（机械工程专业论文）一种基于最小二乘映射的减基法及应用.pdf

at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r i n g m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh a nx u m a y , 2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：玲( 巾 日期：衍1 年i ，月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密哦 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者签名： 博寸 日期：沙、年罗月忉日 刷隧辄砖u 肌阵蚋伽 l 一种基于最小- 二乘映射的减桀法及麻用 摘要 对于工程和科学研究中的实际问题，一般都采用数值解法进行求解。但随着 问题复杂性的增加，涉及的参数不断增多，计算的规模也不断扩大。尽管计算机 硬件技术的不断发展以及并行计算方法的应用，但对于大规模结构问题，传统的 计算方法仍难以满足工程需要，这就要求开发出高效的快速计算方法，从而能对 大规模复杂结构进行快速计算。 本文基于减基法( r e d u c e db a s i sm e t h o d ，简称r b m ) ，对快速算法进行了深入 研究，构建了一种新的减基法：最d x - - 乘映射减基法( l e a s ts q u a r e sm a p p i n gr e d u c e d b a s i sm e t h o d ，简称l s r b m ) 。并将其用于多参数结构计算及参数反求领域。 文章首先对减基法的基本原理进行了研究。减基法的计算难点在于将设计参 数从结构中分离出来，并依此将计算过程划分为离线计算与在线计算两个阶段。 本文从杆单元与壳单元有限元格式入手，在保留原问题参数特性前提下通过参数 分离将整体刚度矩阵表达为一种显式参数化格式。 在传统基于伽辽金映射减基法的基础上构建了一种新的基于最小二乘映射的 减基算法。该方法通过在参数域采集样本点，计算系统在有限个样本点下的响应 构造减基空间，利用最d - 乘映射把原方程向减基空间进行投影得到减缩方程， 在减基空间快速求解该系统，获得原问题的减缩解，并把减缩解还原到原空间， 得到问题的近似解。当系统参数发生变化时，能通过减缩系统快速得到新参数下 的响应，极大地提高了计算效率。 将最小二乘映射减基法应用于参数识别领域，以解决参数识别过程中反复调 用正问题计算耗时的缺点。由于采用减基法使正问题计算规模得到缩减，提高了 正问题的求解效率，从而实现对参数的高效识别与在线监测。 在研究的过程中，使用赛车车架和白车身驾驶室算例对提出的减基法进行了 验证，结果有明，文中的方法具有良好的精度与稳定性。 关键词：最小二乘；映射；减基法；数值分析；参数识别 s t i l ld i f f i c u l tt om e e tt h ee n g i n e e r i n gn e e d s s oi ti sn e c e s s a r yt od e v e l o pe f f i c i e n t a l g o r i t h m s i nt h i sp a p e r ，r e d u c e db a s i sm e t h o d ( r b m ) i sd e e p l ys t u d i e d a n dan e wm e t h o d s i ss u g g e s t e d ：l e a s ts q u a r e sm a p p i n gr e d u c e db a s i sm e t h o d ( l s r b m ) f u r t h e r m o r e ，t h i s m e t h o d si sa p p l i e dt ot h es t r u c t u r a lc o m p u t a t i o na n di n v e r s ep r o b l e m sa n a l y s i s t h e r e s e a r c hi sc a r r i e do u ti nf o l l o w i n gs e c t i o n s f i r s t ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo fr e d u c e db a s i sm e t h o dw a ss t u d i e d ，a n dp a r a m e t e r s w e r ee x t r a c t e df r o