 满足： l ( a - 1 ) - l la - i 2 砸) ，对于vf a n jca ，锄骂口，有地以锄) 以口) ，则 i = 帷雕似) ，嘶形 证? 令了为j 在a 中的闭包，则由定理3 4 和定理3 6 知了为a 的一个真的闭 左理想 若，c 形，由为闭的知7c 坼；若7c 帏，由，c 7 知，c 形所 以jc 形等价于7c 根据假设，由定理3 4 可得，= 7n 由3 7 可知 了= 喉胳) 舭，于是 定理得证 ，= 7n d = ( n p 雕( a ) j o v p n p ) n = n p , p s c a ) , 7 c n , ( n , n ) = 帷雕( a ) j 嘶彤 口 3 2 的子空问 在【4 】中w e a v e r 给出了关于l i p ( x , p ) 的自伴子空间的序完备概念现在 我们把它推广到的自伴子空间上 设k 为的一个自伴子空间，= kna 阳，l a a k c 为一个在范数 | i 1 i l 下有界的单调网若锄骂口，则口k ，这时称k 为序完备的 趣3 9 l 为a 上的l i p s c h i t z 半范数如果k 为彰的一个有单位元的序完 各子空觑那么k 在范数”l 下为闭的 华东师范大学 证? 令l 锄 c 五锄一u l h 口，我们需要证口x 由于k 是自伴的，( 口) = 以口) ， 通过分别考虑实部和虚部可以假设和口都是自伴的 由锄一i h h 口，u 口i h = l l 口+ 以口) 可知，对于每一个忌，存在一个墩，使得 a 一 3 ， 因此 - 3 越a n k 一口s3 以 进而可以得到 a 一3 一t + 1 d n k 一2 3 女a 一3 一 令 仇= a n k 一2 3 一， 我们有 巩a 一3 - 七= a 一3 一伪+ 1 h 1sa n k + l 一2 3 - ( k + 1 ) = 仇+ l ， 而 仇一a | i l = a n k d 一2 3 一+ l ( n m a 一2 3 - k ) i ia 毗一ni i + l ( 口m n ) + 2 3 越， 由a m _ i h h 口知b k i h h 口，因此仇在范数”i i l 下递增地收敛到口又由于 | fb ki h _ l la n 。| l i + 2 3 一， 所以 玩 有界，根据k 的序完备性可以得到口k i 1 定义3 3 ，j 研a 是一个有单位元的c 一代数l 为其上的半范裁并且可以取 到值如果t 列条件满足： f j l ( 1 ) = 0 ， f 2 ) va a ，以口。) = l 0 ) ， 1 3 ) p l 在s 上所诱导的拓扑为s 的骋一拓扑 则称l 为一个l i p 范数 命题3 1 0 ，刁设为一个l i p 菹裁如栗l ( 口) = o ，则a c 1 1 2 华东师范大学 证? 如果l ( a ) = 0 ，由 i n a ) n l ( a ) ，vn n 可知以彻) = 0 由p l 在s ( a ) 上所诱导的拓扑为s ( a ) 的弱+ 一拓扑，我们可以 得到 v p ，q s ( i t ) ，p l ( p ，们 0 0 ， 根据p l 的定义，我们有 p l ( p ，留) - - s u p ip ( 口) 一g ( 口) ：以口) s1 ，a a ， 由l ( n a ) = 0 知 ip ( n a ) 一q ( n a ) p l 0 ，曲， 进而可得 i p ( 口) 一q ( 口) i 2 n p q ，d ，y n 因此lp ( 口) 一日( 口) i 一0 ，即对于任意的p ，q s ( a ) ，有p ( 口) = 口( 口) ，所以 以c 1 口 由3 1 0 可知，如果l 为a 上的一个l i p 范数，则l 是l i p s c h i t z 的 设l 为a 上一个的l i p 一范数，k 为的一个自伴子空间，x = s ( a ) 对于 任意的p ，q x ， p q 当且仅当p ( a ) = g ( 口) ，va 墨 则容易证明一为x 的一个等价关系令y = x ，口的等价类记着 礼 对于商空间y ，我们可以用得到x 的度量几相类似的方法来得到y 的一 个度量令 p y ( 【p 】， 口 ) = s u p lp ( 口) 一q ( a ) i ：l ( 口) 1 ，a 墨l ， v 【p 】，【q 】j = 下面来验证p y 为一个度量 p y ( 【纠，【碉) 0 显然当 p 】= 时，对于va k ，有p ( 口) = q ( 口) ，因此 p y ( 【纠，嘲) = 0 当p r ( e p ，【们) = 0 时，对va k ，若从口) = 0 ，由命题3 1 0 知 口c 1 ，因此p ( 口) = 鸟( 口) ；若l ( 口) = m 0 ，贝! jl ( 嚣) s1 ，由 p y ( 【p 】，【9 】) = s u p ip ( 口) 一q ( a ) l ：l ( a ) 1 ，a k = 0 1 3 华东师范大学 知p ( 备) = g ( 嚣) ，因此p ( 口) = 鸟( n ) 由此可以得到v 口墨p ( 口) = 口( 口) ，即p q 设r s ( a ) ，则对va k ，有 所以 ip ( 口) 一口( 口) i lp ( a ) 一r ( a ) i + ir ( a ) 一q c a ) l ， s u p ip ( 一口( 口) j ：以力l ，a k j s u p ip ( 口) 一r ( a ) l + i “口) 一日( 口) i ：l ( a ) l ，口墨 s u p ip ( 口) 一r ( a ) i ：l ( a ) 1 ，a k + s u p l ，伽) 一q ( a ) i ：以口) 1 ，a k ， 即 j d l ，( 【p 】，【们) p y ( 【p 】，【r 】) + p r ( e r ，【口】，) 综上所述，p y 为y 上的一个度量 令z 为】，的完备化度量空间，其度量记着化，我们有下面的结论： 定理3 1 1 从l i p ( z , p z ) 到l i p ( x , p 己j 有一个自然的压缩线性映魁并且当 k = 露时上述压缩映射是等距的 证? 设f l i p ( z , p z ) ，在x 上定义函数，如下： f ( p ) = 八 纠) ，vp x 因此 i l ，。