mt h es t r u c t u r e ，t h e nt h ec a l c u l a t i o nw a sd i v i d e di n t ot w os t a g e s ： o f f - l i n ea n di n l i n e t h ef o r m u l a t i o no fb e a me l e m e n ta n ds h e l le l e m e n ta r ea n a l y z e d ， a n de l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xi sd e c o m p o s e dt oa c h i e v eap a r a m e t e r i z e df o r m u l a t i o no n t h ee l e m e n tl e v e l t h e nt h ee l e m e n tm a t r i c e sw i t ht h es a m ep a r a m e t r i cp r o p e r t i e sa r e a s s e m b l e d t h e p a r a m e t r i cp r o p e r t y i sr e t a i n e di nt h ef o r mo ft h e e x p l i c i t p a r a m e t e r i z e df i n i t ee l e m e n tf o r m u l a t i o n 一 s e c o n d l y ，an e wr e d u c e d b a s i sm e t h o db a s e do nt h el e a s ts q u a r e sm a p p i n gi s s u g g e s t e dt oi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fs o l v i n gt h ec o m p l e xp r o b l e m si nm e c h a n i c a l e n g i n e e r i n g i nt h i sm e t h o d ，s a m p l ep o i n t sa r eo b t a i n e df r o mt h ep a r a m e t e rd o m a i n ， a n dar e d u c e d - b a s i ss p a c ei sc o n s t r u c t e db yc o m p u t i n gr e s p o n s e so ft h ep r o b l e ma t t h e s ep o i n t s t h e nt h el e a s ts q u a r e sm a p p i n gi se m p l o y e dt oc o n d u c tp r o j e c t i o nf r o m o r i g i n a ls p a c e o n t ot h er e d u c e db a s i ss p a c e ar e d u c e ds y s t e mi so b t a i n e da n dc a nb e s o l v e de f f i c i e n t l y b yp r o j e c t i n gt h er e d u c e ds o l u t i o nb a c ki n t ot h eo r i g i n a ls p a c e ，t h e a p p r o x i m a t es o l u t i o no f t h eo r i g i n a ls y s t e mi so b t a i n e de f f i c i e n t l ya n da c c u r a t e l y e v e n w i t hn e wv a r i a b l e s ，t h es o l u t i o nc a nb ef a s to b t a i n e db ys o l v i n gt h er e d u c e ds y s t e m t h i r d l y ，an e wp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o db a s e do ntl s - r b m i ss u g g e s t e d f o rr e d u c i n gt h et i m ec o n s u m eo fr e p e a t e dc a l l so ff o r w a r dc o m p u t a t i o n d u et ot h e 1 1 1 一种基于最小二乘映射的减基法及应用 a p p l i c a t i o no fl s - r m b ，t h es c a l eo ft h ef o r w a r dp r o b l e mi sr e d u c e da n dt h e c a l c u l a t i o ne f f i c i e n c yi sg r e a t l yi m p r o v e d t h e ni t s e a s yt oi d e n t i f yp a r a m e t e r sw i t h h i g he f f i c i e n c y t h ep r o p o s e dm e t h o di st e s t e do nc a rf r a m ea n a l y s i sa n dc a bo fb o d yi nw h i t e a n a l y s i s t h en u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t et h a tt h i sm e t h o di sv a l i d i t ya n d r e l i a b i l i t y k e yw o r d s ：l e a s ts q u a r e s ；m a p p i n g ；r e d u c e db a s i sm e t h o d ；n u m e r i c a la n a l y s i s ； p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n i v 1 1 本论文的研究背景、目的和意义l 1 2 大型多参数结构问题快速计算方法2 1 2 1 响应面法2 1 2 2 变量化设计方法2 1 2 3 模型降阶法3 1 3 基于减基法的快速计算方法4 1 3 1 减基法的基本思想4 1 3 2 减基法的研究进展5 1 3 3 减基法用于结构计算面临的困境6 1 4 本文的研究内容6 第二章减基法基本理论8 2 1 引。言8 2 2 减基法基本理论8 2 2 1 减基法的基本原理8 2 2 1 减基法的计算流程9 2 3 参数空间采样方法1 1 2 4 减基法子空间构造1 2 2 4 1 子空间构造的基本思路1 2 2 4 2 贪婪算法1 3 2 4 3 子空间的正交归一化1 4 2 4 4 基于伽辽金映射的子空间投影1 5 2 5 本章小结16 第三章最小二乘映射减基法1 7 3 1 引言17 v 1 7 1 7 1 9 1 9 2 0 2 1 2 2 2 2 2 3 2 7 3 1 3 l 3 5 2 算例二3 5 3 6 本章小结3 7 第四章最小二乘映射减基法在材料参数识别中的应用3 8 4 1 引。言3 8 4 2 材料参数识别3 8 4 2 1j 下问题描述3 8 4 2 2 材料参数识别方法一4 0 4 2 3 算法流程4 l 4 3 算例分析4 2 4 4 本章小结4 6 结论与展望4 7 参考文献4 8 致谤 5 3 附录攻读学位期间所发表的学术论文目录5 4 v i 硕f ：学位论文 第一章绪论 1 1 本论文的研究背景、目的和意义 在工程分析中，往往由于被考虑对象材料的不均匀性以及边界条件的不确定 性，并受制于问题规模的影响，大多数问题很难直接得到其解析解，常须借助数 值解法进行求解。但随着工程复杂度的增加，设计问题的变量也不断增多，从而 使问题模型同趋复杂，导致计算规模迅猛增长。因此在对大规模问题进行数值计 算时面临着巨大的挑战。尽管计算机硬件技术的不断发展以及多种并行计算方法 的综合应用，但对于大规模多参数问题，应用无网格法、有限元法等传统的计算 方法难以满足工程需要，尤其是在对多参数组合的偏微分方程组进行求解时，这 一问题显得尤为突出。比如在结构的设计、优化过程中，为使结构获得最佳性能， 往往需要对众多的设计参数进行优化并进行参数稳健性评估，这通常需要进行成 百上千次的重复计算，而每一次求解的计算耗时都非常高昂。这一求解过程是很 难用有限元法进行仿真的，这是因为真实解空间是一个无限维的，而有限元法是 用一个有限维的近似空间来代替该解空间，为了保证计算结果的精度，需使近似 空间能在一定程度上反映真实空间。为满足这一要求，通常需将模型离散得很密， 因此离散后模型的自由度很大，而这将导致反复求解耗费大量的时间，严重影响 结构优化的可执行性，使很多大规模多参数结构问题的优化计算在普通计算机甚 至服务器上很难实现。 