= s u p i i 穴p ) i ：p s ( a ) = s u p i ，( 【p 】) i ：【p 】y = s u p i i ，( 曲i ：工z ( 由于z 是y 的完备化) = ， 0 0 又因为当【纠- - 【训时，氕p ) = 穴口) ，所以 i if l i p 。= s u p l 黜：p ，口s ( a ) ，p 口l = s u p l 掣：p ，g s ( a ) ，【p 】【q 】) 1 4 华东师范大学 = 鲫p l 堕掣：p ，g s ( a ) ，【纠【们) 由p t 和p z 的定义知 p z ( p 】，【g 】) p 1 ( p ，q ) ，vp ，q s ( a ) 所以 i ii l i p 。s u p l 譬揣：p ，g s 似) ，【p 】【g 】 = s u p 等：五) ，z 工) ，) ( 由于z 是y 的完备化) = i i ，i k 综上可以得到 fl i p , + ，。l l ，l l p z + ，i i 。， 所以，l i p ( x , p l ) 令 t ：l i p ( z , p z ) 一l i p ( x , p d ，一f 则z 为一个压缩映射又因为对于任意的t c ，有 ( 矿+ 雷) ( p ) = t a p ) + 雪( p ) = ( f d ( 【p 】) + g ( p 】) = ( t f + g ) ( 【纠) ， 所以丁还为线性的，即丁为一个压缩的线性映射 当k = 时，对于vp ，q s ( a ) ，有 p z ( 【p 】，【鸟】) = s u p ip ( 口) 一口( 口) i ：l ( a ) 1 ，a k = s u p l ip ( 口) 一日( a ) i ：l ( a ) 1 ，a a = p z ( p ，日) 这时 i if l i p , = s u p l 群：p ，鸟s ( a ) ，【p 】【g ) 华东师范大学 = s u p = s u p ! _ 专呈兰擀：p ，鸟s ( a ) ，【p 】r t y 一、j j l l 应( 叫，【留】) 叫州一p 门叫” = ，i k ， ：x , y s 似) ，xq ：y 即 ，l i p 。+ ，i l 。= ，i i 应+ ，。， 所以当k=时丁为等距的0 1 6 华东师范大学 参考文献 【1 】l v k a n t o r o v i e ，o nt h et r a n s l o c a t i o no fm a s s e s s ，c r ( d o l d a d y ) a c a d s c i u r s s ( n s ) 3 7 ( 1 9 4 2 ) ，1 9 9 2 0 1 【2 】l v k a n t o r o v i ca n dg s r u b i n s t e i n ，o naf u n c t i o n a ls p a c ea n dc e r t a i ne x t r e m u mp r o b l e m s ，d o k l a k a d n a u k u r s s ( n s ) 11 5 ( 1 9 5 7 ) ，1 0 5 8 1 0 6 1 【3 】a c o n e s ，c o m p a c tm e t r i cs p a c e s ，f r e d h o l mm o d u l e sa n dh y p e r f i n i t e n e s s ，e r - g o d i ct h e o r ya n dd y n a m i c a ls y s t e m s9 ( 19 8 9 ) ，2 0 7 2 2 0 【4 】n w e a v e r , l i p s c h i t za l g e b r a s ，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，19 9 9 【5 】d r s h e r b e r t ，t h es t r u c t u r eo fm e a l sa n dp o i n td e r i v a t i o n si nb a n a c ha 1 - g e b r a so fl i p s c h i t zf u n c t i o n s ，t r a n s a c t i o n so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t y , v 0 1 1 1l ，n o 2 ( m a y , 1 9 6 4 ) ，p p 2 4 0 2 7 2 【6 】g j m u r p h y , c 一a l g e b r a sa n do p e r a t o rt h e o r y , a c a d e m i cp r e s s ， i n e s a nd i e g o ，1 9 9 0 7 】w ：w u ， l i p s c h i t z e s so f木h o m o m o r 唧s m sb e t w e e nc m e t r i ca l g e b r a s 2 0 0 9 【8 】a c o n e s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , a c a d e m i cp r e s s ，s a nd i e g o ，19 9 4 【9 】j b c o n w a y , ac o u r s ei nf u n c t i o n a la n a n l y s i s ，s p r i n g - v e r l a g ，n e wy o r k ，s e e - o n de d i t i o n ，19 9 0 10 】w w u ，n o n c o m m u t a t i v em e t r i ct o p o l o g yo nm a t r i xs t a t es p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 4 ( 2 0 0 6 ) ，n o 2 ，4 4 3 4 5 3 a r x i v ：m a t h o a 0 4 1 0 5 8 7 【l1 】w w u ，q u a n t i z e dg r o m o v h a u s d o r f fd i s t a n c e ，j