近年来，随着计算机硬件水平的突飞猛进，计算机的运行速度也越来越快， 但随着工程人员对计算精度的不断提高以及问题复杂度的不断增加，计算机计算 速度的仍赶不上问题规模的增长速度，且随着时间的发展，这一矛盾将逐渐突出。 因此，工程人员对大规模结构问题的数值计算提出了新的要求：即能大幅提升大 型结构的数值计算效率，同时保证计算的误差在合理范围内。为实现这一要求， 工程人员从软硬件方面入手，常采取的措施有：( 1 ) 升级计算机硬件，采用运行 速度更快的c p u 、性能更优的内存、更快的存储设备，甚至使用高端的服务器； ( 2 ) 改变计算的实现形式，选用专业的g p u 运算模块，利用g p u 高并行度计算 的特点，从传统的纯c p u 运算转变为g p u 运算或c p u + g p u ( c + g 架构) 计算 模式：( 3 ) 改进数值计算方法，通过算法的改进降低计算量和运算过种中需要的 存储空间，充分发挥计算机硬件的作用来实现复杂的工程计算。第一种方法依赖 于昂贵的硬件投入，第二种方法是近几年才发展起来的，它要求程序员对硬件十 分了解，且要改变传统编程模式，难度较大，第三种方法则意味着算法的改进与 一种基于最小二乘映射的减幕法及应用 新算法的应用。通常人们习惯于选择升级计算机硬件条件来满足计算要求，而不 是改进算法。然而，好的算法在提高求解效率方面比硬件升级的效果更明显，在 不增加成本的条件下就可以成倍甚至成百上千倍地提高计算效率。在先进的计算 机硬件条件下，倘若能开发出好的算法，则计算效率的提高将更加显著。许多原 本计算非常耗费的问题就可以在不显著增加成本的条件下花费较短时间就可以完 成。 为解决结构分析特别是在大型空间结构分析过分耗时的问题，多种快速计算 方法和实时计算方法由此应运而生，通过这些方法将大规模有限元问题进行降阶 处理，得到一个小型的计算问题，将结构设计问题在该小型问题上展开，实现高 效的结构设计。 1 2 大型多参数结构问题快速计算方法 快速计算方法提出之后，越来越多的工程人员对该方法进行了研究，并已发 展了多种快速计算方法，某些方法已经具有成熟的理论基础并已在结构分析领域 进行了应用。其中常用的快速计算模型有响应面模型【l 】、k r i g i n g 模型【2 3 】以及径向 基函数模型1 4 , 5 1 。其它常用的近似方法包括减基法、多变量适应回归样条法【6 1 、人 工神经网络法【7 1 和混合数值模型法【8 】等。 1 2 1 响应面法 响应面方法是一种统计学的综合试验方法，它于2 0 世纪5 0 年代被b o x g e p 例 提出。在很多情况下，设计问题的目标值与设计变量具有非常复杂的函数关系， 很难用设计参数显式表达，通过响应面可建立设计结果与设计变量之间的映射关 系，将原本隐式的函数显式化【1 0 】。该方法现已在结构设计问题中得到了广泛的应 用【1 1 小l 。y o u n t l 6 1 在可靠性优化设计中引入响应面法，提出了一种概率约束问题的 混合中值方法，孙光勇1 7 l 将响应面模型和试验设计相结合，并利用蒙特卡洛模拟 技术，创建了一种基于产品质量控制的优化设计方法。 响应面法的精度受设计变量数量及变化范围影响较大，当设计变量较少且取 值区间变化不大，采用二次或三次多项式的响应面即能很好地对问题模型进行较 高精度的拟合，但当设计变量较多或变量的取值区间变化显著时，应用响应面法 则难以保证结果的精度。除此之外，响应面法的精度也受样本点数量的影响，样 本点数量较少会导致拟合结果的精度不高，样本点过多则会增加计算耗时，降低 求解效率，也易使矩阵发生奇异、病态，使求解无法正常进行。因此，在某些情 况下，响应面法难以满足近似解在整个设计空间上的精度，故其应用存在一定的 局限性。 1 2 2 变量化设计方法 2 硕：卜学位论文 变量化设计方法( v a r i a t i o n a ld e s i g nt e c h n o l o g y ) i s 】是由a n s y s 公司旗下的研 究小组开发的，现己集成到商业软件a n s y s 中。该方法将泰勒公式展丌与有限 元法相结合，将位移响应分解成中心值的位移响应和中心值位移响应对变化参数 的偏导两部分之和。通过有限元法分别计算出这两部分的数值，当设计参数发生 改变时，利用函数近似方法只需进行少量计算便可快速得到新参数下的响应，避 免了重新进行完整的有限元计算，节省了求解时间。应用此方法求解变参数问题 只需进行一次或少数几次耗时的有限元计算，避免了不必要的重复计算，提高了 计算效率。 变量化设计方法在进行简单问题计算时具有较高的求解效率与求解精度，但 对于设计参数变化区间变化显著时将会导致计算结果的不可靠，原因在于该方法 只能保证在泰勒极数展开点附近的精度。同时应用该方法求解函数高阶导数计算 耗时，且不能对误差行估计，因此只在小规模静力系统中得到应用。 1 2 3 模型降阶法 模型降阶法的基本思想是把系统高维状态空间投影到一个低维状态空间，从 而得到原系统的一个降阶模型，通过快速求解该降阶模型的解来得到原问题的近 似解。现有的模型降阶法主要有三类：基于k r y l o v 子空间的降阶方法、基于正交 分解的子空间降阶方法和基于近似h a n k e l 范数近似和平衡截断的降阶方法。这里 只对前两种应用较多的模型降阶法做一个简要的介绍。 基于k r y l o v 子空间降阶方法的基本思想是通过构造一个由正交归一化基函数 构成的子空间，把原系统投影到其中，用以近似原系统的传递函数【l9 1 。由于该方 法具有计算成本少，计算结果鲁棒性好等优点，可以方便快捷地建立大型系统的 降阶模型，故而在系统高效建模和快速仿真方面有广泛的应用，如结构动力学、 涡轮机械等。许多基于k r y l o v 子空间的模型降阶同样适用于弱非线性问题【2 0 , 2 1 】， 其原理是通过采用泰勒展开式来对多维非线性函数进行线性或者双线性化。对于 高度非线性系统，可以用轨迹分段线性方法1 2 2 】来获得缩减模型。 基于正交分解的模型降阶方法也广泛地用于工程应用和研究中，其基本思想 是通过试验设计或数值模拟方法获取物理问题的一些样本解，对这些样本解进行 正交分解得到一个基函数集，同时尽可能保持原系统的物理属性。然后通过 g a l e r k i n 映射将原系统映射到由基函数集生成的子空间中，得到一个缩减的系统。 基于正交分解的模型降阶方法在很多大规模线性系统，如流固耦合1 2 3 1 、涡轮机械 系统【2 4 , 2 5 1 及流场最优控带l j 2 6 , 2 7 1 等领域中应用广泛。近年来，随着研究人员将该方 法在非线性领域中拓展，其在非线性系统【2 8 1 和非线性结构动力学2 9 】等领域的应用 也有了较快的增长。此外，该方法在在反问题领域中同样得到了广泛的应用 3 0 1 。 应用上述降阶法法的一个前提条件是设计问题能用数学方程明确表示，降阶 3 一种基十最小_ 二乘映射的减基法及心用 通过对数学公式进行运算以达理降阶的目的，整个处理过程较为方便。在实际的 应用算法中，常用的降阶方法还有减基法【3 。羽j 、r i t z 向量降阶【3 4 1 、g u y a n 降阶【3 引、 平衡截断【3 6 1 等。其中，减基法是一种具有良好发展前景的优秀降阶方法，其降阶 效果明显，并可对误差进行估计。 1 3 基于减基法的快速计算方法 1 3 1 减基法的基本思想 减基法( r e d u c e db a s i sm e t h o d ) 是近年来发展起来的一种快速计算方法。基本 思想是当系统含有多个参数时，这些参数的不同组合会使系统有不同的响应，而 系统在新参数条件下的解可以用事先设计的样本参数组所对应的解的线性组合来 得到。其本质就是通过样本参数的解向量构造出一个正交减基空间，并将原来的 高维系统投影到该减基空问中得到低维系统，从而实现对模型的降阶。其数学表 述如下： 首先，通过一定的采样方法获取系统样本参数，求解系统在这些样本下的响 应构成解空问。该解空间表达为： = s p a n 缶= u ( “) ，f = l ，n ) ( 1 1 ) 式中为解空间的维数，矢为解空间第k 个线性无关的向量，k = 1 ，2 ，n 。 在子空间中，所求问题的解可以表示为 u ( ) = q ( 嵫 ( 1 2 ) = l 假设结构的自由度为刀，对于复杂结构问题，一般刀n 。以解空间的基为列 向量，构成投影矩阵乙。，将刚度矩阵和载荷向量向解空间进行投影，有 置( 弘) = z 7 置( 弘) z ( 1 3 ) f ( p ) = z 7 ，( p ) ( 1 4 ) 从而得到缩减系统方程 k ( 肛) u = f ( 肛) ( 1 5 ) 式中 置似) 一缩减系统的刚度矩阵： f ( p ) 一缩减系统的力载荷向量； u 一缩减系统方程的位移解。 缩减后系统方程是n xn 阶的线性系统，由于n 刀，因此使问题求解计算量 大大缩减。u 为减缩系统的响应，以u 为系数对解空间的基向量进行线性组合， 4 硕一f ：学位论文 即可得到原系统的近似响应： 痧= z u ( 1 6 ) 在该方法中，整个计算过程分为离线和在线两个阶段，离线阶段计算样本点 对应的有限元解，并把与设计参数无关的特征矩阵通过伽辽金( g a l e r k i n ) 映射到低 维空间，通过高维参数空间向低维空间的映射，大大降低了系统的维数和计算量， 提高了效率。在线阶段计算系统在新设计参数条件下对应的缩减系统的解，并将 该解向原空间进行还原，从而得到问题的近似解。由于两个阶段的计算是分开进 行的，因而耗时很大的离线阶段可以先行完成，并且只需要进行一次计算，其计 算的结果可保存供在线阶段反复调用，而在线阶段可以高效地在参数空间进行。 该方法最大程度地满足了算法的控制方程，在理论上保证了所得到解是样本解的 最优线性组合，同时可以对计算结果的误差进行估计，因而极具发展前景。 1 3 2 减基法的研究进展 减基法初期只应用于单参数结构非线性问题中，1 9 8 3 年，n o o r 和p e t e r s 对该 方法进行了扩展，使之能适用于多参数设计问题中。减基法早期研究中大部分工 作都侧重于局部近似空间中的计算，后来b a l m e se 等首先提出了解空间的全局近 似空间的概念，通过在全局参数域采集样本点，使减基法的计算效率得到了大幅 提高，同时改善了计算的精度，与其他方法相比优势才渐渐显露出来。 近年来，减基法在预收敛理论和事后误差界【3 7 , 3 8 1 等方面取得了相应的突破。 美国麻省理工大学的p a t e r a 教授等学者大力发展这一方法，将减基法的基本思想 通过三个主要特征进行实现：全局近似子空间、后验误差估计和离线一在线计算 流程。特别是m a d a y 等【3 9 4 0 1 第一次提出了减基法的预收敛理论，指出随着参数样 本的增加，减基法计算的结果是指数收敛的，m a c h i e l s 等【4 1 , 4 2 】提出了在线性和模 态分析分析中的参数映射思想，并将减基法用于特征值计算，v e r o y 4 3 ，4 4 】总结了减 基法计算的误差限，并发展了误差估计理论，同时扩展了减基法在二次非线性问 题中的应用。 减基法的最新研究进展见文献 4 5 4 8 ，其中s e n 等【4 6 】针对减基法的误差评价 方法提出了一个n a t u r a ln o r m 格式，l i u 等 4 8 】针对线弹性问题快速分析提出一种新 的减基法，保证计算的上界与精确解具有相同的能量范数，l i u 4 9 1 ，n g u y e n 5 0 1 和 h y u n h 5 1 1 分别将减基法用于不同的反问题中，取得了较好的计算效果。此外，减 基法在流体问题、波动问题、热传导问题、瞬态问题等领域中得到了广泛应用。 在国内的研究中，刘玉秋和聂武将修正缩减基法用于船舶的设计【5 2 】，李永红等【5 3 , 5 , 1 1 将减基法用于结构特征值分析与参数优化中，黄永辉、黄芬等【5 5 。5 8 1 将减基法用于 波动问题和瞬态问题，雷飞等1 5 9 , 6 0 】将减基法应用于车身复杂结构大规模问题的快 5 一种基于最d , - - 乘映射的减展法及戍用 速分析。相对而言，国内有关减基法的研究较少，仍处于一个初步阶段，在应用 方面的研究更不多见。 1 3 3 减基法用于结构计算面临的困境 减基法能够进行模型减缩的基础是它能继承原系统数学问题的参数特征，因 而在对模型减缩计算前可以将问题的设计变量从系统中分离出来并用特定的方式 表达，在减缩计算之后，由于减缩的设计问题与原问题具有相似的参数特征，便 可以通过减缩问题的解衡量在相同参数条件下原问题的响应，从而实现低阶系统 对高阶系统特征的快速预测。在已有的减基法的应用中，设计变量在数理方程中 显式地表示出来，为进行减缩计算提供了较大的方便。对于结构设计问题而言， 单元的线弹性算子( 刚度矩阵、质量矩阵) 往往无法用设计参数显式表达，并且 无法将整个结构划分为若干子结构，因此很难甚至不能将设计参数从算子中分离 出来。对某些问题，尽管能将设计参数显式表示，但问题通常比较复杂，将设计 参数从线性算子中分离出来的计算相当繁琐，且该过程无法依赖于商业软件进行， 只能通过手工编程生成具有显式参数特性的有限元格式，工作量大，耗时多。 在使用减基法进行降阶计算的过程中，需要构造一个具有全局意义的子空间， 该子空间需要表达参数域内所有参数条件下问题的解，同时，在构造子空间的过 程中，又要保证高维空间在该子空间中投影近似的精度要求。如何提高子空间的 精度和构造效率也是一个值得探讨的问题。 1 4 本文的研究内容 本文基于减基法，研究的主要目的是构建了一种基于最小二乘映射减基法的 快速计算方法，并将其应用于多参数结构问题的快速计算以及材料参数反求领域。 本文主要工作如下： 第一章介绍了论文研究的背景及意义，对国内外快速计算方法的研究现状进 行了综述，并简要介绍了减基法的基本思想和发展进程。 第二章对减基法进行了深入的研究，首先介绍了该方法的基本原理以及计算 过程。该方法通过采样在参数域选取样本点构造解空间，当设计参数发生变化时， 原高维问题的解可通过低维空间的解进行拟合而达到快速高效的目的。 第三章构建了一种基于最小二乘映射的减基法。该方法通过样本点求解构造 减基空间，并将系统特征矩阵及载荷向量向减基空间进行最小二乘映射，从而将 求解大规模线性方程组问题变为解小型线性方程组问题。结合最小二乘映射减基 法的计算特点给出了该方法的计算流程及误差评价方法，并对计算成本进行了分 析。分别选取空间刚架结构及壳结构，给出了其针对特定设计参数的显式分离实 例。最后通过赛车车架算例及驾驶室车身算例对该方法进行了验证，结果表明与 6 硕i ：学位论文 常规计算方法相比，最d , - 乘映射减基法节省了求解资源，有效地提高了计算效 率，同时具有良好的计算精度及可靠性。 第四章将最小二乘映射减基法应用于参数识别领域，以解决参数识别过程中 反复调用正问题计算耗时的缺点。传统基于有限元与优化算法相结合的反求方法 通常需要通过多次j 下问题计算迭代才能找到最优精确解，而往往实际结构自由度 非常大，一次正问题仿真求解需要耗费较长时间，因此整个参数反演的计算时间 很长，引入最小二乘映射减基法后，正向计算问题规模得到缩减，提高了正问题 的求解效率，从而实现对参数的高效识别与在线监测。本章最后通过齿轮材料参 数反求的算例表明，该方法在提高反求效率的同时能保持较高的精度，将该方法 应用于反求领域是可行的。 最后对全文工作进行了总结，并对进一步的工作做了展望。 7 一种基于最小二乘映射的减基泫及应用 2 1 引言 第二章减基法基本理论 减基法是一种对偏微分方程的输出函数进行准确、可靠和实时预测的技术方 法。在求解偏微分方程的场变量时，随着参数取值的变化，场变量会取不同的值， 且求解过程在一个无限维的空间中进行。对于某一具体设计问题，都存在一个特 定的低维子空间，使设计问题在参数域内取不同设计参数时在该子空间下的解与 设计问题的精确解相互对应f 5 4 1 。若设法求得参数与子空间的对应关系，那么当参 数条件发生变化时，新参数下的响应就能高效快速地获得。 2 2 减基法基本理论 2 2 1 减基法的基本原理 对于结构静力学结构问题，系统平衡方程可以表示为 k ( g ) u ( p ) = f( 2 1 ) 式中 一毋维向量，表示结构有秽个设计参数； 置( ) 一结构的刚度矩阵； u ( ) 一结构的位移场变量； ，一力载荷向量。 记结构的总自由度为疗，对平衡方程( 2 1 ) 进行求解可得到结构在高维空间妒 中的响应。对于大规模结构，自由度刀往往较大，应用有限元法生成式( 2 1 ) 并进 行完整求解需要消耗大量计算成本，重复求解的计算成本将进一步增加。 从理论上分析，当系统结构参数发生改变时，系统在新参数下的解u ( ) 处 于一个无限维的解空间中。但考虑到参数的取值范围及模型的边界条件，我们通 常认为u ( ) 并没有涉及到整个雪空间，因此可将i f , 空间简化到有限维，即新 参数下的解u ( ) 只需在低维空间上进行近似即可。以简化到三维空间为例，可 以将位移解u ( u 1 看作是条不随设计参数的变化而变化光滑的曲线【5 4 1 ，如图2 1 所示。 由上述理论分析知，可以在低维空间中对新参数下的解厂( 以州) 进行拟合，使 计算量大大降低。预先计算组不同的设计参数鸬( 扛l ，2 ，) 对应的解u ( 鸬) ， 组成低维解空间，那么新参数下的解u ( ) 可由样本点的解插值得到，将u ( ) 看作是己知解鸬( 扛1 ，2 ，n ) 的性线组合。当减缩系统的自由度远小于n 时， 8 ( 2 2 ) “) ， z = k ，f = l ，2 ，n 】，如果这n 组解是线性无关的，那么可利用这些解构造减基空 间 = s p a n c ，= u ( “) ，i = 1 ，2 ，n ) ( 2 3 ) 则系统在新参数下的解可以近似表示为： 衫( ) = v ( 垮 ( 2 4 ) 式中，q ( ) 为对应基的权系数，记作。 将式( 2 4 ) 写成矩阵形式 矽= z p 由最小能量原理可知，要使f 2 ( j u ) 是幺的最优线性组合， 得极小值。结构对应的残差为 j ：u tk u u tf 2 将式( 2 5 ) 代入上式，可得 j = i p t z t l t z p p t z l 。f 令 o j ：0 b 即得到新参数下的减缩控制方程： z 7 置( ) z ( ) = z 7 1 f 9 ( 2 5 ) 要求使得结构残差取 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 一种堆十最小_ 二乘映身f 的减皋法及心用 。记 k = z 7 k ( u ) z ( 2 1 0 ) f = z 厂f ( 2 1 1 ) 则式( 2 9 ) 可以简写成 k ( ) ( ) = f ( 2 1 2 ) 当设计参数发生改变时，采用采用减基法只需求解n n 阶方程，而有限元法 需要求解l t x 门阶方程( 2 1 ) ，对于大规模复杂问题，由于n 疗，因而求解效率可 以得到很大提高。 根据减基法计算原理，可将计算分成离线、在线两个阶段。其中个重要步 骤就是将设计参数从计算模型中分离出来，对于设计变量能在数理方程中显式表 示的系统，将其线弹性算子( 刚度矩阵、质量矩阵) 显式分解成与参数相关的系 数部分和与参数无关的矩阵部分组成 置( ) = q ( ) k ( 2 1 3 ) t = l 式中 o - , ( , u ) - - - 与设计参数t 相关的函数式： k 一结构的刚度矩阵中与设计参数无关的矩阵部分； m 一刚度矩阵分离项数。 令k j = z7 k ，z ( i = i ，2 9 em ) ，均为n n 阶矩阵，则有 一 k ( 弘) = 盯。( p ) 眉，+ 仃：( p ) 丘+ + 仃，( p ) 以 ( 2 1 4 ) 将上式代入式( 2 1 2 ) ，得到减缩后的平衡方程 f q ( 肛) 眉l + ( p ) e + + ( p ) e 】( ) = f ( 2 1 5 ) 把刚度矩阵进行参数分离后，可预先计算好与设计参数无关的矩阵部分，当 选取新参数时，o i ( p ) 为已知量，便可由式( 2 1 2 ) 快速求得( ) 。再将( ) 代入式( 2 5 ) 求得原系统对应的位移近似解。 建立参数样本空间原系统近似解 上t 构造减幕窄问 求解缩减系统 上t 投影参数无关矩阵 新参数下缩减系统 矩阵组含 t 离线阶段 在线阶段 图2 2 减基法离线在线计算过程 l o 硕十学位论文 图2 2 为减基法离线、在线计算的流程，因耗时很大的离线阶段可以先行完 成，并且只需要进行一次计算，其计算的结果可保存供在线阶段反复调用，这样 当设计参数发生改变时，可以在减缩空间中快速得到系统特征矩阵，从而提高了 整个计算过程的效率。 2 3 参数空间采样方法 在构造减基空间之前，需要在参数域中对设计参数进行采样，对采样方法最 基本的要求是：使采样方法所生成的参数样本要尽量覆盖整个参数域，这样才能 保证构造的减基空间具有良好的完备性，也才能保证近似解的精度。同时，为了 节约计算量，要求样本点的数目要尽可能地少。以下简单介绍几种常见的采样方 法： 1 、均匀采样方法 鸬= 暑戤( 扛l ，“，n ) ( 2 1 6 ) 鸬2 而戤1 卢l ，j ) 均匀采样方法是较为直观的采样方法，采取的样本点在整个参数域内呈线性、等 间隔分布。通常在设计问题敏感参数空间分布未知的情况下使用的，使用均匀采 样方法可以首先判断出较为敏感参数空间的分布情况。 2 、对数采样方法 l i l ( 他+ 1 ) 2 格h ( 概群+ 1 ) ( ，) ( 2 1 7 ) 式中心觚为设计参数鸬的上限。该方法采取的样本点呈对数分布，随着f 的增大， 样本点分布逐渐稀疏。对数采样方法适合于特定的问题，如具有波动特性的物理 问题等。 3 、切比雪夫采样方法 群= 等卜s ( 雩万) 忙妒” ) 亿埘 4 、拉丁超立方采样方法 拉丁超立方采样属于分层采样，源于试验设计的采样方法，是一种有效的用 采样值反映随机变量的整体分布的方法，在基于代理模型的优化方法中得到一定 程度的应用。该方法分成采样与排列两步。采样阶段对每个输入随机变量进行采 样，确保随机分布区域能够被采样点完全覆盖；排列阶段改变各随机变量采样值 的排列顺序，使相互独立的随机变量的采样值的相关性趋于最小。 以上采样方法都属于比较成熟的技术，对于其适用范围目前尚无统一标准。 计算过程中根据实际问题选择适当的采样方法。 一种基于最小二乘映射的减基法及应用 2 4 减基法子空间构造 子空间构造是减基法计算中重要的一环，子空间的精度与完备性将直接影响 减基法计算结果的精度。由于减缩后的系统是由原系统向近似子空间投影得到的， 减缩系统的解也是通过子空间而还原得到原系统的近似解。因此，所构造的子空 间能反映设计参数与设计问题解之间的关系【6 0 1 。为了节省计算量，提高计算效率， 在保证子空间的精度的同时，要求尽可能降低子空间的维数，这一要求为子空间 构造增加了难度。 2 4 1 子空间构造的基本思路 子空间的构造过程实质是寻找子空间基的过程。首先寻找能够完整表达该子 空间的向量组，然后在这些向量组的基础上构造子空间的一个基。其具体思路为： 通过采样方法在参数域选取适当的参数样本点组成参数样本集合，求解系统在这 些样本点下的位移场向量并将这些场向量组成矩阵，对该矩阵进行初等变换即得 到该矩阵的正交基，该正交基即是子空间的一个基。 子空间构造方法的基本原理如图2 3 所示。 图2 3 子空间构造方法基本原理图 由图2 3 可知，子空间的构造分为两个步骤，首先得到该子空间的一个完备 向量组，然后通过数值方法对向量组进行正交归一化处理，得到该子空间的标准 正交基。为了使构造出的子空间能在参数域范围内满足所有的场变量，因此要求 这些向量组可以构造出该子空间的一个基，即构造的向量组在满足一定精度要求 下能保证子空间的完备性。 由于参数域中的参数与场变量具有一一对应的关系，不同的参数对应着不同 的场变量，因此理论上可以用参数域中所有场变量的集合构造该子空间【6 们。但在 1 2 硕i j 学位论文 实际计算过程中，对于同一参数域，不同的离散方法获取的参数样本差